2020版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题六概率与统计第1讲排列、组合、二项式定理练习理
2020年高考数学(理)二轮复习命题考点串讲系列-专题19 排列、组合、二项式定理(含答案解析)
2020年高考数学（理）二轮复习命题考点串讲系列-专题19 排列、组合、二项式定理1、考情解读1.排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.2.排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.3.与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想.2、重点知识梳理 1．两个重要公式 (1)排列数公式 A m n ＝n ！n －m ！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(n ，m ∈N *，且m ≤n )．(2)组合数公式 C m n ＝n ！m ！n －m ！＝nn －1n －2…n －m ＋1m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n )．2．三个重要性质和定理 (1)组合数性质①C m n ＝C n －m n (n ，m ∈N *，且m ≤n )；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n (n ，m ∈N *，且m ≤n )；③C 0n ＝1. (2)二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k ·b k ＋…＋C n n b n ，其中通项T r ＋1＝C r n an －r b r . (3)二项式系数的性质①C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －r n ；②C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n；③C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1. 3、高频考点突破 考点1 排列与组合例1．【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D【变式探究】【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为443A 72 ，故选D.【变式探究】(2015·四川，6)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个解析 由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A 34＝72个；若万位是4，则有2×A 34个＝48个，故40 000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.答案 B考点二 排列组合中的创新问题例2．用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5)D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5)解析 分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b 5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c )5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5，故选A.答案 A【变式探究】设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．130答案 D考点三 二项展开式中项的系数例3．【2016年高考北京理数】在6(12)x 的展开式中，2x 的系数为__________.（用数字作答）【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式16(2)r r r r T C x +=-可知，2x 的系数为226(2)60C -=。
步步高 高三数学(理)二轮专题突破课件 专题六 第1讲《排列与组合、二项式定理》
开 关
相乘．
主干知识梳理
专题六 第1讲
2．排列与组合
(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照
一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元
素的一个排列．从n个不同元素中取出m个元素的排列数
本 讲 栏 目
公式是Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成Amn ＝ n！
C．472
D．484
讲 栏
(2)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目
目 开
甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在
关 最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
()
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
解析 (1)利用分类加法计数原理和组合的概念求解．
分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C14C212 ＝264(种)；
由分类加法计数原理知共有“好数”C13＋C13C13＝12个．
答案 (1)C (2)12
热点分类突破
专题六 第1讲
考点二 排列与组合
例2 (1)(2013·重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中
选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内
科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字
讲 栏
当中间数为5时，有4×5＝20种；
目 开
当中间数为6时，有5×6＝30种；
关 当中间数为7时，有6×7＝42种；
当中间数为8时，有7×8＝56种；
当中间数为9时，有8×9＝72种．
故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240种．
答案 (1)B
(2)A
2020高考数学二轮复习概率与统计.docx
2020 高考数学二轮复习 概率与统计概率内容的新概念 多，相近概念容易混淆，本 就学生易犯 作如下 ：型一 “非等可能 ”与 “等可能 ”混同 例 1 两枚骰子，求所得的点数之和 6 的概率．解两枚骰子出 的点数之和2， 3， 4， ⋯ ，12 共 11 种基本事件，所以概率P=111剖析以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和 2 只有 (1， 1)，而点数之和6 有 (1， 5)、(2， 4)、 (3， 3)、 (4，2)、 (5， 1)共 5 种．事 上， 两枚骰子共有 36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和6”的概率 P= 5．36型二 “互斥 ”与 “ 立 ”混同例 2把 、黑、白、4 牌随机地分 甲、乙、丙、丁4 个人，每个人分得1 ，事件“甲分得 牌”与“乙分得 牌”是（）A ． 立事件B ．不可能事件C ．互斥但不 立事件D ．以上均不解A剖析 本 的原因在于把 “互斥 ”与 “ 立”混同，二者的 系与区 主要体 在 ：(1)两事件 立，必定互斥，但互斥未必 立； (2) 互斥概念适用于多个事件，但 立概念只适用于两个事件； (3) 两个事件互斥只表明 两个事件不能同 生，即至多只能 生其中一个，但可以都不 生；而两事件 立 表示它 有且 有一个 生．事件 “甲分得 牌 ”与 “乙分得 牌 ”是不能同 生的两个事件，两个事件可能恰有一个 生，一个不 生，可能两个都不 生，所以 C ．型三 例 3解“互斥 ”与 “独立 ”混同甲投 命中率 O ．8，乙投 命中率 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少 ?“甲恰好投中两次” 事件 A ， “乙恰好投中两次” 事件B ， 两人都恰好投中两次事件A+B ， P(A+B)=P(A)+P(B)： c 32 0.820.2 c 32 0.720.3 0.825剖析本 的原因是把相互独立同 生的事件当成互斥事件来考 ， 将两人都恰好投中2 次理解 “甲恰好投中两次”与 “乙恰好投中两次 ”的和．互斥事件是指两个事件不可能同 生；两事件相互独立是指一个事件的 生与否 另一个事件 生与否没有影响，它 然都描 了两个事件 的关系，但所描 的关系是根本不同．解：“甲恰好投中两次 ” 事件 A ，“乙恰好投中两次” 事件 B ，且 A ， B 相互独立，两人都恰好投中两次 事件A ·B ，于是 P(A ·B)=P(A) ×P(B)= 0.169类型四例 4错解“条件概率 P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同袋中有 6 个黄色、 4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黄色球的概率．记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件62C,所以 P(C)=P(B/A)=.93剖析本题错误在于 P(A B)与 P(B/A) 的含义没有弄清 , P(A B) 表示在样本空间S 中 ,A 与 B 同时发生的概率；而P（ B/A ）表示在缩减的样本空间S A中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。
高中数学二轮 三轮复习 专题6 排列 组合 概率与统计课件 文 大纲人教
专题 6 │ 考情分析预测
预测 2011 年会延续这种考情，考题难度不会再加强， 对计数原理、概率及随机变量的分布还会重点考查．要重 视对概率意义的理解，重视概率的实际应用．
第17讲│排列、组合与二项式定理
第17讲 排列、组合与二项式定理
第 17 讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
第 17 讲 │ 主干知识整合
第 17 讲 │ 要点热点探究
【点评】 本题涉及排列与组合的综合性问题，常用到 的策略有(1)特殊元素(特殊位置)优先安排；(2)合理分类与准 确分步；(3)先选后排；(4)相邻问题捆绑法；(4)不相邻问题 插空法．
第 17 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ► 探究点二 排列、组合及综合应用
[2009·全国卷Ⅱ] 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门．则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 ()
A．6 种 B．12 种 C．30 种 D．36 种
第 17 讲 │ 要点热点探究
C 【解析】 解法一：间接法：甲、乙两人从 4 门课 程中各选修 2 门共有 C42C24种不同的选法；甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门所选的课程全相同的共有 C24种不同方 法；故共有 C24·C24－C24＝30 种．故选 C.
(3)D 【解析】 按两个儿童入住情况分类：(1)当 2 个 儿童都住在 A 房间时，成人的住法有两类，一类是 3 个成人 分住在 A、B、C 三个房间，有 A33＝6 种不同方法；另一类 是 3 成人分住在 A、B 两个房间里，共有 C32种不同方法．此 时共有 6＋3＝9 种不同方法；(2)当 2 个儿童分住在 A、B 两 个房间时，有 A22＝2 种不同住法，成人的住法又分为两类： 一类是 3 成人分住在 A、B、C 三个房间，有 A33＝6 种不同 方法，另一类是 3 成人分住在 A、B 两个房间里，共有 C23＝ 3 种不同方法．因此，共有 2×(6＋3)＝18 种不同住法．综 上可知，总的入住方式共有 9＋18＝27 种．
人教A版2020届高考数学二轮复习(理)讲义及题型归纳(拔高)：概率与统计
概率与统计一、考纲解读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。
2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。
3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义二、命题趋势探究1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。
2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。
3.有关正态分布的考题多为一道小题。
三、知识点精讲（一）.条件概率与独立事件（1）在事件A 发生的条件下，时间B 发生的概率叫做A 发生时B 发生的条件概率，记作()P B A ，条件概率公式为()=P B A ()()P AB P A 。
（2）若()=P BA P B （），即()=()()P A B PAPB ,称A 与B 为相互独立事件。
A 与B相互独立，即A 发生与否对B 的发生与否无影响，反之亦然。
即,A B 相互独立，则有公式()=()()P AB P A P B 。
（3）在n 次独立重复实验中，事件A 发生k ()0k n ≤≤次的概率记作()n P k ，记A在其中一次实验中发生的概率为()P A p = ，则()()1n k k k n n P k C p p -=- .（二）.离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列（如表13-1所示）.表13-1①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈ ;②121n p p p ++= .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++，反映随机变量ξ取值的波动性。
2020版高考数学大二轮复习专题四概率与统计第一讲排列、组合与二项式定理课件理
互不相邻的停放方法有( )
A．1 880 种
B．1 440 种
C．720 种
D．360 种
解析：由题意可知，白颜色汽车按 3 辆，2 辆分为 2 组，先从 5 辆白色汽车选 3 辆全排列共有 A35种， 再将剩余的 2 辆白色汽车全排列共有 A22种，再将这两个整体全 排列，共有 A22种，排完后有 3 个空， 3 辆不同的红颜色汽车插空共有 A33种， 由分步计数原理得共有 A35A22A22A33＝1 440 种， 故选 B.
排列、组合数公式 (1)排列数公式 Amn ＝n(n－1)…(n－m＋1)＝n－n！m！. (2)组合数公式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1·…m·！n－m＋1＝m！nn！ －m！.
(1)已知 5 辆不同的白颜色汽车和 3 辆不同的红颜色汽
车停成一排，则白颜色汽车至少 2 辆停在一起且红颜色的汽车
3．二项式系数的性质
(1)Crn＝Cnn－r，Cnr ＋Crn－1＝Crn＋1. (2)二项式系数最值问题
当
n
为偶数时，中间一项即第n2＋1项的二项式系数
n C2n
最大；
当
n
为奇数时，中间两项即第n＋2 1，n＋2 3项的二项式系数
n－1 C2
n，Cn＋2 1n 相等且最大．
(1)(2018·高考全国卷Ⅲ)x2＋2x5 的展开式中 x4 的系数
答案：1 080
3．(2017·高考浙江卷)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人， 副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至 少有 1 名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
解析：法一：分两步，第一步，选出 4 人，由于至少 1 名女生， 故有 C48－C46＝55 种不同的选法；第二步，从 4 人中选出队长、 副队长各 1 人，有 A24＝12 种不同的选法．根据分步乘法计数 原理知共有 55×12＝660 种不同的选法． 法二：不考虑限制条件，共有 A28C26种不同的选法， 而没有女生的选法有 A26C24种， 故至少有 1 名女生的选法有 A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．
(新高考)2020版高考数学二轮复习重点保分专题六小题考法课(一)课件文
7．(2018·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其 服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进 行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽 样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
解析：因为客户数量大，且不同年龄段客户对其服务的评价 有较大差异，所以最合适的抽样方法是分层抽样．
下所示的随机数表选取红色球的 6 个号码，选取方法是从第
1 行第 9 列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个
被选中的红色球号码为
()
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49
把握考情
(1)通过抽样方法、样本的
数字特征估计总体的数字
特征、统计图表，考查数
学运算和直观想象的核心
考 查
素 养
素养 (2)通过随机事件的概率、 古典概型、几何概型，考 查逻辑推理和数学运算的 核心素养
(3)借助回归分析与独立性
检验，考查数学建模和数
据分析、数学运算的核心
素养
诊断学情
(1)对立事件一定是互斥事
4．[借助数学文化考查]《九章算术》第三章“衰分”中有如下 问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一 百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之， 问：各几何？”其意为：今有甲带了 560 钱，乙带了 350 钱， 丙带了 180 钱，三人一起出关，共需要交关税 100 钱，依照 钱的多少按比例出钱，则丙应出________钱(所得结果四舍五 入，保留整数)． 解析：甲持 560 钱，乙持 350 钱，丙持 180 钱，甲、乙、丙 三人一起出关，关税共 100 钱，要按照各人带钱多少的比例 进行交税，丙应出 100×560＋138500＋180≈17(钱)． 答案：17
2020届高考数学二轮复习(文)分层讲义(拔高)：概率与统计
概率及其计算一、考纲解读1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。
2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。
3.掌握古典概型及其概率计算公式。
4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
5.了解几何概型的意义。
二、命题趋势探究1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。
2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下.三、知识点精讲（一）.必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：①必然要发生的事件叫必然事件；②一定不发生的事件叫不可能事件；③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
（二）.概率在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。
对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0（三）.两个基本概型的概率公式1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同()(A)=()A card P A card =Ω包含基本事件数基本事件总数2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为Aμ.()P A =AμμΩ。
（四）.互斥事件1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。
事件A与事件B互斥，则()()()U。
P A B P A P B=+2、对立事件事件A,B互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B对立，记作B A=。
=或A B ()()=-。
1P A p A3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A，B对立”是”事件A，B互斥“的充分不必要条件。
四、解答题总结1．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）2．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．3．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
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第1讲 排列、组合、二项式定理
「考情研析」 1.高考中主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，有时会与概率相结合，以选择题、填空题为主． 2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.
核心知识回顾
1．排列
排列数公式：A m n ＝n (n －1)…(n －m ＋1)＝□
01n ！(n －m )！
(m ≤n ，m ，n ∈N *
)．
2．组合
(1)组合数公式：C m n
＝A m
n A m m ＝□01n (n －1)…(n －m ＋1)m (m －1)…1＝□02n ！m ！(n －m )！
(m ≤n ，m ，n ∈N *
)，由于
0！＝1，所以C 0
n ＝1.
(2)组合数的性质
3．二项式定理 (1)二项展开式 (a ＋b )n
＝C 0
n a n
＋C 1n a
n －1b 1
C n n b n (n ∈N *)．
通项：T k ＋1＝□02C k
n a
n －k b k (k ＝0,1,2，…，n )． (2)二项式系数的有关性质
①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1
n ＋C 3
n ＋C 5
n
＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝□
032n －1； ②若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n
， 则f (x )展开式中的各项系数和为f (1)， 奇数项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝
f (1)＋f (－1)
2
，
偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝□
04f (1)－f (－1)2.
热点考向探究
考向1 两个计数原理
例 1 (1)(2019·哈尔滨市第六中学高三第二次模拟)2020年东京夏季奥运会将设置4×100米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共
计4名运动员参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有( )
A．144种B．24种
C．12种D．6种
答案 D
解析由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有2种安排方法，其他两名运动员有2种安排方法，共计2×2＝4种方法，若甲承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有A22＝2种安排方法，共计2种方法，所以中国队共有4＋2＝6种不同的安排方法．故选
D.
(2)某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有______种选考方法( )
A．6 B．12
C．18 D．24
答案 C
解析①从物化生中选一科，从史地政中选两科，有：C13C23＝9，②从物化生中选两科，从史地政中选一科，有C23C13＝9，所以共有9＋9＝18种．故选C.
(3)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )
A．72种B．48种
C．24种D．12种
答案 A
解析解法一：首先涂A有C14＝4种涂法，则涂B有C13＝3种涂法，C与A，B相邻，则C 有C12＝2种涂法，D只与C相邻，则D有C13＝3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法．解法二：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种
涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．所以不同的涂法共有24＋24×2＝72种．
应用两个计数原理解题的方法
(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．
(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
1．(2019·大兴区高三4月一模)中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种，其相互关系是“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为( )
A．8 B．10
C．15 D．20
答案B
解析由题意知，可看作五个位置排列五个元素，第一位置有五种排列方法，不妨假设是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，有两种选择，不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5×2×1×1×1＝10.故选B.
2．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有( ) A．16种B．18种
C．22种D．37种
答案 A
解析可分为两类，第一类：甲、乙两个盒子恰有一个被选中，有C12C24＝12种；第二类：甲、乙两个盒子都被选中，有C22C14＝4种，所以共有12＋4＝16种不同的情况．故选A.
3．将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有( )
A．48种B．72种
C．96种D．108种
答案 B
解析如图所示，若点B与D处所染颜色相同，则不同的染色方法有4×3×2×2＝48种；。