数学---山西省太原市第一中学2016届高三下学期期中考试(理)
2016-2017学年山西省太原市高二下学期期中数学试卷(理科)
2016-2017学年山西省太原市高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题 (共12题；共24分)1．（2分）复数2﹣i的共轭复数是（）A．2+i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i2．（2分）下列说法正确的是（）A．类比推理、归纳推理、演绎推理都是合情推理B．合情推理得到的结论一定是正确的C．合情推理得到的结论不一定正确D．归纳推理得到的结论一定是正确的3．（2分）已知函数f（x）=2e x，则（）A．f′（x）=f（x）+2B．f′（x）=f（x）C．f′（x）=3f（x）D．f′（x）=2f（x）4．（2分）已知复数z在复平面内对应的点为（3，4），复数z的共轭复数为z̅，那么z• z̅等于（）A．5B．﹣7C．12D．255．（2分）已知函数f（x）=x2+bx+c在x=﹣1处取得极值﹣1，那么f（x）=（）A．x2﹣2x﹣4B．x2+x﹣1C．x2+2x D．x2﹣26．（2分）利用反证法证明：“若x2+y2=0，则x=y=0”时，假设为（）A．x，y都不为0B．x≠y且x，y都不为0C．x≠y且x，y不都为0D．x，y不都为07．（2分）曲线y=﹣ln（2x+1）+2在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=2x围成的三角形的面积为（）A．13B．12C．23D．18．（2分）给出如下“三段论”的推理过程：因为对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，…大前提而y= log12x是对数函数，…小前提所以y= log12x是增函数，…结论则下列说法正确的是（）A．推理形式错误B．大前提错误C．小前提错误D．大前提和小前提都错误9．（2分）∫1−1√1−x2dx等于（）A．π4B．π2C．πD．2π10．（2分）已知复数2i﹣3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是（）A．12，0B．24，26C．12，26D．6，811．（2分）已知函数f0（x）=sinx+cosx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…f n+1（x）=f′n（x），n∈N，那么f2017=（）A．cosx﹣sinx B．sinx﹣cosx C．sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx 12．（2分）设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k，k∈N*，若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，则k 的最小值为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题 (共4题；共8分)13．（2分）复数z=（1+i）+（﹣2+2i）在复平面内对应的点位于第象限．14．（2分）已知f（x）=x+ln（x+1），那么f′（0）=．15．（2分）我们知道：在长方形ABCD中，如果设AB=a，BC=b，那么长方形ABCD的外接圆的半径R满足：4R2=a2+b2，类比上述结论回答：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是．16．（2分）若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上不单调，则实数k的取值范围为．三、解答题 (共7题；共70分)17．（10分）已知z1=1﹣i，z2=2+2i．（1）（5分）求z1•z2；（2）（5分）若1z = 1z1+ 1z2，求z．18．（10分）已知函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x．（1）（5分）求函数y=f（x）的单调区间；（2）（5分）求函数f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值和最小值．19．（10分）已知函数f（x）=x3+ 1x+1，x∈[0，1]．（1）（5分）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）（5分）证明：f（x）＞34．20．（10分）已知数列{b n}满足b n=| a n+2a n−1|，其中a1=2，a n+1= 2a n+1．（1）（5分）求b1，b2，b3，并猜想b n的表达式（不必写出证明过程）；（2）（5分）由（1）写出数列{b n}的前n项和S n，并用数学归纳法证明．21．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1= 12，2S n﹣S n S n﹣1=1（n≥2）．（1）（5分）猜想S n的表达式，并用数学归纳法证明；（2）（5分）设b n=na n1+30a n，n∈N*，求b n的最大值．22．（10分）设函数f（x）=x2e ax，a＞0．（1）（5分）证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；（2）（5分）若方程f（x）﹣1=0有且只有两个不同的实数根，求实数a的值．23．（10分）已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1a）e ax（a＞0）．（1）（5分）求函数y=f（x）的最小值；（2）（5分）若存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3a=0成立，求实数a的值．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：复数2﹣i 的共轭复数为2+i ．故选：A ．【分析】利用共轭复数的定义即可得出．2．【答案】C【解析】【解答】解：合情推理包含归纳推理和类推理，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．其得出的结论不一定正确， 故选：C【分析】根据演绎推理和合情推理的定义判断即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，f （x ）=2e x ，则f′（x ）=2（e x ）′=2e x ，即有f′（x ）=f （x ）， 故选：B ．【分析】根据题意，由函数f （x ），对其求导可得f′（x ），分析f （x ）与f′（x ）的关系，计算可得答案．4．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，z=3+4i ， 则z• z̅ = |z|2=(√32+42)2=25 ． 故选：D ．【分析】由已知可得z ，结合 z ⋅z̅=|z|2 求解．5．【答案】C【解析】【解答】解：∵函数f （x ）=x 2+bx+c ，∴f′（x ）=2x+b ，∵函数f （x ）=x 2+bx+c 在x=﹣1处取得极值﹣1， ∴{f(−1)=1−b +c =−1f ′(−1)=−2+b =0 ， 解得b=2，c=0， ∴f （x ）=x 2+2x ． 故选：C ．【分析】求出f′（x）=2x+b，由函数f（x）=x2+bx+c在x=﹣1处取得极值﹣1，利用导数性质列出方程组，能求出f（x）．6．【答案】D【解析】【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为“x，y不都为0”，故选D．【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得答案．7．【答案】B【解析】【解答】解：∵y=﹣ln（2x+1）+2，∴y'=﹣2 2x+1∴y'|x=0=﹣2∴曲线y=﹣ln（2x+1）+2在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0令y=0解得x=1，令y=2x解得x= 12，y=1∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为12×1×1= 12，故选B．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=2x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．8．【答案】B【解析】【解答】解：因为大前提是：对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，不正确，导致结论错误，所以错误的原因是大前提错误，故选：B．【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确9．【答案】B【解析】【解答】解：∫1−1√1−x2dx的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径的单位圆在x 轴上方部分（半圆）的面积∴∫1−1√1−x2dx= 12×π×12=π2故选B．【分析】利用积分的几何意义，再利用面积公式可得结论．10．【答案】C【解析】【解答】解：∵2i﹣3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，由实系数一元二次方程虚根成对定理，可得方程另一根为﹣2i﹣3，则q2=（﹣3+2i）（﹣3﹣2i）=13，即q=26，﹣p2=﹣3+2i﹣3﹣2i=﹣6，即p=12故选：C【分析】由实系数一元二次方程虚根成对定理可得方程另一根为﹣2i﹣3，再由韦达定理得答案．11．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意，∵f0（x）=sinx+cosx，∴f1（x）=f0′（x）=cosx﹣sinx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx﹣cosx，f3（x）=﹣cosx+sinx，f4（x）=sinx+cosx，以此类推，可得出f n（x）=f n+4（x）∴f2017（x）=f504×4+1（x）=f1（x）=cosx﹣sinx；故选：A【分析】根据题意，利用导数的运算法则依次计算f1（x）、f2（x）、f2（x）…的值，分析可得f n+4（x）=f n（x），即可得f2017（x）=f504×4+1（x）=f1（x），即可得答案．12．【答案】B【解析】【解答】解：f′（x）=e x（x﹣1）k+k（e x﹣1）（x﹣1）k﹣1=（x﹣1）k﹣1[e x（x﹣1）+k（e x﹣1）]，若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，则x＞1时，f′（x）＞0，x＜1时，f′（x）＜0，故k﹣1＞0，k＞1，而k∈N*，故k的最小值是2，故选：B．【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点，得到k﹣1＞0，结合k∈N*，求出k的最小值即可．13．【答案】二【解析】【解答】解：∵z=（1+i）+（﹣2+2i）=﹣1+3i，∴z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，3），位于第二象限．故答案为：二．【分析】利用复数代数形式的加减运算化简，求出z的坐标得答案．14．【答案】2【解析】【解答】解：根据题意，f（x）=x+ln（x+1），，则其导数f′（x）=1+ 1x+1则f′（0）=1+1=2；故答案为：2．【分析】根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x）的解析式，将x=0代入即可得答案．15．【答案】4R2=a2+b2+c2【解析】【解答】解：从平面图形类比空间图形，模型不变．可得如下结论：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是4R2=a2+b2+c2，故答案为：4R2=a2+b2+c2．【分析】从平面图形类比空间图形，从二维类比到三维模型不变．16．【答案】（﹣5，﹣2）【解析】【解答】解：f′（x）=3x2+2（k﹣1）x+k+5，若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调，则4（k﹣1）2﹣12（k+5）≤0 ①或②或③或④．解①得﹣2≤k≤7；解②得k≥1；解③得k∈∅；解④得k≤﹣5．综上，满足函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调的k的范围为k≤﹣5或k≥﹣2．于是满足条件的实数k的范围为（﹣5，﹣2）．故答案为：（﹣5，﹣2）．【分析】求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，2）上恒大于等于0或恒小于等于0求出k的取值范围，再取补集得答案．17．【答案】（1）解：∵z1=1﹣i，z2=2+2i．∴z1•z2=（1﹣i）（2+2i）=4（2）解：由1z = 1z1+ 1z2，得z=z1⋅z2z1+z2=4(1−i)+(2+2i)=43+i=65−25i【解析】【分析】（1）直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案；（2）把已知等式通分变形求得z，代入z1、z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．18．【答案】（1）解：∵函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x，∴f′（x）=3x2﹣4x﹣4，由f′（x）＞0，得x＜﹣23或x＞2，由f′（x）＜0，得﹣23＜x＜2，∴函数y=f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣23），[2，+∞）；单调减区间是[﹣23，2]．（2）解：由f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，得x1=−23，x2=2，列表，得：∴f（x）在[﹣1，4]上的最大值为f（x）max=f（4）=16，最小值为f（x）min=f（2）=﹣8．【解析】【分析】（1）求出f′（x）=3x2﹣4x﹣4，利用导数性质能求出函数y=f（x）的单调增区间和单调减区间．（2）由f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，得x1=−23，x2=2，列表讨论能求出f（x）在[﹣1，4]上的最大值和最小值．19．【答案】（1）证明：∵x∈[0，1]，∴x+1∈[1，2]．要证明：f（x）≥1﹣x+x2，只要证明：x3（x+1）+1≥（x+1）（1﹣x+x2），只要证明：x4≥0，显然成立，∴f（x）≥1﹣x+x2（2）证明：∵1﹣x+x2=（x﹣12）2+ 34≥ 34，当且仅当x= 12时取等号，∵f（12）= 1924＞34，f（x）≥1﹣x+x2，∴f（x）＞34【解析】【分析】（1）利用分析法的证明步骤，即可得出结论．（2）利用配方法，结合（1），即可得出结论．20．【答案】（1）解：∵a1=2，a n+1= 2a n+1，∴a2=23，a3=65，又b n=| a n+2a n−1|，得b1=4，b2=8，b3=16，猜想：b n=2n+1（2）解：由（1）可得，数列{b n}是以4为首项，2为公比的等比数列，则有Sn =4×(1−2n)1−2=2n+1−4．证明：当n=1时，S1=21+2−4=4成立；假设当n=k时，有S k=2k+2−4，则当n=k+1时，S k+1=S k+b k+1=2k+2−4+2k+2=2k+3﹣4=2（k+1）+2﹣4．综上，S n=2n+2−4成立【解析】【分析】（1）由已知结合数列递推式求得b1，b2，b3，并猜想b n的表达式；（2）由等比数列的前n项和公式求得数列{b n}的前n项和S n，并用数学归纳法证明．21．【答案】（1）解：∵S1=a1= 12，2S n=S n S n﹣1+1（n≥2），∴2S2=S2S1+1= 12S2+1，∴S2= 23；∴2S3=S3S2+1= 23S3+1，∴S3= 34；由S1= 12，S2= 23，S3= 34，可猜想S n= nn+1；证明：①当n=1时，S1= 12，等式成立；②假设n=k时，S k= kk+1，则n=k+1时，∵2S k+1=S k+1•S k+1= kk+1•S k+1+1，∴（2﹣kk+1）S k+1=1，∴S k+1= k+1k+2= k+1(k+1)+1，即n=k+1时，等式也成立；综合①②知，对任意n∈N*，均有S n=n n+1（2）解：由（1）可知，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=nn+1﹣n−1n= 1n(n+1)，当n=1时，a1= 11×2= 12满足上式，∴a n=1n(n+1)，∴b n=na n1+30a n=nn2+n+30=1n+30n+1，n∈N*，设f（n）=x+ 30x，则有f（x）在（0，√30）上为减函数，在（√30，+∞）为增函数，∵n∈N*，且f（5）=f（6）=11，∴当n=5或n=6时，b n有最大值112【解析】【分析】（1）由S1=a1= 12，2S n=S n S n﹣1+1（n≥2），通过计算可求得S1，S2，S3；可猜想S n=nn+1，再利用数学归纳法证明即可．（2）求出b n=1n+30n+1，n∈N*，构造函数f（n）=x+ 30x，则利用函数的单调性即可求出．22．【答案】（1）证明：f（x）的定义域R，求导，f′（x）=2xe ax+ax2e ax=xe ax（ax+2），当x∈（0，+∞）时，a＞0，则e ax＞0，则xe ax（ax+2）＞0，则f′（x）＞0，∴函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数（2）令f′（x）=0，记得x=﹣v或x=0，则当x=﹣2a 时，函数有极大值f（﹣2a）= 4a2e2，当x=0时，函数有极小值f（0）=0，当x＜0时，f（x）＞0，x→﹣∞时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→+∞，由f（x）﹣1=0，即f（x）=1有且只有两个不同的实数根，即4a2e2=1，解得：a= 2e，（负根舍去）实数a的值2e【解析】【分析】（1）求导，由x∈（0，+∞）则f′（x）＞0，则函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；（2）求导，f′（x）=0，根据函数的单调性即可求得f（x）极大值，由f（x）=1有且只有两个不同的实数根，即4a2e2=1，即可求得实数a的值．23．【答案】（1）解：函数y=f（x）的定义域为R，f′（x）=[ax2+（2﹣a）x﹣2]e ax．令f′（x）=0，得x=1，x=﹣2a＜0，当x∈（﹣∞，﹣2a），（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣v，1）时，f′（x）＜0．∴函数f（x）在（﹣∞，﹣2a ），（1，+∞）上递增，在∈（﹣2a，1）递减．注意到x＜﹣2a ，x2﹣x﹣1a＞0，f（1）=﹣eaa＜0．∴函数y=f（x）的最小值为f（1）=﹣e aa（2）解：存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3a =0成立⇔函数y=f（x）图象与y=﹣3a＜（﹣3a0）有唯一交点，结合（1）可得函数f（x）在（﹣∞，﹣2a ），（1，+∞）上递增，在∈（﹣2a，1）递减．注意到x＜﹣2a ，x2﹣x﹣1a＞0，f（1）=﹣eaa＜0．∴当且仅当﹣1a e a=−3a时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3a=0成立，即a=ln3时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3a=0成立【解析】【分析】（1）函数y=f（x）的定义域为R，f′（x）=[ax2+（2﹣a）x﹣2]e ax．利用导数可得函数f（x）在（﹣∞，﹣2a ），（1，+∞）上递增，在∈（﹣2a，1）递减．注意到x＜﹣2a ，x2﹣x﹣1a＞0，f（1）=﹣eaa＜0．即函数y=f（x）的最小值为f（1）（2）存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3a =0成立⇔函数y=f（x）图象与y=﹣3a＜（﹣3a0）有唯一交点，结合图象且仅当﹣1a e a=−3a时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3a=0成立，即可求得实数a的值．11/ 11。
山西省太原外国语学校2016届高三下学期3月月考数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年山西省太原外国语学校高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|≥0}，B={x|log2x＜2}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，3）B．（0，3]C．[﹣1，4] D．[﹣1，4）2．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n3．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则的值为（）A．8 B．12 C．16 D．724．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．605．已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为（）A．1 B．±1 C．2 D．±26．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． +πB． +2πC．2+πD．2+2π7．某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选数学选修课，现数学选修课开有三个班，若每个班至多可再接收2名同学，那么不同的接收方案共有（）A．72种B．54种C．36种D．18种8．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+49．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．10．称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（11．定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A．3f（2）＜2f（3）B．3f（4）＜4f（3）C．2f（3）＜3f（4）D．f（2）＜2f（1）12．若函数y1=sin2x1﹣（x1∈[0，π]），函数y2=x2+3，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为（）A．πB．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则m的值为______．14．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为______．15．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），当x∈[0，1]时，f （x）=x，那么在区间[﹣1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R）且k≠﹣1恰有4个不同的根，则k的取值范围是______．16．已知函数f（x）=|cosx|•sinx，给出下列四个说法：①f（x）为奇函数；②f（x）的一条对称轴为x=；③f（x）的最小正周期为π；④f（x）在区间[﹣，]上单调递增；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是______．三、解答题（共5小题，共70分）17．设函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x．（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取得最大值时x的集合；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=，b+c=2，求a的最小值．18．已知等比数列{a n}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，又数列{b n}满足b n=2log2a n，S n+1是数列{b n}的前n项和（1）求S n；，都有成立，求正整数k的值．（2）若对任意n∈N+19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等2×2列联表，“成绩与班级有关系”；（2）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．参考公式与临界值表：K2=．20．如图所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到五棱锥P﹣ABFED，且AP=，PB=．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．21．已知函数f（x）=k（x﹣1）e x+x2．（Ⅰ）当时k=﹣，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）若在y轴的左侧，函数g（x）=x2+（k+2）x的图象恒在f（x）的导函数f′（x）图象的上方，求k的取值范围；（Ⅲ）当k≤﹣l时，求函数f（x）在[k，1]上的最小值m．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）．（I）求C的直角坐标方程，l的参数方程；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB|．2015-2016学年山西省太原外国语学校高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|≥0}，B={x|log2x＜2}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，3）B．（0，3]C．[﹣1，4] D．[﹣1，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A，B，利用集合的基本运算即可的结论．【解答】解：集合A={x|≥0}=（﹣∞，﹣1）∪[3，+∞），∴（∁R A）=[﹣1，3）B={x|log2x＜2}，∴，∴B=（0，4），∴（∁R A）∩B=（0，3）．故选：A．2．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为：∀n∈N，2n≤2n．故选：C．3．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则的值为（）A．8 B．12 C．16 D．72【考点】等差数列的性质．【分析】{a n}为等差数列，设首项为a1和公差为d，则已知等式就为a1与d的关系等式，所求式子也可用a1和d来表示．【解答】解：∵{a n}为等差数列且a4+a6+a8+a10+a12=5a1+35d=120，∴a1+7d=24，∴=（a1+7d）=16．故选：C．4．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【考点】频率分布直方图．【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．5．已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为（）A．1 B．±1 C．2 D．±2【考点】二项式定理．=C5r•（）5﹣r•（）【分析】根据题意，有2n=32，可得n=5，进而可得其展开式为T r+13•（a）3，r，分析可得其常数项为第4项，即C5依题意，可得C53•（a）3=80，解可得a的值．【解答】解：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n=32，可得n=5，=C5r•（）5﹣r•（）r，则二项式的展开式为T r+1其常数项为第4项，即C53•（a）3，根据题意，有C53•（a）3=80，解可得，a=2；故选C．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． +πB． +2πC．2+πD．2+2π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体，计算出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体，∵圆柱的底面直径为2，高为2，棱柱的底面是边长为2的等边三角形，高为2，于是该几何体的体积为．故选：C7．某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选数学选修课，现数学选修课开有三个班，若每个班至多可再接收2名同学，那么不同的接收方案共有（）A．72种B．54种C．36种D．18种【考点】计数原理的应用．【分析】依题意，分两种情况讨论：①，其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，②，其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分别求出每类情况的分配方法的种数，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：依题意，分两种情况讨论：①，其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，分配方案共有C31•C42•A22=36种，②，其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分配方案共有C31•C42=18种；因此，满足题意的不同的分配方案有36+18=54种．故选：B．8．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4【考点】基本不等式；对数的运算性质．【分析】利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出【解答】解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）=log2，∴log4（3a+4b）=log4（ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b=a+=a+=a+3+=（a﹣4）++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号．故选：D．9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，它的作用是求+++…+的值，用裂项法进行求和，可得结果．【解答】解：该程序框图的作用是求+++…+的值，而+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=，故选：C．10．称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先作向量，从而，容易判断向量t的终点在直线OB上，并设，连接AC，则有．从而根据向量距离的定义，可说明AB⊥OB，从而得到．【解答】解：如图，作，则，t∥，∴向量t的终点在直线OB上，设其终点为C，则：根据向量距离的定义，对任意t都有d（）=；∴AB⊥OB；∴．故选：C．11．定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A．3f（2）＜2f（3）B．3f（4）＜4f（3）C．2f（3）＜3f（4）D．f（2）＜2f（1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】依题意，f′（x）＜0，⇔＞0⇒[]′＜0，利用h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数即可得到答案．【解答】解：∵f（x）为（0，+∞）上的单调递减函数，∴f′（x）＜0，又∵＞x，∴＞0⇔＜0⇔[]′＜0，设h（x）=，则h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数，∵＞x＞0，f′（x）＜0，∴f（x）＜0．∵h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数，∴＞⇔＞0⇔2f（3）﹣3f（2）＞0⇔2f（3）＞3f（2），故A正确；由2f（3）＞3f（2）＞3f（4），可排除C；同理可判断3f（4）＞4f（3），排除B；1•f（2）＞2f（1），排除D；故选A．12．若函数y1=sin2x1﹣（x1∈[0，π]），函数y2=x2+3，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为（）A．πB．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】根据平移切线法，求出和直线y=x+3平行的切线方程或切点，利用点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：设z=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，则z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方，求函数y=sin2x﹣（x∈[0，π]）的导数，f′（x）=2cos2x，直线y=x+3的斜率k=1，由f′（x）=2cos2x=1，即cos2x=，即2x=，解得x=，此时y=six2x﹣=﹣=0，即函数在（，0）处的切线和直线y=x+3平行，则最短距离d=，∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值d2=（）2=，故选：B二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则m的值为﹣1．【考点】两条直线平行的判定．【分析】利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，解方程求的m的值．【解答】解：由于直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴，∴m=﹣1，故答案为﹣1．14．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，从而求得外接球的半径R，代入球的表面积公式计算．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为H，又三棱柱的底面为直角三角形，BC=1，∠BAC=30°，∴AC=，AB=2，∴三棱柱的体积V=××H=3，∴H=2，△ABC的外接圆半径为AB=1，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：∴外接球的半径R==2，∴外接球的表面积S=4π×22=16π．故答案为：16π．15．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），当x∈[0，1]时，f （x）=x，那么在区间[﹣1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R）且k≠﹣1恰有4个不同的根，则k的取值范围是（，）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据条件求出函数f（x）的周期性和在一个周期内的解析式，利用函数与方程的关系，转化为两个函数的图象相交问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴f（0）=0，∵f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），∴函数y=f（x）为偶函数，令x=﹣2，则f（﹣2+2）=f（﹣2）+f（2）=f（0）=0，即2f（2）=0，则f（2）=0，即f（x+2）=f（x）+f（2）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期数列，若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]时，此时f（﹣x）=﹣x=f（x），∴f（x）=﹣x，x∈[﹣1，0]，令y=kx+k+1，则化为y=k（x+1）+1，即直线y=k（x+1）+1恒过M（﹣1，1）．作出f（x），x∈[﹣1，3]的图象与直线y=k（x+1）+1，如图所示，由图象可知当直线介于直线MA与MB之间时，关于x的方程f（x）=kx+k+1恰有4个不同的根，又∵k MA=0，k MB=，∴＜k＜0．故答案为：（，0）．16．已知函数f（x）=|cosx|•sinx，给出下列四个说法：①f（x）为奇函数；②f（x）的一条对称轴为x=；③f（x）的最小正周期为π；④f（x）在区间[﹣，]上单调递增；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先化简函数解析式，根据函数的奇偶性判断①；根据诱导公式化简f（π﹣x）后，得到与f（x）的关系可判断②；根据函数周期性的定义判断③；由二倍角公式化简，再根据正弦函数的单调性判断④；根据诱导公式化简f（﹣π﹣x）后，得到与﹣f（x）的关系可判断⑤．【解答】解：函数f（x）=|cosx|•sinx=（k∈Z），①、f（﹣x）=|cos（﹣x）|•sin（﹣x）=﹣|cosx|•sinx=﹣f（x），则f（x）是奇函数，①正确；②、∵f（π﹣x）=|cos（π﹣x）|•sin（π﹣x）=|﹣cosx|•sinx=f（x），∴f（x）的一条对称轴为x=，②正确；③、∵f（π+x）=|cos（π+x）|•sin（π+x）=|﹣cosx|•（﹣sinx）=﹣f（x）≠f（x），∴f（x）的最小正周期不是π，③不正确；④、∵x∈[﹣，]，∴f（x）=|cosx|•sinx=sin2x，且2x∈[，]，∴f（x）在区间[﹣，]上单调递增，④正确；⑤、∵f（﹣π﹣x）=|cos（﹣π﹣x）|•sin（﹣π﹣x）=|﹣cosx|•sinx=f（x）≠﹣f（x），∴f（x）的图象不关于点（﹣，0）成中心对称，⑤不正确；故答案为：①②④．三、解答题（共5小题，共70分）17．设函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x．（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取得最大值时x的集合；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=，b+c=2，求a的最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x+）+1，由三角函数的最值可得；（2）解2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π可得单调递增区间；（3）由（2）和f（B+C）=可得角A=，由余弦定理和基本不等式可得．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+2cos2x=﹣cos2x﹣sin2x+1+cos2x=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1，当2x+=2kπ即x=kπ﹣（k∈Z）时，f（x）取得最大值2，此时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；（2）由2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π可解得kπ+≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[得kπ+，kπ+]，k∈Z；（3）由（2）可得f（B+C）=cos（2B+2C+）+1=，∴cos（2B+2C+）=，由角的范围可得2B+2C+=，变形可得B+C=，A=，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc≥4﹣3（）2=1当且仅当b=c=1时取等号，故a的最小值为118．已知等比数列{a n}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，又数列{b n}满足b n=2log2a n，S n+1是数列{b n}的前n项和（1）求S n；，都有成立，求正整数k的值．（2）若对任意n∈N+【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的性质．【分析】（1）运用等比数列的性质和通项，可得数列{a n}的通项公式，再由对数的运算性质，可得数列{b n}的通项公式，运用等差数列的求和公式，可得S n；（2）令，通过相邻两项的差比较可得{C n}的最大值，即可得到结论．【解答】解：（1）因为a2a5=a3a4=32，a3+a4=12，且{a n}是递增数列，所以a3=4，a4=8，所以q=2，a1=1，所以；所以．所以．（2）令，则．所以当n=1时，c1＜c2；当n=2时，c3=c2；﹣c n＜0，即c3＞c4＞c5＞…．当n≥3时，c n+1所以数列{c n}中最大项为c2和c3．所以存在k=2或3，使得对任意的正整数n，都有．19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等1201202×2列联表，“成绩与班级有关系”；（2）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．参考公式与临界值表：K2=．【分析】（1）利用公式，求出K2，查表得相关的概率为99%，即可得出结论；（2）所有的基本事件有：6×6=36个，抽到9号或10号的基本事件有7个，即可求抽到9号或10号的概率．【解答】解：（1）假设成绩与班级无关，则K2=≈7.5则查表得相关的概率为99%，故没达到可靠性要求．…（2）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，．所有的基本事件有：6×6=36个．…事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）、（6，4）共7个所以P（A）=，即抽到9号或10号的概率为．…20．如图所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到五棱锥P﹣ABFED，且AP=，PB=．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明PO⊥BD，AO⊥BD，然后利用直线与平面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B﹣AP﹣O的正切值．【解答】证明：（1）因为平面PEF⊥平面ABD，平面PEF∩平面ABD=EF，PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面ABD则PO⊥BD，又AO⊥BD，AO∩PO=O，AO⊂平面APO，PO⊂平面APO，∴BD⊥平面APO，（2）以O为原点，OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴，建立坐标系，则O（0，0，0），A（3，0，0），P（0，0，），B（，2，0），…设=（x，y，z）为平面OAP的一个法向量，则=（0，1，0），=（x，y，z）为平面ABP的一个法向量，=（﹣2，2，0），=（﹣3，0，），则，得，令x=1，则y=，z=3，则=（1，，3）…．cosθ==，∴tanθ=…..21．已知函数f（x）=k（x﹣1）e x+x2．（Ⅰ）当时k=﹣，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）若在y轴的左侧，函数g（x）=x2+（k+2）x的图象恒在f（x）的导函数f′（x）图象的上方，求k的取值范围；（Ⅲ）当k≤﹣l时，求函数f（x）在[k，1]上的最小值m．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）k=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）e x+x2，得f′（x）=x（2﹣e x﹣1），从而求出函数f（x）在（1，1）处的切线方程；（Ⅱ）f′（x）=kx（e x+）＜x2+（k+2）x，即：kxe x﹣x2﹣kx＜0，令h（x）=ke x﹣x﹣k，讨论当k≤0时，当0＜k≤1时，当k＞1时，从而综合得出k的范围；（Ⅲ）f′（x）=kx（e x+），令f′（x）=0，得：x1=0，x2=ln（﹣），令g（k）=ln（﹣）﹣k，则g′（k）=﹣﹣1≤0，得g（k）在k=﹣1时取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，讨论当﹣2＜k≤﹣1时，当k=﹣2时，当k＜﹣2时的情况，从而求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）k=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）e x+x2，∴f′（x）=x（2﹣e x﹣1），∴f′（1）=1，f（1）=1，∴函数f（x）在（1，1）处的切线方程为y=x，（Ⅱ）f′（x）=kx（e x+）＜x2+（k+2）x，即：kxe x﹣x2﹣kx＜0，∵x＜0，∴ke x﹣x﹣k＞0，令h（x）=ke x﹣x﹣k，∴h′（x）=ke x﹣1，当k≤0时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，当0＜k≤1时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，当k＞1时，h（x）在（﹣∞，﹣lnk）递减，在（﹣lnk，0）递增，∴h（﹣lnk）＜h（0）=0，不合题意，综上：k≤1．（Ⅲ）f′（x）=kx（e x+），令f′（x）=0，解得：x1=0，x2=ln（﹣），令g（k）=ln（﹣）﹣k，则g′（k）=﹣﹣1≤0，g（k）在k=﹣1时取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，∴x2=ln（﹣）＞k，当﹣2＜k≤﹣1时，x2=ln（﹣）＞0，f（x）的最小值为m=min{f（0），f（1）}=min{﹣k，1}=1，当k=﹣2时，函数f（x）在区间[k，1]上递减，m=f（10=1，当k＜﹣2时，f（x）的最小值为m=min{f（x2），f（1）}，f（x2）=﹣2[ln（﹣）﹣1]+[ln（﹣）]2=﹣2x2+2＞1，f（1）=1，此时m=1，综上：m=1．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解不等式f（x）＜4；（Ⅱ）不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（I）．…当x≤﹣1时，由﹣3x+1＜4得x＞﹣1，此时无解；当﹣1＜x≤1时，由﹣x+3＜4得x＞﹣1，∴﹣1＜x≤1；当x＞1时，由3x﹣1＜4得，∴．…综上，所求不等式的解集为．…（II）由（I）的函数解析式可以看出函数f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故f（x）在x=1处取得最小值，最小值为f（1）=2，…不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，即﹣2≤a+1≤2，解得﹣3≤a≤1，故a的取值范围为{a|﹣3≤a≤1}．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）．（I）求C的直角坐标方程，l的参数方程；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB|．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），把代入即可得出；由斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）即可得出直线的参数方程．（II）将代入（x﹣1）2+（y﹣1）2=2得t2﹣t﹣1=0，利用根与系数的关系、直线参数的意义即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），即x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．l的参数方程为（t为参数，t∈R），（Ⅱ）将代入（x﹣1）2+（y﹣1）2=2得t2﹣t﹣1=0，解得，t1=，t2=．则|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=．2016年10月9日。
【全国市级联考word】山西省太原市2016-2017学年高一下学期阶段性测评(期中考试)数学试卷
绝密★启用前【全国市级联考word 】山西省太原市2016-2017学年高一下学期阶段性测评（期中考试）数学试卷试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：63分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若，，，则__________．2、已知函数，则的值域为（ ）A ．B ．C ．D ．3、如图，在中，为的中点，过的直线交、所在直线于、，若，，则（ ）4、（）A． B． C． D．15、函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向上平移2个单位，得到，则（）A． B．C． D．6、若，则（）A． B． C． D．7、下列说法不正确的是（）A．，为不共线向量，若，则B．若，为平面内两个不相等向量，则平面内任意向量都可以表示为C．若，，则与不一定共线D．8、已知函数，则（）A．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称D．函数的图象向右平移个单位后关于直线对称9、已知四边形为平行四边形，，，则（）A． B． C． D．10、已知，，，则（）A． B． C． D．11、终边在直线上的角的集合是（）A． B．C． D．12、若为第三象限角，则（）A． B． C． D．13、已知向量，，且，则（）A．4 B．3 C．2 D．1第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）14、如图，视一条河的两岸为两条平行直线，河宽500m，一艘船从河的一岸处出发到河对岸，已知船的速度为，水流速率为，当行驶航程最短时，所用的时间为__________min．15、若，，则__________．16、__________．三、解答题（题型注释）17、（A）已知，，，且函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）若，，，，求的值.（B）已知，，，且函数的最小正周期为.（1）求的解析式；（2）若关于的方程，在内有两个不同的解，，求证：.18、（A ）已知平行四边形中，，，为的中点，.（1）求的长； （2）设，为线段、上的动点，且，求的最小值. （B ）已知平行四边形中，，，为的中点，.（1）求的长； （2）设为线段上的动点（不包含端点），求的最小值，以及此时点的位置.19、函数（，，）的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）求函数在上的单调递增区间及其在上的值域.20、已知：.（1）化简； （2）若为第四象限角，且，求.21、已知向量，.（1）若，求；（2）若，求向量在方向上的投影（其中是与的夹角）参考答案1、2、D3、A4、D5、C6、B7、B8、C9、A10、C11、A12、C13、D14、15、16、17、（A）（1）；（2）. （B）（1）；（2）见解析.18、（A）（1）；（2）. （B）（1）；（2）.19、（1）；（2）.20、（1）；（2）.21、（1）；（2）.【解析】1、由知，知，，所以.点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.2、设，所以，则，由函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值，所以函数的值域为故选D.点睛：在三角求解的题中，，和称为“亲密三姐妹”，顾名思义，这三者有很密切的关系：任意两个可以表示第三个.所以在一些求值求范围问题上可以进行换元.3、因为是的中点，所以，即，即，因为、、三点共线，即所以，即.故选A.点睛：在解向量问题中有个结论：三点共线的充要条件：中满足（A为OMN直线外任意一点）.4、故选D.5、由横坐标变为2倍得，可排除B，D，A选项变换后得到，排除；C选项变换后得到，符合题意.故选C.点睛：在函数平移时有个顺口溜：左加右减，上加下减，即函数向左平移变量时，需要变量x加上平移量，函数向右平移变量时，需要变量x减去平移量，在平移过程中只是变量x或y加减，如果有系数，需要把系数提出来.6、因为，，则，，则.故选B.7、A选项中，，为不共线向量，则两向量均为非零向量，表示以向量，模长为邻边的平行四边形两对角线长度相等，则该平行四边形为矩形，则邻边垂直，正确；B选项，由平面向量的基本定理知，一组非零且不共线的向量可以表示出平面内的任意向量，，为平面内两个不相等向量，若共线仍无法作为一组基底表示，错误；C选项，若，，均为非零向量，则与共线，若为零向量，则与不一定共线，零向量与平面内的任意向量共线，正确；D选项，符合向量数乘的运算法则，正确.故选B.8、对轴为：，对称中心为，所以A，B错，函数的图象向右平移个单位得到，为奇函数，所以选C.9、，，所以.故选A.10、首先化为同名三角函数，，，，∵在上单调递增，∴.故选C.11、与终边在一条直线上的角的集合为，∴与终边在同一直线上的角的集合是.故选A.12、∵为第三象限角，∴，.故选C.13、∵，∴，∴.故选D.14、当路线垂直于两岸时，航程最短，实际速率为时，时间.15、.16、.17、试题分析：（A）（1）化简得，由周期为，即；（2）分析条件得，代入求解即可.（B）（1）化简得，由周期为，即；（2）由，整理得，和联立得，有，化简求解即可.试题解析：（A）解：（1），周期为，即.（2），，，，，∴，，，，，∴，代入上式的. （B）解：（1）.∵，，∴，.（2）求证：，.∵，∴，，方程在内有两个不同的解，∴，，∴.∴. 18、试题分析：（A）（1）将条件整理得，设，则有即可求解；（2）设，，则即得. （B）（1）将条件整理得即可求解；（2）设，求最值即可.试题解析：（A）解：（1），设，则有，解得或，故.（2）∵，∴，设，，则，，故的最小值为，∴的最小值为. （B）解：（1），，，∴.（2）设，则，，∴，所以当时，∴，此时为的四等分点（靠近）即.19、试题分析；（1）利用“五个关键点”待定系数即可；（2）的单调递增区间为，求解x即可；利用三角函数的图像求值域即可.试题解析：（1）由图象可知，，，所以，又，所以，所以，又在图象上，所以，由题可知，所以.（2）的单调递增区间为，即，即，又，所以单调递增区间为，.当时，，根据函数的性质可得，值域为.点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.20、试题分析：（1）利用诱导公式化简即可；（2）将条件平方得，因为是第四象限角，，带入解析式即可.试题解析：（1）. （2），，，∵是第四象限角，，∴.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.21、试题分析：（1）利于垂直数量积为0求解即可；（2）利用向量数量积的几何一意义求解即可.试题解析：（1）∵，，∴，又，∴，∴，∴.（2）由，可知，，∴，，∴.。
2016-2017学年山西省太原市高二(下)期中数学试卷与解析word(理科)
2016-2017学年山西省太原市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）复数2﹣i的共轭复数是（）A．2+i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i2．（3分）下列说法正确的是（）A．类比推理、归纳推理、演绎推理都是合情推理B．合情推理得到的结论一定是正确的C．合情推理得到的结论不一定正确D．归纳推理得到的结论一定是正确的3．（3分）已知函数f（x）=2e x，则（）A．f′（x）=f（x）+2 B．f′（x）=f（x）C．f′（x）=3f（x）D．f′（x）=2f （x）4．（3分）已知复数z在复平面内对应的点为（3，4），复数z的共轭复数为，那么z•等于（）A．5 B．﹣7 C．12 D．255．（3分）已知函数f（x）=x2+bx+c在x=﹣1处取得极值﹣1，那么f（x）=（）A．x2﹣2x﹣4 B．x2+x﹣1 C．x2+2x D．x2﹣26．（3分）利用反证法证明：“若x2+y2=0，则x=y=0”时，假设为（）A．x，y都不为0 B．x≠y且x，y都不为0C．x≠y且x，y不都为0 D．x，y不都为07．（3分）曲线y=﹣ln（2x+1）+2在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=2x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．18．（3分）给出如下“三段论”的推理过程：因为对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，…大前提而y=是对数函数，…小前提所以y=是增函数，…结论则下列说法正确的是（）A．推理形式错误B．大前提错误C．小前提错误D．大前提和小前提都错误9．（3分）dx等于（）A．B．C．πD．2π10．（3分）已知复数2i﹣3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是（）A．12，0 B．24，26 C．12，26 D．6，811．（3分）已知函数f0（x）=sinx+cosx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…f n+1（x）=f′n（x），n∈N，那么f2017=（）A．cosx﹣sinx B．sinx﹣cosx C．sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx12．（3分）设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k，k∈N*，若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，则k的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小4分，共16分）13．（4分）复数z=（1+i）+（﹣2+2i）在复平面内对应的点位于第象限．14．（4分）已知f（x）=x+ln（x+1），那么f′（0）=．15．（4分）我们知道：在长方形ABCD中，如果设AB=a，BC=b，那么长方形ABCD 的外接圆的半径R满足：4R2=a2+b2，类比上述结论回答：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R 满足的关系式是．16．（4分）若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上不单调，则实数k的取值范围为．三、解答题（本大题共3小题，共48分）17．（8分）已知z1=1﹣i，z2=2+2i．（1）求z1•z2；（2）若=+，求z．18．（10分）已知函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值和最小值．19．（10分）已知函数f（x）=x3+，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）证明：f（x）＞．四、选修题20．（10分）已知数列{b n}满足b n=||，其中a1=2，a n+1=．（1）求b1，b2，b3，并猜想b n的表达式（不必写出证明过程）；（2）由（1）写出数列{b n}的前n项和S n，并用数学归纳法证明．选修题21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=，2S n﹣S n S n﹣1=1（n≥2）．（1）猜想S n的表达式，并用数学归纳法证明；（2）设b n=，n∈N*，求b n的最大值．选修题22．（10分）设函数f（x）=x2e ax，a＞0．（1）证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；（2）若方程f（x）﹣1=0有且只有两个不同的实数根，求实数a的值．选修题23．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣）e ax（a＞0）．（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）若存在唯一实数x0，使得f（x0）+=0成立，求实数a的值．2016-2017学年山西省太原市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）复数2﹣i的共轭复数是（）A．2+i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【解答】解：复数2﹣i的共轭复数为2+i．故选：A．2．（3分）下列说法正确的是（）A．类比推理、归纳推理、演绎推理都是合情推理B．合情推理得到的结论一定是正确的C．合情推理得到的结论不一定正确D．归纳推理得到的结论一定是正确的【解答】解：合情推理包含归纳推理和类推理，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．其得出的结论不一定正确，故选：C．3．（3分）已知函数f（x）=2e x，则（）A．f′（x）=f（x）+2 B．f′（x）=f（x）C．f′（x）=3f（x）D．f′（x）=2f （x）【解答】解：根据题意，f（x）=2e x，则f′（x）=2（e x）′=2e x，即有f′（x）=f（x），故选：B．4．（3分）已知复数z在复平面内对应的点为（3，4），复数z的共轭复数为，那么z•等于（）A．5 B．﹣7 C．12 D．25【解答】解：由题意，z=3+4i，则z•=．故选：D．5．（3分）已知函数f（x）=x2+bx+c在x=﹣1处取得极值﹣1，那么f（x）=（）A．x2﹣2x﹣4 B．x2+x﹣1 C．x2+2x D．x2﹣2【解答】解：∵函数f（x）=x2+bx+c，∴f′（x）=2x+b，∵函数f（x）=x2+bx+c在x=﹣1处取得极值﹣1，∴，解得b=2，c=0，∴f（x）=x2+2x．故选：C．6．（3分）利用反证法证明：“若x2+y2=0，则x=y=0”时，假设为（）A．x，y都不为0 B．x≠y且x，y都不为0C．x≠y且x，y不都为0 D．x，y不都为0【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为“x，y不都为0”，故选：D．7．（3分）曲线y=﹣ln（2x+1）+2在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=2x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵y=﹣ln（2x+1）+2，∴y'=﹣∴y'|x=0=﹣2∴曲线y=﹣ln（2x+1）+2在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y ﹣2=0令y=0解得x=1，令y=2x解得x=，y=1∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×1=，故选：B．8．（3分）给出如下“三段论”的推理过程：因为对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，…大前提而y=是对数函数，…小前提所以y=是增函数，…结论则下列说法正确的是（）A．推理形式错误B．大前提错误C．小前提错误D．大前提和小前提都错误【解答】解：因为大前提是：对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，不正确，导致结论错误，所以错误的原因是大前提错误，故选：B．9．（3分）dx等于（）A．B．C．πD．2π【解答】解：dx的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径的单位圆在x轴上方部分（半圆）的面积∴dx==故选：B．10．（3分）已知复数2i﹣3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是（）A．12，0 B．24，26 C．12，26 D．6，8【解答】解：∵2i﹣3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，由实系数一元二次方程虚根成对定理，可得方程另一根为﹣2i﹣3，则=（﹣3+2i）（﹣3﹣2i）=13，即q=26，﹣=﹣3+2i﹣3﹣2i=﹣6，即p=12故选：C．11．（3分）已知函数f0（x）=sinx+cosx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…f n+1（x）=f′n（x），n∈N，那么f2017=（）A．cosx﹣sinx B．sinx﹣cosx C．sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx【解答】解：根据题意，∵f0（x）=sinx+cosx，∴f1（x）=f0′（x）=cosx﹣sinx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx﹣cosx，f3（x）=﹣cosx+sinx，f4（x）=sinx+cosx，（x）以此类推，可得出f n（x）=f n+4∴f2017（x）=f504（x）=f1（x）=cosx﹣sinx；×4+1故选：A．12．（3分）设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k，k∈N*，若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，则k的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：f′（x）=e x（x﹣1）k+k（e x﹣1）（x﹣1）k﹣1=（x﹣1）k﹣1[e x（x﹣1）+k（e x﹣1）]，若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，则x＞1时，f′（x）＞0，x＜1时，f′（x）＜0，故k﹣1＞0，k＞1，而k∈N*，故k的最小值是2，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小4分，共16分）13．（4分）复数z=（1+i）+（﹣2+2i）在复平面内对应的点位于第二象限．【解答】解：∵z=（1+i）+（﹣2+2i）=﹣1+3i，∴z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，3），位于第二象限．故答案为：二．14．（4分）已知f（x）=x+ln（x+1），那么f′（0）=2．【解答】解：根据题意，f（x）=x+ln（x+1），则其导数f′（x）=1+，则f′（0）=1+1=2；故答案为：2．15．（4分）我们知道：在长方形ABCD中，如果设AB=a，BC=b，那么长方形ABCD 的外接圆的半径R满足：4R2=a2+b2，类比上述结论回答：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R 满足的关系式是4R2=a2+b2+c2．【解答】解：从平面图形类比空间图形，模型不变．可得如下结论：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是4R2=a2+b2+c2，故答案为：4R2=a2+b2+c2．16．（4分）若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上不单调，则实数k的取值范围为（﹣5，﹣2）．【解答】解：f′（x）=3x2+2（k﹣1）x+k+5，若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调，则4（k﹣1）2﹣12（k+5）≤0 ①或②或③或④．解①得﹣2≤k≤7；解②得k≥1；解③得k∈∅；解④得k≤﹣5．综上，满足函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调的k 的范围为k≤﹣5或k≥﹣2．于是满足条件的实数k的范围为（﹣5，﹣2）．故答案为：（﹣5，﹣2）．三、解答题（本大题共3小题，共48分）17．（8分）已知z1=1﹣i，z2=2+2i．（1）求z1•z2；（2）若=+，求z．【解答】解：（1）∵z1=1﹣i，z2=2+2i．∴z1•z2=（1﹣i）（2+2i）=4；（2）由=+，得．18．（10分）已知函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x，∴f′（x）=3x2﹣4x﹣4，由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞2，由f′（x）＜0，得﹣＜x＜2，∴函数y=f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣），[2，+∞）；单调减区间是[﹣，2]．（2）由f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，得，x2=2，列表，得：∴f （x）在[﹣1，4]上的最大值为f（x）max =f（4）=16，最小值为f（x）min=f（2）=﹣8．19．（10分）已知函数f（x）=x3+，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x 2；（2）证明：f（x）＞．【解答】证明：（1）∵x∈[0，1]，∴x+1∈[1，2]．要证明：f（x）≥1﹣x+x2，只要证明：x3（x+1）+1≥（x+1）（1﹣x+x2），只要证明：x4≥0，显然成立，∴f（x）≥1﹣x+x2；（2）∵1﹣x+x2=（x﹣）2+≥，当且仅当x=时取等号，∵f（）=＞，f（x）≥1﹣x+x2，∴f（x）＞．四、选修题20．（10分）已知数列{b n}满足b n=||，其中a1=2，a n+1=．（1）求b1，b2，b3，并猜想b n的表达式（不必写出证明过程）；（2）由（1）写出数列{b n}的前n项和S n，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）∵a1=2，a n+1=，∴，，又b n=||，得b1=4，b2=8，b3=16，猜想：；（2）由（1）可得，数列{b n}是以4为首项，2为公比的等比数列，则有．证明：当n=1时，成立；假设当n=k时，有，则当n=k+1时，=2k+3﹣4=2（k+1）+2﹣4．综上，成立．选修题21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=，2S n﹣S n S n﹣1=1（n≥2）．（1）猜想S n的表达式，并用数学归纳法证明；（2）设b n=，n∈N*，求b n的最大值．【解答】解：（1）∵S1=a1=，2S n=S n S n﹣1+1（n≥2），∴2S2=S2S1+1=S2+1，∴S2=；∴2S3=S3S2+1=S3+1，∴S3=；由S1=，S2=，S3=，可猜想S n=；证明：①当n=1时，S1=，等式成立；②假设n=k时，S k=，则n=k+1时，∵2S k+1=S k+1•S k+1=•S k+1+1，∴（2﹣）S k+1=1，∴S k+1==，即n=k+1时，等式也成立；综合①②知，对任意n∈N*，均有S n =（2）由（1）可知，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=，当n=1时，a1==满足上式，∴a n =，∴b n ===，n∈N*，设f（n）=x +，则有f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）为增函数，∵n∈N*，且f（5）=f（6）=11，∴当n=5或n=6时，b n 有最大值选修题22．（10分）设函数f（x）=x2e ax，a＞0．（1）证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；（2）若方程f（x）﹣1=0有且只有两个不同的实数根，求实数a的值．【解答】解：（1）证明：f（x）的定义域R，求导，f′（x）=2xe ax+ax2e ax=xe ax（ax+2），当x∈（0，+∞）时，a＞0，则e ax＞0，则xe ax（ax+2）＞0，则f′（x）＞0，∴函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；（2）令f′（x）=0，记得x=﹣或x=0，）（则当x=﹣时，函数有极大值f（﹣）=，当x=0时，函数有极小值f（0）=0，当x＜0时，f（x）＞0，x→﹣∞时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→+∞，由f（x）﹣1=0，即f（x）=1有且只有两个不同的实数根，即=1，解得：a=，（负根舍去）实数a的值．选修题23．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣）e ax（a＞0）．（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）若存在唯一实数x0，使得f（x0）+=0成立，求实数a的值．【解答】解：（1）函数y=f（x）的定义域为R，f′（x）=[ax2+（2﹣a）x﹣2]e ax．令f′（x）=0，得x=1，x=﹣＜0，当x∈（﹣∞，﹣），（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣，1）时，f′（x）＜0．∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（1，+∞）上递增，在∈（﹣，1）递减．注意到x＜﹣，x2﹣x﹣＞0，f（1）=﹣＜0．∴函数y=f（x）的最小值为f（1）=﹣．（2）存在唯一实数x0，使得f（x0）+=0成立⇔函数y=f（x）图象与y=﹣＜（﹣0）有唯一交点，结合（1）可得函数f（x）在（﹣∞，﹣），（1，+∞）上递增，在∈（﹣，1）递减．注意到x＜﹣，x2﹣x﹣＞0，f（1）=﹣＜0．∴当且仅当﹣时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+=0成立，即a=ln3时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+=0成立．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
【全国市级联考】山西省太原市2016届高三下学期第一次模拟考试理综物理试题(解析版)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)14、迎泽公园有这样一根电杆，一条电缆线由北向南绕过电杆转向由东向西．电缆与电杆的接触点为P。
固定电杆的钢索一端固定在P点，另一端固定在地面上，钢索、电杆与东西方向的电缆在同一竖直平面内．设电缆线水平，南北、东西方向的电缆对电杆的拉力分别为F1、F2，且大小相等，钢索对电杆的拉力为F3；已知植于土中的电杆竖直，下列说法正确的是A、F1、F2和F3的合力竖直向下B、地面对电杆的作用力竖直向上C、F1、F2和F3在水平面内能的合力可能为0D、F1、F2和F3在水平面内合力的方向偏向北方一侧【答案】D考点：物体的平衡【名师点睛】本题关键是结合力的平衡条件进行分析，要注意杆的弹力不一定平行杆子，由于涉及空间力系，所以也考查学生的空间想象能力，本题同时要结合力矩知识考虑转动问题，所以较难.15、大雾天发生交通事故的概率比平常要高出几倍甚至几十倍，保证雾中行车安全显得尤为重要．在雾天的平直公路上．甲、乙两汽车同向匀速行驶，乙在前，甲在后。
某时刻两车司机听到警笛提示，同时开始刹车，结果两车刚好没有发生碰撞，如图为两车刹车后匀减速运动的v-t图象．以下分析正确的是A ．甲车刹车的加速度的大小为0.5m/s 2 B.两车开始刹车时的距离为100m C.两车刹车后间距一直在减小 D.两车都停下来后相距25m 【答案】B考点：v-t 图线【名师点睛】本题考查了运动学中的追及问题，关键抓住临界状态，结合运动学公式和速度时间图线综合求解；根据速度时间图线求出甲乙的加速度，抓住速度相等时，结合位移时间公式分别求出两车的位移，结合位移之差求出两者刹车时的距离，通过两者的速度大小关系，判断之间距离的变化。
16. 在其空中M 、N 两点分别放有异种点电初＋2Q 和一Q ，以MN 连线中点O 为中心作一圆形路径abcd ，a 、O 、c 三点恰好将MN 四等分．b 、d 为MN 的中垂线与圆的交点，如图所示，则下列说法正确的A ．a 、b 、c 、d 四点电场强度的大小关系是E a ＞E c ，E b ＝E dB ．a 、b 、c 、d 四点电势的关系是a c b d ϕϕϕϕ<=，C 、在MN 的连线上，O 点的电场强度最小D ．将带负电的试探电荷由b 沿直线移动到d 的过程中，其电势能始终不变【答案】A考点：场强和电势；场强的叠加【名师点睛】本题是信息题，根据题中的信息分析各点的电势是解题的关键，结合电场的叠加原理和电场分布的对称性研究。
2016年太原市第三次联合考试 理科数学
正视图
侧视图
2 1 俯视图
【解析】根据几何体的三视图，可知，立体图形是以高为 2，底面积为 2 的两个集合组合体， 根据几何体的体积公式利用底面积乘以高求得，所以选 D
11. 已知双曲线
x2 y2 1(a 0, b 0) 的左、右两个焦点分别为 F1 , F2 , A, B 为其左、右 a2 b2
a 2 b2 的最小值为 2，所以答案是 2
15. 已知在 ABC 中， B 2 A, ACB 的平分线 CD 把三角形分成面积比为 4:3 的两部 分，则 cos A 【答案】 .
2 3
【考查方向】正弦定理、二倍角正弦公式、角平分线定理 【易错点】正弦定理的转化 【解题思路】由正弦定理整理，二倍角正弦公式 【解析】因为 B 2 A ，角平分线 CD 把三角形面积分成 4:3 的两部分，由角平分线定理得 到：BC:AC=BD:AD=3:4,由正弦定理得，
21 ，所以选 B 3
12.已知函数 f ( x) ax bx ln x(a 0, b R) ,若对任意 x 0 ， f ( x) f (1) ，则
2
A. ln a 2b B . ln a 2b C. ln a 2b D. ln a 2b 【答案】A 【考查方向】函数的单调性与导数的关系、函数的最值与导数的关系、不等式的定义与性质 【易错点】函数单调性判断错误、求导错误 【解题思路】先判断函数的单调性，然后求导求最值。 【解析】由题意得，函数在 f(x)在 x=1 处取到最小值。
a5 a6 10 ，
lg a10 lg(a1 a2
a10 ) = lg10000 5 ，所以选 C
6.若非零向量 a, b 满足 a A.
数学---山西省太原市第一中学2016届高三下学期期中考试(文)
山西省太原市第一中学2016届高三下学期期中考试（文）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆22:(2)(1)4C x y -++=，则圆C 的圆心和半径分别为( )(A) (21) 4，，(B) (21)2-，， (C) (21)2-，，(D) (21)2--，， 2．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为( ) (A) 若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ (B) 若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实根 (C) 若方程20x x m +-=有实根，则0m > (D) 若0m >，则方程20x x m +-=没有实根 3．已知命题3:00p x x ∀>>，，那么p ⌝是( ) (A) 300x x ∀>，≤ (B) 30000x x ∃，≤≤ (C) 300x x ∀<，≤(D) 30000x x ∃>，≤ 4．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为( )(A) 4π (B) 3π (C) 2π (D)π5．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )(A) ˆ0.4 2.3yx =+ (B) ˆ2 2.4yx =- (C) ˆ29.5yx =-+(D) ˆ0.3 4.4yx =-+ 6．执行右边所示的程序框图，若输入x 为13，则输出y 的值为( ) (A) 10 (B) 5 (C) 4 (D) 27．在区间[03]，上随机地取一个实数x ，则事件“1213x -≤≤”发生的概率为( ) (A) 14 (B) 13 (C)23(D)348．在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图．记甲、乙甲 乙6 7 7 58 8 8 6 84 0 9 3两名同学所得分数的平均分分别为x 甲、x 乙，则下列判断正确的是( ) (A) x 甲＜x 乙，甲比乙成绩稳定 (B) x 甲＞x 乙，甲比乙成绩稳定 (C) x 甲＜x 乙，乙比甲成绩稳定 (D) x 甲＞x 乙，乙比甲成绩稳定9．设m n ，是空间两条不同的直线，αβ，是空间两个不同的平面，则下列选项中不正确．．．的是( )(A) 当n α⊥时，“n β⊥”是“αβ∥”的充要条件 (B) 当m α⊂时，“m β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件 (C) 当m α⊂时， “n α⊥”是“m n ⊥”的充分不必要条件 (D) 当m α⊂时，“n α∥”是“m n ∥”的必要不充分条件10．已知表面积为24π的球体，其内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，则这个正四棱柱的侧面积为( ) (A) 32 (B) 36 (C) 48(D) 6411．已知命题:p 函数2()24f x x mx =-+在[2)+∞，上单调递增；命题:q 关于x 的不等式22(2)10mx m x +-+>对任意x ∈R 恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数m 的取值范围为( )(A) (14)， (B) [24]-， (C) (1](24)-∞ ，，(D) (1)(24)-∞ ，， 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，给出以下结论：① 1AC ⊥平面1A BD ；② 直线1AC 与平面1A BD 的交点为△1A BD 的外心；③ 若点P 在1A BD ∆所在平面上运动，则三棱锥11P B CD -的体积为定值． 其中，正确结论的个数是( ) (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个(D) 3个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．根据右图所示的算法语句，当输入的x 为50时，输出的y 的值为________．14．某校高二年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________． 15．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．16．若直线y x b =+与曲线3y =b 的范围是__________． 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知命题2:8200p x x --≤，:11(0)q m x m m -+>≤≤，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知圆C 过点(14)(32)A B ，，，，且圆心在x 轴上，求圆C 的方程.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ， 底面ABC 等边三角形，E F ，分别是1BC CC ，的中点．求证：(Ⅰ) EF ∥平面11A BC ； (Ⅱ) 平面AEF ⊥平面11BCC B ．20.（本小题满分12分）某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了20名学生的成绩进行分析，右图是这20名学生竞赛成绩(单位：分)的频率分布直方图，其分组为[100110)，，[110120)，，…，[130140)，，[140150]，． (Ⅰ) 求图中a 的值及成绩分别落在[100110)，与[110120)，中的学生人数； (Ⅱ) 学校决定从成绩在[100120)，的学生中任选2名进行座谈，求此2人的成绩都在[110120)，中的概率．21.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，π122BAD AB BC AD a ∠====，，E 是AD的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.(Ⅰ) 证明：CD ⊥平面1A OC ；(Ⅱ) 若平面1A BE ⊥平面BCDE ，四棱锥1A BCDE -的体积为a 的值.22.（本小题满分12分）已知直线10x y ++=被圆222:(0)O x y r r +=>(Ⅰ) 求圆O 的方程；(Ⅱ) 如图，圆O 分别交x 轴正、负半轴于点A ，B ，交y 轴正半轴于点C ，过点C 的直 线l 交圆O 于另一不同点D （点D 与点A ，B 不重合），且与x 轴相交于点P ，直线AD 与BC 相交于点Q ，求OP OQ u u u r u u u r的值．参考答案一、选择题：1－6 BADCAB 7－12 BCDACD ．二、填空题：13. 35；14. 25；15.23；16. [1-. 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解析：由2:8200p x x --≤，得210x -≤≤， ···············································4分因为p 是q 的充分不必要条件，所以[2,10][1,1]m m ≠⊂--+． ·······································································6分 则12110m m -<-⎧⎨+≥⎩，，或12110m m -≤-⎧⎨+>⎩，，解得9m ≥．故实数m 的取值范围为[9,)+∞. ·····································································10分18. 解析：方法一 设圆C ：222()x a y r -+=， ··················································1分则222222(1)4(3)2a r a r ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，················································································7分 解得2120.a r =-⎧⎨=⎩，所以圆C 的方程为22(1)20x y ++=. (12)分方法二 设圆C ：220x y Dx F +++=， ·····················································1分 则1701330D F D F ++=⎧⎨++=⎩，，···················································································7分解得219.D F =⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为222190x y x ++-=. (12)分方法三 因为圆C 过两点(1,4),(3,2)A B ，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上， 又因为42113AB k -==--，所以1l k =，又AB 的中点为(2,3)， 故AB 的垂直平分线l 的方程为32y x -=-，即1y x =+．又圆心C 在x 轴上，所以圆心C 的坐标为(1,0)-， ········································6分所以半径=||r AC =，所以圆C 的方程为22(1)20x y ++=. ····························································12分19．解析：（Ⅰ）因为,E F 分别是1,BC CC 的中点，所以1EF BC ∥．又因为1BC ⊂平面11A BC ，EF ⊂/平面11A BC ，所以EF ∥平面11A BC . ·············································································6分 （Ⅱ）因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以1BB ⊥平面ABC ．又AE ⊂平面ABC ， 所以1AE BB ⊥．又因为ABC ∆为正三角形，E 为BC 的中点， 所以AE BC ⊥．又1BB BC B = ，所以AE ⊥平面11BCC B ．又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面11BCC B . ·········································12分20．解析：（Ⅰ）根据频率分布直方图知组距为10，由(23762)101a a a a a ++++⨯=，解得10.005200a ==； ·············································································2分 所以成绩落在[100,110)中的人数为20.00510202⨯⨯⨯=； ·······························4分 成绩落在[110,120)中的人数为30.00510203⨯⨯⨯=. ········································6分 （Ⅱ）记成绩落在[100,110)中的2人为12,A A ，成绩落在[110,120)中的3人为123,,B B B ， 则从成绩在[100,120)的学生中任选2人的基本事件共有10个：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B其中2人的成绩都在[110,120)中的基本事件有3个：{}{}{}121323,,,,,B B B B B B ， 所以所求概率为310P =. ···········································································12分21．解析：（Ⅰ）图1中，12AB BC AD ==，AD ∥BC ，E 是AD 的中点，2BAD π∠=，所以BE AC ⊥，即在图2中， 1BE AO BE OC ⊥⊥，，又1AO OC O = ，所以BE ⊥平面1A OC ， 又CD BE ，所以CD ⊥平面1A OC . ···························································6分 （Ⅱ）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE 平面BCDE BE =， 由已知1A O BE ⊥，所以1AO ⊥平面BCDE ． 即1A O 是四棱锥1A BCDE -的高，由图1可知，1A O AB ==， 则2BCDE S BC AB a =⋅= ，所以四棱锥1A BCDE -的体积为2311133BCDE V S A O a =⨯⨯=⨯= ，3=，得6a =. ·······································································12分22．解析：(Ⅰ) 圆心O 到直线10x y ++=的距离d ==，由22222r d =+=+，解得1r =． 所以圆O 的方程为221x y +=． ································································4分 (Ⅱ) 如图，可知(1,0)(1,0)(0,1)A B C -，，，所以BC 的方程为10x y -+=. ···································································5分 当l 的斜率不存在时，AD BC ∥，与题意不符，则直线l 的斜率存在，设为(0)k k ≠， 直线l 的方程为1y kx =+，可得1(,0)P k -. ····················································6分由2211y kx x y =+⎧⎨+=⎩，，消去y ，整理得22(1)20k x kx ++=， 解得0x =或221kx k =-+， 所以D 的纵坐标为22221111k k y k k k -=-⋅+=++. 所以AD 的方程为222101(1)211k k y x k k --+=---+，整理得1(1)1k y x k -=-+， 联立1(1)110k y x k x y -⎧=-⎪+⎨⎪-+=⎩，，解得1x k y k =-⎧⎨=-+⎩，，即(,1)Q k k -+. 所以1()()1OP OQ k k⋅=-⨯-=u u u r u u u r . ·······································································12分。
数学---山西省忻州市第三中学2016届高三下学期期中考试(理)
山西省忻州市第三中学2016届高三下学期期中考试（理）一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈R |2x －3≥0}，集合B ＝{x ∈R | 2－x x －1>0}，则A ∩B ＝( )A ．{x |x ≥32}B ．{x |32≤x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |32<x <2}2．已知1a <1b<0，则下列结论错误的是( )A ．a 2<b 2B ．b a ＋ab>2 C ．ab >b 2 D ．lg a 2<lg(ab )3．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是( )A ．43B ．83C ． 2D ．44．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC →的值为( )A ．79B ．69C ．5D ．－55．执行右边的程序框图，输出的结果是( )A ．12B ．23C ．34D ．456．设为递减等比数列，，，则1210l g l g l g ++⋅⋅+a a a =( )A ．35B ．-35C ．55D ．-55{}n a 1121=+a a 1021=⋅a a7．在△ABC 中，sin A ＝3sin C ，B ＝30°，角B 所对的边长b ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．4B ．1 C.3 D ．28．在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2a 4＝16，则|a 1－12|＋|a 2－12|＋···＋|a 8－12|＝( )A ．224B ．225C ．226D ．2569．若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤2，y ≤1.，则2221+-+x y x 的取值范围是( )A ．[12，2]B ．[1，2]C ．[1, 2]D ．[22, 2]10．将函数y ＝2sin(x+π3) (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是( )A ．π12B ．π6C ．π3D ．2π311．若圆(x +1)2＋(y －1)2＝2－a 截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－10B ．－8C ．－6D ．－412．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为 ( )A ．32B ．53C ．94D ．不存在二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (2017)=_____________.14．定义运算x ⊗y =()()≤⎧⎨>⎩x x y y x y ，若|m －1|⊗m =|m －1|，则m 的取值范围是_____________．15．若关于x 的方程9x －(4+a )•3x +4=0有解，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数 f (x )= ⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x <1x －1，x ≥1，若数列{a n }满足a 1=3，a n +1=f (a n ) (n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2010－2S 2009+S 2008=_____________．三、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，tan B tan C ＝2a －cc.（1）求角B 的大小；（2）求函数f (x )＝cos x ·cos(x ＋B ) (x ∈[0，π2])的值域．18.（本小题满分10分）解关于x 的不等式：ax 2－2(a ＋1)x ＋4＜0.19．（本小题满分12分）如图，直二面角D -AB -E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE =EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE . （1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求二面角B -AC -E 的余弦值.20．（本小题满分12分）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB =3米，AD =2米． （1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （2）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．21．（本小题满分12分）已知数列{a n }是首项为a 1=14，公比q =14的等比数列，设b n +2=314log na(n ∈N *)，数列{c n }满足=⋅n n n c a b . （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前n 项和S n ； （3）若一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.22．（本小题满分12分）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象过点（0，1）和（1，4）， 且对于任意的实数x ，不等式x x f 4)(≥恒成立． （1）求函数f (x )的表达式；（2）设2()1,()l o g [()()]=+=-g x k x F x g x f x 若在区间[1，2]上是增函数，求实数k 的取P}{n b }{n c 对1412-+≤m m c n值范围.参考答案一、选择题 1-12、BCBCC BCBAD DA二、填空题 13．－3 14．[12，+∞) 15．[0，+∞) 16．－1三、解答题17．解：（1）∵sin B cos C sin C cos B ＝2sin A －sin Csin C，而sin C >0，∴sin B cos C ＝2sin A cos B －cos B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin A cos B ， 又∵sin(B ＋C )＝sin A ，∴cos B ＝12，∴B ＝π3. ---------------------5分（2）f (x )＝12cos 2x －32sin x cos x＝1＋cos2x 4－34sin2x ＝12cos(2x ＋π3)＋14， ∵2x ＋π3∈[π3，43π]，∴－1≤cos(2x ＋π3)≤12，∴f (x )的值域为[－14，12]． --------------------10分18．解：（1）当a =0时，原不等式相当于－2x ＋4＜0，解集为{x |x >2}；----------2分（2）当a ≠0时，原不等式可化为：a (x －2a)(x －2)<0 ----------3分①当a <0时，原不等式等价于(x －2a )(x －2)>0，解集为{x |x <2a 或x >2}； ----6分②当a >0时，原不等式等价于(x －2a)(x －2)<0，1) 当2<2a ，即0<a <1时，原不等式的解集为{x |2<x <2a }；2) 当2>2a ，即a >1时，原不等式的解集为{x |2a<x <2}；3) 当2=2a，即a =1时，原不等式的解集为φ. -------------9分综上，当a =0时，原不等式的解集为{x |x >2}；当a <0时，原不等式的解集为{x |x <2a或x >2}；当0<a <1时，原不等式的解集为{x |2<x <2a }；当a >1时，原不等式的解集为{x |2a <x <2}；当a =1时，原不等式的解集为φ. -------------10分19．（1）证明：∵⊥BF 平面ACE. .AE BF ⊥∴∵二面角D -AB -E 为直二面角，且AB CB ⊥ ∴⊥CB 平面ABE ∴⊥CB AE 又∵BF ∩CB =B ∴⊥平面AE BCE ------------------5分 （2）解：连结BD 交AC 于G ，连结FG . ∵⊥BF 平面ACE ，∴⊥BF AC又∵正方形ABCD 中，⊥AC BG ，且BF ∩BG =B ∴⊥面AC BFG ，AC GF ∴⊥BGF ∴∠即为二面角B —AC —E 的平面角------------------8分 ∵⊥ AE BCE 面，AE EB ∴⊥，AE EB ∴==在Rt ∆BCE中，可求CE =3BE BC BF CE ⋅∴==， ∴在Rt ∆BFG 中，FG==∴cos 3∠===FG BGF BG 即二面角B -AC -E的余弦值为3------------------12分 20．解：(1)设DN 的长为x 米(x >0)，则AN =(x +2)米，∵△DCN ∽△AMN ，∴=DC DN AM AN ，即32=+x AM x ，∴AM =3(2)+x x∴矩形AMPN 的面积为3(2)(2)++⋅x x x平方米根据题意有 3(2)(2)32++⋅>x x x（*） 又x >0，∴（*）式相当于3(x +2)2>32x ，即3x 2－20x +12＞0 解得：0＜x ＜23或x ＞6 ------------------6分 （2）矩形花坛的面积为当且仅当3x =，即x =2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．------------------12分21．解：（1）由题意知， ∵143log 2=-n n b a ，11143log 21=-=b a∴数列的等差数列 ------------------3分*)()41(N n a nn∈=3log 3log 3log 3log 341141411411===-=-∴+++q a a a a b b nn n n n n 3,1}{1==d b b n 公差是首项（2）由（1）知，于是两式相减得------------------8分 （3）∴当n =1时， 当 ∴当n =1时，取最大值是------------------10分 又 即 ------------------12分22．解：（1）由已知有f (0)=1，f (1)=4，即c =1，a +b +c =4∴f (x )= ax 2+(3－a )x +1 又f (x )≥4x 即ax 2－(a +1)x +1≥0恒成立∴20(1)40>⎧⎨∆=+-≤⎩a a a ，解出a =1 ∴f (x )= x 2+2x +1 ------------------5分（2）222()log [()()]log [(2)]F x g x f x x k x =-=-+-记x k x x h )2()(2-+-=，则)(x h 图象的对称轴为22-=k x *)(23,)41(N n n b a n nn ∈-==*)(,)41()23(N n n c n n ∈⨯-=∴,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=∴- 1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S 132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S .)41()23(211+⨯+-=n n *)()41(3812321N n n S n n ∈⨯+-=∴+n n n n n n c c )41()23()41()13(11⋅--⋅+=-++ *)(,)41()1(91N n n n ∈⋅-=+4112==c c n n n c c c c c c c n <<<<=<≥+ 43211,,2即时n c 41恒成立对一切正整数n m m c n 1412-+≤411412≥-+∴m m 510542-≤≥≥-+m m m m 或得由x y 2log =为增函数，故要使F （x ）在区间[1，2]上是增函数 则]2,1[)2()(2在x k x x h -+-=上为增函数且恒正故6021222≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≥-k k k ------------------12分。
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山西省太原市第一中学2016届高三下学期期中考试（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合M ={x |1122x -<<}，N ={x | x 2 ≤ x }，则M ∩N = ( ) A ．1[0,)2B ．1(,0]2-C ．1(,1]2-D ．1[1,)2-2．“a =1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是 ( ) A ．若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ B ．若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥ C ．若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m α D ．若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ 4．已知,αβ是锐角，且α≠45°，若c o s ()s in ()αβαβ-=+，则ta n β= （ ） A ． 2BC ． 1D5.若函数y =)1(log 2+-ax x a 有最小值，则a 的取值范围是 ( )A.0<a <1B. 0<a <2，a≠1C. a ≥2D. 1<a <26．若数列{n a }满足11n a －－1=nd a （*N ,n d ∈为常数），则称数列{n a }为调和数列．已知 数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则165x x +等于 ( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．407.双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左右焦点为21,F F ,渐近线分别为21,l l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若212,l PF l ⊥∥2PF,则双曲线的离心率为 ( ) A . 2 B.3 C. 2D.8．已知函数()R f x ∈,()R g x ∈，有以下命题：① 若)()]([x f x f f =，则x x f =)(； ② 若x x f f =)]([，则x x f =)(；③若x x g f =)]([，且)()(y g x g =，则y x =；④若存在实数x ，使得x x g f =)]([有解，则存在实数x ，使得1)]([2++=x x x f g .其中是真命题的序号是（写出所有满足条件的命题序号） ( )A.①②B.②③C. ③④D. ③ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．函数()2cos()13f x x π=+-的对称轴为 ，最小值为 . 10．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的表面积为 ，该该几何体的体积为 .11.设函数21,1()2,1xx x f x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))4f f a =，则实数a = ，则函数f (x )的单调增区间为 ．12．已知抛物线C :23x y =上两点,A B 的横坐标恰是方程2510x x ++=的两个实根，则直线AB 的方程是 ，弦AB 中点到抛物线C 的准线距离为 . 13．已知直线20x y --=及直线60x y --=截圆C 所得的弦长均为10，则圆C 的面积 是14．已知平面向量α，β满足|α|＝1,1≤|α+β|≤3，则α·β的取值范围是 ．15．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域 A ={ (x,y )| x + ty < 2,且t ∈R,0,0}x y ≥≥，若 平面区域B ={ (x, y )|(x +y , x-y )∈A }的封闭区域面积不小于1，则t 的取值范围为三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分15分）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知c =1，6C π=． (Ⅰ)若ab 的值； (Ⅱ)求cos A cos B 的取值范围．17.（本小题满分15分）如图，四棱锥S -ABCD 中，SD 底面ABCD ，AB //DC ，AD DC ，AB =AD =1，DC =SD =2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC 平面SBC . （Ⅰ）求EBSE的值； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小．18．（本小题满分15分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==， ⊥⊥⊥（I ）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（II ）若对任意的*N n ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围．19．（本题满分15分）椭圆C:13422=+y x 的左焦点为F ，右顶点为1A ,过点F 斜率为k 的直线交椭圆C 于B A ,两点，线段AB 的中点为G ,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，交y 轴于点E ，O 是坐标原点，记GFD ∆的面积为1S ，记OED ∆的面积为2S (I)求点D 的坐标（用k 表示）； （II ）求2221212S S S S +的范围.20．（本题满分14分）设函数b x b a ax x f ++-=)(23)(2，（)10≤≤x 其中0>a ，b 为任意常数.（I ）若21=b ，|21|)(-=x x f 在]1,0[∈x 有两个不同的解，求实数a 的范围. （II ）当2|)0(|≤f ，2|)1(|≤f 时，求|)(|x f 的最大值参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：每小题5分，满分40分．1．A 2．C 3．B 4. C 5．D 6.B 7．A 8．D 二、填空题:多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9. ()3x k k Z =-∈ππ ,-3 10. 23 ，323 11. 2，[)+∞,0 12.5133y x =--，551213. 27π 14. []2,4- 15. 01t <≤三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分15分）解：（Ⅰ）解法一：由余弦定理2222cos ,c a b ab C =+-………………………3分得2320b b -+=，所以b =1或b =2. ………………………7分解法二：由正弦定理sin sin sin a c A A C ==得，………………………2分 233A A ππ==∴或． ………………………4分 当,232A B b ππ===时，;当2,136A B b ππ===时，综上，b =1或b =2. ………………………7分(Ⅱ)51cos cos cos cos cos sin 62A B A A A A A ⎛⎫π⎛⎫⋅=⋅-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111sin cos sin 22sin 22423A A A A A A π⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭……………10分因为540,26333A A ππππ<<-<-<,所以sin 213A π⎛⎫<- ⎪⎝⎭≤,………13分所以cos A cos B 的取值范围是12⎛ ⎝⎦．………15分17．（本题满分15分） （I ）18．（本题满分15分）（I ）由121n n a S +=+----①得当2n ≥时121n n a S -=+----②，①-②得112()n n n n a a S S +--=-，13,n n a a +∴=；当1n =时2112133a a a =+==， 13n n a -∴= ----------------4分5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-； -----------------7分（II ）1(1)13311132n n n n a q S q ---===--， -------------9分311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即363nn k -∴≥对*n N ∈恒成立， ----11分 令363n n n c -=，11363927333n n n n nn n n c c -----+-=-=，当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<， --------------13分max 32()9n c c ∴==，29k ≥． ---------15分19．（本题满分15分）（I ）将)1(+=x k y 带入13422=+y x 中可得：01248)34(2222=-+++k x k x k 则3482221+-=+k k x x ，346221+=+k k y y ----3分 所以G(,34422+-k k 3432+k k) ---5分 因为AB DG ⊥ ,则 D （,3422+-k k 0） ----7分 （II ）GFD ∆与OED ∆相似，则2221OD GD S S =299k +=9> ----10分 令t S S =21，则2221212S S S S +t t 12+=4199192=+< ----13分1222122S S S S ∈+)419,0( ----15分 20.（本题满分14分）（I ）04)21(<-=af ----1分 ①当210<≤x 时，则x x a ax -=++-2121)12(32，即0232=-ax ax ，解得0=x ----3分②当121≤≤x 时，则2121)12(32-=++-x x a ax ，即01)1(232=++-x a ax 令1)1(23)(2++-=x a ax x t ，因为04)21(<-=a t ，只要01)1(≥-=a t 即可----5分所以1≥a ----6分 (II)设|)(|x f 的最大值为M ①当13≥+aba ，函数)(x f 在]1,0[递减函数，M |)0(|f =2≤ ----8分②当03≤+aba ，函数)(x f 在]1,0[递增函数，M |)1(|f =2≤ ----10分 ③当130<+<a ba 时，即ab a 2<<-时，aab b a a b a f 3|)3(|22-+=+ （ⅰ）当2130<+<a b a 时，即2ab a <<- 则230ab a <+<，则-)1(f aab b a a b a f 322|)3(|22--=+a b a a 3)(322+-=42a ≥0> 所以 2≤M ---12分(ⅱ)当1321<+<a b a 时，即a b a 22<<时，可得0)2)(2(<--a b a b ，即 02522<-+abb a则-)0(f a ba ab a b a f 34|)3(|22--=+ab a ab32522-->0> 所以2≤M ----14分综上2=M ，当2,2==b a ，21212)(2+-=x x x f ，2=M。