2.5 二维随机变量函数的分布
二维随机变量及其分布函数
y1
y2
y3
...
p11
p12
p13
...
p21
p22
p23
...
p31
p32
p33
...
例1 设试验E为掷一颗骰子，观察出现的点数，定 义两个随机变量如下
X 表示骰子出现的点数.
1, 当出现奇数点时, Y 2,当出现偶数点时.
试求X与Y的联合分布律．
解 (X，Y)可能取值为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,2)、 (4,1)、(4,2)、(5,1)、(5,2)、(6,1)、(6,2)．
f (x, y)
1
1 (x2y2)
e 2 2
, x, y
2 2
G {(x, y) | x 2 y 2 2} ， P{( X ,Y ) G}(P{X 2 Y 2 2})
求
．
解 P{(X ,Y )G} f (x, y)dxdy
P{x1 X x2 , y1 Y y2} F(x2 , y2 ) F(x1, y2 ) F(x2 , y1 ) F(x1, y.1 )
y y2 y1
o x1
x2 x
二、二维离散型随机变量
定义 若二维随机变量 (X，Y) 所有可能取的值是有限 对或可列无穷多对，则称 (X，Y) 为二维离散型随机变 量． 设二维离散型随机变量 (X，Y) 所有可能取值为
f (x, y)dxdy
x
y
f
(u, v)dudv．
则称(X，Y)为二维连续型随机变量，称f(x,y)为(X，Y)的概率密度或X、Y的 联合概率密度．
二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式
二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式二维随机变量的概率分布函数（probability distribution function，简称PDF）是用来描述随机变量取值与其对应的概率之间的关系。
在概率论与数理统计中，我们经常需要对二维随机变量的分布进行建模和分析，因此掌握二维随机变量分布的公式是非常重要的。
一、离散型二维随机变量分布公式对于离散型二维随机变量，其取值只能是有限个或者可列个。
假设随机变量(X,Y)的可能取值为{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，其对应的概率为{P(X=x1,Y=y1),P(X=x2,Y=y2),...,P(X=xn,Y=yn)}。
离散型二维随机变量的分布可以用概率质量函数（probability mass function，简称PMF）来描述，其计算公式为：P(X=x,Y=y) = P(X=xk,Y=yk) for (x,y) = (xk,yk)其中，xk和yk分别为二维随机变量(X,Y)的取值。
二、连续型二维随机变量分布公式对于连续型二维随机变量，其取值可以是任意实数。
假设随机变量(X,Y)的概率密度函数（probability density function，简称PDF）为f(x,y)，则对于任意给定的区域A，有：P((X,Y)∈A) = ∬Af(x,y)dxdy其中，(X,Y)∈A表示(X,Y)在区域A内取值，∬表示对区域A进行二重积分。
从而，我们可以通过计算二重积分来求得连续型二维随机变量的概率。
三、二维随机变量的边缘分布边缘分布是指在二维随机变量(X,Y)的分布中，将其中一个随机变量的取值固定下来，对另一个随机变量的分布进行描述。
对于离散型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过将概率加和。
对于连续型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过对概率密度函数进行积分。
1. X的边缘分布：P(X=x) = ∑P(X=x,Y=y) for all y（离散型）, f_x(x) = ∫f(x,y)dy（连续型）2. Y的边缘分布：P(Y=y) = ∑P(X=x,Y=y) for all x（离散型）, f_y(y) = ∫f(x,y)dx（连续型）四、二维随机变量的条件分布条件分布是指在给定另一个随机变量的取值的条件下，对该随机变量的分布进行描述。
二维随机变量函数的分布
第三章多维随机变量及其分布第五节二维随机变量的函数分布复习：已知一维随机变量X 的概率特性——分布函数或概率密度（分布律）Y = g ( X )求随机变量Y的概率特性方法：将与Y有关的事件转化成X的事件如果g (x k )中有一些是相同的,则Y 取该值的概率为所有g (x i )所对应的P i 之和.一般，若X 是离散型r.v ，X 的概率函数为Xn n p p p x x x 2121～则Y=g (X )～n n p p p x g x g x g 2121)()()(一维离散型随机变量函数的分布一维连续型随机变量函数的分布X f x Y =g X 设为连续型随机变量,其概率密度为,则的概率密度的求解可通过求其分布函数得到.一般过程为:方法一:分布函数法Y 1.求出的分布函数.1-Y F y =P Y y =P g x y =P x g y1-g y -=f x dx.一、离散型分布的情形问题: 已知二维离散型随机变量(X,Y )的分布律, g (x,y )为已知的二元函数, 则Z =g (X,Y )也是离散型随机变量,求Z 的分布律.1kk k ij .Z =z =g x ,y2.k ki j kk k k i j g x ,y =z P Z =z =P X =x ,Y =y k =1,2,…设X ~B (n 1, p ), Y ~B (n 2, p ), 且独立，具有可加性的两个离散分布 设X ~ P ( 1), Y ~ P ( 2), 且独立，则X + Y ~ B ( n 1+n 2,p )则X + Y ~ P ( 1+ 2)二、连续型分布的情形问题：已知二维随机变量( X ,Y )的概率密度，g(x,y)为已知的二元函数，Z = g( X ,Y )求：Z 的概率密度函数.方法：1）从求Z 的分布函数出发，将Z 的分布函数转化为( X ,Y )的事件的概率(分布函数法). 2）代公式(公式法).•z•z += zx（通过分布函数）则),(zFZ2,()z F z时x 1y o解法二（公式法-------图形定限法）其他,02,10,3),(xz x x x x z x fdxx z x f z f Z ),()(由公式（1）其他,00,10,3),(xy x x y x f正态随机变量的情形1）若X ,Y 相互独立,),(~),,(~222211 N Y N X 则),(~222121 N Y X 2）若(X ,Y ));,;,(~222211 N 则)2,(~22212121 N Y X ni N X ii i ,,2,1),,(~2 若n X X X ,,,21 相互独立则),(~1211ni in i i n i i N X(3)M=max(X,Y) 及N=min(X,Y) 的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX (x)和FY(y),我们来求:M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)又由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:即有F M (z )= F X (z )F Y (z )F M (z )=P (M ≤z )=P (X ≤z )P (Y ≤z )=P (X ≤z ,Y ≤z )类似地，可得N=min(X ,Y )的分布函数是：F N (z )=P (N ≤z )=1-P (N >z )=1-P (X >z ,Y >z )=1-P (X >z )P (Y >z )即有F N (z)= 1-[1-F X (z )][1-F Y (z )]推广:设X 1,…,X n 是n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为求M=max(X 1,…,X n )和N=min(X 1,…,X n )的分布函数,则：)(x F i X (i =0,1，…, n ),N=min(X 1,…,X n )的分布函数为:M=max(X 1,…,X n )的分布函数为:111()[()]N X F z F z …1[()]n X F z 1()()M X F z F z ()n X F z …特别，当X 1,…,X n 相互独立且具有相同分布函数F (x )时，有F M (z )=[F (z )] n , F N (z )=1-[1-F (z )] n 若X 1,…,X n 是连续型随机变量，在求得M=max(X 1,…,X n )和N=min(X 1,…,X n )的分布函数后，不难求得M 和N 的密度函数.例3设系统L 由相互独立的n 个元件组成，连接方式为:(1) 串联；(2) 并联；如果n 个元件的寿命分别为12,,,n X X X 12~(),,,,i X E i n 且求在以上2种组成方式下，系统L 的寿命X 的密度函数.解0,(),i xX e x f x其它100,(),i xX e x F x其它(1)},,,min{21n X X X X ni X X x F x F i 1))(1(1)(,00,)(x x en x f xn X,1,0,)(1x x e x F xX i (2)},,,max{21n X X X X ni X X x F x F i 1)()(,0,0,)1(x x e nx,00,)1()(1x x e en x f n x xXy=y=z•z•zx +y =zz -11x1•z•z1xyz2 21x= 1-z= 1-z。
二维随机变量的函数的分布
2 数值方法
根据函数的定义和已知分布，可以通过 求解方程来得到函数的分布。
当方程难以求解时，可以使用数值方法 如蒙特卡洛模拟来近似计算函数的分布。
常见的二维随机变量函数的分布
介绍一些常见的二维随机变量函数和它们的分布，以及它们在实际问题中的应用。
线性变换
对于服从正态分布的二维随机变量，经过线性 变换后，其分布也将趋于正态分布。
介绍二维随机变量函数的定义和应用场景，以及一些常见的例子。
定义
二维随机变量函数是将一个或多个随机变 量映射到另一个随机变量的数学函数。
例子
一个常见的二维随机变量函数的例子是计 算两个变量之间的相关性。
二维随机变量函数的分布求解方法
讲解如何通过求解方程或使用数值方法得到二维随机变量函数的分布。
1 方程求解
其他函数示例
还有许多其他类型的二维随机变量函数，如指 数函数、对数函数等。
函数转换法的应用与实例
通过实际应用案例，展示函数转换法在解决二维随机变量函数的分布问题中的应用。
1
应用实例
以金融市场中的投资组合优化问题为例，展示如何使用函数转换法来计算最优投 资组合的分布。
2
优势与局限
介绍函数转换法的优势和局限性，以及如何在实际问题中准确应用。
3
实用案例
分享其他实用案例，如信用评级、股票市场分析等，来展示函数转换法的广泛应 用。
二维随机变量的函数的分 布
随机变量及其函数的定义和性质介绍
二维随机变量的概念和例子
通过实际例子，介绍二维随机变量的定义和特点，以及它们在现实生活中的应用。
定义
二维随机变量是由两个随机变量构成，表示两 个相关事件的联合概率分布。
例子
二维随机变量的分布
定义 特点
联合分布函数描述了二维随机变量同时取某个取 值以下的概率。
联合分布函数是一个二维空间上的函数，可以用 来计算各种概率。
联合概率密度函数的定义
定义
联合概率密度函数描述了二维随机变量在某个区域内出现的概率密度。
特点
联合概率密度函数是一个非负函数，其值越大表示出现的概率越大。
独立随机变量的定义
1
特点
2
对于独立随机变量，每个分量的概率分
布不受另一个分量的影响。
3
定义
独立随机变量是指二维随机变量的两个 分量之间没有任何关联性。
示例
抛一枚硬币和掷一个骰子的结果就是独 立随机变量。
独立随机变量的联合概率密度函数的特征
乘积规律
对于独立随机变量，联合概率密度函数等于各个分 量的概率密度函数的乘积。
正态分布
如果两个分量都服从正态分布，则独立随机变量的 联合概率密度函数也服从正态分布。
边缘分布函数的求法
边缘分布函数是指通过联合分布函数求得的单个随机变量的分布函数。
1
离散情况
对于离散情况，可以通过对联合分布函
连续情况
2
数进行求和得到边缘分布函数。
对于连续情况，可以通过对联合概率密
度函数进行积分得到边缘分布函数。
3
示例
假设我们有一个二维随机变量描述了一 个骰子掷出6点和掷出奇数点的概率分布， 我们可以通过求和得到各自的边缘分布。
Hale Waihona Puke 卷积公式和期望的定义卷积公式是用于计算独立随机变量的联合概率密度函数的公式。
卷积公式
卷积公式可以将两个独立随机变量的概率密度函数 进行卷积运算，得到它们的联合概率密度函数。
期望的定义
二维随机变量函数的分布
V min{X1 ，X2 ， ，Xn} 的分布函数分别为
Fmax (u) FX1 (u)FX2 (u) FXn (u) ，
（3-34）
Fmin (v) 1 [1 FX1 (v)][1 FX2 (v)] [1 FXn (v)] ．
（3-35）
特别地，当 X1 ，X2 ， ，Xn 相互独立且有相同的分布函数 F(x) 时，有
0
0dt
z 1
z
1dt
z
；
0
当1
z 2 时， fZ (z)
z
z1 fX (t)dt
1
1dt
z 1
z 0dt 2 z ；
1
当 z
2 时， fZ (z)
z
z1 f X (t)dt
z 0dt 0 ．
z 1
综上所述，随机变量 Z X Y 的概率密度为
z ， 0 z 1， fZ (z) 2 z ， 1 z 2 ，
二维随机变量函数的分布
1.1 二维离散型随机变量函数的分布
因此， X Y 的分布律如表 3-13 所示．
表 3-13
X Y
0
1
2
3
3
7
5
1
P
16
16
16
16
（2）同理， XY 的分布律如表 3-14 所示．
表 3-14
XY
0
1
2
13
1
1
P
16
8
16
多维随机变量及其分布
二维随机变量函数的分布
1.1 二维离散型随机变量函数的分布
多维随机变量及其分布
二维随机变量函数的分布
1.2 二维连续型随机变量函数的分布
二维随机变量函数的分布
返回
退出
例1 设随机变量 ( X, Y ) 的联合分布列如下
Y
X0
1
2
3
4
5
0
0
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
1
0.01
0.02
0.04
0.05
0.06
0.08
2
0.01
0.03
0.05
0.05
0.05
0.06
3
0.01
0.02
0.04
0.06
0.06
0.05
试求 ZXY 的分布列．
解 Z 所有可能的取值显然为 0，1，2, ···, 8 . 在联合分布列中对使 Z 可取同一值的X 与Y的取值概率进行归并, 即得Y 的分布律如下
退出
退出
退出
Z = X＋Y
1. 离散变量之和的分布列可用归并法求之
在离散量的分布列中, 对X , Y 所有能 使函数 Z 取同一值的全部取值概率进行 归并 ( 例如, 固定一个变量的取值, 然后 寻找另一变量与其之和为同一值的取值 概率), 所得之和即是函数 Z 在同一可取 之值上的取值概率.
那么, 其和变量 Z = X1 + X2 + … + X k
也是泊松量，且有
k
Z ~ P ( i ) i1
返回
退出
例2-4 两[ 0 ,1 ]上的均匀量 X 与Y 相互独立, 试求和变量
ZXY的概率密度.
解 Q X ~ R ( 0 , 1 ) ,Y ~ R ( 0 , 1 ) , 且相互独立 , ∴概率密度
x ty z
[ f(ty,y)d t]d y
二维随机变量函数的分布
试求 U X Y , V XY 的分布律.
例2 设随机变量 X 和 Y 相互独立，它们分别
服从参数为 1 和 2 的泊松分布.
二、二维连续型随机变量函数分布
随机变量 X 和 Y 的联合概率密度函数 f (x, y)
从公式
FZ (z) P{Z z} P{g(X ,Y ) z} P{(X ,Y ) Dz}
f (x, y)dxdy
( x, y)Dz
确定分布函数 FZ (z) 。
注：Dz 是由不等式 g(x, y) z 规定的 xOy 平面上的一个区域，且不必是连通的。
(1) Z X Y 的分布
y
x y z
x z y
y
x y z
yzx
x y z
x y z
x
x
(a)
(b)
图4-1 x y z 的区域
fX (x) fY ( y)
1
x2
e 2,
2
1
y2
e 2,
2
x y
(2) M max(X ,Y ) 及 N min(X ,Y ) 的分布 设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量,它们的 分布函数分别为 FX (x), FY ( y)，则 M max(X ,Y ) 及 N min(X ,Y ) 的分布函数分别为什么？
的分布律为：
P{Z zk}
pij
( xi , y j )Ak
其中 Ak {( xi , y j ) | g(xi , y j ) zk}, k 1,2,3,
例1 已知随机变量 ( X,Y ) 的联合分布律如下：
Y X
1
2
-1
0
1
0.07 0.28 0.15 0.09 0.22 0.19
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概率论
用类似的方法可以证明:
Z X Y ~ N ( 1 2 , )
2 1 2 2
此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形:
2 一般地，若 X 1 , , X n 相互独立，且 X i ~ N ( i , i )
则有
X1 X n ~ N (
i ,
2
d
z
0
1 2
z2 e 2 rdr
0
r2 z e 2 rdr
这是 2 (2)分布
概率论
例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度. 解： Z=X+Y的分布函数是:
y
FZ z P Z z
P X Y z
z
z /2
2
•z
1 x
f Z ( z) z
当1 z < 2 时，
y
zx
FZ ( z) ( z 1) z dx 0 1dy 1
1
•z 1 z-1 1•z x
z 1 z 1 ( z x)dx
1
2z z / 2 1
2
f Z ( z) 2 z
i 1 i 1
n
n
n
i2 )
此为正态分布的可加性 更有
i 1
2 2 ai X i ~ N ( ai i , ai i ). i 1 i 1
n
n
独立正态变量的线性组合仍为正态变量(Cf.P101)
特别地，X 1 , , X n 相互独立同正态分布 N ( , 2 ),
求 (U, V) 的联合分布.
一、d.r.v.函数的分布
二维d.r.v 函数的分布是容易求的：
i)对(X,Y)的各种可能取值对，写出 Z =g(X,Y)相应的取值.
ii)对Z的 相同的取值，合并其对应的概率. 例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为
pij Y
-1 0
X
-1
1 4
1
16 18
z 2
z
1 z z
2
9 2 f Z ( z ) z / 2 3xdx z 8 当 1 ≤ z < 2,
f Z ( z) z / 2
1
x
x=1
3 z 3xdx (1 ) 2 4
9 2 z , 0 z 1 8 3 2 z f Z ( z ) (1 ), 1 z 2 4 2 0, 其他 这比用分布函数做简便
这种求Z的概率分布的方法通常称为分布函数法。
例3：假设r.v.X,Y相互独立，且均服从标准正态分布，求
Z X 2 Y 2 的概率密度函数。
解：由X，Y的独立性可得， 其联合密度函数
1 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 2
x2 y2 e 2
,
2 2 F 当z 0时， Z ( z ) P ( Z z ) P ( X Y z ) 0
则Z 的分布函数为
FZ ( z ) P ( Z z ) P ( g( X , Y ) z )
P (( X , Y ) D)
g ( x , y ) z
( D : g( X , Y ) z )
f ( x , y )dxdy
从而有
f Z ( z ) FZ ( z )
y
当2 z 时，
2
1
FZ ( z ) 1
f Z ( z) 0
0, z 0 或 z 2 f Z ( z ) z, 0 z 1 2 z, 1 z 2
1
2
x
例7 已知 ( X ,Y ) 的联合 d.f.为
3 x, 0 x 1, 0 y x f ( x, y ) 其他 0,
概率论
特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边 缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
f ( z) Z
卷积公式
f Z ( z ) f X ( z y ) fY ( y )dy
f X ( x) fY ( z x)dx
0,
1
z 2
z=x
1
1 x
z 0或z 2,
0 z 1,
0 fY ( z x)dx
1
z1 1dx,
0 1dx,
1
z
1 z 2,
0, f Z ( z ) z, 2 z,
z 0或z 2 0 z 1 1 z 2
y
1 1 x
解法二 用分布函数法
FZ ( z ) P( X Y z )
x y z
f ( x, y )dxdy
当z < 0 时，
FZ ( z ) 0
当0 z < 1 时，
FZ ( z ) 0 dx 0 1dy
z zx
y 1 •z
0 ( z x)dx
z
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率 密度为:
fZ ( z ) F ( z ) f ( z y, y)dy
' Z
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ ( z ) F ( z ) f ( x, z x )dx
' Z
以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
dx
1 2 2
z2 e 4
1 2 1 2
z ( x )2 2 1 2 2 e
dx
1 2 2
e
z2 2( 2 )2
X Y ~ N (0, 2)
若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).
2 若X和Y 独立, X ~ N ( 1, 12 ), Y ~ N ( 2 , 2 ), 结论又如何呢?
类似地有：
X ~ B(m, p), Y ~ B(n, p), X，Y 相互独立 X Y ~ B(m n , p )
即二项分布对第一个参数具有可加性。
二、c.r.v.函数的分布
设c.r.v. ( X , Y ) ~ f ( x, y ), g( x, y ) 为一连续函数，令
Z g( X , Y ),
2.5 二维随机变量函数的分布
问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的联合分布， 如何求出 Z=g(X, Y)的分布？
注意：若（X，Y）为二维r.v. ,则Z=g(X,Y)是一维的r.v. 本课程不涉及如下问题： 已知 (X, Y) 的联合分布， (X, Y) 的函数
U g1 ( X , Y ) V g 2 ( X , Y )
f ( x, y)dxdy
D
0
x
x y z
这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z} 它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面.
概率论
FZ ( z )
x y z
f ( x, y)dxdy
z y
y y 0
化成累次积分,得
x y z 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,
P ( Z k ) P ( X i , Y k i ) P ( X i ) P (Y k i )
i 0 i 0
1
k
k
i k 1 e 1 2 i e 2 e k! ( k i )! i 0 i ! k
例5：设r.v.X, Y独立同分布，且X~N(0,1), 求Z=X+Y的分布。 解： f Z ( z ) f X ( x ) fY ( z x )dx
1 2
x2 e 2
1 2
e
z x 2
2
dx
1 2
z 2 z2 [( x ) ] 2 4 e
FZ ( z ) P ( Z z ) P ( X 2 Y 2 z ) 当z 0时，
1 2 x2 y2 z
x2 y2 e 2 dxdy
z0 f Z ( z ) FZ ( z ) 2 0 , z0
0 1 z e 2,
i 1
ai X i ~ N ( ai , 2 ai2 ).
i 1 i 1
n
n
n
1 若取 a1 an , n
X ~ N ( ,
2
n
)
例6 已知( X ,Y ) 的联合d.f.为 1, 0 x 1,0 y 1 f ( x, y ) 其他 0, Z = X + Y ,求 f Z (z)
f Z ( z ) f ( x, z x)dx
2
k! i k 1 2 i i !(k i )! i 0
k
(1 2 )k ( 1 2 ) k 0,1, 2, e , k!
Z 这表明， X Y ~ P (1 2 )
一般地，若同一类分布的独立随机变量和的分布仍 是此类分布，则称此类分布具有可加性.
解法一（图形定限法）
显然X ,Y 相互独立,且
1, 0 y 1 1, 0 x 1 f X ( x) fY ( y ) 0, 其他 0, 其他