一维杆状Thue-Morse(TM)准周期结构声子晶体带隙特性的研究
一维声子晶体带隙研究概述
一维声子晶体带隙研究概述邱学云【摘要】文章对声子晶体的概念、基本特征和分类进行简要概述.总结分析一维声子晶体的三种简化模型和一维声子晶体的计算方法及其带隙研究成果.展望一维声子晶体在低频振动、噪声控制、抗振防震方面的应用可能,为深入研究一维声子晶体提供依据.【期刊名称】《红河学院学报》【年(卷),期】2011(009)002【总页数】4页(P5-8)【关键词】一维声子晶体;能带结构;带隙【作者】邱学云【作者单位】文山学院数理系,云南文山663000【正文语种】中文【中图分类】O469半导体中的电子与周期分布的原子势场相互作用,使得半导体形成电子带隙,即电子能带间的频率范围,也叫电子禁带,人为设计能够控制电子的流动.近年来,能带理论突破了以固有材料为研究对象的限制,进入了通过能带设计来模拟实际晶格以获得新型功能材料和器件的新阶段.在这些材料中存在能够禁止某种经典波传播的频率范围,这些频率范围称为带隙.具有经典波带隙的周期性复合材料或结构统称波晶体.通常把存在电磁波带隙,介电常数周期分布的材料或结构称光子晶体,把存在弹性波带隙,弹性常数及密度周期分布的材料或结构称声子晶体.文章对声子晶体的概念、基本特征、和分类进行简要概述,总结分析一维声子晶体的计算方法及其带隙研究成果,展望一维声子晶体的应用可能,为深入一维声子晶体的应用研究提供依据.1987 人们年发现了一种新型光子材料--光子晶体[1-2],在光子晶体研究的基础上,提出了声子晶体的概念.M.S.Kushwaha等1993年第1次提出声子晶体概念时,就对电子晶体、光子晶体和声子晶体的有关特性进行了比较[3],通过比较研究,得出它们非常相似性[4].声子晶体是一种具有弹性波带隙的周期性结构材料,即在带隙频率范围内的弹性波不能够传播.基于这一特性,声子晶体在隔声、降噪、减振方面有广阔的应用可能.声子晶体内部材料的弹性常数、密度、杨氏模量等材料参数周期性变化和材料结构参数晶格尺寸、组份比的不同,声子晶体的弹性波带隙也就不同.带隙分完全带隙和不完全带隙,在特定的频率范围内,波在波矢的所有方向上都不能传播的称为完全带隙.频率范围内只允许某些方向上的波通过,其它方向禁止通过的带隙具有方向性,称为不完全带隙.一般来说,声子晶体中各组份比越大,入射波将被散射得越强烈,就越容易产生带隙[5].声子晶体一般由两相或以上的弹性介质复合组成.根据声子晶体结构在笛卡尔坐标系中周期排列形式的不同,分为一维、二维及三维结构.如图1所示,从左到右分别为一维(层状)、二维(柱状)、三维(正方体)声子晶体结构示意图.声子晶体结构常用的组份形态有层状、柱状、长方体、正方体、球形、椭球形等,材料可以是实心或中空的,可以是不同物相不同组份的复合.一维声子晶体一般有层状结构和杆状结构两种.对一维声子晶体带隙进计算分析时,通过调控组元材料的结构参数或材料参数来调控声子晶体的带隙情况.对于一维声子晶体,当相邻两个离散单元为同种材料时沿x方向的拉压刚度为2ES/(dj+1+dj),不同种材料时拉压刚度为2EAEBS/(EAdj+1+EBdj),E为弹性模量.对于原胞中包含两种以上材料叠合的情形也可以按上述方法进行简化处理.[6]如下图2所示是一维严格周期性声子晶体简化模型.图(a)是一维二组元结构,图(b)是一维三组元结构.不同弹性常数和密度的材料A、B或材料A、B、C沿x方向交替排列形成一维二组元(三组元)声子晶体的简化模型.用集中质量法可以将其分解为有限个集中质量,各个集中质量间之间的连接简化为无质量的弹簧连接,声子晶体原胞由材料A和材料B组成,理论上是无限多自由度的连续介质系统.因此,其原胞可简化为有限个自由度的弹簧振子结构,而一维声子晶体则简化为周期弹簧振子结构.[7]如下图3所示是一维二组元声子晶体的离散示意图,我们只要找到离散后的集中质量和弹簧刚度与连续介质材料参数之间的关系,就可以计算连续介质的一维二组元声子晶体的带隙结构.曹永军等[8]提出一种层厚递变式一维准周期结构声子晶体模型.如图4所示,系统共有N个周期2N层,分3种情况:第一种情况是第1个周期中两种介质的厚度为dA 和dB,其后每个周期的厚度同时依次递增或递减一个Δd;第二种情况是第1个周期中两种介质的厚度为dA和dB,其后每个周期中介质A的厚度不变,而介质B的厚度依次递增或递减一个Δd;第三种情况是第1个周期中两种介质的厚度为dA和dB,其后每个周期中介质B的厚度不变,而介质A的厚度依次递增或递减一个Δd.通过计算弹性波通过该一维准周期结构声子晶体的透射系数,并与周期结构声子晶体的透射系数进行比较.研究发现利用准周期排列结构可以有效地调节声子晶体的带隙宽度和所在的频率范围.宿星亮等[9]提出了一维功能梯度材料声子晶体模型.如图5所示,该模型研究的一维声子晶体是由材料常数按指数形式分布的功能梯度材料沿x轴方向周期排列而成.该功能梯度材料单元两端表面材料常数相同,在原胞中心a处达到材料常数峰值,周期排列后构成材料常数宏观上连续变化的一维结构.上述三种一维声子晶体模型:第一种是材料参数和结构参数严格周期性变化的;第二种是材料参数不变,结构参数层厚递变式的准周期性结构;第三种是材料参数按指数形式分布变化,结构参数不变的准周期性结构.三种模型各有优点,都具有各自的实际应用价值.国内外有关声子晶体带隙研究的文献主要是对声子晶体的布拉格散射机理[10-12]、局域共振带隙机理[13-18]和带隙特性进行研究.局域共振带隙机理由我国刘正猷教授等人2000年提出.局域共振带隙机理认为,在特定的弹性波激励下,声子晶体结构基体中的散射单元产生共振,并同弹性波相互作用,从而抑制其传播.这为低频振动与噪声控制的应用研究开辟了一条新思路[19].另外,王刚等人主要研究了不同周期结构的带隙计算方法和带隙特性,研究也取得了很多的成果[20].下面是常用的一维声子晶体带隙的计算方法及其部分研究成果.传递矩阵法[21-22]是从连续状态参数应力、质点位移等的基本方程入手,结合界面连续条件,得出单个周期的传递矩阵.通过引入周期边界条件得到相应的色散关系即能带结构,同时通过有限个传递矩阵相乘可得到有限周期传输特性.该方法计算量较小,可计算一维声子晶体带隙,不能直接处理二维和三维声子晶体的带隙.郁殿龙等[23]利用该法研究了表面局域态对一维声子晶体中水平剪切波传输特性的影响情况,研究表明共振峰的极值与入射角度和声子晶体层数有关,合适的入射角度和层数可以使声波完全透射.当入射角在一定范围内连续变化时,在较宽频率范围内均出现较大透过率.声子晶体的这一特性可以应用于高性能的阻抗匹配材料和声波滤波器中.蒋泽等[24]应用广义传输矩阵法,建立了声波传播特性的理论分析模型,得到了其声波场的平面波解,给出了数值实现方案.其研究表明,该方法可精确地模拟弹性波通过一维有限厚的严格周期结构、准周期结构以及完全无序结构的传播特性.对于平面波展开法[25-26]是因为声子晶体具有周期性,可将相关参数按傅里叶级数展开,结合Bloch定理,把声子晶体波动方程放到倒格矢空间以平面波叠加的形式展开,将声子晶体波动方程的求解转化成本征值问题,从而得到频率与波矢之间的色散关系即声子晶体的带隙结构.该法可用于计算一维、二维、三维声子晶体中固体/固体、液体(气体)/液体(气体)的复合结构,但在计算、液体(气体)/固体结构时存在困难.应用该法时当组元材料参数差异较大时计算量大,收敛慢,但是随着计算机的更新换代,这个问题已经得到改善.宿星亮,等[9]应用此法研究了由功能梯度材料周期复合而成的一维声子晶体中存在的弹性波带隙特征,结果表明功能梯度材料声子晶体较常规材料声子晶体在相同范围内能够出现更多阶带隙结构.肖伟等[27]提出用波传播法来研究一维声子晶体的带隙特性,将该方法与平面波展开法进行比较,发现平面波展开法随着波数的增加而逐渐收敛于波传播法的结果.如将波传播法应用于一维二组元和一维四组元声子晶体禁带特性的计算中,在相同计算精度下波传播法的计算时间大约为平面波展开法的1/50和1/100.当考虑到粘弹性材料的频变特性时,波传播法能直接得到声子晶体的禁带特性,在相同的计算精度下波传播法的计算量大约要比经过迭代改进的平面波展开法的计算量小两个数量级. 闫志忠等[28]发展了一种基于小波的一维声子晶体弹性波带隙计算方法,将弹性波场在小波基上展开,得到一个关于自适应计算小波积分的一般矩阵特征值问题.将该方法应用到二元体系的声子晶体,与传统平面波展开法相比,该方法的计算结果与之相符合,而且可在得到同样计算精度的条件下,显著降低计算量,提高计算速度.王刚等[29]采用迭代法改进了一维声子晶体带隙特性计算的平面波展开算法,以使其适用于组成材料粘弹性所导致的弹性常数随频率非线性变化的特性.在将该算法应用于丁腈橡胶和钢组成的一维周期结构声子晶体振动带隙的研究中,理论计算和振动测试结果吻合理想.集中质量法[30-31]是基于振动力学中连续系统的离散化思想,在声子晶体中将各组元连续介质中的质量集中到有限个节点或截面上,把有限个节点或截面视为有限多个自由度的弹簧振子结构,即将声子晶体弹性波带隙的计算简化为计算周期弹簧振子结构的弹性波带隙.其本质是将无限自由度系统转化成有限自由度系统近似求解.这种方法特别适合计算大弹性常数差组份复合而成的一维声子晶体,并且这种方法可以更加直观地描述声子晶体内部作用机理,这对声子晶体带隙的产生机理揭示将起到重要作用.刘铁权等[32]将一维声子晶体的原胞简化为有限多个自由度的弹簧振子结构后,在辛对偶变量体系下探讨晶格振动,引入辛数学方法确定波矢与本证值的色散关系.通过本证值计数法计算特征频率,从而得到禁带区间.研究认为与传统集中质量法相比,该算法的计算结果与之吻合很好,且提高了计算精度和计算效率,在低频处收敛性更好,可以借鉴参考.深入研究一维声子晶体的带隙特性,将会发现许多新的物理现象,从理论计算寻找到具有带隙起始频率低且有一定带宽的周期结构,分析其在噪声控制、低频防震方面的应用可能,理论设计出具有隔声、降噪、减振性能的一维声子晶体模型和具有低频防震性能的工程模型,可为工程应用做贡献.作为一种新材料,各种结构声子晶体的应用都还处于展望阶段,但由于声子晶体所具有的特殊性质使得其在航空航天、电子器件、人造脏器、汽车发动机、声功能器件、等诸多方面都有广泛的应用前景.【相关文献】[1]Yablonovitch E.Inhibited spontaneous emission in solidstate physics 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some metallic systems[J].J.Phys:Condens Mat,1994,(6):8759.[27]肖伟,曾广武.基于波传播法的一维声子晶体禁带[J].机械工程学报,2007,43(1):125-128.[28]闫志忠,汪越胜.一维声子晶体弹性波带隙计算的小波方法[J].中国科学G辑,2007,37(4):544-551.[29]王刚,温激鸿,刘耀宗,等.一维粘弹材料周期结构的振动带隙研究[J].机械工程学报,2004,40(7):47-50.[30]温激鸿,王刚,刘耀宗,等.基于集中质量法的一维声子晶体弹性波带隙计算[J].物理学报,2004,53(10):3384.[31]温激鸿,王刚,刘耀宗,等.大弹性常数差二维声子晶体带隙计算中的集中质量法[J].物理学报,2005,54(03):1247.[32]刘铁权,邓子辰,周加喜.基于辛数学方法的一维声子晶体禁带计算[J].振动与冲击,2010,29(12):102-105.。
声子学中的声子晶体结构及其特性研究
声子学中的声子晶体结构及其特性研究声子学是研究固体中声子（晶体中的准粒子）的产生、传播和相互作用的科学领域。
声子晶体是固体中的一种周期性结构，其晶格周期和原子晶格周期相互耦合，并且对声子的传播和能量传递产生显著影响。
本文将着重讨论声子晶体结构及其特性的研究。
声子晶体的结构是由周期性激励介质的阻抗变化所构成。
这种结构可以在任何尺度上存在，从纳米尺度的材料到宏观尺度的结构。
这种阻抗变化会导致声子的反射、折射和散射，从而影响声子的传播和能量传递。
因此，声子晶体可以具有一些特殊的声子特性，例如声子带隙和声子束缚态。
声子带隙是声子晶体的最重要特性之一。
类似于电子带隙，声子带隙是指在特定频率范围内声子的能量禁闭区域。
当声子频率落在带隙范围内时，它们将被禁止传播。
这使得声子晶体可以具有特殊的声波传播性质，例如声子的能量传输受到限制，从而导致声波的衍射和干涉现象。
声子束缚态是另一个与声子晶体相关的特性。
束缚态是指声子在晶体中的局域化现象，类似于电子在晶体中的束缚态。
在声子晶体中，声子的振动模式被限制在局部区域，形成了束缚态。
这种束缚态可以用于设计和控制声子传播的路径和行为。
例如，通过调整声子束缚态的位置和能量，可以实现声子的制导和信息传输，这对实现声子器件和声子电路具有重要意义。
声子晶体的研究有着广泛的应用前景。
首先，声子晶体的特殊声波传播性质可以用于开发新型声子器件和声子电路，例如声子波导和声子晶体谐振器。
这些器件可以在声学信号处理、声波传感、声子信息传输等领域发挥重要作用。
其次，声子晶体的研究对于材料科学和能源领域也具有重要意义。
通过研究声子晶体中的声子特性，可以揭示材料的声子输运行为，从而提高材料的热导率和热电性能。
这对于开发高效的能源转换材料和热管理材料至关重要。
另外，声子晶体还可以用于光子学领域的研究。
声子晶体可以用来制备具有光子带隙的材料，这些材料可以在特定频率范围内禁止光子传播，从而实现光的控制和调制。
一维三元非金属声子晶体低频禁带特性研究
１ 模 型 与 方 法
１ ． １ 声子 晶体模 型
理想的一维声子晶体在三维空间 中，只在某一 个 方 向上 具 有周 期 性 ，另 外 两方 向上 为无 限大 ，该 理想模 型实际上不存在 ，但对于有限层状多周期复
献［ １ １ ］ 针对一维石灰岩 ／ 硅橡胶杆状声子 晶体结构
收稿 日期 ：２ ０ １ ５—０ ４—０ ２
５ ０ ０ Ｈ ｚ 之 内 ，且 可根 据 需要 ，通 过 调节 材 料组 份 比 和 晶格 常 数来 设 计 出能够 实 现具 体 低频 噪音 控制 的
结构 。
即不 同频率的弹性波中的部分频率波会被抑制或禁 止 ，而 声 波也 是 弹性 波 ，因此 可考 虑 用 声 子 晶体 材 料来控制低频噪音。对一维声子晶体 的研究 已取得
数也 可 以获得 不 同的禁 带频率 。
关键词 ：一维声子晶体；非金属材料 ；能带结构 ；低频禁带；集 中质量法
中 图分 类 号 ：０ ７ ３ ４ 文 献标 志码 ： Ａ 文章 编号 ：１ ６ ７ ４—９ ２ ０ ０（ ２ ０ １ ５）０ ３—０ ｏ ７ ０ —０ ４
通常人耳能感知的低频音范 围为 ２ ０～５ ０ ０ Ｈ ｚ ，
率段 的振动控制。陈源博士等将层状三元周期结构
简化 为 一 维声 子 晶体 结 构 ，为 层状 三 元 结 构禁 带 设 计提 供 了理 论依 据 【 ｌ ５ 】 。
研生产 区大型设备及其作业场所中影响最大的噪声 源［ １ － ３ ］ 。因此 ，降低或减少低频噪音对人体的危害一
直是从事声学和材料科学的研 究者需要解决 的问题 。 近 年来 ，通 过 人 工设 计 的周期 性 复 合 结构 — —
一
些成 果 ［ ４ － １ ５ １ 。其 中理 论 上设 计 出一 种 能 够 防止 低
声光子晶体带隙特性与声光耦合作用研究综述
声光子晶体带隙特性与声光耦合作用研究综述马天雪;苏晓星;董浩文;汪越胜;张传增【摘要】Phoxonic crystals are periodic structures which possess photonic and phononic bandgaps simultaneously. Phoxonic crystals can be applied as systematic platforms for manipulating electromagnetic and elastic waves simultane-ously, and can be utilized in various fields such as optical, acoustic and acouto-optical devices, and cavity optomechanics. This paper firstly introduces the basic concepts of phoxonic crystals, including the constituting materials, their classifi-cations according to spatial periodicity, the numerical calculation methods of band structures. We elaborate the charac-teristics of phoxonic dual bandgaps for different systems, and the topology optimization method applied in optimizing the bandgap width of phoxonic dual bandgaps. The field of cavity optomechanics, as well as the quasistatic method and optomechanical coupling coefficient method for evaluating the acousto-optical coupling strength are introduced. The acousto-optical coupling phenomena in various phoxonic crystal structures are summarized. Then this paper introduces the research works related to phoxonic crystal waveguides and sensors. Finally, we outline the prospects of phoxonic crystals based on state of the art, including the enhancements of acousto-optical interaction in phoxonic crystal cavities,the investigations of three-dimensional phoxonic crystals, the designs of different phoxonic metamaterials, the phoxonic crystal device designs and related applications, and so on.%声光子晶体是一种同时具有光子和声子带隙的周期性结构.声光子晶体为同时控制电磁波和弹性波的传播提供了一个系统的平台,并在光学、声学及声光多功能器件、腔光力学等领域展现了十分广阔的应用前景.论文首先介绍了声光子晶体的基本概念,包括声光子晶体的材料、空间周期分类、能带结构的计算方法等;阐述了不同体系下声光子晶体双重带隙的特性,以及拓扑优化方法在声光子晶体带隙优化方面的应用;然后简要介绍了腔光力学,以及计算声光耦合作用的准静态方法和光力耦合系数方法,并针对当前各种声光子晶体结构中声光耦合作用的研究进行了阐述;还进一步介绍了声光子晶体波导和传感器的相关研究;最后,基于当前声光子晶体的研究进展对未来的研究方向进行了展望,其中涉及到增强声光子晶体谐振腔的声光相互作用、三维声光子晶体的研究、声光超构材料的设计、声光子晶体器件设计与应用等.【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2017(049)004【总页数】15页(P743-757)【关键词】光子晶体;声子晶体;声光子晶体;声光双重带隙;声光耦合;腔光力学【作者】马天雪;苏晓星;董浩文;汪越胜;张传增【作者单位】北京交通大学工程力学所,北京 100044;北京交通大学工程力学所,北京 100044;北京交通大学工程力学所,北京 100044;北京交通大学工程力学所,北京100044;德国锡根大学土木工程系,德国锡根 D-57076【正文语种】中文【中图分类】O734作为能量的载体，波动(如电磁波、声波、弹性波等)与人们的生活密不可分.为了实现对波动行为的操控，研究者相继提出了光子晶体(photonic crystal,PTC)[12]和声子晶体(phononic crystal,PNC)[3]的概念，随后展开了广泛且深入的研究.光子/声子晶体是由光学/力学(或声学)参数不同的介质在空间上周期排列所形成的，其中光子/声子晶体可以控制电磁波/弹性波(或声波)的传播.光子/声子晶体与传统晶体类似，只是光子/声子晶体的组成单元是宏观介质材料.光子/声子晶体的一个重要物理特性是具有带隙(bandgap)，带隙频率范围内的波在晶体中的传播行为将被禁止.除了光子/声子带隙外，光子/声子晶体还可以实现诸如缺陷效应[4-5]、波的引导和弯折[6-7]、负折射[8-9]等物理现象，并在光学/声学器件领域具有广泛的应用前景.光子晶体与声子晶体具有诸多相似性，两者的研究方法也具有一定的相通性.在相当长的时间里,光子晶体与声子晶体的研究相互借鉴，但是一直平行独立地发展，很少有研究涉及到两个领域的交叉问题.实际上，当电磁波和弹性波(或声波)在同一介质内传播时两者容易发生相互作用，这从光电子和通信等领域中各种声光调制器、传感器的发展可以看出[1011].最简单的，弹性波(或声波)产生的变形或位移可以调控电磁波的相位.除此之外，两者之间还可以发生非线性作用，如布里渊散射(Brillouin scattering)效应[1213].若电磁波和弹性波(或声波)同时被局域在微纳米尺度的结构中，由于态密度的增大可以导致两者间的相互作用增强[14].随着微纳米加工技术的不断发展，光学以及声学元器件越来越小型化.在微纳米尺度下,对于某些能同时传播电磁波和弹性波(或声波)的介质(如透明材料、半导体材料等)，若其光学、力学(或声学)参数同时发生周期性变化，则同一个周期结构可能同时产生光子和声子带隙.这种同时具有光子和声子带隙的周期结构被称为声光子晶体(phoxonic crystal,PXC)[15].声光子晶体是一种能够同时操控电磁波和弹性波(或声波)传播的周期性结构，其中字母“x”代表“t”和“n”，意味着声光子晶体既是光子晶体又是声子晶体.在一些文献中也会采用光力学晶体或光机(械)晶体(optomechanical crystal,OMC)的概念[16].2006年，Maldovan和Thomas[17-18]通过分析空气孔周期排列在硅基体中和硅柱周期排列在空气中这两种体系，第一次从理论上证实了上述周期结构可以同时产生光子和声子带隙，并通过引入点缺陷实现了电磁波和弹性波在缺陷位置的同时局域化.2009年，Sadat-Saleh等[15]第一次明确提出了声光子晶体的概念.同年，Eichenfiel等[16,19]提出了光力学晶体的概念，并通过理论和实验结果展示了光力学晶体(或声光子晶体)结构作为超高精度力或质量传感器的可能性；他们还指出，光力学晶体概念还可以广泛地应用于可调节光子系统、光通讯、增强光学非线性效应和光缓存等领域.除此之外，由于声光子晶体同时具有光子晶体和声子晶体的特性，还可以将声光子晶体作为基础单元设计多功能(即光学和声学功能)器件，如波导[2021]、传感器[22]等. 声光子晶体是由光学和力学(或声学)材料性质不同的介质在空间上周期排列而形成的，其最重要的物理特性是同时具有光子和声子带隙.声光子晶体中相互连通的部分为基体，相互不连通的部分为散射体.通常情况下，声光子晶体的结构尺度属于微纳米级别，其结构形式是在固体基体中周期性地移除基体材料(或者说在基体内周期性地形成孔洞)，其中形成的孔洞通常视为空气或真空.由于弹性波(或声波)可以在绝大多数固体介质中传播，因此声光子晶体的基体材料通常是光子晶体的基体材料，如硅[16,20,23]、金刚石[24-25]、蓝宝石[26]、氮化硅[19]、氮化铝[27]和铌酸锂[15]等.与光子晶体和声子晶体类似，根据声光子晶体的空间周期性，可以将其分为一维、二维和三维体系三类，如图1所示.一维声光子晶体是由材料参数不同的均匀介质层组成的多层结构，比如两种不同介质沿一个方向交替层叠而成的结构，如图1(a)所示.二维声光子晶体的特征是材料参数在两个方向上呈周期性变化(见图1(b))，柱体散射体在平面内可以以正方晶格、长方晶格、三角晶格或蜂窝晶格等形式排列.三维声光子晶体的特征是材料参数在3个方向上均呈周期性变化(见图1(c))，散射体的空间点阵结构则可以是简立方、面心立方或体心立方等形式.声光子晶体的最小周期尺寸为晶格常数，组成周期结构的最小单元称为单胞(或基元).一般来说，声光子晶体的光子带隙和声子带隙对应的波长与晶格常数处在同一个数量级.若在完美的声光子晶体中引入缺陷，如点缺陷或线缺陷，周期性的破坏可能导致同时产生光和声的缺陷态，即电磁波和弹性波(或声波)同时局限在点缺陷位置或者沿线缺陷传播.缺陷中的电磁波和弹性波对应的波长相近，且与晶格常数同属于一个数量级.然而，由于在固体介质中电磁波与弹性波(或声波)的传播速度相差几个数量级，导致声光子晶体结构中的电磁波和弹性波(或声波)的频率差异巨大.以通讯应用为例，电磁波的工作波长约为1550nm(194THz)，则令光子带隙的中心频率约为194THz，而声子带隙对应的频率仅为几个吉赫兹[16,20].能带结构(band structure)，也称频散关系或色散关系(dispersion relations).在光子晶体和声子晶体的研究中，能带结构通常表示为本征频率ω与Bloch波矢k之间的关系，如图2所示.由于结构的平移周期性和点群对称性，波矢k遍历不可约布里渊区，即可获得本征频率ω随波矢k变化的曲线，即能带结构.可以证明，当波矢k在布里渊区高对称点上时，本征频率取极值.因此，如果只为确定带隙，波矢k遍历不可约布里渊区的边界即可.光子和声子能带结构是分析声光子晶体光学和声学特性的基础.设电磁波和弹性波以谐波形式在无源的声光子晶体中传播，电磁波的控制方程为其中，E为电场强度，ε和µ分别为介质的相对介电常数张量和相对磁导率张量，c为真空中的光速，r为位置矢量，弹性波的控制方程为其中，u为位移矢量，C和ρ分别为介质的弹性张量和质量密度.计算光子和声子能带结构也就是求解电磁波和弹性波在周期结构中的本征频率问题.自光子晶体和声子晶体的概念提出以来，已经发展出了多种比较成熟的数值方法用于计算光子和声子能带结构，计算方法主要分为本征函数展开法和离散方法[28].前者包括平面波展开法(planewave expansion,PWE)[2930]、多散射法(multiple scattering theory,MST)[3132]、狄利克雷--纽曼映射法(Dirichlet to Neumann,DtN)[3334]、广义多极子法(generalizedmultipole technique,GMT)[3536]等；后者包括边界元法(boundary elementmethod,BEM)[3738]、时域有限差分法(fi nite di ff erence time domain,FDTD)[3942]、有限元法(fi niteelementmethod,FEM)[4345]、无网格法(meshfree method)[4647]等.上述方法均可以计算声光子晶体的光子和声子能带结构.同时产生光子和声子带隙(也称为双重带隙)是实现声光子晶体众多应用的基础，如何使声光子晶体同时产生更宽的光子和声子带隙是带隙调控的一个重要目标.需要指出的是，实现电磁波和弹性波的局域化并不一定需要完全带隙(completebandgap，沿任意方向传播的任意模式的波都将被禁止)，利用模式带隙(mode bandgap，关于结构的对称面呈某种对称性的电磁波或弹性波将被禁止)也可以实现波的局域化.这为声光子晶体双重带隙的调控和结构设计提供了更广的设计空间.正如上一节所指出的，声光子晶体多为空气/电介质(如硅)体系，且基体材料的选择范围相对较小，因此光子和声子带隙的调控以改变单胞的结构形式和几何参数为主，包括了晶格的排列形式和单胞的拓扑结构(多数情况下可认为是空气孔的分布和形状).2.1 一维和二维声光子晶体与二维体系相比，对一维声光子晶体带隙特性的研究相对较少.在声光子晶体的概念提出之前，Trigo等[48]通过实验观测到电磁波和弹性波可以同时局限在光子--声子谐振腔内(见图3(a))，但是由于结构中的电磁波和弹性波对应的晶格尺度不同，上述结构并不是严格意义上的声光子晶体.Psarobas等[49]从理论上证实了由硅与二氧化硅层交替排列所构成的一维声光子晶体可以同时产生光子和声子带隙，如图3(b)所示.Tang等[50]的研究表明，由压电材料和压磁材料组成的三相一维声光子晶体可以同时产生微波光子带隙和声子带隙(见图3(c)).对于二维声光子晶体，Maldovan等[1718]于2006年第一次从理论上证明了周期结构可以同时产生光子和声子带隙，他们分别讨论了空气圆孔周期排列在硅基体中和硅柱周期分布在空气中的情况.随后，Sadat-Saleh等[15]系统地研究了晶格形式和几何参数对空气/铌酸锂体系声光子晶体带隙的影响(见图4(a))，他们指出在六角晶格中引入不同尺寸的散射体有利于同时产生光子和声子带隙，但由于铌酸锂的折射率小于硅，上述结构不易得到光子完全带隙.Bria等[26]指出,空气/蓝宝石和空气/硅体系的声光子晶体分别可以在微波和光通讯波段产生光子和声子带隙.然而，上述研究仅考虑了圆形孔或圆形散射体的情况，所得到的光子和声子带隙相对较窄，甚至某些条件下不能得到光子或声子完全带隙.类比纹理连接的光子晶体结构[5153]，Ma等[54]研究了纹理拓扑形式(或者称为网络拓扑形式)的二维声光子晶体的带隙特性，如图4(b)所示.他们的研究表明，与传统的圆形孔声光子晶体相比，纹理拓扑形式的声光子晶体有利于同时产生较宽的光子和声子完全带隙，在正方晶格下其相对带隙宽度(带隙宽度与带隙中心频率之比)随几何参数的变化如图5所示. 一维或二维声光子晶体作为一种理想结构，较难在实验上得以验证.光子晶体光纤(photonic crystal fiber则是一类与二维声光子晶体相类似的准三维结构[5556]，如图6所示.光纤由高纯度的二氧化硅构成，其中不仅可以传输电磁波，也可以传输弹性波(或声波)，当光纤中传输的电磁波强度较高时会发生受激布里渊散射[1213].Russell课题组[57-60]的研究表明,光子晶体光纤也可以产生声子带隙，并开展了一系列光子晶体光纤中受激布里渊散射现象的实验研究.此外，在光子晶体光纤中传播的弹性波(或声波)的性质近年来也开始受到关注[6163].2.2 声光子晶体梁和板目前光子晶体梁或板结构的加工工艺已经相对成熟，这使得声光子晶体梁或板结构的制作和实验更容易实现.与一维和二维体系不同，声光子晶体梁和板具有有限的厚度，其中梁结构沿一个方向具有周期性，而板结构沿两个方向具有周期性，如图7所示.声光子晶体梁或板结构可以在硅基板上通过刻蚀等手段形成周期分布的空气孔而实现.对于声光子晶体梁，目前应用最广泛的结构形式是在硅基体上刻蚀圆形孔(或椭圆形孔)[24,6467]，如图7(a)所示.虽然这类结构易于加工，但是通常只能产生光子和声子的模式带隙.与此类似的还有在硅基体上刻蚀矩形孔的情况[16,19].利用模式带隙可以实现电磁波和弹性波的局域化，然而在样品加工过程中不可避免出现误差，这可能导致具有不同对称性模式间的相互耦合，为实际应用带来不利影响[14].以谐振腔结构为例，加工误差主要引起声学(或力学)谐振腔模式的能量耗散并降低品质因子.若利用完全带隙(尤其是声子完全带隙),则可以降低加工误差造成的不利影响，同时提高谐振腔的性能.为了得到声子完全带隙，Pennec等[68]在具有圆形孔的声光子晶体梁左右两侧各设置了一系列的振子(见图7(b))；他们指出,具有圆形孔的声光子晶体梁可以产生光子偶模带隙，而通过引入振子则可以产生声子完全带隙.与声光子晶体梁类似，目前为止报道最多的声光子晶体板结构也是在硅基体上刻蚀圆形孔(或椭圆形孔)而形成的[2074]，如图7(c)所示.Mohammadi等[69]和Pennec等[70]系统研究了具有圆形孔的硅基声光子晶体板，讨论了结构几何参数和晶格形式对光子和声子带隙的影响.结果表明：正方晶格和蜂窝晶格的声光子晶体板有利于产生光子和声子模式带隙，蜂窝晶格体系更适合产生光子和声子完全带隙，然而在光子晶体领域应用最广泛的三角晶格体系并不利于同时产生光子和声子带隙.Safavi-Naeim i等[75]和Mayer-A legre等[76]用弹簧-质量结构取代圆形孔，并提出了一种具有十字形孔和雪花形孔的声光子晶体板结构(见图7(d))；与圆形孔结构相比，这类结构可以产生更宽的光子模式带隙和声子完全带隙，且结构可设计性更强.El Hassouani等[77]在二氧化硅基板上周期放置硅柱(见图7(e))，理论上证明了这类声光子晶体板可以在较广的几何参数范围内产生较宽的光子和声子带隙.2.3 三维声光子晶体三维声光子晶体可以从真正意义上实现在3个空间维度上对电磁波和弹性波(或声波)的操控.由于在设计、制备和计算等方面存在诸多困难，三维声光子晶体的研究仍处于起步阶段.Papanikolaou等[78]从理论上预测将金属球周期置于环氧树脂基体可以得到光子和声子完全带隙.Akimov等[79]的研究证实了蛋白石结构的二氧化硅光子晶体可以同时产生光子和声子方向带隙，如图8(a)所示.针对空气/硅体系，Ma等[80]提出了纹理拓扑形式的三维声光子晶体结构(见图8(b))，同时指出这类结构可以同时产生较宽的光子和声子完全带隙，图9显示了其相对带隙宽度随几何参数的变化情况.2.4 声光子准晶光子晶体和声子晶体概念的提出也引起了人们对准周期结构中波的传播特性产生兴趣，并相应地提出了光子准晶(photonicquasicrystal)[8185]和声子准晶(phononic quasicrystal)[8690]的概念.电磁波和弹性波(或声波)在光子准晶和声子准晶中传播也会发生一些奇特的物理现象，如带隙[8182]、局域化[82-83]、负折射[91]等.2016年，Yu等[92]研究了具有8重旋转对称性的二维声光子准晶(phoxonic quasicrystal)，发现准晶结构可以同时产生光子和声子带隙，并指出无缺陷声光子准晶可以实现电磁波和弹性波(或声波)的局域化，如图10所示.同年，Wang等[93]的研究表明，即使以折射率较小的铌酸锂为基体，具有8重旋转对称性的二维声光子准晶同样可以产生光子和声子带隙，并且通过引入点缺陷分析了光子和声子的局域化模式.2.5 声光子晶体的拓扑优化设计光子和声子能带结构很大程度上依赖于单胞的拓扑形状，因此设计单胞的拓扑形状是获取更优带隙特性的一个重要途径.拓扑优化(topology optim ization)作为一种数值方法可以同时有效地处理结构的几何和物理性质的改变，目前已经广泛应用于光子和声子晶体的结构设计领域.将拓扑优化应用于声光子晶体领域，传统的经验和直观设计可以转变为基于数学模型的自动优化设计方法，从而获得性能卓越的结构，并探索出新的拓扑形式.Dong等[94]于2014年首次针对空气/硅体系的二维声光子晶体的带隙和谐振腔进行了多目标优化设计，得到了理想的结构形式，如图11(a)所示.随后，Zhang等[95]基于多级子结构策略，对二维声光子晶体的带隙特性也进行了多目标优化设计(见图11(b)).Dong等[96]于2017年研究了旋转对称性对二维声光子晶体拓扑优化的影响，研究结果显示,引入旋转对称性可获得带隙较宽的声光子晶体，如图11(c)所示.声光子晶体结构中的声光耦合问题与近年来迅速发展的腔光力学或腔光机械(cavity optomechanics)密不可分.声光子晶体为腔光力学注入了新的研究内容，与此同时腔光力学的发展也促进了声光子晶体的研究.3.1 腔光力学早在400年前，开普勒在解释为什么彗尾方向总是背离太阳时就已经提出了光压(optical pressure)的假设.然而由于光的力学效应太过微弱，直到1960年激光问世，光的力学效应才真正开始被利用[97].近年来，随着先进镀膜技术和微纳米加工技术的发展，光学谐振腔的光学谐振模式和力学(或声学)谐振模式之间通过光压发生的相互作用受到了广泛关注，并导致了腔光力学这一研究领域的迅速发展[98-101].图12给出了经典的法布里--珀罗(Fabry-P´erot)腔光力学系统，其中一面镜子固定而另一面镜子(相当于力学振子)可以自由移动.光学谐振腔模式的共振频率依赖于自由镜子(力学振子)的位置，一旦谐振腔内光场产生的光压改变自由镜子的位置，则谐振腔失谐，于是谐振腔内光场强度发生改变从而导致光压改变，反过来影响镜子的位置.即谐振腔的力学模式在改变其光学模式的同时光学模式也在改变力学模式.这种反馈机制，不但使得腔光力学系统可以囚禁、冷却力学振子，还展示出丰富的非线性物理现象.尽管微镜子、纳米梁等力学振子在光压作用下运动模式十分复杂，可能涉及到各种振动、扭转模式，但实验上发现只要其力学模式的品质因子(quality factor)足够高，则可以用一个单模的阻尼振子来描述其运动[102103].目前为止，科研工作者已经在不同尺度范围上实现了腔光力学系统，其中包括引力波探测器[104]、微镜子[105106]、光学微谐振腔[107-108]等.声光子晶体为系统地设计谐振腔的光学和声学(力学)模式提供了可能，并丰富了腔光力学的研究内容. 3.2 计算声光耦合作用的方法对于声光子晶体结构中的声光相互作用问题，通常需要考虑移动界面效应(moving interface e ff ect)和光弹效应(photoelastic e ff ect)[14,64]，其中前者也被称为移动边界效应(moving boundary e ff ect).移动界面效应为表面效应(surface e ff ect)，表现为在弹性波扰动作用下电介质体--空气界面形状发生改变；光弹效应为体效应(bulk e ff ect)，表现为由应变引起的电介质体内部折射率(或介电常数)的改变.折射率的改变量与应变有如下关系[10]其中，nij为折射率张量,Skl为应变张量,pijkl为光弹系数张量.需要指出的是，实际上其他一些效应(热--力效应、热--光效应、表面效应、残余应力等)也会影响耦合强度[109111]，但是在多数情况下忽略其影响.目前为止，研究声光子晶体结构中声光耦合作用强度的方法主要有准静态方法和计算光力耦合系数(optomechanical coupling coe ffi cient)方法[14].对于准静态方法，由于声光子晶体谐振腔中电磁波的工作频率比弹性波高约5个数量级，因此对于电磁波来说，弹性波扰动过程可以视为准静态过程.利用准静态方法计算声光耦合问题的具体方法如下.(1)分别计算声光子晶体谐振腔结构的光学和声学(力学)腔模式的本征频率和本征场.(2)通过合理施加单频弹性波扰动，激发出声光子晶体谐振腔的声学腔模式.(3)将一个声学腔模式的周期划分为不同的相位(时间步)，得到每个相位对应的位移场和应变场分布，以及结构在变形后的几何模型.通过式(3)计算得到谐振腔变形后新的折射率分布.(4)针对每个相位，基于变形后几何模型和新的折射率分布重新计算光学腔模式，并得到声扰动作用下光学腔模式的本征频率.在计算过程中，若只考虑变形后的几何模型则结果对应移动界面效应的影响；若只考虑折射率的变化则结果对应光弹效应的影响；若同时考虑上述两个方面则对应移动界面和光弹效应共同作用下的结果. 对于计算光力耦合系数g，Eichenfiel等[16]和Chan等[64]基于一阶电磁波问题的微扰理论分别给出了在移动界面效应和光弹效应作用下光力耦合系数的表达式.基于移动界面效应的光力耦合系数的具体形式如下其中，n为界面(电介质域边界)的外法向单位向量，E||为平行于界面的电场分量，D⊥为垂直于界面的电位移场分量，∆ε=ε1-ε2为电介质与空气介电常数之差，为电介质与空气介电常数倒数之差，表示在所有考虑的谐振腔边界(电介质/空气界面)上作面积分，表示力学/声学模式(振子/谐振腔)的零点运动(zero-point motion)的振幅，或者说单一声子的最大位移，其中meff为声学(力学)谐振腔模式的等效质量，ωm为力学模式的频率，ħ为约化普朗克常数.基于光弹效应的光力耦合系数的具体形式如下式中，符号〈a|b|c〉表示空间域上的体积分，即，其中以声光子晶体中最常见的材料硅为例，有移动界面效应和光弹效应共同作用下的光力耦合系数g可以由下面的关系计算得到光力耦合系数g反映了声学(力学)振子(或者说谐振腔模式)零点运动引起的光学模式频率的变化，或者说由振子的零点运动引发的单一光子与单一声子间相互作用的。
声子晶体简介
●声子晶crystal)
●声子晶体的概念
结构 对象 晶格 波动 偏振 特征
尺度 电子晶体 结晶体 电子输运行为 0.1-0.5nm 德布罗意波 自旋↑↓ 电子带隙,缺 陷态,表面态 原子尺寸 声子(光子)晶体 多种弹性(介电)材料组成的周期结构 弹性波(电磁波)在晶体中的传播 微观或宏观(0.1-1um) 弹性波(电磁波) 纵-横波耦合(横拨) 弹性波(光子)带隙,缺陷处的局域模式, 表面态 弹性波(电磁波)波长
●声子晶体的概念
晶体(crystals)
●声子晶体的概念
声子晶体(phononic crystals)
●声子晶体的概念
声子晶体(phononic crystals)
●声子晶体的概念
◆1883年，Floquet关于一维Mathieus方程的研究，首次考虑了周期 结构中波的传播 ◆1887年，Rayleigh率先研究了连续周期结构中波的传播特性，指出 结构中存在无波传播的频带 ◆1953年，Brillouin对波在周期介质中的传播特性进行了系统深入的 研究 ◆1992年，M.MSigalas,E.N.Econnmou首次从理论上证实了三维周期 点阵结构中弹性波带隙的存在性 ◆1993年，M.S.Kushwaha研究二维周期介质 时首次明确提出声子晶体的概念 ◆2000年9月，Science刊登了刘正猷提出的 声子晶体的局域共振带隙机理
●声子晶体的一些特性
◆弹性波带隙 ◆减缓波速效应 ◆声聚焦 ◆弹性波定向 ◆超准直 ◆沿缺陷传播 ◆声吸收 ◆等效的负刚度、负密度、负折射率 ◆和光子的相互作用 ◆声致热导率减小 ◆反常多普勒效应
●声子晶体的带隙
( x 0) ( x) , dx 1, F ( ) 1( ) 0( x 0)
一维准周期结构声子晶体透射性质的研究
一维准周期结构声子晶体透射性质的研究3曹永军 董纯红 周培勤(内蒙古师范大学物理与电子信息学院,呼和浩特 010022)(2006年4月6日收到;2006年6月20日收到修改稿) 提出了一维准周期结构的声子晶体模型.对弹性波通过该一维准周期结构声子晶体的透射系数进行了数值计算,并与周期结构的透射系数进行了比较.计算结果表明,弹性波通过一维准周期结构声子晶体时,同样会有带隙的出现,且带隙所在频率范围与周期结构的情形完全一样,不同的是在准周期结构声子晶体中,带隙内有很强的局域共振模.对此局域模性质的研究有助于声波或弹性波滤波器的制作.关键词:准周期结构,声子晶体,局域化PACC :4320,8160H ,4335,02603内蒙古自治区自然科学基金(批准号:200607010107)资助的课题.11引言经典波在复合结构材料中传播特性的研究越来越引起人们的兴趣,光子晶体的研究就是其中的一例[1,2].弹性材料平行而周期地排列形成所谓的声子晶体,当弹性波在这种人工复合材料中传播时,某些频率范围内的弹性波会被抑制,形成声子带隙[3—12].类似于晶体材料中引入杂质时会有杂质能级的形成一样,在声子晶体中引入缺陷体后禁带中也会形成缺陷模[13—18],与缺陷模频率共振的弹性波可以通过整个声子晶体,并且具有很高的品质因子.由于声子晶体有望被用于声滤波器以及声波导的制作和应用,因而这些性质的研究具有重要的意义.考虑到无序可引入局域化的现象[19],准周期系统又是介于周期与完全无序系统之间的一种典型结构[20],它的电子性质以及光学性质已被广泛研究[21—24].本文首先构造了一维准周期结构的声子晶体模型,接着研究了弹性波在其中的传播与局域化等性质,以期拓展声子晶体的应用价值,取得新的进展.21模型与计算方法 Fibonacci 序列是典型的一维准周期系统[25],通过替代规则A →AB ,B →A ,生成一个Fibonacci 序列ABAABABA ….现有两种各向同性的弹性材料薄层A 和薄层B ,弹性波在其中传播的横波和纵波速度分别为c A t ,c A l 和c B t ,c B l ,密度分别为ρA ,ρB ,厚度为d A ,d B .当它们按Fibonacci 序列交替排列时,就形成了所谓的一维准周期结构的声子晶体,如图1所示.为使计算结果更具有普遍性,我们考虑固体Π固体系统的情形,并且沿系统有限厚度的方向把其划分为多层薄片,系统沿y 方向是有限厚度,沿x 和z 方向为无限大,其界面如图1中的虚线所示.弹性波在各介质层中的传播行为可表示为ρ92U i9t2=T ij ,j ,T ij =c ijkl U k ,l .(1)这里采用了爱因斯坦规则(重复下标表示求和,逗号后的下标表示对该下标变量求导),i ,j ,k ,l =1,2,3,ρ和c ijkl 分别为材料的密度和弹性系数,U i 和T ij表示位移分量和应力张量分量.若弹性波只在xy 平面内入射,可只考虑平面内的xy 模,此时(1)式写为如下形式:-ρω2U 1=(c 11U 1,1+c 12U 2,2),1+T 21,2,-ρω2U 2=(c 44U 1,2+c 44U 2,1),1+T 21,2,T 21=c 44U 1,2+c 44U 2,1,T 22=c 12U 1,1+c 11U 2,2.(2)对各向同性材料有c 11=c 12+2c 14,c 12=λ,c 44=μ.第55卷第12期2006年12月100023290Π2006Π55(12)Π6470206物 理 学 报ACT A PHY SIC A SI NIC AV ol.55,N o.12,December ,2006ν2006Chin.Phys.S oc.图1 一维准周期结构声子晶体示意图 白色和灰色分别代表材料A 和材料B 对于系统中的任意一层介质,在x 方向可视为具有任意晶格常数a 的周期结构,在y 方向则具有均匀性,所以可将其中的波解作傅里叶展开后得U i T i=exp (i k y y )6nexp[i (kx+G n )x ]u iG t iG,(3)式中G n =2πan (n =0,±1,±2,…)为沿x 方向的倒格矢,k x 为布洛赫波矢,u iG ,t tG为对应项的傅里叶展开系数.将(3)式代入(2)式,整理后可得如下方程:[c 11(k x +G )2-ρω2]u 1G +c 12k x k y u 2G -i k y t 21G =0,c 44(k x +G )k y u 1G(4)+[c 44(k x +G )2-ρω2]u 2G -i k y t 22G =0,c 44k y u 1G+c 44(k x +G )k y u 2G +i t 21G =0,c 12(k x +G )u 1G +c 11k yu 2G +i t 22G =0.对于任意给定的倒格矢G 和布洛赫波矢k x ,解方程(4)可得k y 1,2=±ω2c2l-(k x +G )2,(5)k y 3,4=±ω2c 2t-(k x +G )2.(6)对应的傅里叶展开分量为u 2G =1,u 1G=k x +G k y 1,2,-i t 22G =c 12(k x +G )k y 1,2,-i t 21G =2c 44(k x +G );(7)u 2G =-k x +Gk y 3,4,u 1G =1,-i t 22G =-2c 44(k x +G ),-i t 21G =c 44k 2y 3,4-(k x +G )2k y 3,4.(8)在(5),(6)式中,c 1=λ+2μρ为纵弹性波速度,c t =μρ为横弹性波速度.将(5)—(8)式代入方程(3),可得弹性波在各层中的波解为U-i T=6Mn =-Mexp [i (k x +G n )x ]×62Nm =1A m R exp [i βm R y ]u mn R-i t mn R+62Nm =1A m L exp [i βm L y ]u m n L-i tmn L,(9)式中N =2M +1,下标R ,L 分别表示右行波和左行波.根据波在界面处的连续性边界条件可得u s Rt sR=u s +1R +u s +1L +R s +1--u sL t s +1R+t s +1L+R s +1--t sLTsR s+.(10)这里的上标s 意为第s 层.第s 层的反射矩阵R s+、透射矩阵T s和广义反射矩阵R s-分别定义如下:174612期曹永军等:一维准周期结构声子晶体透射性质的研究A s+L =R s+A s+R ,A s +1-R=T sA s+R ,R s-=exp [-i k y L d s ]R s+exp [i k y R d s ],(11)式中,d s 为第s 层的厚度,上标的s -(+)表示第s 层的左右边界.值得注意的是,出射层的广义反射矩阵为零,因此根据(10)式可由出射层开始算起,进而求出每一层中的反射矩阵和透射矩阵.入射波、透射波可分别表示为UinTin =u 1R t1R A 1R ,(12)U trTtr=u sR t sRTtotalA 1R .(13)这里,Ttotal=T N exp (i k N y R d N )TN -1…T1为总的透射矩阵,N 为系统的总层数.这样,入射弹性波在出射层的透射系数为T =6Mi =-MRe[(U tr 1i )3T tr 21i +(U tr 2i )3T tr22i ]Re[(U in 1i )3T in 21i +(U in 2i )3T in22i ],(14)式中,(U i )3为位移分量第i 阶变量的共轭,Re [・]为取出一个复变量的实部.以上计算方法的核心思想为模式匹配法[26,27],可计算弹性波通过一维有限厚的周期结构、准周期结构以及完全无序结构的透射系数.31计算结果及讨论 在计算中,材料A 和材料B 分别选取为环氧树脂(epoxcy )和铅(Pb ),波在A 介质中的横波和纵波速度分别为1157,2535m Πs ,密度为1180kg Πm 3;波在B 介质中的横波和纵波速度分别为860,2160m Πs ,密度为11400kg Πm 3.为简单起见,总使入射层和出射层为环氧树脂材料.首先计算了弹性波通过上述对应材料形成的一维周期结构的透射系数,系统共包含21个周期排列的介质层,且d A =d B =015a .不同频率的纵弹性波入射到该系统时,其透射谱如图2所示.在图2中有两个带隙出现,其中第一个禁带具有较宽的带隙,通带范围内有整齐的类周期振荡.利用带隙的性质,可有效地隔掉该频率范围内的弹性波.所以,对弹性波而言声子晶体本身就是一个有效的带阻滤波器.当横弹性波入射时情况也类似,只不过横波入射时出现多个禁带,但其带隙所在频率位置有所下降,带隙的宽度都没有纵波情形时的带隙Ⅰ宽,其透射谱如图3所示.下面选取纵弹性波为入射波,计算表明这不影响所得结论的正确性.禁带的出现能够提供一个良好的局域环境,如在周期结构声子晶体中引入缺陷体,带隙中可产生很强的局域模.与局域模频率共振的入射弹性波可以通过整个声子晶体,并且具有很高的品质因子.在声子晶体中通过引入各种缺陷体,使其产生各种局域态的研究已有大量报道[13—15].图2 纵弹性波通过一维周期结构声子晶体的透射谱 N =21图3 横弹性波通过一维周期结构声子晶体的透射谱 N =21准周期结构是介于周期结构和无序结构之间的一种典型结构,如果弹性材料按准周期结构排列形成复合材料系统,弹性波在其中的传播行为又如何呢?为此,我们以上述一维准周期结构声子晶体为例,研究了弹性波通过准周期复合材料系统的透射性质,即一维Fibonacci 结构声子晶体的透射性质.图4为纵弹性波入射到含有21层(d A =d B =015a )2746物 理 学 报55卷准周期介质的系统时,其透射系数随入射频率的变化关系.比较图2和图4可以发现,在准周期排列的声子晶体系统中同样会有禁带的出现,并且其带隙的宽度和所在频率范围与周期系统相同,不同的是准周期排列的结构中第一个带隙范围内引入了局域模,其中有一个局域共振模的透射峰非常陡峭,如图4所示.当然,由于局域态的存在打乱了通带范围内的类周期振荡.由此可见,通过引入缺陷体使其在声子晶体中产生局域态的方式并不是唯一的选择,利用准周期排列各组元材料同样可以在系统中产生局域态.这是因为准周期系统较之周期系统而言,其对称性有所下降,无序度有所增加,其效果就相当于引入缺陷体的作用.图4 纵弹性波通过一维Fibonacci 结构的声子晶体的透射谱 N =21由图4可以看出,有两支共振峰的透射率并不是很高,即品质因子不是很大.计算表明,这是因为所选的系统不够大的缘故,或者是N =21层的准周期系统还不足以把部分模式局域得很好.我们也研究了透射系数随介质层数N 不断增加的变化情况.图5是介质层数N =33和N =43的情形.图5(a )是N =33的情形,带隙中共振峰的透射率都有较大的提高;图5(b )是N =43时的情形,三支共振峰中的中间一支共振峰透射系数竟达到0196,不过此时左右两支的透射率又几乎变为零,这是因为系统太大的缘故.虽然系统存在这样的本征态,但由于系统太厚,入射波能量不能够与系统中的部分局域本征模发生有效的共振耦合作用,表现在透射谱上则是其透射率就非常低.在研究含缺陷体的声子晶体时,我们也发现了类似的现象[28].通过仔细比较图4与图5的结果还可发现,随着介质层数N 的不断增大,除了禁带内局域模的变化情况以外,通带内的透射峰也有不断发生分立变化的趋势.这一点与准晶体内的电子波函数随着系统不断变大而发生的现象非常类似[22,25].图5 纵弹性波通过一维Fibonacci 结构声子晶体的透射谱 (a )N =33,(b )N =4341结论本文提出了准周期结构声子晶体的模型.研究了弹性波通过一维准周期结构声子晶体的透射性质,并与周期结构的情形进行了比较.研究表明,弹性波通过一维准周期声子晶体时同样会有禁带的出现,利用准周期排列的特殊结构可在系统中产生局域共振态,表现在透射谱上就是带隙内会出现很强的共振峰.利用准周期排列的结构可产生局域态的性质,准周期声子晶体有望被用于制作声波或弹性波滤波器.此外,随着准周期排列的介质层数的增加,透射峰也有不断分立变化的趋势.在后续的工作374612期曹永军等:一维准周期结构声子晶体透射性质的研究中,我们将系统地研究弹性波在一维周期、各类准周期以及完全无序结构中的传播性质,希望对经典弹性波在各类复合结构中的传播性质有较全面的理解.[1]Johns on S G,Joannopoulos J D2002Photonic Crystals———TheRoad from Theory to Practice(D ordrecht:K luwer Academic) [2]Y ablonovitch E1987Phys.Rev.Lett.582059S igalas M M,Econom ou E N1992J.Sound Vib.158377[3]S igalas M M,Econom ou E N1993Solid State Commun.86141[4]K ushwaha M S,Halevi P,D obrzynski L et al1993Phys.Rev.Lett.712022[5]M artinez2Sala R,Sancho J,Scanchez J V et al1996Nature378241[6]Liu Z Y,Zhang X,M ao Y et al2000Science2891734[7]W ang G,W en X S,W en J H et al2004Phys.Rev.Lett.93154302[8]W ang G,W en J H,Han X Y et al2003Acta Phys.Sin.521943(in Chinese)[王 刚、温激鸿、韩小云等2003物理学报521943][9]W ang G,W en J H,Liu Y Z et al2005Acta Phys.Sin.541247(in Chinese)[王 刚、温激鸿、刘耀宗等2005物理学报541247][10]Zhong H L,Wu F G,Y ao L N2006Acta Phys.Sin.55275(inChinese)[钟会林、吴福根、姚立宁2006物理学报55275][11]G offaux C,S%nchez2Dehesa J2003Phys.Rev.B67144301[12]Chen Y Y,Y e Z2001Phys.Rev.E6436616[13]K helif A,Djafari2R ouhani B,Vasseur J O et al2002Phys.Rev.B65174308[14]K afesaki M,S igalas M M,G arcía2000Phys.Rev.Lett.854044[15]T orres M,M ontero De Espinosa F R,G arcía2Pablos D et al1999Phys.Rev.Lett.823054[16]Wu F G,Liu Y Y2004Phys.Rev.E6966609[17]Wu F G,Liu Y Y2002Acta Phys.Sin.511434(in Chinese)[吴福根、刘有延2002物理学报511434][18]Psarobas I E,S tefanou N,M odinos A2000Phys.Rev.B625536[19]Anders on P W1958Phys.Rev.1091492[20]Shechtman D,Blech I,G ratias D et al1984Phys.Rev.Lett.531951[21]K ohm oto M,Sutherland B,Iguchi K1987Phys.Rev.Lett.582436[22]Liu Y Y,Riklund R1987Phys.Rev.B356034[23]Huang X Q,Liu Y Y,M o D1993Solid State Commun.87601[24]Y ang X B,Liu Y Y,Fu X J1999Phys.Rev.B594545[25]M erlin R,Bajema K1985Phys.Rev.Lett.551768[26]H ou Z L,Fu X J,Liu Y Y2004Phys.Rev.B7014304[27]Li L F1998J.Mod.Opt.451313[28]Cao YJ2005Ph.D.Thesis(G uangzhou:S outh China Universityof T echnology)(in Chinese)[曹永军2005博士学位论文(广州:华南理工大学)]4746物 理 学 报55卷Transmission propertie s of one 2dimensionalqusi 2periodical phononic crystal 3Cao Y ong 2Jun D ong Chun 2H ong Zhou Pei 2Qin(College o f Physics and Electronics In formation ,Inner Mongolia Normal Univer sity ,Huhhot 010022,China )(Received 6April 2006;revised manuscript received 20June 2006)AbstractIn this paper ,the m odel of a one 2dimensional (1D )phononic crystal with quasi 2periodical structure is proposed.The transm ission coefficients of elastic waves through the 1D qusi 2periodical phononic crystal are numerically calculated ,and the obtained transm ission coefficients are com pared with those of the phononic crystal with periodical structure.The results show that the band gap can also be found in the phononic crystal with quasi 2periodical structure ,and the frequency range of the gap is the same as that of the periodical structure.H owever ,the only difference is that strongly localized resonant m odes appear in the gap of the qusi 2periodical phononic crystal.This study to the properties of the localized m odes is useful to the fabrication of the acoustic or elastic wave filters.K eyw ords :qusi 2periodical structure ,phononic crystal ,localization PACC :4320,8160H ,4335,02603Project supported by the Natural Science F oundation of Inner M ong olia Autonom ous Region ,China (G rant N o.200607010107).574612期曹永军等:一维准周期结构声子晶体透射性质的研究。
一维功能梯度材料声子晶体弹性波带隙研究
材料 声子 晶体较 常规 材料 声子 晶体在相 同 范围 内能 够 出现 更 多阶带 隙结构 。这 些结果 为功 能梯 度材 料 声子
晶体在 工 程 实际 中的 广 泛 应 用提 供 了理 论 依 据 和 指
导。
关 键 词 ： 声 子 晶 体 ； 能 梯 度 材 料 ； 性 波 带 隙 功 弹
中图分 类号 ： Ｏ ８ ． ； Ｂ ３ ４ １ １ Ｔ ５
文献标 识码 ： Ａ
文 章 编 号 ：０ １９ ３ （Ｏ Ｏ 增 刊 Ⅱ一３ ８０ １０—７１２ １ ） ０ ６ —３
计 算揭 示 了一维 功能 梯度 材料声 子 晶体 中存 在 弹性 波 带隙 ， 讨 了功能 梯度 材料 表面材 料 常数 、 探 指数 因子 和 组 分 比等 因数 对 带 隙 宽度 的影 响 ， 比较 了其 与常 规 材 料 构成 的声子 晶体 带 隙特征 的异 同 。所 得结 果对 功 能 梯度 材料 声子 晶体 在工程 实 际 中的设计 和应 用提 供 了
依据 和参 考 。
１ 引 言
功能梯 度材料 是 一 种 多相 材 料 ， 材 料 宏 观 特 性 其
在 空 间 位 置 上 呈 现 梯 度 变 化 ， 除 了材 料 的 物 理 性 能 消
突变现象 ， 较好 地避 免或 降低应 力集 中 ， 到优 化 结构 达 整 体使用 性能 的 目的 。功 能梯 度 材 料在 航 空 航 天 、 电 子器 件 、 造脏器 、 车发动 机等诸 多方 面都 有 广 泛 的 人 汽
等 方 面 展 开 了 一 系 列 的 研 究 。 １ ９ 。 ９ ５年 ， ａｒ ｅ— Ｍ ｔｉ ｚ ｎ
Ｓ ｌ ［ 第一 次 从 实 验 角 度 证 实 了弹 性 波 带 隙 的存 ａａ等 ３
一维杆状声子晶体的带隙特性
表 １ 材 料 参数
∞
印 ∞ 加 ０ 加 ∞ ∞ ∞ ∞
维杆状声子 晶体 与一维 声子 晶体 不 同之 处在 于 ，
罨 星
《
杆状声子 晶体 如 图 １在 方 向和 Ｙ方 向均存 在 边 界 约 束， 而一维声子 晶体不存 在 。用有 限元 法 求解 了一 维杆 状声子 晶体 的振 动带 隙及其 模态 振 形 ， 比了两者 的关 对 系， 从本 质上 阐述 了声 子 晶体相关参 数对带 隙的影响 。
ｌ ｆＨｚ
１ 一维 杆 状 声 子 晶体 的振 动 特 性
用有 限元 法计 算 了如 图 １所 示 的一 维 杆状 声 子 晶
图 ２ 声 子 晶 体 振 动 传 输 特 性
体 ３个周 期 和 ５个 周 期 的振 动 传 输 特 性 ， 面 为 正 方 截 形， 边长 ０ ０ ９０ 高度 ０ ０ ２ ｍ。材 料 为 金 属 材 料 ． １ ５ｍ； ． １
峰 的模 态 振 形 均 为橡 胶 部 分变 形 ， 而金 属 部分 有 ｚ向
移动， 因此任 何 有关 金 属 和 橡 胶 材 料 的相 关参 数 都 会
影 响带 隙 的起 始 频 率 ； 而带 隙 截 止 频 率 的 一 个 共振 峰
对 应振形 均为 橡胶部 分有 横 向错 动 而金 属 部分 没 有移
收稿 日期 ：２ ０ ０ ８—１ ２ 修改稿收到 日期 ：０ ９—０ ０ １— ５ ２０ ４— ９
第 一 作 者 宋 卓斐 男 ， 士 ，９ ８年 生 博 １７
（） ５ 期 ｂ 周
图 ３ 共 振 模 态 振 形
振 动 与 冲 击
２１ 第 ２ ０ ０年 ９卷
图 ３ ａ 为 ３周期 ， ３ ｂ 为 ５周期 ） 排列 顺序 为 （） 图 （） ，
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序 列排 列 ， 就形 成 了 一 维 杆状 Ｔ 准周 期 结 构 声 子 Ｍ 晶体 （ 图 １ 。 了与周 期 结 构 （ Ｂ Ｂ Ｂ… ）对 应 见 ）为 Ａ ＡＡ 起 来 ， 每一级 Ｔ 在 Ｍ序列 中 ， 认为 口＝口 ＋口 是 １ 个 （ ）晶格 常数 ， 准 即对应 １ （ ）周 期 结构 ， 个 准 故第 ／ ＂ ｔ 代 Ｔ 序 列有 ２ 个 （ ）周 期结 构 。 Ｍ 准 Ａ、 Ｂ两种 材料 分别选 取 环氧树脂 （ｐｘ ） ｅｏｙ 和铝
构声子晶体的广泛应用提供了参考。
１ Ｔ 序 列 的 带 隙特 性 Ｍ
Ｔ ｕ — ｒ （ Ｍ） 列 如下 ： Ｓ ｈ ｅＭｏｓ Ｔ 序 ｅ 设 。＝ Ａ Ｂ为 第 １ 代Ｔ Ｍ序 列 ， 照 按 、 的规 则依 次生 成诸
声子 晶体 因其 在减 振降 噪 、 波 、 导 等方 面有 滤 波 着广 泛 的潜在应 用 前 景 ， 已经 引起 了众 多 学 者 的 关
表 １ 计算用材料的主要物理参数
的声 子晶体 中引入 缺 陷态 时 Ｊ缺 陷 态 对应 频 率 的 ８，
排序 的材料组合 都不影响其 带 隙范围， 改变材料 参数 （ 但 密度 和弹 性模 量 ） 能改 变其 带 隙范 围。此 却 研 究可供其在 减振 降噪 、 滤波 、 波导等方 面的设计和 实 际应 用参 考。 关 键 词 ：Ｍ 序 列 ； Ｔ 准周期 ； 子 晶体 ； 隙 声 带
文 献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ：０ ０２ ５ （ ０ ２ ０ － ４ － １０ － ８ ２ １ ） ２０ ５ ６ ７ ２ ０
注。准周期结构声子 晶体就是继周期结构声子晶体 之后 提 出的又 一复 合 功 能材 料 ， 其 带 隙 的计 算 方 但
法却 不多 。Ｋｎ 等基 于实 验研究 了准周 期结 构 声 ｉｇ 子 晶体 中的弹性 波 波导 行 为 ； 永 军 等 基 于 模 式 曹 匹配法 研究 了弹性波 在准周 期 结构声 子 晶体 中 的透 射 系数 。 在准周 期序 列 中Ｃ ，ｉｏａｃ 序 列 是 介 于 无 序 ５ Ｆｂｎｃｉ ３ 和 周期 之 间 的一 种典 型结 构 ， Ｔ ｕ— ｒ （ Ｍ） 而 ｈｅＭｏｓ Ｔ 序 ｅ
考 虑 两种 均匀各 向同性 的细长杆 弹性 材料 Ａ和 Ｂ， 们截 面相 同 ， 它 长度分 别 为 和 ｎ ， 把它 们按 Ｔ Ｍ
型 ， 虑到 有 限元 法 ’ 以 用 来 准 确 地 计 算 周 期 考 可 结 构声 子 晶体 的带 隙特性 且 已有很 多成 熟 的商用 软 件 （ Ｎ Ｙ 、 Ｃ等 ） Ａ Ｓ Ｓ ＭＳ 。因 此 本 文 提 出一 维 杆 状 Ｔ Ｍ
排列 而成 的 复合功 能材 料就称 为声 子 晶体 。 当弹性
波在声子晶体 中传播 时， 受其 内部周期结构的作用 ， 会形 成特 殊 的能带 结构 （ 散关 系 ） Ｊ如带 隙 、 色 ， 局
域共 振模 等 。 目前 声子 晶体 的研究 主要 集 中在 带 隙
的产 生 条 件 、 响 因 素 以 及 如 何 控 制 带 隙 范 围 等 影 方面。
作者简 介 ： 李 雷 （９ ６ ） 西北工业 大学硕 士研 究生 ， １ ８一 ， 主要从 事准周期／ 周期 结构复合 功能材料 的研 究。
西
北
工
业
大
学
学
报
第３ ０卷
（ １ ， 型截 面 为半 径 ００ 的 圆 ， Ａ） 模 ． １ｍ 晶格 常 数 口＝ ０ １ 组 分 比 ａ：０ ．５ｍ， Ａ ＝１ １材料 参数 见表 １ ： ， 。
中图分 类号 ：Ｂ ３ ４ １ １ Ｔ ５ ，０同的材 料按 一定 结构
起 始频率 ， 同时在 带 隙 范 围 内 出现 了具 有 高 品 质 因 子 的局域 共振 模 ； 此外 还研 究 了 Ｔ 序 列 的代次 、 Ｍ 材 料排 序 、 料参 数对 其带 隙特 性 的影 响 ， 材 为准周 期结
准周期结构声子晶体模型 ， 采用 Ａ Ｓ Ｓ Ｎ Ｙ 模拟其带隙 特性并与周期结构进行 了比较。发现 Ｔ Ｍ序列准周
期结构声子晶体可以有效地拓宽带隙宽度且能降低
收稿 日期 ：０ １ ５２ 基金项 目： ２ １－ －８ ０ 陕西省教育厅科 学研 究计划 （０ ０Ｋ ９ ） ２ １Ｊ ５ ３ 与西北工业大学基础研究基金 （Ｃ ０ １２ ５ 资助 Ｊ２ １０ ５ ）
李 雷 ， 刘永寿 ， 建 亭， 朗泉 任 税
（ 西北 工 业 大 学 力 学 与 土 木 建 筑 学 院 ， 西 西安 陕 ７０ ７ ） ｌ０ ２
摘 要 ： 出了一维杆状 Ｔ 准周期结构声子晶体模型， 提 Ｍ 采用有限元法计算了其带隙特性并与周期结 构进 行 了比较 。研 究表 明 ，Ｍ 序 列 准周期 结 构 声子 晶体 可 以有 效地拓 宽 带隙宽度 且 能 降低 起 始频 Ｔ 率， 而且在带隙范围内产生了 具有高品质 因子的局域共振模； 此外还发现， 同代次的 Ｔ 不 Ｍ序列、 不同
列 是介 于 Ｆｂｎ ｃｉ 列 和周 期 之 间 的一 种 过 渡 类 ｉｏａ ｃ 序
如Ａ Ｂ ＢＡ …的Ｔ ＢＡ ＡＢ Ｍ序列 ， 则第 ／ Ｔ ＇ Ｍ序列中包 ｔ 代 含 ２ 个元素， 中 和 Ｂ的数 目总是相等的。 其
图 １ 一 维杆状 Ｔ Ｍ准周期结构声子 晶体示意 图
２１ ０２年 ４月
西 北 工 业 大 学 学 报
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第３ ０卷第 ２期
一
维 杆 状 Ｔ ｕ — ｒ （ Ｍ） ｈｅＭｏｓ Ｔ 准周 期 结构 声 子 ｅ 晶体 带 隙 特 性 的 研 究