无锡市2014年高考数学三角函数和数列重点难点高频考点串讲三十三(教师版)

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无锡市2014年高考数学三角函数和数列重点难点高频考点串讲三十二(教师版)

1．△ABC 中，若a 、b 、c 成等比数例，且c = 2a ，则cos B 等于（）A ．41B ．43C ．42D ．32 【答案】B【解析】试题分析：由a 、b 、c 成等比数例，得到2b a c =，c = 2a ，可知222b a =，则2223c o s 24a cb B ac +-== 考点：等比中项，余弦定理2．已知正项等比数列{a n }满足a 2014＝a 2013＋2a 20124a 1，则6(1m ＋1n )的最小值为( ) A.23B ．2C ．4D ．6 【答案】C【解析】记数列{a n }的公比为q ，由题意知a 2012q 2＝a 2012q ＋2a 2012，化简得q 2－q －2＝0，所以q ＝－1(舍去)或q ＝24a 1，可得a 12qm ＋n －2＝16a 12，所以2m ＋n －2＝24，故m ＋n ＝6，所以6(1m ＋1n )＝(m ＋n)(1m ＋1n )＝2＋n m ＋m n ≥4，当且仅当n m ＝m n ，因为m 、n ∈N *，所以m ＝n ＝3时取“＝”，故选C.3．若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是 A.326+ B.327+ C.346+ D.347+【答案】D【解析】试题分析：由题意，0,ab >且340a b +>，所以0,0a b >>又()42log 34log a b +=34a b ab +=，所以，431a b +=所以，()4343777b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+⎪⎝⎭当且仅当43b a a b=，即2a =+3b =+时，等号成立. 故选D.考点：1、对数的运算；2、基本不等式.4．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a（1）若25,2==b a ，求C cos 的值; （2）若C A B B A sin 22cos sin 2cos sin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a 和b 的值.【答案】（1）15-；（2）3,3a b ==. 【解析】5．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知24s i n 4s i n 222A B A B -+= （1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.【答案】（1）3π；（2）10. 【解析】试题分析：（1）由二倍角的余弦公式把24sin 4sin sin 22A B A B -+=降次，再用两个角的和的余弦公式求)cos(B A +，由三角形三内角和定理可求得C cos ，从而求得角C ；（2）根据三角形的面积公式求出边a ，再由余弦定理求c 边.（1）由已知得22sin sin 4)]cos(1[2+=+--B A B A ，，所以a考点：两个角和差公式、二倍角公式、余弦定理、三角形的面积公式所对的角，向量，求边c的长）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，求出成等差数列，利用等差数列的性质列出关系cos Cb与abc≤2π)，试题分析：（1）证明：在原等式两边同除以(1)n n +，得111n n a a n n +=++，即111n n a a n n+-=+，所以{}n a n 是以111a =为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）得1(1)1n a n n n=+-⋅=，所以2n a n =，从而3n n b n =⋅. 用错位相减法求得1(21)334n n n S +-⋅+=. （1）证明：由已知可得，111n n a a n n +=++，即111n n a a n n+-=+，所以{}n a n 是以111a =为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）得1(1)1n a n n n=+-⋅=，所以2n a n =，从而3n n b n =⋅.1231323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ① 234131323333n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ②①－②得 12123333n n n S n +-=+++-⋅113(13)(12)333132n n n n n ++⋅--⋅-=-⋅=-. 所以1(21)334n n n S +-⋅+=. 考点：1.等差数列的证明；2.错位相减法求和.9．ABC ∆中， A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且A c B b C a cos cos cos ++成等差数列，则B 的大小为______________。

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高三数学《三角《函数》》重点难点高频考点串讲十三

１江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2014届高三数学《三角《函数》》重点难点高频考点串讲十三1（江苏2009年5分）已知向量a r 和向量b r 的夹角为30o ，||2,||3a b ==r r ，则向量a r 和向量b r 的数量积a b ⋅r r =▲。

【答案】3。

【考点】平面向量数量积的运算。

【分析】向量数量积公式的应用，条件中给出两个向量的模和向量的夹角，代入公式进行计算即可：03cos302332a b a b ⋅=⋅⋅=⋅⋅=r r r r 。

2（2009江苏卷15）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-r r r （1）若a r 与2b c -r r 垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +r r 的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a r ∥b r .【解析】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。

满分14分。

（1）由a 与2-b c 垂直，(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ，即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，tan()2αβ+=； (sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-r v b c 222||sin 2sin cos cos ββββ+=+++v v b c 2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+ 1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，最大值为32，所以||+r r b c 的最大值为42。

（3）由tan tan 16αβ=得sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，3（江苏2008年5分）已知向量a r 和b r 的夹角为0120，||1,||3a b ==r r ，则|5|a b -=r r ▲ ．【答案】7。

江苏省2014年高考数学重点高频考点讲解集合和函数三(教师版)

根据即得
（2）原不等式首先化为，即 .
讨论，，等三种情况.
试题解析：（1） 4分
（2）原不等式可化为，即 .
（2）当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
考点：对数函数的性质，一元二次不等式的解法.
题型六
13．在中，角所对的边分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为，，且．求：
（1）求角的值；
【解析】
试题分析：首先利用二倍角公式和两角和差公式进行化简可得，然后再根据正弦函数的性质求解即可.
试题解析： =
（1）因为函数的在R上的最大值为5，所以2+m+1=5，解得m=2；
（2）由得，所以的单调递减区间为 .
考点：1.二倍角公式和两角和差公式；2.正弦函数的性质.
【答案】
【解析】
试题分析：
考点：一元二次函数的图像
11．已知，则 =__________．
【答案】
【解析】
试题分析：
考点：三角函数的化简变换
12．已知不等式的解集是．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式 (c为常数) ．
【答案】（1）
（2）当时，
当时，
当时，
【解析】
试题分析：（1）由得，，
试题解析：（1）由得：，2分
由正弦定理得
又，从而得 .6分
（2）由（1）知： .
…10分
又，
13
考点：1.向量的坐标形式的平行公式.2.三角形中互补角的相互转化.3.三角函数中的化一公式.
14．(本小题12分)若函数在R上的最大值为5.
(1)求实数m的值；
(2)求的单调递减区间。

无锡市2014年高考数学三角函数和数列重点难点高频考点串讲二十(教师版)

1．已知数列{a n }的通项公式是a n，若前n 项和为10，则项数n 为( )．A ．11B ．99C ．120D ．121 【答案】C【解析】∵a n∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1)＋＋…＋ 1.1＝10，得n ＝120.2．已知△ABC 中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2AC BC AB BC AC BC AC⋅＋＋的最大值为________．【答案】【解析】由三角形的面积公式得12c 2＝12ab sin C ⇒2c ab ＝sin C ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ⇒a b b a +＝2c ab＋2cos C ＝sin C ＋2cos C ，所以2AC BC ABBC AC BC AC ⋅＋＋＝2sin C ＋2cos C ＝4C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最大值是3．在△ABC 中，B ＝60°，AC AB ＋2BC 的最大值为________．【答案】【解析】A ＋C ＝120°⇒C ＝120°－A ，A ∈(0°，120°)，sin sin AC BCB A =＝2⇒BC ＝2sin A ，sin sin AC ABB C=＝2⇒AB ＝2sin C ＝2sin(120°－A )A ＋sin A ，∴AB ＋2BC A ＋5sin A A ＋φ)＝A ＋φ)，其中tan φ，故最大值是4．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos B ＝c cos B ＋b cos C . (1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，求当m·n 取最大值时，tan C 的值．【答案】（1）B ＝4π（2）7【解析】(1)A cos B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ，(2分)A cosB ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ．(3分) 因为0＜A ＜π，所以sin A ≠0.所以cos B ＝2.(5分) 因为0＜B ＜π，所以B ＝4π.(6分)【答案】（1）－12（2）31,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】(1)m·n 4x cos 4x ＋cos 24x sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋12.(3分) 因为m·n ＝1，所以sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝12，故cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝1－2sin 226x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝12，所以cos 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭＝－cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－12.(6分)(2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，即2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，(8分) 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，所以cos B ＝12，B ＝3π，0＜A ＜23π，所以6π＜2A ＋6π＜2π，12＜sin 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜1，(12分) 又f (x )＝m·n ＝sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋12，所以f (A )＝sin 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭＋12∈31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故函数f (A )的取值范围是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.(14分)6．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin(A －B)＝cosC ．（1）若a ＝b c ；（2）求cos cos a C c Ab-的取值范围．【答案】（1）4c =（2）()1,1-【解析】试题分析：（1）根据三角形内角和定理和诱导公式，将三角形内角的三角函数关系转化为角的关系，求出其中的一个角，然后利用余弦定理列方程，即可求c 的值.要注意角的范围和三角函数的单调性.（2）利用（1）的部分结论4B π=，可得34A C π+=，34C A π∴=- cos cos a C c A b -＝sin cos cos sin sin A C A C B -＝sinA C -＝324A π⎛⎫- ⎪⎝⎭,化成只含一个角的三角函数值，再利用三角函数的性质求出该式的范围. 试题解析：（1）由sin(A －B)＝cosC ，得sin(A －B)＝sin(2π－C)． ∵△ABC 是锐角三角形， ∴A －B ＝2π－C ，即A －B ＋C ＝2π， ① 又A ＋B ＋C ＝π， ② 由②－①，得B ＝4π．由余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ，得2＝c 2＋2－2c ×4π，即c 2－6c ＋8＝0，解得c ＝2，或c ＝4．当c ＝2时，b 2＋c 2－a 2＝2＋22－2＝－4＜0，∴b 2＋c 2＜a 2，此时A 为钝角，与已知矛盾，∴c ≠2．故c ＝4． 6分（2）由（1），知B ＝4π，∴A ＋C ＝34π，即C ＝34π－A ． ∴cos cos a C c A b -＝sin cos cos sin sin A C A C B -sinA C -－34π)．∵△ABC 是锐角三角形， ∴4π＜A ＜2π，∴－4π＜2A －34π＜4π， ∴－2＜sin(2A－34π)＜2，∴－1＜cos cos a C c A b -＜1．故cos cos a C c Ab-的取值范围为(－1，1)． 12分考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函数的性质. 7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2n S n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a ⋯<＋＋＋.【答案】（1）a 2＝4.（2）a n ＝n 2.（3）见解析【解析】(1)2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4. (2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13 (3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即11n n a a n n ＋－＋＝1，又2121a a-＝1，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ＝1，公差为1的等差数列，所以n a n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2. (3)当n ＝1时，11a ＝1＜74，当n ＝2时，11a ＋21a ＝1＋14＝54＜74，当n ≥3时，1na ＝21n ＜1(1)n n -＝11(1)n n --， 11a ＋211n a a ⋯＋＋＝1＋14＋213＋214＋…＋21n <1＋14＋123⨯＋134⨯＋…＋1(1)n n -＝1＋14＋1123⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1134⎛⎫- ⎪⎝⎭＋…＋11(1)n n ⎛⎫- ⎪-⎝⎭＝54＋12－1n ＝74－1n <74，所以对一切正整数n ，有1211174n a a a ⋯<＋＋＋. 8．设无穷数列的首项，前项和为（），且点在直线上（为与无关的正实数）．（1）求证：数列（）为等比数列；（2）记数列的公比为，数列满足，设，求数列的前项和；（3）若（2）中数列{Cn}的前n 项和T n 当*n N ∈时不等式a ≤n T 恒成立，求实数a 的取值范围。

江苏省无锡市2014年高考数学三角函数和数列重点难点高频考点串讲二十一(教师版)

（1）若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，cC=( ). A ．π6B ．5π6C ．π4D ．3π4（10的等差数列，从第10A ．10d < D（3）已知数列}{n a 11356a a π=，则212tan(a a )的值为（）．A ．．3± C ．33-D ．3（4）等比数列前n 项和为S n ,有人算得S 1=4, S 2=16, S 3=28, S 4=60,后来发现有一个数算错了，错误的是（） A ．S 1 B ．S 2 C ．S 3 D ．S 4 （5）各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且132,21,a a a 成等差数列，则345456a a a a a a ++++ 的值为（） A ．251- B ．215+ C ．215- D ．215+或215-【答案】C 【解析】试题分析：由}{n a 成等比数列，又因为132,21,a a a 成等差数列，所以可得312a a a =+，所以2111a q a a q =+，又因为10a ≠，所以210q q --=，所以12q +=或12q =(舍去)因为等比数列的各项都为正，所以345456a a a a aa ++=++3453451()a a a a a a q q ++==++=，故选C.考点：1.等比数列的通项公式；2.等差数列的中项公式；3.整体性来解决数列问题.（6）在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝4，则角A ，B ，C 中最小角的余弦值为( )． A ．－14 B ．－18 C.78 D.716（7）数列{}n a 中，1a ，12a a -，，23a a -，1--n n a a …是首项为1，公比为14的等比数列，则n a 等于（）A.11)4n --（（n }的前n 1 4. 4（A ，B ，C ＝＝（A B 、、A （（. ()n 123222A b a =- 2c cos 22=＝32b ，＋cos A)＝3b.,9ac ac ≤当且仅当a=c939324=ABC 中，角A 、a 、b 、c ，且A 、B 、由正弦定理可得：2(a b)3ab +-，所以16333sin 22ABC S ab C ∆=== 考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角形的面积公式.4 等差数列（20）（本小题满分12分）设正数列}{n a 的前n 项和为n S (1)求数列}{n a 的首项1a ，2a ； (2)求数列}{n a 的通项公式； (3)设11+=n n n a a b ，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求使得18m T n <对所有*N n ∈都成立的最小正整数m ．【答案】(1) 11=a ，2a =3；(2) 12-=n a n ；(3) 9=m . 【解析】试题分析：112n a ++=得，12+=n n a S 11S a =,所以在12+=n n a S 中, ,令1=n ,可得关于1a 的方程,解之可得1a =1，令n=2时，带入可得2a =3 (2) 在12+=n n a S 中, 用1n +代替n ,得：11n a +=+于是有方程组()()11112n n a a +⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，两式分别平方再相减可得2211)1()1(44+-+=-++n n n n a a S S ，即：22114(1)(1)n n n a a a ++=+-+由此探究数列}{n a 的特点，从而求其通项公式；（3）根据数列数列}{n a 的通项公式特点，有)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n故可用拆项法化简数列}{n b 的前n 项和n T ，并由n T 的范围求出m 的值.试题解析：(1)当1=n 时，由1211+=a S 且11a S =，解得11=a 2分(2)由12+=n n a S ，得2)1(4+=n n a S ① ∴211)1(4+=++n n a S ②②-①得：2211)1()1(44+-+=-++n n n n a a S S化简，得0)2()(11=--⋅+++n n n n a a a a 4分又由0>n a ，得01>++n n a a∴021=--+n n a a ，即21=-+n n a a 5分 ∴数列}{n a 是以1为首项，公差为2的等差数列 6分 ∴2)1(1⨯-+=n a a n ，即12-=n a n 8分 (3))121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n 10分∴n n b b b T ++=21)]121121()5131()311[(21+--++-+-=n n 11(1)221n =-+ 21< ∴要使18m T n <对所有*N n ∈都成立，只需1821m ≤，即9≥m∴满足条件的最小正整数9=m ． 12分考点：1、数列通项n a 与n S 的关系；2、拆项求和.。

江苏省无锡市2014年高考数学三角函数和解三角形难点高频考点串讲一(教师版)

解题技巧巩固提高 1 三角函数化简技巧2 正余弦定理公式3 正弦定理在解题中的应用条件4余弦定理在解题中的应用条件5向量关系平行垂直共线夹角公式和条件6 三角函数求角的技巧1．在∆ABC 中，若B ∠、C ∠的对边长分别为b 、c ，︒=∠.45B ，,22=c 334=b ，则=∠C ( )A ．︒30B ．︒60C ．︒120D ．︒60或︒120【答案】D 【解析】试题分析：由正弦定理得0432233,,sin sin sin sin 45sin 2b c C B C C ===，又00c b,C (0,180)>∈，所以︒60或︒120，故选D.考点：正弦定理的应用=∠C试题分析：由题意得：2221()sin ()(sin sin )00cos 2b a B ac C A b ab c a C --+-=⇒--+=⇒=，故选C. 考点：1、向量平行；2、正弦定理与余弦定理.4．已知ABC ∆的三个内角C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,，且cb aB A 2cos cos +-=，则角A 的大小为 . 【答案】32π 【解析】试题分析：根据正弦定理：2sin ,2sinB,c 2RsinC a R A B R ===cos 2R sin cos 2sin 22sin A A B R B R C ∴=-+⋅ ，cos sin cos sin 2sin A AB B C∴=-+ ()cos sin 2sinC sin cos A B A B ∴+=-sin cos cos sin 2cos sinC 0A B A B A ∴++=()sin 2cos sin 0A B A C ∴++=()sin 2cos sin 0C A C π∴-+=，即：sinC 2cos sin 0A C ∴+=0C π<< ，sin 0C ∴≠ 12cos 0A ∴+= ，1cos 2A =-20,3A A ππ<<∴=考点：1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数公式.5．在不等边ABC ∆中，三个内角C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,，且有abB A =cos cos ，则角C 的大小为 . 【答案】90【解析】试题分析：由正弦定理,2sinA,b 2sin a R R B == ,所以,cos 2sin sin cos 2sin sin A R B BB R A A== sin cos sin cos A A B B ∴⋅=⋅ ,sin 2sin 2A B = 22A B ∴= 或22180A B ∴+= ,a b A B ≠∴≠ , 22180A B ∴+=,90A B ∴+= ,180(A B)90C ∴=-+=考点：1正弦定理；2、二倍角公式.6．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边长分别是,,a b c ，若()()a b c a b c ab +++-=，则角C 的大小为【答案】23π 【解析】试题分析：∵()()a b c a b c ab +++-=，∴22()a b c ab +-=，∴222a b c ab +-=-，∴2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，∴23C π=.考点：1.余弦定理；2.特殊角的三角函数值.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若bc b a 322=-，B C sin 32sin = ，则角A ＝._________【答案】6π【解析】试题分析：本题求三角形的角，由题设条件，可用余弦定理，因此首先把角的关系B C sin 32sin =转化为边的关系，这只要利用正弦定理，可得23c b =，因此222233cos 222b c a c bc c bA bc bc b+---====233322b b b -=，故6A π=.考点：正弦定理与余弦定理.8．已知函数2cos 3sin )(+-=x x x f ，记函数()f x 的最小正周期为β，向量)cos ,2(α=a，))2tan(,1(β+α=b （40π<α<），且37=⋅b a . (Ⅰ)求)(x f 在区间]34,32[ππ上的最值； (Ⅱ)求α-αβ+α-αsin cos )(2sin cos 22的值.【答案】(Ⅰ)、)(x f 的最大值是4，最小值是2；(Ⅱ) 324. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 利用两角和与差的三角函数公式将2cos 3sin )(+-=x x x f 化成只含一个角的三角函数即可根据其在指定区间上的单调性求其最值.(Ⅱ)首先利用37=⋅b a ,求出角α的一个三角函数值,再利用 (Ⅰ)中所得β值二倍角公式、平方关系等三角公式将α-αβ+α-αsin cos )(2sin cos 22化简,然后求值.试题解析：解：(Ⅰ) 2cos 3sin )(+-=x x x f =2)3sin(2+π-x 3分∈x ]34,32[ππ，],3[3ππ∈π-∴x 4分 ∴)(x f 的最大值是4，最小值是2 6分 (Ⅱ) π=β2 7分 ∴37sin 2)tan(cos 2=α+=π+αα+=⋅b a31sin =∴α 9分α-αβ+α-α∴sin cos )(2sin cos 22=α-αα-αsin cos 2sin cos 22=αcos 2=α-2sin 12=324 12分(此处涉及三个三角公式，请各位阅卷老师酌情处理)考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角和与差的正弦公式、二倍角公式；3、三角函数的性质.9．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且2cos 2b C a c =-。

无锡市2014年高考数学三角函数和数列重点难点高频考点串讲二十二(教师版)

1．等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（）A ．12B ．10C ．8D ．2+log 3 5 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知5647a a a a =，又564718a a a a +=得56479a a a a ==，而3132310312l o g l o g l o g l o g ()a a a a a a +++=⋅⋅⋅551035633log ()log (9)log 310a a ====．考点：等比数列性质2．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且=,则使得为整数的正整数n 的个数是( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5【答案】D【解析】由等差数列的前n 项和及等差中项,可得=======7+(n ∈N *),故n=1,2,3,5,11时,为整数.故选D.3．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n＋k ，则实数k 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】A【解析】依题意得，数列{a n }是等比数列，a 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝6，a 3＝S 3－S 2＝18，则62＝18(3＋k)，由此解得k ＝－1，选A. 4．若数列{a n }满足111n na a ＋－＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 4·b 6的最大值是 ( )． A ．10 B ．100 C ．200 D ．400 【答案】B 【解析】由已知得11111n nb b +-＝d ，即b n ＋1－b n ＝d ，∴{b n }为等差数列，由b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，得9b 5＝90， b 5＝10，b 4＋b 6＝20，又b n >0，所以b 4·b 6≤462b b +⎛⎫⎪⎝⎭2＝100，当且仅当b 4＝b 6＝10时，等号成立．6．设等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对任意自然数n 都有=,则+的值为 .【答案】【解析】∵{a n },{b n }为等差数列, ∴+=+===.∵====,∴=.【方法技巧】巧解等差数列前n 项和的比值问题关于等差数列前n 项和的比值问题,一般可采用前n 项和与中间项的关系,尤其是项数为奇数时S n =na 中,也可利用首项与公差的关系求解.另外,熟记以下结论对解题会有很大帮助:若数列{a n }与{b n }都是等差数列,且前n 项和分别是S n 与T n ,则=.7．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx(n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则20122012S 的值为________．【答案】2 013【解析】解不等式x 2－x ＜2nx(n ∈N *)得，0＜x ＜2n ＋1，其中整数的个数a n ＝2n ，其前n 项和为S n ＝n(n ＋1)，故20122012S ＝()2012201212012+＝2 013.8．已知各项都为正的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n ＝4a 1，则14m n+的最小值为________．【答案】32【解析】由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理有q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)4a 1，得a m a n ＝1621a ，即21a 2m ＋n －2＝1621a ，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么14m n +＝16(m ＋n )14m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1645m n n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥16＝32，当且仅当4m nn m =，即n ＝2m ＝4时取得最小值329．已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S BS ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为【答案】5972【解析】试题分析：易得1241()[,1)(1,],333n n S =--∈而1n n y S S =-在84[,]93上单调递增，所以177[,][,],7212y A B ∈-⊆因此B A -的最小值为71759().127272--=本题难点在于将不等式1n nA SB S ≤-≤对*n N ∈恒成立转化为函数1n n y S S =-的值域为[,]A B 的一个子集.考点：函数值域，不等式恒成立，等比数列前n 项和.10．在数列{}n a 中，112a =-，121n n a a n -=--*(2,)n n N ≥∈，设n n b a n =+．（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；（3）若1()2nn n c a =-，n P 为数列221n n nn c c c c ⎧⎫++⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求不超过2014P 的最大的整数．【答案】（1）见解析；（2）222n n n T +=-；(3)不超过2014P 的最大的整数是2014．【解析】试题分析：（1）注意从121n n a a n -=--出发，得到12()1n n a n a n -+=+- 2分即 112n n b b -=，肯定数列{}n b 是公比为2的等比数列. （2）利用“错位相减法”求和. （3）由(1)得n c n =，从而可得到22221111111(1)1n n n n c c n n c c n n n n n n ++++==+=+-++++ ，利用“裂项相消法”求2014P . 利用201411111111(1)(1)(1)(1)12233420142015P =+-++-++-+++- 120152015=-，得出结论. 试题解析：（1）由121n n a a n -=--两边加2n 得，12()1n n a n a n -+=+- 2分所以 11(1)2n n a n a n -+=+-，即 112n n b b -=，数列{}n b 是公比为2的等比数列 3分其首项为11111122b a =+=-+=，所以1()2nn b = 4分（2）1()22n n nnnb n =⋅=5分 234112*********n n n n nT --=++++++L ①122345112341222222n n n n nT +-=++++++L ② ①-②得2341111111111222222222n n n n n n nT ++=+++++-=--所以222n n n T +=- 8分(3)由(1)得1()2n n a n =-，所以n c n =22221111111(1)1n n n n c c n n c c n n n n n n ++++==+=+-++++ 10分 201411111111(1)(1)(1)(1)12233420142015P =+-++-++-+++- 120152015=-所以不超过2014P 的最大的整数是2014． 12分考点：等比数列的定义、通项公式及求和公式，“错位相减法”，“裂项相消法”.11．若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，19a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n 为正整数．（1）证明数列{}1n a +是“平方递推数列”，且数列{}lg(1)n a +为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项积为n T ，即12(1)(1)(1)n n T a a a =+++，求lg n T ；（3）在（2）的条件下，记lg lg(1)nn n T b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求使4026n S >的n 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）lg n T = 21n -；(3）min 2014n =．【解析】试题分析：（1）根据212n n n a a a +=+，得到211(1)n n a a ++=+，即{}1n a +是“平方递推数列”．进一步对211(1)n n a a ++=+两边取对数得 1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，利用等比数列的定义证明.（2）首先得到 1lg(1)2n n a -+= ，应用等比数列的求和公式即得.(3）求通项112()2n n b -=-、求和11222n n S n -=-+，根据4026n S >，得到111224026,201422n n n n --+>+>，再根据1012n <<，即得解.试题解析：（1）由题意得：212n n n a a a +=+，即 211(1)n n a a ++=+，则{}1n a +是“平方递推数列”．2分对211(1)n n a a ++=+两边取对数得 1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，所以数列{}lg(1)n a +是以{}1lg(1)a +为首项，2为公比的等比数列． 4分（2）由（1）知 111lg(1)lg(1)22n n n a a --+=+⋅= 5分1212lg lg(1)(1)(1)lg(1)lg(1)lg(1)n n n T a a a a a a =+++=++++++1(12)2112n n ⋅-==-- 8分(3）11lg 2112()lg(1)22n n n n n n T b a ---===-+ 9分111122221212n n n S n n --=-=-+- 10分又4026n S >，即111224026,201422n n n n --+>+> 11分又1012n <<，所以min 2014n =． 12分考点：等比数列的定义、通项公式及求和公式，等差数列的求和公式.12．己知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4=14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设T n 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若T n ≤1n a λ+¨对*n N ∀∈恒成立，求实数λ的最小值．【答案】（1）1n a n =+（2）116【解析】试题分析：（1）求等差数列通项公式基本方法为待定系数法，即求出首项与公差即可，将题中两个条件：前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列转化为关于首项与公差的方程组121114614(2)(6)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩ 解出即得1n a n =+，（2）本题先求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，这可利用裂项相消法，得到11112334n T =-+-+ 11122(2)nn n n +-=+++，然后对恒成立问题进行等价转化，即分离变量为22(2)n n λ+≤对n N *∀∈恒成立，所以max 2[2(2)n n λ+]≤，从而转化为求对应函数最值，因为211142(2)2(44)162(4)n n n n==++++≤，所以116λ≥ 试题解析：（1）设公差为d.由已知得121114614(2)(6)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩ 3分解得10(d d ==或舍去），所以12,1n a a n ==+故 6分（2）11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++， 11112334n T ∴=-+-+ 11122(2)n n n n +-=+++ 9分1n n T a λ+≤对n N *∀∈恒成立，即22(2)nn n λ+≤(+)对n N *∀∈恒成立又211142(2)2(44)162(4)n n n n ==++++≤ ∴λ的最小值为11612分考点：等差数列通项，裂项相消求和，不等式恒成立13．在数列中，（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）求的前n 项和nS【答案】(1) 3n n n a =； (2)【解析】试题分析：(1)本小题的证明要结合需要证明的结论的结构形式，再由已知的条件进行构造需要证明的结构形式.(2)由(1)可得数列的通项是一个等差数列与等比数列乘积的形式构成，这类题型都是利用错位相减法，求前n 项和.利用错位相减法时要注意，本小题的等比数列的公比是小于1大于零的数.相减的步骤要细心，这是易错点.试题解析：(1)11,3a a =111=3n 13na a ，又{}n a n 为首项为13公比为13的等比数列3n n++……①13n n -+++①-② 133n ++-考点：1.构造的思想求数列通项.2.错位相减法的应用.3.归纳推理的数学思想. 14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，1112n n S a +=-*()n N ∈．（1）求23,a a ；（2）求数列{}n a 的通项n a ；（3）求数列{}n na 的前n 项和n T ．【答案】（1）26a =，318a =；（2）1*23()n n a n N -=⋅∈；（3）(21)312n n n T -⋅+=.【解析】试题分析：（1）由121112S a a =-=，2312112S a a a =-=+分别算出23,a a 即可；（2）由1112n n S a +=-，再得到一个等式1112n n S a -=-，采用两式相减可得到13n n a a +=，再根据等比数列的通项公式写出n a 即可；（3）数列{}n na 是由一个等差数列{}n 与一个等比数列{}n a 相乘得到，故它的前n 项和采用错位相减法进行求和即可.试题解析：(1)121211,162n S a a a ==-=⇒= 1分2312312,1182n S a a a a ==-=+⇒= 2分（2）2n ≥，1112n n S a +=-，1112n n S a -=- 3分相减得111122n n n n n a S S a a -+=-=- 4分，即13n n a a += 5分对于213a a =也满足上式 6分∴数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列， 7分1*23()n n a n N -=⋅∈ 8分（3）123n n na n -=⋅23121436383...23n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅ 9分 234323436383...23n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅++⋅ 10分相减得，23122(1333...3)23n nn T n --=+++++-⋅ 11分1322313nn n -=⋅-⋅- 12分3123n n n =--⋅ 13分∴(21)312n n n T -⋅+= 14分.考点：1.等比数列的通项公式；2.数列的前n 项和.15．已知数列{a n }的相邻两项a n ，a n ＋1是关于x 的方程x 2－2nx ＋b n ＝0的两根，且a 1＝1. (1)求证：数列123n n a ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设函数f (n )＝b n －t ·S n (n ∈N *)，若f (n )＞0对任意的n ∈N *都成立，求t 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）1122332133n n n n ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＋－，为偶数，－，为奇数（3）t ＜1【解析】(1)∵a n ＋a n ＋1＝2n，∴a n ＋1－13·2n ＋1＝－123n n a ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭，11123123n n n n a a ++-⋅-⋅＝－1，∴123n n a ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭是等比数列，又a 1－23＝13，q ＝－1，∴a n ＝13．(2)由(1)得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝13 (2＋22＋ (2))－13 ＝12(12)1(1)31211n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－－－＋－＋＝1112211(1)3322322133n n n n n n ⎧⎪⎡⎤⎪⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩＋＋＋－，为偶数，－＋－－－＝－，为奇数 (3)∵b n ＝a n ·a n ＋1， ∴b n ＝19＝19，∴b n －t ·S n ＞0， ∴19－t ·111(1)2232n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＋－＋－－－＞0，∴当n 为奇数时， 19(22n ＋1＋2n －1)－3t (2n ＋1－1)＞0，∴t ＜13(2n＋1)对任意的n 为奇数都成立，∴t ＜1. ∴当n 为偶数时，19(22n ＋1－2n －1)－3t (2n ＋1－2)＞0， ∴19 (22n ＋1－2n －1)－23t (2n－1)＞0， ∴t ＜16 (2n ＋1＋1)对任意的n 为偶数都成立，∴t ＜32.综上所述，t 的取值范围为t ＜116．已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且3a 是1a 和9a 的等比中项． (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，1)18()(++=n nS n S n f ，试问当n 为何值时，)(n f 最大？并求出)(n f 的最大值．【答案】(1) n a n =；(2) 当且仅当6=n 时，)(n f 取得最大值321．【解析】试题分析：(1) 设出等差数列}{n a 的公差d ,利用3a 是1a 和9a 的等比中项列方程求出公差而得通项公式.(2)根据等差数列的前n 项和公式求出n S ,从而得出并化简()f n ,最后结合()f n 的特点,用函数的方法或不等式的方法求出的()f n 最大值.试题解析：解：(1)设等差数列}{n a 的公差为d ，则d a 213+=d a 819+= 2分 ∵3a 是1a 和9a 的等比中项∴9123a a a ⋅=，即)81(1)21(2d d +⨯=+ 3分∵0≠d∴1=d 4分 ∴n n a n =⨯-+=1)1(1 5分 (2)由(1)可得n a n =，2)1(n n S n += 6分 ∴1)18()(++=n nS n S n f2)2)(1()18(2)1(++++=n n n n n 20361++=nn 8分20121+≤321= 10分当且仅当n n 36=，即6=n 时，)(n f 取得最大值321． 12分考点：1、等差数列概念、通项公式、前n 项和公式；2、等比中项的性质；3、基本不等式的应用.17．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n a S n n N *+=++∈且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的*n N ∈，3()362n T k n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）21n a n =- ，3nn b =；(Ⅱ) 227k ≥【解析】试题分析：（Ⅰ）根据数列的通项n a 与数列前n 项和n S 的关系，由21441n n a S n +=++ ，*n N ∈得2144(1)1n n a S n -=+-+；两式相减得数列{}n a 的递推公式()2212n n a a +=+，从而得出数列{}n a 通项公式21n a n =-.由此可求2514,,a a a 以确定等比数列{}n b 的首项和公比,进而得到数列{}n b 的通项公式. (Ⅱ)由（Ⅰ）的结果求n T ,把3362n T k n ⎛⎫+⋅≥- ⎪⎝⎭变形为,3632n n k T -≥+,所以k 不小于3632n n T -+的最大值.只需探究数列3632n n T ⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪+⎩⎭的单调性求其最大值即可.试题解析：（Ⅰ）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+ 2分 ∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 3分由条件可知，212145=4,1a a a =-∴= 4分21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. 5分,数列{}n b 的通项公式为3nn b = 6分(Ⅱ) 11(1)3(13)331132n n n n b q T q +---===--， 1333()3622n k n +-∴+≥-对*n N ∈恒成立243nn k -∴≥对*n N ∈恒成立， 9分令243n n n c -=，1124262(27)333n n n n nn n n c c -------=-=，当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<max 32()27n c c ∴==，227k ≥． 12分考点：1、等差数列;等比数列的通项公式和前n 项和.2、参变量范围的求法.18．设数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项的和为n S ，对于任意正整数m,n,1m n S +恒成立.(Ⅰ)若1a =1,求234,,a a a 及数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若4212(1)a a a a =++,求证:数列{}n a 是等比数列.【答案】(Ⅰ) 22a =，344,8a a == ，)(2*1N n a n n ∈=- ；(Ⅱ)参考解析【解析】试题分析：(Ⅰ)通过令1m n ==，可求得2a .同理可以求出34,a a .由于所给的等式中有两个参数m,n.所以以一个为主元，让另一个m=1,和m=2取特殊值通过消去2n S 即可得到一个关于21n S ++与11n S ++的递推式.从而可求出n S 的通项式，从而通过1(2)n n n a S S n -=-≥，可求出通项n a .但前面两项要验证是否符合.(Ⅱ)因为已知4212(1)a a a a =++，所以令2m n ==.即可求得4a 与4S 的关系式.再利用443S a S =+.又得到了一个关于4a 与3S 的关系式.从而可得4a 与2a 的关系式.又根据q=与()()3211,(3,)n n a S q q n n N -*=+-≥∈.可求出()3212,(3,)n n a S n n N -*=+≥∈.再根据4212(1)a a a a =++及4342(1)2a S -=+⋅.即可求出结论.最后要验证前两项是否成立. 试题解析：（1）由条件，得1m n S ++=①在①中，令1m =，得11n S ++= ② 令2m =，得21n S ++③③/②得()2111n n S n N S *+++=∈+q =，则数列{}()12,n S n n N *+≥∈是公比为q 的等比数列。

无锡市2014年高考数学三角函数和数列重点难点高频考点串讲三十三(学生版)

tan A 2c ． tan B b
（2）若 m (0, 1) ，n cos B, 2cos2 C ，试求|m n|的最小值． 2

2
11 ．已知： a, b, c分别是锐角 ABC 三个内角 A ， B ， C 所对的边，向量
a (sin A,2 3 sin A),b (2 cos A, sin A) ，设 f ( A) a b
5．设点 ( a, b) 是区域
x y 4 0 内的随机点，函数 f ( x) ax2 4bx 1 在区间 [1, ) 上 x 0, y 0
是增函数的概率为______.
6．在区间（0，1）上任意取两个实数 a，b，则 a b ＜ 7．已知 log2 x log 2 y 1 ，则 x + y 的最小值为
*
c c1 c2 ＋＋„＋ n ＝an＋1 成立，求 c1＋c2＋c3＋„＋c2014 的值． bn b1 b2
13．对于满足 p 2 的所有实数 p ，求使不等式 x px 1 2 x p 恒成立的 x 取值范围. 14．已知 ABC 的三边长 a, b, c 满足 b c 2a ， c a 2b ，求
6 的概率为 5
．
.
8．在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ， ABC 的外接圆半径 R 3 ，且满足
cos C 2 sin A sin C cos B sin B （1）求角 B 和边 b 的大小；（2）求 ABC 的面积的最大值。
1
9．在△ABC 中，角角 A；
n 为 {an } 的“光阴”值，现知某 a1 2a2 3a3 ... nan

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1．定义12nnp +p ++p …为n 个正数n p p p ,,,21 的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111+b b b b b b ++…=( ) A ．111B ．910C ．1011D ．1112【答案】C【解析】试题分析：设数列{n a }的前n项和为n S ，则由题意可得2n n n 1==n(21)22n+1S n n n S +=+，， ∴2212[2(1)1]41(2)n n n a S S n n n n n n -=-=+--+-=-≥，1113,41,4n n n a a S a n b n +==∴=-==， ∴11111(1)1n n b b n n n n +==-++，∴1223111111+=1-+2231b b b b b ++……．考点：数列的通项公式，数列求和．2．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程x 2-x+a=0无实根的概率为（） A ．12 B.14 C.34 D.23【答案】C 【解析】试题分析：∵关于x 的一元二次方程x 2-x+a=0无实根，∴△=1-4a ＜0，∵0＜a ＜a 1＜，∴事件“关于x 的一元二次方程x 2-x+a=0无实根”的概率为1134P =14-=. 故选：C ．考点：几何概型的意义; 模拟方法估计概率．3a =+n n =+1a ∴同理a -①5．试题分析：∴021a b a >⎧⎪⎨≤⎪⎩，即02a b a >⎧⎨≤⎩，考点：几何概型6．在区间（0，56的概率为 . 【答案】2517 【解析】a ，纵轴为b ，作出矩形区域00<⎧⎨<⎩2517．故应填2517.考点：几何概型7．已知22log log 1x y +=，则x + y【答案】【解析】试题分析：222log log log 1x y xy +==，xy ∴x y +≥当且仅当x y ==()x y + 考点：对数的性质运算；均值不等式的应用.8．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为b a ,,3=R ，且满足BCA B C sin sin sin 2cos cos -= （1）求角B 和边b 的大小；（2）求ABC ∆的面积的最大值。

【答案】(1) 60=B ,3=b (2) 439max =S 【解析】解：（1）由题意得：B C B A B C cos sin cos sin 2sin cos -=B A C B cos sin 2)sin(=+∴B A A cos sin 2sin =∴6021cos =∴=∴B B 又323322sin =⋅=∴=b R Bb（2）ac B ac S ABC 43sin 21=⋅=∆ ac c a B ac c a b ≥-+=-+=2cos 2222229≤∴ac (10分) 439≤∴∆ABC S （此时3==c a ）考点：①三角恒等变换 ②解三角形9．在△ABC 中，角A ，B ， C 所对边分别为a ，（1）求角A ；1）知B由i ni nn 即：B 为锐【解析】试题分析：（1）根据题中2()2f x m m n =+⋅-，代入已知条件，通过二倍角公式和辅助角公式将()f x 化简为sin(2())6x f x π-=，令m a x ()1f x =，解得,3x k k Zππ=+∈.（2）由（1）将x 换成B ，根据s i n (6)1(2)B f B π-==，并将26x π-当做一个整体，令262B ππ-=，则3B π=；再根据c b a 、、成等比数列，则2b ac =，利用正弦定理化简为2sin sin sin B A C =，化简CA tan 1tan 1+即可算出最值结果. 试题解析：（1）2211cos 21()2sin 1cos 22222x f x m m n x x x x -=+⋅-=+++-=+-12cos 2sin(2)26x x x π=-=- 故max()1f x =，此时22,62x k k Zπππ-=+∈，得,3x k k Zππ=+∈.（2）由s i n (6)1(2)B f B π-==，又∵02B π<<，∴02B π<<，∴52666B πππ-<-<. ∴262B ππ-=，∴3B π=.由c b a 、、成等比数列，则2b ac =，∴2sin sin sin B A C =.∴211cos cos sin cos cos sin sin()1tan tan sin sin sin sin sin sin A C C A C A A C A C A C A C B B +++=+====.考点：1.三角函数恒等变形；2.正弦定理的应用.11．已知：ABC c b a ∆分别是锐角,,三个内角A ，B ，C 所对的边，向量)sin ,cos 2(),sin 32,(sin A A A A ==，设A f ⋅=)(（1）若32)(=A f ，求角A ；（2）在（1）的条件下，若2,tan 2tan tan ==+a AaC c B b ，求三角形ABC 的面积．【答案】（1）3π=A ；（2）三角形ABC 的面积为3．【解析】试题分析：（1）由向量数量积坐标计算公式可得函数()f x 的表达式，利用三角函数的有关公式（倍角公式、辅助角公式等）将其化简得()2sin(2)3f x A π=-由已知32)(=A f ，列出方程23)32sin(=-πA ，即可求得角A 的值；（2）由已知条件A aC c B b tan 2tan tan =+，化为AAa C C c B Bb sin cos 2sin cos sin cos =+，结合正弦定理可得：1cos 2cos cos ==+A C B ，由此得1c o s 2A =，进而求出角A 的值．有三角形内角和定理得32π=+C B ，联立cos cos 1B C +=，可求出角B ∠和C ∠，最后可求得三角形ABC 的面积．试题解析：（1）3)32sin(232cos 32sin sin 32cos sin 2)(2+-=+-=+=πA A A A A A x f因为32)(=x f ，即23)32sin(=-πA ，所以3π=A 或2π=A （舍去） 6分（2）由A a C cB b tan 2tan tan =+，则AAa C C c B Bb sin cos 2sin cos sin cos =+，所以1cos 2cos cos ==+A C B ，又因为32π=+C B ，所以3π==C B所以三角形ABC 是等边三角形，由2=a ，所以面积为3． 12分考点：1．向量数量积运算；2．利用三角恒等变换求角；3．正弦定理、余弦定理解三角形，求三角形的面积．12．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }对n ∈N *，均有11c b ＋22c b ＋…＋n n c b ＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2014的值．【答案】（1）a n ＝2n －1 b n ＝3n －1（2）32014【解析】解：(1)∵a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d ＝2(∵d>0)．则a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9， ∴等比数列{b n }的公比q ＝32b b ＝93＝3.∴b n ＝b 2q n －2＝3×3n －2＝3n －1.(2)由11c b ＋22c b ＋…＋n n c b ＝a n ＋1得当n≥2时，11c b ＋22c b ＋…＋11n n c b --＝a n ，两式相减，得nnc b ＝a n ＋1－a n ＝2， ∴c n ＝2b n ＝2×3n －1(n≥2)．而当n ＝1时，11c b ＝a 2，∴c 1＝3. ∴c n ＝13,123,2n n n -=⎧⎨⨯≥⎩∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2014＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32013＝3＋201366313-⨯-＝3－3＋32014＝32014.13．对于满足2≤p 的所有实数p ，求使不等式p x px x +>++21恒成立的x 取值范围. 【答案】1-<x 或3>x【解析】原不等式化为0)1()1(2>++-x p x ，令2)1()1()(++-=x p x p f ，它是关于p 的一次函数，定义域为]2,2[-。

由依次函数的单调性知⎩⎨⎧>+-=>--=-0)1)(1()2(0)3)(1()2(x x f x x f解得：1-<x 或3>x14．已知ABC ∆的三边长,,a b c 满足2b c a +≤， 2c a b +≤，求ba的取值范围．【答案】2332b a << 【解析】设a x b =，c y a =，则121210,0x y x y xy x x y <+≤⎧⎪<+≤⎪⎨<+⎪⎪>>⎩，作出平面区域（如图），由图知：21(,)33A，31(,)22C，∴2332x<<，即2332ba<<．考点：线性规划。