小 学 奥 数 博 弈 问 题 解 题 技巧

小学奥数博弈问题解题技巧

我国民间一直流传着一个名叫“抢十八”的数学游戏：参与游戏的两人从1开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，谁先报到18，谁就获胜。本讲就是研究类似于这类游戏的取胜策略。

这类问题要用倒推法进行研究。以“抢十八”游戏为例，最后要抢到18，此前必须抢到15，只留给对方3个数，无论对方报一个数或两个连续的数，己方都能抢到18；同理要抢到15，此前必须抢到12。如此倒推回去，可得到一系列关键数：18、15、12、9、6、3。这个游戏的取胜策略就是：每一步都抢到关键数，直到最后抢到18。这个游戏是一个不公平的游戏，报数顺序决定了最后的结果：只有后报数者才能抢到这一系列关键数，后报数者才有必胜策略。

根据以上分析，确立取胜策略重要的是抢到关键数。

游戏者所能用到的最大数和最小数之和称为关键因子，关键数要根据关键因子确定。如“抢十八”游戏中关键因子就是3，我们从最后一个数依次减3，通过倒推可以找出游戏中所有关键数。

在“抢十八”游戏中，最后数18是关键因子3的整数倍，也就是关键因子能被最后报数整除，这样的游戏称为平衡游戏，后报数者必胜。如果最后报数与关键因子相除有余数，这样的游戏称为不平衡游戏，余数就是不平衡因子。不平衡抢数游戏也是不公平的游戏，先报数者有必胜策略：先消除不平衡因子，使其变成一个平衡游戏，先报数者随后就成为平衡游戏的后报数者。

【题目】：

有1996个球，甲、乙两人进行取球比赛，规则是两人轮流取，每人每次最少取1个，最多取4个，取到最后一个球的人为胜。如果甲先取，如果取法才能保证取胜？

【解析】：

这题的关键因子是：1+4=5。1996÷5=399……1，这是个不均衡的游戏，不均衡因子是1。

甲取胜策略为：甲先取1个球，剩下1995个球是5的399倍，使游戏变成了均衡游戏。然后每次乙取完之后，甲总是取出适量的球，保持与乙取出球的个数和为5，那么剩下的球始终是5的倍数。直到最后只剩下5个球，无论乙取几个球，甲都能取到最后一个球。

【题目】：

甲乙两人轮流地往一张圆桌面上放一枚五分硬币不能重叠。谁放完一枚之后而使得对方无法在往桌面上放硬币时，谁就是胜利者。如果甲先放，甲有没有稳超胜券的策略？

【解析】：

甲有稳超胜券的策略！

圆是中心对称图形，如下图一，甲先在圆桌正中心放一枚硬币（红色），然后无论乙把硬币（蓝色）放在何处，甲就在乙所放位置关于中心点对称的位置上放另一枚硬币（如下图二），这样只要乙能找到位置放硬币，甲总能找到对应的位置，直到结束，甲一定获胜。

将本题桌面的形状，由圆形改为其他轴对称图形，甲同样有必胜策略，道理同上。

【题目】：

在4×4的方格纸上有一粒棋子，现在甲、乙两人玩游戏。由甲从左下角的方格开始为第一步，乙接着移动这粒棋子，每次只能向上、向右或右上方移动一格，两人就这样交替移动这粒棋子。谁把棋子移到右上角谁获胜，问谁将获胜，获胜的策略是什么？

如下图，要想最后把棋子下到A点所在的格子里，必须迫使对方把棋子下到A

点周围的3个灰色格子里。

因为移动这粒棋子，每次只能向上、向右或右上方移动一格，如果某一方能把棋子下到B、D这两个格子里，则对方只能进入灰色格子，这方必胜。

由甲先下第一步，在左下角放入棋子，乙有必胜策略：乙接着把棋子下到C格，这样向右上方，甲只能把棋子移入某个绿色格子，乙再接着肯定可以把棋子移入A、B、D三个中的某个格子，从而取得最后的胜利。

A、B、C、D四个格子是制胜点，谁抢到谁获胜。

【提高训练】

1、甲、乙两人抓棋子，规定最多可以抓3个，最少抓1个，谁取

到最后一个棋子就算输。若甲先去抓，棋子数为2001个，问乙是否有必胜的策略？

2、在90张卡片的两面各写一个数，第一张写上1与2，第二张写

上2和3，第三张写上3和4……，第89张写89与90，第90张写90与91，打乱卡片的排列顺序，小华看的最后一张卡片

上的数是73.试讨论说明在什么情况下，小华可以马上猜出73

的反面是什么数？

3、有这么一个游戏，报数的规则是：

（1）两人轮流报数；（2）每次报的数只能是1~10中的某一个数；（3）谁报数后两人所报的全部数的和为2003，就算谁获胜。如果让

你先报，你有必胜的策略吗？

4、有两堆纽扣，一堆50颗，一堆43颗。规则为甲、乙两人轮流

从中拿走一颗或几颗，甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿纽

扣，谁拿走最后一颗纽扣，谁就获胜？请问，你如何取胜？

5、一个有9个格子的水果盘，贝贝和晶晶轮流在格子里放水果（每

个格子里只能放一个水果）。贝贝放的是香梨，晶晶放的是苹果。

规定每人每次至少放1个，最多放3个，空格放满后，计算一

下，哪一方的总数是偶数，哪一方就获胜。问如何确保获胜？