§8.1 状态变量与状态方程 信号与线性系统分析(4版)电子教案
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《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
信号与系统(精编版)第8章 系统的状态变量分析
第8章 系统的状态变量分析
6
8.1.2 由电路引出系统的状态方程与输出方程
先从一个具体电路(系统)的例子看方程的列写。图8.1-2(a) 为二阶电路(系统)，图中is(t)为激励源(输入)，u(t)、iC(t)为两 个响应(输出)。从系统的观点看，该电路属于单输入两个输 出的系统，如图8.1-2(b)所示。
可将状态方程与输出方程分别写为更简洁的矢量矩阵形式，
即
(8.1-14)
(8.1-15)
第8章 系统的状态变量分析
19
式中
第8章 系统的状态变量分析
20
分别为状态矢量、状态矢量的一阶导数矢量、输入矢量
和输出矢量。其中上标T表示转置运算。
第8章 系统的状态变量分析
21
2. 离散系统的动态方程
图8.1-4是n阶离散系统的示意框图，它同样有p个输入， q个输出。对于离散系统，有关状态、状态变量的概念与连续 系统类似，因为离散信号定义的特殊性，致使状态变量、输
选择了uC、iL作为状态变量列写了状态方程式(8.1-8)， 我们亦可选择iC、uL作为该电路的状态变量列写出另外形式 旳状态方程。事实上，对于二阶系统，如果它的状态变量用
x1，x2来表示，则这组变量的各种线性组合
(8.1-18a)
(8.1-18b)
第8章 系统的状态变量分析
26
(3) 状态空间与状态轨迹概念。 为了使读者能够形象直观地接受状态轨迹概念，我们 对图8.1-2(a)电路简化配置参数：令RL=RC=0，L=0.5 H， C=0.5 F，uC(0)=0，iL(0)=0，is=1 A，解得状态变量
入、输出都是序列，状态方程表现为状态变量的一阶前向差
分方程组；输出方程更是与连续系统的输出方程形式上类似，
信号与系统分析第八章 系统的状态变量分析
对于一般情况而言， 连续动态系统在某一时刻t0的状 态， 是描述该系统所必需的最少的一组数x1(t0)， x2(t0)， …， xn(t0), 根据这组数和t≥t0时给定的输入就可以唯一地确定在 t≥t0的任一时刻的状态及输出。 这组描述系统状态随时间变 化所必需的数目最少的一组变量x1(t)、x2(t)、 …、 xn(t), 就 称为系统的状态变量。 状态变量
8.1 状 态 方
8.1.1
在状态变量分析法中， 首先需要选择一组描述系统的 关键性变量， 这组关键性变量称为描述系统的状态变量。 状态变量的选择必须使系统在任意时刻t的每一输出都可由 系统在t
为了说明状态变量和状态方程的概念， 首先分析图8.1 所示的包含两个动态元件的二阶系统， 输入us (t)为电压源， 输出为uL(t)
第八章 系统的状态变量分析
输入-输出分析法和状态变量分析法都是分析、 研 究系统特性的基本方法， 只是分析的角度不同。 一个 是从系统外部特性进行分析， 而另一个则是对系统内 部变量进行分析研究， 两种方法互为补充。 本章仅研 究线性时不变系统状态方程的建立、 求解以及可控制 性和可观测性。
第八章 系统的状态变量分析
y1(t) c11
y2 (t)
c21
y p (t) cq1
c12 c22
cq2
c1n
c2n
cqn
x1(t)
x2 (t
)
d11 d 21
xn (t) dq1
d12 d 22 dq2
d1 p d2p
f1 (t ) f2 (t)
dqp f p (t)
类似地， 对于线性离散系统， 也可以写出系统的状态方程
设一个n阶多输入 - 多输出线性离散系统， 它的p个输入为
8.1 状 态 方
8.1.1
在状态变量分析法中， 首先需要选择一组描述系统的 关键性变量， 这组关键性变量称为描述系统的状态变量。 状态变量的选择必须使系统在任意时刻t的每一输出都可由 系统在t
为了说明状态变量和状态方程的概念， 首先分析图8.1 所示的包含两个动态元件的二阶系统， 输入us (t)为电压源， 输出为uL(t)
第八章 系统的状态变量分析
输入-输出分析法和状态变量分析法都是分析、 研 究系统特性的基本方法， 只是分析的角度不同。 一个 是从系统外部特性进行分析， 而另一个则是对系统内 部变量进行分析研究， 两种方法互为补充。 本章仅研 究线性时不变系统状态方程的建立、 求解以及可控制 性和可观测性。
第八章 系统的状态变量分析
y1(t) c11
y2 (t)
c21
y p (t) cq1
c12 c22
cq2
c1n
c2n
cqn
x1(t)
x2 (t
)
d11 d 21
xn (t) dq1
d12 d 22 dq2
d1 p d2p
f1 (t ) f2 (t)
dqp f p (t)
类似地， 对于线性离散系统， 也可以写出系统的状态方程
设一个n阶多输入 - 多输出线性离散系统， 它的p个输入为
8.系统分析的状态变量法_信号与系统
8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
信号与线性系统分析(第四版)
信号与线性系统分析（第四版）：探索信号处理的数学基石一、信号与线性系统的基本概念在信息技术飞速发展的今天，信号与线性系统分析已成为电子工程、通信工程等领域不可或缺的基础知识。
本版书籍旨在为您提供一个清晰、系统的学习路径，帮助您深入理解信号处理的理论与实践。
1. 信号的定义与分类（1）确定性信号与随机信号：确定性信号在任意时刻都有明确的函数值，而随机信号则具有不确定性。
（2）周期信号与非周期信号：周期信号在时间轴上呈周期性重复，而非周期信号则不具备这一特性。
（3）能量信号与功率信号：能量信号在有限时间内具有有限的能量，而功率信号则具有有限的功率。
2. 线性系统的特性（1）叠加原理：多个输入信号经过线性系统处理后，其输出信号等于各输入信号单独处理后的输出信号之和。
（2）齐次性原理：输入信号经过线性系统放大或缩小后，输出信号也会相应地放大或缩小。
二、线性时不变系统描述1. 冲激响应与卷积积分冲激响应是描述LTI系统特性的重要工具。
通过冲激响应，我们可以利用卷积积分求出系统对任意输入信号的响应。
2. 系统函数与频率响应系统函数是LTI系统在频域的描述方式，它揭示了系统对不同频率信号的响应特性。
频率响应则是对系统函数在特定频率下的直观展示。
3. 状态空间描述状态空间描述是一种更为全面的LTI系统描述方法，它将系统的内部状态与输入、输出联系起来，为分析和设计复杂系统提供了有力工具。
三、信号的傅里叶分析1. 傅里叶级数傅里叶级数将周期信号分解为一系列正弦波和余弦波，揭示了周期信号在频域的组成。
2. 傅里叶变换傅里叶变换将时间域的非周期信号转换为频域信号，为信号处理提供了强大的分析工具。
四、拉普拉斯变换与z变换的应用1. 拉普拉斯变换拉普拉斯变换将时间域的信号转换到复频域，它是分析线性时不变系统在复频域特性的关键工具。
在本版书籍中，我们将探讨：（1）拉普拉斯变换的基本性质和收敛域。
（2）利用拉普拉斯变换求解微分方程和积分方程。
信号与系统第八章系统的状态变量分析
X(s)
H(s)
Y(s)
看出简单的方框图，变成流图形式是用一有始有终的 线段表示。起始点标为X(s),终点标为Y(s).
4、流图中的名词
结点：表示系统中变量或信号的点。 线段（支路）：两个结点之间的定向线段，表示信 号传输的路径。 箭头：表示信号的传输方向；
转移函数： 两个结点之间的增益称为转移函数，标 注在箭头附近。
三状态方程引入??t??????t????1111lldrdtddlll0ietit????????????????????????????????????????????????????????????状态方程?在状态空间分析方法中将状态方程以矢量和矩阵形式表示
第八章 系统的 状态变量分析
本章的主要内容
有二种方法。第一种方法：把所有输入支路增益除以 -G H （1+G2H2）
1 2
1 G2 H 2
X
H1 H 2 1 G2 H 2
1
X2 X3
-G3
X5 X4 H4 -G 4
1
H3
Y
另一种方法是把输出支路增益除以（1+G2H2）。
这两种方法等同。
H1 H 2
-G1 H 2 -G3
1
X2
X5 X4 H4 -G 4
H1 H 2 H 3 H 4 (1+G 2 H 2 ) (1+G3 H 3 )
1
X
Y
G4H 4 1+G3 H 3
并联环路增益相加。
H1 H 2 H 3 H 4 (1+G 2 H 2 ) (1+G3 H 3 ) -G1 H 2 H 3 H 4 G4 H 4 (1 G2 H 2 ) (1 G2 H 2 )(1 G3 H 3 )
信号与系统教案第8章参考幻灯片
状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。
状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
第8-6页
■
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信号与系统 电子教案
第八章 系统状态变量分析03.10.2020
8.1 状态变量与状态方程
一、状态变量与状态方程 二、动态方程的一般形式
8.2 状态方程的建立
一、电路状态方程的列写
二、由输入-输出方程建立状态方程
8.3 离散系统状态方程的建立 8.4 连续系统状态方程的解 8.5 离散系统状态方程的解
点击目录
第8-1页
，进入相关章节
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信号与系统 电子教案
03.10.2020
第八章 系统状态变量分析
前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： （1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出 系统，将增加复杂性； （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。
三个内部变量和激励求
u(t)R2iL2(t)uS2(t)
iC(t)iL1(t)iL2(t)
出：
一组代数方程
第8-4页
■
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信号与系统 电子教案 状态与状态变量的定义
8.1 状态变量与状态方程 03.10.2020
系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。
状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
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第八章 系统状态变量分析03.10.2020
8.1 状态变量与状态方程
一、状态变量与状态方程 二、动态方程的一般形式
8.2 状态方程的建立
一、电路状态方程的列写
二、由输入-输出方程建立状态方程
8.3 离散系统状态方程的建立 8.4 连续系统状态方程的解 8.5 离散系统状态方程的解
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03.10.2020
第八章 系统状态变量分析
前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： （1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出 系统，将增加复杂性； （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。
三个内部变量和激励求
u(t)R2iL2(t)uS2(t)
iC(t)iL1(t)iL2(t)
出：
一组代数方程
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信号与系统 电子教案 状态与状态变量的定义
8.1 状态变量与状态方程 03.10.2020
系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。
第8章 系统的状态变量分析
上面的方程组称图示RLC系统的状态方程，其矩阵形式为：
1 1 RC x x 1 2 L
第8-10页
■
1 1 C x1 RC x2 0 0
0 f1 1 f2 L
则g1 (t0 ), g2 (t0 )也可作为系统在t0时刻的状态。
第8-5页
■
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信号与系统 电子教案
8.1
系统的状态空间描述
（2） 状态变量：
表示状态随时间变化的一组变量称状态变量。
设t0时刻的初始状态为：x1 (t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ).
x1 (k ) , x2 (k ) , , xn (k ) 。
状态矢量：由状态变量构成的列矢量X(k) 称状态矢量。
x1 ( k ) x (k ) X (k ) 2 xn ( k )
第8-18页
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信号与系统 电子教案
令
uC x1 , iL x2
duc diL x1 , x2 dt dt
第8-9页
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信号与系统 电子教案
8.1
系统的状态空间描述
1 1 1 x1 RC x1 C x2 RC f1 x 1 x 1 f 2 1 2 L L
状态空间：状态矢量X(t) 所在的空间称状态空间。
第8-7页
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8.1
系统的状态空间描述
1 1 RC x x 1 2 L
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1 1 C x1 RC x2 0 0
0 f1 1 f2 L
则g1 (t0 ), g2 (t0 )也可作为系统在t0时刻的状态。
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8.1
系统的状态空间描述
（2） 状态变量：
表示状态随时间变化的一组变量称状态变量。
设t0时刻的初始状态为：x1 (t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ).
x1 (k ) , x2 (k ) , , xn (k ) 。
状态矢量：由状态变量构成的列矢量X(k) 称状态矢量。
x1 ( k ) x (k ) X (k ) 2 xn ( k )
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令
uC x1 , iL x2
duc diL x1 , x2 dt dt
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8.1
系统的状态空间描述
1 1 1 x1 RC x1 C x2 RC f1 x 1 x 1 f 2 1 2 L L
状态空间：状态矢量X(t) 所在的空间称状态空间。
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8.1
系统的状态空间描述
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第八章 系统的状态变量分析 (state variable analysis)
前面几章的分析方法称为外部法，它强调用系统的
输入、输出之间的关系来描述系统的特性。
其特点：
(1)适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统， 将增加复杂性；
(2)只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的内 部情况一无所知，也无法控制。
以u(t)和iC(t)为输出 若还想了解内部三个 变量uC(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况。
R1 iL1 L1
aa iL2 L2
R2
iC
us1
uC
u
us2
这时可列出方程
CduC dt
iL2
iL1
0
R1iL1L1ddiL t1uCuS10
d uC dt
1 C
iL1
1 C
iL2
d iL1 dt
说明： (1)系统中任何响应均可表示成状态变量及输入的 线性组合； (2)状态变量应线性独立；
(3)状态变量的选择并不是唯一的 。
▲
■
第6页
二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： (1)第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； (2)第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的系 统输出。
1 L1
uC
R1 L1
iL1
1 L1
u
S
1
L2dd iL t2R2iL2uS2uC0
di d
L
t
2
1 L2
uC
Hale Waihona Puke R2 L2iL 2
1 L2
u
S
2
▲
■
第3页
▲
■
第4页
▲
■
第5页
在初始时刻的值称为初始状态。
对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。
状态变量分析又称状态空间方法(state space approach)或
状态空间理论，是由R. E. Kalman(卡尔曼)于1960’s提出的
现代控制理论的三个代表性成就：卡尔曼滤波理论、 (贝
尔曼R. Bellman)动态规划、极大值原理(庞特里亚金L.S.
Pontryagin)。
■
第1页
内部法——状态变量法
矩阵形式
状态方程 x (t) A (t) x B (t)f
输出方程 y(t)C(t)xD(t)f
其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵
对离散系统，类似有
状态方程 x (k 1 ) A (k)x B (k)f 输出方程 y(k)C(k)xD(k)f
状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。
▲
■
第9页
f1(t)
y1(t)
n阶多输入-多输出LTI 连续系统，如图 。
其状态方程和输出方程为
f2(t) ┇
fp(t)
{xi(t0)}
y2(t) ┇
yq(t)
x1a1x 11a12 x2 a1nxnb11f1b12f2 b1pfp
x2a21 x1a22 x2 a2nxnb21f1b22f2 b2pfp
xnan1x1an2x2 ann xnbn1f1bn2f2 bnpfp
y1c11 x1c12 x2 c1nxnd11f1d12f2 d1pfp
y2c21 x1c22 x2 c2nxnd21f1d22f2 d2pfp
yqcq1x1cq2x2 cqn xndq1f1dq2f2 dqpfp
▲
■
第8页
本章将介绍的内部法—状态变量法是用n个状态变 量的一阶微分或差分方程组(状态方程)来描述系统。 优点有： (1)提供系统的内部特性以便研究。 (2)便于分析多输入多输出系统； (3)一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用于 时变系统和非线性系统。
▲
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第2页
§8.1 状态变量与状态方程
一、状态与状态变量的概念 从一个电路系统实例引入
状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。
状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。 而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
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动态方程的一般形式
前面几章的分析方法称为外部法，它强调用系统的
输入、输出之间的关系来描述系统的特性。
其特点：
(1)适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统， 将增加复杂性；
(2)只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的内 部情况一无所知，也无法控制。
以u(t)和iC(t)为输出 若还想了解内部三个 变量uC(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况。
R1 iL1 L1
aa iL2 L2
R2
iC
us1
uC
u
us2
这时可列出方程
CduC dt
iL2
iL1
0
R1iL1L1ddiL t1uCuS10
d uC dt
1 C
iL1
1 C
iL2
d iL1 dt
说明： (1)系统中任何响应均可表示成状态变量及输入的 线性组合； (2)状态变量应线性独立；
(3)状态变量的选择并不是唯一的 。
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二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： (1)第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； (2)第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的系 统输出。
1 L1
uC
R1 L1
iL1
1 L1
u
S
1
L2dd iL t2R2iL2uS2uC0
di d
L
t
2
1 L2
uC
Hale Waihona Puke R2 L2iL 2
1 L2
u
S
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在初始时刻的值称为初始状态。
对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。
状态变量分析又称状态空间方法(state space approach)或
状态空间理论，是由R. E. Kalman(卡尔曼)于1960’s提出的
现代控制理论的三个代表性成就：卡尔曼滤波理论、 (贝
尔曼R. Bellman)动态规划、极大值原理(庞特里亚金L.S.
Pontryagin)。
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内部法——状态变量法
矩阵形式
状态方程 x (t) A (t) x B (t)f
输出方程 y(t)C(t)xD(t)f
其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵
对离散系统，类似有
状态方程 x (k 1 ) A (k)x B (k)f 输出方程 y(k)C(k)xD(k)f
状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。
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f1(t)
y1(t)
n阶多输入-多输出LTI 连续系统，如图 。
其状态方程和输出方程为
f2(t) ┇
fp(t)
{xi(t0)}
y2(t) ┇
yq(t)
x1a1x 11a12 x2 a1nxnb11f1b12f2 b1pfp
x2a21 x1a22 x2 a2nxnb21f1b22f2 b2pfp
xnan1x1an2x2 ann xnbn1f1bn2f2 bnpfp
y1c11 x1c12 x2 c1nxnd11f1d12f2 d1pfp
y2c21 x1c22 x2 c2nxnd21f1d22f2 d2pfp
yqcq1x1cq2x2 cqn xndq1f1dq2f2 dqpfp
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本章将介绍的内部法—状态变量法是用n个状态变 量的一阶微分或差分方程组(状态方程)来描述系统。 优点有： (1)提供系统的内部特性以便研究。 (2)便于分析多输入多输出系统； (3)一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用于 时变系统和非线性系统。
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§8.1 状态变量与状态方程
一、状态与状态变量的概念 从一个电路系统实例引入
状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。
状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。 而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
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动态方程的一般形式