状态变量
动态电路的状态变量分析
电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)。 即电路独立状态变量的个数
（1）无源（RLC）电路的复杂度为n = nC + nL lC qL （2）有源电路复杂度的上下限为0 n nC + nL lC qL
L1
L2
R6 uC3 C3
R8 R9 uR9
uC 4 C4 R7 uR7
（2）列写基本割集1和2的KCL方程
du L1ddiLt1uC3uC4uR6uR7uR9
C4
C dt i i L2ddiLt2uC4uR7uR8uR9
4
L1 L2
1
割集2
2
6
回 路1
5
3
8
回路 2
4
7
9
C3
duC 3 dt
iL1
（1）当w = 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；
（2）当w 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应；
（3）当w 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
iL , uC
uC
(I0 ,U0 ) iL
O
t 0 (I0,U0)
t O t
iL
uC
(a) 过阻尼情况的时域波形
(b) 过阻尼情况的状态空间轨迹
直接观察
列写方法
不太复杂的电路 置换方法
系统法 复杂的电路
这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。
一、直接观察法 步骤
(1) 选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支路） 而不含电感（和无伴电流源支路）。
(2) 对每个电容树支确定的基本割集列写KCL方程；对 每个电感连支确定的基本回路列写KVL方程。
15.状态变量的概念
状态变量的概念在采用状态变量方法来分析系统时，系统可以用一组描述系统状态变量的一阶微分方程或差分方程来表述。
系统的分析和设计可以通过求解一组一阶方程的方法来完成，而不需要求解一个高阶方程。
这种方法使得问题得到简化，并且在使用数字计算机求解时具有一些优点。
状态变量方法也是最优控制的基础。
系统的状态表示什么呢？定性来说，系统得状态指的是系统最初的、当前的和未来的行为。
定量来说，状态定义为的一个变量最少的组，用x1(t0) 、x2(t0)来表示，初始时刻为t=t0，初始状态和给定输入为u1(t)一起决定系统未来任何时刻的状态。
因此我们可以将系统的状态看成是系统的过去、现在和未来的行为。
系统的状态变量是什么呢？这些状态变量定义为描述系统状态的最少的一组变量。
其物理意义为，状态变量x1(t0) 、x2(t0)描述了基于过去的系统的初始状态。
另外，状态变量组描述了系统在输入u1(t)作用下的系统的行为。
输入和系统的初始状态一起决定的行为。
需要指出的是，系统地状态变量并不一定是系统的输出，并且也不一定是可达的、可测的、可观测的或可控的。
状态向量表示什么呢？状态向量是用系统的n个状态变量描述系统动态特性的向量。
因此，给出初始状态和输入信号，系统的状态向量就完全定义了系统在t>t0时的状态。
状态空间是什么呢？状态空间指的是一个n维的包括x1(t0)、x21(t0)等轴的空间，一个具体的状态是状态空间中的一个点。
促使人们使用状态变量模型的动力是状态变量可以描述系统动态，它包含了n阶系统的输入和输出的关系，系统输入和输出的关系是用n个一阶微分方程来表示的。
这些方法有下列优点：1．在数字计算机中，一组n个一阶微分方程或差分方程的解比和此方程组相对应的高阶微分方程和差分方程更容易求得。
这便于在数字计算机上进行高阶系统的计算机辅助分析和设计。
应该注意Laplace变换/传递函数/方块图都不便于作计算机辅助分析和设计。
第八章 系统的状态变量分析法
x1
-an-1 -an-2
b0
-am
-a2
-a1
-a0
Y(s)
输出方程：
y ( t ) b 0 x 1 b 1 x 2 b 2 x 3 . . b n . 1 x n b n x n
状态方程不变。 输出方程：
y(t)(b0bna0)x1(b1bna1)x2(b2bna2)x3 ...(bn1bnan1)xnbne(t)
. . .
x n 1 a n 1 x 1 x n ( b 1 a 1 b n ) e ( t) x n a 0 x 1 (b 0 a 0 b n )e (t)
称为Kalman形式2。
Ex. 1 写出系统的状态方程。
H(s)s36ss241s15
...
1
xn1
0
... an1 xn 1
x1 A
B
y(t)b0,b1,b2..b.m0..0. ...
C
xn
D0
当m=n时： bn
E(s) 1
S 1
xnS
1
xn-1
xm+1
x3
b2
S 1x2
b1 S
1
解：
x1 0 1 0 0
x20 0 1 x20e(t)
x3 5 116 x3 1
x1
y(t) 4
1
0
x2
x3
或：
x1 6 1 0 x1 0
C
xn
0 x1 0
0
x2
0
.. ...... e(t)
1
xn1
b1
状态变量分析
RiL (t)
vs
（3）消除中间变量 vC2，将 vC2 vS vC1 代入，得
C1
d vC1 dt
iL
C2
d(vS vC1 ) dt
0
（4）整理，得
diL dt
R L iL
1 L vC1
1 L vS
d
vC1
dt
1 C1 C2
iL
C2 C1 C2
dvS dt
写成矩阵形式，为
diL
x2
dx1 dt
(b1 a1b2 ) f
dy dt
b2
df dt
(b1 a1b2 ) f
正如前面所述，状态变量的选取可以是多种形式的。
输出方程为 y x1 b2 f
写成矩阵形式，为
y 1
0
x1 x2
b2
f
7.2.4 从模拟图建立状态方程
根据系统的输入－输出方程或系统函数可以作出系 统的时域或复频域模拟图，然后选择每一个积分器的输 出端信号作为状态变量，最后得到系统的状态方程和输 出方程。
信号与系统
第七章 状态变量分析
第七章 状态变量分析
状态变量分析概述 7.1 状态与状态空间 7.2 连续系统状态方程的建立 7.3 系连续系统状态方程的 本章要点
状态变量分析概述
系统的描述方法 – 输入－输出描述法、状态变量描述法
输入－输出描述法（端口分析法、外部法） – 用系统的输入－输出变量之间的关系来描述系统的 特性； – 数学模型是 n 阶微分（或差分）方程。
方程。
iS (t)
解 选取 vC (t) 和 iL (t) 为状态变量， 它们都是独立的状态变量。
vC
(t)
状态变量的特点
状态变量的特点状态变量是指在程序或系统中用于存储和表示程序执行过程中的特定状态的变量。
它们具有以下特点：1. 存储状态信息：状态变量用于存储程序或系统的当前状态。
这些状态可以是程序执行过程中的中间结果、用户输入的数据、系统配置信息等。
通过使用状态变量，程序可以在执行过程中记录和更新状态信息，以便根据不同的状态做出相应的决策和操作。
2. 可变性：状态变量的值可以随着程序的执行而发生变化。
在程序执行过程中，状态变量的值可能会被更新、修改或重置。
这种可变性使得程序可以根据不同的状态来执行不同的操作，从而实现复杂的逻辑和功能。
3. 作用域：状态变量的作用范围通常限于特定的代码块或函数。
在程序中，状态变量可以被声明为全局变量或局部变量，具体取决于其在程序中的使用需求。
全局状态变量可以在整个程序中被访问和修改，而局部状态变量只能在其所在的代码块或函数中被访问和修改。
4. 相关性：状态变量之间可能存在依赖关系或关联关系。
一个状态变量的值可能会影响其他状态变量的取值或行为。
通过建立状态变量之间的关联关系，程序可以实现状态的传递和传递，从而实现复杂的逻辑和功能。
5. 持久性：状态变量的值在程序执行过程中可以持久存在。
即使程序暂停执行或重新启动，状态变量的值也可以被保留下来。
这种持久性可以用于存储程序的历史状态或用户的选择，从而实现更高级的功能和交互。
6. 可见性：状态变量的可见性决定了其他部分是否能够访问和修改该变量。
在程序中，可以使用不同的访问修饰符来控制状态变量的可见性，例如public、private等。
通过限制状态变量的可见性，可以保护其值不被非授权的部分修改或访问。
7. 一致性：状态变量的值应该与程序或系统的实际状态保持一致。
在程序执行过程中，应该通过更新和修改状态变量的值来反映真实状态的变化。
通过保持状态变量的一致性，可以确保程序按照预期的方式执行，并产生正确的结果。
状态变量是用于存储和表示程序或系统状态的变量，具有存储状态信息、可变性、作用域、相关性、持久性、可见性和一致性等特点。
第七章 系统的状态变量分析法
•
X AX BF
Y CX DF
由H ( s )写状态方程的规律： A矩阵：n n.第n行的元素即为 H ( s )分母多项式的系数
a0 ,a1 an1的负值，其它各行除对 角线右边 的元素为1外，其余均为 0。 B矩阵：n 1.最后一行为1，其余均为 0。
C矩阵：1 n.前m＋1个元素即为H ( s )分子多项式的系数 b0 ,b1bm的值，其n m 1个元素均为0。
y(t) b0x1(t) b1x2(t)
y"(t) a1 y' (t) a0 y(t) b1e' (t) b0e(t)
x1'(t) x2'(t)
0
a0
1 a1
x1(t) x2(t)
0
1
e(t)
y(t) [b0 b1]xx12((tt))
et
q' '
x2 '(t)
q'
x2 (t)
例2：已知一系统函数bs33s
3 b2s a2s2
2 b1s b0 a1s a0
解：此时：m n b3
b2
es
s3q(s) sx3 (s)
1 s2q(s) s x3(s)
1 sq(s) s x2 (s)
b1
1 q(s)
s x1(s)
b0
a2 a1
a0
ys
x1' ( t ) 0 1 0x1( t ) 0
dx1 dt
us
1 c
x2
dx2
dt
1 L
x1
R L
x2
上例说明:
状态变量的选择不是唯一的,但对于一个具体系统
而言,不论如何选择,状态变量的个数总是相等的.
第八系统的状态变量分析
对于离散系统也可以用状态变量分析。设有阶多输入多输出 离散系统如图：
... f1 k
f2 k fn k
{xi k0 }
...
y1 k
... y2 k yn k
其状态方程和输出方程为
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§8.2 状态方程的建立
一.电路状态方程的列写 （1）选所有的独立电容电压和电感电流作为状态变量；
t
f
t
uC
t
1 C
t -
iL
t
dt
d dt
uC
t
1 C
iL
t
d
dt d
dt
iL
t
-
R L
iL
t
uC
t
1 C
iL
t
-
1 L
uC
t
1 L
e t
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写为矩阵形式：
d dt
iL
t
R L
d dt
vC
t
1 C
-
1 L
0
iL t
vC
t
1
L
0
f
t
iL t、uc t
一．状态方程的时域解
求解矢量差分方程的方法之一是迭代法或递推法。但用 递推法一般难以得到闭合形式的解，所以，一般而言可 用迭代法解状态方程式。
例题 某离散系统的状态方程为
1
x1 x2
k k
1 1
2 1
4
0
1
x1 k
x2
k
1 0
c1n c2n
c nn
x1 x2 x3
k k k
d11 d21 dn1
电路-第10章 状态方程
10.1 状态变量和状态方程(1)状态及状态变量的概念状态：电路状态指在任何时刻必需的最少量的信息，它们和自该时刻以后的输入（激励）足以确定该电路此后的性状。
状态变量：描述电路状态的一组变量，这组变量在任何时刻的值表明了该时刻电路的状态。
状态变量的选取方法：电路变量选取不是唯一的，对于动态电路，动态变量的个数与动态元件的个数相同，常取电感中的电流和电容上的电压作为动态变量。
10.1 状态变量和状态方程(2)状态方程图示电路，以电容上的电压和电感中的电流为状态变量列出方程：写成矩阵形式：10.1 状态变量和状态方程状态方程标准形式：——n维状态变量列向量——n维状态变量列向量对时间的一阶导数V——r维输入（激励）列向量B——为nXr阶常数矩阵10.1 状态变量和状态方程(3)输出方程对电路的输出变量列写的方程即为输出方程。
例如，如图示，我们关心的是电流i和R2电阻上的电压，则输出方程为：写成矩阵形式：输出方程的一般形式：式中，X,Y分别是状态变量和输出变量列向量；C,D是常数矩阵。
10.2 状态方程列写方法(1)观察法对简单电路通过观察列写状态方程。
方法是：对含C的结点列写KCL，对含L的回路列写KVL。
如图所示，对结点①列KCL对回路1列KVL:即：写成矩阵形式：10.2 状态方程列写方法(2)叠加法基本思路：用电压源代替电容，用电流源代替电感，然后用叠加定理求电容中的电流和电感中的电压。
如图右上图所示，用电压源替代电容用电流源替代电感后得到右下图。
10.2 状态方程列写方法10.2 状态方程列写方法(3)拓扑法对复杂电路，借助网络图论列写状态方程，称为拓扑法。
拓扑法基本思路：A、将图中的每个元件看成一条支路。
B、选一棵常态树：树支包含的有电压源支路和电容支路和一些必要的电阻支路，不含任何电感支路和电流源支路。
当电路存在由电压源和电容构成的回路以及不存在由电感的电流源构成的割集时，这样的常数树是存在的。
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y(n) (b2 b0a2 )
(b1
b0a1
)
w1 w2
(n) (n)
b0
x(n)
上面两式分别称为此二阶网络的状态方程和输出方程，分别表 示输入与状态变量的关系和输出与状态变量的关系。
状态方程左端是n+1时刻的状态变量的值，它由输入信号、系 统参数以及n时刻的状态变量值确定。
带入2)式
Y (z) CzI A 1 BX (z) dX (z)
则
H (z) Y (z) CzI A1 B d
X (z)
A1 A* det(A)I 为NxN单位矩阵来自例 0 1 0
A
a2
a1
,
B
1
C b2 a2b0 b1 a1b0 , d b0
单输入单输出的情况：
d
x(n)
W(n 1) W(n)
y(n)
B
z 1
C
A
W(n), W(n 1) 是状态矢量，A矩阵是 W(n) 到 W(n 1) 那些支路增 益组成的矩阵
aij 表示第j个状态变量节点wj (n) 到第i个状态变量节点wi (n 1) 的支路增益
• B矩阵是输入x(n)到状态矢量 W(n 1) 的支路增益组成的系 数矩阵
用n代替n’ nn0 W(n) Ann0 W(n0 ) Al1Bx(n l) l 1 第一项与输入无关，成为零输入响应；第二项与初始状态无 关，称为零状态响应。由系统的输出方程
y(n) CW(n) dx(n)
则系统的单位抽样响应
h(n) CW(n) d (n)
输出方程
y(n) 1.5
0.514
w1(n)
0.11
w2
(n)
2
x(n)
w3 (n)
例
3
H (z) ai zi i0
有限长脉冲响应直接型网络结构，在延时支路输出端 建立状态变量 w1(n), w2 (n), w3(n)
x(n) 2
z1 w1(n) z1 w2 (n) z1 w3 (n)
一般的二阶网络的状态方程和输出方程可表示为： W(n 1) AW(n) Bx(n)
y(n) CW(n) Dx(n)
如果系统中有N个单位延时支路，M个输入信号，
x1(n), x2 (n),L , xM (n)
L个输出信号， y1(n), y2 (n),L , yL (n)
则状态方程和输出方程分别为：
a22
a12 L a1N
b11
a21 L
a2 N
,
B
b22
M
b12 L b21 L
b1M
b2 M
M
aN1 aN 2 L
aNN
bN1 bN 2 L
bNM
c11 C c22
c12 L c1N
d11
c21 L
c2
N
• 状态变量节点的选择 确定一组最少的节点变量，只要已知输入信号和n0 时刻这些节点的变量值，就可以计算出 n n0时 刻的输出信号以及系统内部任意节点变量的值。 这样的一组最少的节点变量定位状态变量。
• 一般状态变量选在基本信号流图中单位延时支路 输出节点处
w1(n) w2 (n 1)
H
(z)
2
1
1 z1 0.5z1
1 1.414 z 1 1 0.9z1
0.7z2 0.81z 2
画出级联型网络结构，在延时支路输出端建立状态变量
w1(n), w2 (n), w3(n)
写出状态变量 w1(n 1), w2 (n 1), w3(n 1) 的节点方程
a12
w2
(n)
b1
x(n)
w2
(n)
a22
w1
(n)
a21w2
(n)
b2
x(n)
y(n) c1w1(n) c2w2 (n) dx(n)
w1(n
w2
(n
1) 1)
a11 a22
a12 a21
w1 (n) w2 (n)
1
z2 a1z a2
b2 a2b0
b0 z2 b1z b2 z2 a1z a2
b0 a0
b1 z 1 a1 z 1
b2 z2 a2 z2
b1
a1b0
1 z
b0
利用参数矩阵求单位抽样相应
W(n 1) AW(n) Bx(n)
,
D
d
22
M
d12 L d21 L
d1M
d2M
M
cL1 cL2 L
cLN
dL1 dL2 L
d LM
• A、B、C、D都是常数矩阵，称参数矩阵。维数分别是
N N,M M,LN,LM
W(n) 是N维状态矢量 X(n) 是M维输入信号
Y(n) 是L维输出信号
n n0
W(n0 1) AW(n0 ) Bx(n0 )
n n0 1
W(n0 2) AW(n0 1) Bx(n0 1) A2W(n0 ) ABx(n0 ) Bx(n0 1)
n n0 k W(n0 k 1) AW(n0 k) Bx(n0 k) Ak1W(n0 ) AkBx(n0 ) Ak1Bx(n0 1) L ABx(n0 k 1) Bx(n0 k)
列出所有节点的变量方程，找出状态变量 wi (n 1)与 wi (n)
和输入 x(n) 之间的关系，并用矩阵方程表示
找出输出信号y(n)与状态变量 wi (n) 以及输入信号的关系， 并用矩阵方程表示
利用参数矩阵求系统函数
W(n 1) AW(n) Bx(n) y(n) CW(n) dx(n)
bi 表示由输入节点到 wi (n 1) 节点的支路增益 • C矩阵是状态矢量 W(n) 到输出节点y(n) 的支路增益组成的
系数矩阵
ci 表示从状态变量节点 wi (n)到输出节点的支路增益
• d表示输入节点到输出节点的支路增益
例
H
(z)
2(1 z1)(11.414z1 0.7z2 ) (1 0.5z1)(1 0.9z1 0.81z2 )
x(n) 2
z 1
0.5
1
w1 (n)
y(n)
z 1
0.9
1.414
w2 (n) z1
0.81
0.7
w3 (n)
w1(n 1) 0.5w1(n) 2x(n) w2 (n 1) w1(n 1) w1(n) 0.9w2 (n) 0.81w3(n)
1.5w1(n) 0.9w2 (n) 0.81w3(n) 2x(n) w3 (n 1) w2 (n)
求系统函数
zI
A
z a2
1
z
a1
zI
A 1
z(z
1 a1)
a2
z a1
a2
1
z
zI
A 1
B
z(z
1 a1)
a2
z a1
a2
1
z
0 1
z2
1 a1z
a2
1
z
H (z) CzI A 1 B d
a1w2
(n)
x(n)
y(n) (b2 b0a2 )w1(n) (b1 b0a1)w2 (n) b0x(n)
w1(n w2 (n
1) 1)
0
a2
1 a1
w1 w2
(n) (n)
0 1
x(n)
W(n 1) AW(n) BX(n)
式中
Y(n) CW(n) DX(n)
W(n) w1(n) w2 (n) L wN (n)T X(n) x1(n) x2 (n) L xM (n)T Y(n) y1(n) y2 (n) L yL (n)T
a11
A
W(n) 采用零状态响应代替，令 n0 0
n
h(n) C Al1B (n l) d (n) l 1
0 d
n
C Al1B
l1
n0 n0
n0
已知状态变量分析法的四个参数矩阵，可以求单位抽 样响应
例 求如图所示的N阶FIR网络德系统函数及单位抽样响应
令 n n0 k 1 则 k n n0 1
W(n) Ann0 W(n0 ) Ann0 1Bx(n0 ) Ann0 2Bx(n0 1) L ABx(n 2) Bx(n 1)
nn0
W(n) Ann0 W(n0 ) Al1Bx(n l) l 1
一般的二阶网络基本信号流图
a11
w1(n)
z 1
w1 (n)
b1 x(n)
a12
c1