【K12教育学习资料】2018届高考数学二轮复习寒假作业十九计数原理注意解题的速度理

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2018届高考数学二轮复习计数原理专题

计数原理专题[基础达标](30分钟50分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.将3封信投入2个不同的邮筒，则不同的投法有()A.5种B.6种C.8种D.9种C【解析】分三步完成这件事：第一步，投第1封信，有2种投法；第二步，投第2封信，有2种投法；第三步，投第3封信，有2种投法，故共有2×2×2=8种投法.2乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人.要求甲必须在高一年级，乙和丙均不在高三年级，则不同的安排种数为() A.18 B.15 C.12 D.9D【解析】若甲、乙在高一年级，则丙一定在高二年级，此时不同的安排种数为3；若甲、丙在高一年级，则乙一定在高二年级，此时不同的安排种数为3；若甲在高一年级，乙、丙在高二年级，此时不同的安排种数为3，所以共有9种不同的安排种数.3.同室的4个人各写了一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺卡不同的分配方式有() A.6种B.9种C.12种D.16种B【解析】按甲拿其他三人的情况可分三类：第一类，甲拿乙的，则有三种情况，分别为乙拿甲、丙拿丁、丁拿丙；乙拿丙、丙拿丁、丁拿甲；乙拿丁、丙拿甲、丁拿丙.同理，其他两类情况甲拿丙和甲拿丁也分别有三种情况，由分类计数原理可知不同的分配方式共有3+3+3=9种.4.一花坛如图，现有5种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法为()A.320B.120C.20D.625A【解析】分四步完成这件事：第一步，在A中种花，有5种种法；第二步，在B中种花，有4种种法；第三步，在C中种花，有4种种法；第四步，在D 中种花，有4种种法，根据分步计数原理得共有5×4×4×4=320种种法.50，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A.243 B.252 C.261 D.279B【解析】0，1，2，…，9共能组成9×10×10=900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8=648个，所以有重复数字的三位数有900-648=252个.二、填空题(每小题5分，共15分)6.设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立A→B的映射个数为.8【解析】分三步，每一步都有2种方法，故可建立A→B的映射个数为2×2×2=8.7A，B，C，D，E五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试(并且只能选2所高校)，同学甲特别喜欢A 高校，他除了选A校外，在B，C，D，E中再随机选一所，同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所，则甲同学未选中B高校且乙、丙都选中B高校的种数为.48【解析】甲同学有3种选法，乙、丙同学都分别有4种选法，由分步乘法计数原理可得共有3×4×4=48种不同选法.82名男生，3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数为.(用数字作答)24【解析】若参加乐器培训的是女生，则参加舞蹈培训和演唱培训的都是1名男生和1名女生，共有3×2×2=12种方案；若参加乐器培训的是男生，则参加舞蹈培训的有1名男生和1名女生或是2名女生，剩下的2人参加演唱培训，共有2×(3+3)=12种方案，所以共有24种推荐方案.三、解答题(共10分)9.(10分10人，每人至少会英语和法语中的一门，其中8人会英语，5人会法语.(1)从中任选一个会外语的人，有多少种选法?(2)从中选出会英语与会法语的各1人并安排到相应工作岗位，有多少种不同的安排方法?【解析】(1)由于8+5=13>10，所以10人中必有3人既会英语又会法语，5人只会英语，2人只会法语.可分类完成此事：一类是只会英语，一类是既会英语也会法语，一类是只会法语，共有5+3+2=10种.(2)从中选出会英语与会法语的各1人，可以有四种情况.第一种：选出的1人只会英语，另1人只会法语；第二种：选出的1人只会英语，另1人既会英语又会法语；第三种：选出的2人都既会英语又会法语；第四种：选出的1人只会法语.另1人既会英语又会法语.所以5×2+5×3+3×2+2×3=37种方法.[高考冲关](20分钟40分)1.(5分)已知集合A={1，2，3，4}，B={a，b，c}，f：A→B为集合A到集合B 的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有()A.7种B.4种C.8种D.12种A【解析】分三类：第一类，值域C只含有一个元素时，有{a}，{b}，{c}3种情况；第二类，值域C有两个元素时，有{a，b}，{a，c}，{b，c}3种情况；第三类，值域C有三个元素时，有{a，b，c}1种情况，由分类加法计数原理可得值域C的不同情况有3+3+1=7种.2.(5分一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有()A.24种B.72种C.84种D.120种C【解析】如图设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按A→B→C→D顺序涂色，下面分两种情况：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D 只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2=48(种).(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3=36(种).共有48+36=84种.3.(5分)有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是() A.16 B.24 C.32 D.48C【解析】分两类：第一类，第1次测试的产品稳定，第2，3次测试产品不稳定，有8×2×1=16种；第二类，第2次测试的产品稳定，第1，3次测试产品不稳定，有2×8×1=16种，由分类加法计数原理得共有16+16=32种种法.4.(5分)从某班成员分别为3人，3人和4人的三个学习小组中选派4人组成一个环保宣传小组，则每个学习小组都至少有1人的选派方法种数是() A.130 B.128 C.126 D.124C【解析】分三类：第一类，选派人数分别为2，1，1，有3×3×4=36种；第二类，选派人数分别为1，2，1，有3×3×4=36种；第三类，选派人数分别为1，1，2，有3×3×6=54种，由分类加法计数原理可得共有36+36+54=126种不同选派方法.5.(5分5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是() A.6 B.12 C.24 D.36B【解析】分两步：第一步，将两名英语翻译人员分给甲、乙两个部门，每个部门1名，有2种方法；第二步，将三名电脑编程人员分给甲、乙两个部门，有两类，一是甲部门1名，乙部门2名，有3种方法，二是甲部门2名，乙部门1名，有3种方法，则这一步有6种方法，由分步乘法计数原理得共有2×6=12种不同的分配方案.6.(5分)现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是() A.420 B.560 C.840 D.20 160C【解析】分三步：第一步，从8件商品中取2件，有C82=28种取法；第二步，将取出的第一件商品放入上层，有5种放法；第三步，将取出的第二件商品放入上层，有6种放法，由分步乘法计数原理可得共有28×5×6=840种不同的调整方法.7.(5分)将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有种.12【解析】由于3×3方格中，每行、每列均没有重复数字，因此可从中间斜对角线填起.如图中的△，当△全为1时，有2种(即第1行第2列为2或3，当第2列填2时，第3列只能填3，当第1行填完后，其他行的数字便可确定)，当△全为2或3时，分别有2种，共有6种；当△分别为1，2，3时，也共有6种，共12种.8.(5分)记集合A={1，2，3，4，5，6}，M=m m=a110+a2102+a3103，a1，a2，a3∈A，将M中的元素按从小到大的顺序排列，则第70个元素是.0.264【解析】根据题意，a1，a2，a3∈A，则a1，a2，a3都有6种情况，则m 的值可有6×6×6=216种，故M中有216个元素.当a1=1时，a2，a3有6×6=36种情况，此时m的值有36个，是M中第1到36个元素.当a1=2时，a2，a3有6×6=36种情况，此时m的值有36个，是M中第37到72个元素.其中最大的数为0.266，即M中第72个元素，其第71个元素为0.265，第70个元素为0.264.。

艺体生基础生考点经典讲义-考点19 计数原理和排列组合学生版

考点19 计数原理和排列组合[玩前必备]1．分类加法计数原理完成一件事有n 类不同的方案，在第一类方案中有m 1种不同的方法，在第二类方案中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方案中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情，共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n 个不同的步骤，完成第一步有m 1种不同的方法，完成第二步有m 2种不同的方法，……，完成第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．3．两个计数原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．4．排列与排列数(1) 排列的定义：从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2) 排列数的定义：从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．(3) 排列数公式① 当m ＜n 时，排列称为选排列，排列数为A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)；② 当m ＝n 时，排列称为全排列，排列数为A n n ＝n (n －1)(n －2)…3·2·1．上式右边是自然数1到n 的连乘积，把它叫做n 的阶乘，并用n ！表示，于是A n n ＝n ！．进一步规定0！＝1，于是，A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝[n (n －1)…(n －m ＋1)][(n －m )(n －m －1)…3·2·1](n －m )(n －m －1)…3·2·1 ＝ n ！(n －m )！，即A m n ＝n ！(n －m )！． 5．组合与组合数(1) 组合的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2) 组合数的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．(3) 组合数公式C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！．规定：C0n＝1．(4) 组合数的两个性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m－1n＋C m n．6．排列与组合的区别排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取m个元素〞，而不同点就是前者要“顺序〞，而后者却是“并成一组〞．因此，“有序〞与“无序〞是区别排列与组合的重要标志.[玩转典例]题型一计数原理例1〔2020·浙江高三专题练习〕某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地.(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？例2〔2020·全国高三专题练习〕用0,1,2,3,4五个数字，(1)可以排成多少个三位数字的号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？例3〔2020·辽宁实验中学高三月考〔理〕〕高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，那么不同的参观方案有〔〕A．16种B．18种C．37种D．48种[玩转跟踪]1．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为() A．14B．13C．12 D．102．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．3．如果一个三位正整数如“a1a2a3〞满足a1<a2且a2>a3，那么称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________．题型二排列和排列数例43名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．(6)全体站成一排，甲不站排头乙不站排尾．[玩转跟踪]1.〔2019•上海〕首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，那么不同的安排方法有种〔结果用数值表示〕2.〔2020·全国高三专题练习〕A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，那么不同的座次有〔〕A．60种B．48种C．30种D．24种3．(四川，6)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有() A．144个B．120个C．96个D．72个4．(四川，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，那么不同的排法共有() A．192种B．216种C．240种D．288种题型三组合和组合数例5 男运发动6名，女运发动4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在以下情形中各有多少种选派方法？(1)男运发动3名，女运发动2名；(2)至少有1名女运发动；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运发动．例6 (2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种[玩转跟踪]1．某市工商局对35种商品进行抽样检查，其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？2. (2020·湖南三湘名校联考)“中国梦〞的英文翻译为“China Dream〞，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream〞中取6个不同的字母排成一排，含有“ea〞字母组合(顺序不变)的不同排列共有() A．360种B．480种C．600种D．720种3.〔2020•全国2卷〕4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，那么不同的安排方法共有__________种.题型四排列组合综合问题例7 〔2020•新全国1山东〕6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，那么不同的安排方法共有〔〕A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种[玩转跟踪]1．〔浙江高考〕假设从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，那么不同的取法共有A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种2.〔北京高考〕将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全局部给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是．[玩转练习]1．〔2017山东〕从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．那么抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A ．B ．C ．D ． 2．(2016年全国II)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，那么小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A ．24B ．18C ．12D ．93．〔2016四川〕用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A ．24B ．48C ．60D ．724．(2018全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，那么不同的选法共有___种．〔用数字填写答案〕5．(2018浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．(用数字作答)6．〔2017浙江〕从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人效劳队，要求效劳队中至少有1名女生，共有种不同的选法．〔用数字作答〕12 995184959797．〔2017天津〕用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．〔用数字作答〕8.〔2020•道里区校级一模〕现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，那么甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为()A．36B．24C．22D．209．〔5分〕〔2020•金安区校级模拟〕2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛．假设小赵这时翻开电视，随机翻开其中一个频道，假设在转播奥运比赛，那么停止换台，否那么就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有()A．6种B．24种C．36种D．42种10.〔2020•九龙坡区模拟〕某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有一个1元，1个2元，两个3元〔红包中金额相同视为相同的红包〕，那么甲、乙两人都抢到红包且金额不同的情况有()A．36种B．30种C．24种D．18种11．〔5分〕〔2020•新建区校级模拟〕五经是指：?诗经??尚书??礼记??周易??春秋?，记载了我国古代早期思想文化开展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置．学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，假设每人至少分一本，那么5本书的分配方案种数是()A．360B．240C．150D．9012．〔5分〕〔2020•马鞍山一模〕西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸．203班有包括奔奔、果果在内的5位同学报名参加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，每门课都有人选，那么奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为()A．18B．36C．72D．14413.(2020·辽宁五校协作体联考)在?爸爸去哪儿?第二季第四期中，村长给6位“萌娃〞布置一项搜寻空投食物的任务．：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有________种．14.(2020·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，那么不同的推荐方法共有()A．36种B．24种C．22种D．20种15.(2020·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．那么该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A．120种B．156种C．188种D．240种。

2018版高考复习方案(数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 J单元计数原理(理科2016年)含答案

数学J单元计数原理J1 基本计数原理J2 排列、组合8．J2袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多8．B 取两个球放入盒子有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球个数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球个数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球个数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球个数加1.因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机，所以A，C，D错误．③和④对乙盒中的红球与丙盒中的黑球个数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以乙盒中的红球与丙盒中的黑球个数一样，故选B.4．J2用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A．24 B．48C．60 D．724．D 由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5.分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数，有C13种方法；再将剩下的4个数字排列，有A44种方法．则满足条件的五位数有C13·A44＝72(个)．5．J2如图11，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )图11A ．24B ．18C ．12D ．95．B 由E 到F 有6种走法，由F 到G 有3种走法，由分步乘法计数原理知，共6×3＝18种走法．23．J2、J3、J4 (1)求7C 36－4C 47的值；(2)设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋n C m n －1＋(n ＋1)C m n ＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.23．解：(1)7C 36－4C 47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×44×3×2×1＝0. (2)证明：当n ＝m 时，结论显然成立．当n >m 时，(k ＋1)C mk ＝（k ＋1）·k ！m ！·（k －m ）！＝(m ＋1)·（k ＋1）！（m ＋1）！·[（k ＋1）－（m ＋1）]！＝(m ＋1)C m ＋1k ＋1，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n . 又因为C m ＋1k ＋1＋C m ＋2k ＋1＝C m ＋2k ＋2，所以(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)(C m ＋2k ＋2－C m ＋2k ＋1)，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n .因此(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)C m n ＝(m ＋1)C m m ＋＝(m ＋1)C m ＋2m ＋2＋(m ＋1)＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.J3 二项式定理10．J3 在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)10．60 展开式的通项T r ＋1＝C r 6×16－r ×(－2x )r ＝(－2)r C r 6x r ，令r ＝2，得x 2的系数为(－2)2×C 26＝60.14．J3 (2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案) 14．10 展开式的通项为T r ＋1＝25－r C r 5x 5－r 2，令5－r 2＝3，得r ＝4，故所求系数为2C 45＝10.2．J3，L4 设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( )A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 42．A 由题可知，含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4.。

2018年高考理科数学计数原理精选100题(含答案解析)

2018年高考理科数学计数原理精选100题（含答案解析）一、选择题（本题共47道小题）1.设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对任意的实数x都有f（x）=2x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+1＜2x．若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，+∞）2.过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F做圆x2+y2=a2的切线，切点为M，切线交y轴于点P，且=2，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．3.已知实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C． D．4.一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．55.设n为正整数，（x﹣）n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为（）A．8 B．6 C．5 D．26.将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学，每人至少1本，不同的分配方法数有（）A．24 B．28 C．32 D．367.下列说法中正确的个数是（）（1）从一批产品取出三件产品，设事件A=“三件产品全是次品”，事件B=“三件产品全是正品”，事件C=“三件产品不全是次品”，A，B，C中任何两个均互斥；（2）已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的充要条件；（3）若命题p：∃x∈（0，），x﹣sinx＜0，则￢p：∀x∈（0，），x﹣sinx≥0．A．0 B．1 C．2 D．38.己知x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）9.圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）对称，则+的最小值为（）A．3+2B．9 C．16 D．1810.等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a n}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．3611.复数z满足z（1﹣i）=﹣1﹣i，则|z+2|=（）A．3 B．1 C． D．12.集合M={x|lg（1﹣x）＜1}，N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N=（）A．（﹣9，1）B．（﹣9，1] C．[﹣1，1] D．[﹣1，1）13.已知函数f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2，则使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）14.已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y 轴交于点E，直线 BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则Γ的离心率为（）A．3 B．2 C．D．15.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A．B．C．D．16.设实数x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为（）A．B．10 C．8 D．517.在（x﹣2）10展开式中，二项式系数的最大值为 a，含x7项的系数为b，则=（）A． B． C．D．18.执行如图所示的程序框图，则输出的 a=（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．19.已知数列 {a n}，{b n}满足 b n=a n+a n+1，则“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件20.设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件21.已知△ABC是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且△ABC的面积为，则AB=（）A． B． C．D．322.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v的值为（）A．4 B．5 C．6 D．723.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣3 C．0 D．124.已知集合A={1，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A．{1，4} B．{0，1，4} C．{0，2} D．{0，1，2，4}25.已知函数()222,0,e e ,0,x x x a x f x ax x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（A ）()0,1 （B ）()e,+∞ （C ）()()0,1e,+∞ （D ）()()20,1e ,+∞26.已知直线l ：0mx y m -+=，圆C ：()224x a y -+=.若对任意[1,)a ∈+∞，存在l 被C 截得弦长为2，则实数m 的取值范围是（A ）[（B ）(,)-∞+∞（C ）[ （D ）(,)-∞+∞27.已知1(,2)2P 是函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>图象的一个最高点,,B C 是与P 相邻的两个最低点．若7cos 25BPC ∠=，则()f x 的图象对称中心可以是（A ）()0,0 （B ）()1,0 （C ） ()2,0 （D ）()3,0 28.已知 1.50.5a -=，6log 15b =，5log 16c =，则（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）a c b << 29.下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（A ）()sin f x x x =-（B ）()()()ln 1ln 1f x x x =--+（C ）()e e 2x x f x -+=（D ）()e 1e 1x x f x -=+30.《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）731.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（A ）16π3（B ）11π2（C ）17π3（D ）35π632.已知实数,x y 满足1,30,220,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则z x y =-的最大值为（A ）-1 （B ）13（C ）1 （D ）3 33.已知点(2,1)在双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线上，则E 的离心率等于（A）2（B（C（D）234.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a a -=，549S S -=，则50a = （A ）99（B ）101 （C ） 2500 （D ）4592⨯35.已知z 为复数z 的共轭复数，()1i 2i z -=，则z = （A ）1i --（B ）1i -+（C ）1i -（D ）1i +36.已知集合{}210A x x =-≥，{}210B x x =-≤，则A B =（A ）{}1x x ≥- （B ）{}1x x ≥ （C ）112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（D ）112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭37.已知正方形1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别是边1AA ，1CC 的中点，点M 是1BB 上的动点，过点E ，M ，F 的平面与棱1DD 交于点N ，设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =，则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（）．A ．23()22,[0,1]2f x x x x =-+∈B ．31,0,22()11,,122x x f x x x ⎧⎡⎫-∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩C ．22312,0,22()312(1),,122x x f x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪--+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩D ．23()22,[0,1]2f x x x x =-++∈38.已知函数()f x 的零点为1x ，()422x g x x =+-的零点为2x ，12||0.25x x -≤，()f x 可以是（）． A ．2()1f x x =-B ．()24x f x =-C ．()ln(1)f x x =- D ．()82f x x =-39.平面向量a 与b的夹角为120︒，(2,0)a = ，||1b = ，则|2|a b += （）．A ．4B ．3C ．2D 40.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当2π3x =时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（）． A ．(2)(2)(0)f f f <-< B ．(0)(2)(2)f f f <<- C ．(2)(0)(2)f f f -<<D ．(2)(0)(2)f f f <<-41.已知点00(,)P x y 在抛物线2:4W y x =上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为（）． A ．12B ．1C ．32D ．242.已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，给定下列四个命题： ①a b ∥，a b αα⇒∥∥；②a b ⊥，a b αα⇒⊥∥； ③a α∥，a βαβ⇒∥∥；④a α⊥，a βαβ⇒⊥∥．其中不正确的是（）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个43.已知()f x 是定义在(2,)a a -上的奇函数，则(0)f a +的值为（）． A ．0B ．1C ．1-D ．244.集合{}|2,0x M y y x ==>，{}2|log N y y x ==，那么“x M ∈”是“x ∈N ”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 45.在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，则该四面体的体积为（）．A ．2B ．43CD ．2346.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()0xf x >的解集为（）．A ．(,4)(4,)-∞-+∞B ．(4,0)(4,)-+∞C ．(,4)(0,4)-∞-D ．(4,4)-47.直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线（）．A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+二、填空题（本题共24道小题）48.已知函数，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则实数t的取值范围为．49.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为．50.已知θ是第四象限角，且，则cosθ= ．51.在△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则= ．52.已知x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，则sin（x1+x2）= ．53.设F1，F2为椭圆的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，则椭圆C的方程为．54.函数的最小值为．55.向量（3，4）在向量（1，2）上的投影为．56.如图，一张A4,E F分别为AD,BC的中点．现分别将△ABE,△CDF沿BE,DF折起，且A,C在平面BFDE同侧，下列命题正确的是__________．（写出所有正确命题的序号）HG F E DC B A①A ,G ,H ,C 四点共面；②当平面ABE 平面CDF 时， AC 平面BFDE ；③当A ,C 重合于点P 时，平面PDE ⊥平面PBF ；④当A ,C 重合于点P 时，设平面PBE 平面PDF =l ，则l 平面BFDE ． 57.设O 为坐标原点，点,A B 在直线(0)y x m m =+>上.若OAB ∆是斜边长为2的等腰直角三角形，则实数m =__________.58.已知向量,a b 的夹角为π4，=a，+=a b =b ___________． 59.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点1(2，则πcos()3θ+=________. 60.若对任意x A ∈，(,)y B A R B R ∈⊆⊆有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y 为关于x ，y 的二元函数，现定义满足下列性质的(,)f x y 为关于实数x ，y 的广义“距离”．（1）非负性：(,)0f x y ≥，当且仅当x y =时取等号；（2）对称性：(,)(,)f x y f y x =；（3）三角形不等式：(,)(,)(,)f x y f x z f z y +≤对任意的实数z 均成立．给出三个二元函数：①(,)||f x y x y =-；②2(,)()f x y x y =-；③(,)f x y 则所有能够成为关于x ，y 的广义“距离”的序号为__________．61.A 、B 两地街道如图所示，某人要从A 地前往B 地，则路最短的走法有__________种．AB62.复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=-，则12z z 实部的最大值__________，虚部的最大值__________．63.椭圆一个长轴的一个顶点为A ，以A 为直角顶点做一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则此直角三角形的面积等于__________．64.已知直线(23)50t x y -++=不通过第一象限，则实数t 的取值范围__________． 65.一个几何图的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．主视图俯视图侧视图66.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a =4c =，60A =︒，则b =__________．67.已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≤≤，使(0)z x ay a =+>取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为__________．68.．如图中的曲线为2()2f x x x =-，则阴影部分面积为__________．69.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是__________．70.已知方程22240x y x y m +--+=表示圆，则m 的取值范围为__________．71.已知平面量(2,1)a = ，(1,3)b =- ，若向量()a a b λ+ ⊥，则实数λ的值是__________．三、解答题72.已知函数f （x ）=alnx++1，曲线y=f （x ）在点（1，2）处切线平行于x 轴．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当x ＞1时，不等式（x ﹣1）f （x ）＞（x ﹣k ）lnx 恒成立，求实数k 的取值范围． 73.已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，抛物线y 2=4x 与椭圆C 有相同的焦点，且椭圆C 过点．（I ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若椭圆C 的右顶点为A ，直线l 交椭圆C 于E 、F 两点（E 、F 与A 点不重合），且满足AE ⊥AF ，若点P 为EF 中点，求直线AP 斜率的最大值．74.如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1B1B为边长为2的正方形，四边形BB1C1C为菱形，∠BB1C1=60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，点E、F分别是B1C，AA1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．75.某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都分为正品与次品．其中生产甲产品为正品的概率是，生产乙产品为正品的概率是；生产甲乙两种产品相互独立，互不影响．生产一件甲产品，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件乙产品，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．计算以下问题：（Ⅰ）记X为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）求生产4件产品甲所获得的利润不少于110元的概率．76.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴；（2）将函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移个单位，得函数g（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=6，且g（B）=0，求b的取值范围．77.已知数列{a n}中，a1=2，，数列{b n}中，，其中n∈N*；（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）若S n是数列{b n}的前n项和，求的值．78.已知C1在直角坐标系下的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C2：ρ=2cosθ﹣4sinθ．（Ⅰ）将C1的方程化为普通方程，并求出C2的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C1和C2两交点之间的距离．79.已知函数．（1）求y=f（x）的最大值；（2）当时，函数y=g（x），（x∈（0，e]）有最小值．记g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．80.已知抛物线C：x2=2py（p＞0），圆O：x2+y2=1．（1）若抛物线C的焦点F在圆上，且A为 C和圆 O的一个交点，求|AF|；（2）若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值．81.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PB=PC=PD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若PA=2，求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．82.已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，f（x）的最小值为2，求a的值．83.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知acosAcosB﹣bsin2A﹣ccosA=2bcosB ．（1）求B ；（2）若，求a ． 84.函数()1ln 1x f x kx x+=-- . （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当()0,1x ∈时，若24e e 1kx kx x x--<- ，求实数k 的取值范围. 85.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，上顶点为B . 点P 在E 上，点(0,2)D b -，PBD ∆的最大面积等于2. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）若直线DP 与E 交于另一点Q ，直线,BP BQ 分别与x 轴交于点,M N ，试判断OM ON ⋅是否为定值. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的上顶点为B ，点(0,2)D b -，P 是E 上且不在y 轴上的点，直线DP 与E 交于另一点Q .若E 的离心率为2，PBD ∆的最大面积等于2. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）若直线,BP BQ 分别与x 轴交于点,M N ，试判断OM ON ⋅是否为定值. 86.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，12BC CD AB ==，AP PD =，90APD ABC BCD ∠=∠=∠= ．（Ⅰ）求证：AP ⊥平面PBD ；（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成角的余弦值．DC B AP87. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知()sin sin sin a b A c C b B -=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为6，求ABC ∆的面积的最大值．88.数列{}n a 是公差大于0的等差数列，数列{}n b 是公比为2的等比数列，11a =，1b 是1a 与2a 的等差中项，2b 是21a - 与51a -的等比中项.（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和.89.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(,)(0)4p A a a >在C 上，3AF =. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线AF 与C 交于另一点B ，求AF BF 的值.90. 已知椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心离为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =．（Ⅰ）求m 的值．（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，记PMF △和PNF △的面积分别为1S 、2S ，求证：12||||S PM S PN =． 91. 已知函数21()(1)(1)ln 2f x x a x a x =-+++-，a ∈R ．（Ⅰ）当3a =时，求曲线:()C y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，若曲线:()C y f x =上的点(,)x y 都在不等式组12,,3,2x x y y x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪+⎩≤≤≤≤所表示的平面区域内，试求a 的取值范围．92.已知常数0m >，向量(0,1)a = ，(,0)b m = 经过点(,0)A m ，以a b λ+ 为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ- 为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ．（1）求点P 的轨迹方程，并指出轨迹E ．（2）若点(1,0)C，当m =M 为轨迹E 上任意一点，求||MC 的最小值． 93.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD =︒∠，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP =︒∠，2AB AC PA ===，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ．（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：M E ∥平面PAB ．（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所在的角相等，求PM PD的值． MF E C BAPD 94.学校高一年级开设A 、B 、C 、D 、E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率．（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望． 95.在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．角π6A =，(12c b =．（1）求角C 的值．（2）若1CA CB ⋅=+ a 、b 、c 的值．96.设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ．（1）若1a =，求函数()f x 的单调区间．（2）若函数()f x 在区间(0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围．（3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切点的横坐标为1． 97.如图，在三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1AC AB AA ==，E ，F 分别是棱BC ，1A A 的中点，G 为棱1CC 上的一点，且1C F ∥平面AEG ．（1）求1CG CC 的值．（2）求证：1EG AC ⊥．（3）求二面角1A AG E --的余弦值．A 1B 1C 1GF A B CE98. 已知等比数列{}n a 中，11a =，48a =．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若3a ，5a 分别为等差数列{}n b 的第6项和第8项，求123||||||||(*)n b b b b n +++∈N ．99.已知向量(sin ,2)a x =- ，(1,cos )b x = 互相垂直，其中π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求sin x ，cos x 的值．（2）若5cos()x θθ-=，π02θ<<，求cos θ的值． 100.已知圆C过点(0,1)，，且圆心C在y轴上．（1）求圆C的标准方程．（2）若过原点的直线l与圆C无交点，求直线l斜率的取值范围．答案1.C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用构造法设g（x）=f（x）﹣x2，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果．【解答】解：∵f（x）=2x2﹣f（﹣x），∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，设g（x）=f（x）﹣x2，则g（x）+g（﹣x）=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+1＜2x，g′（x）=f′（x）﹣2x＜﹣1，故函数g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，故函数g（x）在（0，+∞）上也是减函数，若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，则f（m+2）﹣（m+2）2≤f（﹣m）﹣m2，即g（m+2）＜g（﹣m），∴m+2≥﹣m，解得：m≥﹣1，故选：C．2.B【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出M的坐标，代入圆的方程求得离心率．【解答】解：设P（0，3y），则M（c，2y），则∵OM⊥PF，∴=﹣1，取y=，M的坐标代入圆x2+y2=a2，即圆c2+=a2，∴，故选：B．3.A【考点】简单线性规划．【分析】利用分式函数的性质，转化为直线的斜率，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由约束条件得到可行域如图：则z==3﹣，则z 的几何意义是区域内的点到定点M （﹣1，﹣1）的斜率的最小值的相反数与3的和，由图象可知区域边界点A （1.5，2）连接的直线斜率最小为，所以z 的最大值为3﹣=；故选：A ．4.A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，三棱柱的体积V 1为=2剪去的三棱锥体积V 2为： =所以几何体的体积为：2﹣=，故选：A ． 5.C【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得n 与r 的关系，从而确定n 的取值．【解答】解：∵（x ﹣）n 展开式的通项公式为 T r+1=C 2n ﹣r （﹣1）r，令n ﹣r=0，即n=r ，故n 应该是5的倍数，故选：C．6.B【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由敌意分为3类，第一类，先选1人得到两本语文书，剩下的3人各得一本，第二类，先选1人得到一本语文书和一本数学书，其余3人各一本书，第三类，先选1人得到两本数学书，剩下的3人各得一本根据分类计数原理可得．【解答】解：第一类，先选1人得到两本语文书，剩下的3人各得一本，有C41C31=12种，第二类，先选1人得到一本语文书和一本数学书，其余3人各一本书，有C41C31=12种，第三类，先选1人得到两本数学书，剩下的3人各得一本，有C41=4种，根据分类计数原理可得，12+12+4种，故选：B．7.B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由互斥事件的概念判断（1）；举例说明（2）错误；写出全程命题的否定判断（3）．【解答】解：（1）事件C=“三件产品不全是次品”，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，B⊂C，故B，C不互斥，（1）错误；（2）当a=1，b=0时，有＞此时lnb无意义，故（2）错误；（3）若命题p：∃x∈（0，），x﹣sinx＜0，则￢p：∀x∈（0，），x﹣sinx≥0，故（3）正确．∴正确的说法只有（3）．故选：B．8.A【考点】正弦函数的图象．【分析】由极值点可求得φ的值，再求2kπ+＜2x﹣＜2kπ+中x的取值范围，可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项求出答案．【解答】解：x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，∴sin[2³（﹣）+φ]=﹣1，∴﹣+φ=2kπ﹣，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣），令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，）．故选：A．9.D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）对称，说明直线经过圆心，推出a+b=，代入+，利用基本不等式，确定最小值，推出选项．【解答】解：由圆的对称性可得，直线ax﹣2by+1=0必过圆心（﹣2，1），所以a+b=．所以+=2（+）（a+b）=2（5++）≥2（5+4）=18，当且仅当=，即2a=b时取等号，故选D．10.C【考点】等差数列的前n项和．【分析】由韦达定理得a3+a7=4，从而{a n}的前9项和S9==，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，∴a3+a7=4，∴{a n}的前9项和S9===．故选：C．11.D【考点】复数求模．【分析】化简z（1﹣i）=﹣1﹣i，z=﹣i，从而解得．【解答】解：∵z（1﹣i）=﹣1﹣i，∴z（1﹣i）（1+i）=﹣（1+i）2，∴2z=﹣2i，∴z=﹣i，∴z+2=2﹣i，∴|z+2|=，故选：D，12.D【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合M，N，由此利用交集定义能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={x|lg（1﹣x）＜1}=x|﹣9＜x＜1}，N={x|﹣1≤x≤1}，∴M∩N={x|﹣1≤x＜1}=[﹣1，1）．故选：D．13.D【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求出+2x，再由f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，解之即可求出使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2，∴+2x，当x=0时，f′（x）=0，f（x）取最小值，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∵f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，∴f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，整理，得x2﹣2x﹣3＞0，解得x＞3或x＜﹣1，∴使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故选：D．14.A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：∵PF⊥x轴，∴设M（﹣c，0），则A（﹣a，0），B（a，0），AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a），令x=0，则y=，即E（0，），BN的斜率k=﹣，则AE的方程为y=﹣（x﹣a），令x=0，则y=，即N（0，），∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即=，则2（c﹣a）=a+c，即c=3a，则离心率e==3，故选：A15.A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时： =R2，∴R=，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：==．故选：A．16.B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域为：z=x2+y2的几何意义是可行域的点到坐标原点距离的平方，显然A到原点距离的平方最小，由，可得A（3，1），则z=x2+y2的最小值为：10．故选：B．17.D【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，即可得出结论．【解答】解：由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，∴=﹣，故选D．18.C【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的b，a，i的值，观察a的取值规律，可得当i=40时不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，a=﹣4满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=2满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣，a=﹣，i=3满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=4满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=5…观察规律可知，a的取值周期为3，由于40=3³13+1，可得：满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=40不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4．故选：C．19.A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：若数列{a n}为等差数列，设公差为d，则当n≥2时，b n﹣b n﹣1=a n+a n+1﹣a n﹣1﹣a n=a n+1﹣a n+a n﹣a n﹣1=2d为常数，则数列{b n}为等差数列，即充分性成立，若数列{b n}为等差数列，设公差为b，则n≥2时，b n﹣b n﹣1=a n+a n+1﹣a n﹣1﹣a n=a n+1﹣a n﹣1=d为常数，则无法推出a n﹣a n﹣1为常数，即无法判断数列{a n}为等差数列，即必要性不成立，即“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”充分不必要条件，故选：A20.D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{a n}不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．21.B【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据题意和三角形的面积公式求出sinC的值，由内角的范围、特殊角的正弦值求出角C，再分别利用余弦定理求出AB的值，并利用余弦定理验证是否符合条件．【解答】解：由题意得，钝角三角形ABC，若AC=1，BC=2，且△ABC的面积为，则³sinC=，解得sinC=，由0＜C＜π得，C=或，当C=时，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC=1+4﹣2³1³=3，AB=，则A是最大角，cosA=0，则A是直角，这与三角形是钝角三角形矛盾，所以C=，则AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC=1+4+2³1³=7，则AB=，故选：B．22.C【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的v，i的值，当i=﹣1时不满足条件i ≥0，退出循环，输出v的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=2，a0=1，a1=2，a2=3，v=3，i=1满足条件i≥0，执行循环体，v=5，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=6，i=﹣1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．故选：C．23.A【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A （，），由z=x ﹣2y 得：y=x ﹣z ，平移直线y=x ，结合图象直线过A （，）时，z 最小，z 的最小值是：﹣，故选：A ． 24.D【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∪B ．【解答】解：∵集合A={1，4}， B={y|y=log 2x ，x ∈A}={0，2}， ∴A ∪B={0，1，2，4}．故选：D ． 25.D【命题意图】本小题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的图象、复合函数的图象以及零点问题等知识点；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识；考查数形结合思想、分类与整合、函数与方程思想；考查数学抽象、数学运算和数据分析等. 【试题简析】解法一：当0x =时，2()1e 0f x =--≠，故0x =不是函数()f x 的零点.当(0,)x ∈+∞时，()0f x =等价于2e e x a x +=，令2e e ()(0)x g x x x +=>，则22e e e ()x x x g x x--'=，当2x <时，()0g x '<，当2x =时，()0g x '=，当2x >时，()0g x '>；所以2()[e ,)g x ∈+∞，①当01a <<时，()f x 在(,0)-∞有两个零点，故()f x 在(0,)+∞没有零点，从而2e a <，所以01a <<；②当0a ≤或1a =时，()f x 在(,0)-∞有一个零点，故()f x 在(0,)+∞有一个零点，此时不合题意；③当1a >时，()f x 在(,0)-∞有没有零点，故()f x 在(0,)+∞有两个零点，从而2e a >.综上可得01a <<或2e a >.故选D.解法二：当[0,)x ∈+∞时，2()e e x f x ax =-+-，()e x f x a '=-+，①当01a <<时，()f x 在(,0)-∞有两个零点，又当[0,)x ∈+∞时，2max ()(ln 1)e 0f x a a =--<，故()f x 在[0,)+∞没有零点，所以01a <<；②当0a ≤或1a =时，()f x 在(,0)-∞有一个零点，又当[0,)x ∈+∞时，()e 0x f x a '=-+<，()f x 在[0,)+∞上单调递减，故2()(0)1e 0f x f ≤=--<，不合题意；③当1a >时，()f x 在(,0)-∞有没有零点，此时()f x 在[0,)+∞上必有两个零点.当[0,)x ∈+∞时，当ln x a <时，()0f x '>，当ln x a =时，()0f x '=，当ln x a >时，()0f x '<，所以2max ()(ln )ln e f x f a a a a ==-+-，要使()f x 在[0,)+∞上必有两个零点，只需满足2max ()(ln )ln e 0f x f a a a a ==-+->.令2()ln e g t t t t =--，则'()ln g t t =，当1t >时，'()0g x >，故()g t 单调递增.又2(e )0g =，故2ln e 0a a a -+->即2()(e )g a g >，解得2e a >.综上可得01a <<或2e a >.故选D.【错选原因】错选A ：只会做二次函数部分，无视另一种情况，即左右各有一个零点. 错选B ：用特殊值0或1代入，发现不成立，故排除了其他三个选项得到；错选C ：可能根本没去做，综合了A 和B ，于是选C. 26.C【命题意图】本小题主要考查直线与圆、点到直线的距离、解三角形等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、必然与或然思想；考查数学抽象、数学建模、数学运算与数据分析等. 【试题简析】解法一：由题意可得，圆心C 到l的距离d ===所以223(1)3m a =+-，又因为1a ≥，所以203m <≤，0m ≤<或0m <≤解法二：由题意可得，圆心C 到l的距离d ==又l ：0mx y m -+=恒过定点()1,0A -，1a ≥，所以2AC ≥，另设直线l 的倾斜角为θ，所以sin θ=，所以l的斜率tan [m θ=∈ . 【错选原因】错选A ：在计算223[(1)3]m a =+-时，分子误当成1来计算；错选B ：分离变量时，误把223[(1)3]m a =+-写成22[(1)3]3a m +-=；错选D ：把最后的23m ≤计算成23m ≥ 27.C【命题意图】本小题考查三角函数的图象和性质、解三角形、二倍角公式等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查数形结合思想、化归与转化思想以及函数与方程思想；考查数学抽象、直观想象和数学分析等. 【试题简析】如图，取BC 的中点D ，连结PD ，则4PD =，设BD x =，则PB PC ==，由余弦定理可得，2222(2)cos x BPC =+-∠，解得3x =，57(,2),(,2)22B C ---，,BP CP 的中点都是()f x 图象的对称中心.故选C .【错选原因】错选A ：平时缺乏训练，只记得正弦函数的对称中心是(0,0) 错选B ：误把最高点的2当成了周期；错选D ：这类同学可以求出函数的周期是6，但没注意到函数并未过原点. 28.A【命题意图】本小题主要考查指对数函数等基础知识；考查学生的推理论证能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查数学运算和数据分析.【试题简析】 1.5 1.5655log 15log 15log 16220.5-<<<<= 【错选原因】错选B ：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选D ：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选C ：指数的运算不过关导致. 29.D【命题意图】本小题主要考查函数的图象与奇偶性、单调性、定义域等基础知识；考查学生的运算求解能力；考查数形结合思想、特殊与一般思想；考查数学抽象、直观想象和数学运算等.【试题简析】A 选项：()cos 10f x x '=-≤，不符合图象上升这个条件；B 选项：定义域不关于原点对称；C 选项函数图象先减后增，在0x =时函数取得最小值；故选D 【错选原因】错选A ：符合图象关于原点对称这个条件；错选B ：有的学生可能会通过各种方法判断函数的单调性，却忽略了定义域不关于原点对称；错选C ：有的学生可能根据函数过(0,0)而错选此项.30.C【命题意图】本小题主要考查程序框图，数列求和等基础知识；考查学生的运算求解能力及数据处理能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想；考查数学抽象和数学运算等. 【试题简析】解法一：0,0,1,1i S x y ====开始执行，然后11,11,2,2i S x y ==+==⋅⋅⋅ 111115,(124816)(1)33,32,2481632i S x y ==+++++++++<==，再执行一行，然后输出6i =解法二：本题要解决的问题是数列求和的问题，11211111,2,,2(2)22n n n a a a n --=+=+⋅⋅⋅=+≥1233n a a a ++⋅⋅⋅+≥，解得n 的最小值为6.【错选原因】错选A ：可能把2x x =误当成2xx =来算；错选B ：当执行到5i =时，11113224816S =++++，学生估值失误，误以为会达到33或按四舍五入得到.。

【精品】2018年高考数学(理)总复习双基过关检测：“计数原理”含解析

“计数原理”双基过关检测一、选择题1．(2017·滨州模拟)甲、乙两人从4门课程中选修2门，则甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法有( )A．6种B．12种C．24种D．30种解析：选C 分步完成：第一步，甲、乙选同一门课程有4种方法；第二步，甲从剩余的3门课程选一门有3种方法；第三步，乙从剩余的2门中选出一门课程有2种方法；∴甲、乙恰有1门相同课程的选法有4×3×2＝24(种)．2.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )A．24种B．30种C．36种D．48种解析：选D 按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48(种)．3．(2017·云南师大附中适应性考试)在(a＋x)7展开式中x4的系数为280，则实数a 的值为( )A．1 B．±1C．2 D．±2解析：选C 由题知，C47a3＝280，得a＝2，故选C.4．(2016·佛山二模)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有( )A．10种B．25种C．52种D．24种解析：选D 每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．5．张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人入园顺序的排法种数为( )A．12 B．24C．36 D．48解析：选B 将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上，有2A 33种排法，故总的排法有2×2×A 33＝24(种)．6．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是( )A ．150B ．300C ．600D ．900解析：选C 若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5名教师中选2名，有C 25×A 44＝240种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从6名教师中选4名，共有C 46×A 44＝360种方法．因此共有600种不同的选派方案．7．(2017·成都一中模拟)设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A 令等式中x ＝－1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A.8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20解析：选C lg a －lg b ＝lg a b，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a ，b ，共有A 25＝20种结果，其中lg 13＝lg 39，lg 31＝lg 93，故共可得到不同值的个数为20－2＝18.故选C.二、填空题9.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x5的二项展开式中x 项的系数为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 5·(－1)r ·25－r ·x5－2r.令5－2r ＝1得r ＝2.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中x 项的系数是C 25·(－1)2·25－2＝80.答案：8010．(2016·石家庄模拟)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________(用数字作答)．解析：第1步，把甲、乙分到不同班级有A 22＝2种分法；第2步，分丙、丁：①丙、丁分到同一班级有2种方法； ②丙、丁分到两个不同班有A 22＝2种分法．由分步乘法计数原理，不同的分法为2×(2＋2)＝8(种)．答案：811．如图所示，在A ，B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A ，B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．解析：四个焊点共有24种情况，其中使线路通的情况有：1,4都通，2和3至少有一个通时线路才通，共有3种可能．故不通的情况有24－3＝13(种)可能．答案：1312.(2017·宁波调研)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种．解析：若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有3A 44＝72种涂色法；若1,3同色，有C 14C 13A 22＝24种涂色法．根据分类计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法．答案：96 三、解答题13．已知(a 2＋1)n展开式中的二项式系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项等于54，求正数a 的值．解：⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ·⎝⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r x 20－5r2，令20－5r ＝0，得r ＝4，故常数项T 5＝C 45·165＝16，又(a 2＋1)n展开式的各项系数之和为2n，由题意得2n＝16，∴n ＝4.∴(a 2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝ 3.14．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A77种情况．所以符合题意的七位数有C34C45A77＝100 800个．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34C45A33A55＝14 400个．(3)(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C34C45A33A44A22＝5 760个．。

【配套K12】2018年秋高中数学课时分层作业1分类加法计数原理与分步乘法计数原理新人教A版选修2_

课时分层作业(一)分类加法计数原理与分步乘法计数原理(建议用时：40分钟)一、选择题1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为( )【导学号：95032007】A．10 B．16C．20 D．24A[每一种方法都能证明该问题，根据分类加法计数原理，共有6＋4＝10种不同的选法．]2．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有( ) A．6种B．12种C．30种D．36种B[∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门，∴由乘法原理，可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3＝12种．]3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )【导学号：95032008】A．40 B．16C．13 D．10C[根据直线与直线外一点可以确定一个平面，得：a上任一点与直线b确定一平面，共5个；b上任一点与直线a确定一平面，共8个，由分类加法计数原理得共有5＋8＝13个．]4．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1轨道上，则5列火车的停车方法共有( )【导学号：95032009】A．96种B．24种C．120种D．12种A[先排第1轨道，有4种排法，第2,3,4,5轨道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．]5．晓芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择穿衣服的方式有( )【导学号：95032010】A．24种B．14种C．10种D．9种B[首先分两类．第一类是穿衬衣和裙子，由分步乘法计数原理知共有4×3＝12种，第二类是穿连衣裙有2种．所以由分类加法计数原理知共有12＋2＝14种穿衣服的方式．]二、填空题6．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)14[法一：数字2只出现一次的四位数有4个；数字2出现两次的四位数有6个，数字2出现三次的四位数有4个．故总共有4＋6＋4＝14(个)．法二：由数字2,3组成的四位数共有24＝16个．其中没有数字2的四位数只有1个，没有数字3的四位数也只有1个，故符合条件的四位数共有16－2＝14(个)．] 7．某班2018年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________.【导学号：95032011】42[将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种)．]8．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点共有________个．17[分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8个在第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17个点在第一、二象限内．]三、解答题9．在一次中美贸易洽谈会上，我方有三名代表分别来自三个工厂，美方有4个代表也来自四个不同的工厂，见面时每人与对方代表握手一次，要求我方代表必须与对方代表签约，且只与一家代表签一次约，问这些人共握手几次？有多少不同的签约结果？【导学号：95032012】[解](1)我方代表甲与对方握手4次，乙、丙也是各握手4次，共4＋4＋4＝12次．(2)我方代表甲有4种签约的可能．同样，乙、丙也有4种可能，完成签约看成分三步完成，∴共有4×4×4＝64种签约结果．10．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.【导学号：95032013】(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？[解]从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．。

2018高考数学(理)二轮复习闯关导练：专题六计数原理、概率与统计、复数、算法

专题六计数原理、概率与统计、复数、算法时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(导学号：50604062)(2017·海西摸底考试)复数3－2i2i的共轭复数对应点在复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．(2017·固原调研)已知等式x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4＝(x ＋1)4＋b 1(x ＋1)3＋b 2(x ＋1)2＋b 3(x ＋1)＋b 4，定义映射f ：(a 1，a 2，a 3，a 4)→(b 1，b 2，b 3，b 4)，则f (4,3,2,1)＝( )A ．(1,2,3,4)B ．(0,3,4,0)C ．(0，－3,4，－1)D ．(－1,0,2，－2) 3．(2017·银川质检)从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A ．224B ．112C ．56D ．28 4．(导学号：50604063)(2017·梧州联考)为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)．根据收集到的数据可知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝150，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝0. 67x ＋54.9，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5的值( )A ．75B ．155.4C ．375D ．466.25．执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．(导学号：50604064)(2017·常德调研)设椭机变量X ～N (3,1)，若P (X ＞4)＝p ，则P (2＜X ＜4)＝( )A.12＋p B ．1－p C ．1－2p D.12－p 7．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲乙两人都抢到红包的情况有( )A ．35种B ．24种C ．18种D ．9，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．189．(导学号：50604065)已知实数a ，b 满足0≤a ≤1,0≤b ≤1，则实数y ＝13x 3－ax 2＋bx＋c 有极值的概率( )A.14B.13C.12D.23 10．(2017·平凉质检)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i＋a (a 为非零数常，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋a11．(导学号：50604066)(2017·甘南一模)随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12＜X ＜52)的值为( )A.23B.34C.45D.5612．(2017·金昌调研)10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6826， P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.9544.A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(导学号：50604067)(2017·大理质检)设n ＝20π⎰4sin x d x ，则(x ＋2x )(x －2x)n 的展开式中各项系数和为__________．14．(2017·玉溪调研)高三(2)、乙两组各12名同学的成绩进行统计分析，两组成绩的茎叶图如图所示，成绩不少于90分为及格，现从两组成绩中按分层抽样抽取一个容量为6的样本，则不及格分数应抽__________个．15．(导学号：50604068)阅读如图所示的程序框图，则运行后输出的结果是__________．16．某项游戏活动的奖励分成一a1为首项，公比为2的等比数列，相应奖金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金ξ的期望为__________元．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(导学号：50604069)(2017·黔南一模)(本小题满分10分)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．18．(导学号：50604070)(2017·郴州一模)(本小题满分12分)在对人们休闲方式的一次调查中，共调查120人，其中女性70人，男性50人．女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动．(1)(2)参考公式及数据：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)①当K2＞2.706时，有90%的把握认为A、B有关联；②当K2＞3.841时，有95%的把握认为A、B有关联；③当K2＞6.635时，有99%的把握认为A、B有关联．19.(导学号：50604071)(2017·益阳调研)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≤0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？20.(导学号：50604072)(2017·茂名调研)(本小题满分12分)炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料溶化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y(从(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程．(3)预报当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？参考公式：r ＝∑x i y i －n x －y－(∑x 2i －n x －2)(∑y 2i－n y －2) b ＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －，线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^21.(导学号：50604073)(2017·鄂州一模)(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别椭机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)记事件用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．22.(导学号：50604074)(2017·黄石联考)(本小题满分12分)随机将1,2，…，2n(n ∈N *，n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ，B 两组，每组n 个数．A 组最小数为a 1，最大数为a 2；B 组最小数为b 1，最大数为b 2，记ξ＝a 2－a 1，η＝b 2－b 1.(1)当n ＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率P (C )；(3)对(2)中的事件C ，C 表示C 的对立事件，判断P (C )和P (C )的大小关系，并说明理由．专题六计数原理、概率与统计、复数、算法1.B 3－2i 2i ＝(3－2i )×(－i )2i ×(－i )＝－2－3i 2＝－1－32i.其共轭复数为－1＋32i ，对应点在第二象限．2．C ∵x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4＝[(x ＋1)－1]4＋b 1[(x ＋1)－1]3＋b 2[(x ＋1)－1]2＋b 3[(x ＋1)－1]＋b 4∴f (4,3,2,1)＝[(x ＋1)－1]4＋4[(x ＋1)－1]3＋3[(x ＋1)－1]2＋2[(x ＋1)－1]＋1，∴b 1＝C 14(－1)＋4C 03＝0，b 2＝C 24(－1)2＋4C 13(－1)＋C 02＝－3 b 3＝4，b 4＝－1，故选C.3．B 根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以取2个女生1个男生的方法有C 28C 14＝112(种)，故选B.4．C 由题意，得x ＝15(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＝30，且回归直线y ^＝0.67x ＋54.96恒过点(x ，y )，则y ＝0.67×30＋54.9＝75，y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＝5y ＝375，故选C.5．C 运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S ＞0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S ＞0.01；运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.0625，n ＝3，S ＞0.01；运行第四次：S ＝0.125－0.0625＝0.0625，m ＝0.03125，n ＝4，S ＞0.01；运行第五次：S ＝0.03125，m ＝0.015625，n ＝5，S ＞0.01；运行第六次：S ＝0.015625，m ＝0.0078125，n ＝6，S ＞0.01；运行第七次：S ＝0.0078125，m ＝0.00390625，n ＝7，S ＜0.01. 输出n ＝7.故选C.6．C 根据正态分布曲线关于x ＝3对称，所以P (X ＞4)＝P (X ＜2)＝p ，所以P (2＜X ＜4)＝1－2p ，故选C.7．C 若甲乙抢的是一个2和一个3元的，剩下2个红包，被剩下3人中的2人抢走，有A 22A 23＝12种，若甲乙抢的是两个和2元或两个3元的，剩下两个红包，被剩下的3人中的2个抢走，有A 22C 26＝6种，根据分类计数原理可得，共有12＋6＝18种，故选C.8．C 第一组和第二组的频率之和为0.4，故样本容量为200.4＝50，第二组的频率为0.36，故第三组的人数50×0.36＝18，故第三组中有疗效的人数为18－6＝12.9．D y ′＝x 2－2ax ＋b ，若函数y ＝13x 3－ax 2＋bx ＋c 有极值，则只需y ′＝x 2－2ax ＋b 有两个不同的零点，即Δ＝4a 2－4b ＞0，整理可得b ＜a 2.做出0≤a ≤14,0≤b ≤1可行域的图象，如图：可行域中满足b ＜a 2阴影部分的面积 S ＝2×1＋2⎠⎛01a 2da ＝2＋＝2＋2×13＝83，所以所求根率为P ＝832×2＝23.故D 正确．10．A 给每个数据都加上常数a 后，均值也增加a 方差不变．故选A .11．D ∵P(X ＝n)＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54.∴P(12＜X ＜52)＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.12．C 由P(－1＜X ≤1)＝0.6826，得P(0＜X ≤1)＝0.3413，则阴影部分的面积为0.3413，故落入阴影部分的点的个数为10000×0.34131×1＝3413，故选C .13．3 ∵n ＝20π⎰4sin xdx ＝－4cos x＝－4cos π2＋4cos 0＝4，则(x ＋2x )(x －2x )4，令x ＝1，则(x ＋2x )(x －2x)4的展开式中各项系数和为(1＋2)(1－2)4＝3.14．3 从茎叶图可知及格分数与不及格分数各占一半，所以不及格分数应抽3个． 15．－3 依次执行的是S ＝1，i ＝2；S ＝－1，i ＝3；S ＝2，i ＝4；S ＝－2，i ＝5；S ＝3，i ＝6；S ＝－3，i ＝7，此时满足i ＞6，故输出的结果是－3.16．500 ∵a 1＋2a 1＋4a 1＝1，∴a 1＝17，E(ξ)＝17×700＋27×560＋47×420＝500(元)．17．(1)设事件A ：选2人参加义工活动，次数之和为4，P(A)＝C 13C 14＋C 23C 210＝134分 (2)随机变量X 可能取值0,1,2，P(X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P(X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715，P(X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415E(X)＝715＋815＝1.10分18．6分(2)假设H 0：休闲方式与性别无关．计算K 2的值为K 2＝120×(40×30－20×30)270×50×60×60＝247≈3.428而2.706＜3.428＜3.841，∴在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为H 0不成立，即在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为休闲方式与性别有关． ∴我们有90%以上的把握，认为H 0不成立，即我们有90%以上的把握，认为休闲方式与性别有关.12分19．(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4，0.2，0.2，从而P(X ＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X ＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X ＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X ＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X ＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X ＝21)＝2v0.2×0.2＝0.08； P(X ＝22)＝0.2×0.2＝0.04. ∴X4分(2)由(1)知P(X ≤18)＝0.44，P(X ≤19)＝0.68，故n 的最小值为19.8分(3)记Y 表示2台机器在购买易损零上所需的费用(单位：元)．当n ＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)× 0．08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040.当n ＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知当n ＝19时所需费用的期望值小于n ＝20时所需费用的期望值，故应选n ＝19.于是r ＝∑i ＝110x i y i －10 x －y －(∑i ＝110x 2i －10x －2)(∑i ＝110y 2i －10 y －2)≈0.9906＞0.75.∴y 与x 具有线性相关关系.4分(2)利用(1)中所求的数据可以求得a ^，b ^的值为b ^＝∑i ＝110x i y i －10 x －y －∑i ＝110x 2i －10 x －2≈1.267，a ^＝y －－b ^x －＝－30.47，∴所求的回归直线方程y ^＝1.267x －30.47.8分 (3)当x ＝160时， y ^＝1.267×160－30.47≈172(min )，即大约需要冶炼172分钟.12分21．(1)通过茎叶图可以看出，A B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散.6分(2)记C A1表示事件：“A 地区用户的满意等级为满意”；记C A2表示事件：“A 地区用户的满意等级为非常满意”；记C B1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”；记C B2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C ＝C B1C A1∪C B2C A2.P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)＝P(C B1C A1)＋P(C B2C A2)＝P(C B1)P(C A1)＋P(C B2)P(C A2)．由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P(C A1)＝1620，P(C A2)＝420，P(C B1)＝1020，P(B 2)＝820，P(C)＝1020×1620＋820×420＝0.48.12分22．(1)当n ＝3时，ξ的所有可能取值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A 、B 两组，不同的分组方法共有C 36＝20种，所以ξ的分布列为E(ξ)＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝72.4分(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为：n －1，n ，n ＋1，…，2n －2. 又ξ和η恰好相等且等于n －1时，不同的分组方法有2种； ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n ＋k(k ＝1,2，…，n －2)(n ≥3)时，不同的分组方法有2C 22k 种；∴当n ＝2时，P(C)＝46＝23，当n ≥3时，P(C)＝2(2＋∑k ＝1n －2C k 2k )C n2n8分(3)由(2)知，当n ＝2时，P(C )＝13，因此P(C)＞P(C )．而当n ≥3时，P(C)＜P(C )，理由如下：P(C)＜P(C )等价于4(2＋∑k ＝1n －2C k 2k )＜C n2n .①用数学归纳法来证明：1°当n ＝3时，①式左边＝4(2＋C 12)＝4(2＋2)＝16，①式右边＝C 36＝20，所以①式成立． 2°假设n ＝m(m ≥3)时①式成立，即4(2＋∑k ＝1m －2c k 2k )＜C m 2m 成立，那么，当n ＝m ＋1时，左边＝4(2＋∑k ＝1m ＋1－2C k 2k )＝4(2＋∑k ＝1m －2C k 2k )＋4C m －12(m －1)＜C m 2m ＋4C m －12(m －1)＝(2m )！m ！m ！＋4·(2m －2)！(m －1)！(m －1)！＝(m ＋1)2(2m )(2m －2)！(4m －1)(m ＋1)！(m ＋1)！＜(m ＋1)2(2m )(2m －2)！(4m )(m ＋1)！(m ＋1)！＝C m ＋12(m ＋1)·2(m ＋1)m (2m ＋1)(2m －1)＜C m ＋12(m ＋1)＝右边．即当n ＝m ＋1时①式也成立．综合1°，2°得：对于n ≥3的所有正整数，都有P(C)＜P(C )成立.12分。

【K12高考数学】2018高考数学理(13-17高考题)分类汇编：第12章计数原理

第十二章计数原理第1节两个基本计数原理题型135分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.(2013重庆理13）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）.2．（2013四川理8）从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（）A.9B.10C.18D.203.(2013福建理5）满足{}2,1,0,1,-∈b a ，且关于x 的方程022=++b x ax 有实数解的有序数对的个数为（） A.14B.13C.12D.104.（2014福建理10）用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”用表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）.A.()()()555432111c b a a a a a +++++++ B.()()()554325111c b b b b b a +++++++ C.()()()554325111c b b b b b a +++++++D.()()()543255111c c c c c b a +++++++5.（2014大纲理5）有6名男医生，5名女医生，从中选出2名男医生，1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）.A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6.（2014浙江理14）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.7.（2015广东理8）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）. A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于57.解析正四面体的四个顶点两两距离相等，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 可以等于4，而且至多等于4．假设可以等于5，则不妨先取出其中4个点，为A ，B ，C ，D ，则ABCD 构成一个正四面体的四个顶点，设第5个点为点E ，则点E 和点A ，B ，C 也要构成一个正四面体，此时点E 要么跟点D 重合，要么点E和点D 关于平面ABC 对称，但此时DE 的长又不等于AB ，故矛盾．故选B ． 8.（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）. A.24 B.18 C.12 D.98.B 解析从→E F 的最短路径有6种走法，从→F →G 的最短路径有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法.故选B ．9．（2016上海理13）设,,a b ∈R ，[)0,2πc ∈，若对任意实数x 都有()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组(),,a b c 的组数为．9．解析①当2a =时，若3b =，则5π3c =；若3b =-，则4π3c =； ②当2a =-时，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =．共4组．故填4．评注或者如此考虑，当,a b 确定时，c 也唯一确定，因此有224⨯=种组合．10.（2107浙江16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答） 10.解析解法一（间接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），即8名学生中任选4人去掉全是男生的情况有4486C C -种选法；第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有24A 种选法．所以共有()()442864C C A 701512660-⋅=-⨯=种选法．解法二（直接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），其中1女3男有1326C C 种选法，2女2男有2226C C 种选法；第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有24A 种选法．所以共有()()1322226264C C C C A 22011512660+⋅=⨯+⨯⨯=种选法．第2节排列与组合题型136与排列相关的常见问题1.（2013浙江理14）将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）2.（2013山东理10）用0，1，L ，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）.A.243B.252C.261D.2793.（2014重庆理9）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）.A.72B.120C.144D.1684.（2014四川理6）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）.A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种5.（2014辽宁理6）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）.A ．144B ．120C ．72D ．246.（2014北京理13）把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.7.（2015四川理6）6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字五位数，其中比40000大的偶数共有（）.A.144个B.120个C.96个D.72个7.解析由题意可知，万位上只能排4,5.若万位上排4，则有342A 个；若万位上排5，则有343A 个.所以共有33442A 3A 524120+=⨯=（个）.故选B.8.（2016四川理4）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）.A.24B.48C.60D.728.D 解析由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他位置共有44A ，所以其中奇数的个数为443A 72=.故选D.题型137与组合相关的常见问题1．（2013四川理8）从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（） A.9B.10C.18D.202.(2013福建理5）满足{}2,1,0,1,-∈b a ，且关于x 的方程022=++b x ax 有实数解的有序数对的个数为（） A.14B.13C.12D.103.（2015广东理12）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）3.解析两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了240A 40391560=⨯=条毕业留言．故应填1560．4.（2016全国丙理12）定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m …，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有（）.A.18个B.16个C.14个D.12个4.C 解析依题意，由“规范01数列”，得第一项为0，第2m 项为1，当4m =时，只需确定中间的6个元素即可，且知中间的6个元素有3个“0”和3个“1”. 分类讨论：①若0后接00，如图所示.后面四个空位可以随意安排3个1和1个0，则有34C 种排法；②若0后接01如图所示.后面四个空位可以排的数字为2个“0”和2个“1”，只有一种情形不符合题意，即01后面紧接11，除此外其它的情形故满足要求，因此排法有24C 15-=种排法； ③若0后接10，如图所示.在10后若接0，则后面有13C 种排法，在10后若接1，即010101，第五个数字一定接0，另外两个位置0，1可以随意排，有22A 中排法，则满足题意的排法有312432C 5C A 14+++=种.故选C.题型138排列与与组合综合的常见问题——暂无1.（2016江苏23）（1）求34677C 4C -的值；（2）设*,m n ∈N ，n m…，求证：()()()121C 2C 3C m m mm m m m m m +++++++++L ()()212C 1C 1C m m m n n n n n m +-+++=+．1.解析（1）34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=；（2）证法一（组合数性质）：因为()()()!1C 1!!mk k k k m k m +=+-()()()()()1!11!11!k m m k m +=++---⎡⎤⎣⎦()111C m k m ++=+，所以左边()()()1111211C 1C 1C =m m m m m n m m m ++++++=++++⋅⋅⋅++ ()()111112311C C C C m m m m m m m n m +++++++++++++L ，又因为111C C C k k kn n n ---+=，所以左边()()211122311C C C C m m m m m m m n m ++++++++=+++++L ()()2113311C C C =m m m m m n m ++++++=++++L ()()21411C C m m m n m +++++++L=⋅⋅⋅()()21+111C C m m n n m +++=++()2+21C m n m +=+=右边．证法二（数学归纳法）：对任意的*m ∈N ，①当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立. ②假设()n k k m =…时命题成立，即()()()121C 2C 3C m m m m m m m m m +++++++++L ()()212C 1C 1C m m m k k k k k m +-+++=+，当1n k =+时，左边()()()121C 2C 3C m m m m m m m m m ++=+++++++L ()()11C 1C 2C m m mk k k k k k -+++++ ()()2211C 2C m mk k m k +++=+++. 又由于右边()231C m k m ++=+，而()()22321C1C=m m k k m m +++++-+()()()()()()()3!2!1=2!1!2!!k k m m k m m k m ⎡⎤+++-⎢⎥+-++-⎣⎦()()()()()2!1312!1!k m k k m m k m ++⨯+--+⎡⎤⎣⎦+-+()()()1!2!1!k k m k m +=+-+()12C m k k +=+．因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立．综合①②可得命题对任意n m …均成立．评注本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型．组合数的运算性质不仅有111C C C m m m k k k ++++=，C C m k m k k-=，11C C k k n n k n --⋅=⋅，而且还有此题中出现的()()111C 1C m m k k k m +++=+(),1,,k m m n =+L，这些不需记忆，但需会推导，平时善于总结才是突破此类问题的核心．2.（2017天津理14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个（用数字作答）. 2.解析依题意按分类计数原理操作：(1)当没有一个数字是偶数时，从1，3，5，7，9这五个数字中任取四个数，再进行全排列得无重复数字的四位数有45A 120=个(或4454C A 120=个)；(2)当仅有一个数字是偶数时，先从2，4，6，8中任取一个数，再从1，3，5，7，9中任取三个数，然后再进行全排列得到无重复数字的四位数有134454C C A 960=.故由分类计数原理得这样的四位数共有1209601080N =+=个.3.（2017全国2卷理科6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）. A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种3．解析只能是一个人完成2项工作，剩下的2人各完成一项工作．由此把4项工作分成3份再全排得2343C A 36⋅=.故选D.第3节二项式定理题型139二项式定理展开式的通项及系数1.(2013全国新课标卷理5）已知()()511ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（）.A.4-B.3-C.2-D.1-2.（2013辽宁理7）使得()3nx n +⎛∈ ⎝N 的展开式中含有常数项的最小的n 为（）. A.4B.5C.6D.73.(2013陕西理8）设函数()61<0x x f x x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩≥，，则当>0x 时，()f f x ⎡⎤⎣⎦表达式的展开式中常数项为（）.A.20-B.20C.15-D.154．（2013江西理5）5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）.A ．80B ．-80C ．40D ．-405．（2013四川理11）二项式5()x y +的展开式中，含23xy的项的系数是____________．（用数字作答）9.(2013天津理10）6x ⎛⎝的二项展开式中的常数项为．6.(2013安徽理11）若8x ⎛⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =. 7.（2013浙江理11）设二项式5的展开式中常数项为A ，则=A ________.8.（2014浙江理5）在()()6411x y ++的展开式中，记mn xy 项的系数为(),f m n ，则()()()()3,02,11,20,3f f f f +++=（）.A.45B.60C.120D.2109.（2014四川理2）在()61x x +的展开式中，含3x 项的系数为（）. A ．30B ．20C ．15D ．1010.（2014湖南理4）5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是（）.A.20-B.5-C.5D.2011.（2014湖北理2）若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =（）.A.2C.1D.412.（2014安徽理13）设0a ≠，n 是大于1的自然数，1nx a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为2012nn a a x a x a x ++++….若点()i i A i a ,，()012i =,,的位置如图所示，则a =.13.（2014大纲理13）8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为. 14.（2014山东理14）若46b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 .15.（2014新课标1理13）()()8x y x y -+的展开式中27xy的系数为.（用数字填写答案）16.（2014新课标2理13）()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a=.（用数字填写答案）17.（2015湖南理6）已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（）.A.B.6-17.解析5215C (1)rrr rr T a x-+=-，令5322r -=，解得1=r ，可得530a -=，6a =-. 故选D.18.（2015全国1理10）()52x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（）.A ．10B ．20C ．30D ．60 18.解析()()5522x x yx x y ⎡⎤++=++⎣⎦．展开式中含2y 的项为： ()522225C x x y -+=()32225C x x y +，而()32x x +中含5x 的项为()2121533C C x x x =，所以52xy的系数为2153C C 30⨯=.故选C ．19.（2015陕西理4）二项式*(1)()nn x +∈N 的展开式中2x 的系数为15，则n =（）． A ．4B ．5C ．6D ．719.解析根据二项式定理，2x 的系数应该为22C C 15n n n -==，得()1152n n -=，所以6n =.故选C.20.（2015湖北理3）已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）． A ．122 B ．112 C ．102 D ．92 20.解析由条件知37C C nn =，得10n =.奇数项的二项式系数和为101922-=.故选D. 21.(2015安徽理11)731x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是________（用数字填写答案）.21.解析因为()732141771C C rrrr rr T xxx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令2145r -=，得4r =，所以47C 35=，即5x 的系数是35．22.（2015重庆理12）53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).22.解析由二项式的定()7155315322155511CC C 22r r rr r rr r r r r T x xx x ----+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当71582r -=时，易得2r =，故8x 系数为22515C 22⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭．23.（2015天津理12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为________.23.解析614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66216611C C 44rrr r r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115C 416T x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2x 的系数为1516.24.（2015四川理11）在()521x -的展开式中，含2x 的项的系数是_____________ （用数字填写答案）.24.解析由二项式的展开式的通项公式为()()515C 21rrrr T x -+=-，可知当3r =时，为含2x 的项.所以含2x 的项的系数为()3325C 2140-=-.25.（2015全国2理15）4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 25.解析由题意知，4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x 这五项，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．26.（2015北京理9）在()52x +的展开式中，3x 的系数为____________.（用数字作答）26.解析()52x +展开式的通项公式()515C 2,0,1,2,,5r rr r T x r -+==L ，3x 的系数为325C 240=.27.（2015福建理11）()52x +的展开式中，2x 的系数等于____________．（用数字作答）27.解析()52x +的展开式中2x 项为33225C 280x x =，所以2x 的系数等于80．28.（2015广东理9）在)41的展开式中，x 的系数为___________．28.解析由题可知()()442144C1C 1r rrrrr r T x--+=-=-，令412r-=，解得2r =，所以展开式中x 的系数为()224C 16-=．故应填6．29.（2016北京理10）在()612x -的展开式中，2x 的系数为________________（用数字作答）.29.60解析在()612x -的展开式中，含2x 的项为()22426C 1260x x -=，所以2x 的系数为60.30.（2016四川理2）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（）. A.415x - B.415x C.420i x - D.420i x30.A 解析二项式()6i x +展开的通项616C r r rr T x i -+=，则其展开式中含4x 是当64r -=，即2r =，则展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.31.（2016天津理10）821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中7x 的系数为__________(用数字作答).31.56-解析展开式通项为()()821631881C 1C rrr rr rr T xx x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令1637r -=，得3r =，所以7x 的系数为()3381C 56-=-．32.（2016全国乙理14）(52x +的展开式中，3x 的系数是（用数字填写答案）.32.10解析(52x 的展开式的通项公式为()()55555221555C 2C 2C 20,1,,5kkk kkk kk k k T x xxk -+----+====L .令532k -=，得4k =.故3x 的系数是4545C 210-=. 33.（2016山东理12）若52ax⎛+ ⎝的展开式中，5x 的系数是80-，则实数a =_______. 33.2-解析由题意，5102552155=CC r r rr r rr T ax a x ---+=（.34.（2016上海理8）在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于． 34.解析由题意2256n=，8n =，第1r +项83182rr rr T C xx -+⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭()84382rrr C x -=-⋅．令8403r -=，则2r =，故常数项为()2282112C -=．故填112． 35．（2017浙江13）已知多项式()()32543211234512x x x a x a x a x a x a +++++++=，则4a =___________，5a =________.35.解析32322(1)(2)(331)(44)x x x x x x x ++=+++++，所以412416a =+=，54a =．36.（2107山东理11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n =.36.解析()1C 3C 3rr rr r r n nT x x +==⋅⋅，令2r =，得22C 354n ⋅=，解得4n =．37.（2017全国3卷理科4）()()52x y x y +-的展开式中33x y的系数为（）. A ．80-B ．40-C ．40D ．8037．解析由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()23322355C 2C 2x x y y x y ⋅-+⋅-=3340x y ，则33x y 的系数为40，故选C.38.（2017全国1卷理科6）()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）. A.15B.20C.30D.3538.解析()()()66622111+1111x x x x x ⎛⎫+=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭，对()61x +二项式展开中2x 项的系数为2665C 152⨯==，对()6211x x ⋅+二项式展开中2x 项的系数为46C =15，所以2x 的系数为151530+=.故选C.。

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寒假作业(十九) 计数原理(注意解题的速度)
一、选择题
1．若a ∈{1,2,3,5}，b ∈{1,2,3,5}，则方程y ＝b a
x 表示的不同直线条数为( ) A ．11 B ．12 C ．13
D ．14
解析：选C 由题意，不考虑重复情况，有4×4＝16(种)情况，其中11＝22＝33＝5
5＝1，
斜率为1时重复3次，故方程y ＝b a
x 表示不同的直线有16－3＝13(条)．
2．(2017·惠州第三次调研考试)⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3
的系数是( )
A ．－20
B ．－5
C ．5
D ．20
解析：选 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r ·(－2y )r ＝C r
5·⎝ ⎛⎭
⎪
⎫125－r
·(－2)r ·x
5－r
·y r ，令r ＝3，得x 2y 3的系数为C 35⎝ ⎛⎭
⎪⎫122·(－2)3
＝－20.
3．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
解析：选D 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C 24C 12C 1
1
A 22＝6种，再
分配给3个人，有A 3
3＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．
4．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )
A ．10种
B ．20种
C ．36种
D ．52种
解析：选A 1号盒子可以放1个或2个球，2号盒子可以放2个或3个球，所以不同的放球方法有C 14C 3
3＋C 24C 2
2＝10(种)．
5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫9x －13x n (n ∈N *
)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项
为( )
A ．84
B ．－252
C ．252
D ．－84
解析：选A 由题意可得C 2
n ＝36，∴n ＝9. ∴⎝
⎛⎭⎪⎫9x －
13x n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫9x －13x 9
的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 9·99－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13
r ·x 9－3r 2
，令9－3r
2
＝0，得r ＝6.
∴展开式中的常数项为C 69×93
×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－136＝84.
6．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数(含2和5)的个数是( ) A ．120 B ．36 C ．60
D ．48
解析：选B 由题意得，含有2和5且2和5不相邻的四位数有C 23A 22A 2
3＝36个． 7．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为( )
A ．24
B ．18
C ．16
D ．10
解析：选D 第一类，甲景区在最后一个体验，则有A 3
3种方法；第二类，甲景区不在最后一个体验，则有A 12A 2
2种方法，所以小李旅游的方法共有A 3
3＋A 12A 2
2＝10种，故选D.
8．(2017·合肥质检)已知(ax ＋b )6
的展开式中x 4
项的系数与x 5
项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6
的展开式中所有项系数之和为( )
A ．－1
B ．1
C ．32
D ．64
解析：选D 由二项展开式的通项公式可知x 4
项的系数为C 26a 4b 2
，x 5
项的系数为C 16a 5
b ，
则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
C 26a 4b 2
＝135，C 16a 5
b ＝－18，
解得a ＋b ＝±2，故(ax ＋b )6
的展开式中所有项的系数之和
为(a ＋b )6
＝64，选D.
9．将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( )
A ．15
B ．20
C ．30
D ．42
解析：选C 四个篮球中两个分到一组有C 2
4种分法，三组篮球进行全排列有A 3
3种，标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A 3
3种分法，所以有C 24A 3
3－A 3
3＝36－6＝30种分法．
10．把1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n
展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则2a n －1a n ＋1
＝( ) A ．2n
B ．2n
－1 C ．2
D ．2－3
2
n ＋1
解析：选D 令x ＝1，得a n ＝1＋2＋22
＋ (2)
＝1－2n ＋1
1－2＝2n ＋1
－1，故2a n －1a n ＋1＝2·2n ＋1
－32n ＋1
＝2－3
2
n ＋1.
11．在某次大合唱中，要求6名演唱者站一横排，且甲不站左端，乙不站右端，则不同的站法种数为( )
A ．368
B ．488
C ．486
D ．504
解析：选D 法一：以甲的位置分为两类：①甲站右端，有A 5
5种；②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端，有A 14A 14A 4
4种，故共有A 5
5＋A 14A 14A 4
4＝504(种)站法．
法二(间接法)：甲在左端的站法有A 5
5种，乙在右端的站法有A 5
5种，甲在左端且乙在右端的站法有A 4
4种，故共有A 6
6－2A 5
5＋A 4
4＝504(种)站法．
12．现需编制一个八位的序号，规定如下：①序号由4个数字和2个x,1个y,1个z 组成；②2个x 不能连续出现，且y 在z 的前面；③数字在0,1,2，…，9之间任选，可重复，且4个数字之积为8.则符合条件的不同序号的种数为( )
A ．12 600
B ．6 300
C ．5 040
D ．2 520
解析：选B 因为4个数字之积为8，则这4个数字的所有情况为1,1,2,4；1,2,2,2；1,1,1,8.当这4个数字为1,1,2,4时，可组成的不同序号有A 66C 2
7
A 22A 22＝3 780种；当这4个数字
为1,2,2,2或1,1,1,8时，可组成的不同序号有A 66C 2
7
A 33A 22＝1 260种．故符合条件的不同序号共
有3 780＋1 260＋1 260＝6 300种．
二、填空题
13．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________．解析：先排三个空椅子，形成4个间隔，然后插入3个坐人的椅子，故有A 3
4＝24(种)．答案：24
14．(2017·南昌模拟)在多项式(1＋2x )6
(1＋y )5
的展开式中，xy 3
项的系数为________．解析：在多项式(1＋2x )6
(1＋y )5
的展开式中，通项为C r 6(2x )r ·C m 5y m
，其中r ＝0,1，…，6，m ＝0,1，…，5.所以xy 3
项的系数为C 1
6·2·C 3
5＝120.
答案：120
15．(2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)
解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C14C35A44＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A45＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝
1 080(个)．
答案：1 080
16．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________.
解析：将等式(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5两边同时求导得，5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(－1)4×2＝10.
答案：10。