统计(统计量)
统计学 统计量及其抽样分布
定义：设随机变量X1，X2，…Xn相互独立，且Xi
服从标准正态分布N（0，1），则它们的平方和 n
X
2 i
服从自由度为n的c2分布。
i 1
c2分布主要适用于拟合优度的检验、独立性检 验以及对总体方差的估计和检验。
卡尔·皮尔逊(Karl Pearson)是英国著名的统 计学家、生物统计学家、 应用数学家,又是名副其 实的历史学家、科学哲学 家、伦理学家、民俗学家 、人类学家、宗教学家、 优生学家、弹性和工程问 题专家、头骨测量学家, 也是精力充沛的社会活动 教育改革家、社会主义 家、律师、自由思想者、 者、妇女解放的鼓吹者、 婚姻和性问题的研究者, 亦是受欢迎的教师、编 辑、文学作品和人物传 记的作者.
即
(n 1)s 2 ~ c 2 (n 1) 2
6.7.2 两个样本方差比的分布
1. 两 个 总 体 都 为 正 态 分 布 ， 即 X1~N(μ1 ,σ12) ， X2~N(μ2 ,σ22 )
2. 从两个总体中分别抽取容量为n1和n2的独立样本
3. 两个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度为 (n1-1)，分母自由度为(n2-1) 的F分布，即
复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的 结果如下表
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个
第二个观察值
观察值
1
2
3
4
1
1，1 1，2 1，3 1，4
2
2，1 2，2 2，3 2，4
3
3，1 3，2 3，3 3，4
4
4，1 4，2 4，3 4，4
计算出各样本的均值，如下表。并给出样 本均值的抽样分布
n
x
统计量及其分布
思考题
设 X1, X2 , … , Xn 是取自正态总体 N (, 2 ),
的一个样本，求 E( XS 2 ) ?
定理 2 设 X1, X2 , … , Xn 是取自正态总体 N (, 2 )
的样本，X 和S 分别为样本均值和样本均方差，则有
1) X ~ N(0, 1); / n
2) X ~ t(n 1).
nx 2 ];
③ s
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
;
④
ak
1 n
n i 1
xik ,
k 1, 2
;
⑤ bk
1 n
n
(xi x )k ,
i 1
k
1, 2
.
例1 设总体X 的期望为 E(X ) , 方差为 D(X ) 2 其样本为 X1, X2, , Xn , 求E(X ), D(X ), E(S 2) .
为t分布的上 分位点。
t1 (n) t (n)
若 0.5,直接查表;若 0.5, t (n) t1 (n).
当 n 45 , t (n) z .
(3) F-分布
设随机变量X与Y相互独立，且 X ~ 2 (n1), Y ~ 2 (n2 ),
则随机变量
F
X Y
/ n1 / n2
所服从的分布是自由度为 (n1, n2 )
~
F (2,
2)
作 业 17
P137: 4 P147: 4
1.6664.
解：因为
(n 1)
2
S
2
~ 2(n 1)
15S 2
2
~ 2(15)
P
S
2 2
1.6664
生物统计名词解释及问答
1、生物统计学：数理统计在生物学研究中的应用，它是应用数理统计的原理和方法来分析和解释生物界各种现象和试验调查资料的一门学科，属于应用统计学的一个分支。
3、总体：具有相同性质的个体所组成的集合称为总体，它是指研究对象的全体；4、个体：组成总体的基本单元称为个体5、样本：从总体中抽出若干个体所构成的集合称为样本6、总体又分为有限总体和无限总体：含有有限个个体的总体称为有限总体；包含有极多或无限多个体的总体称为无限总体.7、样本单位：构成样本的每个个体称为样本单位。
样本容量或样本大小：样本中所包含的个体数目叫样本容量或样本大小，样本容量常记为n。
一般在生物学研究中，通常把n<30的样本叫小样本，n ≥30的样本叫大样本。
8、变量（或变数）：指相同性质的事物间表现差异性或差异特征的数据。
变量包括:定量变量（连续变量、非连续变量）、定性变量9、常数：表示能代表事物特征和性质的数值。
10、参数：描述总体特征的数量称为参数。
11、统计数（统计量）：描述样本特征的数量称为统计数。
12、效应:通过施加试验处理，引起试验差异的作用称为效应。
13 互作（连应）：指两个或两个以上处理因素间相互作用产生的效应。
15、随机误差（抽样误差）是由于试验中无法控制的内在和外在的偶然因素所造成的试验结果与真实结果之间的差异。
16、系统误差（片面误差）是由于试验处理以外的其他条件控制不一致所产生的带有倾向性的或定向性的偏差。
17、错误：指在试验过程中，由于人为作用引起的差错。
18、准确性（准确度）：指在调查或试验中某一试验指标或性状的观测值与其真值接近的程度。
19:、精确性（精确度）：指调查或试验中同一试验指标或性状的重复观测值彼此接近的程度。
20、资料：在生物学试验及调查中，通过对某种具体事物或现象观察获得的结果称为资料。
21、数量性状：指能够以计数和测量或度量的方式表示其特征的性状。
22、数量性状资料：观察测定数量性状而获得的数据。
统计量
抽样分布
统计量充分性是数理统计的一个重要基本概念，它是R.A.费希尔在1925年引进的，费希尔提出，并由J.奈曼 和P.R.哈尔莫斯在1949年严格证明了一个判定统计量充分性的方法，叫因子分解定理。这个定理适用面广且应用 方便，利用它可以验证很多常见统计量的充分性。例如，若正态总体有已知方差，则样本均值塣是充分统计量。 若正态总体的均值、方差都未知，则样本均值和样本方差S合起来构成充分统计量（塣，S）。一个统计量是否充 分，与总体分布有密切关系。
U 样本矩
次序
秩
设x1,x2，…，xn是一个大小为n的样本，对自然数k，分别称为k阶样本原
统计量
点矩和k阶样本中心矩，统称为样本矩。许多最常用的统计量，都可由样本矩构造。例如，样本均值（即α1） 和样本方差是常用的两个统计量，前者反映总体中心位置的信息，后者反映总体分散情况。还有其他常用的统计 量，如样本标准差，样本变异系数S/塣，样本偏度，样本峰度等都是样本矩的函数。若(x1,Y1）， （x2,Y2），…，（xn,Yn）是从二维总体（x，Y）抽出的简单样本，则样本协方差·及样本相关系数也是常用的 统计量，r可用于推断x和Y的相关性。
定义
样本的已知函数；其作用是把样本中有关总体的信息汇集起来；是数理统计学中一个重要的基本概念。统计 量依赖且只依赖于样本x1,x2,…xn；它不含总体分布的任何未知参数。
统计量
从样本推断总体（见统计推断）通常是通过统计量进行的。例如x1,x2，…，xn是从正态总体N(μ,1）（见 正态分布）中抽出的简单随机样本，其中均值（见数学期望）μ是未知的，为了对μ作出推断，计算样本均值。 可以证明，在一定意义下，塣包含样本中有关μ的全部信息，因而能对μ作出良好的推断。这里只依赖于样本 x1,x2，…，xn，是一个统计量。
统计量简介
n
X
1 n
Xi
i1
x
1 n
n
xi
i1
S 2 1 n n 1 i1
X X i
2
1 n n 1 i1
X i2 n X
2
s 2 1
n
2
xi x
1
n
x
2 i
n x 2
n 1 i1
n 1 i1
常用的统计量
3. 样本标准差
n
S
S2
1 n 1 i1
Xi X
0;
B2
n 1 S 2. n
2. 若总体X的k阶矩 E X k 存在，则由大数定律有 k
Ak P k
(k 1, 2,)， B P E X E ( X )k
k
k
(k 1, 2,)
这是下一章矩估计法的理论依据.
童鞋们，课 后记得复习
巩固哦！
统计量
统计量的概念
Def.
设 X1, X 2,, Xn为 总 体 X的 一 个 样 本 ，g是 n元 连 续 函 数 ,
若 g X 1 , X 2 , , X n 中 不 含 任 何 未 知 参 数 ， 则 称 样 本 函
数 g ( X 1 , X 2 , , X n )为 统 计 量 .
Note: 1. 统计量实质上是特殊地样本函数.
2
其观测值 为
4. 样本k 阶原点矩
Ak
1 n
n
X
k i
,
i1
其观测值为
k 1,2,
5.样本k阶中心矩 其观测值为
n
B k
1 n
i 1
X X k
i
,
1 n
统计的基本概念和运算
统计的基本概念和运算统计是一个广泛而重要的领域，它通过对数据进行收集、整理、分析和解释，为我们提供了理解和描述现实世界的工具。
在本文中，我们将探讨统计的基本概念和运算，帮助读者更好地理解统计学的核心内容。
一、统计的基本概念1. 数据：数据是统计学的基础，可以是数字、文字或符号等形式的信息。
它们代表了我们想要研究的对象或现象的特征。
2. 总体和样本：总体是指我们感兴趣的整个群体或现象，而样本是从总体中选取的一部分个体或观察值。
通过对样本的研究，我们可以得出关于总体的推断。
3. 变量：变量是研究对象的某个特征或属性，可以是数量性变量（如身高、年龄）或质量性变量（如性别、职业）。
4. 参数和统计量：参数是描述总体特征的数值，统计量是样本数据的数值。
通过对统计量的计算，我们可以推断出总体参数。
二、统计的基本运算1. 描述统计学：描述统计学是通过对数据的整理、概括和描述，来了解数据的特征和分布情况。
常见的描述统计学方法包括平均数、中位数、众数、标准差等。
2. 推论统计学：推论统计学是基于样本数据对总体进行推断的方法。
它包括参数估计和假设检验两个主要步骤。
- 参数估计：通过样本统计量来估计总体参数，常见的方法包括点估计和区间估计。
点估计是用一个数值来估计参数，区间估计是用一个区间来估计参数。
- 假设检验：假设检验是通过对样本数据进行假设检验，来判断总体参数是否符合某个假设。
它包括建立原假设和备择假设、选择合适的检验统计量、计算检验统计量的值、确定拒绝域和做出结论等步骤。
3. 相关分析：相关分析是研究变量之间关系的方法。
它可以帮助我们了解变量之间的相关性，包括正相关、负相关或无相关。
4. 回归分析：回归分析是研究变量之间的函数关系的方法。
通过建立回归模型，我们可以预测一个变量与其他变量之间的关系。
5. 抽样方法：抽样是从总体中选取样本的过程，它是进行统计分析的基础。
常见的抽样方法包括随机抽样、系统抽样、整群抽样等。
初中数学：统计量——众数、中位数、加权平均数、方差
统计之数据的处理：常用统计量的计算（平均数、加权平均数、中位数、众数、方差）平均数的计算平均数是描述一组数据的常用指标，它反映了这组数据中各数据的平均大小或是集中趋势。
一组数据的平均数只有一个。
称这中位数的计算一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间的两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
即：n个数据按大小顺序排列，当数组的个数是奇数时，中间的那个数为这组数据的中位数；当数组的个数是偶数时，居于中间的两个数的平均数才是这组数据的中位数。
注意：（1）一组数据的中位数是唯一的；（2）当数据个数为奇数时，它的中位数一定是这组数据中的某一个数；当数据个数为偶数时，它的中位数不一定是这组数据中的某一个数。
众数的计算一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
注意：众数着眼于对各数据出现次数的考察，一组数据中，众数可能不止一个。
方差的计算⎤。
⎥⎦(1)已求得甲的平均成绩为8环，求乙的平均成绩；(2)观察图形，直接写出甲，乙这10次射击成绩的方差s甲2，s乙2哪个大；(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选参赛更合适．分析：(1)根据平均数的计算公式和折线统计图给出的数据即可得出答案；(2)根据图形波动的大小可直接得出答案；(3)根据射击成绩都在7环左右的多少可得出甲参赛更合适；根据射击成绩都在9环左右的多少可得出乙参赛更合适．解答：解：(1)乙的平均成绩是：(8+9+8+8+7+8+9+8+8+7)÷10=8(环)；(2)根据图象可知：甲的波动小于乙的波动，则22乙甲s s ；(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选乙参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选甲参赛更合适．故答案为：乙，甲．点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．。
统计量的概念
4.统计量的概念样本是总体的代表和反映，也是统计推断的依据．为了对总体的分布或数字特征进行各种统计推断，还需要对样本作加工处理，把样本中应关心的事物和信息集中起来，针对不同的问题构造出样本的不同函数，这种样本的函数我们称其为统计量．统计量的定义.由样本（X1, X2,…, X n）所确定的函数f(X1, X2,…, X n)称为统计量．若(x1, x2,…, x n)是一个样本观测值，则称f(x1, x2,…, x n)是统计量f(X1, X2,…, X n)的一个观测值．显然，统计量不仅是一个随机变量，而且还不含有未知参数．例3.6.4设(X1，X2，X3)是由服从正态分布Ｎ(μ,σ2)的总体X中抽取的一个容量为3的样本，其中μ、σ是未知参数，因此(X1+X2+X3)/3-μ，(X1+X2+X3)/σ都不是统计量，而X1+X2+5，X12+X22都是统计量．设（X1, X2,…, X n）是总体X中的一个样本，下面是数理统计中常用的几个统计量及其观测值：(1)样本均值.;它的观测值为：.(2)样本方差.;它的观测值为.(3)样本标准差.;它的观测值为.例3.6.5 为了了解某一课程自学考试的情况, 现从全体考生中抽查120名学生，记录其成绩如下：试按下列要求进行简单的统计分析.(1)在区间[40,100]之间，将数据分成组距为5分的12组，在此条件下，求频数分布、频率分布、累计频率分布；(2)求样本均值与样本方差；(3)作图:修正后的频率直方图、累计频率直方图．解. (1)根据已知数据，把频数分布、频率分布、累计频率分布列成表如下（(除了最后一组外，每组不包括上限)． (2)样本均值和样本方差的观测值分别是,(3)根据取值区间及相应频率作修正后的频率直方图和累计频率直方图.有了统计量的概念以后，下面我们再介绍几个在应用中有重要作用的常用的分布．实验题：学习者可以随机抽取某科考试成绩进行如下统计推断.(1) 先把数据分组,在此条件下,求频数分布、频率分布、累计频率分布;(2) 求样本均值与样本方差;(3) 画出频率直方图和累计频率直方图.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分析数据
中位数很好地代表了一组数据的中点，并且需 要较少的计算。中位数就是把一组数据按一定的顺 序排列后，最中间的那个数。
方法：首次按从小到大或从大到小的顺序排列 1、个数是奇数时，那么最中间那个数就是中位数； 2、个数是偶数时， 那么最中间的两个数的平均数就是中位数。
优点：中位数对极端数据不敏感（也就是没有影响）， 在某些情况下是一个优点。 不足：除了中间值，中位数没有利用其他数据。
（30× 2＋33× 4＋36× 5＋39× 12＋42× 10＋ 45× 4＋48× 3）÷ 40=1584÷ 40≈39.6
50×40%=20(人) 50×28%=14(人) 50×24%=12(人) 50×8%=4(人)
从进货和销售数量的差来看，尺码是35、37、39三 种型号的鞋进货有些多了，下一次进货时可考虑适当降 低数量；但从销量来看，37码的鞋仍然排名第一，36和 38码的列第二和第三名，所以每种型号的鞋进货量的比 例总体上不会有大的变化。 研究一组数据的频数大小分布情况时，应用了众数的 知识。
人教版六年级下册整理与复习
《统计与可能性》
统计量
统计表 统 计 图 表 统计图
单式统计表
复式统计表
单式条形统计图 条形统计图 折线统计图 扇形统计图 复式条形统计图 单式折线统计图 复式折线统计图
条形统计图：清楚地表明各种数量的多少，便于对比。
折线统计图：不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚 地表示出数量增减变化的情况。
扇形统计图：可以清楚地反映各部分之间、部分与整体之
间的数量关系。
我们学过的有关统计的知识：
统计表：单式和复式； 统计图：条形（单、复）、折线 （单、复） 、扇形； 统计量：平均数、中位数、众数。 （是用来分析数据的）
分析数据
平均数将所有的数据都加以利用。与中位数和 众数相比，它会包括更多的信息。因此，平均数是 刻画一组数据集中趋势的最常用的统计量，当平均 数与中位数大致相当时，人们往往选择平均数。但 它计算起来有点麻烦，同时易受极端数据（偏大或 偏小数据）的影响。
10个 9个
2个
9个
1.52
平均数、众数和中位数的异同：
平均数：1.50 众数：1.52 中位数：1.52
平均数、众数、中位数都能代表一组数据 的一般水平或集中趋势，它们能从不同的角度 反映一组数据分布的基本情况。但在我们的生 活中我们要根据具体的情况，选择不同的统计 量来代表一组数据的整体水平。
下面是六3班一小组同学在一次考试中的成绩（单位： 分） 64 98 81 53 78 98 100 97 65 86
100分
分数
人数
90-99 分
80-89 分
70-79 分
60-69 分
60分 以下
Байду номын сангаас
1
3
2
1
2
1
你会求中位数，众数和平均数吗？
（1.4＋1.43× 3＋1.46× 5＋1.49× 10＋1.52× 12＋ 1.55× 6＋1.58× 3）÷ 40=60.17÷ 40≈1.50
(9.8＋9.7×2＋9.6×4＋9.5＋9.4×2＋9.1) ÷11≈9.55 在研究一组数据的分布情况时，用平均数、中位数或 众数作为数据的代表都是可以的。但在一般情况下，用平 中位数：9.6 众数：9.6 均数作为数据代表的时候较多，它与这组数据中的每个数 (9.7×2＋9.6×4＋9.5＋9.4×2) ÷9≈9.56 据都有关系，但它易受极端数据的影响，所以为了减少这 种影响，在评分时就采取去掉一个最高分和一个最低分， 再计算平均数，这样做是合理的。
总数 ÷总分数 （1.40+1.43+1.46+1.49+1.52+1.55+1.58）÷7 =10.43 ÷7 =1.49
总数
=60.17÷ 40 ≈1.50
÷总分数
（1.4＋1.43× 3＋1.46× 5＋1.49× 10＋1.52× 12＋1.55× 6＋1.58× 3）÷ 40
分析数据
众数它代表了一组数据中出现次数最多的数据。 （不足）它只能传递这组数据中的很少一部分信息。