非线性系统相平面法教学中的新方法

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非线性系统稳定性分析与优化策略

非线性系统稳定性分析与优化策略随着科技的快速发展，非线性系统在各个领域中得到了广泛应用。

然而，与线性系统相比，非线性系统的稳定性分析和优化策略更复杂。

本文将探讨非线性系统的稳定性分析方法和优化策略，帮助读者更好地理解和处理非线性系统问题。

一、非线性系统的稳定性分析稳定性是非线性系统分析中的一个关键问题。

线性系统的稳定性可以通过特征值判断，但是非线性系统没有明确的特征值概念，因此需要采用其他方法进行稳定性分析。

1. 相位平面分析法相位平面分析法是一种常用的非线性系统稳定性分析方法。

它通过绘制系统的相轨图，观察相轨图的性质来判断系统的稳定性。

相位平面分析法可以帮助人们直观地理解非线性系统在不同参数条件下的运动规律。

2. 极限环分析法极限环分析法是非线性系统稳定性分析的另一种重要方法。

它基于极限环的概念，通过研究系统解的渐进运动情况来判断系统的稳定性。

极限环分析法适用于周期性运动的系统，可以帮助人们发现系统中存在的周期解。

3. 李雅普诺夫稳定性分析法李雅普诺夫稳定性分析法是一种更为严格和常用的非线性系统稳定性分析方法。

它通过研究系统解的性质和李雅普诺夫函数的变化情况来判断系统的稳定性。

李雅普诺夫稳定性分析法要求系统解必须满足一定的正定性和负定性条件，可以提供较为可靠的稳定性判断。

二、非线性系统的优化策略非线性系统的优化策略是指在系统设计中，通过调整或改变系统参数，以达到特定目标或满足特定要求的方法。

优化策略可以针对系统的性能、稳定性和鲁棒性等方面进行。

1. 参数优化参数优化是非线性系统优化中常用的策略之一。

通过调整系统中的参数，使系统达到最佳性能或最佳稳定性。

参数优化可以采用数值优化方法，如遗传算法、粒子群优化等，以搜索最优参数组合。

2. 控制策略优化控制策略优化是针对非线性系统控制方法的优化策略。

通过改进和调整控制算法，使系统具有更好的稳定性和鲁棒性。

控制策略优化可以基于强化学习、模糊控制等方法，以提高系统的性能。

非线性系统分析方法

解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
X
3. 绘制线性部分的极坐标图
4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质
1 N(X)
X
-1.56 300 400 B -1 -0.5
X 130 A 140
120 G(j)
趋于奇点远离奇点包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n x n2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
••
•
x 2n x n2 x 0
dx/dt x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为不稳定节点
者是自持振荡的
自持振荡点 a 振荡幅值=Xa
振荡频率=a
Im Re
X a
0
1 G(j) N ( X )
例：已知死区继电非线性系统如图
R(s)
+M
460
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3

西工大、西交大自动控制原理第八章非线性系统_02_相平面法

稳定的极限环：周期运动稳定起始于极限环内部或外部的相轨迹最终均卷向该极限环
c
0
c
三、奇点和奇线
奇线－－极限环极限环的三种类型
不稳定的极限环：周期运动不稳定
起始于极限环内部或外部的相轨迹最终均卷离该极限
环
c
0
c
三、奇点和奇线
奇线－－极限环
极限环的三种类型
半稳定的极限环
起始于极限环内部（或外部）的相轨迹最终卷向该
三、奇点和奇线
奇点零输入线性二阶系统奇点 (0, 0) 的分类：焦点：当特征根为一对具有负实部的共轭复根时，奇点为
稳定焦点；当特征根为一对具有正实部的共轭复根时，奇点为不稳定焦点。节点：当特征根为两个负实根时，奇点为稳定节点；当特征根为两个正实根时，奇点为不稳定节点。鞍点：当特征根一个为正实根，一个为负实根时，奇点为鞍点。中心点：当特征根为一对纯虚根时，奇点为中心点。
x1 x1
0 0
x2 2
x 2
0
三、奇点和奇线
[例1]
为确定奇点类型，在奇点处将微分方程展开为泰勒级数，并略去高次项：在奇点 (0, 0) 处有：
f ( x, x ) 2,
x
x0 x 0
f
( x, x
x )
x0 x 0
0.5
故有：x 0.5x 2x 0
特征根： s1,2 0.25 j1.39 ，奇点为稳定焦点
a a
等倾线方程为： c(t ) c0 a(c(t ) c0 )
（相轨迹）
c
c
0
c
0
t
a0
3、线性系统的相轨迹
线性二阶系统的相轨迹 (b 0)
c
c

非线性控制系统的相平面分析法讲解

7-5 非线性控制系统的相平面分析法相平面法在分析非线性系统时是很有用处的。

但是，我们在介绍非线性系统的分析方法之前，先讨论一下相平面法在分析线性二阶系统中的应用是很有好处的。

因为许多非线性元件特性一般都可分段用线性方程来表示，所以非线性控制系统也可以用分段线性系统来近似。

一、线性控制系统的相平面分析1、阶跃响应设线性二阶控制系统如图7-38所示。

若系统开始处于平衡状态。

试求系统在阶跃函数)(1)(0t R t r ⋅=　作用下，在e e -平面上的相轨迹。

建立系统微分方程式，由图示系统可得Ke c cT =+ 因为c r e -=，代入上式得r r T Ke e e T +=++ （7-31）对于->⋅=0),(1)(0t t R t r 时，0)()(==t r t r因此上式可写成0=++Ke e e T （7-32）方程（7-32）与（7-22）式相仿。

因为假设系统开始处于平衡状态，所以误差信号的初始条件是0)0(R e =和0)0(=e。

e e -平面上的相轨迹起始于)0,(0R 点，而收敛于原点(系统的奇点)。

当系统特征方程的根是共轭复数根，并且位于左半平面时，其相轨迹如图7-39(a)所示。

根据ee -平面上的相轨迹就可方便的求得c c -平面上系统输出的相轨迹，如图7-39(b)所示。

由图7-39可见，欠阻尼情况下系统的最大超调量P σ及系统在稳态时的误差为零。

因为e e -平面相轨迹最终到原点，即奇点；所以在cc -平面上相轨迹最终到达0R c =的稳态值，则奇点坐标为)0,(0R 。

2、斜坡响应对于斜坡输入t V t r 0)(=；当0>t 时，)(t r 的导数0)(V t r= 及0)(=t r 。

因此，方程（7-31）可以写成0V Ke e eT =++ 或 0)(0=-++KV e K e e T 令v e K V e =-0，代入上式，则有0V Ke ee T =++ννν （7-33）在v v ee -平面上，方程（7-33）给出了相平面图与在e e -平面上方程（7-32）给出的相平面图是相同的。

非线性系统的相平面法分析

实验九实验九非线性系统的相平面法分析非线性系统的相平面法分析一．实验目的一．实验目的1．掌握相平面法分析非线性系统；．掌握相平面法分析非线性系统；2．用相平面法分析非线性二阶系统，并绘制相轨迹图；．用相平面法分析非线性二阶系统，并绘制相轨迹图；二．实验内容1．搭建继电型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图；．搭建继电型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图；2．搭建带速度反馈的继电型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图；．搭建带速度反馈的继电型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图； 3．搭建饱和型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图。

．搭建饱和型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图。

三．实验步骤三．实验步骤在实验中观测实验结果时，可选用普通示波器，也可选用本实验台上的虚拟示波器。

在实验中观测实验结果时，可选用普通示波器，也可选用本实验台上的虚拟示波器。

如果选用虚拟示波器，如果选用虚拟示波器，只要运行只要运行ACES 程序，程序，选择菜单列表中的相应实验项目，选择菜单列表中的相应实验项目，选择菜单列表中的相应实验项目，再选择再选择开始实验，就会打开虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验台上的虚拟示波器CH1、CH2两通道观察被测波形。

具体用法参见用户手册中的示波器部分。

两通道观察被测波形。

具体用法参见用户手册中的示波器部分。

1．继电型非线性二阶系统．继电型非线性二阶系统实验中所用到的功能区域：实验中所用到的功能区域：阶跃信号、虚拟示波器、实验电路A1A1、、A2A2、、A3A3、、A5A5、、A6A6。

继电型非线性二阶系统模拟电路如图1-9-1所示所示图1-9-1继电型非线性二阶系统模拟电路继电型非线性二阶系统模拟电路（1）设置阶跃信号源：设置阶跃信号源：A ．将阶跃信号区的选择开关拨至“．将阶跃信号区的选择开关拨至“00～5V 5V””； B ．将阶跃信号区的“．将阶跃信号区的“00～5V 5V”端子与实验电路”端子与实验电路A1的“的“IN11IN11IN11”端子相连接；”端子相连接；”端子相连接； C ．按压阶跃信号区的红色开关按钮就可以在“．按压阶跃信号区的红色开关按钮就可以在“00～5V 5V”端子产生阶跃信号。

非线性动力系统的建模与分析

非线性动力系统的建模与分析非线性动力系统是指其运动方程包含非线性项的动力系统。

与线性动力系统不同，非线性动力系统具有更加复杂的行为和特性。

因此，建模和分析非线性动力系统是理解和预测实际系统行为的重要一环。

本文将介绍非线性动力系统的建模方法以及各种分析工具和技术。

一、非线性动力系统建模方法：1. 分析系统的特性：了解系统的背景和工作原理，找出系统的主要组成部分和相互作用关系。

这样可以更好地理解系统行为和特性，为后续的建模提供基础。

2. 选择适当的数学模型：非线性动力系统可以用多种数学模型进行描述，如微分方程、差分方程、动力学方程等。

根据系统的特性和需求，选择适合的数学模型是非常重要的。

3. 确定系统的状态变量：状态变量是描述系统状态的变量，可以是位置、速度、温度等。

根据系统的特性和需要，确定适当的状态变量是非线性动力系统建模的关键一步。

4. 构建系统的运动方程：根据数学模型和状态变量，建立非线性动力系统的运动方程。

这些方程描述了系统的演化规律和相互关系，是进一步分析系统行为的基础。

5. 校验和验证模型：将模型与实际数据进行比较和验证，确保模型能够准确描述系统的行为和特性。

如果有必要，可以对模型进行调整和改进，以提高模型的准确性和可靠性。

二、非线性动力系统分析工具和技术：1. 稳态分析：稳态分析是研究系统在长时间尺度下的行为稳定性和平衡点的性质。

通过稳态分析，可以判断系统的稳定性和吸引子的性质，进一步预测系统的长期行为。

2. 线性化分析：将非线性动力系统线性化为一组近似的线性方程，以便在局部范围内对系统进行分析。

线性化分析可以简化非线性系统的复杂性，从而更好地理解系统的行为和特性。

3. 相平面分析：相平面分析是用相图表示系统状态的演化和相互关系。

通过分析相图的特征，可以得到系统的稳定性和周期解等信息，为进一步研究系统的行为提供参考。

4. 分岔分析：分岔分析是研究系统参数变化时系统行为的变化和性质的分析方法。

如何在工程力学中处理非线性问题？

如何在工程力学中处理非线性问题？在工程力学的广袤领域中，非线性问题是一个复杂而关键的挑战。

它们不像线性问题那样遵循简单的比例关系，而是呈现出复杂、多变的特性，给分析和解决带来了巨大的困难。

但理解并有效处理这些非线性问题对于确保工程结构的安全性、可靠性和性能优化至关重要。

首先，让我们弄清楚什么是非线性问题。

在工程力学中，当系统的响应与输入不成正比关系时，就出现了非线性。

比如说，材料的应力应变关系不再是简单的直线，而是呈现出复杂的曲线；或者结构的变形与所受的载荷不再是线性增长的。

这种非线性可能源于材料的特性、几何形状的大变形、边界条件的复杂性等多个方面。

那么，如何来处理这些非线性问题呢？一种常见的方法是数值分析。

有限元法就是其中应用广泛的一种。

通过将结构离散化为许多小单元，建立每个单元的力学方程，然后组合起来求解整个结构的响应。

在处理非线性问题时，需要考虑材料非线性（如塑性、超弹性等）、几何非线性（大位移、大转动等）以及接触非线性（两个物体之间的接触和摩擦）等。

在材料非线性方面，我们需要准确描述材料的本构关系。

例如，对于塑性材料，需要确定屈服准则、强化规律等。

这通常需要通过实验来获取材料的性能参数，并将其引入数值模型中。

而且，不同的材料可能有不同的非线性行为，比如金属的塑性变形和橡胶的超弹性，这就要求我们选择合适的本构模型来准确模拟材料的响应。

几何非线性则在结构发生大变形时显得尤为重要。

当结构的变形量足够大，以至于不能忽略其对刚度和平衡方程的影响时，就必须考虑几何非线性。

例如，一根细长的梁在大挠度情况下，其弯曲刚度会发生变化，不再是简单的常量。

处理几何非线性问题需要更新结构的几何形状和刚度矩阵，以反映变形的影响。

接触非线性也是工程中常见的问题，比如机械零件之间的接触、地基与基础的接触等。

在接触问题中，需要确定接触区域、接触力的分布以及可能的摩擦行为。

这需要复杂的接触算法来处理接触状态的变化，包括接触的建立、分离和滑动。

非线性控制系统相平面分析

因此相轨迹如右图：
2.当输入信号r(t)=R+vt，则 r(t) 0, r(t) v，各区域线性方程如下：
Te e KM v Te e Ke v Te e KM v
e0 e, x M e0 e e0 , x e e e0 , x M
可见，在线性区域，系统存在奇点位于(v/K,0)，该奇点
4. 经线性化后，非线性控制系统在各段成为了线性系统。在相平面上，相当于将整个相平面分为若干区域，其中每一区域对应于系统的一个线性工作状态，可由一个线性微分方程描述，不同分区域的分界线称为相平面开关线。
5. 由于存在分区情况，因此系统在某个区域线性微分方程所对应的奇点可能并不位于该区域，这类奇点称为虚奇点，即系统实际上是无法运行到该平衡点上的。反之，若某个区域线性微分方程对应的奇点就位于同一区域，则称该类奇点为实奇点。
X (s) s(Ts )
将c(t)=r(t)-e(t)代入方程：
Te(t) e(t) Kx(t) Tr(t) r(t)
式中e(t),x(t)为饱和非线性的输出。根据饱和非线性的输入输出特性，可将相平面分为：正饱和、负饱和以及线性区域，如右图。
1.当输入信号r(t)=R时，r(t) 0, r(t) ，0 则各区域上线
只可能是稳定焦点或节点。在正饱和区，系统的相轨迹渐近于该奇点只可能是稳定焦点或节点。在正饱和区区，，系系统统的的相相轨轨迹迹渐渐近近于于另α 相一线条α相e线 v ；KM在负。饱和
e v KM
根据所给的定参数的不同，这些渐近线在相平面上的位置也不同，同时根据相轨迹走向这一性质，可画出三种情况下系统的相轨迹如下图。
性方程如下：
二阶线性
Te e KM 0 Te e Ke 0 Te e KM 0

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行分区。而后在每个区内对应一个线性系统，绘制相应的相轨迹。我们所说的面就是指：用非线性运特性对相平面进行方程的过程。这一过程是非线性系统相平面分析的必要过程，是线性系统分析转化为非线性系也统分析的关键步骤。但多数教材并没有对这一过程做专门论述，使得学生只能通过例题掌握这部分的内容。具体说来，包括以下内容： ①选择合适的变量和坐标系；运用非线性环节提供的开关线， ② 对相平面进行分区； ③在各个分区内，段列写线性微分方分程； ④在每个分区运用点和线的方法，分段绘制相轨迹，连接为一条完整的相平面图。并
第３４卷
第４期
电气电子教学学报
ＪＲＮＡＬＯＦＥＥＯＵＥ
Ｖｏ．４Ｎｏ４１３．
Ａｕ．０１ｇ２２
２１０２年８月
非线性系统相平面法教学中的新方法
王冰
（河海大学能源与电气学院，南京江苏２１０）１１０
ｐｏｅｓａａｒｔｌｎｅｔｊｃｒｏｏｔ，ｉｅａｄｐａｅｈｓｐｒａｈｉｅｓａｎａｄｕｅｏｅｒｃｓｒｎｒｅａｇｔａｔｙｆｉｓｌｎｌ．Ｔｉａｐｏｃａｙｔｌｒｎｓｄｔｓｌｅａｄｏｈｒｅｏｐｎｎｎｓｏｅｏｖ
斜率，均为Ｏｔ。相轨迹上具有等斜率点的连线称为
等倾斜。理论上，如令Ｏ为不同的常数Ｏ、 … ，ｔｇ根据等倾线方程可在相平面上绘制若干条等倾线。当
等倾线足够密集时，在等倾向上的短线方向作一小线段，与第二条等倾线相交；再由这个交点按照第二条等倾线上的短线方向作一小线段，与第三条等倾线相交；次连接作下去，依可得到一条从起点出发的完整的相轨迹。这种等倾线法是一种应用性较强的
失彼，面对习题也无从下手。
１相平面中的点
首先看看相轨迹上的点，体来说包括两类：具起
点和奇点。所谓起点，即相轨迹的起始点。在绘制相轨迹中，根据相平面选取的坐标，通过已知的初始
条件可以推得相关的信息。奇点也称为平衡点，体定义如下：具二阶系统微分方程的一般形式为
上述内容通过点、和面总结了相平面法学习线要点，新的视角解析如何掌握这种较为复杂的非从线性系统分析方法，帮助学生更加系统和有条理能地掌握这一控制理论中的经典分析方法。具体过程可参文献［］的例题，３中以作为对本方法的实例。
２相平面中的线
在对相轨迹的点进行分析后，们运用线的功我能对相轨迹进行完善和准确定位。这里的线也包括两类：等倾线和渐近线。先来看看等倾线的概念，由式（）以在相平２可面上画出一条线，条线上的各点具有相同的切线这
第４期
王
冰：非线性系统相平面法教学中的新方法
＝ｘｘｄ，，ｄ／ｘ：（）所以相轨迹上每一点切线的斜率为
＝
（）１
（）２
我们绘制非线性系统相轨迹是有帮助的，其是在尤不同区域过渡时，以作为绘制相轨迹的参照线。可至此，我们已经分析了两点（点和奇点）起和两线（等倾线和渐近线）使用方法，于一般线性系的对
ＮｅＡｐｒａｈｉｈｅｃｉｇｏｈｓｌｎｅｈｄｏｎｉｅｒＳｓｅｓｗｐｏｃｎｔｅＴａｈｎｆＰａｅＰａｅＭｔｏｆＮｏｌａｙｔｍｎ
ＷＡＮＧｎＢｉｇ
（ｏｌｅｏｎｒｙａｄＥｅｔｃｌｎｉｅｒｇ，ｏａＣｌｇｅｆＥｅｎｌｒａｇｎｅｉＨｈｉ胁ｚｇｃｉＥｎ，ｎｎ１１０ＣｉａＮａｊｇ２ｌ０，ｈｎ）ｉ
在长期教学的基础上，我们将该部分内容用点、线、面加以归纳总结，于学生掌握，运用于具体便并习题的求解中。现在，们从点、、三个方面来我线面解析这部分的内容，其中的主要理论和方法串接将
起来讨论。
论关于非线性系统的重要的章节，要讲述了两种主非线性系统分析方法：相平面法和描述函数法，一些论文对这部分的教学作了有益的探讨 ¨ 。Ｊ在非线性系统分析这一章的教学中，平面法相是其中的重点和难点。多数教材在这一部分叙述中都包括以下部分：平面的基本概念、相相轨迹的绘制方法、性系统的相平面分析、线非线性系统的相平面分析．。其中，涉及到大量的理论概念也包括４ｊ既多种实际应用的操作方法，学生在学习中往往顾此
绘制相轨迹的工程方法，但是在课堂教学中可操作性较差。我们更希望采用等倾斜线作为对点的补充，相轨迹绘制中为一些关键点（轨迹与坐标在如
４结语
笔者在“ 动控制原理” 自课程的教学中，发现相平面法部分由于内容分散和线索不清等问题，教给
ｔｅｅｅｃｓｓＴｅｔａｈｎｅｕｔｉｅｔｒｔａｆｒ．ｈｘｒｉｅ．ｈｅｃｉｇｒｓｌｓｂｔｈｎｂｅｏｅｅＫｅｗｏｄｐｈｓａｅｍｅｈｄ；ｎｎｉｅｒｓｓｅ；ａｔｍａｉｏｔｏｒｎｉｌｙｒｓ：ａｅｐｌｎｔｏｏｌｎａｙｔｍｕｏｔｃｃｎｒｌｐｉｃｐｅ
“自动控制原理 ” 程是工科电气信息类各专课业一门重要的技术基础课。通过本课程的学习，使学生掌握自动控制系统的基本原理和分析方法，建
立校正概念。其中，线性系统分析是经典控制理非
摘要：自 “ 动控制原理” 课程是电气信息类专业的一门主干基础课，其中相平面法部分一直是教学中的难点。笔者总结出一种新教学方法，通
过对相平面法中理论和方法的解构，分为点、、线面描述这部分的主要知识点和分析过程，以清晰的逻辑线索将相关理论和方法串接起来，于便学生掌握和求解习题，取得了良好的教学效果。关键词：相平面法；非线性系统；自动控制原理中图分类号：Ｐ３Ｔ１文献标识码：Ａ文章编号：０８０８２１０－ｉ８０１０－６（０２）４０－３６０
的准确位置，据奇点的情况，根就可以大致绘制出相轨迹的形状。另外，点又可分为稳定和不稳定两奇
大类，一般情况下，稳定的奇点就是相轨迹的收敛
点，也是终点；稳定的奇点是相轨迹的发散点，不也是起点。所以通过点的分析，可以获知相轨迹的就起点和终点信息，了解轨迹的大致形态和轮廓，并为下一步线的运用，供基准点和参考。提
ＡｂｔａｔｕｏｔｏｔｌＰｉｃｐｅｉｏｅｏｈｒｒｏｒｅｎｅｅｔｃｌａｄｉｆｒｔｎｌｓｅｉｔｓｓｒｃ：ＡｔｍａｉＣｎｒｒｉｌｓｎｆｔｅｐｉｙｃｕｓｓｉｌｃｒａｎｎｏｍａｉａｐｃａｉ，ｃｏｎｍａｉｏｌｅｗｅｅｌａｎｎｈｈｓｌｎｔｏｓａｗａｓｄｆｃｌｆｒｔｅｓｄｎｓＡｎｗｅｃｉｇｍｅｈｄｉｐｏｏｅｎｈｒｅｒｉｇｔｅｐａｅｐａｅｍｅｈｄｉｌｙｉｉｕｔｏｈｔｅｔ．ｅｔａｈｎｔｏｓｒｐｓｄｉｆｕｔｉｐｐｒｈｏｇｅｏｓｒｃｉｇｔｅｔｅｒｎｔｏｓｏｈｓｌｎｔｏｈｓａｅ．Ｔｒｕｈｄｃｎｔｔｈｈｏａｄｍｅｈｄｆｐａｅｐａｅｍｅｈｄ，ｔｅｍａｎｐｉｔｎｎｌｓｓｕｎｙｈｉｏｎｓａｄａａｙｉ
收稿日期：０２１６；２１－－修回日期：０２４７００２１－－００
作者简介：王
冰（９５）男，１７一，博士，副教授，主要从事非线性控制理论和能源控制技术等教学和研究工作：－ａ：ｅｉｋｇｈ．ｄ．ｎＥｍｉｉｋｇｉ＠ｈｕｅｕｃｌｃｎｎ
３相平面中的面