模糊聚类分析

例：设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), 设论域 x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么 单位： 表示人的身高， 单位 表示人的身高 U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数 上的一个模糊集“ 的隶属函数A(x) 上的一个模糊集 高个子” 的隶属函数 可定义为
上式表示一个有n个元素的模糊子集。 上式表示一个有 个元素的模糊子集。 个元素的模糊子集 叫做查德记号， “+”叫做查德记号，不是求和。 叫做查德记号 不是求和。
模糊集的运 算
根据定义，我们知道所谓模糊集合，实质上是论域 U 到 [ 0, 1] 上的一个映 射，而对于模糊子集的运算，实际上可以转换称为对隶属函数的运算：
我们用模糊集合来处理这个问题。
0.9 0 0.4 1 0.7 设A= + + + + % x1 x2 x3 x4 x5
现在如果问：隶属函数
µ A ( x ) ≥ 0.9 的 有 哪 些 人 ， 用 A0.9 来 表 示 这 一 集 合 ， 则
%
A0.9 = { x1 , x4 } ，同理， A0.8 = { x1 , x4 } ， A0.6 = { x1 , x4 , x5 } ， A0.4 = { x1 , x3 , x4 , x5 } 。
模糊集的λ 截集 是一个经典集合， 模糊集的λ-截集Aλ是一个经典集合，由隶属 度不小于λ的成员构成. 度不小于λ的成员构成. 论域U={u1, u2, u3, u4 , u5 , u6}(学生集)， 例：论域 (学生集) 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95 50,60,70,80,90,95， 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习 学习 成绩好的学生” 成绩好的学生”的隶属度分别为 0.9,0.95， 0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则 A0.9 (90分以上者 = {u5 , u6}, 分以上者) 分以上者 A0.6 (60分以上者 = {u2, u3, u4 , u5 , u6}. 分以上者) 分以上者
模糊集的运算性质基本上与经典集合一 除了排中律以外， 致，除了排中律以外，即 A∪Ac ≠ U， A∩Ac ≠ φ . ∪ ， 模糊集不再具有“非此即彼”的特点， 模糊集不再具有“非此即彼”的特点， 这正是模糊性带来的本质特征. 这正是模糊性带来的本质特征.
商品集)， 例：设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集 ， 设论域 商品集 上定义两个模糊集： 商品质量好” 在U上定义两个模糊集： A =“商品质量好”， 上定义两个模糊集 商品质量好 B =“商品质量坏”，并设 商品质量坏” 商品质量坏 A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0). 商品质量不好” 商品质量不坏” 则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏” 商品质量不好 商品质量不坏 Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1). 可见A 可见 c ≠B, Bc ≠A. 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) ≠U, ∪ A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) ≠φ .
A = ∅ ⇔ µA ( x) = 0 ， A = U ⇔ µA ( x) = 1 % % % % A ⊆ B ⇔ µ A ( x ) ≤ µB ( x ) ， A = B ⇔ µ A ( x ) = µB ( x ) % % % % % % % % A ⇔ µA ( x) = 1− µA ( x) % % % A ∪ B = C ⇔ µC ( x ) = max µ A ( x ) , µ B ( x ) % % % % % % A ∩ B = D ⇔ µ D ( x ) = min µ A ( x ) , µ B ( x ) % % % % % %
3、截集
定义2 上的任一模糊集， 定义 若A为X上的任一模糊集，对任意 ≤ 为 上的任一模糊集 对任意0 ≥λ｝ λ ≤ 1，记Aλ=｛x｜x∈X, A(x)≥λ｝,称Aλ为A的λ ， ｛ ｜ ∈ ≥λ 称 的 截集。 截集。 (A)λ = Aλ= {x | A(x) ≥ λ } Aλ是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的 是普通集合而不是模糊集。 边界是模糊的, 边界是模糊的 如果要把模糊概念转化为数学 语言，需要选取不同的置信水平λ 语言，需要选取不同的置信水平λ (0 ≤ λ ≤ 1) 来 确定其隶属关系。 确定其隶属关系。λ截集就是将模糊集转化为 普通集的方法。模糊集A 普通集的方法。模糊集 是一个具有游移边界 的集合，它随λ值的变小而增大，即当λ λ 的集合，它随λ值的变小而增大，即当λ1 <λ2时， 有Aλ1∩Aλ2。
2、模糊集的概念
对于一个普通的集合A，空间中任一元素x， 对于一个普通的集合 ，空间中任一元素 ，要么 x∈A， 要么 ∉A， 二者必居其一 。 这一特征可用一个 ∈ ， 要么x∉ ， 二者必居其一。 函数表示为： 函数表示为：
1 A( x ) = 0 x ∈A x ∉A
A(x)即为集合 的特征函数。将特征函数推广到模 即为集合A的特征函数 即为集合 的特征函数。 糊集，在普通集合中只取0、 两值推广到模糊集中为 糊集，在普通集合中只取 、1两值推广到模糊集中为 [0, 1]区间。 区间。 区间
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简单地可表达为： 简单地可表达为： 是论域， 设U是论域，称映射 是论域 A(x)：U→[0,1] ： 确定了一个U上的模糊子集 上的模糊子集A，映射A(x)称为 的隶属 称为A的隶属 确定了一个 上的模糊子集 ，映射 称为 函数，它表示x对 的隶属程度 的隶属程度. 函数，它表示 对A的隶属程度 的点x称为 的过渡点， 使A(x) = 0.5的点 称为 的过渡点，此点最具模 的点 称为A的过渡点 糊性. 糊性 当映射A(x)只取 或1时，模糊子集 就是经典子 只取0或 时 模糊子集A就是经典子 当映射 只取 就是它的特征函数. 集，而A(x)就是它的特征函数 可见经典子集就是 就是它的特征函数 模糊子集的特殊情形. 模糊子集的特殊情形
对偶律： ∪ 对偶律：(A∪B)c = Ac∩Bc， (A∩B)c = Ac∪Bc；
对偶律的证明： 论域)， 对偶律的证明：对于任意的 x∈U (论域 ， ∈ 论域 (A∪B)c(x) = 1 - (A∪B)(x) = 1 - (A(x)∨B(x)) ∪ ∪ ∨ = (1 - A(x))∧(1 - B(x)) = Ac(x)∧Bc(x) ∧ ∧ = Ac∩Bc (x)
x −140 A(x) = 190 −140 x −100 A(x) = 200 −100
也可用Zadeh表示法： 表示法： 也可用 表示法
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A= + + + + + x1 x2 x3 x4 x5 x6 0.15 0.2 0.42 0.6 0.8 0.9 A= + + + + + x1 x2 x3 x4 x5 x6
o
{ x1 , x3 , x4 , x5 } ，但所谓“发烧”实际上是一个模糊概念，它存在程度上的不同，也就是
说要用隶属函数来描述。如果根据医师的经验规定，对“发烧”来说： 体温 39 C 以上的隶属函数 µ ( x ) = 1 ；
o o o o o o
如 果 规 定 37.5 C 以 下 的 不 算 发 烧 ， 问 有 多 少 发 烧 病 人 ？ 医 生 就 可 以 回 答 ：
体温 38.5 C 以上不到 39 C 的隶属函数 µ ( x ) = 0.9 ； 体温 37.5 C 以上不到 38 C 的隶属函数 µ ( x ) = 0.4 ；
o oBiblioteka 体温 38 C 以上不到 38.5 C 的隶属函数 µ ( x ) = 0.7 ； 体温 37.5 C 以下的隶属函数 µ ( x ) = 0 ；
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合， 根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合， 要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。 要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。 这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。 这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处 理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。 理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。 模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965 模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是 年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出 年美国自动控制专家查德 教授首先提出 来的， 多年来发展很快。 来的，近10多年来发展很快。 多年来发展很快 模糊集合论的提出虽然较晚， 模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域 的应用十分广泛。 的应用十分广泛。
模糊集的并、 模糊集的并、交、余运算性质 幂等律： ∪ 幂等律：A∪A = A， A∩A = A； ， ； 交换律： ∪ 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； ∪ ， ； 结合律： ∪ ∪ 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， ∪ ∪ ， (A∩B)∩C = A∩(B∩C) ； 吸收律： ∪ 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A； ， ∪ ； 分配律： ∪ 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)； ∪ ； (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)； ∪ ∪ ∪ ； 0-1律： A∪U = U，A∩U = A； ∪ ， ； A∪φ = A，A∩φ = φ ； ∪ ， 还原律： 还原律： (Ac)c = A ；
年给出的定义： 查德 1965 年给出的定义：
A %
→ 任意 u ∈ U ， u A ( u ) ， A ( u ) ∈ [ 0, 1] ，那么 A 叫做 U 的一个模糊