空间向量基本定理人教A版高中数学选修第一册课件PPT
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2022-2023学年人教A版选择性必修第一册 1-2 空间向量基本定理 课件(44张)
知识点二 空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量_两__两__垂__直_，且长度都为_____1___，那么这个基底 叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk 使 得 a＝xi＋yj＋zk，像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进 行正交分解．
A．x＝y＝z＝12
B．x＝y＝z＝1
C．x＝y＝z＝
2 2
D．x＝y＝z＝2
解析：AC→′＝A→B＋BC→′＝A→B＋BB→′＋B→C＝A→B＋AA→′＋A→D＝12(A→B＋A→D)＋12(A→B＋
AA→′)＋12(AA→′＋A→D)＝12A→C＋12AB→′＋12AD→′＝A→O1＋A→O2＋A→O3，对比AC→′＝xA→O1＋yA→O2
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
新课程标准
新学法解读
1.了解空间向量基本定理及其正交分解的意义．
1.了解空间向量基 2．了解基底的意义．
本定理及其意义． 3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向
2．掌握空间向量的 量为基底表示其他向量的方法．
正交分解.
4．运用空间向量基本定理解决简单的立体几何
∴{O→A，O→B，O→C}可以作为空间的一个基底．
[பைடு நூலகம்归纳]
基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共
面，就可以作为一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从
同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
空间向量基本定理(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
第一章 空间向量与立体几何
1.2空间向量基本定理
高中数学/人教A版/选修一
c
O
p
P
b
a
Q
1.2空间向量基本定理
思维篇
素养篇
知识篇
回顾：
平面向量基本定理
如果a,b是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向
量p，有且只有一对实数x、y，使p=xa+yb .
p
b
O
a
类似地，任意一个空间向量能否用三个不共线的向量a,b,c来表示呢？
方 1.先根据数据凭直观找边界点，确定动点P的轨迹类型；
法 2.再依据类型求轨迹测度.
数学模型
等和线
等和面
Q
P
上图中A、B分别为线段OC、OD中点.
P、Q分别为直线AB、CD上的动点，则
(1) OP xOA yOB
x+y=?；
(2) OQ xOA yOB
x+y=？
(先找特殊位置，然后给出一般化的结论)
思
想
问
题
之
是六面体AC'内部(含表面)一动点,满足条件：
=x+ + ’,
2
3
则点P轨迹的体积为
解
基
底
思
想
答
+
数
形
结
合
方
法
总
结
且0≤x+y+z≤3
.
1
1
=x+y( )+z( ’),
2
1
1
以， ， ’为基底,
2
1.2空间向量基本定理
高中数学/人教A版/选修一
c
O
p
P
b
a
Q
1.2空间向量基本定理
思维篇
素养篇
知识篇
回顾：
平面向量基本定理
如果a,b是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向
量p，有且只有一对实数x、y，使p=xa+yb .
p
b
O
a
类似地，任意一个空间向量能否用三个不共线的向量a,b,c来表示呢？
方 1.先根据数据凭直观找边界点，确定动点P的轨迹类型；
法 2.再依据类型求轨迹测度.
数学模型
等和线
等和面
Q
P
上图中A、B分别为线段OC、OD中点.
P、Q分别为直线AB、CD上的动点，则
(1) OP xOA yOB
x+y=?；
(2) OQ xOA yOB
x+y=？
(先找特殊位置，然后给出一般化的结论)
思
想
问
题
之
是六面体AC'内部(含表面)一动点,满足条件：
=x+ + ’,
2
3
则点P轨迹的体积为
解
基
底
思
想
答
+
数
形
结
合
方
法
总
结
且0≤x+y+z≤3
.
1
1
=x+y( )+z( ’),
2
1
1
以， ， ’为基底,
2
1-2 空间向量基本定理(教学课件)—— 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
D.则 a b ， b c ， c a 一定能构成空间的一个基底
解析：在 A 中，若 a b ， b c ，则 a 与 c 相交或平行，故 A 错误； 在 B 中，a，b，c 两两共面，但 a，b，c 不可能共面，故 B 正确； 在 C 中，对空间任一向量 p，总存在有序实数组(x, y, z) ，使 p xa yb zc ， 故 C 正确； 在 D 中， a b ， b c ， c a 一定能构成空间的一个基底，故 D 正确. 故选 BCD.
（2）因为 CE
CC CE
1 2
jk
，
AG
AD
DG
i
1 2
k
，
所以 cos
CE ，AG
|
CE AG CE || AG
|
1 2
j
k
i
5 5
1 2
k
2 5
.
22
2 所以 CE 与 AG 所成角的余弦值为 5 .
1.已知 M、N 分别是四面体 OABC 的棱 OA，BC 的中点，点 P 在线段 MN 上，且
A 为( )
A. 5 ， 1， 1
2
2
B. 5 ，1， 1
2
2
C.
5 2
，1，
1 2
D.
5 2
，1，
1 2
解析：由题意知 d a b c e1 e2 e3 e1 e2 e3
e1 e2 e3 ( )e1 ( )e2 ( )e3 ，
又d
e1
（1）求证： EF //AC ；
（2）求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
解：（1）设 ，k}构成空间的一个单位正交基底.
所以
EF
DF
解析：在 A 中，若 a b ， b c ，则 a 与 c 相交或平行，故 A 错误； 在 B 中，a，b，c 两两共面，但 a，b，c 不可能共面，故 B 正确； 在 C 中，对空间任一向量 p，总存在有序实数组(x, y, z) ，使 p xa yb zc ， 故 C 正确； 在 D 中， a b ， b c ， c a 一定能构成空间的一个基底，故 D 正确. 故选 BCD.
（2）因为 CE
CC CE
1 2
jk
，
AG
AD
DG
i
1 2
k
，
所以 cos
CE ，AG
|
CE AG CE || AG
|
1 2
j
k
i
5 5
1 2
k
2 5
.
22
2 所以 CE 与 AG 所成角的余弦值为 5 .
1.已知 M、N 分别是四面体 OABC 的棱 OA，BC 的中点，点 P 在线段 MN 上，且
A 为( )
A. 5 ， 1， 1
2
2
B. 5 ，1， 1
2
2
C.
5 2
，1，
1 2
D.
5 2
，1，
1 2
解析：由题意知 d a b c e1 e2 e3 e1 e2 e3
e1 e2 e3 ( )e1 ( )e2 ( )e3 ，
又d
e1
（1）求证： EF //AC ；
（2）求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
解：（1）设 ，k}构成空间的一个单位正交基底.
所以
EF
DF
02教学课件_1.2 空间向量基本定理(共26张PPT)
（2）求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值．
解：（1） BC
1
BB1 B1C1 BB1 A1C1 A1 B1 a c b
a b a b cos BAA1 11 cos60
a c b
BC1
2
1
1
a cb c ，
，同理可得
=a,=b,=c,则=
.
1
3
1
答案:2a-2b+2c
1
1
1
1
解析: = 2 ( + )=2(-b+ + )=-2b+2 ( − + −
1
1
1
3
1
)=-2b+2(a+c-2b)=2a-2b+2c.
5.若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正
交分解.
定理辨析
1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可
由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.
2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.
使得p=xa+yb+zc.
2.基底:我们把定理中的 , , 叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共
面的向量都可以构成空间的一个基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底
解：（1） BC
1
BB1 B1C1 BB1 A1C1 A1 B1 a c b
a b a b cos BAA1 11 cos60
a c b
BC1
2
1
1
a cb c ，
，同理可得
=a,=b,=c,则=
.
1
3
1
答案:2a-2b+2c
1
1
1
1
解析: = 2 ( + )=2(-b+ + )=-2b+2 ( − + −
1
1
1
3
1
)=-2b+2(a+c-2b)=2a-2b+2c.
5.若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正
交分解.
定理辨析
1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可
由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.
2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.
使得p=xa+yb+zc.
2.基底:我们把定理中的 , , 叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共
面的向量都可以构成空间的一个基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底
人教A版高中数学选择性必修第一册《空间向量基本定理》名师课件
A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求 、 的坐标．
解析
因为 ＝－ ＝－( ＋ )＝－[ ＋ (＋ )]
＝－ － － .
又| |＝4,||＝4,||＝2,所以 ＝(－2,－1,－4)．
因为 ＝ － ＝ －( ＋ )＝ － － .
形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
变式训练
2、如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,设 ＝a, ＝b, ＝c, P是CA1的
中点,M是CD1的中点.用基底{a,b,c}表示以下向量：(1) ；(2) .
解析
如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中连接AC,AD1.
一的线性表示．
素养提炼
2．空间向量坐标表示注意点
(1)空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应,即若基底为
{e1,e2,e3},b＝λe1＋μe2＋ke3,则b的坐标为(λ,μ,k)．
(2)点的坐标反应了点在空间直角坐标系中的位置,而向量的坐标
实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示,它
又||＝2,||＝4,| |＝4,
所以 ＝(－4,2,－4)．
方法归纳
用坐标表示空间向量的方法步骤
素养提炼
1．对空间向量基本定理的理解
(1)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二
者是相关联的不同概念．
(2)向量基本定理揭示了向量间的线性关系,即任一向量都可由基向量惟
方法归纳
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个向量
是否是共面向量,若不是共面向量,就可以作为一个基底.
人教A版高中数学选择性必修一1.2空间向量基本定理课件
1
2
所以 ∙ 1 = （ − ） ∙（ + + ）
1
2
1
2
1
2
N
B1
A1
证明：设 = ， = ，1=,这三个向量不共面，
{, , ,}构成空间的一个基底，我们用它们表示，1 ，则
1
=1 +1 =
2
M
1
2
A
1
2
C
B
1
2
= ∙+ ∙+ ∙− ∙− ∙− ∙
间的基底不唯一
探究4 基底与基向量的概念有什么不同？
提示：基底是指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的
不同概念．
探究5 零向量可作为基向量吗？
提示：不可以，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，
所以零向量不能作为基向量。反之，若某一向量能作为基向量,就说明它不是零
用·＝0⇔⊥，
用 =
·
求夹角．
ȁȁȁȁ
立体几何的解
课后作业
课本第14、15页
1.课后练习第2、3题
2.习题1.2第4、5、6题
向量.
探究6 类比平面向量基本定理，如果空间的一个基底中的三个基向
量两两垂直,那么这个基底叫什么？
提示：叫做正交基底.
探究7 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，
那么这个基底叫什么？
提示：叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
探究8 什么叫做空间向量正交分解。
提示：把一个空间向量分解成三个两两互相垂直的向量，叫做把空间
2.用基底表示所给的向量
·
3.用 =
2
所以 ∙ 1 = （ − ） ∙（ + + ）
1
2
1
2
1
2
N
B1
A1
证明：设 = ， = ，1=,这三个向量不共面，
{, , ,}构成空间的一个基底，我们用它们表示，1 ，则
1
=1 +1 =
2
M
1
2
A
1
2
C
B
1
2
= ∙+ ∙+ ∙− ∙− ∙− ∙
间的基底不唯一
探究4 基底与基向量的概念有什么不同？
提示：基底是指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的
不同概念．
探究5 零向量可作为基向量吗？
提示：不可以，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，
所以零向量不能作为基向量。反之，若某一向量能作为基向量,就说明它不是零
用·＝0⇔⊥，
用 =
·
求夹角．
ȁȁȁȁ
立体几何的解
课后作业
课本第14、15页
1.课后练习第2、3题
2.习题1.2第4、5、6题
向量.
探究6 类比平面向量基本定理，如果空间的一个基底中的三个基向
量两两垂直,那么这个基底叫什么？
提示：叫做正交基底.
探究7 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，
那么这个基底叫什么？
提示：叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
探究8 什么叫做空间向量正交分解。
提示：把一个空间向量分解成三个两两互相垂直的向量，叫做把空间
2.用基底表示所给的向量
·
3.用 =
高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第一章空间向量基本定理ppt课件(41张ppt))
a＝λ1e1＋λ2e2．
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间 向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空 间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
追问4 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的， 能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？
c
p
a b
P
c
Cp
c
Q
a
aA
b
α
ObB
c
a b
α
P
Cp
c
aA
Q
ObB
P
c
a b
α
Cp
c
aA
Q
ObB
OP OQ QP
P
c
a b
α
CpБайду номын сангаас
c aA xa O b Byb
OP OQ QP xa yb zc
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间 向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空 间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
追问4 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的， 能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？
c
p
a b
P
c
Cp
c
Q
a
aA
b
α
ObB
c
a b
α
P
Cp
c
aA
Q
ObB
P
c
a b
α
Cp
c
aA
Q
ObB
OP OQ QP
P
c
a b
α
CpБайду номын сангаас
c aA xa O b Byb
OP OQ QP xa yb zc
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对 于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
空间向量的基本定理-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册优秀课件
1空.2间空向间量向的量基的本基定本理定-【理-新【教新材教】材人】教人A教 版A高版中（数2学019选）择高性中必数修学第选一择册性优必秀修课第件一 册课件 (共17 张PPT)
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3.若向量M→A，M→B，M→C的起点 M 和终点 A，B，C 互不重合且无三点共线，则
能使向量M→A，M→B，M→C成为空间一组基底的关系是
(3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb. ( )
【解析】(1)错误.若向量a,b,c共面,则表示这三个向量的有向线段可以平
移到同一个平面内,它们所在的直线平行、相交、异面都有可能. (2)错误.当向量a,e1,e2共面时,才有a=λe1+μe2λ,μ∈R). 3)错误.当b=0,a≠0时,不存在实数λ,使a=λb. 答案:(1)× (2)× (3)×
不共面
特别地，如果空间的一 个基底中三个基向量两 两垂直，且长度都为 1， 这个基底叫 _单_位_正_交__基_底___,常用 a, b, c 表示，把空间向量分解 为三个两两 垂直的向量，叫作把空 间向量进行 __正_交_分__解_.
空间向量的基本定理-【新教材】人教 A版高 中数学 选择性 必修第 一册优 秀课件
空间向量的基本定理
1．我们把具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量． 2．什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？ 3．空间向量加法满足 交换律 、 结合律 ． 4．你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？ 5. 平面向量基本定理的内容是什么？在空间中有类似的 定理吗？
1空.2间空向间量向的量基的本基定本理定-【理-新【教新材教】材人】教人A教 版A高版中（数2学019选）择高性中必数修学第选一择册性优必秀修课第件一 册课件 (共17 张PPT)
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3.若向量M→A，M→B，M→C的起点 M 和终点 A，B，C 互不重合且无三点共线，则
能使向量M→A，M→B，M→C成为空间一组基底的关系是
(3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb. ( )
【解析】(1)错误.若向量a,b,c共面,则表示这三个向量的有向线段可以平
移到同一个平面内,它们所在的直线平行、相交、异面都有可能. (2)错误.当向量a,e1,e2共面时,才有a=λe1+μe2λ,μ∈R). 3)错误.当b=0,a≠0时,不存在实数λ,使a=λb. 答案:(1)× (2)× (3)×
不共面
特别地，如果空间的一 个基底中三个基向量两 两垂直，且长度都为 1， 这个基底叫 _单_位_正_交__基_底___,常用 a, b, c 表示，把空间向量分解 为三个两两 垂直的向量，叫作把空 间向量进行 __正_交_分__解_.
空间向量的基本定理-【新教材】人教 A版高 中数学 选择性 必修第 一册优 秀课件
空间向量的基本定理
1．我们把具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量． 2．什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？ 3．空间向量加法满足 交换律 、 结合律 ． 4．你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？ 5. 平面向量基本定理的内容是什么？在空间中有类似的 定理吗？