一元二次不等式及其解法典型例题透析
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
高中 一元二次不等式及其解法 知识点+例题 全面
辅导讲义――一元二次不等式及其解法教学内容1．一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式. 2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2}{x |x ≠x 1}{x |x ∈R }ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1< x <x 2}∅ ∅[例1] 若不等式052>++c x ax 的解集是}2131{<<x x ，则a+c 的值为________.-7[巩固1] 已知不等式02<+-b x ax 的解集是}21{<<-x x ，则a ，b 的值为___________.a=1，b=-2[巩固2] 若关于x 的不等式0622<+-t x tx 的解集是),1(),(+∞-∞ a ，则a 的值为______.-3[例2] 若1)(2+-=ax x x f 有负值，则实数a 的取值范围是____________.),2()2,(+∞--∞[巩固1] 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象与直线25=y 有公共点，且不等式02>++c bx ax 的解是知识模块1三个“二次” 精典例题透析3121<<-x ，求a ，b ，c 的取值范围.[巩固2] 已知关于x 的不等式)(0222R a a ax x ∈≤++-的解集为M . （1）当M 为空集时，求实数a 的取值范围. （2）如果]4,1[⊆M ，求实数a 的取值范围.[例3] 关于x 的方程02=++c bx x 的两根分别为21-=x 和212-=x ，则关于x 的不等式02<+-c bx x 的解集是______________.)2,21([巩固1] 方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是____________.]4,5(--[巩固] 若关于x 的不等式4502≤++≤ax x 恰好只有一个解，则实数.______=a 2±[例5] 若不等式02<--b ax x 的解集为}32{<<x x ，则.______=+b a 1-[巩固1] 若关于x 的不等式0322<+-a x x 的解集是)1,(m ，则实数.______=m 21[巩固2] 关于x 的不等式0)2)(1(>--x mx ，若此不等式的解集为}21{<<x mx，则m 的取值范围是__________. )0,(-∞[例6] 已知实数R a ∈，解关于x 的不等式.02)2(2<++-a x a x[巩固] 已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集是}1{b x x x ><或， （1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式).(0)(2R c bc x b ac ax ∈<++-[例7] 若不等式02<--b ax x 的解集是)3,2(， （1）求a ，b 的值；（2）求不等式012>--ax bx 的解集.[巩固] 已知不等式0)32()(<-++b a x b a 的解为43->x ，解不等式.0)2()1(2)2(2>-+--+-a x b a x b a题型一：一元二次不等式的解法 [例] 求下列不等式的解集：（1）－x 2＋8x －3>0； （2）ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}．[巩固]（1）若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．（2）不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．知识模块3经典题型11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是_______________.答案 (－∞，－32)∪(12，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a=_______.答案 52解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 13．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为______________．答案 [0，π6]∪[5π6，π] 解析 由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12. 又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， 解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 14．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．答案 21解析 设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图所示．关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a >0， 解得5<a ≤8.又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以。
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
第04讲 一元二次不等式及其解法(解析版)
第04讲一元二次不等式及其解法(解析版)在数学中，一元二次不等式是一种包含一个未知数的二次不等式。
在解决一元二次不等式的问题时，常用的方法有图形法、试探法、代入法和区间判定法等。
本文将对一元二次不等式的解法进行解析，并详细介绍各个方法的应用。
一、图形法图形法是解决一元二次不等式问题的一种直观方法。
我们可以绘制一元二次不等式的函数图像，并观察函数图像与坐标轴的交点。
通过观察交点的位置，我们可以判断出一元二次不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 4x > 0，我们可以将其转化为方程x^2 - 4x = 0，并绘制出函数图像。
解方程得到两个根x = 0和x = 4，并在坐标轴上标记出这两个点。
由于不等式为大于0，即x^2 - 4x > 0，我们需要找到函数图像在x = 0和x = 4之间的部分。
从图形上观察得知，解集为x ∈ (0, 4)。
二、试探法试探法是解决一元二次不等式问题的一种简单有效的方法。
我们通过取特定的值来检验不等式的成立情况，从而确定解集的范围。
以不等式x^2 - 5x + 6 < 0为例，我们可以通过对不等式两边同时代入特定的值，如x = 0、x = 3、x = 4等，来观察不等式的成立情况。
经过试探可知，当x ∈ (2, 3)时，不等式成立。
因此，解集为x ∈ (2, 3)。
三、代入法代入法是一种将不等式转化为方程然后解方程的方法。
我们通过将不等式两边同时减去一个常数，使其转化为一个等式，然后通过解方程求解解集。
例如，在解决不等式x^2 - 3x > 2时，我们可以将不等式转化为方程x^2 - 3x = 2。
然后，我们将方程两边同时减去2，得到x^2 - 3x - 2 = 0。
通过解方程可以得出两个根x = -1和x = 2。
由于不等式为大于2，即x^2 - 3x > 2，我们需要找到函数图像在x = -1和x = 2之外的部分。
因此，解集为x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, +∞)。
一元二次不等式基础题50道加解析
一元二次不等式基础题50道加解析摘要：一、一元二次不等式的基本概念及性质1.一元二次不等式的定义2.一元二次不等式的性质二、一元二次不等式的解法1.因式分解法2.判别式法3.图像法三、一元二次不等式的应用1.实际问题中的应用2.数学问题中的应用四、一元二次不等式的拓展1.含有绝对值的一元二次不等式2.含有分式的一元二次不等式五、一元二次不等式题型解析1.传统题型解析2.创新题型解析正文：一、一元二次不等式的基本概念及性质1.一元二次不等式的定义一元二次不等式是指形如ax+bx+c>0（或ax+bx+c<0）的不等式，其中a、b、c为实数，且a≠0。
2.一元二次不等式的性质（1）当a>0时，一元二次不等式ax+bx+c>0的解集为实数集；（2）当a<0时，一元二次不等式ax+bx+c>0的解集为空集；（3）一元二次不等式ax+bx+c<0的解集与ax+bx+c>0的解集相反。
二、一元二次不等式的解法1.因式分解法将一元二次不等式ax+bx+c>0（或ax+bx+c<0）进行因式分解，得到(x-x)(x-x)>0（或(x-x)(x-x)<0），其中x、x为方程ax+bx+c=0的两根。
根据因式分解结果，讨论不等式的解集。
2.判别式法求解一元二次方程ax+bx+c=0的判别式Δ=b-4ac，根据Δ的值判断方程的根的情况，从而确定一元二次不等式的解集。
3.图像法将一元二次不等式ax+bx+c>0（或ax+bx+c<0）对应的二次函数y=ax+bx+c的图像画在坐标系中，通过观察图像下方（或上方）的区域，确定不等式的解集。
三、一元二次不等式的应用1.实际问题中的应用将一元二次不等式应用于生活中的实际问题，如利润、速度、面积等问题，通过建立一元二次不等式模型，求解实际问题。
2.数学问题中的应用一元二次不等式在数学问题中的应用广泛，如不等式证明、最值问题、恒成立问题等。
(整理)一元二次不等式及其解法训练题含详解
一元二次不等式及其解法（含详解）1.不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是 ( ) A ．[－3，12] B ．[－12，3] C ．[12，1)∪(1,3] D ．[－12，1)∪(1,3] 解析：法一：首先x ≠1，在这个条件下根据不等式的性质原不等式可以化为x ＋5≥2(x－1)2，即2x 2－5x －3≤0，即(2x ＋1)(x －3)≤0，解得－12≤x ≤3，故原不等式的解集是[－12，1)∪(1,3]． 法二：特殊值检验法．首先x ≠1，排除B ，显然x ＝0，x ＝2是不等式的解，排除A 、C.答案：D2．解关于x 的不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)．解：由12x 2－ax －a 2>0⇔(4x ＋a )(3x －a )>0⇔(x ＋a 4)(x －a 3)>0， ①a >0时，－a 4<a 3， 解集为{x |x <－a 4或x >a 3}； ②a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a <0时，－a 4>a 3， 解集为{x |x <a 3或x >－a 4}．3.某产品的总成本＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：依题意得25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，整理得x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200，因为0＜x ＜240，所以150≤x ＜240，即最低产量是150台．答案：C4．某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解：(1)由题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1000(1＋0.6x )(0＜x ＜1)，整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200(0＜x ＜1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －(1.2－1)×1000＞0，0＜x ＜1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x ＞0，0＜x ＜1. 解得0＜x ＜13. ∴投入成本增加的比例应在(0，13)范围内．5.若不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2或a ≤－3B ．a ＞2或a ≤－3C ．a ＞2D ．－2＜a ＜2解析：原不等式可化为(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0，显然a ＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x 均成立，必须有a ＋2＞0，且Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＞0，16－4(a ＋2)(a －1)＜0，解得a ＞2.答案：C6．(2010·宁波模拟)设奇函数f (x )在[－1,1]上是单调函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，则t 的取值范围是________． 解析：∵f (x )为奇函数，f (－1)＝－1，∴f (1)＝－f (－1)＝1.又∵f (x )在[－1,1]上是单调函数，∴－1≤f (x )≤1，∴当a ∈[－1,1]时，t 2－2at ＋1≥1恒成立，即t 2－2at ≥0恒成立，令g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ≥2或t ≤0，t ≤－2或t ≥0，∴t ≥2或t ＝0或t ≤－2.答案：(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．解：(1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝(x ＋a 2)2＋3－a 24.①当－a 2＜－2，即a ＞4时，f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7， 由－2a ＋7≥a 得a ≤73，∴a ∈∅. ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24， 由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2. ③当－a 2＞2，即a ＜－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7， 由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a ＜－4.综上得a ∈[－7,2]．8.不等式x 2－|x |－ ( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x <－2或x >2}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <－1或x >1}解析：原不等式⇔|x |2－|x |－2<0⇔(|x |－2)(|x |＋1)<0⇔|x |－2<0⇔－2<x <2.答案：A9．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，则实数a 的取值范围是________．解析：因为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0的解集是{x |2＜x ＜3}，设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (3)≤0，解得a ≤9.答案：a ≤910．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上所述：当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.。
3.2.2含参数的一元二次不等式的解法(例题精讲)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按 x 2项的系数 a 的符号分类，即a0, a0, a0;例 1解不等式： ax 2a 2 x 1 0分析：此题二次项系数含有参数，a 2 24a a 240 ，故只需对二次项系数进展分类讨论。
a 2a 240解：∵24a解得方程ax 2a 2 x10 两根 x1a2a24, x2 a 2 a242a2a∴当 a0时 ,解集为x | x a22a a 24或 x a2a242a当 a0时，不等式为2x10,解集为1 x | x2当 a0时,解集为a2 a 24xa2 a 24 x |2a2a例 2 解不等式ax 25ax 6a 0 a0分析因为 a 0 ，0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解a( x 25x 6) a x 2 x 30当 a 0 时，解集为x | x 2或x 3 ；当 a 0时，解集为x | 2 x3二、按判别式的符号分类，即0,0,0 ；例 3 解不等式x2ax 4 0分析此题中由于 x 2的系数大于0,故只需考虑与根的情况。
解：∵a 216∴当 a4,4 即0时，解集为 R ；当a4即＝0 时，1解集为 x x R且 x a；2当 a 4或 a4a a216即0 ,此时两根分别为 x12，a a 216x2, x22，显然 x1∴不等式的解集为x x a a216或 x〈a a21622例 4解不等式 m 2 1 x 24x 10 m R解因 m210,( 4)2 4 m 21 4 3m2，所以当 m 3 ，即0 时，解集为x | x 1；2当 3 m 3 ，即0 时，解集为x x23m2或x〈23m 2；m21m21当 m3或 m 3 ，即0 时，解集为R。
三、按方程 ax 2bx c0 的根x1,x2的大小来分类，即x1x2 , x1x2 , x1x2；例 5 解不等式x2( a 1)x10 (a0)a1) 0 ，故对应的方程必有两解。
习题范例解一元二次不等式的常见题型解析
习题范例解一元二次不等式的常见题型解析一、普通一元二次不等式的解法在解一元二次不等式时，我们首先要将其转化为标准形式，即将不等式中所有的项移至一侧，使得不等式左侧为0。
例如，对于如下的一元二次不等式：ax^2 + bx + c > 0我们需要将其转化为如下标准形式：ax^2 + bx + c - 0 > 0接下来，我们需要运用数学方法来解决这个一元二次不等式。
常见的解法有以下几种：1. 因数分解法：当一元二次不等式可以进行因数分解时，我们可以将其进行因数分解，然后求解每个因式为0时的解，最后筛选满足不等式的解即可。
2. 辅助函数法：针对某些特殊的一元二次不等式，我们可以将不等式中的项进行某种变形，然后引入一个辅助函数，通过求导等方式来求解不等式的解。
3. 图像法：我们可以将一元二次不等式对应的二次函数绘制成图像，通过观察和分析图像的性质来确定不等式的解。
以上是一些常见的解一元二次不等式的方法，具体应用时需要结合具体的题目来进行判断和推导。
二、一元二次不等式的常见题型解析1. 一元二次不等式的根的范围题目描述：给定一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，求解x的范围。
解析：对于给定的一元二次不等式，我们可以先求解其对应的一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根，假设根为x1和x2。
根据二次函数的性质，对称轴的横坐标为 -b/(2a)，通过这个点我们可以将一元二次函数分为两个区间，分别为 (-∞, x1) 和(x2, +∞)。
接下来，我们需要确定在这两个区间内，一元二次函数是大于0还是小于0。
我们可以选取两个测试点，将这些点代入一元二次函数的表达式中，观察符号的变化。
根据符号的变化情况，我们可以得出一元二次不等式的解的范围。
2. 一元二次不等式与二次函数图像题目描述：给定一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，利用二次函数的图像性质求解x的范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析：（1）方法一：因为2(5)410250∆=--⨯⨯=>所以方程250x x -=的两个实数根为：10x =，25x =函数25y x x =-的简图为：因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<.方法二：250(5)0x x x x -<⇔-<050x x >⎧⇔⎨-<⎩ 或050x x <⎧⎨->⎩解得05x x >⎧⎨<⎩ 或 05x x <⎧⎨>⎩，即05x <<或x ∈∅.因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<.（2）方法一：因为0∆=，方程2440x x -+=的解为122x x ==.函数244y x x =-+的简图为：所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2(2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠（3）方法一：原不等式整理得2450x x -+<.因为0∆<，方程2450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为：所以不等式2450x x -+<的解集是∅. 所以原不等式的解集是∅.方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-<∴原不等式的解集是∅.总结升华：1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当0∆≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0∆>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三：【变式1】解下列不等式(1) 22320x x -->；(2) 23620x x -+-> (3) 24410x x -+≤； (4) 2230x x -+->. 【答案】（1）方法一：因为2(3)42(2)250∆=--⨯⨯-=> 方程22320x x --=的两个实数根为：112x =-，22x = 函数2232y x x =--的简图为：因而不等式22320x x -->的解集是：1{|2}2x x x <->或.方法二：∵原不等式等价于21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1{|2}2x x x <->或. （2）整理，原式可化为23620x x -+<,因为0∆>,方程23620x x -+=的解1313x =-，2313x =+，函数2362y x x =-+的简图为：所以不等式的解集是33(1,1)33-+. （3）方法一：因为0∆=方程24410x x -+=有两个相等的实根：1212x x ==， 由函数2441y x x =-+的图象为：原不等式的的解集是1{}2.方法二：∵ 原不等式等价于：2(21)0x -≤, ∴原不等式的的解集是1{}2. （4）方法一：因为0∆<，方程2230x x -+-=无实数解， 由函数223y x x =-+-的简图为：原不等式的解集是∅.方法二：∵2223(1)220x x x -+-=---≤-<，∴ 原不等式解集为∅.【变式2】解不等式：2666x x -≤--< 【答案】原不等式可化为不等式组226666x x x x ⎧--<⎪⎨-≤--⎪⎩ ，即221200x x x x ⎧--<⎪⎨-≥⎪⎩，即(4)(3)0(1)0x x x x -+<⎧⎨-≥⎩， 解得3410x x x -<<⎧⎨≥≤⎩或∴原不等式的解集为{|3014}x x x -<≤≤<或.类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例2. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集。
思路点拨:由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程20x mx n +-=的二根，故由韦达定理可求出m 、n 的值，从而解得.解析：由题意可知方程20x mx n +-=的两根为4x =和5x =由韦达定理有45m +=-，45n ⨯=- ∴9m =-，20n =-∴210nx mx +->化为220910x x --->，即220910x x ++<(41)(51)0x x ++<，解得1145x -<<-，故不等式210nx mx +->的解集为11(,)45--.总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。
举一反三：【变式1】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，则a=_______, b=________。
【答案】由不等式的解集为{x|-3<x<2}知a<0，且方程ax 2+bx+12=0的两根为-3，2。
由根与系数关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=-=+-=-62)3(a12123ab解得a=-2, b=-2。
【变式2】已知220ax x c ++>的解为1132x -<<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->.【答案】由韦达定理有：11232a -+=-，1132ca-⋅=，∴12a =-,2c =. ∴代入不等式220cx x a -+->得222120x x -++>， 即260x x --<，(3)(2)0x x -+<，解得23x -<<， 故不等式220cx x a -+->的解集为：(2,3)-.【变式3】已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，求关于x 的不等式210bx ax ++>的解集.【答案】由韦达定理有：1212a b -=+⎧⎨=⨯⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩, 代入不等式210bx ax ++>得22310x x -+>，即(21)(1)0x x -->，解得12x <或1x >.∴210bx ax ++>的解集为：1(,)(1,)2-∞+∞U .类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题例3．已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
解析：(1)当m 2+4m-5=0时，m=1或m=-5若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x 成立，符合题意。
若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x 均成立，所以m=-5舍去。
(2)当m 2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，由此一元二次不等式的解集为R 知，抛物线y=(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3开口向上，且与x 轴无交点，所以⎪⎩⎪⎨⎧<-+--=∆>-+0)5m 4m (12)1m (1605m 4m 222，即⎩⎨⎧<<-<>19m 15m 1m 或， ∴ 1<m<19。
综上所述，实数m 的取值范围是{m|1≤m<19}。
总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。
举一反三：【变式1】 若关于x 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.【答案】关于x 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集 即2(21)10mx m x m -++-<的解集为R当0m =时，原不等式为：10x --≥，即1x ≤-，不符合题意，舍去. 当0m ≠时，原不等式为一元二次不等式，只需0m <且0∆<，即2(21)4(1)00m m m m ⎧+--<⎨<⎩，解得18m <-，综上，m 的取值范围为：1(,)8m ∈-∞-.【变式2】若关于x 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解为一切实数，求m 的取值范围.【答案】当0m =时，原不等式为：10x --≥，即1x ≤-，不符合题意，舍去.当0m ≠时，原不等式为一元二次不等式，只需0m >且0∆≥，即2(21)4(1)00m m m m ⎧+--≥⎨>⎩，解得0m >，综上，m 的取值范围为：(0,)m ∈+∞.【变式3】若关于x 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为非空集，求m 的取值范围.【答案】当0m =时，原不等式为：10x --≥，即1x ≤-，符合题意.当0m >时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意 当0m <时，只需0∆≥，即2(21)4(1)00m m m m ⎧+--≥⎨<⎩，解得108m -≤<，综上，m 的取值范围为：1[,)8m ∈-+∞.类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法例4．解下列关于x 的不等式 （1）x 2-2ax ≤-a 2+1；（2）x 2-ax+1>0；（3）x 2-(a+1)x+a<0； 解析：(1) 22210[()1][()1]011x ax a x a x a a x a -+-≤⇒---+≤⇒-≤≤+∴原不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+。
(2) Δ=a 2-4当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为}2424|{22--<-+>a a x a a x x 或当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为{|}2a x x ≠。
当Δ<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R 。
（3）(x-1)(x-a)<0当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a} 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1} 当a=1时，原不等式的解集为Φ。