电磁场与电磁波单元测试题及答案

《电磁场与电磁波》单元测试一
（适用于电子、电科20XX 级本科）
1.在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。

2.计算)1(3
r
r ∇
⋅∇。

3.试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程。

4.求矢量2x y x xy =+A e e 沿圆周222
x y a +=的线积分，再计算∇⨯A 对此
圆面积的积分。

5.真空中无限长的宽度为a 的平板上电荷密度为ρs ，求空间任一点上的电场强度。

（提示：无限长窄条，可看成无限长的线电荷）
第5题图
6.真空中一半径为a 的无限长圆柱体中，电流沿轴向流动，电流分布
为22
0a
J J ρz e =，求磁感应强度。

7.证明=0A ∇⋅∇⨯在普遍意义下成立。

答案
1、在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。

解：高斯通量定理和磁通连续性原理分别是两个标量方程：
0 , =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂z
B y B x B
z D y D x D z y x z y x ρ 法拉第电磁感应定律可以写成3个标量方程：
t
B y E x E t B x E z E t B z E y E z x y y z x x y z ∂∂-=∂∂-∂∂∂∂-=∂∂-∂∂∂∂-=∂∂-∂∂ ，， 全电流定律也可以写成3个标量方程：
t
H J y H x H t D J x H z H t D J z H y H z
z x y y y z x x x y z ∂∂+
=∂∂-∂∂∂∂+=∂∂-∂∂∂∂+=∂∂-∂∂ ，， 共8个标量方程。

2、解：4343333)1(r r r r r
r r r r r ⋅∇-=⎪⎭⎫
⎝⎛⋅-⋅-∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-⋅∇=∇
⋅∇ ⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅∇--=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇+⋅∇-=r r r r r r r r 5444433113444543433433r r r r r r =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=r r
3、试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程
解：麦克斯韦方程组中微分形式的全电流定律为
t
∂∂+
=⨯∇D
J H 对上式等号两边进行散度运算，由题1-2知，等号左边的散度为零，等号右边的散度亦应为零，即
0)(=∇∂∂+∇=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∂∂+∇⋅⋅⋅D J D J t t
把微分形式的高斯通量定理 ∇ ⋅ D = ρ 代入上式，考虑到坐标变量和时间变量是相互独立的
自变量，可得
0=∂∂+
∇⋅t
ρ
J 4、求矢量2x y x xy =+A e e 沿圆周222
x y a +=的线积分，再计算∇⨯A 对此圆面积的积
分。

解 ：
2
d d d C
C
x x xy y =+⎰⎰A l 24
2
422
(cos sin cos sin )d 4a a
a π
πφφφφφ=-+=
⎰
d ()d y
x z z S S A A S x y ∂∂∇⨯=-∂∂⎰⎰A S e e 24222
00
d sin d d 4a S a y S r r r π
πφφ===⎰⎰⎰
5、真空中无限长的宽度为a 的平板上电荷密度为ρs ，求空间任一点上的电场强度。

解: 在平板上'x 处取宽度为'dx 的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为
'dx s l ρρ=，在点),(y x 处产生的电场为
r
'
e ),(r dx y x E d s
ρπε0
21=
其中 2
2y x x +-=)'(r ；2
2y
x x y x x y x +-+-=)'(e e )'(e r
对'x 积分可得无限长的宽度为a 的平板上的电荷在点),(y x 处产生的电场为
)}//(e )/()/(ln e {),(y a x arctg y a x arctg y
a x y a x y x E y x s 2222242
2220--+++-++= περ
6、真空中一半径为a 的无限长圆柱体中，电流沿轴向流动，电流分布为22
0a
J z
J ρˆ= ，求磁感应强度。

解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此无限长载流导电圆柱的磁场可用安培环路定律计算。

围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为ρ的圆环，利用安培环路定律
⎰=⋅l
I l d B 0μ
左边 πρϕ2⎰=⋅l
B l d B
右边 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><==⋅=⎰⎰⎰⎰a
a J a a J d d a J S d J I S ρπρρπϕρρρ;2
;22
02
4
0220 因此有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=a a J a a J B ρρ
μρρμϕ;4;42
002
3
00。