2018届江苏省盐城市伍佑中学高三下学期期初考试数学试题
江苏省盐城市伍佑中学2018届高三数学10月情调研测试试题 理
盐城市伍佑中学2017-2018学年度第一学期高三年级学情调研测试数学（理科）试卷时间：120分钟 总分：160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分 1. 设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则非p 为 ▲ ．2. 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝ ▲ .3. 已知f (2x ＋1)＝3x －4，f (a )＝4，则a ＝ ▲ .4. “lg x ＞lg y ”是“x ＞y ”的 ▲ 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．5. 函数f (x )＝x ＋x －1的定义域是 ▲ ．6. 若f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是 ▲ ．7. 设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )=2x +2x +m (m 为常数)， 则f (1)= ▲ ．8. y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为 ▲ ．9. 若()＝⎨⎪⎧a x，x ＞1，⎪⎫－a 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为(x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13. 已知函数2ln ,1()2,1x x f x x x a x ≥⎧=⎨++<⎩（a 为常数）的图象在点(1,0)A 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14. 若不等式bx ＋c ＋9ln x ≤x 2对任意的x ∈(0，＋∞)，b ∈(0,3)恒成立，则实数c 的取值范围是 ▲ ．二． 解答题：本大题共6小题，共计90分15.（本小题满分14分）已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x＞1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值范围．16.（本小题满分14分）设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}， 若(∁U A )∩B ＝∅，求m 的值.17.（本小题满分14分）已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．18.（本小题满分16分）如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ， AD 为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P 到边AD 的距离为t(单位:km)，△BEF 的面积为S(单位: 2km ). (I)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域;(2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过3 2km ?并说明理由.19. （本小题满分16分）已知函数f (x )＝x ln x －(x －1)(ax －a ＋1)(a ∈R )． (1)若a ＝0，判断函数f (x )的单调性；(2)若x ＞1时，f (x )＜0恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数()ln (0)mf x x x m x=+>，()ln 2g x x =-． （1）当1m =时，求函数()f x（2）设函数()()()h x f x xg x =--(())y h h x = 求m 的值；（3）若函数()f x ，()g x 的定义域都是[1,e]，对于函数()f x 的图象上的任意一点A ，在函数()g x 的图象上都存在一点B ，使得OA OB ⊥，其中e 是自然对数的底数，O 为坐标原点．求m 的取值范围．参考答案1. ∃x 0∈R ，x 20＋1≤0 2. {x |0＜x ＜1} 3. 193 4. 充分不必要5. (－1,1)∪(1，＋∞)6. [1，＋∞)7.258. (－∞，－1]，[0,1] 9. [4,8) 10. (－∞，4] 11. 2.5 12. [2，＋∞) 13. 33,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 14. (－∞，－9ln 3]15. 解析 由命题p 为真知，0＜c ＜1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c ＜2，即c ＞12， 若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， 则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0＜c ≤12； 当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．16. 解析 A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立， ∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴m ＝1或2.17. 解析 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，任取1≤x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝x 1－x 2x 1x 2－2x 1x 2，∵1≤x 1＜x 2，∴x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0. 又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax＞0恒成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ＞0，x ≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－x 2＋2x ，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值． φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3. ∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞).18. 解析(1)如图，以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,4)．………………………………………………………1分设边缘线AC 所在抛物线的方程为2y ax =，把(2,4)代入，得242a =?，解得1a =，所以抛物线的方程为2y x =．…………………………3分因为2y x ¢=，……………………………4分所以过2(,)P t t 的切线EF 方程为22y tx t =-．………………………5分令0y =，得(,0)2t E ；令2x =，得2(2,4)F t t -，………………7分所以21(2)(4)22tS t t =--，……………………………………8分 所以321(816)4S t t t =-+9分(2)213(31616)(4)(S t t t '=-+=-12分14分2．……………16分（第18题）19. 解 (1)若a ＝0，则f (x )＝x ln x －x ＋1，f ′(x )＝ln x ，x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．(2)依题意知x ln x －(x －1)(ax －a ＋1)＜0在(1，＋∞)上恒成立． ①若a ＝0，则f (x )＝x ln x －x ＋1，f ′(x )＝ln x ，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴f (x )为增函数，∴f (x )＞f (1)＝0， 即f (x )＜0不成立， ∴a ＝0不合题意． ②若a ≠0，∵x ＞1，∴ln x －x －ax －a ＋x＜0在(1，＋∞)上恒成立，不妨设h (x )＝ln x －x －ax －a ＋x，x ∈(1，＋∞)，h ′(x )＝－ax 2－x －a ＋1x 2＝－x －ax ＋a －x 2，x ∈(1，＋∞)，令h ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝1－aa .若a ＜0，则x 2＝1－aa ＜1，x ＞1时h ′(x )＞0，h (x )为增函数，h (x )＞h (1)＝0，不合题意； 若0＜a ＜12，则x 2＞1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1－a a 时h ′(x )＞0，h (x )为增函数，h (x )＞h (1)＝0，不合题意；若a ≥12，则x 2≤1，x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )为减函数，h (x )＜h (1)＝0，符合题意．综上所述，a ≥12.20.（1）当1m =时，1()ln f x x x x =+，21'()ln 1f x x x=-++．……………………2分 因为'()f x 在(0,)+∞上单调增，且'(1)0f =，所以当1x >时，'()0f x >；当01x <<时，'()0f x <．所以函数()f x 的单调增区间是(1,)+∞．……………………………………4分（2）()2m h x x x =+，则2222'()2m x mh x x x -=-=，令'()0h x =得x =当0x <<'()0h x <，函数()h x 在上单调减；当x >'()0h x >，函数()h x 在)+∞上单调增．所以min [()]h x h ==6分1)，即49m ≥时，函数(())y h h x =的最小值h =即1790m -=1=917=②当01)<，即1449m <<函数(())y h h x =的最小值h =54=（舍）．综上所述，m 的值为110分（3）由题意知，2ln OA m k x x =+，考虑函数ln 2x y x -=，因为[1,e]上恒成立，1[2,]eOB k ∈--．…………………12分 ln e x ≤在[1,e]上恒成立，)x 在[1,e]上恒成立． )2ln 0x x =-≤在[1,e]上恒成立， 1(1)2m p =≥． …………………………14分 则'()(2e 12ln )(2e 12lne)0q x x x x =---->≥在[1,e]上恒成立， 所以()q x 在[1,e]上单调增，所以(1)e m q =≤．综上所述，m 的取值范围为1[,e]2． ………………………………………16分。
2018年江苏省盐城市中考数学试卷含答案
21.(本题满分 8 分)在正方形 ABCD 中,对角线 BD 所在的直线上有两点 E 、 F 满足 BE DF ,连接 AE 、 AF 、 CE 、 CF ,如图所示． (1)求证： △ABE≌△ADF ； (2)试判断四边形 AECF 的形状,并说明理由．
数学试卷第 3页（共 18页）数学试卷第 4页（共 18页）
【考点】一元二次方程的解． 数学试卷第 9页（共 18页）数学试卷第 10页（共 18页）
二、填空题
9．【答案】77.5
【解析】解：根据如图所示的车票信息，车票的价格为 77.5 元，
故答案为：77.5．
【考点】用数字表示事件．
10．【答案】 x 2
【解析】解：当分母
x﹣2
0
，即
x
2
时，分式
(3)在(2)的条件下,分别延长线段 AE 、CB 相交于点 F ,若 BC 2 , AC 4 ,求线段 EF 的长．
26.(本题满分 12 分)
【发现】如图①,已知等边 △ABC ,将直角三角板的 60 角顶点 D 任意放在 BC 边上
(点 D 不与点 B 、 C 重合),使两边分别交线段 AB 、 AC 于点 E 、 F ．
将数据 146000 用科学记数法表示为
()
A.1.46 105
题
C.1.46 106
B. 0.146 106 D.146 103
5.如图是由 5 个大小相同的小正方体组成的几何体,则它的左视图是
()
无
A
B
6.一组数据 2,4,6,4,8 的中位数为
A.2
B.4
C C.6
D ()
D.8
效
江苏省盐城市2018届高三第三次模拟考试数学
第6题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面半径,l 为母线长.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知(,]A m =-∞，(1,2]B =，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为 ▲ ．2．设复数1a iz i+=+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．设数据12345,,,,a a a a a 的方差为1，则数据123452,2,2,2,2a a a a a 的方差为 ▲ ．4．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同）， 现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球 的概率为 ▲ ．5．“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的 ▲条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）．6．运行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为 ▲ ．7．若双曲线22221(0,0)x ya b a b -=>>的两条渐近线与抛物线24y x =交于,,O P Q 三点，且直线PQ 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 8．函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ ．9．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ▲ ． 10．已知函数())cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><<为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2π，则()8f π-的值为 ▲ ．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*2()n n S a n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ ． 12．如图，在18AB B ∆中，已知183B AB π∠=，16AB =，84AB =，点234567,,,,,B B B B B B 分别为边18B B 的7等分点，则当9(18)i j i +=≤≤时，i j AB AB ⋅uuu r uuu r的最大值为 ▲ ．13．定义：点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=的有向距离为0022a b+．已知点(1,0)A -,(1,0)B ，直线m 过点(3,0)P ，若圆22(18)81x y +-=上存在一点C ，使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线l 的斜率的取值范围为 ▲ ． 14．设ABC ∆的面积为2，若角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则22223a b c ++的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 是菱形，,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点．（1）求证：AC ∥平面DMN ； （2）求证：平面DMN ⊥平面11BB D D ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，AD 为边BC 上的中线． （1）若4a =，2b =，1AD =，求边c 的长；（2）若2AB AD c ⋅=uu u r uuu r ，求角B 的大小．17．(本小题满分14分)如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，2AOB π∠=，且半径OC 平分AOB ∠．现拟在OC 上选取一点P ，修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏，设PAO α∠=．（1）将三条路PO ,PA ,PB 的长度之和表示为α的函数()f α，并写出此函数的定义域； （2）试确定α的值，使得()f α最小．A B CD D 1 A 1 B 1 C 1MN第15题图 第12题图AB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 818．(本小题满分16分)如图，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴． （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆222:()(0)M x m y r r -+=>．①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，若2MA MB MP MF +=+uuu r uuu r uuu r uuu u r，且2AB =，求r的值；②设2m =-，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点（均异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r ，使得,G H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r19．(本小题满分16分)若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．设函数()xg x ae x pa =--，,a p R ∈． （1）讨论函数()g x 的单调性； （2）已知函数()g x 为“恒切函数”．①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数()()xh x g x e m =-也为“恒切函数”，求证：3016m ≤<． （参考数据：320e ≈）20．(本小题满分16分)在数列{}n a 中，已知121,a a λ==，并满足:111221222,,,,k k k k a a a a ---++⋅⋅⋅是等差数列（其中2,k k N ≥∈），且当k 为奇数时，公差为d ；当k 为偶数时，公差为d -． （1）当1λ=，1d =时，求8a 的值；（2）当0d ≠时，求证：数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是等比数列；（3）当1λ≠时，记满足2m a a =的所有m 构成的一个单调递增数列为{}n b ，试求数列{}n b 的通项公式．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知半圆O 的半径为5，AB 为半圆O 的直径，P 是BA 延长线上一点，过点P 作半圆O 的切线PC ，切点为C ，CD AB ⊥于点D ．若2PC PA =，求CD 的长．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 0 a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的另一个特征值和对应的一个特征向量．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为A BCD O ·第21（A ）图极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同），设曲线C 的极坐标方程为2ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．(选修4-5：不等式选讲）已知正数,,x y z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过,,A B C 每个项目测试的概率都是12． （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． 23．（本小题满分10分）（1）已知*0,0()i i a b i N >>∈，比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证：3*01213521(1)()2n nn n n n n n n N C C C C ++++++≥∈L ．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．2m ≥ 2．1- 3．4 4．565．充分不必要 6．21 78．(2,3] 9．3 10． 11．12n - 12．1327 13．3(,]4-∞- 14．二、解答题：本大题共90小题.15．（1）证明：连接11A C ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为11//AA BB ，11//BB CC ， 所以11//AA CC ，所以11A ACC 为平行四边形，所以11//A C AC ． ……2分又,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点，所以11//MN AC ，所以//AC MN ． ……4分又AC ⊄平面DMN ，MN ⊂平面DMN ，所以AC ∥平面DMN ． ……6分 （2）证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1DD ⊥平面1111A B C D ，而MN ⊂平面1111A B C D ， 所以1MN DD ⊥． ……8分 又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面1111A B C D 也是菱形， 所以1111A C B D ⊥，而11//MN AC ，所以11MN B D ⊥．……10分 又1MN DD ⊥，111,DD B D ⊂平面1111A B C D ，且1111DD B D D =I ， 所以MN ⊥平面1111A B C D ． ……12分而MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BB D D ． ……14分16．解：（1）在ADC ∆中，因为11,2,22AD AC DC BC ====，所以由余弦定理，得2222222217cos 22228AC DC AD C AC DC +-+-===⋅⨯⨯． ……3分故在ABC ∆中，由余弦定理，得2222272cos 4224268c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=， 所以c = (6)分（2）因为AD 为边BC 上的中线，所以1()2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，所以21()2c AB AD AB AB AC =⋅=⋅+uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r221111cos 2222AB AB AC c cb A=+⋅=+uuu r uu u r uuu r ，得cos c b A =． ……10分则2222b c a c b bc+-=⋅，得222b c a =+，所以ABCDD 1 A 1B 1C 1M N90B =︒． ……14分17．解：（1）在APO ∆中，由正弦定理，得sin sin sin AP OP AOAOP PAO APO==∠∠∠， 即400sin sin sin()44AP OP ππαα==+，从而sin()4AP α=+，400sin sin()4OP απα=+． ……4分所以()l α＝400sin 22sin()sin()44OP PA PB OP PA αππαα++=+=+⨯++，故所求函数为sin )()sin()4l ααπα=+，3(0,)8πα∈． ……6分 （2）记sin 23(),(0,)sin cos 8sin()4f ααπααπααα+==∈++，因为2(sin cos )(2)(cos sin )()(sin cos )f ααααααααα+--'=+2)4(sin cos )πααα-=+，……10分由()0f α'=，得1sin()42πα-=-，又3(0,)8πα∈，所以12πα=． ……12分列表如下：所以，当12α=时，()l α取得最小值．答：当12πα=时，()l α最小． ……14分18．解：（1）因点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴，所以椭圆的半焦距2c =，由22221c y a b +=，得2b y a=±，所以2243b a a a-==， ……2分 化简得2340a a --=，解得4a =，所以212b =，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=． ……4分 （2）①因2MA MB MP MF +=+uuu r uuu r uuu r uuu u r ，所以2MA MP MF MB -=-uuu r uuu r uuu u r uuu r ，即2PA BF =uu r uuu r，所以线段2PF 与线段AB 的中点重合（记为点Q ），由（1）知3(0,)2Q ， ……6分因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，所以21MQ AB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-，所以30302122m --⋅=---，解得98m =-， ……8分所以158MQ ==，故178r ==. ……10分② 由,G H 两点恰好关于原点对称，设00(,)G x y ，则00(,)H x y --，不妨设00x <，因(2,3)P -，2m =-，所以两条切线的斜率均存在，设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ，则切线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，由该直线与圆M 相切，得r =，即k = ……12分 所以两条切线的斜率互为相反数，即PG PH k k =-，所以00003322y y x x ---=-+-+，化简得006x y =-，即006y x -=，代入220011612x y +=， 化简得420016480x x -+=，解得02x =-（舍），0x =-所以0y = ……14分所以(G -，H，所以2PG k ==，所以r ==. 故存在满足条件的r ，且7r =． ……16分 19．解：（1）()1x g x ae '=-， ……2分当0a ≤时，()0g x '<恒成立，函数()g x 在R 上单调递减；当0a >时，由()0g x '=得ln x a =-，由()0g x '>得ln x a >-，由()0g x '<得ln x a <-，得函数()g x 在(,ln )a -∞-上单调递，在(ln ,)a -+∞上单调递增． ……4分 （2）①若函数()f x 为“恒切函数”，则函数()y f x kx b =++的图像与直线y kx b =+相切，设切点为00(,)x y ，则0()f x k k '+=且000()f x kx b kx b ++=+，即0()0f x '=，0()0f x =.因为函数()g x 为“恒切函数”，所以存在0x ，使得0()0g x '=，0()0g x =，即0000 10xx ae x pa ae ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩， 得00x a e -=>，00(1)x p e x =-，设()(1)x m x e x =-， ……6分则()xm x xe '=-，()0m x '<，得0x >，()0m x '>，得0x <，故()m x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，从而[]max ()(0)1m x m ==， 故实数p的取值范围为(,1]-∞． ……8分②当p 取最大值时，1p =，00x =，01xa e -==，()(1)x x h x e x e m =---，()(22)x x h x e x e '=--，因为函数()h x 也为“恒切函数”， 故存在0x ，使得0()0h x '=，0()0h x =，由0()0h x '=得000(22)0xx e x e --=，00220x e x --=，设()22xn x e x =--， ……10分则()21xn x e '=-，()0n x '>得ln 2x >-，()0n x '<得ln 2x <-，故()n x 在(,ln 2)-∞-上单调递减，在(ln 2,)-+∞上单调递增，1°在单调递增区间(ln 2,)-+∞上，(0)0n =，故00x =，由0()0h x =，得0m =； ……12分2°在单调递减区间(,ln 2)-∞-上，2(2)20n e--=>，31223111()22(20)02222n e ---=-≈⨯-=-<，又()n x 的图像在(,ln 2)-∞-上不间断，故在区间3(2,)2--上存在唯一的0x ，使得00220xe x --=，故0022xx e +=， 此时由0()0h x =，得00000022(1)(1)22xx x x m e x ex ++=--=-- 001(2)4x x =-+2011(1)44x =-++，函数211()(1)44r x x =-++在3(2,)2--上递增，(2)0r -=，33()216r -=，故3016m <<．综上1°2°所述，3016m ≤<． ……16分 20．解：（1）由1λ=，1d =，所以21a =，234,,a a a 为等差数列且公差为1-，所以4221a a =-=-，又458,,a a a L 为等差数列且公差为1，所以8443a a =+=． ……2分（2）当21n k =+时，22221221222,,,,k k k k a a a a +++⋅⋅⋅是等差数列且公差为d ，所以2122222k k k a a d+=+，同理可得22121222k k k a a d --=-， ……4分两式相加，得212121222k k k a a d +---=；当2n k=时，同理可得2222222k kk a a d +-=-， ……6分所以222||2n n na a d +-=．又因为0d ≠，所以21122122||22(2)||2n n n n n n a a n a a ++---==≥-， 所以数列{}2*22||()n n aa n N +-∈是以2为公比的等比数列． ……8分（3）因为2a λ=，所以4222a a d d λ=-=-，由（2）知212121222k k k a a d +--=+，所以212123212321222222k k k k k k a a d a d d +-----=+=++，依次下推，得211132321222222k k k a a d d d d +--=+++++L ，所以21222(21)3k k a d λ+=+-， (10)分当212222k k n ++≤≤时，212321222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=--=+--， 由2m a a =，得232233k m +=-，所以23212233k k b ++=-， 所以22233n n b +=-（n 为奇数）； ……12分由（2）知222222222222222k k k kk k a a d a d d +--=-=--，依次下推，得22224222222222k k k a a d d d d +-=-----L ，所以22224(21)23k k a d d λ+-=--， (14)分当222322k k n ++≤≤时，222422222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=+-=+--， 由2m a a =，得242233k m +=+，所以24222233k k b ++=+． 所以22233n n b +=+（n 为偶数）．综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分 方法二：由题意知，23121231222222n n n n n b b b b b +++=<<<<<⋅⋅⋅<<<<<<⋅⋅⋅， ……10分当n 为奇数时，1221222,,,,n n n n a a a a +++⋅⋅⋅的公差为d -，1112221222,,,,n n n n a a a a ++++++⋅⋅⋅的公差为d ，所以112(2)()n n n b n a a b d ++=---，11112(2)n n n b n a a b d ++++=+-，则由12n n b b a a a +==，得111(2)()(2)n n n n b d b d +++---=-，即212n n n b b +++=．同理，当n为偶数时，也有212n n n b b +++=．故恒有2*12()n n n b b n N +++=∈． ……12分①当n 为奇数时，由3212n n n b b ++++=，212n n n b b +++=，相减，得222n n n b b ++-=，所以532311()()(222)2nn n n b b b b b b -=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅+++13222(14)2221433n n -+-=+=--． ……14分②当n 为偶数时，同理可得22233n n b +=+． 综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分附加题答案21．（A ）解：连,AC BC ，因PC 为半圆O 的切线，所以PCA B ∠=∠．又P P ∠=∠， 所以PCA ∆∽PBC ∆，所以12PA AC PC BC ==， 即2AC BC =． ……5分 因AB 为半圆O 的直径，所以22225AB AC BC AC =+=，因半圆O 的半径为5，所以21005AC =，所以AC BC == 由射影定理，得2AC AD AB=⋅，解得2AD =，所以A BPCDO·4CD =． ……10分（B ）解：由题意得 2 110 11a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以2 10 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ． ……2分矩阵M 的特征多项式为 2 1()(2)(1)0 1f λλλλλ-==---，由()0f λ=，得2,1λλ==，所以矩阵M 的另一个特征值为2． ……6分此时0 1()0 1f λ=，对应方程组为010010x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩，所以0y =，所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……10分 （C ）解：直线的普通方程为10x y +-=；由2ρ=，得曲线C 的普通方程为224x y +=，……5分所以d ==，所以直线l 被曲线C 截得的弦长为=． ……10分 （D ）解：根据柯西不等式，有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++，因232x y z ++=，所以222222421237x y z ++≥=++， ……5分 当且仅当123x y z ==时等号成立，解得123,,777x y z ===，即当123,,777x y z ===时，222x y z ++取最小值27． ……10分 22．解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为223113()(1)228C -=．……4分（2）因为每人可被录用的概率为22331111()(1)()2222C -+=，所以311(0)(1)28P X ==-=， 1123113(1)()(1)228P X C ==-=，2213113(2)()(1)228P X C ==-=，311(3)()28P X ===．故X 的概率分布表为：……8分所以，X的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……10分23．解：（1）22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++，因为0i a >，0i b >，所以222112120,0a b a b a a >>，则22211212122a b a b b b a a +≥=， 所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++≥++=+，即22121212()()b b a a a a ++212()b b ≥+． 所以221212b b a a +≥21212()b b a a ++，当且仅当22211212a b a b a a =，即2112a b a b =时等号成立． ……2分推广：已知i a >,i b >(,1i N i n*∈≤≤)，则2221212n n b b b a a a +++L 21212()n nb b b a a a +++≥+++L L ．……4分 证明：①当1n =时命题显然成立；当2n =时，由上述过程可知命题成立； ②假设(2)n k k =≥时命题成立，即已知0i a >,0i b >(,1i N i k *∈≤≤)时，有2221212k k b b b a a a +++L 21212()k kb b b a a a +++≥+++L L 成立，则1n k =+时，222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a +++++++++++≥++++L L L ， 由221212b b a a +≥21212()b b a a ++，可知222121*********()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++++++++≥+++++++L L L L ， 故2222112121k k k k b b b b a a a a ++++++L 2121121()k k k k b b b b a a a a ++++++≥++++L L ， 故1n k =+时命题也成立．综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切n N ∈*恒成立． ……6分（注：推广命题中未包含1n =的不扣分）（2）证明：由（1）中所得的推广命题知01213521n n n n nn C C C C +++++L 2222012135(21)35(21)n n n n nn C C C n C +=+++++L []2012135(21)35(21)n nnnnn C C C n C+++++≥+++++LL①， ……8分记01235(21)nn n n n n S C C C n C =+++++L ，则10(21)(21)n n n n n n S n C n C C -=++-++L ，两式相加，得0122(22)(22)(22)(22)nn n n n n S n C n C n C n C =++++++++L ， 012(22)()(22)2nn n n n n n C C C C n =+++++=+⨯L ，故(1)2n n S n =+⨯ ②，又[]2241(21)135(21)(1)(1)2n n n n ++⎡⎤+++++=⨯+=+⎢⎥⎣⎦L ③，将②③代入①，得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22n n nn n n n n n n C C C n C n +++++++≥=++L ， 所以，301213521(1)2n nn n n n n n C C C C ++++++≥L ，证毕． ……10分。
江苏省盐城市2018届高三第三次模拟考试数学试题
江苏省盐城市2017-2018学年高三第三次模拟考试数学试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1. 已知全集，集合，则___________．【答案】【解析】因为，所以2. 设复数满足（为虚数单位），则___________．【答案】2【解析】3. 某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为600人、700人、700人，为了解不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为___________．【答案】35【解析】由题意结合抽样比可得，高三年级应抽取的学生人数为. 点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)＝；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．4. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】为真命题，所以5. 甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88、89、90；乙组：87、88、92，如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是___________．【答案】【解析】只有当选取的成绩为88,92时不满足题意，由对立事件概率公式可知：这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是.6. 执行如图所示的伪代码，输出的值为___________．【答案】77. 设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则___________．【答案】【解析】由题意可知：抛物线的焦点坐标为，在双曲线中：.8. 设满足，则的最大值为___________．【答案】1【解析】绘制不等式组所表示的可行域如图所示，由目标函数的几何意义可得，目标函数在线段AB上取得最大值，考查点B的坐标可得目标函数的最大值为.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.9. 将函数的图象向左平移个单位后，恰好得到函数的的图象，则的最小值为___________．【答案】【解析】由题意可得：，由诱导公式的结论可知：，取可得：.点睛：由y＝sin x的图象，利用图象变换作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．10. 已知直三棱柱的所有棱长都为2，点分别为棱的中点，则四面体的体积为___________．【答案】【解析】解：，当作为三棱锥的底面时，三棱锥的高是边长为2的等边三角形的边上的高，四面体的体积为.11. 设数列的首项，且满足，与，则___________．【答案】2056【解析】由递推关系可知该数列的奇数项构成一个首项为1，公比为2的等比数列，偶数项由其前项加1而得，前20项和中：.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．12. 若均为非负实数，且，则的最小值为___________．【答案】3...【解析】由题意可知：，故：当且仅当时等号成立.13. 已知四点共面，，，，则的最大值为__________．【答案】10【解析】解：设，由题意可得：，则：，ABC构成三角形，则：，解得：，由余弦定理：，当时，取得最大值为10.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．14. 若实数满足，则__________．【答案】二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，在四棱柱中，平面底面，且.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：(1)利用题意由可得平面.(2)由面面平行的判断定理，平面，则平面.试题解析：证明：（1）在四棱柱中，有.又平面，平面，所以平面. ... （2）因为平面底面ABCD，交线为，底面ABCD，且，所以平面.又平面，所以平面平面.16. 设面积的大小为，且.（1）求的值；（2）若，，求.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)利用题意结合数量积的定义可得；(2) 利用(1)的结论有：，结合题意和正弦定理可得：.试题解析：解：（1）设的三边长分别为，由，得，得. 即，所以. 又，所以，故.（2）由和，得，又，所以，得①. 又，所以.在△中，由正弦定理，得，即，得②. 联立①②，解得，即.17. 一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实践所示，是等腰梯形，米，（在的延长线上，为锐角），圆与都相切，且其半径长为100-80米，是垂直于的一个立柱，则当的值设计为多少时，立柱最矮？【答案】当时，立柱最矮.【解析】试题分析：利用题意建立直角坐标系，得到关于的函数：，求导之后讨论函数的单调性可知时取得最值.试题解析：解：方法一：如图所示，以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系.因为，，所以直线的方程为，即.设圆心，由圆与直线相切，得，...所以.令，，则，设，. 列表如下：所以当，即时，取最小值. 答：当时，立柱最矮.方法二：如图所示，延长交于点，过点作于，则，.在中，. 在中，.所以.（以下同方法一）点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．18. 已知分别是椭圆的左顶点、右焦点，点为椭圆上一动点，当轴时，.（1）求椭圆的离心率；...（2）若椭圆存在点，使得四边形是平行四边形（点在第一象限），求直线与的斜率之积；（3）记圆为椭圆的“关联圆”. 若，过点作椭圆的“关联圆”的两条切线，切点为，直线的横、纵截距分别为，求证：为定值. 【答案】（1）（2）（3）49【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于的齐次方程，求解方程组可得椭圆的离心率；(2) 由题意，，，则，结合(1)的结论可得.(3) 由（1）知椭圆方程为，圆的方程为.四边形的外接圆方程为，所以，因为点在椭圆上，则.试题解析：解：（1）由轴，知，代入椭圆的方程，得，解得.又，所以，解得. （2）因为四边形是平行四边形，所以且轴，所以，代入椭圆的方程，解得，因为点在第一象限，所以，同理可得，，所以，由（1）知，得，所以.（3）由（1）知，又，解得，所以椭圆方程为，圆的方程为①. 连接，由题意可知，，，所以四边形的外接圆是以为直径的圆，设，则四边形的外接圆方程为，即②.①－②，得直线的方程为，令，则；令，则. 所以，因为点在椭圆上，所以，所以.19. 设函数.（1）若函数是奇函数，求实数的值；（2）若对任意的实数，函数（为实常数）的图象与函数的图象总相切于一个定点.①求与的值；②对上的任意实数，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）① .②【解析】试题分析：...(1)由奇函数的定义得到关于实数a的方程，解方程可得a=0；(2)由导函数研究函数的切线可得切点为，切线的方程为，则.(3)由题意分类讨论和两种情况可得实数的取值范围是．试题解析：解：（1）因为函数是奇函数，所以恒成立，即，得恒成立，. （2）① ，设切点为，则切线的斜率为，据题意是与无关的常数，故，切点为，由点斜式得切线的方程为，即，故.② 当时，对任意的，都有;当时，对任意的，都有;故对恒成立，或对恒成立.而，设函数.则对恒成立，或对恒成立，，当时,,,恒成立,所以在上递增,,故在上恒成立，符合题意.当时，令，得，令，得,故在上递减，所以，而设函数，则，恒成立，在上递增，恒成立，在上递增，恒成立，即，而，不合题意.综上，知实数的取值范围.20. 已知数列都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列.（1）设数列分别为等差、等比数列，若，，，求；（2）设的首项为1，各项为正整数，，若数列是等差数列，求数列的前项和；（3）设（是不小于2的正整数），，是否存在等差数列，使得对任意的，在与之间数列的项数总是？若存在，请给出一个满足题意的等差数列；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2）或. （3）首项，公差的等差数列符合题意.【解析】试题分析：...(1)由题意可得；(2)由题意可得等比数列的项都是等差数列中的项，所以. 数列的前项和或.(3) 存在等差数列，只需首项，公差.利用题中的结论可证得此命题成立.试题解析：解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得，，解得或，因数列单调递增，所以，所以，，所以，. 因为，，，，所以. （2）设等差数列的公差为，又，且，所以，所以. 因为是中的项，所以设，即.当时，解得，不满足各项为正整数；当时，，此时，只需取，而等比数列的项都是等差数列中的项，所以；当时，，此时，只需取，由，得，是奇数，是正偶数，有正整数解，所以等比数列的项都是等差数列中的项，所以. 综上所述，数列的前项和或.（3）存在等差数列，只需首项，公差.下证与之间数列的项数为. 即证对任意正整数，都有，即成立.由，.所以首项，公差的等差数列符合题意.点睛：学习能力型问题必将成为以后高考考核的重点，它题目新颖，考察全面，摆脱了以往只考察学生记忆、计算等方面知识.而这类题型是考察学生的阅读理解力、知识迁移能力和归纳概括能力等，是考察学生素质能力的典型题目，应引起广大师生的关注，学习有两个过程：一个是“从薄到厚”，一个是“从厚到薄”.前者是知识不段丰富、积累的过程，是“量”的积累；“从厚到薄”则是质的飞跃.在这里正是应用到了“从厚到薄”.而这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强，能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力，需要平时结合所学的知识多联想和多类比，注意知识的活学活用，才能够处理好这类问题. （在四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分，请把答案写在答题纸的指定区域内）21. A．（选修4-1：几何证明选讲）已知是圆两条相互垂直的直径，弦交的延长线于点，若，，求的长.【答案】【解析】试题分析：利用题意由割线定理和勾股定理列方程可求得.试题解析：...解：设半径为r，由切割线定理，得即，在三角形DOF中，由勾股定理，得，即.由上两式解得.22. B.（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵所对应的变换把曲线变成曲线：，求曲线的方程. 【答案】【解析】试题分析：利用变换矩阵求得变换为，据此可得的方程为.试题解析：设曲线C上任一点为（x,y），经过变换T变成，则，即 .又，得 .23. C.（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（为参数），若直线与圆相切，求的值. 【答案】1【解析】试题分析：化简为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求得半径.试题解析：解：由题意得，直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为.则直线和曲线相切，得.24. D．（选修4-5：不等式选讲）已知为正实数，且，证明：.【答案】见解析【解析】试题分析：利用题中不等式的特点写出三个不等式，将不等式相加即可得到结论. 试题解析：证：因为，所以由基本不等式，得. 三式相加，得.又，所以. （第22、23题，每小题10分，计20分，请把答案写在答题纸的指定区域内）25. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为2的等边三角形，，在上，且平面....（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.【答案】（1）直线PC与平面BDM所成角的正弦值为 .（2）平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.【解析】试题分析：利用题意建立空间直角坐标系，据此可得：(1) 直线PC与平面BDM所成角的正弦值为(2) 平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.试题解析：解：因为，作AD边上的高PO，则由，由面面垂直的性质定理，得，又是矩形，同理，知,，故.以AD中点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，AD的垂直平分线y轴，建立如图所示的坐标系，则，连结AC交BD于点N，由，所以，又N是AC的中点，所以M是PC的中点，则，设面BDM的法向量为，，，得，令，解得，所以取.（1）设PC与面BDM所成的角为，则，所以直线PC与平面BDM所成角的正弦值为 .（2）面PAD的法向量为向量，设面BDM与面PAD所成的锐二面角为，则，故平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.26. 一只带中装有编号为1,2,3，…，的个小球，，这些小球除编号以外无任何区别，现从袋中不重复地随机取出4个小球，记取得的4个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为，如，或4，或4或5，记的数学期望为.（1）求；（2）求.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：(1)利用题意求得，(2)利用题意归纳推理并进行证明可得...试题解析：解：（1）的概率分布为：则.的概率分布如下：则.(2) 方法一：，………………6分方法二：得猜想. 下面用数学归纳法证明.证明：①时猜想显然成立；...②假设时猜想成立，即，则，当时即时命题也成立.综上①②，对一切猜想都成立.。
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江苏省盐城中学2018届高三年级第二次模拟考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第一卷从第1页到第2页，第二卷从2页到第3页.考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回.满分150分.考试时间120分钟.第一卷 (选择题，共50分)注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{|1}A x x =<，}0))(2(|{≤--=a x x x B ，若1≤a 则=B A （A ）{|2}x x ≤ （B ）{|1}x x ≤ （C ） {|2}x x ≥ （D ）{|1}x x ≥2.设21cos ),0,2(=-∈απα，则=+)6tan(πα （A ）3 （B ）33 （C ）3- （D ）33- 3.设等差数列}{n a 的前n 项和是n S ，且0864=++a a a ，则6S 与5S 的大小关系是 （A ）56S S < （B ） 56S S > （C ） 56S S = （D ）无法确定 4.设b a 、表示直线，βα、表示平面，则βα//的充分条件是 （A ）b a b a //,,βα⊂⊂ （B ）βα⊥⊥b a b a ,,// （C ）αββα//,//,,b a b a ⊂⊂ （D ）αβ⊥⊥⊥b a b a ,,5.与直线34-=x y 平行的曲线23-+=x x y 的切线方程是（A ）04=-y x （B ）044=--y x（C ）024=--y x （D ）04=-y x 或044=--y x6.将函数x y 2cos =的图象沿向量a平移得到函数1)62sin(--=πx y 的图象，则向量a可以是 （A ）)1,3(-π（B ）)1,6(π （C ）)1,3(--π （D ）)1,6(π-7.若实数y x 、满足：⎩⎨⎧≤+≥+1022y x y x ，则y x +2的最小值是 （A ）2-（B ）22-（C ）5- （D ）52- 8.某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．已知某天0点到6点进行机组试运行，且该水池的蓄水量与时间（时间单位：小时）的关系如图丙所示：丙乙甲给出以下三个判断:①0点到3点只进水不出水；②3点到4点，不进水只出水；③4点到6点不进水不出水. 则上述判断中一定正确的是（A ）① （B ）② （C ）①③ （D ）②③ 9.设函数xxx x f -+⋅=11ln)(，若)()(21x f x f >，则下列不等式必定成立的是 （A ）21x x > （B ）21x x < （C ）2221x x > （D ）2221x x < 10.已知数列{}n a 的通项公式是)193)(72(10--=n n a n ，则该数列的最大项和最小项的和为 （A ）73- （B ）75- （C ）79- （D ）1-第二卷 (非选择题，共100分)注意事项：1． 请用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔在答题纸上指定区域内作答，在试题上作答一律无效.2． 作图题可先用2B 铅笔作答。
数学-江苏省盐城中学2018届高三模拟考试试题(四)
江苏省盐城中学2018届高三模拟考试数学试题（四）参考公式：1. 柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面面积，h 是高．2. 圆锥的侧面积公式：S ＝12cl ，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{ |x x 2－x ＝0}，B ＝{－1，0}，则A ∪B ＝________．2. 已知复数z ＝2＋i2－i (i 为虚数单位)，则z 的模为________．3. 函数y ＝log 12x 的定义域为________． 4. 如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为________． a ←0 b ←1 I ←2 While I ≤6 a ←a ＋b b ←a ＋b I ←I ＋2 End While Print b5. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有________人．6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y＝0，则该双曲线的离心率为________．7. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)，观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为________．8. 已知正四棱柱的底面边长为3 cm ，侧面的对角线长是3 5 cm ，则这个正四棱柱的体积是________cm 3.9. 若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________． 10. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：xy ＝3上任意一点P 到直线l ：x ＋3y ＝0的距离的最小值为________．11. 已知等差数列{}a n 满足a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝10，a 28－a 22＝36，则a 11的值为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1上，则r 的取值范围是________．13. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x ＋1|，x ≤1，（x －1）2，x >1，函数g (x )＝f (x )＋f (－x )，则不等式g (x )≤2的解集为________．14. 如图，在△ABC 中，已知AB ＝3 , AC ＝2 , ∠BAC ＝120°，D 为边BC 的中点．若CE ⊥AD ，垂足为E ，则EB →·EC →的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，tan(B －A )＝13.(1) 求tan B 的值；(2)若c ＝13，求△ABC 的面积．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝AA 1，M ，N 分别是AC ，B 1C 1 的中点．求证：(1) MN ∥平面ABB 1A 1；(2) AN ⊥A 1B .17. (本小题满分14分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2.已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO ＝θ，0<θ<π2，圆锥的侧面积为S cm 2.(1) 求S 关于θ的函数关系式；(2) 为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点(1，32)，F 为椭圆的右焦点，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，连结AF ，BF 分别交椭圆于C ，D 两点．(1) 求椭圆的标准方程； (2) 若AF ＝FC ，求BFFD的值；(3) 设直线AB ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数m ，使得k 2＝mk 1？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．19. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋1，g (x )＝ln x －a (a ∈R )． (1) 当a ＝1时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的极值；(2) 若存在与函数f (x )，g (x )的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．已知数列{}a n ，其前n 项和为S n ，满足a 1＝2，S n ＝λna n ＋μa n －1，其中n ≥2，n ∈N *，λ，μ∈R .(1) 若λ＝0，μ＝4，b n ＝a n ＋1－2a n (n ∈N *)，求证：数列{}b n 是等比数列； (2) 若数列{}a n 是等比数列，求λ，μ的值；(3) 若a 2＝3，且λ＋μ＝32，求证：数列{}a n 是等差数列.附加题21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证：AB 2＝BE ·BD －AE ·AC .B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4123，若矩阵M ＝BA ，求矩阵M 的逆矩阵M －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t(t 为参数)与圆C ：ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0的位置关系．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且a ＋b ＋c ＋d ＝1，求证： a 21＋a ＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d ≥15.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. (本小题满分10分)在正三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，AA 1＝2，E ，F ，G 分别是AA 1，AC 和A 1C 1的中点．以{F A →，FB →，FG →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F - xyz . (1) 求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值； (2) 求二面角F - BC 1 C 的余弦值．23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ：y 2＝4x 于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程；(2) 若直线l 1与曲线E 相切于点Q (s ，t )，过Q 且垂直于l 1的直线为l 2，直线l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B . 当线段AB 的长度最小时，求s 的值．【参考答案】一、填空题1. {－1，0，1}2. 13. (0，1]4. 135. 7506. 527. 598. 54 9. 4 10. 3 11. 11 12. [2－1，2＋1] 13. [－2，2] 14. －277二、解答题15. 解：(1) 在△ABC 中，由cos A ＝35，得A 为锐角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan B ＝tan[(B －A )＋A ]＝tan （B －A ）＋tan A1－tan （B －A ）·tan A＝13＋431－13×43＝3.(2) 在△ABC 中，由tan B ＝3，所以sin B ＝31010，cos B ＝1010，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝131050，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝c sin Bsin C ＝13×31010131050＝15，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×15×13×45＝78.16. 证明：(1) 取AB 的中点P ，连结PM ，PB 1.因为M ，P 分别是AB ，AC 的中点，所以PM ∥BC ，且PM ＝12BC .在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，BC ∥B 1C 1，BC ＝B 1C 1， 因为N 是B 1C 1 的中点，所以PM ∥B 1N ，且PM ＝B 1N . 所以四边形PMNB 1是平行四边形，所以MN ∥PB 1，而MN ⊄平面ABB 1A 1，PB 1⊂平面ABB 1A 1，所以MN ∥平面ABB 1A 1. (2) 因为三棱柱ABC - A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1. 因为BB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1B 1C 1. 因为∠ABC ＝90°，所以B 1C 1⊥B 1A 1.因为平面ABB 1A 1∩平面A 1B 1C 1＝B 1A 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， 所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.因为A 1B ⊂平面ABB 1A 1，所以B 1C 1⊥A 1B ，即NB 1⊥A 1B .连结AB 1，因为在平行四边形ABB 1A 1中，AB ＝AA 1，所以AB 1⊥A 1B . 又NB 1∩AB 1＝B 1，且AB 1，NB 1⊂平面AB 1N ，所以A 1B ⊥平面AB 1N . 而AN ⊂平面AB 1N ，所以A 1B ⊥AN .17. 解：(1) 设AO 交BC 于点D ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ,在△AOE 中，AE ＝10cos θ，AB ＝2AE ＝20cos θ， 在△ABD 中，BD ＝AB ·sin θ＝20cos θ·sin θ，所以S ＝12·2π·20sin θcos θ·20cos θ＝400πsin θcos 2θ(0<θ<π2)．(2) 要使侧面积最大，由(1)得 S ＝400πsin θcos 2θ＝400π(sin θ－sin 3θ)． 设f (x )＝x －x 3(0<x <1)，则f ′(x )＝1－3x 2. 由f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33. 当x ∈(0，33)时，f ′(x )>0，当x ∈(33，1)时，f ′(x )<0， 所以f (x )在区间(0，33)上单调递增，在区间(33，1)上单调递减， 所以f (x )在x ＝33时取得极大值，也是最大值； 所以当sin θ＝33时，侧面积S 取得最大值， 此时等腰三角形的腰长AB ＝20cos θ＝201－sin 2θ＝201－（33）2＝2063. 答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为2063cm.18. 解：(1) 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎨⎧c a ＝12，1a 2＋94b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2) 若AF ＝FC ，由椭圆对称性知A (1, 32)，所以B (－1, －32),此时直线BF 的方程为3x －4y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －3＝0，x 24＋y 23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝137(x ＝－1舍去)，故BF FD ＝1－（－1）137－1＝73. (3) 设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)，直线AF 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得(15－6x 0)x 2－8y 20－15x 20＋24x 0＝0.因为x ＝x 0是该方程的一个解，所以C 点的横坐标x C ＝8－5x 05－2x 0. 又C (x C ，y C )在直线y ＝y 0x 0－1(x －1)上，所以y C ＝y 0x 0－1(x C －1)＝－3y 05－2x 0，同理，D 点坐标为(8＋5x 05＋2x 0，3y 05＋2x 0)，所以k 2＝3y 05＋2x 0－－3y 05－2x 08＋5x 05＋2x 0－8－5x 05－2x 0＝5y 03x 0＝53k 1，即存在m ＝53，使得k 2＝53k 1.19. 解：(1) 函数h (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝1时，h (x )＝f (x )－g (x )＝x 2＋x －ln x ＋2， 所以h ′(x )＝2x ＋1－1x ＝（2x －1）（x ＋1）x ，所以当0<x <12时，h ′(x )<0，当x >12时，h ′(x )>0，所以函数h (x )在区间(0，12)上单调递减，在区间(12，＋∞)上单调递增，所以当x ＝12时，函数h (x )取得极小值为114＋ln 2，无极大值．(2) 设函数f (x )上点(x 1，f (x 1))与函数g (x )上点(x 2，g (x 2))处切线相同，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，所以2x 1＋a ＝1x 2＝x 21＋ax 1＋1－（ln x 2－a ）x 1－x 2，所以x 1＝12x 2－a2，代入x 1－x 2x 2＝x 21＋ax 1＋1－(ln x 2－a )，得14x 22－a 2x 2＋ln x 2＋a 24－a －2＝0 (*). 设F (x )＝14x 2－a 2x ＋ln x ＋a 24－a －2，则F ′(x )＝－12x 3＋a 2x 2＋1x ＝2x 2＋ax －12x 3.不妨设2x 20＋ax 0－1＝0(x 0>0)，则当0<x <x 0时，F ′(x )<0，当x >x 0时，F ′(x )>0， 所以F (x )在区间(0，x 0)上单调递减，在区间(x 0，＋∞)上单调递增， 代入a ＝1－2x 20x 0＝1x 0－2x 0可得F min (x )＝F (x 0)＝x 20＋2x 0－1x 0＋ln x 0－2. 设G (x )＝x 2＋2x －1x ＋ln x －2，则G ′(x )＝2x ＋2＋1x 2＋1x >0对x >0恒成立，所以G (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．又G (1)＝0，所以当0<x ≤1时G (x )≤0，即当0<x 0≤1时F (x 0)≤0. 又当x ＝ea ＋2时F (x )＝14e 2a ＋4－a 2ea ＋2＋ln e a ＋2＋a 24－a －2＝14(1e a ＋2－a )2≥0，因此当0<x 0≤1时，函数F (x )必有零点；即当0<x 0≤1时，必存在x 2使得(*)成立； 即存在x 1，x 2使得函数f (x )上点(x 1，f (x 1))与函数g (x )上点(x 2，g (x 2))处切线相同． 又由y ＝1x －2x ，得y ′＝－1x2－2<0，所以y ＝1x －2x 在(0，1)上单调递减，因此a ＝1－2x 20x 0＝1x 0－2x 0∈[－1，＋∞)，所以实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．20. (1) 证明：若λ＝0, μ＝4，则当S n ＝4a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝4(a n －a n －1)，即a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，所以b n ＝2b n －1. 又由a 1＝2，a 1＋a 2＝4a 1，得a 2＝3a 1＝6，a 2－2a 1＝2≠0，即b n ≠0，所以b nb n －1＝2，故数列{}b n 是等比数列．(2) 解：若{}a n 是等比数列，设其公比为q (q ≠0)，当n ＝2时，S 2＝2λa 2＋μa 1，即a 1＋a 2＝2λa 2＋μa 1，得1＋q ＝2λq ＋μ ①，当n ＝3时，S 3＝3λa 3＋μa 2，即a 1＋a 2＋a 3＝3λa 3＋μa 2，得1＋q ＋q 2＝3λq 2＋μq ②， 当n ＝4时，S 4＝4λa 4＋μa 3，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4λa 4＋μa 3，得1＋q ＋q 2＋q 3＝4λq 3＋μq 2 ③， ②－①×q ，得1＝λq 2 ,③－②×q ，得1＝λq 3 , 解得q ＝1, λ＝1. 代入①式，得μ＝0.此时S n ＝na n (n ≥2)，所以a n ＝a 1＝2，{}a n 是公比为1的等比数列， 故λ＝1,μ＝0.(3) 证明：若a 2＝3，由a 1＋a 2＝2λa 2＋μa 1，得5＝6λ＋2μ， 又λ＋μ＝32，解得λ＝12，μ＝1.由a 1＝2，a 2＝3, λ＝12 ，μ＝1，代入S n ＝λna n ＋μa n －1得a 3＝4，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，由S n ＝n2a n ＋a n －1，得S n ＋1＝n ＋12a n ＋1＋a n ，两式相减得a n ＋1＝n ＋12a n ＋1－n2a n ＋a n －a n －1，即(n －1)a n ＋1－(n －2)a n －2a n －1＝0， 所以na n ＋2－(n －1)a n ＋1－2a n ＝0，相减得na n ＋2－2(n －1)a n ＋1＋(n －2)a n －2a n ＋2a n －1＝0， 所以n (a n ＋2－2a n ＋1＋a n )＋2(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0，所以(a n ＋2－2a n ＋1＋a n )＝－2n (a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝22n （n －1）(a n －2a n －1＋a n －2)＝…＝（－2）n －1n （n －1）·…·2(a 3－2a 2＋a 1)．因为a 1－2a 2＋a 3＝0，所以a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，即数列{}a n 是等差数列．附加题21. A. 证明：连结AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD ⊥BD . 又EF ⊥AB ，则A ，D ，E ，F 四点共圆，所以BD ·BE ＝BA ·BF . 又△ABC ∽△AEF ，所以AB AE ＝ACAF ，即AB ·AF ＝AE ·AC ，所以BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB ·(BF －AF )＝AB 2. B. 解：因为M ＝BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4123⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－12－3，所以M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310110－1525. C. 解：把直线方程l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t (t 为参数)化为普通方程为x ＋y ＝2.将圆C ：ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0化为普通方程为x 2＋2x ＋y 2－2y ＝0， 即(x ＋1)2＋(y －1)2＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝22＝2，所以直线l 与圆C 相切． D. 证明：因为[(1＋a )＋(1＋b )＋(1＋c )＋(1＋d )](a 21＋a ＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d )≥(1＋a ·a1＋a＋1＋b ·b 1＋b ＋1＋c ·c 1＋c ＋1＋d ·d 1＋d )2＝(a ＋b ＋c ＋d )2＝1，又(1＋a )＋(1＋b )＋(1＋c )＋(1＋d )＝5， 所以a 21＋a ＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d ≥15.22. 解：(1) 因为AB ＝1，AA 1＝2，则F (0，0，0)，A (12，0，0)，C (－12，0，0)，B (0，32，0)，E (12，0，1)，所以AC →＝(－1，0，0)，BE →＝(12，－32，1)，记直线AC 和BE 所成角为α，则cos α＝|cos 〈AC →，BE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（－1）×12（12）2＋（－32）2＋1＝24， 所以直线AC 和BE 所成角的余弦值为24. (2) 设平面BFC 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1) , 因为FB →＝(0，32，0)，FC 1→＝(－12，0，2)，则⎩⎨⎧m ·FB →＝32y 1＝0，m ·FC 1→＝－12x 1＋2z 1＝0，取x 1＝4得m ＝(4，0，1).设平面BCC 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 因为CB →＝(12，32，0)，CC 1→＝(0，0，2)，则⎩⎨⎧n ·CB →＝12x 2＋32y 2＝0，n ·CC 1→＝2z 2＝0，取x 2＝3得n ＝(3，－1，0)．所以cos 〈m ，n 〉＝4×3＋（－1）×0＋1×0（3）2＋（－1）2＋02×42＋02＋12＝25117.根据图形可知二面角F -BC 1-C 为锐二面角， 所以二面角F -BC 1-C 的余弦值为25117.23. 解：(1) 因为抛物线C 的方程为y 2＝4x ，所以F 的坐标为(1，0)． 设M (m ，n )，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为|n |，点P (n 2，2n )，则直线PF 的方程为y 2n ＝x －1n 2－1，即2n (x －1)－y (n 2－1)＝0，所以|2n （m －1）－n （n 2－1）|（2n ）2＋（n 2－1）2＝|n |.又m ，n ≠0，所以|2m －n 2－1|＝n 2＋1，即n 2－m ＋1＝0， 所以E 的方程为y 2＝x －1(y ≠0)． (2) 设Q (t 2＋1，t ), A (0，y 1)，B (0，y 2)，由(1)知，点Q 处的切线l 1的斜率存在，由对称性不妨设t >0，由y ′＝12x －1，所以k AQ ＝t －y 1t 2＋1＝12t 2＋1－1，k BQ ＝t －y 2t 2＋1＝－2t 2＋1－1， 所以y 1＝t 2－12t，y 2＝2t 3＋3t ,所以AB ＝⎪⎪⎪⎪2t 3＋3t －t 2＋12t ＝2t 3＋52t ＋12t(t >0)． 令f (t )＝2t 3＋52t ＋12t ，t >0，则f ′(t )＝6t 2＋52－12t 2＝12t 4＋5t 2－12t 2.由f ′(t )>0得t >－5＋7324，由f ′(t )<0得0<t <－5＋7324， 所以f (t )在区间(0，－5＋7324)上单调递减，在(－5＋7324，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝－5＋7324时，f (t )取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值． 此时s ＝t 2＋1＝19＋7324.。
高三数学-2018年4月江苏省盐城市南阳、三丈、伍佑三校
2018年4月盐城市南阳、三丈、伍佑三校联考数学试卷一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.若集合2{|2408}A x x x =--≤，8{|8}x B x C =≤，则A B 中元素个数为A.1个B.2个C.3个D.4个2.椭圆22143x y +=的右焦点到直线3y x =的距离是 A.123.在等比数列{a n }中，572106,5,a a a a =+=则2820a a 等于 A.23 B. 32 C. 23或32 D. 23-或32- 4.将函数sin 2y x =的图象按向量a 平移后得到函数sin(2)3y x π=-图象，则向量a 可以是A.(,0)3πB. (,0)6πC. (,0)3π-D. (,0)6π- 5.方程0)1lg(122=-+-y x x 所表示的曲线图形是6.已知(2,),(0,3)a k b ==，且a b 与的夹角为23π，则k 的值为A.43B.7.已知正方形ABCD ,沿对角线AC 将三角形ADC 折起,设AD 与平面ABC 所成的角为α,当α取最大值时,二面角B AC D --的余弦值为A.0B.2C.12D.28.105a <≤是函数2()2(1)2f x ax a x =+-+在区间(,4]-∞上为减函数的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为,b c ，则方程20x bx c ++=有实根的概率是 A.12 B.1118 C.1736 D.193610.已知函数()y f x =是周期为2π的函数，当[0,2)x π∈，()sin 2x f x =，则1()2f x =的解集为A.{|2,}3x x k k Z ππ=+∈ B.5{|2,}3x x k k Z ππ=+∈ C.{|2,}3x x k k Z ππ=±∈ D.{|2(1),}3kx x k k Z ππ=+-∈二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
江苏省盐城市伍佑中学2018届高三数学10月情调研测试试题 文
盐城市伍佑中学2017—2018学年度第一学期高三年级学情调研测试(一)数学（文科）试题试卷总分：160分 考试时间：120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1．已知全集}8,6,4,2{=U ，集合}6,4{},6,2{==B A ，则U A C B = ▲ ．2．命题“[0,)x ∃∈+∞,23x >"的否定是 ▲ ．3．已知向量a =(–1，2)，b =（m ,1）.若向量a b +与a 平行,则m = ▲ ．4．已知7sin cos 13αα+=-,π(,0)2α∈-，则tan α= ▲ ．5．已知函数31(),(0)()3log ,(0)xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则1(())9f f = ▲ ．6．等差数列{}n a 中，2474,15a a a =+=，则错误!未找到引用源. ▲ ．7．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+≤--042001y x y x y x ,则y x z 3-=的最大值为 ▲ ．8．若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[1,2]-上的最大值为9,最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数,则a = ▲ ．9．若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ▲ ．10．设曲线y ＝e x在点(0,1）处的切线与曲线y ＝错误!（x ＞0）在点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ▲ ．11．已知ABC ∆是单位圆O 的内接三角形，AD 是圆的直径，若满足2AB AD AC AD BC ⋅+⋅=，则||BC =▲ ．12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*16152,n n a S n n n n N -=+∈-,若对任意*n N ∈，总有n k S S ,则k 的值是 ▲ ．13．设函数a ax x x x f -+--=53)(23，若存在唯一的正整数0x ,使得0)(0<x f ,则a 的取值范围是▲ ．14．已知0,,>c b a ，则bcab cb a 2222+++的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题,共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分）设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >；命题:q 实数x 满足 2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩(1）若1,a =且p q ∧为真,求实数x 的取值范围；(2）若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．16．（本小题满分14分）设向量b a ,满足.53,1=-==b a b a (1）求b a 3+的值；（2)求b a -3与b a 3+夹角的正弦值．已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，若21=a ,且n n S S 21=+． （1)求数列}{n a 的通项公式； （2）设12log +=n n a b ，求数列}1{1+n n b b 的前n 项之和．18．（本小题满分16分）如图，有一个位于A 处的观测站，某时刻发现在其北偏东45°且与A 相距202海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A 北偏东45°＋θ（其中tan θ＝15,0°＜θ＜45°）,且与观测站A 相距5错误!海里的C 处． （1)求该船的行驶速度v （海里/小时）；（2)在离观测站A 的正南方15海里的E 处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过10分钟，如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域?若进入警戒区域,是否能按规定时间离开该区域?请说明理由．南A E已知等差数列}{n a 的公差d 不为0，且1212,,,,()n k k k n a a a k k k <<<<成等比数列,公比为q ．(1)若8,3,1321===k k k ,求da 1的值； (2）当da 1为何值时，数列}{n k 为等比数列．20．（本小题满分16分)已知函数R a x ax x x f ∈+-=,ln )(2．(1)当0=a 时，求曲线)(x f y =在点))(,(e f e 处的切线方程； (2）试判断函数)(x f 的单调性；（3)若函数)(x f 有两个零点，求a 的取值范围．参考答案1． }2{;2． [0,)x ∀∈+∞，23x ≤；3．12-；4． 125-;5． 9；6．87．1-；8．19；9．13;10．（1，1）；11．2；12．7；13．]45,31(；14．255解析1:22222222222141422+255555==2225a b b c a b b c a b c ab bc ab bc ab bc ⋅+⋅++++≥+++（）（）. 解法2：22222()1()=22a ca b c b b a c ab bc b b++++++,设=,=a c x y b b ，222=(>0)2a b c t t ab bc +++。