固体物理_1.3_晶格的周期性
固体物理_第一章（1.4晶向、晶面指数）
固体物理_第⼀章（1.4晶向、晶⾯指数）第1章晶体结构1.1 晶格的周期性1.2 典型晶格实例1.3 晶格的对称性1.4 晶向、晶⾯指数1.5 倒格⼦、布⾥渊区和晶体散射1.4.1 晶列指数（晶胞中）特别性质：所有平⾏晶列组成晶列族，包含所有格点晶列上的格点也是周期性的，且每⼀列格点分布⼀致同⼀个截⾯内，晶列是平⾏等距的晶列：连接任意格点的平⾏直线晶向：晶列的取向晶列指数：晶向的⽮量表达1.4.2 晶⾯指数（密勒指数）*平⾏的晶⾯组成晶⾯族，晶⾯族包含所有格点；* 晶⾯上的格点分布具有特定周期性，是⼆维格⼦* 同⼀族晶⾯中，每⼀个晶⾯的格点分布⼀致* 同⼀族晶⾯中，相邻晶⾯平⾏等距：系列平⾏等距晶⾯构成晶族晶⾯：晶格中任意三个不在同⼀直线上的格点决定的平⾯向与晶⾯正交（即为该晶⾯的法向⽮量）：⽤平⾯的法线式⽅程可证明若截距为负数，则对应指数头上加“-”号等效晶⾯常⽤⼤括号表⽰{hkl}，例如(100)，(010)统⼀⽤{100}表⽰，同样包括{110}、{111}晶⾯；晶⾯指数较⼩的⾯，⼀般为解理⾯晶⾯指数可⽤于计算两个⾯之间的夹⾓等效于法线⽮量的夹⾓：⼆者内积/模的乘积晶⾯指数可⽤于计算两个⾯之间的间距：等效于离原点最近的晶⾯上任意⼀点的格⽮长度，在法线⽅向的投影即，假设基⽮长度分别为a、b、c，晶⾯指数为(h, k, l)，则对应⽴体坐标系下的截距分别为a/h, b/k, c/l，继⽽，该晶⾯的法线⽮量为(h/a, k/b, l/c)，写成⽅向向量为(h/a, k/b, l/c)222选择在a轴上的截距，在法线的投影，即a/h在⽅向的投影d222。
晶体的周期性名词解释
晶体的周期性名词解释晶体是物质的一种状态，其内部结构呈现高度有序的排列。
晶体由大量原子、离子或分子按照一定的规律组织而成，其周期性结构是晶体的一个重要特征。
本文将从晶体周期性、晶格、晶胞和晶系四个方面进行解释。
晶体周期性晶体的周期性是指晶体内部的结构和性质在空间上重复出现的规律性。
通过观察晶体，我们可以发现一系列重复的结构单元，这些结构单元被称为晶胞。
晶体周期性的存在使得物质的一些性质如电导率、热导率和光学性质等呈现出明显的规律性。
晶格晶格是晶体内部的一个空间排列，描述了晶体原子、离子或分子的有序性和周期性。
晶格的基本单位是晶胞，晶胞中的原子、离子或分子按照一定的规则排列。
晶格具有三个独立参数，分别是晶胞的边长a、b、c，以及三个晶胞之间的夹角α、β、γ。
通过调整这些参数的数值，可以获得不同的晶格结构。
晶胞晶胞是晶体中的最小重复单元。
晶体的周期性结构可以通过晶胞来描述。
晶胞通常由一组原子、离子或分子构成，并按照一定的几何规则排列。
晶胞的形状可以是立方体、四面体、六面体等各种多边形。
晶体的性质和结构可以通过晶胞内的原子、离子或分子的位置和类型来确定。
晶系晶系是描述晶体内部结构的一个分类系统。
根据晶胞的几何形状和晶格参数的数值关系，可以将晶体分为七个晶系：立方晶系、四方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱方晶系、三斜晶系和六角晶系。
不同的晶系具有不同的晶胞形状和晶胞参数，这决定了晶体的对称性和性质。
总结晶体的周期性是晶体结构和性质规律性的基础，晶格、晶胞和晶系是解释晶体周期性的重要概念。
晶胞是晶体内部最小重复单元，晶胞的几何形状和晶格参数的数值关系决定了晶体的对称性和性质。
晶系则是对晶体进行分类的系统，根据晶胞的几何形状和晶格参数的数值关系将晶体分为七个晶系。
通过深入理解晶体周期性名词的解释，我们可以更好地认识晶体的结构和性质。
晶体学作为一门重要的学科，不仅在材料科学、固体物理等领域具有广泛的应用，还为我们认识自然界中的多种物质提供了有力的工具和方法。
固体物理晶格部分复习
1
j0
l
12 j
,
1
A6
l6
j0 j
只与晶体结构有关
在常压下，He即使当T0时，也不能凝结成晶体， 这是由于原子零点振动能的影响，是一个量子效应
双粒子模型用于离子晶体和分子晶体上是相当成功 的，这是由于在这两类晶体中，电子云的分布基本上是 球对称的，因而可以用球与球之间的相互作用来模拟
五、共价结合的基本特征：方向性和饱和性 六、共价键与离子键之间的混合键
14种Bravais格子 立方晶系的基矢：
fcc：rBiblioteka a11 2rr bc
a 2
$j k$
r
a2
1 2
rr ca
a 2
k$ $i
r
a3
1 2
rr ab
a 2
$i $j
bcc：
r
a1
1 2
rrr a + b c
a 2
$i + $j k$
r
a2
1 2
rrr abc
当形成共价键的两个原子不是同种原子时，这种结 合不是纯粹的共价结合，而是含有离子结合的成分
本章要求：
❖ 掌握各种晶体结合类型的基本特征
❖ 给定晶体相互作用能的形式，根据平衡条件、体积压缩 模量的定义以及体积因子求出平衡时晶体中最近邻粒子 间的距离r0、相互作用能U0（或结合能W > 0）和体积压 缩模量K的表达式
a 2
$i $j k$
r
a3
1 2
rrr a+bc
a 2
i$+ $j k$
本章要求：
❖ 几种简单的晶体结构
❖ 掌握关于晶体的基本概念（晶格、空间点阵、基矢、 原胞、格点、基元、简单晶格和复式晶格等）
固体物理学 ppt课件
Rl
A
晶向指数是从O沿晶向到最近原子的位移矢量
PPT课件 34
坐标系为晶胞，基矢为a,b,c,时，格点A的位 矢Rl ： Rl =m’ a + n’ b + p’ c ∵晶胞是原胞的整数倍，格点可在面心或体 心上 ∴ m’ n’ p’必为有理数， 当m : n : p= m’ : n’ : p’，且为互质数 [mnp]被称为晶向（列）指数。 晶列指数总是互质的整数
o
x
a
a定义为基矢
原胞
Γ(x+na)=Γ(x)
PPT课件 16
1.3.2 一维复式格子
b a
a o
a 基矢
A，B两种原子组成一无限的周期性点列。 A 原子组成一个子晶格 B 原子组成一个子晶格 原胞有两种取法： 每个原胞中含有一个A原子，一个B原子。
原胞
PPT课件
原胞
17
同种原子组成的复式格子：
晶体由一种原子组成，结点是原子本身的位置； 晶体由数种原子组成，结点是基元的重心。
特征：每个结点在空间分布上必须具有完全相同的 周围环境。
基元
PPT课件 9
2、晶体结构的周期性
指所有基元是等同的。基元沿空间三个不同的方 向，各按一定的距离周期性地平移，每一平移的 距离称为周期。 任何基元中相应原子周围的情况相同，但每个基 元中各原子周围情况不同。
PPT课件 32
晶面：布喇 菲格子的格 点可看成是 分列在平行 等距的平面 系上，这样 的平面称为 晶面。 晶面的特点 也由取向决 定。
PPT课件 33
1.4.2 晶向指数--晶向的标示方法
固体物理各章节知识点详细总结
3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
1. 振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为
a，原子质量为m。
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
..
m x n x n x n 1 x n x n 1
x M 2 n x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n
..
x m 2n1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n 1
x
Aei2n1aqt
2 n1
x
Bei2naqt
2n
相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
色散关系
2co as q A M 22B0 m 22A 2co as q B0
a h12 h22 h32
由
2π Kh
d h1h2h3
2π
d K 得： h1h2h3
h1h2h3
简立方：a 1 a i,a 2 aj,a 3 a k ,
b12πa2a3 2πi
Ω
a
b22πa3a1 2πj
Ω
a
b32πa1a2 2πk
Ω
a
b1 2π i a
b2 2π j a
2π b3 k
2n-1
2n
2n+1
2n+2
M
m
质量为M的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、···
质量为m的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、···
固体物理复习概要
第1章晶体结构和晶体衍射一、晶格结构的周期性与对称性：1.原胞（初基晶胞）、惯用晶胞的定义：原胞：晶格具有三维周期性，三维晶格中体积最小的重复单元称为固体物理学原胞，简称原胞。
惯用晶胞：为了反映晶体的周期性和对称性，所取的重复单元不一定是最小的。
结点不仅可以在顶角上，还可以在体心或面心上，这种最小重复单元称为惯用晶胞（也叫作布拉维晶胞）2.晶向与晶面指数的定义晶向：布拉维格子上任何两格点连一直线称为晶列，晶列的取向称为晶向。
晶向指数：R=l1a1+l2a2+l3a3，将l1，l2，l3化为互质整数，用l1，l2，l3表示晶列的方向，这三个互质整数称为晶向指数。
晶面指数：晶面族在基矢上的截距系数的倒数，化成与之具有相同比率的三个互质的整数h，k，l。
二、什么是布拉维点阵(格子)？为什么说布拉维点阵是晶体结构的数学抽象？描述点阵与晶体结构的区别？1.如果晶体由一种原子组成，且基元中只包含一个原子，则相应的网格就称为布拉维格子。
如果晶体虽由一种原子组成，但若基元中包含两个原子，或晶体由多种原子组成，则每一种原子都可以构成一个布拉维格子。
2.布拉维格子是一个无限延伸的点阵，它忽略了实际晶体中表面、结构缺陷的存在，以及T≠0时原子瞬时位置相对于平衡位置小的偏离。
但它反映了晶体结构中原子周期性的规则排列。
即平移任意格矢R n，晶体保持不变的特性，是实际晶体的一个理想抽象。
3.晶体结构＝点阵＋基元三、典型的晶体结构、对应的布拉菲点阵及其最小基元是什么？晶体结构：1.氯化钠（NaCl）结构该结构的布拉维点阵是fcc，初基基元为一个Na+离子和一个Cl-离子。
2.氯化铯(CsCl)结构该结构的布拉维点阵是sc（简单立方），初基基元为一个Na+离子和一个Cl-离子。
3.六角密堆积(hcp)结构该结构的布拉维晶格点阵是简单六角，初基基元包含两个原子，原子位置：(0 0 0)，(2/3，1/3，1/2)。
4.金刚石结构金刚石型结构的晶格类型属于fcc晶格点阵（该结构可以看作是两个fcc晶格格点上放上同种原子沿立方体的体对角线错开1/4对角线长而得到。
晶格的周期性
例：二维三角晶格
13
三、简单晶格的原胞
晶胞的三个棱边矢量用
a
，b
，c
表示，称为轴矢
（或晶胞基矢），其长度a，b，c称为晶格常数。
下面对结晶学中属于立方晶系的布拉格原胞简立方、 体心立方和面心立方的固体物理原胞进行分析。
晶胞：
原胞：
a ai 基矢b aj c ak
基矢
a1 a2
原胞体积： va a1 a2 a3 晶格原胞 ＝ 空间点阵原胞＋基元
9
a2 a1
a4 a3
a6
a5
a8 a7
固体物理学原胞
维格纳--塞茨单胞
12
4.晶胞
除了周期性外，每 种晶体还有自己特殊的 对称性。为了同时反映 晶格的对称性，往往会 取最小重复单元的一倍 或几倍的晶格单位作为 原胞。结晶学中常用这 种方法选取原胞，故称 为结晶学原胞，简称晶 胞（也称为单胞）。
2 2 2
26
(e)钙钛矿结构
Ba O Ti
钙钛矿的氧 八面体结构
钡、钛和3个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由5个简立方
子晶格套构而成的。
一个原胞包含1个钡原子、1个钛原子和3个氧原子。
钙钛矿结构常写成ABO3的形式。
27
含1个格点,基元由两个碳原子组成,位于
（000）和
1 4
1 4
1 4
处。
(c)氯化钠结构
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
24
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。
其布拉伐晶格为面心立方。
氯化钠结构属面心立方。 氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的 选取方法相同。 每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含4 个格点。 基元由一个Cl-和一个Na+组成。 Cl-的坐标为 1 1 1 ， Na+的坐标为 (000) 。
固体物理学(朱建国)
（1.1）
图 1.4 二维蜂房点阵
3
实际晶体中表面、结构缺陷的存在，以及T≠0 时原子瞬时位置相对于平衡位置小的偏 离。但它反映了晶体结构中原子周期性的规则排列，或所具的平移对称性，即平移任一 格矢Rn，晶体保持不变的特性，是实际晶体的一个理想的抽象。
1.3.2 一维布喇菲格子
§1.2 空间点阵
早在公元前 4 世纪就有人注意到石榴石晶体 的多角形和规则外形，17 世纪又有人提出晶面角 守恒的观点。18 世纪 Haiiy 根据对方解石解理面 的观察，认为晶体具有规律外形，是晶体内部原 子规则排列的表现。19 世纪布喇菲（Bravais)提出 了空间点阵学说。认为晶体可以看成由相同的格 点在三维空间作周期性无限分布所构成的系统，
2
图 1.3 格点示意图
这些格点的总和称为点阵。20 世纪 X 射线衍射技术从实验上证明了晶体内部的结构的 确可以用空间点阵描叙。
1. 格点与基元 如果晶体是由完全相同的一种原子所组成的，则格点代表原子或原子周围相应点的 位置。若晶体由多种原子组成，通常把由这几种原子构成晶体的基本结构单元称为基元。 格点代表基元的重心的位置。 2. 晶体结构的周期性 由于晶体中所有的基元完全等同，所以，整个晶体的结构可以看做是由基元沿空间 三个不同方向，各按一定周期平移而构成：
第一章 晶体结构
固体材料是由大量的原子（或离子、分子）组成的。一般固体材料每 1cm3的体积 中有 1022~1023个原子。固体材料中的原子按一定规律排列。根据固体材料中原子排列的 方式可以将固体材料分为晶体、非晶体和准晶体。理想晶体中原子排列具有三维周期性， 或称为长程有序；非晶体中原子的排列呈现近程有序、长程无序的特点；准晶体的特点 则介乎于晶体和非晶体之间。本章主要介绍理想晶体中原子排列的规律。
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晶胞：基矢 体积
a1 ai b aj c ak
V a3
结点数
000
2
1 1 1 2 2 2
平均每个晶胞包含2个格点。
原子的颜色只是区分原子所在位置的不同
§1.3
晶格的周期性、基矢
三、一些典型晶格的实例
4、三维：简单格子 (c)体心立方
”体心
a1 末端为“上左里”体心，a2末端为“上右外”体心，a3末端为“下右里 原胞的基矢
体积：
v a b c n
§1.3
晶格的周期性、基矢
小结
原胞的分类
3.维格纳--塞茨原胞 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连线的中垂
面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积
(或面积)即为W--S原胞。 特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个 格点。
§1.3 晶格的周期性、基矢
三、一些典型晶格的实例
5、三维：复式格子 (c)氯化铯结构
Cl
氯化铯结构是由两 个简立方子晶格沿体
Cs
对角线位移1/2的长度
套构而成。 Cl-和Cs+ 分别组成简立方格子 ，其布拉菲晶格为简 立方，氯化铯结构属
简立方。
§1.3
晶格的周期性、基矢
Cl
三、一些典型晶格的实例
例：基元中含有2个原子（也可以是不同种原子）
原胞：最小重复单元。（一个原胞包含2个原子）
基矢： a ai
格矢： R na
§1.3
晶格的周期性、基矢
三、一些典型晶格的实例
3、二维布喇菲格子 例：三角晶格
（1） a1 ai
3 3 a 2 ai aj 2 2
一、原胞、晶胞（单胞）
（1）原胞：晶体中最小的周期性单元称为原胞(以平移周期性
出发选取的最小单元)。
原胞的构造方法：取
一格点为顶点，由此
点向近邻的三个格点 作三个不共面的矢量， 以此三个矢量为边作 平行六面体即为固体
ak
a1
aj
a2 a3
ai
以原胞作为重复单元，原胞沿三个 不同的方向进行周期性平移，就可 以充满整个晶格，形成晶体。
a ai ,b a j ,c ak
结晶学原胞的体积: V a 3
布喇菲晶格(简单格子)
§1.3
晶格的周期性、基矢
三、一些典型晶格的实例
4、三维：简单格子（基元由同一种原子组成）
（1）简立方
原胞： 基矢 体积
a1 ai a2 aj
a3
a3 ak
结点数：1
晶胞： 基矢 a ai b aj c ak
体积 结点数
V a3
1
对于简立方晶格而言，其原胞和晶胞相同。
§1.3
晶格的周期性、基矢
三、一些典型晶格的实例
4、三维：简单格子（基元由同一种原子组成）
（b） 面心立方
晶胞：基矢 a ai b aj c ak
ai
ak
a1
aj
a2 a3
固体物理学原胞的体积
1 3 Ω a1 a 2 a 3 a 4
§1.3
晶格的周期性、基矢
4、三维：简单格子
三、一些典型晶格的实例
(c)体心立方：除顶角上有原子外，还有一
个原子在立方体的中心，故称体心。就整 个空间的晶格来看，完全可把原胞的顶点 取在原胞的体心上。
ak
能地沿着空间对称轴
的方向，它具有明显 的对称性和周期性。
a1
aj
a2 a3
ai
§1.3
晶格的周期性、基矢
一、原胞、晶胞（单胞）
（2）晶胞：为了反应晶体的对称性而取得具有较大周期性 的单元，亦称单胞。
晶胞的特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面
上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。
§1.3
晶格的周期性、基矢
三、一些典型晶格的实例
5、三维：复式格子
金刚石结构属面心立方，每个结晶
学原胞包含4个结点。
c
c
金刚石结构每个固体物理学原胞
包含1个结点,基元由两个碳原子组成, 位于（000）和
1 1 1 4 4 4
处。
§1.3
晶格的周期性、基矢
三、一些典型晶格的实例
§1.3
晶格的周期性、基矢
一、原胞、晶胞（单胞）
（1）原胞：晶体中最小的周期性单元称为原胞。 原胞内任一点的位矢表示为：
r x1 a1 x2 a 2 x3 a 3
0 x , x , x
1 2
3
1
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
r rR
其中R为某一格点的位矢 ,
（2） a1 ai
1 3 a 2 ai aj 2 2
§1.3
晶格的周期性、基矢
三、一些典型晶格的实例
4、三维：简单格子（基元由同一种原子组成） 立方晶系
ab bc ca
abc
c
b
a
取 i , j , k为坐标轴的单位矢量,
设晶格常量为a, 即立方体边长为a,
§1.3
晶格的周期性、基矢
小结
〈1〉 固体物理学原胞和结晶学原胞: 以结点为原点, 边长等于各方向上周期的平行六面体称为固体物理学原胞, 简称 为原胞. 其特点是, 结点只在顶角上. 用原胞作为重复单元, 一般只反映晶体的周 期性, 不反映对称性.
在结晶学上, 为了同时反映晶体的周期性和对称性, 所选取的最小重复单元称为
体积：
Ω a1 a 2 a 3
§1.3
晶格的周期性、基矢
小结
原胞的分类
2.结晶学原胞（单胞、晶胞、惯用晶胞） 构造：使三个基矢的主轴尽可能地沿空间对称轴的方向。
它具有明显的对称性和周期性。
特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上 及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。 基矢：结晶学原胞的基矢一般用a , b , c 表示。
简立方的WS原胞
§1.3
晶格的周期性、基矢
小结
1、原胞、晶胞、WS原胞的定义及如何构造？
2、简立方、面心立方、体心立方原胞和晶胞的选取、
基矢和体积的计算，晶胞内结点数的确定？ 3、氯化钠、金刚石、氯化铯等复式结构原胞和晶胞
的选取，即晶胞内结点的个数和原子数的确定。
§1.3
晶格的周期性、基矢
小结
原胞的分类
5、三维：复式格子 (b)氯化钠结构
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿晶胞边长位移1/2的长
度套构而成。
其布喇菲晶格为面心立方。 氯化钠结构属面心立方。
具有这种晶格结构的晶体：碱卤族化合物，部分II-VI族 化合物如CaO、MgS等。
§1.3
晶格的周期性、基矢
三、一些典型晶格的实例
晶胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期。
代表晶胞三个边的矢量称为晶胞的基矢。结晶学原胞的基 矢一般用 a, b, c 表示。 体积为：
v a bc nΩ
§1.3
晶格的周期性、基矢
一、原胞、晶胞（单胞）
(a)
(b)
图1.8 晶体的原胞（a）简立方原胞，（b）面心立方的 原胞（内部平行六面体）
物理学原胞。
§1.3
晶格的周期性、基矢
一、原胞、晶胞（单胞）
原胞同基元区别？ 原胞的取法不唯一，以 方便为准。 同一晶格中的各种原胞选 择之间体积大小相同。布
拉菲点阵的原胞只含一个
原子，非布拉菲点阵的原
胞含多个原子。
§1.3
晶格的周期性、基矢
一、原胞、晶胞（单胞）
（1）原胞：晶体中最小的周期性单元称为原胞。
§1.3
晶格的周期性、基矢
三、一些典型晶格的实例
1、一维布喇菲格子
基矢： a ai
格矢： R na
其中Γ代表晶格的任一物理性质，对于晶格内任一点x，恒有
x na x
0 x a
§1.3
晶格的周期性、基矢
三、一些典型晶格的实例
2、一维复式格子
5、三维：复式格子 (b)氯化钠结构 氯化钠的固体物理学原胞选取方法 与面心立方简单格子的选取方法相同。 每个固体物理学原胞包含1个结点，每个结晶学原胞包含 4个结点。 基元由一个Cl-和一个Na+组成。 Cl-的坐标为
1 1 1 + ， Na 的坐标为 (000) 。 2 2 2
5、三维：复式格子
Cs
(c)氯化铯结构 每个固体物理学原胞包含1个结点，每个结晶学原胞包含1个 结点。基元由一个Cl-和一个Cs+组成。 Cl-的坐标为
1 1 1 2 2 2
， Cs+的坐标为 (000)
。
具有这种晶格结构的晶体：CsCl、CsBr、CsI以 及其他部分碱卤化合物
1.固体物理学原胞(简称原胞) 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个
不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理
学原胞。
特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无 格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体 结构的周期性。
基矢：固体物理学原胞基矢通常用a 1 , a 2 , a 3 表示。
a a1 i j k 2 a a2 i j k 2 a a3 i j k 2