固体物理 第一章 晶体结构 晶格的周期性
固体物理_第一章（1.4晶向、晶面指数）
固体物理_第⼀章（1.4晶向、晶⾯指数）第1章晶体结构1.1 晶格的周期性1.2 典型晶格实例1.3 晶格的对称性1.4 晶向、晶⾯指数1.5 倒格⼦、布⾥渊区和晶体散射1.4.1 晶列指数（晶胞中）特别性质：所有平⾏晶列组成晶列族，包含所有格点晶列上的格点也是周期性的，且每⼀列格点分布⼀致同⼀个截⾯内，晶列是平⾏等距的晶列：连接任意格点的平⾏直线晶向：晶列的取向晶列指数：晶向的⽮量表达1.4.2 晶⾯指数（密勒指数）*平⾏的晶⾯组成晶⾯族，晶⾯族包含所有格点；* 晶⾯上的格点分布具有特定周期性，是⼆维格⼦* 同⼀族晶⾯中，每⼀个晶⾯的格点分布⼀致* 同⼀族晶⾯中，相邻晶⾯平⾏等距：系列平⾏等距晶⾯构成晶族晶⾯：晶格中任意三个不在同⼀直线上的格点决定的平⾯向与晶⾯正交（即为该晶⾯的法向⽮量）：⽤平⾯的法线式⽅程可证明若截距为负数，则对应指数头上加“-”号等效晶⾯常⽤⼤括号表⽰{hkl}，例如(100)，(010)统⼀⽤{100}表⽰，同样包括{110}、{111}晶⾯；晶⾯指数较⼩的⾯，⼀般为解理⾯晶⾯指数可⽤于计算两个⾯之间的夹⾓等效于法线⽮量的夹⾓：⼆者内积/模的乘积晶⾯指数可⽤于计算两个⾯之间的间距：等效于离原点最近的晶⾯上任意⼀点的格⽮长度，在法线⽅向的投影即，假设基⽮长度分别为a、b、c，晶⾯指数为(h, k, l)，则对应⽴体坐标系下的截距分别为a/h, b/k, c/l，继⽽，该晶⾯的法线⽮量为(h/a, k/b, l/c)，写成⽅向向量为(h/a, k/b, l/c)222选择在a轴上的截距，在法线的投影，即a/h在⽅向的投影d222。
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考01第一章 晶体的结构
a1 ⋅ n = h1d , a2 ⋅ nh2 d , a3 ⋅ n = h3d ,
假定 h1 , h2 , h3 不是互质的数，则有公约数 p，且 p>1；设 k1 , k2 , k3 为互质的三个数，满足
h1 h2 h3 = = =p k1 k2 k3
则有
a1 ⋅ n = k1 pd , a2 ⋅ nk2 pd , a3 ⋅ n = k3 pd ,
a2 a3 a1
（1）按基矢 a1 , a2 , a3 在空间作重复平移，就可得到它的布喇菲格子，因为此晶体是简单格子，因此 晶体中原子位置可以认为与格点重合。由右图可见，它是体心立方布喇菲格子，属于立方晶系。
−27 3 （2）原胞体积 Ω = a1 • a2 × a3 = 3i • ⎡3 j ×1.5 i + j + k ⎤ = 13.5 × 10 m
3 (i − j + k ) 2 3 (i + j − k ) 2
a3 = a + b − c =
a1 , a2 , a3 对应体心立方结构. a1 , a2 , a3 满足选作基矢的充分条件.可见基矢为, a1 = 3i ， a 2 = 3j ， a 3 = 1.5(i + j + k ) ,的晶体为体心立方结构.
（ 3 ）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为 R ，则原胞的晶体学常数
a = 2 2 R ，则面心立方的致密度为：
4 4 4 ⋅ πR 3 2 ⋅ πR 3 3 α = 33 = = a (2 2 R) 3 2π 6
（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为 R ，则原胞的 晶体学常数 a = 2 R ， c = ( 2 6 / 3) a = (4 6 / 3) R ，则六角密积的致 密度为：
固体物理_第一至第七章总复习详解
总复习
第二章 晶体结合 一、原子的负电性
负电性＝常数（电离能＋亲和能） 电离能：让原子失去电子所必需消耗的能量 亲和能：处于基态的中性气态原子获得一个电子所放出的能量
负电性大的原子，易于获得电子。 负电性小的原子，易于失去电子。
二、晶体结合的基本类型及其特性
1、离子结合：正负离子之间的库仑相互作用，强键
总复习
一维单原子链
重要结论：
试探解为： xn Aei(tnaq)
色散关系：
w2 2 (1 cosqa)
m
2
m
sin( qa ) 2
m
sin( qa ) 2
中心布里渊区范围： q
a
a
振动模式数目（格波数目）：N
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格波
总复习
• 格波：晶体中所有原子共同参与的一种 频率相同的振 动，不同原子间有振动
总复习
第一章 晶体结构
一、晶体的宏观特性：周期性、对称性、方向性（各向异性）
二、晶体的微观结构
1. 空间点阵（布拉伐格子） 基元、布拉伐格子、格点、单式格子、复式格子 晶体结构＝基元＋空间点阵 布拉伐格子（B格子）＝空间点阵 复式格子＝晶体结构 复式格子≠B格子
2.原胞 初基原胞、基矢、威格纳－赛兹原胞（W－S原胞，对称
位相差，这种振动以波 的形式在整个
晶体中传播，称为格波
xn Aei(tnaq)
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3. 一维双原子链 总 复 习
mM 2n-2
2n-1 2n
2n+1 2n+2 2n+3
Ⅰ. 体系：N个原胞，每个原胞中包括2个原子 (m1=M, m2=m, M>m)。
固体物理晶格部分复习
1
j0
l
12 j
,
1
A6
l6
j0 j
只与晶体结构有关
在常压下，He即使当T0时，也不能凝结成晶体， 这是由于原子零点振动能的影响，是一个量子效应
双粒子模型用于离子晶体和分子晶体上是相当成功 的，这是由于在这两类晶体中，电子云的分布基本上是 球对称的，因而可以用球与球之间的相互作用来模拟
五、共价结合的基本特征：方向性和饱和性 六、共价键与离子键之间的混合键
14种Bravais格子 立方晶系的基矢：
fcc：rBiblioteka a11 2rr bc
a 2
$j k$
r
a2
1 2
rr ca
a 2
k$ $i
r
a3
1 2
rr ab
a 2
$i $j
bcc：
r
a1
1 2
rrr a + b c
a 2
$i + $j k$
r
a2
1 2
rrr abc
当形成共价键的两个原子不是同种原子时，这种结 合不是纯粹的共价结合，而是含有离子结合的成分
本章要求：
❖ 掌握各种晶体结合类型的基本特征
❖ 给定晶体相互作用能的形式，根据平衡条件、体积压缩 模量的定义以及体积因子求出平衡时晶体中最近邻粒子 间的距离r0、相互作用能U0（或结合能W > 0）和体积压 缩模量K的表达式
a 2
$i $j k$
r
a3
1 2
rrr a+bc
a 2
i$+ $j k$
本章要求：
❖ 几种简单的晶体结构
❖ 掌握关于晶体的基本概念（晶格、空间点阵、基矢、 原胞、格点、基元、简单晶格和复式晶格等）
固体物理各章节知识点详细总结
3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
1. 振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为
a，原子质量为m。
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
..
m x n x n x n 1 x n x n 1
x M 2 n x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n
..
x m 2n1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n 1
x
Aei2n1aqt
2 n1
x
Bei2naqt
2n
相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
色散关系
2co as q A M 22B0 m 22A 2co as q B0
a h12 h22 h32
由
2π Kh
d h1h2h3
2π
d K 得： h1h2h3
h1h2h3
简立方：a 1 a i,a 2 aj,a 3 a k ,
b12πa2a3 2πi
Ω
a
b22πa3a1 2πj
Ω
a
b32πa1a2 2πk
Ω
a
b1 2π i a
b2 2π j a
2π b3 k
2n-1
2n
2n+1
2n+2
M
m
质量为M的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、···
质量为m的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、···
固体物理第一章总结
第一章晶体结构1.晶格实例面心立方（fcc）配位数12 格点等价格点数4 致密度原胞基矢：()()()123222aa j kaa k iaa i j=+=+=+原胞体积3123()/4Ωa a a a=⋅⨯=NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl-具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag； Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等）简单立方（SC）配位数6 格点等价格点数1 致密度CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl-钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3??氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等体心立方（bcc）配位数8 格点等价格点数2 致密度原胞基矢：123()2()2()2aa i j kaa i j kaa i j k=-++=-+=+-原胞体积：3123()/2Ωa a a a=⋅⨯=体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等六角密堆（hcp）配位数12 两种格点原子数6 基元数3 致密度典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等金刚石结构最近邻原子数4 次近邻原子数12 致密度晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B)*将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP, GaAs 等2.晶体的周期性结构基本概念晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同基元：晶体结构中最小的重复单元布拉维点阵（布拉维格子）： 112233R n a n a n a =++ 晶体结构 = 布拉维格子+基元原胞：由基矢1a 、2a 、3a 确定的平行六面体，是体积最小的周期性结构单元，原胞只包含一个格点晶胞：同时计及周期性及对称性的尽可能小的重复单元，原胞实际上是体积最小的晶胞 维格纳-赛茨原胞（WS 原胞）1. 作某个格点与其它格点的连接矢量2. 作所有这些连接矢量的垂直平分面3. 这些垂直平分面围起的凸多面体就是维格纳-赛茨原胞3. 晶向、晶面及其标志晶列（向）指数：[l m n] 晶面指数（米勒指数）：( h k l )米勒指数是以晶胞基矢为基准，而面指数则以原胞基矢为基准标定4. 布里渊区倒格子空间中的维格纳-赛茨（WS ）原胞，即所谓的第一布里渊区,布里渊区包含了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢22h h k G G ⋅= 简单立方的倒格矢（简单立方——简单立方）基矢123a aia aj a ak ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 倒格矢123(2π/a)(2π/a)(2π/a)b i b j b k⎧=⎪=⎨⎪=⎩体心立方晶格的倒格子（体心立方——面心立方）基矢1231()21()21()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b j k a b k i a b i j a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩倒格矢可以表示为：1122332331122π[()()()]h G h b h b h b h h i h h j h h k a=++=+++++ 其中（h1 h2 h3）是米勒指数，h G 垂直于米勒指数，其第一布里渊区是一个正十二面体面心立方晶格的倒格子（面心立方——体心立方）基矢1231()21()21()2a a j k a a k i a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b i j k a b i j k a b i j k a ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩第一布里渊区为截角八面体即5. 晶体的宏观对称性xx xy xz x x y yx yy yz y z zx zy zz z D E D E D E εεεεεεεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于所有立方对称的晶体中，介电常数是一个对角张量：0 (,,,)x y z αβαβεεδαβ==该结论适用于一切具有二阶张量形式的宏观性质 (如电导率、热导率)六角对称的晶体中，若坐标轴选取在六角轴的方向和与它垂直的平面内，则介电常数有如下形式// 0 00 00 0 εεε⊥⊥⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，//////D E ε=， D E ε⊥⊥⊥=，六角对称的晶体有双折射现象对称操作（正交变换：旋转、中心反演、镜面反映） 1. 旋转绕 z 轴旋转 q 角的正交矩阵cos sin 0sin cos 0 0 0 1θθθθ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，中心反演的正交矩阵 1 0 0 0 1 0 0 0 1-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭由于cost = (1 - m)/2 所以 m = -1 0 1 2 3，所以t = 0 2π/6 2π/4 2π/3 2π/2，没有所谓的5度轴和7度轴。
固体物理-第一章
•
ai
aj
ak
•
•
•
•
顶角8个格点→8×1/8=1个原 子；→平均包含1个原子
原胞的体积 V a1 (a2 a3 ) a3
➢晶体的周期性
面心立方晶胞
晶
胞
的
ABC ABC 排列（立方密堆）
选
取
a1
a 2
jk
顶角8个格点→8×1/8=1个原子；面心6个原 子→6×½=3个原子；→平均包含4个原子
1.1 晶体的周期性
1.1.1 常见的晶体
沸石晶体
方沸石
化学式：RR[Alx+2ySin-(x+2y)O2n]·mH2O含水架状结 构铝硅酸盐矿物，单斜和正交（斜方）晶系为主。 式中R代表碱金属离子，基本上为K+或Na+。
菱沸石
纯净的各种沸石均为无色或白色，但可因混入杂质而呈各种浅色。玻璃光泽。解 理随晶体结构而异。沸石的晶体结构是由硅（铝）氧四面体连成三维的格架，格架中 有各种大小不同的空穴和通道，具有很大的开放性。碱或碱土金属子和水分子均分布 在空穴和通道中，与格架的联系较弱。不同的离子交换对沸石结构影响很小，但使沸 石的性质发生变化。晶格中存在的大小不同空腔，可以吸取或过滤大小不同的其他物 质的分子。工业上常将其作为分子筛，以净化或分离混合成分的物质 ，如气体分离、 石油净化、处理工业污染等。此外沸石还具有独特的吸附性、催化性、离子交换性， 离子的选择性、耐酸性、热稳定性、多成份性、及很高的生物活性和抗毒性等。
1.1.3 基本概念
晶体的特点：晶体具有规则 的几何外形，固定的熔 点，某些晶体具有一定 的解理性。
周期性：晶体中 微粒的排列按照 一定的方式不断 的做周期性重复 的性质，称为晶 体结构的周期性。
固体物理-第一章2
原胞的基本平移矢量，简称基矢。 简称基矢 基矢。
1.原胞的分类 (1)固体物理学原胞(简称原胞) (1)固体物理学原胞(简称原胞) 固体物理学原胞 原胞 构造：取一格点为顶点， 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个 不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理 不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理 学原胞。 学原胞。 特点：格点只在平行六面体的顶角上， 特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格 只在平行六面体的顶角上
v = a⋅ b×c = n
( )
(3)维格纳--塞茨原胞 (3)维格纳--塞茨原胞 维格纳-构造：以一个格点为原点， 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中 垂面(或中垂线) 由这些中垂面(或中垂线) 垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积 (或面积)即为W-- 原胞。 或面积)即为 --S原胞。 -- 原胞 特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含 特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1 个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。 个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。
-的坐标为 Cl
1 1 1 + ) ， Na 的坐标为 (000)。 2 2 2
(c)氯化铯结构 c)氯化铯结构
Cl −
Cs +
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的 氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移 的 长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉维晶 分别组成简立方格子， 长度套构而成。 格为简立方， 格为简立方，氯化铯结构属简立方。 简立方 每个固体物理学原胞包含1个格点 每个结晶学原胞包含1 个格点， 每个固体物理学原胞包含 个格点，每个结晶学原胞包含 个格点。基元由一个Cl-和一个 +组成。 格点。基元由一个 和一个Cs 组成。
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Ch1晶体结构 1.2晶格的周期性
1
前课回顾
• 什么是晶格？什么是基元？ • 常见的晶格结构？
2
本节内容
• 晶格具有周期性，用原胞和基矢描述。 • 原胞：一个晶格最小的重复单元。 • 晶体学单胞（晶胞）：反映晶格对称性，选取较大的
周期单元。
• 基矢：原胞或晶胞的边矢量，α1、α2、α3 。 • 简立方、面心立方、体心立方、六角密堆积的原胞、
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晶向、晶面和它们的标志
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43
本课小结
晶体结构=晶格+基元 布拉维格子、基矢、格矢、格点 原胞，晶体中体积最小的周期性重复单元 维格纳-塞茨(WS)原胞及其构造方法 常见的布拉维格子及其WS原胞
原胞是晶体中体积最小的周期性重复单元，常取 以基矢为棱边的平行六面体； 对某一晶格，尽管习惯上常取三个不共面的最短 格矢为基矢，但基矢的取法并不唯一，因此原胞 的取法也不唯一。
无论如何选取，原 胞都具有相同的体 积，每个原胞只含 有一个格点。
7
原胞
8
立方晶系布拉维格子
立方晶系布拉维格子有 （1）简单立方(simple cubic, sc) （2）体心立方(body-centered cubic, bcc) （3）面心立方(face-centered cubic, fcc)
29
体心立方WS原胞
格点配位数z=8 体心立方WS原胞为截角八面体
30
体心立方WS原胞
31
面心立方WS原胞
格点配位数z=12 面心立方WS原胞为菱形十二面体
32
面心立方WS原胞
33
简单晶格和复式晶格
基元中只含有一个原子的晶格称为简单晶格 基元中包含两个或两个以上原子的晶格称为复式 晶格 复式晶格可以看作两套或者多套简单晶格的相互 嵌套 例如：NaCl晶体，金刚石
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简单晶格、复式晶格
44
晶体结构数据库
(CCDC) /AMS/amcsd.php (AMCSD) (COD) /pcd/ (PCD) http://www.cryst.ehu.es/ http://www.fiz-karlsruhe.de/icsd.html (ICSD)
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22
单胞和原胞
23
单胞
单胞强调了晶系归属，突出了晶格的对称性; 单胞的边长称为晶格常数（lattice parameter）; 晶向、晶面和基元位置的标记，也通常以单胞为 准。
24
单胞中原子的坐标
单胞中原子的坐标用其在基矢轴上的投影表示，投影 通常写成轴长的分数形式. 如立方晶系单胞中心点记为(½ , ½ , ½ )，沿体对角线到 体心的一半处， 记为(1/4, 1/4, 1/4)，单胞原点附近3 个面心分别记为(½ , ½ , 0), (½ , 0, ½ ), (0, ½ , ½ ).
更多见 /wiki/Crystallographic_database 45
网络学习资源
EDU-COD /search/edu/ CCDC Mercury http:// /products/mercury/ 晶体结构三维显示软件CrystalMaker, etc. / 分子结构三维显示软件Rastop, etc. /rastop/
49
50
51
46
47
课后任务（不需要上交）
下载晶体结构显示软件，学会其使用； 预习“点群”、“空间群”概念，熟悉“7 个晶系”、“14个布拉维格子”。
48
作业（需要上交）
计算面心立方晶格固体在(100), (110), (111) 晶面上的原子堆积密度的比值，找出其中 原子堆积最密集的面。 简单立方、体心立方和面心立方的晶格常 数都是a，分别计算其原胞体积；
基矢和原子坐标，配位数，WS原胞。 • 简单晶格、复式晶格 • 布拉伐格子
3
晶体中的原子排列
把原子设想成小球，考查球的堆积
晶体具有周期性重复的规则结构，可以看成一个（或者一 组多个）原子以某种方式在空间中周期性重复平移的结果; 周期性——平移对称性
4
5
二维和三维空间的布拉维格子
6
原胞(primitive cell)
28
简单立方WS原胞
格点配位数z=6 简单立方WS原胞仍为立方体
http://www.chembio.uoguelph.ca/educmat/chm729/wscells/construction.htm
http://www.chembio.uoguelph.ca/educmat/chm729/wscells/cells.htm
原胞体积
15
16
NaCl晶体的布拉维格子？
17
金刚石的布拉维格子？
18
石墨烯的布拉维格子？
19
石墨烯的布拉维格子
20
石墨烯的布拉维格子
21
单胞(unit cell)
晶体学中，习惯用晶系的基矢a, b, c构成的 平行六面体作为周期性重复排列的基本单 元，称为单胞或惯用单胞(conventional unit cell). 原胞只含有一个格点，是体积最小的周期 性重复单元，单胞则不同，可含有一个或 者数个格点，体积是原胞的一倍或数倍。
10
简单立方(sc)
基矢、原子坐标
原胞体积？
11
体心立方(bcc)
原胞体积？
基矢、原子坐标 12
面心立方(fcc)
基矢、原子坐标
原胞体积？13
简单六角（hc）
a
a3
c
a2 a1
j ki
a1 aˆi
a2
a 2
(ˆi
3ˆj)
a3 ckˆ
基矢、原子坐标、
原胞体积
14
六角密排晶格的原胞
基矢、原子坐标、
在布拉维格子中离某一格点最近的格点，称 为该格点的最近邻(nearest neighbor); 布拉维格子中格点相互等价，每个格点具有 相同的最近邻数，称为该格子的配位数 (coordination number).
9
立方晶系布拉维格子
立方晶系演示 /CubicCrystalLattices/
25
维格纳-塞茨(Wigner-Seitz)原胞
维格纳-塞茨(WS)原胞 以晶格中某一格点为中心， 作其与近邻格点连线的垂直平分面，这些平面所 围成的以该点为中点的最小体积是属于该点的WS 原胞。
26
பைடு நூலகம்
维格纳-塞茨(Wigner-Seitz)原胞
27
维格纳-塞茨(Wigner-Seitz)原胞
维格纳-塞茨(WS)原胞的构造中不涉及对基矢的任 何特殊选择，它与相应的布拉维格子有完全相同 的对称性，也称为对称化原胞.