8-3 自感和互感

2
则
M 12
12
I2
0 n1n2l ( πr1 )
2
M 21
21
I1 12 2 M 12 0 n1n2l ( πr1 ) I2
2
0 n1n2l ( πr1 )
2
M M 21 M 12 0 n1n2l ( πr1 )
M M 21 M 12 0 n1n2l ( πr1 )
单位时，穿过另一个回路所围面积的磁通量.
2 ）互感电动势
12
dI 2 M dt
dI1 21 M dt
M
物理意义
21
dI1 dt

12
dI 2 dt
在数值上等于一个回路中的电流变化率
为一个单位时，在另一个回路中产生的互感电动势大小. 注意
无铁磁质时，互感M仅与两个回路的形状、
第八章 电磁感应
8-1 电磁感应定律
电磁场
8-2 动生电动势和感生电动势 8-3 自感和互感 8-5 磁场的能量 磁场能量密度 8-6 位移电流 电磁场基本方程的积分形式
一
自感电动势
自感
穿过闭合电流回路的磁通量
LI
自感电动势
I
B
dI dL d ( L I ) L dt dt dt dI L : 由于电流的变化产生的自感电动势 dt
dL I : 由于回路及介质的变化产生的自感电动势 dt
dI dL d L ( L I ) dt dt dt
若回路及介质无变化:
dI L L dt
自感：
L I L
dI dt
自感：L
I L
dI dt
物理意义 1. 自感L：在数值上等于回路中的电流为一个单位时， 穿过此回路所围面积的磁通量；等于回路中的电流随 时间的变化率为一个单位时，在回路中所引起的自感 电动势的大小．
2
则
M 21
21
I1
0 n1n2l ( πr1 )
2
设半径为 r2 的螺线管2 中通有电流 I 2 , 则螺线管2 内部的磁感强度为：
则穿过半径为 r1 的螺线管1 的磁通量为
N2 B2 0 n2 I 2 0 I2 l
12 N1Φ12 N1 B2 (πr1 ) 2 0 n1n2l ( πr1 ) I 2
2
若 r1
r2 r
:
2
L n V
2
M 0 n1n2l ( πr ) 0 n1n2V
无漏磁时:
L1 L2
M
L1 L2
有漏磁时:
M k L1 L2
0 k 1
例 4 在磁导率为 的均匀无限大的磁介质中, 一无限长直导线与一宽长分别为 b 和 l 的矩形线圈共 面,直导线与矩形线圈的一侧平行,且相距为 d . 求二者 的互感系数. 解 设长直导线通电流 I
若导线如左图放置, 根据 对称性可知 Φ 0 得
Il
l
M 0
问：下列几种情况互感是否变化？
O
1）线框平行直导线移动； （无变化）
2）线框垂直于直导线移动；（有变化）
C
3）线框绕 OC 轴转动； （有变化）
4）直导线中电流变化.
（无变化）
例 面积为S和2S的两圆线圈1、2如图放置，通有
相同的电流I．线圈1的电流所产生的通过线圈2的
l , S , N , ,
求其自感
L . （忽略边缘效应）
解 设电流 I
B nI
NΦ NBS
N N IS l N2 L S I l
nN l
V lS
2
S
l
nN l
L n V
例 2 有两个同轴圆筒形导体 , 其半径分别为 R1 和 R2 , 通过它们的电流均为 I ,但电流的流向相反. 设在两圆筒间充满磁导率为 的均匀磁介质 , 求其 自感 L . 解 两圆筒之间
大小、匝数、相对位置以及周围的磁介质有关.
例3 两同轴长直密绕螺线管的互感 两个长度 均为l，半径分别为r1和r2（ r1<r2 ），匝数分别为N1 和N2的同轴长直密绕螺线管．求它们的互感 M . 解 设半径为 r1 的螺线管1 中通有电流 I1 , 则螺线管1 内部的磁感强度为：
N1 B1 0 n1 I1 0 I1 l 则穿过半径为 r2 的螺线管2
的磁通量为
2
21 N 2Φ21 N 2 B1 (πr1 )
N1 B1 0 n1 I1 0 I1 l 则穿过半径为 r2 的螺线管2
的磁通量为
21 N 2Φ21 N 2 B1 (πr1 )
2
n2lB1 (πr )
2 1
0 n1n2l ( πr1 ) I 1
磁通用ϕ21表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1
的磁通用ϕ12表示，则ϕ21和ϕ12的大小关系为：
(A) ϕ21=ϕ12 ．
(B) ϕ21>ϕ12 ．
I S
［ A
I 1
］
(C) ϕ21<ϕ12 ．
(D) ϕ21=ϕ12/2 ．
2S
2
二 互感电动势 互感
路中所产生的磁通量
I1 在 I 2 电流回
B1
I1
B2
I2 I 2 在 I1 电流回路中所产生的磁通量 12 M12 I 2
1 ）互感 （理论可证明） 物理意义
21 M 21I1
M12 M 21 M
21
I1

12
I2
在数值上等于一个回路中的电流为一个
b
I d
o x
dx
l
x
2π x I dΦ B ds l dx 2π x d b I Φ l dx d 2π x
B
I
I
b
Φ
d b
I
2π x
d
l dx
d o x dx
I
b 2 b 2
l
x
bd ln( ) 2π d Φ l bd M ln( ) I 2π d
dI L L dt
物理意义 2. 自感L：表示自感电动势阻碍电流变化的能力. 单位 亨利(H) 1 亨利(H)= 1 韦伯 / 安培(Wb / A)
1mH 10 H , 1μ H 10 H
注意
无铁磁质时，自感L仅与回路的形状、大小、 匝数以及周围的磁介质有关.
3
6
例1
如图的长直密绕螺线管,已知
da ln π a
0 Il d a 1
0 Il
P o
x x dx
d
da L ln I π a

0l
一般情况自感可由实验测定
L
dI L dt
自感现象的应用:
感应圈 —— 稳流 LC 谐振电路 ——向外输送电磁波 滤波电路 —— 通低频、阻高频
作业
P333 8-18 8-21 8-22
B
I
2 πr
R1 Q
R
如图在两圆筒间取一长 为 l 的面 PQRS, 并将其分 成许多小面元.
I
I r
P
R2
l
S
dr
则 dΦ B dS Bl dr R 2 I Φ dΦ ldr R1 2 πr
Φ dΦ
即
R2
I
2π r
ldr
I
R1
R1 Q
R
R2 Φ ln 2π R1 Φ l R2 L ln I 2π R1
Il
I r
P
R2ห้องสมุดไป่ตู้
l
S
dr
由自感定义可求出
单位长度的自感为
R2 ln 2 π R1

P332：8-21 解
d a
B
0 I
2π x

0 I
2 π(d x)
2a
1 Bldx )dx ( a 2π a x d x