变参数状态方程下多介质Riemann问题的质量分数方法及应用
riemann积分定义中两个任意性的简化
在Riemann积分定义中，两个任意性是指：
1.划分的方法：对于一个给定的函数及其定义域，可以有无数种方法对其进行划分。
2.划分大小：在一种给定的划分方法中，可以选择任意小的划分大小进行计算。
除此之外，Riemann积分还有一个重要的性质就是可以累加性。
这意味着，对于一个给定的函数和它的定义域，我们可以将它的定义域划分成若干个子区间，分别对每一个子区间求积分，最后将所有子区间的积分相加得到整个定义域的积分。
这种累加性的特点是Riemann积分能够解决复杂函数的积分问题。
简单来说, Riemann积分是一种通过在一个函数图像下分割成若干个小矩形，然后计算这些小矩形面积之和来近似计算一个函数在某个区间上的实际积分值的方法。
这种方法对于函数的连续性并没有要求，可以适用于大部分函数的积分计算。
但是,这种方法并不能给出函数的精确积分值。
Riemann积分的近似性质使其在计算复杂函数积分时有很高的灵活性和适用性，但是在精确计算函数积分时可能存在误差。
在研究高等数学中，Riemann积分是积分理论的基础，被广泛应用于微积分、数学物理等领域。
在实际工程和科学研究中，Riemann积分的近似性也是一种常用的计算方法。
Riemann积分有两种类型，分别为左积分和右积分。
左积分是指对于给定的函数和定义域，将定义域划分成若干个小区间，并将函数在每个小区间左端点处的函数值乘以小区间的长度，最后将所有小区间的积相加。
右积分则是在左积分的基础上改变函数值的取值点，函数值取每个小区间的右端点。
这两种类型的Riemann积分都是近似值, 通常用来近似计算函数的实际积分值。
riemann曲面上耗散双曲几何流的整体经典解
riemann曲面上耗散双曲几何流的整体经典解
耗散双曲几何流是一类广泛应用于流体力学、物理学、数学等领域中的重要数学模型。
其中，riemann曲面上耗散双曲几何流的经典解问题一直是学术界关注的热点问题之一。
riemann曲面是一种二维流形，其上的几何结构非常复杂，并且其流动不可避免地涉
及到曲面上的多项式方程组的求解。
因此，对于这种情况下的耗散双曲几何流问题，其求
解难度更加复杂。
在研究该问题时，许多学者提出了各种不同的思路和方法，但是经典解问题一直无法
得到解决。
直到1986年，Kruglov提出了一种新的方法，通过构造一种新的解析变量来解决该问题。
具体来说，他将riemann曲面上的耗散双曲几何流模型转化为其对应的非线性偏微分
方程组，并通过构造一组新的解析变量来求解该方程组。
最终，他证明了在一定条件下，
该方程组存在整体经典解，并且该解的存在性和唯一性得到了证明。
此外，他还通过对riemann曲面上的物理量及其路径积分的研究，证明了该经典解始
终满足一定的物理约束条件，并在物理上具有合理的解释。
该成果不仅填补了riemann曲面上耗散双曲几何流经典解问题的空白，而且在数学和
物理学交叉领域中也产生了广泛的应用价值。
在浅水方程中利用Riemann问题精确解的数值方法
数学 上 ，初边 值 问题 （ ２～３ ） 称为 Ｒ ｉ ｅ ｍ ａ ｎ ｎ问题 ，其 物
理 意义可 用 一 位 溃 坝 模 型 来 解 释 （ 图１ ） ，此 时 ｕ 和 Ｕ 定 义 为 闸 门左 侧 和 右 侧 的初 始 状 态 ，例 如 Ｕ ＝
［ ｈ ，ｈ Ｌ Ｍ ， Ｌ ｒ ，Ｕ ＝［ ｈ ，｜ Ｉ ！ ｕ ，
Ｕ ＋Ｆ （ Ｕ） ＝ ０ （ ２ ）
＞０
探 讨 多集 中在 改善 近似求 解 器 的 和谐 性上 ，例如 Ｒ ｏ ｅ 、 ＨＬ Ｌ、Ｈ Ｌ Ｌ Ｃ等格 式 。这些 近似 求解 器 主要来 源 于气 体
动 力学 ，是 在 求 解 Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ 方 程 组 时 为避 免 过 于 繁 琐 地
（ １ ． 广 东水 利 水 电职 业技 术 学院 ，广 东 广州 ５ １ ０ ６ ３ ５ ；２ ．长 江 工程 职 业技 术 学院 ，湖北 武 汉
摘
４ ３ ０ ２ １ ２ ）
要 ： 先从 一 维 Ｒ ｉ ｅ ｍ ａ ｎ ｎ问题 解 的 结 构入 手 ，分 别 对 湿 区和 干 区 两种 情 况进 行 分 析 ，得 到 精 确 解 的 解 析 形 式 ， 并 讨 论
结构 入手 ，提 出精 确 解 的数 值 方 法 ，并 用 计 算 模 型进
行 校验 ，显 示 出其具 有 收 敛 快 ，稳 定 性 好 ，精 度 高 的 特点。
１ Ｒ ｉ ｅ ｍ ａ ｎ ｎ问题及 其解 的基 本 结构
门快 速拉 起 后 ，左 侧水 瞬时 向右 侧 跌 落 ，产 生 一 个 向 右 的 、间 断的激 波 。 同时 右侧 水 体 为 阻碍 水 位 突然 变 化 而产 生 向上游 转 递 连 续 的 负 波 ，又 称 为 疏 散 波 。如
高等计算流体力学-06详解
x 0 x 0
Ã称为Roe Jacobian Matrix, Roe要求它满足下列条件：
（A） 双曲性 即Ã 的特征值均为实数，且存在完备的左右特征向量；
（B） 相容性 （C） 守恒性
A(U ,U ) A F (U R ) F (U L ) A(U R U L )
根据这些条件可 确定Ã （先假定 为已知）
U
(
x,
0)
U U
L R
if if
x 0 x 0
v( j) ( j) v( j) 0
t
x
v(
j) ( x,0)
v( v(
j) L
j) R
l( j) l( j)
UL UR
if if
x
0
( j 1,2,
m)
x 0
v(
j)
(
x,
t
)
l(
j)
U
L
l( j) U R
当x/t ( j) 当x/t ( j)
第六讲 Riemann问题的近似解
1
十八、Riemann问题的近似解 Approx. Riemann Solver
2
为什么要研究Riemann问题的近似解?
• 精确求解Riemann问题计算量大；某些双曲 型守恒律的Riemann问题无精确解！
Riemann 积分
n
2
若当 n 越大时, 分割越来越细, 并且当 n → ∞ 时, 调上升趋近于 f , 并且由 Riemann 积分的定义得到
λ = max xi − xi −1 → 0, 则 { f n } 单
1≤i ≤ n
lim ∫ f n ( x)dx = ∫ f ( x)dx.
n→∞ a a
a = x 0 < x1 < L < x n = b
是 [a, b] 的一个分划. 对每个 i = 1, L , k , 令,
mi = inf{ f ( x) : x ∈ [ xi −1 , xi ]} , M i = sup{ f ( x) : x ∈ [ xi −1 , xi ]}.
并且令 λ = max xi − xi −1 . 则 f ( x) 在 [a, b] 上可积的充要条件是
3
一般的函数定义积分. 上述新积分的定义过程并不是轻而易举立即可以实现的. 这里关键的问题是, 对直 线上比区间更一般的集 A 给出一种类似于区间长度的度量 . 这就是本课程要介绍的 Lebesgue 测度理论. 由于测度理论要经常地遇到和集和集的运算, 因此本课程首先要介 绍集合论的知识. 然后介绍测度理论. 由于测度理论并不能给直线上的每个集定义测度, 只能对一部分集即所谓’ 可测集 给出测度, 因此上述简单函数中必须要求每个 A i 是
n→∞
称为是 Cauchy 序列, 若对任意 ε > 0, 存在 N > 0, 使得当 m, n > N 时, d ( f m , f n ) < ε . 有例子表明, 在 R [ a, b] 中并非每个 Cauchy 序列都是收敛的, 即 R [ a, b] 不是完备的空间. 而空间的完备性在泛函分析理论中是非常重要的. 因此 R [ a, b] 不是作为研究对象的理 想空间. 以上几点表明, Riemann 积分有不少缺陷, 这就限制了 Riemann 积分的应用, 因此有 必要加以改进. 二十世纪初, 法国数学家 Lebesgue(1875-1941)创建了一种新的积分理论, 称之为 Lebesgue 积分. Lebesgue 积分理论是 Riemann 积分理论的推广于发展. 并且克服 了 Riemann 积分的上述缺陷. 下面介绍推广 Riemann 积分的大体思路, 为节省篇幅, 这里没有也不可能很完整和 严密的叙述. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续并且 f ( x) ≥ 0. 对 [a, b] 的一个分划
riemann积分及其在计算和式极限中的应用
riemann积分及其在计算和式极限中的应用摘要：1.黎曼积分的概念以及其在Riemann 流形上的应用2.Riemann 积分与普通积分的比较3.Riemann 积分在计算极限中的应用4.结论正文：一、黎曼积分的概念以及其在Riemann 流形上的应用黎曼积分是多元函数在一定区域内的面积型积分。
在Riemann 流形上，我们可以通过Riemann 度量来定义黎曼积分。
Riemann 流形是一个配备有Riemann 度量的可定向流形。
在Riemann 流形上，我们选取一个局部坐标卡，通过局部坐标卡可以将Riemann 流形上的点映射到欧几里得空间上的点。
在欧几里得空间上，我们可以使用普通积分的方法来计算黎曼积分。
二、Riemann 积分与普通积分的比较Riemann 积分与普通积分有一定的差异。
在普通积分中，我们是对一个函数在区间上的取值进行积分，而在Riemann 积分中，我们是对一个函数在流形上的取值进行积分。
由于流形可能是弯曲的，因此Riemann 积分的计算方法与普通积分有所不同。
在Riemann 流形上，我们需要使用Riemann 度量来计算积分。
三、Riemann 积分在计算极限中的应用Riemann 积分在计算极限中有广泛的应用。
例如，设函数f(x, y) 在区域D 上有界，我们可以通过Riemann 积分来计算函数在D 上的总和。
此外，Riemann 积分还可以用于计算曲线的长度、曲面的面积以及流形上的其他物理量。
四、结论黎曼积分是多元函数在Riemann 流形上的面积型积分。
通过对Riemann 流形配备Riemann 度量，我们可以将Riemann 积分转化为欧几里得空间上的普通积分。
广义Chaplygin气体磁流体力学方程组的Riemann问题
ＹＩ Ｎ Ｇａ ｎ， ＸＩ Ｅ Ｊ ｉ ａ ｏ — ｙ ａ ｎ
（ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｘ ｉ ￣ ｉ ａ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｕ ｒ ｕ ｍｑ ｉ ８ ３ ０ ０ ４ ６ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ｆｕ ｒ ｔ ｈ ｅ ｒ ｍｏ ｒ ｅ ，ｔ ｈ ｅ ｂ ｅ ｈ ａ ｖ ｉ ｏ ｒ ｏ ｆ ｒ ａ ｒ ｅ ｆ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗａ ｖ ｅ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｓ ａ ｎｄ ｓ ｈ ｏｃ ｋ ｗａ ｖ ｅ ｃ ｕｒ ｖｅ ｓ ａ ｒ ｅ
ｃ ｏ ｎｓ ｉ ｄ ｅ ｒ ｅ ｄ ｉ ｎ ｄｅ ｔ ａ ｉ ｌ ．
２ ０ １ ０ 数学分类号 ３ ５ Ｌ ６ ５ ； ３ ５ Ｌ ６ ７ ； ７ ６ Ｎ１ ５
中图分类号 Ｏ１ ７ ５ ． ２ ７
文献标志码 Ａ
பைடு நூலகம்
文章编号 １ ０ ０ ６ — ６ ３ ３ ｏ （ ２ ｏ １ ３ ） ｏ ４ — ０ ５ ０ ８ — ０ ９
Ｒｉ ｅ ｍａ ｎｎ ｐｒ ｏ ｂｌ ｅ ｍ ｆ ｏ ｒ ｇ ｅ ｎｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ Ｃｈａ ｐｌ ｙ ｇｉ ｎ
Ｋｅ ｙ ｗ ｏｒ ｄｓ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ Ｃｈ ａ ｐｌ ｙｇ ｉ ｎ ｇ ａ ｓ ；ｒ ａ ｒ ｅ ｆ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗａ ｖ ｅ ；ｓ ｈｏ ｃ ｋ ｗａ ｖ ｅ ；Ｒｉ ｅ ｍａ ｎｎ ｐｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ
２ ０ １ ０ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ Ｓｕ ｂ ｊ ｅ ｃ ｔ Ｃｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｉ ｆ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ３ ５ Ｌ ６ ５ ； ３ ５ Ｌ ６ ７ ； ７ ６ Ｎ１ ５
一种带对称性源项多介质界面高阶处理方法[发明专利]
![一种带对称性源项多介质界面高阶处理方法[发明专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/853f1fe609a1284ac850ad02de80d4d8d05a015b.png)
专利名称：一种带对称性源项多介质界面高阶处理方法专利类型：发明专利
发明人：刘铁钢,张孝涛,冯成亮,于长胜,曾志强,袁炜雄申请号：CN202111552023.X
申请日：20211217
公开号：CN114254573A
公开日：
20220329
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明公开了一种带对称性源项多介质界面高阶处理方法，包括：读取流场数据，获取多介质界面处两侧的物理量的状态值及一阶空间导数，建立界面处的多介质Riemann问题以及具有线性初值分布的带对称性源项多介质广义Riemann问题；求解两个问题分别获得界面两侧物理量的预测值和一阶空间导数的预测值；在界面两侧建立两个虚拟区域分别作为两种介质的边界区域，使用获得的预测值对两个虚拟区域进行线性赋值，将原多介质问题解耦为两个单介质问题，采用时间离散方法在时间上推进，分别计算。
通过本发明的方法处理多介质耦合问题，能保持界面处的速度与压强平衡，符合真实的多介质耦合问题的物理特性，有效地保持了二阶精度，具有较高的应用价值。
申请人：北京航空航天大学
地址：100191 北京市海淀区学院路37号
国籍：CN
代理机构：北京天汇航智知识产权代理事务所(普通合伙)
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变参数状态方程下多介质Riemann问题的质量分数方法及应用近些年来,多介质的Riemann问题已成为一个热点课题。
这个问题主要的难点是由间断的界面所造成的。
由于界面两边,流体的状态和性质都不一样,因此很难模拟界面附近的流体运动,尤其是带有复杂状态方程的介质所构成的界面。
针对间断界面的问题,虽然目前已发展出了多种数值模型,但它们中的有很多是用固定参数的状态方程来描述流体介质。
而适应变化参数形式的状态方程的数值算法仍然发展得很慢,原因是很难维持介质之间的压力平衡。
目前,这个压力平衡条件主要是通过在计算中添加额外的程序来实现。
但是,这些额外的程序使计算变得复杂,特别是包含三种以上介质的流场。
为此,我们做了许多工作,为的是寻求一种简便而又有效的方法来解决多介质界面问题。
本文提出了一种改进形式的基于质量分数的多介质Mie-Gruneisen混合体计算模型。
这种计算模型将一般形式的状态方程改写成包含变化参数的
Mie-Griineisen形式。
Mie-Gruneisen状态方程使用了随密度变化的热力学参数,使得它应用更加灵活,但它的缺点是表达式稍显复杂。
为了简化计算步
骤,Mie-Griineisen状态方程中的可变参数作为独立的变量引入计算中,这些参数的求解将由新添加的辅助方程来完成。
这样,Riemann问题可以由原始的欧拉方程和新的辅助方程联立求解。
对于多介质的流场,一种比较有效的做法是将流体的混合物看成是一个整体,然后用色函数来区分流体中的不同介质。
这里,我们选用质量分数作为色函数,且仍通过欧拉方程和相应的辅助性方程来完成多介质问题的求解。
考虑到流体中含有多种不同的介质,辅助性方程的构建来源于一种扩散式的平衡。
这种扩散式的平衡基于一种近似的混合流体模型,它和流体中的各种成分通过质量分数联系起来。
质量分数起到的作用是用光滑的过渡来代替数值的间断,确保数值解无发散。
为完成整个求解系统,我们添加了关于计算质量分数的输送方程。
这样,整个求解系统包括三个部分：原始的欧拉方程,关于新构造变量的辅助性方程和输送方程。
这种Mie-Griineisen质量分数模型形式简单,且易于扩展到包含三种以上介质的Riemann问题中。
利用Mie-Griineisen质量分数模型,本文研究了气水剧
烈作用下的Riemann问题。
对于水下爆炸中气水的强冲击问题,这里考虑水在不同情况下的参考状态。
当水被压缩时,参考状态选用Hugoniot冲击曲线；当水膨胀时,参考状态用Murnagham等熵曲线代替。
这样,水的状态方程就表达成一种关于密度的分段形式的状态方程。
这样一种分段形式的状态方程,很重要的一点就是必须利用水的密度来判断其状态。
利用基于质量分数的混合体模型,可以直接导出水的密度,从而不需要添加其他程序。
随后我们给出了一些数值计算实例。
通过计算值和实验值的对比,证实了Mie-Gruneisen质量分数模型在气水强冲击问题中能得到比较准确的数值解。
本文还利用Mie-Gruneisen质量分数模型研究了水下爆炸中的流体—固体相互作用问题。
爆炸冲击波对刚性体和弹性体的冲击,本文都进行了研究。
对于刚性体,将物体的表面考虑成边界,并设定了全反射边界条件。
这一条件是通过在刚性体内部设定镜像质点来实现的。
而弹性体则用
Mie-Griineisen状态方程来描述,参考状态为Hugoniot曲线。
对于弹性体的物理模型,本文通过爆轰激波管实验证实了其可靠性。
然后,利用这个模型模拟了一些二维的水下爆炸问题。
在模拟过程中,本文还对结构体的变形,二次冲击波等情况作了特别的研究。
本文对水下爆炸问题中,物体表面防护层的保护作用进行了研究。
将炸药,水,防护层和结构体用统一形式的Mie-Griineisen状态方程来描述以后,再用
Mie-Griineisen质量分数模型可以很方便地对各种物质之间的相互作用进行模拟。
随后,我们对防护层的效果进行了研究。
研究发现,当结构体表面被防护层覆盖以后,爆炸的冲击波冲击防护层时会对其后的结构体形成二次激波或稀疏波。
二次波性质(激波或稀疏波)由防护层的冲击阻抗所决定,阻抗高于水,则出现激波；阻抗低于水,则出现稀疏波。
而防护层只有当板层材料的冲击阻抗小于水的时候才能发挥对结构体的保护作用。
另外,当防护层满足条件时,可压缩的结构体也能受到防护层的保护作用。
这时,在使用了防护层以后,结构体的变形将得到缓和。
对于起保护作用的防护层,本文还研究了防护层厚度和炸药距离的影响,结果表明,它们主要影响第二次冲击波的防护效果,但对主冲击波的防护效果影响不大。