2020年高考数学 课时31 几何概型单元滚动精准测试卷 文
浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测九平面解析几何单元检测含解析
单元检测九 平面解析几何(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l 经过点(3，－2)和(0,1)，则它的倾斜角是( ) A ．30°B．60°C．150°D．120° 答案 D解析 由斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1－(－2)0－3＝－3，再由倾斜角的范围[0°，180°)知，tan120°＝－3，故选D.2．直线kx －y －3k ＋3＝0过定点( ) A ．(3,0) B ．(3,3) C ．(1,3) D ．(0,3) 答案 B解析 kx －y －3k ＋3＝0可化为y －3＝k (x －3)，所以过定点(3,3)．故选B.3．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A.7B ．22C ．1D ．3 答案 A解析 圆的圆心为(3,0)，r ＝1，圆心到直线x －y ＋1＝0的距离为d ＝|3＋1|2＝22，所以由勾股定理可知切线长的最小值为(22)2－12＝7.4．一束光线从点A (－1,1)发出，并经过x 轴反射，到达圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路程是( )A ．4B ．5C ．32－1D ．2 6 答案 A解析 依题意可得，点A 关于x 轴的对称点A 1(－1，－1)，圆心C (2,3)，A 1C 的距离为(2＋1)2＋(3＋1)2＝5，所以到圆上的最短距离为5－1＝4，故选A.5．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为原点，则实数a 的值为( ) A ．2B ．－2C ．2或－2D.6或－ 6 答案 C解析 由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得|OA →＋OB →|2＝|OA →－OB →|2，化简得OA →·OB →＝0，即OA →⊥OB →，三角形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a |2＝2，a ＝±2. 6．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( ) A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 答案 B解析 由已知条件得直线l 的斜率为k ＝k FN ＝1，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30得，y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2，从而4b 25a2＝1，即4b 2＝5a 2，又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，故选B.7．(2018·绍兴市、诸暨市模拟)如图，已知点P 是抛物线C ：y 2＝4x 上一点，以P 为圆心，r 为半径的圆与抛物线的准线相切，且与x 轴的两个交点的横坐标之积为5，则此圆的半径r为( )A ．2 3B ．5C ．4 3D ．4答案 D解析 设圆与x 轴的两个交点分别为A ，B ，由抛物线的定义知x P ＝r －1，则P (r －1,2r －1)，又由中垂线定理，知|OA |＋|OB |＝2(r －1)，且|OA |·|OB |＝5，故由圆的切割线定理，得(2r －1)2＝(1＋|OA |)(1＋|OB |)，展开整理得r ＝4，故选D.8．(2018·绍兴市、诸暨市模拟)已知双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1，F 1，F 2为其左、右焦点，若P 是双曲线右支上的一点，且tan∠PF 1F 2＝12，tan∠PF 2F 1＝2，则此双曲线的离心率为( )A.5B.52C.355D. 3 答案 A解析 由tan∠PF 1F 2＝12，tan∠PF 2F 1＝2知，PF 1⊥PF 2，作PQ ⊥x 轴于点Q ，则由△PF 1Q ∽△F 2PQ ，得|F 1Q |＝4|F 2Q |＝85c ，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35c ，45c ， 代入双曲线的方程，有b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫35c 2－a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫45c 2＝a 2b 2，又a 2＋b 2＝c 2，则(9c 2－5a 2)(c 2－5a 2)＝0， 解得ca ＝5或c a ＝53(舍)，即离心率e ＝5，故选A. 9．(2019·宁波模拟)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (5,0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，若|BF |＝5，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( ) A.56B.2033C.1531D.2029 答案 D解析 由题意知直线AB 的斜率存在，则由抛物线的对称性不妨设其方程为y ＝k (x －5)，k >0， 与抛物线的准线x ＝－1联立，得点C 的坐标为(－1，－6k )， 与抛物线的方程y 2＝4x 联立，消去y 得k 2x 2－(10k 2＋4)x ＋25k 2＝0，则x A ＋x B ＝10k 2＋4k2，x A x B ＝25， 又因为|BF |＝x B ＋1＝5，所以x B ＝4， 代入解得x A ＝254，k ＝4，则y A ＝5，y B ＝－4，y C ＝－24， 则S △ACF ＝12|PF |·|y A －y C |＝58，S △ABF ＝12|PF ||y A －y B |＝18，则S △BCF S △ACF ＝1－S △ABF S △ACF ＝2029，故选D. 10．已知直线l ：kx －y －2k ＋1＝0与椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，与圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于C ，D 两点．若存在k ∈[－2，－1]，使得AC →＝DB →，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1答案 C解析 直线l 过圆C 2的圆心，∵AC →＝DB →， ∴|AC 2→|＝|C 2B →|，∴C 2的圆心为线段AB 的中点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b2， 化简可得－2·b 2a 2＝k ，又∵a >b ，∴b 2a 2＝－k 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，所以e ＝1－b 2a 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．(2018·台州质检)已知直线l 1：mx ＋3y ＝2－m ，l 2：x ＋(m ＋2)y ＝1，若l 1∥l 2，则实数m ＝________；若l 1⊥l 2，则实数m ＝________.答案 －3 －32解析 l 1∥l 2等价于⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋2)＝3，m ≠2－m ，解得m ＝－3.l 1⊥l 2等价于m ＋3(m ＋2)＝0，解得m ＝－32.12．(2018·浙江十校联盟考试)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是________，焦点到准线的距离是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 18解析 由y ＝4x 2，得x 2＝y4，可得2p ＝14，所以p ＝18，即焦点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，焦点到准线的距离为18.13．(2018·衢州模拟)已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，|AB |＝2，圆C 的半径为________；圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 答案2 －1－ 2解析 设圆心C (1，b )，则半径r ＝b . 由垂径定理得，1＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝b 2，即b ＝2，且B (0,1＋2)． 又由∠ABC ＝45°，切线与BC 垂直， 知切线的倾斜角为45°，故切线在x 轴上的截距为－1－ 2.14．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，则双曲线的离心率为________，如果双曲线上存在一点P 到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为________． 答案 2 4 3解析 由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，可知双曲线渐近线y ＝b a x 的倾斜角为π3，即ba ＝3，所以e ＝c a＝1＋3＝2， 因为a ＝2，从而b ＝16－4＝23， 所以虚轴长为4 3.15．已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，线段FA 与抛物线C 相交于点M ，FA 的延长线与抛物线的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________． 答案2解析 依题意得焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0， 设点M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接KM (图略)， 由抛物线的定义知|MF |＝|MK |， 因为|FM |∶|MN |＝1∶3， 所以|KN |∶|KM |＝22∶1，又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－22，所以4a＝22，解得a ＝ 2.16．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A (2,1)，B 是E 上不同的两点，且四边形AF 1BF 2是平行四边形，若∠AF 2B ＝2π3，2ABF S＝3，则双曲线E 的标准方程为________． 答案x 22－y 2＝1解析 如图，因为四边形AF 1BF 2是平行四边形， 所以2ABF S＝12AF F S，∠F 1AF 2＝π3，所以|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|cos π3，即4c 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|AF 1||AF 2|，① 又4a 2＝(|AF 1|－|AF 2|)2，所以4a 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|，② 由①②可得|AF 1||AF 2|＝4b 2， 又2ABF S＝12×4b 2×32＝3， 所以b 2＝1，将点A (2,1)代入x 2a2－y 2＝1，可得a 2＝2，故双曲线E 的标准方程为x 22－y 2＝1.17．在平面直角坐标系xOy 中，A (3,0)，P (3，t )，t ∈R ，若存在C ，D 两点满足|AC ||OC |＝|AD ||OD |＝2，且PD →＝2PC →，则t 的取值范围是________． 答案 [－25，25]解析 设C (x ，y )，因为A (3,0)，|AC ||OC |＝2，所以(x －3)2＋y2x 2＋y 2＝2，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4，即点C 在圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝4上． 同理由|AD ||OD |＝2可得点D 也在圆M 上．因为PD →＝2PC →，所以C 是PD 的中点， 过点M 作MN ⊥CD ，垂足为N ，连接CM ，PM .设|MN |＝d ，|PC |＝|CD |＝2k ，分别在Rt△CMN ，Rt△PMN 中，由勾股定理，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋d 2＝4，9k 2＋d 2＝t 2＋16，消去k 2得，t 2＝20－8d 2.因为0≤d 2<4，所以t 2≤20，解得－25≤t ≤25， 所以t 的取值范围是[－25，25]．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)已知过点A (0,1)，且斜率为k 的直线l 与圆C ： (x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点．(1)求实数k 的取值范围； (2)求证：AM →·AN →为定值．(1)解 由题意过点A (0,1)且斜率为k 的直线的方程为y ＝kx ＋1， 代入圆C 的方程得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，因为直线与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点， 所以Δ＝[－4(1＋k )]2－4×7×(1＋k 2)>0， 解得4－73<k <4＋73，所以实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， AM →＝(x 1，y 1－1)，AN →＝(x 2，y 2－1)，由(1)得，x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，所以y 1＋y 2＝(kx 1＋1)＋(kx 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2.y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1.所以AM →·AN →＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1 ＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＝(1＋k 2)·71＋k 2＝7，所以AM →·AN →为定值．19.(15分)(2018·浙江名校高考研究联盟联考)如图，以P (0，－1)为直角顶点的等腰直角△PMN 内接于椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)，设直线PM 的斜率为k .(1)试用a ，k 表示弦长|MN |；(2)若这样的△PMN 存在3个，求实数a 的取值范围．解 (1)不妨设直线PM 所在的直线方程为y ＝kx －1(k <0)，代入椭圆方程x 2a2＋y 2＝1，整理得(1＋a 2k 2)x 2－2ka 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2ka21＋a 2k2，则|PM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝－2ka 21＋k21＋a 2k2， 所以|MN |＝2|PM |＝－22ka 21＋k21＋a 2k 2. (2)因为△PMN 是等腰直角三角形，所以直线PN 所在的直线方程为y ＝－1kx －1(k <0)，同理可得|PN |＝－21k a 21＋1k 21＋a 21k2＝2a 21＋k 2k 2＋a 2.令|PM |＝|PN |，整理得k 3＋a 2k 2＋a 2k ＋1＝0，k 3＋1＋a 2k (k ＋1)＝0，(k ＋1)(k 2－k ＋1)＋a 2k (k ＋1)＝0， 即(k ＋1)[k 2＋(a 2－1)k ＋1]＝0.若这样的等腰直角三角形PMN 存在3个，则方程k 2＋(a 2－1)k ＋1＝0有两个不等于－1的负根k 1，k 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(a 2－1)2－4>0，k 1＋k 2＝1－a 2<0，k 1k 2＝1>0，1－(a 2－1)＋1≠0，因为a >1，所以a > 3.20．(15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4，其上顶点到直线3x ＋4y －1＝0的距离等于35.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，交x 轴的负半轴于点E ，交y 轴于点F (点E ，F 都不在椭圆上)，且FA →＝λ1AE →，FB →＝λ2BE →，λ1＋λ2＝－8，证明：直线l 恒过定点，并求出该定点． 解 (1)由椭圆C 的长轴长为4知2a ＝4，故a ＝2，椭圆的上顶点为(0，b )，则由|4b －1|5＝35得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，E (m,0)(m <0，m ≠－2)，F (0，n )， 由FA →＝λ1AE →，得(x 1，y 1－n )＝λ1(m －x 1，－y 1)， 所以A ⎝⎛⎭⎪⎫λ1m 1＋λ1，n 1＋λ1.同理由FB →＝λ2BE →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2m 1＋λ2，n 1＋λ2， 把A ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1m 1＋λ1，n 1＋λ1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2m 1＋λ2，n 1＋λ2分别代入x 24＋y 2＝1 得：⎩⎪⎨⎪⎧(4－m 2)λ21＋8λ1＋4－4n 2＝0，(4－m 2)λ22＋8λ2＋4－4n 2＝0，即λ1，λ2是关于x 的方程(4－m 2)x 2＋8x ＋4－4n 2＝0的两个根，∴λ1＋λ2＝－84－m2＝－8， ∴m ＝－3，所以直线l 恒过定点(－3，0)．21．(15分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >1)上的点A 到其焦点的距离为32，且点A 在曲线x ＋y2－52＝0上． (1)求抛物线C 的方程；(2)M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是抛物线C 上异于原点的两点，Q (x 0，y 0)是线段MN 的中点，点P 是抛物线C 在点M ，N 处切线的交点，若|y 1－y 2|＝4p ，证明：△PMN 的面积为定值． (1)解 设点A (x A ，y A )， ∵点A 到抛物线焦点的距离为32，∴x A ＝32－p 2，y 2A ＝2px A ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－p 2， 又点A 在曲线x ＋y 2－52＝0上，∴32－p 2＋2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－p 2－52＝0， 即p 2－52p ＋1＝0，解得p ＝2或p ＝12(舍去)，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 由(1)知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，|y 1－y 2|＝8，设抛物线C 在点M 处的切线的斜率为k (k ≠0)，则该切线的方程为y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 214， 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 214，y 2＝4x ，消去x ，整理得 ky 2－4y ＋4y 1－ky 21＝0，∵M 是切点，∴Δ＝16－4k (4y 1－ky 21)＝0，即4－4ky 1＋k 2y 21＝0，解得k ＝2y 1， ∴直线PM 的方程为y －y 1＝2y 1(x －y 214)，即y ＝2y 1x ＋y 12， 同理得直线PN 的方程为y ＝2y 2x ＋y 22， 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 1x ＋y 12，y ＝2y 2x ＋y 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y 1y 24，y ＝y 1＋y 22， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 24，y 1＋y 22， ∵Q 是线段MN 的中点，∴y 0＝y 1＋y 22， ∴PQ ∥x 轴，且x 0＝x 1＋x 22＝y 21＋y 228，∴△PMN 的面积S ＝12|PQ |·|y 1－y 2| ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1y 24－x 0·|y 1－y 2| ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1y 24－y 21＋y 228·|y 1－y 2| ＝116|y 1－y 2|3＝32， 即△PMN 的面积为定值．22．(15分)(2018·嘉兴测试)如图，已知抛物线x 2＝y ，过直线l ：y ＝－14上任一点M 作抛物线的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B .(1)求证：MA ⊥MB ；(2)求△MAB 面积的最小值．(1)证明 方法一 设M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，－14， 易知直线MA ，MB 的斜率都存在，分别设为k 1，k 2，设过点M 的抛物线的切线方程为y ＋14＝k (x －x 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋14＝k (x －x 0)，x 2＝y ，得x 2－kx ＋kx 0＋14＝0， Δ＝k 2－4kx 0－1＝0，由题意知，k 1，k 2是方程k 2－4x 0k －1＝0的两个根，所以k 1k 2＝－1，所以MA ⊥MB .方法二 设M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，－14，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)， 易知直线MA ，MB 的斜率都存在，分别设为k 1，k 2.由y ＝x 2，得y ′＝2x ，则MA ，MB 的斜率分别为k 1＝2x 1，k 2＝2x 2，所以2x 1＝x 21＋14x 1－x 0，整理得x 21＝2x 1x 0＋14， 同理可得，x 22＝2x 2x 0＋14， 两式相减得，x 21－x 22＝2x 0(x 1－x 2)，因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝2x 0，于是x 21＝x 1(x 1＋x 2)＋14， 所以x 1x 2＝－14，即k 1k 2＝4x 1x 2＝－1， 所以MA ⊥MB .(2)解 由(1)得k 1＝2x 1，k 2＝2x 2， 所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 12，k 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 22，k 224， 易知k 1k 2＝－1，k 1＋k 2＝4x 0，所以|MA |＝1＋1k 21|y A －y M |＝1＋1k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 214＋14＝(k 21＋1)324|k 1|，同理，|MB |＝(k 22＋1)324|k 2|， 所以S △MAB ＝12|MA |·|MB |＝12·[(k 21＋1)(k 22＋1)]3216|k 1k 2|＝(k 21＋k 22＋2)3232＝[(4x 0)2－2×(－1)＋2]3232 ＝[(4x 0)2＋4]2332≥32432＝14. 综上，当x 0＝0时，△MAB 的面积取得最小值，最小值为14.。
2020届高考理科数学总复习单元滚动测试卷含答案(21套)
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浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测九平面解析几何单元检测含解析
单元检测九 平面解析几何(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l 经过点(3，－2)和(0,1)，则它的倾斜角是( ) A ．30°B．60°C．150°D．120° 答案 D解析 由斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1－(－2)0－3＝－3，再由倾斜角的范围[0°，180°)知，tan120°＝－3，故选D.2．直线kx －y －3k ＋3＝0过定点( ) A ．(3,0) B ．(3,3) C ．(1,3) D ．(0,3) 答案 B解析 kx －y －3k ＋3＝0可化为y －3＝k (x －3)，所以过定点(3,3)．故选B.3．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A.7B ．22C ．1D ．3 答案 A解析 圆的圆心为(3,0)，r ＝1，圆心到直线x －y ＋1＝0的距离为d ＝|3＋1|2＝22，所以由勾股定理可知切线长的最小值为(22)2－12＝7.4．一束光线从点A (－1,1)发出，并经过x 轴反射，到达圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路程是( )A ．4B ．5C ．32－1D ．2 6 答案 A解析 依题意可得，点A 关于x 轴的对称点A 1(－1，－1)，圆心C (2,3)，A 1C 的距离为(2＋1)2＋(3＋1)2＝5，所以到圆上的最短距离为5－1＝4，故选A.5．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为原点，则实数a 的值为( ) A ．2B ．－2C ．2或－2D.6或－ 6 答案 C解析 由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得|OA →＋OB →|2＝|OA →－OB →|2，化简得OA →·OB →＝0，即OA →⊥OB →，三角形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a |2＝2，a ＝±2. 6．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( ) A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 答案 B解析 由已知条件得直线l 的斜率为k ＝k FN ＝1，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30得，y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2，从而4b 25a2＝1，即4b 2＝5a 2，又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，故选B.7．(2018·绍兴市、诸暨市模拟)如图，已知点P 是抛物线C ：y 2＝4x 上一点，以P 为圆心，r 为半径的圆与抛物线的准线相切，且与x 轴的两个交点的横坐标之积为5，则此圆的半径r为( )A ．2 3B ．5C ．4 3D ．4答案 D解析 设圆与x 轴的两个交点分别为A ，B ，由抛物线的定义知x P ＝r －1，则P (r －1,2r －1)，又由中垂线定理，知|OA |＋|OB |＝2(r －1)，且|OA |·|OB |＝5，故由圆的切割线定理，得(2r －1)2＝(1＋|OA |)(1＋|OB |)，展开整理得r ＝4，故选D.8．(2018·绍兴市、诸暨市模拟)已知双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1，F 1，F 2为其左、右焦点，若P 是双曲线右支上的一点，且tan∠PF 1F 2＝12，tan∠PF 2F 1＝2，则此双曲线的离心率为( )A.5B.52C.355D. 3 答案 A解析 由tan∠PF 1F 2＝12，tan∠PF 2F 1＝2知，PF 1⊥PF 2，作PQ ⊥x 轴于点Q ，则由△PF 1Q ∽△F 2PQ ，得|F 1Q |＝4|F 2Q |＝85c ，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35c ，45c ， 代入双曲线的方程，有b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫35c 2－a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫45c 2＝a 2b 2，又a 2＋b 2＝c 2，则(9c 2－5a 2)(c 2－5a 2)＝0， 解得ca ＝5或c a ＝53(舍)，即离心率e ＝5，故选A. 9．(2019·宁波模拟)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (5,0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，若|BF |＝5，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( ) A.56B.2033C.1531D.2029 答案 D解析 由题意知直线AB 的斜率存在，则由抛物线的对称性不妨设其方程为y ＝k (x －5)，k >0， 与抛物线的准线x ＝－1联立，得点C 的坐标为(－1，－6k )， 与抛物线的方程y 2＝4x 联立，消去y 得k 2x 2－(10k 2＋4)x ＋25k 2＝0，则x A ＋x B ＝10k 2＋4k2，x A x B ＝25， 又因为|BF |＝x B ＋1＝5，所以x B ＝4， 代入解得x A ＝254，k ＝4，则y A ＝5，y B ＝－4，y C ＝－24， 则S △ACF ＝12|PF |·|y A －y C |＝58，S △ABF ＝12|PF ||y A －y B |＝18，则S △BCF S △ACF ＝1－S △ABF S △ACF ＝2029，故选D. 10．已知直线l ：kx －y －2k ＋1＝0与椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，与圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于C ，D 两点．若存在k ∈[－2，－1]，使得AC →＝DB →，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1答案 C解析 直线l 过圆C 2的圆心，∵AC →＝DB →， ∴|AC 2→|＝|C 2B →|，∴C 2的圆心为线段AB 的中点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b2， 化简可得－2·b 2a 2＝k ，又∵a >b ，∴b 2a 2＝－k 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，所以e ＝1－b 2a 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．(2018·台州质检)已知直线l 1：mx ＋3y ＝2－m ，l 2：x ＋(m ＋2)y ＝1，若l 1∥l 2，则实数m ＝________；若l 1⊥l 2，则实数m ＝________.答案 －3 －32解析 l 1∥l 2等价于⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋2)＝3，m ≠2－m ，解得m ＝－3.l 1⊥l 2等价于m ＋3(m ＋2)＝0，解得m ＝－32.12．(2018·浙江十校联盟考试)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是________，焦点到准线的距离是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 18解析 由y ＝4x 2，得x 2＝y4，可得2p ＝14，所以p ＝18，即焦点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，焦点到准线的距离为18.13．(2018·衢州模拟)已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，|AB |＝2，圆C 的半径为________；圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 答案2 －1－ 2解析 设圆心C (1，b )，则半径r ＝b . 由垂径定理得，1＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝b 2，即b ＝2，且B (0,1＋2)． 又由∠ABC ＝45°，切线与BC 垂直， 知切线的倾斜角为45°，故切线在x 轴上的截距为－1－ 2.14．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，则双曲线的离心率为________，如果双曲线上存在一点P 到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为________． 答案 2 4 3解析 由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，可知双曲线渐近线y ＝b a x 的倾斜角为π3，即ba ＝3，所以e ＝c a＝1＋3＝2， 因为a ＝2，从而b ＝16－4＝23， 所以虚轴长为4 3.15．已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，线段FA 与抛物线C 相交于点M ，FA 的延长线与抛物线的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________． 答案2解析 依题意得焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0， 设点M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接KM (图略)， 由抛物线的定义知|MF |＝|MK |， 因为|FM |∶|MN |＝1∶3， 所以|KN |∶|KM |＝22∶1，又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－22，所以4a＝22，解得a ＝ 2.16．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A (2,1)，B 是E 上不同的两点，且四边形AF 1BF 2是平行四边形，若∠AF 2B ＝2π3，2ABF S＝3，则双曲线E 的标准方程为________． 答案x 22－y 2＝1解析 如图，因为四边形AF 1BF 2是平行四边形， 所以2ABF S＝12AF F S，∠F 1AF 2＝π3，所以|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|cos π3，即4c 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|AF 1||AF 2|，① 又4a 2＝(|AF 1|－|AF 2|)2，所以4a 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|，② 由①②可得|AF 1||AF 2|＝4b 2， 又2ABF S＝12×4b 2×32＝3， 所以b 2＝1，将点A (2,1)代入x 2a2－y 2＝1，可得a 2＝2，故双曲线E 的标准方程为x 22－y 2＝1.17．在平面直角坐标系xOy 中，A (3,0)，P (3，t )，t ∈R ，若存在C ，D 两点满足|AC ||OC |＝|AD ||OD |＝2，且PD →＝2PC →，则t 的取值范围是________． 答案 [－25，25]解析 设C (x ，y )，因为A (3,0)，|AC ||OC |＝2，所以(x －3)2＋y2x 2＋y 2＝2，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4，即点C 在圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝4上． 同理由|AD ||OD |＝2可得点D 也在圆M 上．因为PD →＝2PC →，所以C 是PD 的中点， 过点M 作MN ⊥CD ，垂足为N ，连接CM ，PM .设|MN |＝d ，|PC |＝|CD |＝2k ，分别在Rt△CMN ，Rt△PMN 中，由勾股定理，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋d 2＝4，9k 2＋d 2＝t 2＋16，消去k 2得，t 2＝20－8d 2.因为0≤d 2<4，所以t 2≤20，解得－25≤t ≤25， 所以t 的取值范围是[－25，25]．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(14分)已知过点A (0,1)，且斜率为k 的直线l 与圆C ： (x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点． (1)求实数k 的取值范围； (2)求证：AM →·AN →为定值．(1)解 由题意过点A (0,1)且斜率为k 的直线的方程为y ＝kx ＋1， 代入圆C 的方程得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，因为直线与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点， 所以Δ＝[－4(1＋k )]2－4×7×(1＋k 2)>0， 解得4－73<k <4＋73，所以实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， AM →＝(x 1，y 1－1)，AN →＝(x 2，y 2－1)，由(1)得，x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，所以y 1＋y 2＝(kx 1＋1)＋(kx 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2.y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1.所以AM →·AN →＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1 ＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＝(1＋k 2)·71＋k 2＝7，所以AM →·AN →为定值．19.(15分)(2018·浙江名校高考研究联盟联考)如图，以P (0，－1)为直角顶点的等腰直角△PMN 内接于椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)，设直线PM 的斜率为k .(1)试用a ，k 表示弦长|MN |；(2)若这样的△PMN 存在3个，求实数a 的取值范围．解 (1)不妨设直线PM 所在的直线方程为y ＝kx －1(k <0)，代入椭圆方程x 2a2＋y 2＝1，整理得(1＋a 2k 2)x 2－2ka 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2ka21＋a 2k2，则|PM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝－2ka 21＋k21＋a 2k2， 所以|MN |＝2|PM |＝－22ka 21＋k21＋a 2k 2. (2)因为△PMN 是等腰直角三角形，所以直线PN 所在的直线方程为y ＝－1kx －1(k <0)，同理可得|PN |＝－21k a 21＋1k 21＋a 21k2＝2a 21＋k 2k 2＋a 2.令|PM |＝|PN |，整理得k 3＋a 2k 2＋a 2k ＋1＝0，k 3＋1＋a 2k (k ＋1)＝0，(k ＋1)(k 2－k ＋1)＋a 2k (k ＋1)＝0， 即(k ＋1)[k 2＋(a 2－1)k ＋1]＝0.若这样的等腰直角三角形PMN 存在3个，则方程k 2＋(a 2－1)k ＋1＝0有两个不等于－1的负根k 1，k 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(a 2－1)2－4>0，k 1＋k 2＝1－a 2<0，k 1k 2＝1>0，1－(a 2－1)＋1≠0，因为a >1，所以a > 3.20．(15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4，其上顶点到直线3x ＋4y －1＝0的距离等于35.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，交x 轴的负半轴于点E ，交y 轴于点F (点E ，F 都不在椭圆上)，且FA →＝λ1AE →，FB →＝λ2BE →，λ1＋λ2＝－8，证明：直线l 恒过定点，并求出该定点． 解 (1)由椭圆C 的长轴长为4知2a ＝4，故a ＝2， 椭圆的上顶点为(0，b )，则由|4b －1|5＝35得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，E (m,0)(m <0，m ≠－2)，F (0，n )， 由FA →＝λ1AE →，得(x 1，y 1－n )＝λ1(m －x 1，－y 1)， 所以A ⎝⎛⎭⎪⎫λ1m 1＋λ1，n 1＋λ1.同理由FB →＝λ2BE →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2m 1＋λ2，n 1＋λ2， 把A ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1m 1＋λ1，n 1＋λ1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2m 1＋λ2，n 1＋λ2分别代入x 24＋y 2＝1 得：⎩⎪⎨⎪⎧(4－m 2)λ21＋8λ1＋4－4n 2＝0，(4－m 2)λ22＋8λ2＋4－4n 2＝0，即λ1，λ2是关于x 的方程(4－m 2)x 2＋8x ＋4－4n 2＝0的两个根，∴λ1＋λ2＝－84－m2＝－8， ∴m ＝－3，所以直线l 恒过定点(－3，0)．21．(15分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >1)上的点A 到其焦点的距离为32，且点A 在曲线x ＋y2－52＝0上． (1)求抛物线C 的方程；(2)M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是抛物线C 上异于原点的两点，Q (x 0，y 0)是线段MN 的中点，点P 是抛物线C 在点M ，N 处切线的交点，若|y 1－y 2|＝4p ，证明：△PMN 的面积为定值． (1)解 设点A (x A ，y A )， ∵点A 到抛物线焦点的距离为32，∴x A ＝32－p 2，y 2A ＝2px A ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－p 2， 又点A 在曲线x ＋y 2－52＝0上，∴32－p 2＋2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－p 2－52＝0， 即p 2－52p ＋1＝0，解得p ＝2或p ＝12(舍去)，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 由(1)知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，|y 1－y 2|＝8， 设抛物线C 在点M 处的切线的斜率为k (k ≠0)， 则该切线的方程为y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 214， 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 214，y 2＝4x ，消去x ，整理得 ky 2－4y ＋4y 1－ky 21＝0，∵M 是切点，∴Δ＝16－4k (4y 1－ky 21)＝0，即4－4ky 1＋k 2y 21＝0，解得k ＝2y 1， ∴直线PM 的方程为y －y 1＝2y 1(x －y 214)，即y ＝2y 1x ＋y 12， 同理得直线PN 的方程为y ＝2y 2x ＋y 22， 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 1x ＋y 12，y ＝2y 2x ＋y 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y 1y 24，y ＝y 1＋y 22， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 24，y 1＋y 22， ∵Q 是线段MN 的中点，∴y 0＝y 1＋y 22， ∴PQ ∥x 轴，且x 0＝x 1＋x 22＝y 21＋y 228，∴△PMN 的面积S ＝12|PQ |·|y 1－y 2| ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1y 24－x 0·|y 1－y 2| ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1y 24－y 21＋y 228·|y 1－y 2| ＝116|y 1－y 2|3＝32， 即△PMN 的面积为定值．22．(15分)(2018·嘉兴测试)如图，已知抛物线x 2＝y ，过直线l ：y ＝－14上任一点M 作抛物线的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B .(1)求证：MA ⊥MB ；(2)求△MAB 面积的最小值．(1)证明 方法一 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，－14，易知直线MA ，MB 的斜率都存在，分别设为k 1，k 2， 设过点M 的抛物线的切线方程为y ＋14＝k (x －x 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋14＝k (x －x 0)，x 2＝y ，得x 2－kx ＋kx 0＋14＝0， Δ＝k 2－4kx 0－1＝0，由题意知，k 1，k 2是方程k 2－4x 0k －1＝0的两个根，所以k 1k 2＝－1，所以MA ⊥MB .方法二 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，－14，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，易知直线MA ，MB 的斜率都存在，分别设为k 1，k 2. 由y ＝x 2，得y ′＝2x ，则MA ，MB 的斜率分别为k 1＝2x 1，k 2＝2x 2，所以2x 1＝x 21＋14x 1－x 0，整理得x 21＝2x 1x 0＋14，同理可得，x 22＝2x 2x 0＋14，两式相减得，x 21－x 22＝2x 0(x 1－x 2)，因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝2x 0，于是x 21＝x 1(x 1＋x 2)＋14，所以x 1x 2＝－14，即k 1k 2＝4x 1x 2＝－1，所以MA ⊥MB .(2)解 由(1)得k 1＝2x 1，k 2＝2x 2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 12，k 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 22，k 224， 易知k 1k 2＝－1，k 1＋k 2＝4x 0， 所以|MA |＝1＋1k 21|y A －y M |＝1＋1k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 214＋14＝(k 21＋1)324|k 1|，同理，|MB |＝(k 22＋1)324|k 2|， 所以S △MAB ＝12|MA |·|MB |＝12·[(k 21＋1)(k 22＋1)]3216|k 1k 2|＝(k 21＋k 22＋2)3232＝[(4x 0)2－2×(－1)＋2]3232＝[(4x 0)2＋4]2332≥32432＝14.综上，当x 0＝0时，△MAB 的面积取得最小值，最小值为14.。
2020_2021学年高中数学第三章概率3.3.1几何概型课时素养评价含解析新人教A版必修32021
几何概型(20分钟35分)1.下列概率模型中，几何概型的个数为( )①从区间[-10，10]内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[-10，10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[-10，10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①不是几何概型，虽然区间[-10，10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[-10，10]和[-1，1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[-10，10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性.2.如图所示，在一个边长为a，b(a>b>0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A. B.C. D.【解析】选C.S矩形=ab，S梯形=b=ab.故所投的点在梯形内部的概率为P===.3.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A. B.C.D.【解析】选B.如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯.AB长度为40-15=25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=.4.方程x2+x+n=0(n∈(0，1))有实根的概率为_____.【解析】由于方程x2+x+n=0(n∈(0，1))有实根，所以Δ≥0，即1-4n≥0，所以n≤，又n∈(0，1)，所以有实根的概率为P==.答案：5.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为______.【解析】大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型.设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P(A)==0.005.答案：0.0056.已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，求此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率.【解析】设正三角形ABC的边长为4，其面积为4.分别以A，B，C为圆心，1为半径在△ABC中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为4-3×××12=4-，故所求概率P==1-π.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为( )A.B.C.D.【解析】选C.设AC=x cm，CB=(12-x)cm，0<x<12，所以矩形面积小于32 cm2，即为x(12-x)<32⇒0<x<4或8<x<12，故所求概率为=.2.一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行.若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.B. C. D.【解析】选C.由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为=.3.如图，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.B. C.D.【解析】选C.如图，当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′=60°，由圆的对称性及几何概型得P==.4.球O与棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1的各个面均相切，如图，用平行于底面的平面截去长方体A2B2C2D2-A1B1C1D1，得到截面A2B2C2D2，且A2A=a，现随机向截面A2B2C2D2上撒一粒黄豆，则黄豆落在截面中的圆内的概率为( )A.B. C. D.【解析】选B.由题意知，截面中的圆的半径为=a，面积为a2，又因为截面A2B2C2D2的面积为a2，所以黄豆落在截面中的圆内的概率为.5.如图所示，分别以点B和点D为圆心，以线段BD的长为半径作两个圆.若在该图形内任取一点，则该点取自四边形ABCD内的概率为( )A. B.C. D.【解析】选A.设两圆的半径均为2，由已知可得△ABD、△BCD是全等的等边三角形，所以S四边形ABCD=2××22×=2.整个图形可以看作由两个弓形组成，其面积为S=2=π+2.所以所求的概率为P== .【补偿训练】一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( )A.1-B.C. D.【解析】选A.满足条件的正△ABC如图所示：其中正△ABC的面积为S△ABC=×42=4，满足到正△ABC的顶点A，B，C的距离均不大于2的平面区域如图中阴影部分所示，阴影部分区域的面积为S=×π×22=2π.则使取到的点到三个顶点A，B，C的距离都大于2的概率是P=1-=1-.二、填空题(每小题5分，共15分)6.设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P(A)=______.【解析】如图所示，△DPQ为圆内接正三角形，当C点位于劣弧上时，弦DC>PD，所以P(A)=.答案：7.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为______.【解析】点P到点A的距离小于等于a可以看作是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率P==π.答案：π8.已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<的概率为______.【解析】如图，设E，F分别为边AB，CD的中点，则满足|PH|<的点P在△AEH，扇形HEF及△DFH内，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为=+.答案：+三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知点M(x，y)满足|x|≤1，|y|≤1.求点M落在圆(x-1)2+(y-1)2=1的内部的概率.【解析】如图所示，区域Ω为图中的正方形，正方形的面积为4，且阴影部分是四分之一圆，其面积为π，则点M落在圆(x-1)2+(y-1)2=1的内部的概率为=.10.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.【解析】设事件A：“硬币不与任何一条平行线相碰”.为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图，这样线段OM长度(记作|OM|)的取值X围是[0，a]，只有当r<|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，其长度X围是(r，a].所以P(A)==.1.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A和M.在此图内任取一点，此点取自A区域的概率记为P，取自M区域的概率记为P，则( )A.P>PB.P<PC.P=PD.P与P的大小关系与半径长度有关【解析】选C.由题意，设四分之一圆的半径为R，则半圆的半径为R，阴影部分A的面积为R2，空白部分的面积为πR2-R2，阴影部分M的面积为×π×-=R2，阴影部分A的面积=阴影部分M的面积，所以P(A)=P(M).2.甲乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.【解析】设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24，0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h以上，即y-x≥1或x-y≥2.故所求事件构成集合A={(x，y)|y-x≥1或x-y≥2，x∈[0，24]，y∈[0，24]}.A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部.所求概率为P(A)====.【补偿训练】如图，已知AB是半圆O的直径，AB=8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个分点.(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S，求△SAB的面积大于8的概率.【解析】(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为.(2)连接MP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP，高考易求得OD=2，当S 点在线段MP上时，S△ABS=×2×8=8，所以只有当S点落在阴影部分时，△SAB的面积才能大于8，而S阴影=S 扇形M OP-S△O MP=××42-×42=4π-8，所以由几何概型的概率公式得△SAB的面积大于8的概率为=.- 11 - / 11。
2020届高考总复习单元滚动测试卷文科数学答案
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2020版高考数学北师大版(理科)一轮复习单元质检卷八立体几何(B)Word版含解析
单元质检卷八立体几何(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2018广东化州一模,6)设m,n为两条不同的直线,α为平面,则下列结论正确的是()A.m⊥n,m∥α⇒n⊥αB.m⊥n,m⊥α⇒n∥αC.m∥n,m⊥α⇒n⊥αD.m∥n,m∥α⇒n∥α2.(2019河北唐山摸底,9)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧),则该几何体的表面积为()A.1-B.3+C.2+D.43.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.84.(2019届吉林长春质监一,7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为()A.1B.C.D.5.已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上,且三棱锥O-ABC的高为2,点D 是线段BC的中点,过点D作球O的截面,则截面积的最小值为()A.B.4πC.D.3π如图所示的三棱锥P-ABC中,D是棱PB的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,PA⊥平面ABC,则异面直线PC,AD所成角的余弦值为()A.-B.-C. D.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2018福建厦门外国语学校模拟,15)已知棱长为1的正方体有一个内切球(如图),E为底面ABCD的中心,A1E与球相交于EF,则EF的长为.8.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019届河北衡水中学一模,18)在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,AB=2BC=2CD,如图1.以DE为折痕将△ADE折起,使点A到达点P的位置,如图2.图1图2(1)证明:平面BCP⊥平面CEP;(2)若平面DEP⊥平面BCED,求直线DP与平面BCP所成角的正弦值.10.(15分)(2019湖南岳阳一中质检二,18)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,平面ACFE⊥平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AE=a,点M在线段EF上.(1)求证:BC⊥平面ACFE;(2)当EM为何值时,AM∥平面BDF?证明你的结论;(3)求二面角B-EF-D的平面角的余弦值.11.(15分)(2019届贵州遵义航天高中模拟,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,△PAB为正三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD,E为线段AB的中点,M在线段PD上. (1)当M是线段PD的中点时,求证:PB∥平面ACM;(2)是否存在点M,使二面角M-EC-D的大小为60°,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.参考答案单元质检卷八立体几何(B)1.C对于A,当m⊥n,m∥α时,可能n⫋α或n与α斜交,故A错;对于B,m⊥n,m⊥α⇒n∥α或m⫋α,故B错;对于C,m∥n,m⊥α⇒n⊥α,C正确;对于D,m∥n,m∥α⇒n∥α或m⫋α,故D错;故选C.2.D由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体,底面面积为1×1-π=1-π,底面周长为1+1+π=2+π,柱体的高为1,所以该柱体的表面积为S=2×1-+2+π×1=4.3.B由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为S表=2r×2r+2×πr2+πr×2r+×4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.4.D如图所示:连接A1D,与AD1交于点O,连接OC1,在正方体中,∵AB⊥平面AD1,∴AB⊥A1D,又A1D⊥AD1,且AD1∩AB=A,∴A1D⊥平面AD1C1B,所以∠A1C1O即为所求角,在Rt△A1C1O中,sin∠A1C1O=,所以A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为,故选D.5.A设正三角形ABC的中心为O1,连接O1O,O1C,O1D,OD,∵O1是正三角形ABC的中心,A,B,C三点都在球面上,∴O1O⊥平面ABC,结合O1C⫋平面ABC,可得O1O⊥O1C,∵球的半径R=3,O1O=2,∴在Rt△O1OC中,O1C=.又D为BC的中点,∴在Rt△O1DC中,O1D=O1C=.在Rt△OO1D中,OD==.过D作球O的截面,当截面与OD垂直时,截面圆的半径最小,此时截面圆的半径r==,可得截面面积为S=πr2=.故选A.6.D因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC.过点A作AE∥CB,又CB⊥AB,则AP,AB,AE两两垂直.如图所示,以A为坐标原点,分别以AB,AE,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(4,0,0),C(4,-2,0).因为D为PB的中点,所以D(2,0,1).故=(-4,2,2),=(2,0,1).所以cos<,>===-.设异面直线PC,AD所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|=.7.设球心O到FE的距离为d,则在△OA1E中,A1E=,OE=.由等面积法可得××=××d,∴d=,∵球的半径为,∴EF=2=.故答案为.8.连接A1B,则∠A1BE是BE与CD1所成的角.设AA1=2AB=2a,则BE=a,A1B=a,则cos∠A1BE==.9.(1)证明在题图1中,因为AB=2BC=2CD,且D为AB的中点.由平面几何知识,得∠ACB=90°.又因为E为AC的中点,所以DE∥BC.在题图2中,CE⊥DE,PE⊥DE,且CE∩PE=E,所以DE⊥平面CEP,所以BC⊥平面CEP.又因为BC⫋平面BCP,所以平面BCP⊥平面CEP.(2)解因为平面DEP⊥平面BCED,平面DEP∩平面BCED=DE,EP⫋平面DEP,EP⊥DE.。
2020届高考总复习单元滚动测试卷理科数学答案
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浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测九平面解析几何单元检测含解析
单元检测九平面解析几何(时间：120分钟满分：150分)第I卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.直线I经过点(3, - 2)和(0,1)，则它的倾斜角是()A. 30°B. 60°C. 150°D. 120°答案D解析由斜率公式k=出二也=1—(-3L—{3,再由倾斜角的范围［0 ° , 180° )知，tan120X2-X1 0—羽 7=—.3，故选D.2 .直线kx - y- 3k + 3= 0过定点()A. (3,0) B . (3,3) C . (1,3) D . (0,3)答案B解析kx - y- 3k + 3= 0可化为y —3= k(x-3)，所以过定点(3,3).故选B.3.由直线y = x+ 1上的一点向圆(x - 3)2+ y2= 1引切线，则切线长的最小值为()A. 7B. 2 2C. 1D. 3答案A解析圆的圆心为(3,0) , r = 1, 圆心到直线x- y+ 1= 0的距离为d= |3+ 1|= 2 2 所以72由勾股定理可知切线长的最小值为.〒22- 12= .7.4.一束光线从点A - 1,1)发出，并经过x轴反射，到达圆(x- 2)2+ (y- 3)2= 1上一点的最短路程是()A. 4B. 5C. 3 2- 1D. 2 6答案A解析依题意可得，点A关于x轴的对称点A( - 1, - 1)，圆心Q2,3) , AC的距离为,2 + 1 2+ 3+ 1 2= 5，所以到圆上的最短距离为5- 1= 4，故选A.5 .已知直线x + y = a 与圆x 2 + y 2= 4交于A, B 两点，且| 6Ab OE B = | 0A- 0B ，其中0为原 点，则实数a 的值为（）A . 2B.- 2C. 2 或—2D. 6或—6 答案 C解析 由 |0A F OB = | 0A-O B 得I 6A FO B 2= I <3A-O B 2,化简得 6入 O B = O ，即(3A L O B 三角 | a |形AO 助等腰直角三角形，圆心到直线的距离为、2，即 ==2,6 •已知双曲线 E 的中心为原点，F （3,0）是E 的焦点，过F 的直线 且AB 的中点为N — 12,— 15)，贝U E 的方程为()2 2 22x yx yA.—— = 1 B- — =13 64 - 2 22x yx C-— = 1 D-— 6 3 5答案 B解析 由已知条件得直线l 的斜率为k = k FN = 1, 2 :设双曲线方程为-2— ya b两式相减并结合 X 1 + X 2=— 24, y 1 + y 2= — 30y 1 — y 2 4b 2 ,…4b 2卄 2 2得,匚=5?,从而看=x 即4b =5a , 又 a 2 + b 2 = 9，解得 a 2 = 4, b 2= 5,故选 B.7. （2018 •绍兴市、诸暨市模拟 ）如图，已知点P 是抛物线C: y 2= 4x 上一点，以P 为圆心,r 为半径的圆与抛物线的准线相切， 且与x 轴的两个交点的横坐标之积为 5,则此圆的半径ra =± 2.I 与E 相交于A , B 两点,5 2 ―1 4 22= 1( a >0, b >0),X 1 y 1 a 2—b 22b 2=1,=1, A (X 1, y 1), B (X 2, y 2)，则有A . 2 3 C. 4 3 答案 D解析 设圆与x 轴的两个交点分别为 A, B,由抛物线的定义知 X P = r - 1，则P (r — 1,2 r — 1), 又由中垂线定理，知 | OA + | OB = 2(r — 1)，且| 0A •丨OB = 5，故由圆的切割线定理，得(2 r — 1)2= (1 + |0A )(1 + |0B )，展开整理得 r = 4,故选 D.若P 是双曲线右支上的一点， 且tan / PFF 2= |,tan / PRR = 2,则此双曲线的离心率为()答案 A解析由 tan / PFF 2= 2, tan / PFF 1= 2 知,PF 丄PF ,作PQL X 轴于点Q8 则由△ PF 1Q^^ F 2PQ 得 | F i Q = 4| F 2Q = — c ,5故 p |c ' 4c ,代入双曲线的方程，有 bU — a 2 • l 4c )= a 2b 2, 又 a 2 + b 2 = c 2,则(9 c 2 — 5a 2)( c 2— 5a 2) = 0, 解得-=5或c =(舍)，即离心率e = 5,故选A.a a i9. (2019 •宁波模拟)设抛物线y 2 = 4X 的焦点为F ,过点P (5,0)的直线与抛物线相交于 A B两点，与抛物线的准线相交于点 C,若I BF | = 5,则厶BCF-与^ ACF 的面积之比二竺等于()S ^ACF5 20 15 20 A~B. C~D.76 33 31 29 答案 D解析由题意知直线AB 的斜率存在， 则由抛物线的对称性不妨设其方程为y = k (x — 5) , k >0,与抛物线的准线 X =— 1联立，得点C 的坐标为(—1，— 6k ), 与抛物线的方程y 2= 4X 联立，消去y 得B. 5 D. 48. (2018 •绍兴市、诸暨市模拟)已知双曲线的标准方程为 2 2X ya —1，F 1, F 2为其左、右焦点,A. 5B.A. °,1B答案 C 解析 直线I 过•••|AC | = |C 2B | ,••• C 2的圆心为线段 AB 的中点.2 2X 1 y 1[孑+ F=1,设 A (X 1, y 1), B (X 2, y 2)，贝U笃 + b = 1,.a b2 2X 2 y 2两式相减得,X 2 缪—X 2 = fy 1 + y 2 [y 1 — y ,ab '化简可得—2 • b 2= k ,ab 2 k又a >b ,「. 2= — ;€a 2b 2—2 €a所以e =2，「第n 卷(非选择题共110分)2 2 2 2k x — (10k + 4)x + 25k = 0,2 10k + 4贝y X A + X B = 2—, X A X B = 25,k又因为 | BF | = X B + 1 = 5,所以 X B = 4, 代入解得X A = 25, k =4,4 则 y A = 5, y B =— 4, y c =— 24, 则 S A ACF = 1| PF •I y A — y c | = 58,S A ABF = 》PF || y A — y B | = 18, S A BCFS A ABF 20则 =1 — = 29，故选D.S A ACFS A ACF 29(x — 2)2 + (y — 1)2 = 1交于C, D 两点•若存在k € [ — 2,— 1]，使得X C =西则椭圆G 的离 心率的取值范围是( )10. 已知直线l : kx — y — 2k + 1 = 0与椭圆2yG ：孑+含=1(a >b >0)交于A , B 两点，与圆C 2：鳥,1.#10,中横线上）11. （2018 •台州质检）已知直线 I 1： mx + 3y = 2 — n , l 2： x + （讨 2） y = 1,若 I i //I 2,则实数答案—3—|1的距离为-.8m=;若I 1丄I 2,则实数m=解得m= — 3. I 1丄12等价于m^ 3( m^ 2) = 0,解得3 m=—-.212. （2018 •浙江十校联盟考试）抛物线y = 4x 的焦点坐标是，焦点到准线的距离是1 1 0,屁8 22y 1解析由y = 4x ，得x = 4,可得2p = 4,所以 答案 1 一p = 8，即焦点的坐标为 0, 116，焦点到准线解析丨1// I 2等价于=3,m13. （2018 •衢州模拟）已知圆C与x轴相切于点T（1,0）,与y轴正半轴交于两点A, B（B在A 的上方），|AB = 2，圆C的半径为;圆C在点B处的切线在x轴上的截距为答案2—1 —. 2解析设圆心C（1 , b），则半径r = b.今2= b2,即b=、2，且B(0,1 + 2).由垂径定理得，1 +又由/ AB（= 45°，切线与BC垂直,知切线的倾斜故切线在x轴上的截距为—1 — 2.2x 14.若双曲线——a 2b=1（a>°, b>°）的右焦点到渐近线的距离等于焦距的心率为，如果双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4,则双曲线的虚轴长为答案 2 4 3解析由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的，则双曲线的离bn可知双曲线渐近线 y = x 的倾斜角为4，3a 3 即a = ‘ 3 所以 e =a = i +3= 2, 因为 a = 2,从而b = 16-4= 2 3,所以虚轴长为4 , 3.15•已知点A (0,1)，抛物线C ： y 2 = ax (a >0)的焦点为F ,线段FA 与抛物线C 相交于点 M FAN,若| FM ：| MN = 1 : 3,则实数a 的值为答案 .2解析依题意得焦点F 的坐标为:，0 ,设点M 在抛物线的准线上的射影为 K,连接KM 图略), 由抛物线的定义知|MF = |MK , 因为 | FM ：| MN = 1 : 3, 所以 | KN ：| KM = 2 2 ： 1,0—1—4. 丨 K N乂 k FN = = k FN =— …■ =— 2钉2 又 a a , | KM =, 4— 0所以孑=2 2，解得a =寸2.2 nJ —的两点，且四边形 AFBR 是平行四边形，若/ AFB =W , SABF = - 3，则双曲线E 的标准方程为 _________ .2x 2 答案2 — y= 1解析如图, 因为四边形AFBF 是平行四边形, 所以 S ABF 2 = S AF 1F 2 ,的延长线与抛物线的准线相交于点 16.已知双曲线E x y a 2— b 2=1( a >0, b >0)的左、右焦点分别为 F 1, F 2, A (2,1) , B 是 E 上不同所以 | FF 2|2= |AF |2+ |AF |2— 2| AF || AF |COS 号,3即 4C 2= | AF | 2+ | AF>| 2— | AF || AF>|，①2 2又 4a = (| AF | — | AF |),2 2 2所以 4a = | AF | + | AF | — 2|AF i || AF |，② 由①②可得| AF || AF | = 4b , 又SABF 2 = 2X4b"= ■ 3，2所以b 2= 1,将点A (2,1)代入扌—y 2 = 1,可得a 2= 2,2x o故双曲线E 的标准方程为-—y = 1.17•在平面直角坐标系 xOy 中，A (3,0) , R3 , t ) , t € R,若存在C,D 两点满足 鳶=愣1 OC丨 O D=2，且PD = 2l PC 则t 的取值范围是 ____________ 答案[—2 5, 2 5]| AQ解析 设 C (x , y )，因为 A (3,0) , pOC = 2,即点 C 在圆 M (x + 1)2 + y 2 = 4 上. | AD同理由|OD^ = 2可得点D 也在圆M 上. 因为PD = 2P C ,所以C 是PD 的中点, 过点 M 作MNL CD 垂足为 N,连接CM PM 设| MN = d , | PC = |CD = 2k ,分别在 Rt △CMN Rt △ PMN 中,由勾股定理，得k 2 + d 2= 4 , 9k 2 + d 2= t 2+ 16 ,因为 O W d 2<4 ,所以 t 2w 20，解得一2 5 w t <2 5 , 所以t 的取值范围是[—2,5, 2 5]. 三、解答题(本大题共5小题，共74分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )18. (14分)已知过点A (0,1),且斜率为k 的直线l 与圆C:2 2(x — 2) + (y — 3) = 1 相交于 M N 两点.消去 k 2 得,t 2= 20 — 8d 2. 整理得(x + 1)2+ y 2= 4,(1)求实数k 的取值范围;⑵ 求证：X M- AN 为定值.(1)解 由题意过点A (0,1)且斜率为k 的直线的方程为y = kx + 1,. . 2 2代入圆C 的方程得(1 + k )x — 4(1 + k )x + 7= 0,因为直线与圆 C ： (x — 2) + (y — 3) = 1相交于 M N 两点， 所以△= [ — 4(1 + k )] 2 — 4X 7X (1 + k 2)>0,4—4 +x 17 解得厂, 所以实数k 的取值范围是齐7.⑵证明设 Mx 1, y” , N (x 2, y ,AM=(X 1, y 1 — 1) , AN =(X 2, y 2— 1),所以 屮+ y 2= (kx 1 + 1) + (kx 2 +1) = k (X 1 + x 2)+ 2.2yy = ( kx 1 +1)( kx 2 +1) = k X 1X 2+ k ( X 1+ X 2) + 1.所以 AM ・ AN= (X 1, y 1 — 1) •( X 2, y 2— 1) =X 1X 2+ (y 1— 1)( y 2— 1) = X 1X 2 + y 1y 2— (y 1+ y 2) + 1227=X 1X 2+ k X 1X 2 = (1 + k ) - 2= 7,1 + k所以X M- AN^定值.19.(15分)(2018 •浙江名校高考研究联盟联考)如图，以P (0，— 1)为直角顶点的等腰直角2X 2△ PMN 内接于椭圆r+ y 2= 1(a >1)，设直线PM 的斜率为k .a(1) 试用a , k 表示弦长| MN ；(2) 若这样的厶PMF 存在3个，求实数a 的取值范围.2 X 2解(1)不妨设直线PM 所在的直线方程为 y = kx — 1(k <0)，代入椭圆方程—+ y = 1, a整理得(1 + a 2k 2) x 2— 2ka 2x = 0,2,由(1)得,X 1X 2 =解得 X 1= 0, X 2= -^2-2,1 + a k则 | PM = 1+ k 2| x - - X 2| =- 2-：+'；2：2-， 所以 I MN = .21 PM = -2、—2+ k .⑵ 因为△ PMN!等腰直角三角形,1所以直线PN 所在的直线方程为 y = —— 1( k <0),k令| PM = |PN ，整理得 k 3 4 5+ a 2k 2 + a 2k + 1 = 0,32k + 1 + a k ( k + 1)= 0, (k + 1)( k 2— k +1) + a 2k (k + 1) = 0,即(k +1)[ k 2+ (a 2 — 1)k + 1] = 0.PMt 存在3个，则方程k 2 + (a 2— 1)k + 1 = 0有两个不等于—1的负根 k 1, k 2,2 2r A= (a — 1 2— 4>0,2k 1 + k 2= 1 — a <0, 则k 1k 2= 1>0,21 — a — 1 + 1工 0, 因为a >1,所以a > 3.2 2x y20. (15分)已知椭圆C:二+ 2= 1(a >b >0)的长轴长为4,其上顶点到直线 3x + 4y — 1 = 0的 a b (1)求椭圆C 的方程;⑵若直线I 与椭圆C 交于A B 两点，交x 轴的负半轴于点 E 交y 轴于点F (点E , F 都不在椭圆上)，且F A =入1X E FB=入2E3E 入1+入2=— 8,证明：直线l 恒过定点，并求出该定点. 解(1)由椭圆C 的长轴长为4知2a = 4,故a = 2,3距离等于3.5若这样的等腰直角三角形同理可得| PN =—椭圆的上顶点为(0, b )，则由|4 b ~11 = 3得b = 1,552X 2所以椭圆C 的方程为二+ y 2= 1.4⑵设 A (x i , y i ) , E (m,0)( m<0, m^- 2) , F (0 , n ),由 FA=入 1AE 得(X 1, y 1— n )=入 1( m — X 1 , — yj ,所以A ： 入1m n 1+入1' 1 +入1丿 2 2 2* 1 + 8 入 1 + 4— 4n = 0 ,22r,,2(4 — m ” 2 + 8 入 2+ 4— 4n =得：用—m风 即入1,入2是关于x 的方程(4 — m )x 2+ 8x + 4— 4n 2= 0的两个根，二入1+ 入2= 4—• m=— .3 ,所以直线I 恒过定点(—3 , 0).21. (15分)已知抛物线 C ： y 2= 2px (p >1)上的点A 到其焦点的距离为322,且点A 在曲线x + y(1)求抛物线C 的方程;(2) M 刘,y”，N X 2 , y 2)是抛物线C 上异于原点的两点， Qx ° , y °)是线段MN 的中点，点P 是抛物线C 在点M N 处切线的交点，若|y 1— y 2| = 4p ,证明：△ PMN 勺面积为定值. (1)解设点 A (X A , y A ),3•••点A 到抛物线焦点的距离为 2 ,3 p2 |，3 p!…X A = 2— 2，y A = 2PX A = 2p 2—2， 25又点A 在曲线x + y — = 0上, 3 p 3 p 5 •-2 — 2+ 2p 2 — 2 —2 = 0，2 51即p — ?p +1 = 0,解得p = 2或p = y 舍去)， •••抛物(2)证明C 的方程为y 2 = 4x .:y j 难,y j |y 1 — y 2| = 8,由(1)知设抛物线C在点M处的切线的斜率为k( k z 0),则该切线的方程为 y — y i = k x —召,2|y — y i = k'x — 4 ,联立方程得 .4消去x ,整理得y 2= 4x ,2 2ky — 4y + 4y 1 — ky 1 = 0,2•/ M 是切点，••• △ = 16 — 4k (4y i — ky i ) = 0, 2 即 4 一 4ky 1+ k?y 1= 0，解得 k =yi2 y 2 •直线PM 的方程为y — y 1= (x —务)，即 yC 42丄y 2 =—x + y 2 2'联立方程得:2 y 2 y =y;x +?，（ yw解得y 1 + y 2 y =—, 2 y i + y 2 '， 2 丿;y 1 + y 2 0= 丁， 2 2 — 「 X 1 + X 2 y 1 + y 2 • PQ/ x 轴，且 x o =—■= ”， ••• Q 是线段MN 勺中点，• y 1 • △ PMN 勺面积 S =彳 PQ •] y 1 — y 2|a ~4-—X 。
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课时31几何概型
模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟）
1．(2020•上海市虹口区质量测试,5分)已点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为( )
A.1
4
B.
1
2
C.
π
4
D．π
【答案】：C
【解析】：由题意可知，当动点P位于扇形ABD内时，动点P到定点A的距离|PA|<1，根据几何概型可知，动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为
S扇形ABD
S正方形ABCD
＝
π
4
，故选C.
2.(2020•辽宁实验中学月考,5分)如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为 ( )
A.
1
2
B.
3
2
C.
1
3
D.
1
4
【答案】：C
【解析】：当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′=
3
π
，由圆的对称性及几何概型得P=
2
1
3.
23
π
π
=
3．(2020•广东北江中学测试,5分)在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为( )
A.
1
16
B.
1
8
C.
1
4
D.
1
2
【答案】：C
【解析】：正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间，所以正方形的边长介于6 cm到9 cm之间．线段AB的长度为12 cm，则所求概率为
9－6
12
＝
1
4
4．(2020•陕西西安八校期中联考,5分）在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于
1
2
的概率为( )
A.14
B.1
2 C. 34 D.78
【答案】：
C
【解析】：设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1且0≤y ≤1.
由题意知|x -y |＜
1
2
，所以所求概率为P =
5. (2020·聊城东阿实高月考,5分)方程x 2
＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为( ) A.1
2
B.1
3
C.1
4
D.34
【答案】：C
【解析】：由Δ＝1－4n ≥0得n ≤14，又n ∈(0,1)，故所求事件的概率为P ＝1
4
.
6.(2020·湖南十二所联考,5分)已知平面区域U ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，
y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．
【答案】：
29
【解析】：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U 与A 所表示的平面区域(如图)，由图可知S U =18，S A =4，则点P 落入区域A 的概率为
29
A U S S . 7.(2020·广东恩平测试,5分)向面积为9的△ABC 内任投一点P ，那么△PBC 的面积小于3的概率是__________． 【答案】：
5
9
【解析】：如图，由题意，△PBC 的面积小于3，则点P 应落在梯形BCED 内，
∵，
∴S △ADE =4，∴S 梯形BCED =5，∴P =59
.
8．(2020·抚顺二模,5分)《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为9
10
，那么该台每小时约有________分钟的广告． 【答案】：6
【解析】：60×(1－9
10
)＝6分钟．
9．(2020·皖南八校联考,10分)设不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
0≤x ≤6，
0≤y ≤6.表示的区域为A ，不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
0≤x ≤6，
x －y ≥0.表示
的区域为B .
(1)在区域A 中任取一点(x ，y )，求点(x ，y )∈B 的概率；
(2)若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x ，y )在区域B 中的概率．
10．(2020·潍坊质检,10分)已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .
(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；
(2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋n －1≤0－1≤m ≤1
－1≤n ≤1
，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率．
【解析】：(1)抽取的全部结果的基本事件有：
(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，
(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝610＝3
5
.
(2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋n －1≤0－1≤m ≤1
－1≤n ≤1
的区域如图所示：
要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，
∴所求事件的概率为P =1
1
2772
=.
[新题训练] （分值：15分 建议用时：10分钟）
11（5分）．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.18
B.
116
C.1
27
D.38
【答案】：C
【解析】：一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成，由题意知，蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域，则所求概率P ＝1
27
，应选C.
12．（5分）若a 是从区间[0,3]内任取的一个实数，b 是从区间[0,2]内任取的一个实数，则关于x 的一元二次方程x 2
－2ax ＋b 2
＝0有实根的概率为( ) A.2
3
B.1
4
C.3
5
D.13
【答案】：A
【解析】：方程有实根，则Δ＝4a 2－4b 2
≥0，则a ≥b ≥0，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
0≤a ≤30≤b ≤2
a ≥
b 所满足的可行域如图中
阴影部分所示，则根据几何概型概率公式可得，所求概率P ＝
S 四边形OABD S 矩形OABC ＝46＝2
3
，故选A.。