3D数学基础第10章3D中的方位与角位移课件

Leonhard Euler (1707-1783)
欧拉证明了角位移序列等价 于单个角位移
10.3 欧拉角

什么是欧拉角 基本思想 将角位移分解为绕三个互相垂直轴的三个旋转组成 的序列

最有意义的分解 使用笛卡尔坐标系并按一定顺序组成一个旋转序列 最常用的约定: heading-pitch-bank

什么是欧拉角 heading-pitch-bank heading角 第一个旋转， 绕y轴旋转
10.3 欧拉角

什么是欧拉角 heading-pitch-bank pitch角 第二个旋转， 绕x轴旋转
10.3 欧拉角

什么是欧拉角 heading-pitch-bank bank角 第三个旋转， 绕z轴旋转
10.2 矩阵形式

用旋转矩阵表示角位移 出现病态矩阵的原因 矩阵还可能包含缩放、切变或镜像的操作
任何非正交的矩阵都不是一个定义良好的旋转矩阵。 而正交矩阵也并不全是有效的旋转矩阵，如镜像
矩阵蠕变，可通过 可能从外部数据源获得“坏”数据
例如，使用物理数据获取设备时，捕获过程中可能产生 错误
orientation A is 720°, 两个角度间求插值 and the heading of 简单插值中存在的问题 orientation B is 45°. 720° = 2(1) × 360°, 如果没有使用限制欧拉角，将得到很大的 which is the same as 角度差 0°. So basically, the heading values are only 45° apart. However, naï ve interpolation will spin around nearly twice in the wrong direction
10.3 欧拉角

什么是欧拉角 heading-pitch-bank 将一个方位定义为一个heading角,一个pitch角和 一个bank角 基本思想 让物体开始于“标准‖方位,在标准方位上,让物体 作heading、pitch、bank旋转，最后物体到达我 们想要描述的方位
10.3 欧拉角
10.3 欧拉角

欧拉角的缺点 给定方位的表达方式不唯一 两个方位（A和B）间求插值 插值问题的简单解法 分别对三个角度作标准线性插值
1 0 t 0 t
10.3 欧拉角
imagine the heading of 欧拉角的缺点
解决问题的方法：使用限制欧拉角， 总是在两个限制欧拉角间作插值， 或在插值函数外将它转换成限制欧 拉角
10.3 欧拉角

什么是欧拉角 heading-pitch-bank 说明 从惯性坐标系到物体坐标系：heading-pitch-bank 从物体坐标系到惯性坐标系：roll-pitch-yaw 关于欧拉角的其他约定 见教材P137

10.3 欧拉角

欧拉角的优点 欧拉角的特点 仅使用三个数（角度）来表达方位 欧拉角的优点 欧拉角容易使用 欧拉角中的数都是角度，符合人们思考方位的方 式。当需要显示方位或用键盘输入方位时，欧拉角 是唯一的选择 最简洁的表达方式 取任意三个数都能构成合法的欧拉角
10.2 矩阵形式

用旋转矩阵表示角位移 旋转矩阵描述的是两个坐标系之间的相对方位 矩阵形式的优点 (3)多个角位移连接 (4) 矩阵的逆表示“反”角位移 旋转矩阵是正交的，所以求逆只需求转置矩阵 矩阵形式的缺点 (1) 矩阵占用了更多的内存 (2) 难于使用 (3) 矩阵可能是病态的 如果随机取9个数并组成一个3×3矩阵，这个 矩阵不太可能全部满足正交矩阵的限制条件
10.4 四元数
四元数：使用四个数来表达方位，包含一个标量分量 (w)和一个3D向量分量 (v) 四元数的记法 [w,v] [w,(x,y,z)]

w v
w x y z
10.4 四元数

四元数与复数 复数 定义：形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数， 其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1 当b=0时，z=a，复数成为实数 当a=0且b≠0时 ，z=bi，称其为纯虚数 复数的加法、减法和乘法
10.3 欧拉角

欧拉角的缺点 给定方位的表达方式不唯一 由三个角度不互相独立而导致的别名问题 如：pitch135°等价于heading180°，pitch45°， 然后bank180° 解决办法：限制角度的范围 常用的技术：将heading和bank限制在+180°到 -180°之间，pitch限制在+90°到-90°之间
heading in A was –170°, and the heading in B was 170°. Notice that wrap( x) ( x 360 ) ( x 180 ) / 360 these are canonical 欧拉角的缺点 wrap(1 0 ) values for 两个角度间求插值 heading, both in range – t 0 t 简单插值中存在的问题 180°…180 °. The two heading values are only (1)如果没有使用限制欧拉角，将得到很大的 20° apart, but again, 角度差 naï ve interpolation will not (2)由旋转角度的周期性引起的 behave correctly, rotating the ―long way around‖ across 340° instead of taking the shorter path of 20°
10.3 欧拉角

欧拉角的缺点 给定方位的表达方式不唯一 最著名的别名问题：万向锁 例：先heading45°再pitch90°与先pitch90°再 bank45°等价 一旦选择± 90°为pitch角，就被限制在只能绕 竖直轴旋转，因为角度为± 90°的第二次旋转使 得第一次和第三次旋转的旋转轴相同，称作万向 锁
10.3 欧拉角
解决方法：将插值的“差” 角度折到–180°到+ 180° 之间，找到最短弧
10.3 欧拉角

欧拉角的缺点 两个角度间求插值 简单插值中存在的问题 (1)如果没有使用限制欧拉角，将得到很大的 角度差 (2)由旋转角度的周期性引起的 (3) 万向锁问题 该问题是一个用三个数表达3D方位的方法 与生俱来的问题，是一个底层的问题，至今 没有简单的解决方案Βιβλιοθήκη 复数能用来旋转 2D中的向量
10.4 四元数

四元数与复数 将复数从2D扩展到3D ——四元数 四元数使用三个虚部i，j，k
哈密顿，W．R．(Hamilton， William Rowan)1805年8月4日1865年9月2日．力学、数学、光 学．
10.2 矩阵形式

用旋转矩阵表示角位移 旋转矩阵描述的是两个坐标系之间的相对方位 例：做一个人的模型动画，该模型被分解为15个块。动画的 矩阵形式的优点 完成实际是严格地控制子块和父块之间的相对方位。假设每 一帧为每一块保存一个方位，动画频率是 15Hz，则每秒需 (3)多个角位移连接 要保存225个方位。使用矩阵和32位浮点数，每一秒有8100 (4) 矩阵的逆表示“反”角位移2700字节。 字节，而使用欧拉角，同样提数据只需 旋转矩阵是正交的，所以求逆只需求转置矩阵 矩阵形式的缺点 (1) 矩阵占用了更多的内存 (2) 难于使用 矩阵对人类来说并不直观。人类考虑方位的直 观方法是角度，而矩阵使用的是向量。通过人工计 算来构造描述任意方位的矩阵几乎是不可能的
10.4 四元数

四元数与复数 复数 定义：形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数， 其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1 复数的加法、减法和乘法
10.4 四元数

四元数与复数 复数 复数的共轭：使虚部变负

复数的模
10.4 四元数

四元数与复数 复数 复数的表达形式 • 代数形式：z=a+bi • 三角形式 ：复数z＝a＋bi的三角形式为 z＝r（cosθ＋isinθ） r= sqrt(a^2+b^2) θ =arctan（b/a） • 指数形式： z＝r exp(iθ)

10.1 什么是方位

方向、方位、角位移和旋转的关系

方向和方位的区别
10.1 什么是方位
方向、方位、角位移和旋转的关系 方位、旋转和角位移的关系 联系：方位通过相对于已知方位的旋转来描 描述单 述，旋转的量称作角位移 一的状 方位和角位移的区别： 态 • “方位”和“角位移”的区别类似于“点” 和 “向量”的区别
可能因为浮点数的舍入错误产生“坏”数据
矩阵正交化解决
如，对一个方位进行持续的变化，由于浮点精度的限制， 大量的矩阵乘法最终可能导致病态矩阵
10.3 欧拉角
Leonhard Euler was a Swiss mathematician who made enormous contributions to a wide range of mathematics and physics including analytic geometry, trigonometry, geometry, calculus and number theory.

描述两个 状态间的 差别
10.1 什么是方位

方向、方位、角位移和旋转的关系
角位移和方位的表示方法
用矩阵和四元数表示“角位移”
用欧拉角表示“方位”
10.2 矩阵形式