2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题(含答案)
2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)
沈超（绍兴文理学院附中）
何展羽（绍兴市建功中学）
徐建峰（绍兴市袍江中学）
蒋卓征（绍兴一中初中部）
马致远（绍兴市树人中学）
金标（绍兴市文澜中学）
何忆琳（绍兴一中初中部）
金倩倩（绍兴市树人中学）
陈天宇（绍兴市元培中学）
宋佳菲（绍兴市长城中学）
周雨晨（绍兴市建功中学）
骆天阳（绍兴市建功中学）
金梦怡（绍兴市建功中学）
初三组(19名)
施方正（绍兴市建功中学）
陈杰（绍兴市锡麟中学）
戚梦莱（绍兴一中初中部）
陈方地（绍兴市昌安实验学校）
魏双达（绍兴市建功中学）
谢建刚（绍兴市袍江中学）
王一鸣（绍兴市袍江中学）
陶嘉豪（绍兴一中初中部）
李祝坚（绍兴文理学院附中）
徐阆平(诸暨市天马学校)
蒋泽泽（诸暨市天马学校）
杨许莹（诸暨市天马学校）
闾程豪（嵊州中学）
戴恒帆(上虞市华维学校)
李斌彬(上虞市实验中学)
胡剑青（越城区皋埠镇中）
王琼琼（新昌县城关中学）
郑润坤（嵊州市城关中学）
过思甸（嵊州中学）
吕不己（新昌县城关中学）
顾尤佳（越城区皋埠镇中）
何琪琪（绍兴市长城中学）
袁野(诸暨市天马学校)
毛慧子(诸暨市天马学校)
杨磊(绍兴一中初中部)
裘楚楚(诸暨市荣怀学校)
张朱文(诸暨市海亮学校)
陆德健(诸暨市天马学校)
范世杰(诸暨市天马学校)
桑扬(绍兴一中初中部)
袁超宇(诸暨市天马学校)
何赛(诸暨市天马学校)
蒋观青(诸暨市天马学校)
马毓秀(绍兴一中初中部)
俞钱(诸暨市天马学校)
韩宇闻（绍兴市建功中学）
2008—2017年全国初中数学竞赛试题含答案
“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x，y满足：4x4－2x2＝3，y4＋y2＝3，则4x4＋y4的值为（）（A）7 （B）1＋132（C）7＋132（D）52．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）（A）512（B）49（C）1736（D）123．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有（）（A）6条（B）8条（C）10条（D）124．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1．以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）（A）52a（B）1 （C）32（D）a5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v＝uv＋v．若关于x的方程x*（a*x）＝－1 4有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是_______．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟．8．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为______．9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为______．10．关于x，y的方程x2＋y2＝208(x－y)的所有正整数解为________．三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）FMD C BA11．在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根？13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．简答： 一． 选择题 ACBBD ； 二．填空题 6. a ＞ 0 或 a ＜－1； 7. 4； 8. 9； 9.163； 10. x ＝48， x ＝160，y ＝32； y ＝32． 三．解答题：11. （1）k ＝2b －b 22(b ＋3)，b ＞ 2； （2）当 b ＝2＋10， k ＝－1时，△OAB 面积的最小值为7＋210； 12. 存在满足题设条件的质数p ，q . 当p ＝2，q ＝5时，方程2x 2－5x ＋ 2＝0 的两根为 x 1＝12， x 2＝2. 它们都是有理数； 13. 存在满足条件的三角形. △ABC 的边 a ＝6，b ＝4，c ＝5，且∠A ＝2∠B ，证明略. 14. n 的最小值是5，证明略．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于（ ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为22(3)0b a b ++-=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BCAB AC=，即11aa a =+， 所以， 210a a --=．由0a >，解得152a +=． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（ ）． （A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y（第2题）看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16.5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（ ）． （A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组 【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为 22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数． 由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0， 解得 2y ≤11616.577≈．于是 2y 01 4 9 16 ∆11610988534显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求． 当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-； 当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==． 所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装（第4题）图1 图2在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kxky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=， 则 237501150003000x y +==+．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为 ． 解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ． 由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EFA 中，90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EFA ，AH AF AF AE=.而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．【答】 10．（第7题）解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．【答】6027． 解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以EF BFAC BC =， 即 201520x x-=，解得607x =．所以60227CE x ==．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ． 【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以（第9题）（第10题）4x x =--， 解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值. 解：（1）联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+=221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ②………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③………………10分t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 222-≤t ≤222+. 所以，t 的取值范围为222-≤t ≤222+. ⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22c t =-+在222-≤t ≤222+时是递增的，所以，当222t =- 时,2min 3211162(21)2224c -=--+=. ………………20分12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．………………5分因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分 又02009a <<，所以0110k =，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分 因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CDDF BE AB=⋅． 同理可得 CEEG AD AB=⋅．………………10分又因为tan AD BE ACB CD CE∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅，于是可得 DF EG =． ………………20分（第13A题）解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E 四点共圆，故CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分 所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n =，，，．即 12()1n ii a a a a b n +++-=-．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j i i j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分（第13A题）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若20 10a b b c==，，则a bb c ++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011解：D 由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++． 代数式变形，同除b2．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是 （ ）．（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++=的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．方程思想，未达定理；要解一元二次不等式3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为（ ）． （A ）26 （B ）64 （C ）64+ （D ）622+解：D如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得BE =AE =6，CF ＝22，DF ＝26，（第3题）于是 EF ＝4＋6．过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得AD 222(46)(6)(224)=++=+＝226+．勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭ （取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2． 高斯函数；找规律。
2008年全国初中数学联赛
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的．将你所选择的答案的代号填在题后的括号内．每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分． 1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b +的值为 （ ） A ．5B ．7C ．9D ．11.【答案】B【解析】 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以a ，b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====． 故选B 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（ ） A ．185B ．4C ．215D ．245【答案】D【解析】 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知B ，C ，E ，F 四点共圆，于是AEF ABC △∽△，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=． 在Rt ABE △中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=．故选D3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）A ．15B ．310C ．25D ．12. 【答案】C【解析】 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个．所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=．故选C 4．在ABC △中，12ABC ∠=，132ACB ∠=，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ ） A ．BM CN > B ．BM CN =EFDCBAC ．BM CN <D ．BM 和CN 的大小关系不确定【答案】B【解析】∵12ABC ∠=，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=-=． 又180********BCM ACB ∠=-∠=-=，∴180844848BMC ∠=--=， ∴BM BC =．又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=-∠=-=，∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=-∠-∠=--∠+∠168(13224)=-+12ABC ==∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==．故选B5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为 （ ）A ．398T ⎛⎫ ⎪⎝⎭.B ．498⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ．598⎛⎫⎪⎝⎭. D ．98.【答案】B.【解析】 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况．设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为()()98110%120%1010kn kkn ka a --⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中k 为自然数，且0k n ≤≤．要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：981010in ia -⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1188(1010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22991010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，44981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中i 为不超过n 的自然数.所以r 的最小值为44498910108981010i n i i n ia a +---⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ．6．已知实数x ，y 满足(2008x y =，则223233x y x y -+-2007-的值为（ ）A ．2008-B ．2008C ．1-D ．1.【答案】D ．【解析】∵(2008x y=，∴xy=y x=由以上两式可得x y =．所以(22008x =，解得22008x =，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=．故选D ．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设a ，则5432322a a a a a a a +---+=- ． 【答案】 2- 【解析】∵221a a ==-⎝⎭，∴21a a +=，∴()()32325432322222a a a a a a a a a a a a a a a a+--+++---+=-⋅- ()()333322212111(11)211a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----． 2．如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD所在直线上的两点，且AM 135MAN ∠=，则四边形AMCN 的面积为 ．【答案】 52【解析】 设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，则AO BD ⊥，AO OB =MO∴MB MO OB =-=又135ABM NDA ∠=∠=，13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=--∠45MAB AMB =-∠=∠， 所以ADN MBA △∽△，故AD DN MB BA =，从而1AD DN BA MB =⋅=． 根据对称性可知，四边形AMCN 的面积115222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯+=⎝△．3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q += ．【答案】 12【解析】 根据题意，m ，n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =．∵1m n +≤，∴1m n m n ++≤≤，1m n m n -+≤≤．∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +=≤≤．22244()()()11b mn m n m n m n ==+--+--≥≥，故14b -≥，等号当且仅当12m n =-=时取得；O MNDCBA22244()()1()1b mn m n m n m n ==+----≤≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得．所以14p =，14q =-，于是12p q +=．4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 ． 【答案】1 【解析】 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位；24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位； 210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位； 232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位； 2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位； 此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位．2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位．所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1．第二试 （A ）一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ ①恒成立.当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值．【解析】 整理不等式①并将221a b +=代入，得2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ ②在不等式②中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥．易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥．由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ③ 消去b ，得42161610a a -+=，所以2a 或2a =． 又因为0a ≥，所以a 或a ，于是方程组③的解为a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为a，b和a =，b =．二．（本题满分25分）如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =．⑴ 证明：点O 在圆D 的圆周上．⑵ 设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值． 【解析】⑴ 连OA ，OB ，OC ，AC ，因为O 为圆心，AB BC =， 所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠． 因为OD AB ⊥，DB BC ⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=-∠=-∠=∠， 所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上．⑵ 设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aSl y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=．因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以BDO ABC △∽△，所以BD BOAB AC=，即2r a l y =，故2al r y =．所以322222224422a l a aS S a S r y y y y ⎛⎫==⋅=⋅ ⎪⎝⎭≥，即r 其中等号当a y =时成立，这时AC是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r三．（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且()()2925094511a b a b +=+①求a ，b 的值.【解析】 ①式即2634511509509a b a b++⎛⎫= ⎪⎝⎭，设63509a b m +=，4511509a b n +=，则 509650943511m a n ab --== ② 故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+=③ 由①式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数． 不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-．由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：C E OA BD①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解．②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解． ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解． ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解．⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =． ⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去．综合可知251a =．此时方程③的解为3m =或5023m =（舍去）．把251a =，3m =代入②式，得5093625173b ⨯-⨯==． 第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1x y +=，0xy ≥的一切实数对()x y ，，不等式220ay xy bx -+≥ ①恒成立.当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值.【解析】 由1x y +=，0xy ≥可知01x ≤≤，01y ≤≤．在①式中，令0x =，1y =，得0a ≥；令1x =，0y =，得0b ≥．将1y x =-代入①式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即()()21210a b x a x a ++-++≥②易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ③ 消去b ，得42161610a a -+=，所以2a或2a =，又因为0a ≥，所以a或a ． 于是方程组③的解为a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以满足条件的a ，b 的值有两组，分别为a =，b和a，b = 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）设a 为质数，b ，c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩①② 求()a b c +的值.【解析】 ①式即266341022511509509a b c a b c +-+-⎛⎫=⎪⎝⎭， 设663509a b c m +-=，41022511509a b cn +-=，则5096509423511m a n ab c ---== ③故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= ④由①式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程④有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数．不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-．由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况： ①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解． ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解．③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解．④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解．⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =．⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去．综合可知251a =，此时方程④的解为3m =或5023m =（舍去）． 把251a =，3m =代入③式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-． 代入②式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=．。
全国初中数学联赛试题及答案(2008年).doc
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为 （ B ） )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.提示：,a b 是方程2310x x -+=两个不同根，故3,1a b ab +==.2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为 （ D ） )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 提示：AEF ABC ∆∆，可得185AE =，故AEB ∆中由勾股定理得245BE = 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ C ）)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 提示：卡片一共有20种取法，其中123,15246,459+=+=+=+=，满足条件的有428⨯=种.4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ B ）)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.提示：,BCM BCN ∆∆都是等腰三角形.5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ B ）)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 提示：将价格从高到低排列，相邻价格之间的比值至少是986． 已知实数,x y 满足(2008x y =，则2232x y -+3x3y -2007-的值为 （ D ）)(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.提示：y x y x =-=，同理x y -=x y ==.二、填空题1．设12a =，则5432322a a a a a a a+---+=-_________.-2 提示：210a a +-=2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且AM =135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为___________.25 提示：DNA ABM ∆∆3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q +=__________. 提示：22111,,444b mn y x x y x =≤=++=-满足条件. 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是___________.1提示：平方数为一位数的有3个，平方数为两位数的有6个，依此类推.第二试（A ）一、已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解：设)()1)(1()(bx x b bx ax x x a x f ------=，则)1()1()1()(2222x x b bx x x a x a x f --+---==)1()()1(2222x x b a bx x a -+-+-=)1()1(22x x bx x a --+-当0=x 时，0)0(≥=a f ，当1=x 时，0)1(≥=b f ，故0,0≥≥b a .若0=a ，则1=b ，x x x f -=22)(，不恒大于等于0，故,0≠a 即0>a ，同理0>b .当10<<x 时，)1()12(])1([)(2x x ab x b x a x f --+--= （1） 当x b x a =-)1(，即)1,0(∈+=b a ax 时，0)1()12()(≥--=x x ab x f ，故012≥-ab ，即41≥ab . （2） 当41≥ab ，即012≥-ab 时， 0)1()12(])1([)(2≥--+--=x x ab x b x a x f综上所述，ab 最小值是41，此时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=426426b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=426426b a . 二、如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.解：(1)连接OC OB OA ,,，则OC OB OA ==，又AC AB =，故等腰BCO ABO ∆≅∆，CBO ABO ∠=∠.由于BC 为圆D 的切线，故弦切角ABC ∠所夹劣弧长为OBC ∠所夹劣弧长的2倍，即半径BO 所在直径通过弧AB 的中点，即点O 在圆D 上.（2）连接BD AD ,，则AB BD AD r ≥+=2，故AC AB AB r ⋅=≥224，又S AC AB 2≥⋅，故S r 242≥，即22S r ≥，且当AB 为圆D 的直径时可以取等号，故r 的最小值是22S.三、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ 求a ，b 的值.解：将原等式整理为关于b 的一元二次方程： 0509436)51150936(922=⨯-+⨯-+a a b a b ，由于b 为正整数，则方程判别式)72511(509)509436(94)51150936(2222a a a a -=⨯-⨯⨯-⨯-=∆是完全平方数，即a 725112-为完全平方数，设)(7251122N t t a ∈=-，则a t 7251122=-，即a t t 72)511)(511(=+-，由于1022)511()511(=++-t t ，故)511(),511(t t +-同为奇数或者同为偶数，且不同是被3整除.当2=a 时，检验得2725112⨯-不是完全平方数当3=a 时，检验得3725112⨯-不是完全平方数当5≥a 时，由上面分析可知18436218436272⨯=⨯=⨯=⨯=a a a a a 共4种分解方式可能满足条件.当⎩⎨⎧=+=-a t t 365112511时，385=a 不是整数，当⎩⎨⎧=+=-a t t 185114511时，9509=a 不是整数， 当⎩⎨⎧=+=-365112511t a t 或⎩⎨⎧=+=-at t 251136511时，2917493⨯==a 不是质数，当⎩⎨⎧=+=-a t t 451118511时，251=a 是质数，此时只有7=b 满足条件， 综上所述，251=a ，7=b . 附：一。
2008年全国初中数学竞赛浙江初赛试卷
２００８年全国初中数学竞赛浙江初赛试卷作者：来源：《数学金刊·初中版》2008年第06期一、选择题（每小题6分，共30分）1．已知x＋y＝x-1＋y-1≠0，则xy的值为（）A. －1B. 0C. 1D. 22．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100 m接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（）A. B. C. D.3．如图1，两个反比例函数y＝和y＝（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）A. k1＋k2B. k1－k2C. k1·k2D.4．在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y＝－x2＋6x－的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（）A. 5B. 6C. 7D. 85．如图2，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，则⊙O的半径是（）A. 3B. 4C. 4D. 2二、填空题（每小题6分，共24分）6．△ABC中，∠A和∠B均为锐角，AC＝6，BC＝3，且sinA＝，则cosB的值为_________．7．如图3，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，E是AD延长线上一点，若DE＝AB＝3 cm，CE＝4 cm，则AD的长是_________．8. 已知△ABC为钝角三角形，其最大边AC上有一点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线l，使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作的条数是_________．9．如图4，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB＝4 cm，BC＝6 cm，AE＝CG＝3 cm，BF＝DH＝4 cm，四边形AEPH的面积为5 cm2，则四边形PFCG的面积为_________cm2．三、解答题（本题3小题，共46分）10．（15分）小王、小李两同学玩“石头、剪刀、布”的划拳游戏．游戏规则为：胜一次得3分，平一次得1分，负一次得0分，一共进行7次游戏，游戏结束时，得分高者为胜．（1）若游戏结束后，小王得分为10分，则小王7次游戏比赛的结果是几胜几平几负？（2）若小王前3次游戏比赛的结果是一胜一平一负，则他在后面4次比赛中，要取得怎样的比赛结果，才能保证胜小李？11．（15分）在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b＋2（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|＋|OB|＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．12．（16分）如图5，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB＝AC＝AE．请你说明以下各式成立的理由：（1）∠CAD＝2∠DBE；（2）AD2－AB2＝BD·DC．参考答案见P60。
2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区) (4)
毛慧子(诸暨市天马学校)
杨磊(绍兴一中初中部)
裘楚楚(诸暨市荣怀学校)
张朱文(诸暨市海亮学校)
陆德健(诸暨市天马学校)
范世杰(诸暨市天马学校)
桑扬(绍兴一中初中部)
袁超宇(诸暨市天马学校)
何赛(诸暨市天马学校)
蒋观青(诸暨市天马学校)
马毓秀(绍兴一中初中部)
俞钱(诸暨市天马学校)
吴佳易（新昌县城关中学）
石恒佳（新昌县城关中学）
张天宇（新昌县实验中学）
茹丹丹（新昌县城关中学）
王焱（新昌县实验中学）
董颖娜（越城区东湖镇中）
陈吉根（越城区鉴湖镇中）
王烨（越城区东湖镇中）
薛熠（越城区东湖镇中）
张晓燕（越城区东湖镇中）
谢立峰（越城区皋埠镇中）
鲁香园（越城区皋埠镇中）
屠啸天（越城区皋埠镇中）
杨安良（绍兴市长城中学）
陈霁初（绍兴市长城中学）
周杰（绍兴市长城中学）
沈明星（绍兴市元培中学）
孙力（绍兴一中初中部）
董梦星（绍兴文理学院附中）
卢枫青（绍兴市昌安实验学校）
徐帅（绍兴市长城中学）
袁梦焰（绍兴市建功中学）
章思怡（绍兴市元培中学）
绍兴市属级二等奖(73名)
初二组(42名)
秦梦阳（绍兴市建功中学）
韩宇闻（绍兴市建功中学）
靳昕（绍兴市建功中学）
葛宙（绍兴市建功中学）
屠煜聪（绍兴市建功中学）
陈燕萍（绍兴一中初中部）
楼嘉衡（绍兴一中初中部）
钱佳琪（绍兴一中初中部）
俞颖（绍兴市建功中学）
施政元（绍兴市建功中学）
徐楠平（绍兴市建功中学）
邵瞰华（绍兴一中初中部）
浙江省2008年初中数学联赛(初二组)初赛试卷及答案
2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛模拟试题（本卷满分120分，考试时间120分钟，允许使用科学计算器。
）一、选择题（共8小题，每小题5分，计40分。
每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个正确，请将它前面的代号填入题后的括号内，多选、少选、不选皆不得分。
）1．关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根为2和3，则方程ax 2－bx －c=0的根为（ ） A . －2，－3 B. －6，1 C.2，－3 D. －1，6 2．已知动点P 在边长为2的正方形ABCD 的边上沿着A －B －C －D 匀速运动，x 表示点P 由A 点出发所经过的路程，y 表示△APD 的面积，则y 和x 之间函数关系的图像大致为 （ ）A B C D3．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若所得的和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。
那么，所有的三位数中，“奇和数”有多少个？ （ ） A.200 B.120 C.160 D.100 4．设a 、b 、c 均为正数，若ac bc b a b a c +<+<+，则a 、b 、c 三个数的大小关系是 （ ）A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a5．三角形的三内角A 、B 、C 的对边长分别是a 、 b 、 c(a 、 b 、 c 都是素数)，且满足a ＋b ＋c ＝16，又设∠A 是最小内角。
则cosA 的值是（ ） A .71 B .72 C.4947D.条件不足，无法计算 6．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割．在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉．如果某女士身高为1.60m ，躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为 （ ） Ａ．2.5cm Ｂ．5.1cm Ｃ．7.5cm Ｄ．8.2cm 7．如图2，一个边长分别为3cm 、4cm 、5cm 的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、DC 上，那么这个正方形的面积是（ ）。
2008年全国初中数学竞赛试题
C 《数学周报》杯2008年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5个小题，每小题6分，满分30分）1. 已知实数y x ,满足3,324244=+=-y y x x，则444y x +的值为（ ）。
（A ）7 （B ）2131+ （C ）2137+ （D ）5 2. 把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为n m ,，则二次函数n mx x y ++=2的图像与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）。
（A ）125 （B ）94 （C ）3617 （D ）21 3. 有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（ ）。
（A ）6条 （B ）8条 （C ）10条 （D ）12条4. 已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB=<a 1，以AB 为一边在圆O 内作正ABC ∆，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB=AB=a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）。
（A ）a 25 （B ）1 （C ）23 （D ）a 5. 将1，2，3，4，5这5个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）。
（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）1. 对于实数v u ,定义一种运算“*”为：v uv v u +=*，若关于x 的方程41)(-=**x a x 有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是_______________。
2. 小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车。
假设每辆18路公交车行使速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔时间是_____________分钟。
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2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题
（考试时间：120分钟）
班级__________学号__________姓名______________得分______________
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D
的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）
1． 已知x ＋y ＝x －1＋y －
1≠0，则xy 的值为（ ） （A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2
2． 如图，直线l 1与直线l 2相交，∠α＝60º，点P 在∠α内（不在l 1，l 2上）．小明用下面的方
法作P 的对称点：先以l
1为对称轴作点P 关于l 1的对称点P 1，再以l 2
为对称轴作P 1关于l 2的对称点P 2，然后再以l 1为对称轴作P 2关于l 1的
对称点P 3，以l 2为对称轴作P 3关于l 2的对称点P 4，……，如此继续，
得到一系列点P 1，P 2，P 3，…，P n ．若P n 与P 重合，则n 的最小值是（ ）
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8
3． 甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，如果任意安排四位同
学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（ ）
（A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）112
4． 如图，两个反比例函数y ＝ k 1x 和y ＝ k 2x
（其中k 1＞k 2＞0）在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2
于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形P AOB 的面积为（ ）
（A ）k 1＋k 2 （B ）k 1－k 2 （C ）k 1·k 2 （D ）k 1k 2
5． 在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y ＝－x 2
＋6x －274
的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ）
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8
6． 小明把棱长为4的正方体分割成了29个棱长为整数的小正方体，
则其中棱长为1的小正方体有（ ）
（A ）22个 （B ）23个 （C ）24个 （D ）25个
7． 如图，⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 相切于点D ，与直角边AC 相交
于点E ，且DE ∥BC ．已知AE ＝22，AC ＝32，BC ＝6，则⊙O
的半径是（ ）
（A ）3 （B ）4 （C ）4 3 （D ）2 3
8． 7条长度均为整数厘米的线段：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，满足a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5＜a 6
＜a 7，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若a 1＝1厘米，a 7＝21厘米，则a 6＝（ ）
（A ）18厘米 （B ）13厘米 （C ）8厘米 （D ）5厘米
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9． 若干名同学制作迎奥运卡通图片，他们制作的卡通图片张数
的条形统计图如图所示，设他们制作的卡通图片张数的平均
数为a ，中位数为b ，众数为c ，则a ，b ，c 的大小关系为
_________．
10．△ABC 中，∠A 和∠B 均为锐角，AC ＝6，BC ＝33，且sin A
＝33
，则cos B 的值为_________． 11．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠BCD ＝90º，BC ＝CD ，E 是
AD 延长线上一点，若DE ＝AB ＝3cm ，CE ＝42cm ，则AD 的
长是_________．
12．已知△ABC 为钝角三角形，其最大边AC 上有一点P （点P 与点A ，C 不重合），过点P
作直线l ，使直线l 截△ABC 所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l 可作的条数是_________．
13．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶
来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_________分钟．
14．如图，矩形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，
DA 上，点P 在矩形ABCD 内．若AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AE ＝CG
＝3cm ，BF ＝DH ＝4cm ，四边形AEPH 的面积为5cm 2，则四边形
PFCG 的面积为_________cm 2．
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）
15．（本题满分12分）小王、小李两同学玩“石头、剪刀、布"的划拳游戏．游戏规则为：胜
一次得3分，平一次得1分，负一次得0分，一共进行7次游戏，游戏结束时，得分高者为胜．
（1）若游戏结束后，小王得分为10分，则小王7次游戏比赛的结果是几胜几平几负？
（2）若小王前3次游戏比赛的结果是一胜一平一负，则他在后面4次比赛中，要取得怎样
的比赛结果，才能保证胜小李？
16．（本题满分12分）在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b＋2（k≠0）的图象与x轴、y 轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|＋|OB|＋3．
（1）用b表示k；
（2）求△OAB面积的最小值．
17．（本题满分12分）如图，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E
在AD上，且AB＝AC＝AE．请你说明以下各式成立的理由：
（1）∠CAD＝2∠DBE；
（2）AD2－AB2＝BD·DC．
18．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，
OA ＝10厘米，OC ＝6厘米，现有两动点P ，Q 分别从O ，A 同时出发，点P 在线段OA 上沿OA 方向作匀速运动，点Q 在线段AB 上沿AB 方向作匀速运动，已知点P 的运动速度为1厘米／秒．
（1）设点Q 的运动速度为 12 厘米／秒，运动时间为t 秒，
①当△CPQ 的面积最小时，求点Q 的坐标；
②当△COP 和△P AQ 相似时，求点Q 的坐标．
（2）设点Q 的运动速度为a 厘米／秒，问是否存在a 的值，
使得△OCP 与△P AQ 和△CBQ 这两个三角形都相似？若
存在，请求出a 的值，并写出此时点Q 的坐标；若不存
在，请说明理由．。