2018届苏教版(理科数学) 推理与证明(解答题) 单元测试
2018年高考理科数学推理与证明100题(含答案解析)
2018年高考理科数学推理与证明100题（含答案解析）一、选择题（本题共30道小题，每小题0分，共0分）1.．甲、乙、丙、丁、戊五人出差，分别住在1、2、3、4、5号房间，现已知：（1）甲与乙不是邻居；（2）乙的房号比丁小；（3）丙住的房是双数；（4）甲的房号比戊大3．根据上述条件，丁住的房号是（）．A．2号B．3号C．4号D．5号2.用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根3.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角”．该表由若干数字组成，从第二行起，每一行的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行今有一个数，则这个数为（）A．2017×22016B．2017×22014C．2016×22017D．2016×220184.定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又，则=（ ）A ．B ．C ．D ．5.观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n （n ∈N *）个等式应为（ ）A ．9（n+1）+n=10n+9B ．9（n ﹣1）+n=10n ﹣9C ．9n+（n ﹣1）=10n ﹣1D ．9（n ﹣1）+（n ﹣1）=10n ﹣106.一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积V=2，表面积S=3，则该三棱锥内切球的体积为（ ）A ．81πB ．16πC ．D ．7.有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（ ） A ．（4，2，2，2） B ．（9，0，1，0）C ．（8，0，1，1）D ．（7，0，1，2） 8.用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a 是实数，所以a 的绝对值大于0”，你认为这个推理（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的9.某计算器有两个数据输入口M 1，M 2一个数据输出口N ，当M 1，M 2分别输入正整数1时，输出口N 输出2，当M 1输入正整数m 1，M 2输入正整数m 2时，N 的输出是n ；当M 1输入正整数m 1，M 2输入正整数m 2+1时，N 的输出是n+5；当M 1输入正整数m 1+1，MM 2输入正整数m 2时，N 的输出是n+4．则当M 1输入60，M 2输入50时，N 的输出是（ ） A ．494 B ．492 C ．485 D ．483 10.一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a，b，c，d四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b，3号门里是c；乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（）A．a B．b C．c D．d11.我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离为（）A．3 B．5 C．D．12.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A． B．2 C．3 D．13.来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每天还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译．针对他们懂的语言正确的推理是（）A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英14.70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏.这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N，并且按照以下的规律进行变生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1.准确地说，是无法逃出--循环，永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按照这落入底部的421种运算，自然数27经过十步运算得到的数为 ( )A．142B．71 C．214 D．10715.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。
(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.1 合情推理与演绎推理 理 苏教
由题意知 f(22)>42，f(23)>52，f(24)>62，f(25)>72， 所以当 n≥2 时，有 f(2n)>n＋2 2. 故填 f(2n)>n＋2 2 (n∈N*).
题型二 类比推理 例 5 (1)对于命题：如果 O 是线段 AB 上一点，则|O→B|O→A＋|O→A|O→B＝0；
将它类比到平面的情形是：若 O 是△ABC 内一点，有 S△OBC·O→A＋S△OCA·O→B
三角形数
N(n,3)＝21n2＋21n，
正方形数
N(n,4)＝n2，
五边形数
N(n,5)＝23n2－21n，
六边形数
N(n,6)＝2n2－n.
…
…
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝___1__0_0_0_. 答案 解析
命题点4 与图形变化有关的推理 例4 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为 1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为_5_5__. 答案 解析
(5) 一 个 数 列 的 前 三 项 是 1,2,3 ， 那 么 这 个 数 列 的 通 项 公 式 是 an ＝ n(n∈N*).( × ) (6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( × )
考点自测
1.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5 ＝11，…，则a10＋b10＝_1_2_3__.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( × ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( √ ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为 合适.( × ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”， 这是三段论推理，但其结论是错误的.( √ )
2018高考数学(理科)习题第十四章推理与证明143和答案
1．已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n na n (n ∈N ＋)，e 为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝1＋x －e x 的单调区间，并比较⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n 与e 的大小；(2)计算b 1a 1，b 1b 2a 1a 2，b 1b 2b 3a 1a 2a 3，由此推测计算b 1b 2…b na 1a 2…a n的公式，并给出证明；(3)令c n ＝(a 1a 2…a n )1n，数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n <e S n .解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x . 当f ′(x )>0，即x <0时，f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >0时，f (x )单调递减．故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． 当x >0时，f (x )<f (0)＝0，即1＋x <e x . 令x ＝1n ，得1＋1n <e 1n ，即⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n <e.①(2)b 1a 1＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋111＝1＋1＝2；b 1b 2a 1a 2＝b 1a 1·b 2a 2＝2·2⎝⎛⎭⎪⎫1＋122＝(2＋1)2＝32；b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1a 2·b 3a 3＝32·3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋133＝(3＋1)3＝43.由此推测：b 1b 2…b n a 1a 2…a n ＝(n ＋1)n.②下面用数学归纳法证明②.a ．当n ＝1时，左边＝右边＝2，②成立．b ．假设当n ＝k 时，②成立，即b 1b 2…b ka 1a 2…a k＝(k ＋1)k .当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1·a k ＋1，由归纳假设可得b 1b 2…b k b k ＋1a 1a 2…a k a k ＋1＝b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k(k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1k ＋1＝(k ＋2)k ＋1. 所以当n ＝k ＋1时，②也成立．根据a 、b ，可知②对一切正整数n 都成立．(3)证明：由c n 的定义，②，算术几何平均不等式，b n 的定义及①得T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n≤b 11×2＋b 1＋b 22×3＋b 1＋b 2＋b 33×4＋…＋b 1＋b 2＋…＋b n n n ＋1＝b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1＋ b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1＋…＋b n ·1nn ＋1＝b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＋…＋b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1<b 11＋b 22＋…＋b n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋111a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122a 2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n na n <e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝e S n .即T n <e S n .2．已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }．令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．解 (1)S 6＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,6)}，所以f (6)＝13.(2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋－13，结论成立；c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋－23，结论成立；d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k2＋k－23＋2＝(k＋1)＋2＋k＋－12＋k＋13，结论成立；e．若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋k－12＋k3＋2＝(k＋1)＋2＋k＋12＋k＋－13，结论成立；f．若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋k2＋k－13＋1＝(k＋1)＋2＋k＋－12＋k ＋－23，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．3.函数f(x)＝ln (x＋1)－axx＋a(a>1)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a1＝1，a n＋1＝ln (a n＋1)，证明：2n＋2＜a n≤3n＋2.点击观看解答视频解(1)f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝x[x－a2－2ax ＋x＋a2.①当1<a<2时，若x∈(－1，a2－2a)，则f′(x)>0，f(x)在(－1，a2－2a)是增函数；若x∈(a2－2a,0)，则f′(x)<0，f(x)在(a2－2a,0)是减函数；若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)是增函数．②当a＝2时，f′(x)≥0，f′(x)＝0成立当且仅当x＝0，f(x)在(－1，＋∞)是增函数；③当a >2时，若x ∈(－1,0)，则f ′(x )>0，f (x )在(－1,0)是增函数； 若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，f (x )在(0，a 2－2a )是减函数； 若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)证明：由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数． 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0， 即ln (x ＋1)>2xx ＋2(x >0)． 又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0,3)是减函数． 当x ∈(0,3)时，f (x )<f (0)＝0， 即ln (x ＋1)<3xx ＋3(0<x <3)． 下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2. ①当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立；②设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln (a k ＋1)>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln (a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭⎪⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时有2k ＋3<a k ＋1≤3k ＋3，结论成立． 根据①，②知对任何n ∈N *结论都成立． 4．已知函数f 0(x )＝sin xx(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.(1)求2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22都成立．解 (1)由已知，得f 1(x )＝f 0′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝cos x x －sin x x 2，于是f 2(x )＝f 1′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3，所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4π2，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π＋16π3.故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1.(2)证明：由已知，得xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf 0′(x )＝cos x ，即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，类似可得2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)， 3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π2，4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立．①当n ＝1时，由上可知等式成立．②假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2成立．因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf k －1′(x )＋f k (x )＋xf k ′(x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋k ＋2， 所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋k ＋2. 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合①，②可知等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立．令x ＝π4，可得nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋n π2(n ∈N *)．所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22(n ∈N *)．。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题11 算法、复数、推理与证明 第79练 Word版含解析
1．(2016·镇江一模)i 为虚数单位，则2－i＝____________. 2．(2016·南京、盐城一模)已知复数z ＝2＋i 1－i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 3．(2016·泰州一模)如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.4．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝________. 5．(2016·全国甲卷改编)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是____________．6．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝__________. 7．若复数z ＝2－i ，则z ＋10z ＝________.8．(2016·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫i ，i 2，1i ，(1＋i )2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是________．9．满足z ＋i z ＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝______________.10．(2015·江苏)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．11．(2016·天津)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a，则ab的值为________．12．(2016·山东实验中学诊断)在复平面内，复数21－i对应的点到直线y＝x＋1的距离是________．13．(2016·江苏一模)设f(n)＝(1＋i1－i)n＋(1－i1＋i)n(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为________．14．(2016·苏州一模)对任意复数z＝x＋y i(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．(填序号)①|z－z|＝2y；②z2＝x2＋y2；③|z－z|≥2x；④|z|≤|x|＋|y|.答案精析1.35－15i2.1023.－2－i4.－1＋i5．(－3,1) 6.147．6＋3i解析 ∵z ＝2－i ，∴z ＋10z ＝(2＋i)＋102－i ＝(2＋i)＋10(2＋i )(2－i )(2＋i )＝6＋3i. 8．2解析 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素． 9.12－12i解析 ∵z ＋i z ＝i ，∴z ＋i ＝z i ，∴i ＝z (i －1)．∴z ＝i i －1＝i (－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝1－i 2 ＝12－12i.10. 5解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由复数相等的定义得⎩⎨⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4， 解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－1， 从而|z |＝a 2＋b 2＝ 5.11．2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a,1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b ＝2. 12.22解析21－i＝2(1＋i)(1－i)(1＋i)＝1＋i，所以复数21－i对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x＋1的距离为1－1＋1 12＋(－1)2＝2 2.13．3解析因为f(n)＝(1＋i1－i)n＋(1－i1＋i)n＝i n＋(－i)n，所以f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0＝f(1)，…，故集合{f(n)}中共有3个元素．14．④解析对于①，∵z＝x－y i(x，y∈R)，|z－z|＝|x＋y i－x＋y i|＝|2y i|＝|2y|，∴①不正确；对于②，z2＝x2－y2＋2xy i，故不正确；对于③∵|z－z|＝|2y|≥2x不一定成立，∴③不正确；对于④，|z|＝x2＋y2≤|x|＋|y|，故④正确．。
2018江苏高考数学试卷(理)
2018江苏高考数学试卷(理)1．已知集合A={0,1,2,8}，B={-1,1,6,8}，则AB={-8,-6,-1,0,2,6,8}。
2．设复数z=x+yi，则有ix=y+1，即y=-x/2+1/2.因此z的实部为x=-y/2+1/2.3．根据茎叶图可知，这5位裁判打出的分数为60、61、62、63、64.因此它们的平均数为62.4．根据伪代码，S的初始值为0，然后进行循环，每次将S加上i的平方。
最后输出S的值即可得到答案。
5．由于log2(x-1)的定义域为x>1，因此函数f(x)的定义域为x>1.6．从2名男生和3名女生中选出2名学生，恰好选中2名女生的方案数为C(3,2)。
总的方案数为C(5,2)。
因此所求概率为C(3,2)/C(5,2)=3/10.7．根据函数图象关于x=0对称可知，sin(2x+π/2)的图象关于y=0对称。
因此sin(2x+π/2)=-XXX。
因此y=-sin2x。
8．双曲线的离心率为c/a。
根据右焦点到渐近线的距离公式可得c=ab/3.因此离心率为3/2.9．当-2<x≤0时，f(x)=2；当0<x≤2时，f(x)=cos(πx/2)。
因此f(15)=f(3)=cos(3π/2)=-1.10．以正方体的一个顶点为原点建立空间直角坐标系，则所求多面体为一个正八面体。
因此它的体积为(2√2)³=16√2.11．由于f(x)在(0,∞)内有且只有一个零点，因此f(x)在(0,∞)内单调递增或单调递减。
又因为f(-1)和f(1)异号，因此f(x)在(-1,1)内有且只有一个零点。
设该零点为x0，则f(x)在(-1,x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减。
因此f(x)的最大值和最小值分别为f(x0)和f(-1)或f(1)中的较大值和较小值。
设f(x0)=y，则y²=4x0³-a²x0²+4x0-4.由于f(x)在(-1,1)内有且只有一个零点，因此y>0.因此y²+4=a²x0²-4x0+20>16.因此y>2.因此f(-1)+f(1)+2y>2-2/y+2+y>4.12．设A的坐标为(2t,t)，则B的坐标为(5-2t,-2t)。
江苏专用2018版高考数学专题复习专题11算法复数推理与证明第84练不等式选讲练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题11 算法、复数、推理与证明第84练不等式选讲练习理训练目标理解不等式的解法及证明方法．训练题型(1)绝对值不等式的解法；(2)不等式的证明；(3)柯西不等式的应用．解题策略(1)掌握不等式的基本性质；(2)理解绝对值的几何意义；(3)了解柯西不等式的几种形式.1．(2016·苏北四市一模)设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋x2－2xy＋y2≥2y＋3.2．(2016·南京、盐城二模)已知x，y，z都是正数，且xyz＝1，求证：(1＋x)(1＋y)(1＋z)≥8.3．(2016·常州一模)已知a＞0，b＞0，证明：(a2＋b2＋ab)·(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2. 4．(2016·南通模拟)已知：a≥2，x∈R.求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.5．(2016·泰州一模)已知正实数a，b，c满足a＋b2＋c3＝1，求证：1a2＋1b4＋1c6≥27.6．(2016·苏、锡、常、镇四市二模)已知函数f(x)＝3x＋6，g(x)＝14－x，若存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，求实数a的取值范围．答案精析1．证明由题意得x＞0，y＞0，x－y＞0，因为2x＋1x2－2xy＋y2－2y＝2(x－y)＋1x－y2＝(x－y)＋(x－y)＋1x－y2≥3 3x－y21x－y2＝3，所以2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3.2．证明因为x为正数，所以1＋x≥2x，同理，1＋y≥2y，1＋z≥2z，所以(1＋x)(1＋y)(1＋z)≥2x·2y·2z＝8xyz＝8，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立．3．证明因为a＞0，b＞0，所以a2＋b2＋ab≥33a2·b2·ab＝3ab＞0，ab2＋a2b＋1≥33ab2·a2b·1＝3ab＞0，所以(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．4．证明因为|m|＋|n|≥|m－n|，所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－(x－a)|＝|2a－1|. 又a≥2，故|2a－1|≥3.所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3.5．证明因为正实数a，b，c满足a＋b2＋c3＝1，所以1≥33ab2c3，即ab2c3≤127，所以1ab2c3≥27，因此1a2＋1b4＋1c6≥331a2b4c6≥27.6．解存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a，f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x＝3×x＋2＋1×14－x，因为(3×x＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)(x＋2＋14－x)＝64，所以f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x≤8，当且仅当x＝10时取“＝”，故常数a的取值范围是(－∞，8)．。
(新)江苏专用2018版高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13_5复数教师用书理苏教版
第十三章 推理与证明、算法、复数13.5 复数教师用书 理 苏教版1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．(i 为虚数单位) (2)分类：满足条件(a ，b 为实数)复数的分类a ＋b i 为实数⇔b ＝0a ＋b i 为虚数⇔b ≠0 a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0(3)复数相等：a ＋⇔a ＝c 且b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ )1．(2016·全国乙卷改编)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝________. 答案 －3解析 ∵(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ， ∴a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3.2．(2016·泰州模拟)已知复数z 满足(3＋i)z ＝10i(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数是__________． 答案 1－3i解析 复数z ＝10i 3＋i ＝10i 3－i10＝1＋3i ，则复数z 的共轭复数是z ＝1－3i.3．(2016·南京一模)设i 是虚数单位，若z ＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于第________象限． 答案 二解析 ∵z ＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ>0，∴θ为第二象限角．4．i2 011＋i2 012＋i2 013＋i2 014＋i2 015＋i 2 016＋i2 017＝________.答案 1解析 原式＝i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＋i ＝1.5．(教材改编)在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是____________． 答案 －3－4i解析 CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.题型一 复数的概念例1 (1)(2016·无锡模拟)若复数z ＝(1－i)(m ＋2i)(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为________．(2)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的____________条件．(3)(2016·天津)i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________． 答案 (1)－2 (2)充分不必要 (3)1解析 (1)z ＝m －m i ＋2i ＋2＝(m ＋2)＋(2－m )i. ∵z 为纯虚数，∴m ＝－2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件． (3)∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝21＋i＝1－i ，∴其实部为1. 引申探究将本例(3)中的条件“(1＋i)z ＝2”改为“(1＋i)3z ＝2”，求z 的实部． 解 z ＝21＋i3＝2－2＋2i＝－12－12i ，∴z 的实部为－12.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(1)(2016·镇江模拟)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________．(2)(2016·苏北四市调研二)已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________. 答案 (1)45(2)2i解析 (1)∵|4＋3i|＝42＋32＝5， ∴z ＝53－4i ＝53＋4i 25＝35＋45i ，虚部为45.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b >0)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝－4， 因此a ＝0，－b 2＝－4，b ＝±2， 又b >0，∴b ＝2，∴z ＝2i. 题型二 复数的运算 命题点1 复数的乘法运算例2 (1)(2016·四川改编)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝________.(2)(2016·全国乙卷改编)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝________. (3)(2015·课标全国Ⅱ改编)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝________. 答案 (1)2i (2) 2 (3)0解析 (1)(1＋i)2＝12＋i 2＋2i ＝1－1＋2i ＝2i. (2)由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2.(3)因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0.命题点2 复数的除法运算例3 (1)(2016·全国丙卷改编)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝________.(2)(2016·北京改编)复数1＋2i2－i ＝________.(3)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i ＝________.答案 (1)i (2)i (3)－1＋i 解析 (1)z ＝1＋2i ，z z ＝5，4iz z －1＝i.(2)1＋2i 2－i ＝1＋2i 2＋i 2－i 2＋i ＝5i5＝i.(3)原式＝[1＋i 22]6＋2＋3i3＋2i 32＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.命题点3 复数的综合运算例4 (1)(2016·山东改编)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________.(2)(2016·全国丙卷改编)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝______.答案 (1)1－2i (2)45－35i解析 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i.(2)z ＝4－3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. 思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．(1)(2016·常州模拟)若i 为虚数单位，复数z ＝1＋2i ，则z 2|z |2＝________.(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________.(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017＝________.答案 (1)－35＋45i (2)i (3)22＋(22＋1)i解析 (1)因为z ＝1＋2i ，所以z 2＝(1＋2i)2＝－3＋4i ，|z |＝5，所以z 2|z |2＝－3＋4i 5＝－35＋45i.(2)(1＋i 1－i )2 017＝[1＋i 21－i 1＋i ]2 017＝i 2 017＝i.(3)－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 017＝i 1＋23i 1＋23i＋(21－i )[(21－i)2]1 008 ＝i ＋i 1 008·22(1＋i)＝22＋(22＋1)i. 题型三 复数的几何意义例5 (1)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的________． 答案 外心解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．(2)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －2>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．26．解决复数问题的实数化思想典例 (14分)已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .思想方法指导 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x 、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法．(3)本题的易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解． 规范解答解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，[3分] 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，[5分]根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－3a 2＋b 2＝－6，[7分]解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.[10分]故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.[14分]1．(2016·南通模拟)已知a >0，b >0，且(1＋a i)(b ＋i)＝5i(i 是虚数单位)，则a ＋b ＝________. 答案 4解析 由题意得(1＋a i)(b ＋i)＝(b －a )＋(1＋ab )i ＝5i ， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝0，1＋ab ＝5，又a >0，b >0，所以a ＝b ＝2，则a ＋b ＝4.2．(2016·苏北联考)如果复数1，a ＋i,3＋a 2i(a ∈R )成等比数列，那么a 的值为________． 答案 2解析 由题意知，(a ＋i)2＝1×(3＋a 2i)，即a 2－1＋2a i ＝3＋a 2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，2a ＝a 2，解得a ＝2.3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是________．答案 H解析 由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝3＋i 1－i 1＋i1－i ＝4－2i2＝2－i. ∴表示复数z1＋i的点为H .4．(2017·南昌模拟)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝________.答案 1－i解析 方法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.5．(2016·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7解析 由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ， 化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.6．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是____________． 答案 (1，5)解析 由于复数z 的实部为a ，虚部为1，且0<a <2， 所以由|z |＝1＋a 2，得1<|z |< 5.*7.若i 为虚数单位，已知a ＋b i ＝2＋i 1－i (a ，b ∈R )，则点(a ，b )与圆x 2＋y 2＝2的位置关系为__________． 答案 点在圆外 解析 ∵a ＋b i ＝2＋i1－i ＝2＋i1＋i2＝12＋32i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝32，则a 2＋b 2＝52>2，∴点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝2外．8．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，23)解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23.9．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________． 答案 3或6解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3， 解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．10．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________． 答案3解析 ∵|z －2|＝x －22＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 11．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________. 答案 －2 3解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根． 由根与系数的关系知，⎩⎨⎧1＋2i ＋1－2i ＝－b ，1＋2i 1－2i ＝c ，∴b ＝－2，c ＝3. 12．给出下列命题： ①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④若z ＝－i ，则z 3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．其中正确的命题是______．(填上所有正确命题的序号)答案 ④解析 由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a ＝－1，则(a ＋1)i ＝0，③错误；z 3＋1＝(－i)3＋1＝i ＋1，④正确．13．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值． 解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋5a －1＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.14．计算：(1)－1＋i 2＋i i 3； (2)1＋2i 2＋31－i 2＋i ； (3)1－i1＋i 2＋1＋i1－i 2；(4)1－3i3＋i 2.解 (1)－1＋i 2＋ii 3＝－3＋i －i ＝－1－3i. (2)1＋2i 2＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i 2－i 5＝15＋25i. (3)1－i 1＋i 2＋1＋i 1－i 2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i3＋i 2＝3＋i －i 3＋i 2＝－i 3＋i ＝－i 3－i4＝－14－34i.15.若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z 是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解 这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5a －b ia 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5aa 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5ba 2＋b 2i.∵z ＋5z 是实数，∴b －5ba 2＋b 2＝0.又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数，∴a ＋3＋b ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－1，故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。
2018版高考数学(江苏专用,理科)专题复习专题11 算法、复数、推理与证明 第80练 Word版含解析
＋＜， ＋＋＜， ＋＋＋＜， …照此规律，第五个不等式为．．已知数列{}为等差数列，若＝，＝(－≥，，∈*)，则＋＝.类比上述结论，对于等比数列{}(＞，∈*)，若＝，＝(－≥，，∈*)，则可以得到＋＝.．(·合肥二模)正六边形的边长为，它的条对角线又围成了一个正六边形，如此继续下去，则所有这些正六边形的面积和是．．已知等差数列{}中，有＝，则在等比数列{}中，会有类似的结论：.．下面是一个类似杨辉三角的数阵，则第(≥)行的第个数为．…．(·苏北联考)若直角三角形的两直角边为，，斜边上的高为，则＝＋.类比以上结论，如图，在正方体的一角上截取三棱锥－，为该棱锥的高，记＝，＝＋，那么，的大小关系是＋)．(填＞，＜或＝．设等差数列{}的前项和为，若存在正整数，(＜)，使得＝，则＋＝.类比上述结论，设正项等比数列{}的前项积为，若存在正整数，(＜)，使得＝，则＋＝.．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若，，为直角三角形的三边，其中为斜边，则＋＝，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体－中，∠＝∠＝∠＝°，为顶点所对面的面积，，，分别为侧面△，△，△的面积，则下列选项中对于，，，满足的关系描述正确的为．①＝＋＋；②＝＋＋；③＝＋＋; ④＝＋＋.．设数列{}的首项＝，前项和为，且满足＋＋＝(∈*)，则满足＜＜的所有的和为．．(·湖南师大附中月考三)将正整数按如图方式排列，其中处在从左到右第列，从下到上第行的数记为(，)，如()＝，()＝，则(，)＝，()＝.……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………．(·福建)一个二元码是由和组成的数字串…(∈*)，其中(＝，…，)称为第位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由变为或者由变为)．已知某种二元码…的码元满足如下校验方程组：(\\(＝，＝，＝，))其中运算定义为：＝＝＝＝.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第位发生码元错误后变成了，那么利用上述校验方程组可判定＝.．(·武昌调研)如图，在圆内画条线段，将圆分成部分；画条相交线段，将圆分割成部分；画条线段，将圆最多分割成部分；画条线段，将圆最多分割成部分．则。
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推理与证明02
解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．已知1,1≤≤y x ，用分析法证明：xy y x +≤+1.
【答案】要证xy y x +≤+1，即证()()2
21xy y x +≤+， 即证22221y x y x +≤+，
即证()()01122≤--y x ， 因为1,1≤≤y x ，所以01,0122≥-≤-y x ，
所以()()
01122≤--y x ，不等式得证．
2．求证：2222,2,2y ax bx c y bx cx a y cx ax b =++=++=++（,,a b c 是互不相等的
实数），三条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点．
【答案】假设这三条抛物线全部与x 轴只有一个交点或没有交点，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≤-=≤-=044044044232221bc a Δab c Δac b Δ 三式相加，得a 2+b 2+c 2－ab －ac －bc ≤0⇒
(a －b ）2+（b －c ）2+（c －a ）2≤0．
∴a=b=c 与已知a ，b ，c 是互不相等的实数矛盾，
∴这三条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点．
3．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿
子祖暅首先提出来的. 祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵. 利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体.
试用祖暅原理推导球的体积公式.
【答案】我们先推导半球的体积. 为了计算半径为R 的半球的体积，我们先观察V 圆锥、V 半球、V 圆柱这三个量（等底等高）之间的不等关系，
可以发现V 圆锥<V 半球<V 圆柱，即3313
R V R ππ<<半球，根据这一不等关系，我们可以猜测
323V R π=半球，并且由猜测可发现V V V =-半球圆柱圆锥. 下面进一步验证了猜想的可靠性. 关键是要构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如右图所示. 下面利用祖暅原理证明猜想.
证明：用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面. 如果截平面与平面α的距离为l ，那么圆面半径22r R l =-圆半径为R ，小圆半径为r.
因此222()S r R l ππ==-圆，2222()S R l R l πππ=-=-环， ∴ S S =圆环.
根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即2231233V R R R R R πππ=-= 半球，
所以343V R π=球.
43725+< 370>，250>，
故只需证明2237)(25)<． 只需证102120+<215<．
只需证2125<．
因为2125<显然成立，
375<．
5．已知函数)1(,1
2)(>+-+
=a x x a x f x ,用反证法证明:方程0)(=x f 没有负实数根.
【答案】假设存在x 0<0(x 0≠-1),满足f(x 0)=0,
则0x a =-0021
x x -+,且0<0x a <1, 所以0<-
0021x x -+<1,即12<x 0<2. 与假设x 0<0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.
6．用适当方法证明：如果,0,0>>b a 那么b a a
b b a +≥+。
【答案】a
a b b b a a a b b b a b a a b b a -+-=-+-=+-+)( ab
b a b a a b b a )()()11)((2+-=--=. ∵,0,0>>b a ∴
,0)()(2≥+-ab b a b a . ∴
b a a b b a +≥+.。