江苏省六市重点中学2018届高三数学3月第二次调研二模试题
【方案】江苏省南通徐州扬州泰州淮安宿迁六市2018届高三第二次调研数学试题
【关键字】方案2018届高三模拟考试试卷(十三)数学 2018．3(满分160分，考试时间120分钟)参照公式：柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U＝{－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，2}，则∁UA＝________．2. 已知复数z1＝a＋i，z2＝3－4i，其中i为虚数单位．若为纯虚数，则实数a的值为________．3. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40，100]上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．(第3题) (第4题)4. 如图是一个算法流程图，则输出的S的值为________．5. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm2的概率为________．6. 在△ABC中，已知AB＝1，AC＝，B＝45°，则BC的长为________．7. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x2－＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，)，则双曲线C的焦距为________．8. 在平面直角坐标系xOy中，已知角α，β的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．9. 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，且a8＝3，则a5的值为________．10. 已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为________．11. 在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组表示的平面区域内，则面积最大的圆C的标准方程为______________．12. 设函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________．13. 在平面四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝4，CD＝2，DA＝3，则·的值为________．14. 已知a为常数，函数f(x)＝的最小值为－，则a的所有值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(－sin β，cos β)，c＝(－，)．(1) 若|a＋b|＝|c|，求sin(α－β)的值；(2) 设α＝，0＜β＜π，且a∥(b＋c)，求β的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AC，点E，F分别在棱BB1，CC1上(均异于端点)，且∠ABE＝∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1.求证：(1) 平面AEF⊥平面BB1C1C；(2) BC∥平面AEF.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y＝x＋3时，线段PB1的长为4.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2.求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．18. (本小题满分16分)将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l2为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；(2) 设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19. (本小题满分16分)设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d≠0.记ci＝ai＋bi(i＝1，2，3，4)．(1) 求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；(2) 设a1＝1，q＝2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3) 数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由．20. (本小题满分16分)设函数f(x)＝x －asin x(a ＞0)．(1) 若函数y ＝f(x)是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；(2) 设a ＝，g(x)＝f(x)＋bln x ＋1(b ∈R ，b ≠0)，g ′(x)是g(x)的导函数． ① 若对任意的x ＞0，g ′(x)＞0，求证： 存在x0，使g(x0)＜0； ② 若g(x1)＝g(x2)(x1≠x2)，求证： x1x2＜4b2.2018届高三模拟考试试卷(十三) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，A ，B ，C 是圆O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D.求证：DB·DC＋OD 2＝OA 2. B. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，已知A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)．设变换T 1，T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，求对△ABC 依次实施变换T 1，T 2后所得图形的面积．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求以点P(2，π3)为圆心且与直线l ：ρsin(θ－π3)＝2相切的圆的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝12，求证：1－a ＋cc （a ＋2b ）≥2.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元．(1) 求概率P(X ＝600)；(2) 求X 的概率分布及数学期望E(X)．23. 已知(1＋x)2n ＋1＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n ＋1x 2n ＋1，n ∈N *.记T n ＝(2k ＋1)a n －k .(1) 求T 2的值；(2) 化简T n 的表达式，并证明：对任意的n∈N *，T n 都能被4n ＋2整除．2018届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考)数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. 433. 304. 1255. 136. 2＋627. 4 38. 97 9. －6 10. 811. (x －1)2＋y 2＝4 12. (1，＋∞) 13. 10 14. 4，1415. 解：(1) 因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12，32)，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，且a·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin (α－β)．(3分) 因为|a ＋b|＝|c|，所以|a ＋b|2＝c 2，即a 2＋2a·b ＋b 2＝1， 所以1＋2sin (α－β)＋1＝1，即sin (α－β)＝－12.(6分)(2) 因为α＝5π6，所以a ＝(－32，12)．故b ＋c ＝(－sin β－12，cos β＋32)．(8分)因为a∥(b ＋c )，所以－32(cos β＋32)－12(－sin β－12)＝0. 化简得12sin β－32cos β＝12，所以sin (β－π3)＝12.(12分)因为0<β<π，所以－π3<β－π3<2π3.所以β－π3＝π6，即β＝π2.(14分)16. 证明：(1) 在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BB 1∥CC 1. 因为AF⊥CC 1，所以AF⊥BB 1.(2分) 又AE⊥BB 1，AE ∩AF ＝A ，AE ，AF ⊂平面AEF ，所以BB 1⊥平面AEF.(5分) 因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF⊥平面BB 1C 1C.(7分) (2) 因为AE⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE ＝∠ACF，AB ＝ AC ， 所以Rt △AEB ≌Rt △AFC.所以BE ＝CF.(9分)又由(1)知，BE ∥CF ，所以四边形BEFC 是平行四边形．故BC∥EF.(11分) 又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BC∥平面AEF.(14分) 17. 解：设P(x 0，y 0)，Q(x 1，y 1)．(1) 在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 29＝1，y ＝x ＋3得x 2a 2＋（x ＋3）29＝1，所以x 0＝－6a 29＋a2.(4分)因为PB 1＝x 20＋（y 0－3）2＝2|x 0|, 所以42＝2·6a 29＋a2，解得a 2＝18.所以椭圆的标准方程为x 218＋y29＝1.(6分)(2) (方法1)直线PB 1的斜率为kPB 1＝y 0－3x 0，由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为kQB 1＝－x 0y 0－3.于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0y 0－3x ＋3. 同理，QB 2的方程为y ＝－x 0y 0＋3x －3.(8分)联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9x 0.(10分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202.所以x 1＝－x 02.(12分)所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝2.(14分)(证法2)设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3. 由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1kx ＋3.将y ＝kx ＋3代入x 218＋y 29＝1，得(2k 2＋1)x 2＋12kx ＝0，因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以x 0≠0，从而x 0＝－12k2k 2＋1.(8分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202.所以k·k′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9x 20＝－12，得k′＝－12k .(10分)由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y ＝2kx －3.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3则x ＝6k 2k 2＋1，即x 1＝6k 2k 2＋1.(12分)所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k 2k 2＋16k 2k 2＋1＝2.(14分)18. 解：(1) 设所得圆柱的半径为r dm, 则(2πr ＋2r)×4r＝100，(4分) 解得r ＝52（π＋1）2（π＋1）.(6分)(2) 设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤x 2，a ≤100x －4a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤x 2，a ≤20x .(9分)(方法1)所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤⎩⎪⎨⎪⎧x34，0<x ≤210，400x ，x>210.(11分)记函数p(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x34，0<x ≤210，400x ，x>210，则p(x)在(0，210]上单调递增，在[210，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝210时，p max (x)＝2010.所以当x ＝210，a ＝10时，V max ＝2010 (dm 3)．(14分) (方法2)2a≤x≤20a，从而a≤10.(11分)所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤a 2(20a)＝20a≤2010.所以当a ＝10，x ＝210时，V max ＝2010 (dm 3)．(14分) 答：(1) 圆柱的底面半径为52（π＋1）2（π＋1）dm ；(2) 当x 为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．(16分) 【评分说明】① 直接“由x·(2x＋x2)＝100得x ＝210时正四棱柱的体积最大”给2分；② 方法1中的求解过程要体现V≤p(x)≤210，凡写成V ＝p(x)≤210的最多得5分， 其他类似解答参照给分．19. (1) 证明：假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，即2(a 2＋b 2)＝(a 1＋b 1)＋(a 3＋b 3)．因为b 1，b 2，b 3是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，从而2a 2＝a 1＋a 3.(2分) 因为a 1，a 2，a 3是等比数列，所以a 22＝a 1a 3.所以a 1＝a 2＝a 3，这与q≠1矛盾，从而假设不成立． 所以数列c 1，c 2，c 3不是等差数列．(4分) (2) 解：因为a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝2n －1.因为c 22＝c 1c 3，所以(2＋b 2)2＝(1＋b 2－d)(4＋b 2＋d)，即b 2＝d 2＋3d.(6分) 由c 2＝2＋b 2≠0，得d 2＋3d ＋2≠0，所以d≠－1且d≠－2.又d≠0，所以b 2＝d 2＋3d ，定义域为{d∈R |d≠－1，d ≠－2，d ≠0}．(8分) (3) 解：(解法1)设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝c 1 ①，a 1q ＋b 1＋d ＝c 1q 1②，a 1q 2＋b 1＋2d ＝c 1q 21③，a 1q 3＋b 1＋3d ＝c 1q 31④.(10分)将①＋③－2×②，得a 1(q －1)2＝c 1(q 1－1)2⑤， 将②＋④－2×③，得a 1q(q －1)2＝c 1q 1(q 1－1)2⑥，(12分) 因为a 1≠0，q ≠1，由⑤得c 1≠0，q 1≠1. 由⑤⑥得q ＝q 1，从而a 1＝c 1.(14分)代入①得b 1＝0. 再代入②得d ＝0，与d≠0矛盾． 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．(16分)(解法2)假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，则c 2c 1＝c 3c 2＝c 4c 3.(10分)所以c 3－c 2c 2－c 1＝c 4－c 3c 3－c 2，即a 3－a 2＋d a 2－a 1＋d ＝a 4－a 3＋d a 3－a 2＋d .两边同时减1，得a 3－2a 2＋a 1a 2－a 1＋d ＝a 4－2a 3＋a 2a 3－a 2＋d.(12分)因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q(q≠1)，所以a 3－2a 2＋a 1a 2－a 1＋d ＝q （a 3－2a 2＋a 1）a 3－a 2＋d .又a 3－2a 2＋a 1＝a 1(q －1)2≠0，所以q(a 2－a 1＋d)＝a 3－a 2＋d ，即(q －1)d ＝0.(14分) 这与q≠1，且d≠0矛盾，所以假设不成立． 所以数列c 1，c 2，c 3，c 4不能为等比数列．(16分)20. (1) 解：由题意，f ′(x)＝1－acos x ≥0对x∈R 恒成立．因为a>0，所以1a ≥cos x 对x∈R 恒成立．因为(cos x)max ＝1，所以1a≥1，从而0<a≤1.(3分)(2) 证明：① g(x)＝x －12sin x ＋bln x ＋1，所以g′(x)＝1－12cos x ＋bx .若b<0，则存在－b 2>0，使g′(－b 2)＝－1－12cos(－b2)<0，不合题意，所以b>0.(5分) 取x 0＝e －3b，则0<x 0<1.此时g(x 0)＝x 0－12sin x 0＋bln x 0＋1<1＋12＋bln e －3b ＋1＝－12<0.所以存在x 0>0，使g(x 0)<0.(8分)② 依题意，不妨设0<x 1<x 2，令x 2x 1＝t ，则t>1.由(1)知函数y ＝x －sin x 单调递增，所以x 2－sin x 2>x 1－sin x 1. 从而x 2－x 1>sin x 2－sin x 1. (10分)因为g(x 1)＝g(x 2)，所以x 1－12sin x 1＋bln x 1＋1＝x 2－12sin x 2＋bln x 2＋1，所以－b(ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1－12(sin x 2－sin x 1)>12(x 2－x 1)，所以－2b>x 2－x 1ln x 2－ln x 1>0.(12分)下面证明x 2－x 1ln x 2－ln x 1>x 1x 2，即证明t －1ln t >t ，只要证明ln t －t －1t <0 (*)．设h(t)＝ln t －t －1t (t>1)，所以h′(t)＝－（t －1）22t t <0在(1，＋∞)上恒成立．所以h(t)在(1，＋∞)上单调递减，故h(t)<h(1)＝0，从而(*)得证． 所以－2b>x 1x 2， 即x 1x 2<4b 2.(16分)2018届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：延长AO 交圆O 于点E ，则BD·DC＝DE·DA＝(OD ＋OE)·(OA－OD)．(5分) 因为OE ＝OA ，所以DB·DC＝(OA ＋OD)·(OA－OD)＝OA 2－OD 2.所以DB·DC＋OD 2＝OA 2.(10分)B. 解：依题意，依次实施变换T 1，T 2所对应的矩阵NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2.(5分) 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤60，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤44. 所以A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)分别变为点A′(0，0)，B ′(6，0)，C ′(4，4)． 从而所得图形的面积为12×6×4＝12.(10分)C. 解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy. 则点P 的直角坐标为(1，3)．(2分)将直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2的方程变形为ρsin θcos π3－ρcos θsin π3＝2， 化为普通方程，得3x －y ＋4＝0.(5分) 所以P(1，3)到直线l ：3x －y ＋4＝0的距离为4（3）2＋（－1）2＝2.故所求圆的普通方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.(8分) 化为极坐标方程，得ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(10分)D. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，所以1－a ＋c c （a ＋2b ）＝a ＋2b ＋3c c （a ＋2b ）＝（a ＋c ）＋2（b ＋c ）ac ＋2bc ≥2ac ＋4bcac ＋2bc＝2(当且仅当a ＝b ＝c 取“＝”)．(10分)22. 解：(1)从3×3表格中随机不重复地点击3格，共有C 39种不同情形， 则事件“X＝600”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，1格得奖200元，1格得奖100元． 其中第一类包含C 34种情形，第二类包含C 11·C 14·C 14种情形， 所以P(X ＝600)＝C 34＋C 11·C 14·C 14C 39＝521.(3分) (2) X 的所有可能值为300，400，500，600，700，则 P(X ＝300)＝C 34C 39＝484＝121，P(X ＝400)＝C 11·C 24C 39＝2484＝27，P(X ＝500)＝C 11·C 24＋C 14·C 24C 39＝3084＝514，P(X ＝700)＝C 11·C 24C 39＝684＝114. 所以X 的概率分布列为(8分)所以E(X)＝300×121＋400×27＋500×514＋600×521＋700×114＝500.(10分)23. 解：由二项式定理，得a i ＝C i2n ＋1(i ＝0，1，2，…，2n ＋1)． (1) T 2＝a 2＋3a 1＋5a 0＝C 25＋3C 15＋5C 05＝30.(2分) (2) 因为(n ＋1＋k)C n ＋1＋k2n ＋1＝(n ＋1＋k)·（2n ＋1）！（n ＋1＋k ）！（n －k ）！＝（2n ＋1）·（2n ）！（n ＋k ）！（n －k ）！＝(2n ＋1)C n ＋k2n ，(4分)（8分）T n ＝(2n ＋1)C n2n ＝(2n ＋1)(C n －12n －1＋C n2n －1)＝2(2n ＋1)C n2n －1. 因为C n2n －1∈N *，所以T n 能被4n ＋2整除．(10分)此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
江苏地区南通,徐州,扬州,泰州,淮安,宿迁六市2018年度高三第二次调研数学试题
2018届高三模拟考试试卷(十三)数学2018．3(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U＝{－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，2}，则∁U A＝________．2. 已知复数z1＝a＋i，z2＝3－4i，其中i为虚数单位．若z1z2为纯虚数，则实数a的值为________．3. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40，100]上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．(第3题) (第4题)4. 如图是一个算法流程图，则输出的S的值为________．5. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm2的概率为________．6. 在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，B＝45°，则BC的长为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线x 2－y 23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C 的焦距为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．9. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 8＝3，则a 5的值为________． 10. 已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x －3y ＋3≥0，x ＋3y ＋3≥0表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为______________．12. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x ＞0，x 3－3mx －2，x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．13. 在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝4，CD ＝2，DA ＝3，则AC →·BD →的值为________． 14. 已知a 为常数，函数f(x)＝x a －x 2－1－x 2的最小值为－23，则a 的所有值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12，32)．(1) 若|a ＋b|＝|c|，求sin(α－β)的值；(2) 设α＝5π6，0＜β＜π，且a ∥(b ＋c )，求β的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上(均异于端点)，且∠ABE ＝∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1.求证：(1) 平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ； (2) BC ∥平面AEF.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为42.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设点Q 满足：QB 1⊥PB 1，QB 2⊥PB 2.求证： △PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．18. (本小题满分16分)将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l2为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；(2) 设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19. (本小题满分16分)设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d ≠0.记c i＝a i＋b i(i＝1，2，3，4)．(1) 求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；(2) 设a1＝1，q＝2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3) 数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由．20. (本小题满分16分) 设函数f(x)＝x －asin x(a ＞0)．(1) 若函数y ＝f(x)是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；(2) 设a ＝12，g(x)＝f(x)＋bln x ＋1(b ∈R ，b ≠0)，g ′(x)是g(x)的导函数．① 若对任意的x ＞0，g ′(x)＞0，求证： 存在x 0，使g(x 0)＜0； ② 若g(x 1)＝g(x 2)(x 1≠x 2)，求证： x 1x 2＜4b 2.2018届高三模拟考试试卷(十三) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，A ，B ，C 是圆O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D.求证：DB ·DC ＋OD 2＝OA 2.B. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，已知A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)．设变换T 1，T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1002，矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2001，求对△ABC 依次实施变换T 1，T 2后所得图形的面积．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求以点P(2，π3)为圆心且与直线l ：ρsin(θ－π3)＝2相切的圆的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝12，求证：1－a ＋c c （a ＋2b ）≥2.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元．(1) 求概率P(X ＝600)；(2) 求X 的概率分布及数学期望E(X)．23. 已知(1＋x)2n ＋1＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n ＋1x 2n ＋1，n ∈N *.记T n ＝(2k ＋1)a n －k .(1) 求T 2的值；(2) 化简T n 的表达式，并证明：对任意的n ∈N *，T n 都能被4n ＋2整除．2018届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考)数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. 433. 304. 1255. 13 6.2＋627. 43 8. 979. －6 10. 811. (x －1)2＋y 2＝4 12. (1，＋∞) 13. 10 14. 4，1415. 解：(1) 因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12，32)，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，且a ·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β)．(3分) 因为|a ＋b|＝|c|，所以|a ＋b|2＝c 2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1， 所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－12.(6分)(2) 因为α＝5π6，所以a ＝(－32，12)．故b ＋c ＝(－sin β－12，cos β＋32)．(8分)因为a ∥(b ＋c )，所以－32(cos β＋32)－12(－sin β－12)＝0.化简得12sin β－32cos β＝12，所以sin(β－π3)＝12.(12分)因为0<β<π，所以－π3<β－π3<2π3.所以β－π3＝π6，即β＝π2.(14分)16. 证明：(1) 在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BB 1∥CC 1. 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1.(2分) 又AE ⊥BB 1，AE ∩AF ＝A ，AE ，AF ⊂平面AEF ，所以BB 1⊥平面AEF.(5分) 因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C.(7分) (2) 因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE ＝∠ACF ，AB ＝ AC ， 所以Rt △AEB ≌Rt △AFC.所以BE ＝CF.(9分)又由(1)知，BE ∥CF ，所以四边形BEFC 是平行四边形．故BC ∥EF.(11分) 又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BC ∥平面AEF.(14分)17. 解：设P(x 0，y 0)，Q(x 1，y 1)．(1) 在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.(2分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y29＝1，y ＝x ＋3得x 2a 2＋（x ＋3）29＝1，所以x 0＝－6a 29＋a2.(4分)因为PB 1＝x 20＋（y 0－3）2＝2|x 0|, 所以42＝2·6a 29＋a2，解得a 2＝18. 所以椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(6分)(2) (方法1)直线PB 1的斜率为kPB 1＝y 0－3x 0，由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为kQB 1＝－x 0y 0－3.于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0y 0－3x ＋3.同理，QB 2的方程为y ＝－x 0y 0＋3x －3.(8分) 联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9x 0.(10分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202.所以x 1＝－x 02.(12分)所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝2.(14分)(证法2)设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3. 由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1kx ＋3.将y ＝kx ＋3代入x 218＋y 29＝1，得(2k 2＋1)x 2＋12kx ＝0，因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以x 0≠0，从而x 0＝－12k2k 2＋1.(8分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202.所以k ·k ′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9x 20＝－12，得k ′＝－12k .(10分)由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y ＝2kx －3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3则x ＝6k 2k 2＋1，即x 1＝6k 2k 2＋1.(12分)所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k2k 2＋16k 2k 2＋1＝2.(14分)18. 解：(1) 设所得圆柱的半径为r dm, 则(2πr ＋2r)×4r ＝100，(4分) 解得r ＝52（π＋1）2（π＋1）.(6分)(2) 设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤x2，a ≤100x －4a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤x2，a ≤20x .(9分)(方法1)所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤⎩⎪⎨⎪⎧x 34，0<x ≤210，400x ，x>210.(11分)记函数p(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 34，0<x ≤210，400x ，x>210，则p(x)在(0，210]上单调递增，在[210，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝210时，p max (x)＝2010.所以当x ＝210，a ＝10时，V max ＝2010 (dm 3)．(14分)(方法2)2a ≤x ≤20a ，从而a ≤10.(11分)所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤a 2(20a)＝20a ≤2010.所以当a ＝10，x ＝210时，V max ＝2010 (dm 3)．(14分)答：(1) 圆柱的底面半径为52（π＋1）2（π＋1） dm ；(2) 当x 为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．(16分)【评分说明】① 直接“由x ·(2x ＋x2)＝100得x ＝210时正四棱柱的体积最大”给2分；② 方法1中的求解过程要体现V ≤p(x)≤210，凡写成V ＝p(x)≤210的最多得5分，其他类似解答参照给分．19. (1) 证明：假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，即2(a 2＋b 2)＝(a 1＋b 1)＋(a 3＋b 3)．因为b 1，b 2，b 3是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，从而2a 2＝a 1＋a 3.(2分)因为a 1，a 2，a 3是等比数列，所以a 22＝a 1a 3. 所以a 1＝a 2＝a 3，这与q ≠1矛盾，从而假设不成立． 所以数列c 1，c 2，c 3不是等差数列．(4分) (2) 解：因为a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝2n －1.因为c 22＝c 1c 3，所以(2＋b 2)2＝(1＋b 2－d)(4＋b 2＋d)，即b 2＝d 2＋3d.(6分)由c 2＝2＋b 2≠0，得d 2＋3d ＋2≠0，所以d ≠－1且d ≠－2.又d ≠0，所以b 2＝d 2＋3d ，定义域为{d ∈R |d ≠－1，d ≠－2，d ≠0}．(8分)(3) 解：(解法1)设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝c 1 ①，a 1q ＋b 1＋d ＝c 1q 1②，a 1q 2＋b 1＋2d ＝c 1q 21 ③，a 1q 3＋b 1＋3d ＝c 1q 31④.(10分)将①＋③－2×②，得a 1(q －1)2＝c 1(q 1－1)2 ⑤，将②＋④－2×③，得a 1q(q －1)2＝c 1q 1(q 1－1)2 ⑥，(12分) 因为a 1≠0，q ≠1，由⑤得c 1≠0，q 1≠1. 由⑤⑥得q ＝q 1，从而a 1＝c 1.(14分)代入①得b 1＝0. 再代入②得d ＝0，与d ≠0矛盾． 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．(16分)(解法2)假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，则c 2c 1＝c 3c 2＝c 4c 3.(10分)所以c 3－c 2c 2－c 1＝c 4－c 3c 3－c 2，即a 3－a 2＋d a 2－a 1＋d ＝a 4－a 3＋d a 3－a 2＋d .两边同时减1，得a 3－2a 2＋a 1a 2－a 1＋d ＝a 4－2a 3＋a 2a 3－a 2＋d .(12分)因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q(q ≠1)，所以a 3－2a 2＋a 1a 2－a 1＋d ＝q （a 3－2a 2＋a 1）a 3－a 2＋d.又a 3－2a 2＋a 1＝a 1(q －1)2≠0，所以q(a 2－a 1＋d)＝a 3－a 2＋d ，即(q －1)d ＝0.(14分) 这与q ≠1，且d ≠0矛盾，所以假设不成立． 所以数列c 1，c 2，c 3，c 4不能为等比数列．(16分)20. (1) 解：由题意，f ′(x)＝1－acos x ≥0对x ∈R 恒成立． 因为a>0，所以1a≥cos x 对x ∈R 恒成立．因为(cos x)max ＝1，所以1a≥1，从而0<a ≤1.(3分)(2) 证明：① g(x)＝x －12sin x ＋bln x ＋1，所以g ′(x)＝1－12cos x ＋bx .若b<0，则存在－b 2>0，使g ′(－b 2)＝－1－12cos(－b2)<0，不合题意，所以b>0.(5分)取x 0＝e －3b，则0<x 0<1.此时g(x 0)＝x 0－12sin x 0＋bln x 0＋1<1＋12＋bln e －3b ＋1＝－12<0.所以存在x 0>0，使g(x 0)<0.(8分)② 依题意，不妨设0<x 1<x 2，令x 2x 1＝t ，则t>1.由(1)知函数y ＝x －sin x 单调递增，所以x 2－sin x 2>x 1－sin x 1. 从而x 2－x 1>sin x 2－sin x 1. (10分)因为g(x 1)＝g(x 2)，所以x 1－12sin x 1＋bln x 1＋1＝x 2－12sin x 2＋bln x 2＋1，所以－b(ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1－12(sin x 2－sin x 1)>12(x 2－x 1)，所以－2b>x 2－x 1ln x 2－ln x 1>0.(12分)下面证明x 2－x 1ln x 2－ln x 1>x 1x 2，即证明t －1ln t>t ，只要证明ln t －t －1t<0 (*)．设h(t)＝ln t －t －1t (t>1)，所以h ′(t)＝－（t －1）22t t <0在(1，＋∞)上恒成立．所以h(t)在(1，＋∞)上单调递减，故h(t)<h(1)＝0，从而(*)得证．所以－2b>x 1x 2， 即x 1x 2<4b 2.(16分)2018届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：延长AO 交圆O 于点E ，则BD ·DC ＝DE ·DA ＝(OD ＋OE)·(OA －OD)．(5分) 因为OE ＝OA ，所以DB ·DC ＝(OA ＋OD)·(OA －OD)＝OA 2－OD 2. 所以DB ·DC ＋OD 2＝OA 2.(10分)B. 解：依题意，依次实施变换T 1，T 2所对应的矩阵NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 2.(5分)则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤30＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤60，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤44. 所以A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)分别变为点A ′(0，0)，B ′(6，0)，C ′(4，4)． 从而所得图形的面积为12×6×4＝12.(10分)C. 解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy. 则点P 的直角坐标为(1，3)．(2分)将直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2的方程变形为ρsin θcos π3－ρcos θsin π3＝2，化为普通方程，得3x －y ＋4＝0.(5分)所以P(1，3)到直线l ：3x －y ＋4＝0的距离为4（3）2＋（－1）2＝2.故所求圆的普通方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.(8分)化为极坐标方程，得ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(10分)D. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，所以1－a ＋c c （a ＋2b ）＝a ＋2b ＋3c c （a ＋2b ）＝（a ＋c ）＋2（b ＋c ）ac ＋2bc ≥2ac ＋4bcac ＋2bc＝2(当且仅当a ＝b ＝c 取“＝”)．(10分)22. 解：(1)从3×3表格中随机不重复地点击3格，共有C 39种不同情形， 则事件“X ＝600”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，1格得奖200元，1格得奖100元．其中第一类包含C 34种情形，第二类包含C 11·C 14·C 14种情形， 所以P(X ＝600)＝C 34＋C 11·C 14·C 14C 39＝521.(3分)(2) X 的所有可能值为300，400，500，600，700，则P(X ＝300)＝C 34C 39＝484＝121，P(X ＝400)＝C 11·C 24C 39＝2484＝27，P(X ＝500)＝C 11·C 24＋C 14·C 24C 39＝3084＝514，P(X ＝700)＝C 11·C 24C 39＝684＝114.所以X 的概率分布列为所以E(X)＝300×121＋400×27＋500×514＋600×521＋700×114＝500.(10分)23. 解：由二项式定理，得a i＝C i2n＋1(i＝0，1，2，…，2n＋1)．(1) T2＝a2＋3a1＋5a0＝C25＋3C15＋5C05＝30.(2分)(2) 因为(n＋1＋k)C n＋1＋k2n＋1＝(n＋1＋k)·（2n＋1）！（n＋1＋k）！（n－k）！＝（2n＋1）·（2n）！（n＋k）！（n－k）！＝(2n＋1)C n＋k2n，(4分)（8分）T n＝(2n＋1)C n2n＝(2n＋1)(C n－12n－1＋C n2n－1)＝2(2n＋1)C n2n－1.因为C n2n－1∈N*，所以T n能被4n＋2整除．(10分)。
江苏省南通、徐州、扬州、泰州、淮安、宿迁六市2018届高三数学3月第二次调研(二模)试题
江苏省南通、徐州、扬州、泰州、淮安、宿迁六市2018届高三数学3月第二次调研（二模）试题(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1。
已知集合U＝｛－1，0，1，2，3｝，A＝{－1，0，2｝，则∁U A＝________．2. 已知复数z1＝a＋i，z2＝3－4i，其中i为虚数单位．若错误!为纯虚数，则实数a的值为________．3。
某班40名学生参加普法知识竞赛,成绩都在区间［40，100]上,其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．（第4题）(第3题)4. 如图是一个算法流程图，则输出的S的值为________．5。
在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形,则该矩形的面积大于32 cm2的概率为________．6。
在△ABC中,已知AB＝1，AC＝错误!,B＝45°，则BC的长为________．7. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x2－错误!＝1有公共的渐近线，且经过点P（－2,错误!)，则双曲线C的焦距为________．8. 在平面直角坐标系xOy中，已知角α，β的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A（1，2)，B(5，1)，则tan（α－β)的值为________．9。
设等比数列｛a n｝的前n项和为S n.若S3，S9，S6成等差数列，且a8＝3，则a5的值为________．10。
已知a，b,c均为正数，且abc＝4（a＋b），则a＋b＋c的最小值为________．11。
在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组错误!表示的平面区域内，则面积最大的圆C的标准方程为______________．12. 设函数f（x）＝错误!（其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________．13。
2018届江苏六市高三数学二模试卷(扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁)
2018届高三第二次调研测试（扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁）数学学科一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则UA = ▲ ．2． 已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．3． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．4． 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ ．5． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为 ▲ ．40 50 60 70 80 90 1006． 在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点(12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为 ▲ ．9． 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲ ．10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≥，≥表示的平面 区域内，则面积最大的为 ▲ ．12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅的值为 ▲ ．14．已知a 为常数，函数22()1x f x a x x =---的最小值为23-，则a 的所有值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()3122=-，c ．（1）若+=a b c，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．16．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于端点），且∠ABE∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC22221(0)y x a b a b +=>>3y x =+11QB PB ⊥，22QB PB ⊥1l 1l 1l 2l 1l x x10q d ≠≠，i i i c a b =+123c c c ，，11a =2q =123c c c ，，1234c c c c ，，，()sin (0)f x x a x a =->()y f x =1()()ln 1(0)2a g x f xb x b b ==++∈≠R ，，()g x '()g x 0()0x g x '>>，0x ，0()0g x <1212()()()g x g x x x =≠2124x x b <22DB DC OD OA ⋅+=(00)(30)(22)A B C ，，，，，1T 2T 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N 1T 2T ()23P π，l ()sin 23ρθπ-=⨯()600P X =X ()E X 212012(1)n x a a x a x ++=+++2121n n a x+++*n ∈N(21)nn n kk T k a -==+∑2T nT *n ∈N nT 42n +{}{}1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，UA ={}13，12i 34i z a z =+=-，i12z z 43[]40100，SABC△145AB AC B ===︒，BC xOy C 2213y x -=()2P -C αβ，(12)A ，(51)B ，tan()αβ-97{}n a n S 396S S S ，，83a =5a 6-a b c ，，4()abc a b =+a b c ++C 33030x x x ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≥，≥22(1)4x y -+=31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，e m ()1+∞，ABCD40 50 60 70 80 90 100（第221423AB BC CD DA ====，，，AC BD ⋅a 22()1xf x a x x =---23-a 144，2+3C 1m >{}1m m >xOy()cos sin αα=，a ()sin cos ββ=-，b ()3122=-，c +=a b csin ()αβ-5π6α=0πβ<<()//+a b cβ()cos sin αα=，a ()sin cos ββ=-，b ()3122=-，c 1===a b c cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b +=a b c22+=a bc ⋅12sin ()11αβ+-+=1sin ()2αβ-=-5π6α=()3122=-，a ()31sin cos 22ββ+=--+，b c ()//+a b c()()3311cos sin 02222ββ--+--=311sin cos 222ββ-=()π1sin 32β-=0πβ<<ππ2π333β-<-<ππ36β-=π2β=cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b a22 a ⋅b b 2 1，每个2分，没有先后顺序。
江苏省2018届高三数学二模试卷 含解析
2018年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）． （Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”． （Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2018年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4；当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7；当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10；当l=10时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为15．故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tanβ的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣2，∴tan（α+β）===，整理可得：tanβ=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为+12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，结合b1018=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，∵b1018=1，∴b1b2018=b2b2018=…=b1018b1018=（b1018）2=1，∴a2018=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x 有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为﹣2﹣2018．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k （x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程x2+2y2=2b2，可得（1+2k2）x2﹣4tk2x+2k2t2﹣2b2=0，即有x1+x2=，x1x2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2018．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为[3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则a≥3即可，故实数a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ） 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系． 【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ． ∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9 ∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，=1+2+3+6+…+2m﹣1S2m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB 的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y，+≥2z，三式相加，可得+++x+y+z≥2（x+y+z），即为++≥x+y+z，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p，摸出白球概率为q，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n次试验总得分为S n”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，P（ξ=1）=+=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ 1 3PEξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2018（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2018），∴，则a2018＜1；又，∴×2018=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2018＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2018年10月17日。
优质金卷：江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研(二模)测试数学试题(解析版)
1．{}13，【解析】∵集合{}{}10123102U A =-=-，，，，，，， ∴{}1,3U C A = 故答案为{}1,3.3．30【解析】根据频率分布直方图可得成绩不低于60分的学生的频率为()0.0150.0300.0250.005100.75+++⨯=.∴成绩不低于60分的学生的人数为为400.7530⨯=. 故答案为30.4．125【解析】模拟执行程序可得： 1S =， 1i =，满足条件4i <，执行循环体， 155S =⨯=， 112i =+=，满足条件4i <，执行循环体， 5525S =⨯=， 213i =+=，满足条件4i <，执行循环体，255125S =⨯=， 314i =+=，不满足条件4i <，退出循环，输出S 的值为125.故答案为125.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构； (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题； (3)按照题目的要求完成解答并验证． 5．13【解析】设AC x =，则12BC x =-，矩形的面积为()21212S AC BC x x x x =⨯=-=-.∵21232x x -> ∴48x <<由几何概率的求解公式可得：该矩形的面积大于232cm 的概率为841123P -==. 故答案为13. 点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.7．∵双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线 ∴设双曲线C 的方程为22(0)3y x λλ-=>∵双曲线C 经过点()2P - ∴413λ=-=∴双曲线C 的方程为22139x y -=∴双曲线C的焦距为=故答案为9．-6【解析】设等比数列{}n a 的公比为q .∵396S S S ，，成等差数列 ∴9362S S S =+，且1q ≠.∴()()()9361112111111a q a q a q qq q---=+---，即63210qq --=.∴312q =-或31q =（舍去） ∵83a = ∴8533612a a q ===-- 故答案为6-.10．8【解析】∵a b c ，，均为正数，且()4abc a b =+∴()4a b c ab+=∴()4448a b a b c a b a b abb a +++=++=+++≥+=，当且仅当2a =， 2b =时取等号∴a b c ++的最小值为8故答案为8.点睛：本题主要考查等差中项的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 11．()2214x y -+=【解析】由约束条件作出可行域如图所示：由对称性可知，圆C 的圆心在x 轴上，设(),0C a3a -，解得1a =或9a =（舍去）.∴面积最大的圆的标准方程为()2214x y -+=. 故答案为()2214x y -+=.12．()1+∞，【解析】当0x >时， ()12x f x e -=-，画出函数图象如图所示：∴函数()f x 此时有1个零点∵函数()f x 在R 上有3个不同的零点∴当0x ≤时， ()332f x x mx =--有2个不同的零点∵()233f x x m '=-∴令()0f x '=，则20x m -=，若0m ≤，则函数()f x 为增函数，不合题意，故0m >.∴函数()f x 在(,-∞上为增函数，在(⎤⎦上为减函数，即()max 3222f x =--=.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 13．10【解析】取AC 中点O ，连接BO ， DO .∴()()()()()1122AC BD AC BO OD AC BO AC OD BC BA BC BA DC DA DC DA ⋅=⋅+=⋅+⋅=-+--+ ()222212BC BA DA DC =-+- ∵1423AB BC CD DA ====，，， ∴()116194102AC BD ⋅=-+-= 故答案为10.14．144，【解析】由题意得函数()f x 为奇函数. ∵函数()f x =∴()f x'=①当01a <<时，函数()f x的定义域为⎡⎣，由()0f x '>得x ≤<x<≤，由()0f x '<得x <<函数()f x在⎡⎢⎣，上为增函数，在⎛⎝上为减函数. ∵(f =，f=， ∴()min 23f x f ===-，则14a = ②当1a >时，函数()fx 的定义域为[]1,1-，由()0f x '>得x << ()0fx '<得1x -≤<1x <≤，函数()f x在⎛ ⎝上为增函数，在1,⎡-⎢⎣，⎤⎥⎦为减函数. ∵f ⎛= ⎝()1f =∴()min23f x f ===-，则4a =.综上所述， 14a =或4a =. 故答案为4， 14. 15．(1) 12-；(2) π2β=.试题解析：（1）∵向量()cos ,sin a αα=， ()sin ,cos b ββ=-， 1,2c ⎛=- ⎝ ∴1a b c ===，且()cos sin sin cos sin a b αβαβαβ⋅=-+=-. ∵a b c += ∴22a bc +=，即2221a a b b +⋅+=.∴()12sin 11αβ+-+=，即()1sin 2αβ-=-. （2）∵5π6α= ∴31,2a ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭依题意， 1sin ,cos 2b c ββ⎛+=--+ ⎝. ∵a // ()b c +∴11cos sin 022ββ⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，化简得， 11sin 22ββ=. ∴π1sin 32β⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ∵0πβ<<∴ππ2π333β-<-<． ∴ππ36β-=，即π2β=．16．(1)证明见解析；(2)证明见解析.试题解析：证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中， 1BB // 1CC ． ∵1AF CC ⊥ ∴1AF BB ⊥又∵1AE BB ⊥， AE AF A ⋂=， AE ， AF ⊂平面AEF . ∴1BB ⊥平面AEF 又∵1BB ⊂平面11BB C C ∴平面AEF ⊥平面11BB C C（2）∵1AE BB ⊥， 1AF CC ⊥， ABE ACF ∠=∠， AB AC = ∴Rt AEB ∆≌Rt AFC ∆ ∴BE CF =又由（1）知， BE // CF ．∴四边形BEFC 是平行四边形，从而BC // EF ． 又∵BC ⊄平面AEF ， EF ⊂平面AEF ∴BC //平面AEF ．17．(1)221189x y +=；(2)证明见解析.从而求得0x ，再由P 在椭圆上，得k 与k '的数量关系，从而表示出直线2QB 的方程，即可求得1x ，进而求得12122PB B QB B S S ∆∆=.试题解析：设()00P x y ，， ()11Q x y ，． （1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b =3．由2221{ 93x y a y x +==+，得()222319x xa ++=． ∴20269a x a =-+．∵1PB ==∴2269a a =+，解得218a =． ∴椭圆的标准方程为221189x y +=．联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=．∵()00P x y ，在椭圆221189x y +=上∴22001189x y +=，从而220092x y -=-． ∴012x x =-． ∴121212PB B QB B S x S x ∆∆==． 方法二：设直线1PB ， 2PB 的斜率为k ， k '，则直线1PB 的方程为3y kx =+． 由11QB PB ⊥，直线1QB 的方程为13y x k=-+． 将3y kx =+代入221189x y +=，得()2221120k x kx ++=， ∵P 是椭圆上异于点1B ， 2B 的点 ∴00x ≠，从而0x = 21221kk -+．∵()00P x y ，在椭圆221189x y +=上 ∴22001189x y +=，从而220092x y -=-．∴2000200033912y y yk kx x x-+-⋅='⋅==-，得12kk'=-．点睛：本题主要考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.18．(1)r=(2) .【解析】试题分析：（1）设所得圆柱的半径为rdm，根据矩形薄铁皮的面积为1002dm，即可求得r的值；（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm，根据题意得2 {20.x aax≤≤，.方法一：表示出正四棱柱的体积324{400xxV a xxx<≤=≤>，，，构造函数，求得单调性，即可求得函数的最大值，从而得体积最大值及x的值；方法二：表示出x的范围，从而得到a的范围，再表示出正四棱柱的体积，即可求得最大值及x的值.试题解析：（1）设所得圆柱的半径为rdm，则()2π24100r r r+⨯=，解得r=（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则2{ 1004x a a a x ≤≤-，，即2{20.x a a x≤≤，方法一：所得正四棱柱的体积3204{ 400x x V a x x x<≤=≤>，，记函数()304{ 400x x p x x x<≤=>，，则()p x在(0上单调递增，在)⎡+∞⎣上单调递减.∴当x =时， ()max p x =．∴当x =，a = max V =dm 3．（2）当x为时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大． 19．(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）假设数列123c c c ，，是等差数列，则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++，根据12b b ，， 3b 是等差数列及12a a ，， 3a 是等比数列，找出矛盾，假设不成立；（2）由11a =， 2q =得12n n a -=，根据数列123c c c ，，是等比数列得2213c c c =，化简求得223b d d =+，再根据2220c b =+≠，即可求得d 得范围；（3）方法一：设1c ， 2c ， 3c ， 4c 成等比数列，其公比为1q ，则1111111221111331111={ 2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=++++++，①，②，③④，解方程组即可；方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c c c c ==，化简得()321321213222q a a a a a a a a d a a d -+-+=-+-+，即可求得()10q d -=，与1q ≠，且0d ≠矛盾，故可得证.（2）∵11a =， 2q = ∴12n n a -=． ∵2213c c c =∴()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d =+， 由2220c b =+≠，得2320d d ++≠. ∴1d ≠-且2d ≠-． 又∵0d ≠，∴223b d d =+，定义域为{}120d R d d d ∈≠-≠-≠，，． （3）方法一：设1c ， 2c ， 3c ， 4c 成等比数列，其公比为1q ，则1111111221111331111={ 2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=++++++，①，②，③④将①+③－2×②得， ()()2211111a q c q -=-，⑤ 将②+④－2×③得， ()()22111111a q q c q q -=-，⑥ ∵10a ≠， 1q ≠，由⑤得10c ≠， 11q ≠． 由⑤⑥得1q q =，从而11a c =． 代入①得10b =．再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾． ∴1c ， 2c ， 3c ， 4c 不成等比数列．∵等比数列1a ， 2a ， 3a ， 4a 的公比为()1q q ≠ ∴()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+．又∵()23211210a a a a q -+=-≠∴()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=．这与1q ≠，且0d ≠矛盾. ∴假设不成立．∴数列1234c c c c ，，，不能为等比数列． 点睛：用反证法证明命题的基本步骤：①反设，设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏； ②归谬，从反设出发，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论； ③否定反设，从而得出原命题结论成立．20．(1) 01a <≤；(2)①.证明见解析；②.证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意， ()1cos 0f x a x '=-≥对x R ∈恒成立，根据0a >，等价为1cos x a ≥对x R ∈恒成立，即可求得a 得取值范围；（2）①分别求得()g x 与()g x '，若0b <，则存在02b->，使02b g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭'，从而得0b >，取30e b x -=，则001x <<，即可证明()00g x <；②不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >，由（1）知函数sin y x x =-单调递增，则2211sin sin x x x x ->-，从而2121sin sin x x x x ->-，根据()()12g x g x =，推出212120ln ln x x b x x -->>-，只需证明2121ln ln x xx x ->-ln 0t <成立，设())ln 1h t t t =>，求得函数()h t 的单调性，即可证明.（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，则()11cos 2b g x x x=-+'． 若0b <，则存在02b ->，使11cos 0222b b g ⎛⎫⎛⎫-=---'< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意. ∴0b >． 取30ebx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．∴存在00x >，使()00g x <．下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t ->，只要证明()ln 0*t <． 设())ln 1h t t t =>，则()0h t '=<在()1+∞，恒成立． ∴()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证． ∴2b ->，即2124x x b <．点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1)构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21．证明见解析【解析】试题分析：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-，根据OE OA =，即可得证.试题解析：证明：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-． ∵OE OA =，∴()()22DB DC OA OD OA OD OA OD ⋅=+⋅-=-．∴22DB DC OD OA ⋅+=． 22．12【解析】试题分析：依次实施变换1T ， 2T 所对应的矩阵NM = 201020010202⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，分别求得点A ， B ， C 在此矩阵的作用下变换后的点，即可求得面积.23．π4sin 6ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】试题分析：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ，得点P 的直角坐标，再根据{x cos y sin ρθρθ==的直线l 的普通方程，从而可得点P 到直线l 的距离，即可求得所求圆的普通方程，再化为极坐标方程.试题解析：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ． 则点P的直角坐标为()1． 将直线l ： sin 23πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的方程变形为： sin cos cos sin 233ππρθρθ-=，化为普通方程得40y -+=．∴()1P 到直线l ：40y -+=的距离为：2=．∴所求圆的普通方程为()(2214x y -+=，化为极坐标方程得， π4sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．24．证明见解析【解析】试题分析：由a，b，c，且12a b c++==，再根据基本不等式即可得证.试题解析：证明：∵a，b，c为正实数2==≥=（当且仅当a b c==取“=”）．25．(1)521；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）从3⨯3表格中随机不重复地点击3格，共有39C种不同情形，再将事件分类，根据古典概型概率公式求得概率；（2）先确定X的所有可能值为300，400，500，600，700，再分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望.（2）X的所有可能值为300，400，500，600，700．则()3439C41300C8421P X====，()121439C C242400C847P X⋅====，()1212144439C C C C305500C8414P X⋅+⋅====，()121439C C63700C8442P X⋅====．∴X的概率分布列为：∴()12553300400500600700500217142142E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值. 26．(1)30；(2)证明见解析.试题解析：由二项式定理，得21C i i n a +=（i =0，1，2，…，2n+1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；（2）∵()()()()()()()()()()121221!212!1C 121C 1!!!!n k n k n nn n n n k n k n n k n k n k n k ++++++⋅++=++⋅==+++-+-∴()()()12121002121C21C nnnn k n kn n kn n k k k T k ak k -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212102121C21C21C nnnn kn kn kn n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()()122122122011221C21C 2212C 21221C 22nnn kn k n nn n nn n n k k n n n n n +++++===+-+=+⋅⋅+-+⋅⋅=+∑∑．∴()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+．∵*21C n n N -∈∴n T 能被42n +整除．。
2018届高三数学3月第二次调研二模试题word版本
江苏省南通、徐州、扬州、泰州、淮安、宿迁六市2018届高三数学3月第二次调研（二模）试题(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U ＝{－1，0，1，2，3}，A ＝{－1，0，2}，则∁U A ＝________．2. 已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝3－4i ，其中i 为虚数单位．若z1z2为纯虚数，则实数a 的值为________．3. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40，100]上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．(第4题)(第3题)4. 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为________．5. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为________．6. 在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，B ＝45°，则BC 的长为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线x 2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C 的焦距为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．9. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 8＝3，则a 5的值为________．10. 已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎨⎧x≤3，x －3y ＋3≥0，x ＋3y ＋3≥0表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为______________．12. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x ＞0，x3－3mx －2，x≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．13. 在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝4，CD ＝2，DA ＝3，则AC →·BD →的值为________．14. 已知a 为常数，函数f(x)＝x a －x2－1－x2的最小值为－23，则a 的所有值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12，32)． (1) 若|a ＋b|＝|c|，求sin(α－β)的值；(2) 设α＝5π6，0＜β＜π，且a ∥(b ＋c )，求β的值．16. (本小题满分14分) 如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上(均异于端点)，且∠ABE ＝∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1.求证：(1) 平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ； (2) BC ∥平面AEF.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2.求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l2为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；(2) 设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d≠0. 记c i＝a i＋b i(i＝1，2，3，4)．(1) 求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；(2) 设a1＝1，q＝2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3) 数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由．设函数f(x)＝x －asin x(a ＞0)．(1) 若函数y ＝f(x)是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；(2) 设a ＝12，g(x)＝f(x)＋bln x ＋1(b ∈R ，b ≠0)，g ′(x)是g(x)的导函数．①若对任意的x ＞0，g ′(x)＞0，求证： 存在x 0，使g(x 0)＜0；②若g(x 1)＝g(x 2)(x 1≠x 2)，求证： x 1x 2＜4b 2.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，A ，B ，C 是圆O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D.求证：DB·D C ＋OD 2＝OA 2.B. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，已知A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)．设变换T 1，T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，求对△ABC 依次实施变换T 1，T 2后所得图形的面积．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求以点P(2，π3)为圆心且与直线l ：ρsin(θ－π3)＝2相切的圆的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝12，求证：1－a ＋cc （a ＋2b ）≥2.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元．(1) 求概率P(X ＝600)；(2) 求X 的概率分布及数学期望E(X)．23. 已知(1＋x)2n ＋1＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n ＋1x 2n ＋1，n ∈N *.记T n ＝(2k ＋1)a n －k . (1) 求T 2的值；(2) 化简T n 的表达式，并证明：对任意的n ∈N *，T n 都能被4n ＋2整除．参考答案1. {1，3}2. 433. 304. 1255. 136. 2＋627. 4 38. 979. －6 10. 811. (x －1)2＋y 2＝4 12. (1，＋∞) 13. 10 14. 4，1415. 解：(1) 因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12，32)，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，且a·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β)．(3分)因为|a ＋b|＝|c|，所以|a ＋b|2＝c 2，即a 2＋2a·b ＋b 2＝1，所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－12.(6分)(2) 因为α＝5π6，所以a ＝(－32，12)．故b ＋c ＝(－sin β－12，cos β＋32)．(8分)因为a ∥(b ＋c )，所以－32(cos β＋32)－12(－sin β－12)＝0. 化简得12sin β－32cos β＝12，所以sin(β－π3)＝12.(12分)因为0<β<π，所以－π3<β－π3<2π3.所以β－π3＝π6，即β＝π2.(14分)16. 证明：(1) 在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BB 1∥CC 1. 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1.(2分) 又AE ⊥BB 1，AE ∩AF ＝A ，AE ，AF ⊂平面AEF ，所以BB 1⊥平面AEF.(5分)因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C.(7分) (2) 因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE ＝∠ACF ，AB ＝ AC ， 所以Rt △AEB ≌Rt △AFC.所以BE ＝CF.(9分)又由(1)知，BE ∥CF ，所以四边形BEFC 是平行四边形．故BC ∥EF.(11分) 又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BC ∥平面AEF.(14分) 17. 解：设P(x 0，y 0)，Q(x 1，y 1)．(1) 在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧x2a2＋y29＝1，y ＝x ＋3得x2a2＋（x ＋3）29＝1，所以x 0＝－6a29＋a2.(4分)因为PB 1＝x20＋（y 0－3）2＝2|x 0|, 所以42＝2·6a29＋a2，解得a 2＝18.所以椭圆的标准方程为x218＋y29＝1.(6分)(2) (方法1)直线PB 1的斜率为kPB 1＝y0－3x0，由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为kQB 1＝－x0y0－3. 于是直线QB 1的方程为y ＝－x0y0－3x ＋3.同理，QB 2的方程为y ＝－x0y0＋3x －3.(8分)联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y20－9x 0.(10分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x218＋y29＝1上，所以x2018＋y209＝1，从而y20－9＝－x202.所以x 1＝－x02.(12分)所以S△PB1B2S△QB1B2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0x1＝2.(14分)(证法2)设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3.由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1kx ＋3.将y ＝kx ＋3代入x218＋y29＝1，得(2k 2＋1)x 2＋12kx ＝0，因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以x 0≠0，从而x 0＝－12k2k2＋1.(8分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x218＋y29＝1上，所以x2018＋y209＝1，从而y20－9＝－x202.所以k·k ′＝y0－3x0·y0＋3x0＝y20－9x20＝－12，得k ′＝－12k.(10分)由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y ＝2kx －3.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3则x ＝6k 2k2＋1，即x 1＝6k 2k2＋1.(12分)所以S△PB1B2S△QB1B2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0x1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k 2k2＋16k2k2＋1＝2.(14分) 18. 解：(1) 设所得圆柱的半径为r dm, 则(2πr ＋2r)×4r ＝100，(4分)解得r ＝52（π＋1）2（π＋1）.(6分)(2) 设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤x 2，a≤100x －4a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a≤x 2，a≤20x.(9分)(方法1)所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤⎩⎪⎨⎪⎧x34，0<x≤210，400x，x>210.(11分)记函数p(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x34，0<x≤210，400x，x>210，则p(x)在(0，210]上单调递增，在[210，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝210时，p max (x)＝2010.所以当x ＝210，a ＝10时，V max ＝2010(dm 3)．(14分)(方法2)2a ≤x ≤20a，从而a ≤10.(11分)所得正四棱柱的体积V ＝a 2x ≤a 2(20a)＝20a ≤2010.所以当a ＝10，x ＝210时，V max ＝2010(dm 3)．(14分)答：(1) 圆柱的底面半径为52（π＋1）2（π＋1）dm ；(2) 当x 为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．(16分) 【评分说明】①直接“由x·(2x ＋x2)＝100得x ＝210时正四棱柱的体积最大”给2分；②方法1中的求解过程要体现V ≤p(x)≤210，凡写成V ＝p(x)≤210的最多得5分， 其他类似解答参照给分．19. (1) 证明：假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，即2(a 2＋b 2)＝(a 1＋b 1)＋(a 3＋b 3)．因为b 1，b 2，b 3是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，从而2a 2＝a 1＋a 3.(2分) 因为a 1，a 2，a 3是等比数列，所以a22＝a 1a 3.所以a 1＝a 2＝a 3，这与q ≠1矛盾，从而假设不成立． 所以数列c 1，c 2，c 3不是等差数列．(4分)(2) 解：因为a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝2n －1.因为c22＝c 1c 3，所以(2＋b 2)2＝(1＋b 2－d)(4＋b 2＋d)，即b 2＝d 2＋3d.(6分)由c 2＝2＋b 2≠0，得d 2＋3d ＋2≠0，所以d ≠－1且d ≠－2.又d ≠0，所以b 2＝d 2＋3d ，定义域为{d ∈R |d ≠－1，d ≠－2，d ≠0}．(8分) (3) 解：(解法1)设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1，则⎩⎪⎨⎪⎧a1＋b1＝c1 ①，a1q ＋b1＋d ＝c1q1 ②，a1q2＋b1＋2d ＝c1q21 ③，a 1q 3＋b 1＋3d ＝c 1q31 ④.(10分)将①＋③－2×②，得a 1(q －1)2＝c 1(q 1－1)2⑤，将②＋④－2×③，得a 1q(q －1)2＝c 1q 1(q 1－1)2⑥，(12分) 因为a 1≠0，q ≠1，由⑤得c 1≠0，q 1≠1. 由⑤⑥得q ＝q 1，从而a 1＝c 1.(14分)代入①得b 1＝0. 再代入②得d ＝0，与d ≠0矛盾． 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．(16分)(解法2)假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，则c2c1＝c3c2＝c4c3.(10分)所以c3－c2c2－c1＝c4－c3c3－c2，即a3－a2＋d a2－a1＋d ＝a4－a3＋d a3－a2＋d.两边同时减1，得a3－2a2＋a1a2－a1＋d ＝a4－2a3＋a2a3－a2＋d.(12分)因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q(q ≠1)，所以a3－2a2＋a1a2－a1＋d ＝q （a3－2a2＋a1）a3－a2＋d.又a 3－2a 2＋a 1＝a 1(q －1)2≠0，所以q(a 2－a 1＋d)＝a 3－a 2＋d ，即(q －1)d ＝0.(14分) 这与q ≠1，且d ≠0矛盾，所以假设不成立． 所以数列c 1，c 2，c 3，c 4不能为等比数列．(16分)20. (1) 解：由题意，f ′(x)＝1－acos x ≥0对x ∈R 恒成立．因为a>0，所以1a≥cos x 对x ∈R 恒成立．因为(cos x)max ＝1，所以1a ≥1，从而0<a ≤1.(3分)(2) 证明：① g(x)＝x －12sin x ＋bln x ＋1，所以g ′(x)＝1－12cos x ＋bx.若b<0，则存在－b 2>0，使g ′(－b 2)＝－1－12cos(－b2)<0，不合题意，所以b>0.(5分)取x 0＝e －3b，则0<x 0<1.此时g(x 0)＝x 0－12sin x 0＋bln x 0＋1<1＋12＋bln e －3b ＋1＝－12<0.所以存在x 0>0，使g(x 0)<0.(8分)②依题意，不妨设0<x 1<x 2，令x2x1＝t ，则t>1.由(1)知函数y ＝x －sin x 单调递增，所以x 2－sin x 2>x 1－sin x 1. 从而x 2－x 1>sin x 2－sin x 1. (10分)因为g(x 1)＝g(x 2)，所以x 1－12sin x 1＋bln x 1＋1＝x 2－12sin x 2＋bln x 2＋1，所以－b(ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1－12(sin x 2－sin x 1)>12(x 2－x 1)，所以－2b>x2－x1ln x2－ln x1>0.(12分)下面证明x2－x1ln x2－ln x1>x1x2，即证明t －1ln t >t ，只要证明ln t －t －1t<0 (*)．设h(t)＝ln t －t －1t (t>1)，所以h ′(t)＝－（t －1）22t t<0在(1，＋∞)上恒成立． 所以h(t)在(1，＋∞)上单调递减，故h(t)<h(1)＝0，从而(*)得证．所以－2b>x1x2， 即x 1x 2<4b 2.(16分)21. A. 证明：延长AO 交圆O 于点E ，则BD·D C ＝DE·D A ＝(OD ＋OE)·(O A －OD)．(5分)因为OE ＝OA ，所以DB·D C ＝(OA ＋OD)·(O A －OD)＝OA 2－OD 2.所以DB·D C ＋OD 2＝OA 2.(10分)B. 解：依题意，依次实施变换T 1，T 2所对应的矩阵NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2.(5分) 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤60，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤44. 所以A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)分别变为点A ′(0，0)，B ′(6，0)，C ′(4，4)．从而所得图形的面积为12×6×4＝12.(10分) C. 解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy.则点P 的直角坐标为(1，3)．(2分)将直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2的方程变形为ρsin θcos π3－ρcos θsin π3＝2， 化为普通方程，得3x －y ＋4＝0.(5分)所以P(1，3)到直线l ：3x －y ＋4＝0的距离为4（3）2＋（－1）2＝2. 故所求圆的普通方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.(8分) 化为极坐标方程，得ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6.(10分) D. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，所以1－a ＋cc （a ＋2b ）＝a ＋2b ＋3cc （a ＋2b ）＝（a ＋c ）＋2（b ＋c ）ac ＋2bc ≥2ac ＋4bc ac ＋2bc＝2(当且仅当a ＝b ＝c 取“＝”)．(10分) 22. 解：(1)从3×3表格中随机不重复地点击3格，共有C39种不同情形，则事件“X ＝600”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，1格得奖200元，1格得奖100元．其中第一类包含C34种情形，第二类包含C11·C14·C14种情形，所以P(X ＝600)＝C34＋C11·C14·C14C39＝521.(3分) (2) X 的所有可能值为300，400，500，600，700，则P(X ＝300)＝C34C39＝484＝121，P(X ＝400)＝C11·C24C39＝2484＝27， P(X ＝500)＝C11·C24＋C14·C24C39＝3084＝514，P(X ＝700)＝C11·C24C39＝684＝114. 所以X(8分)所以E(X)＝300×121＋400×27＋500×514＋600×521＋700×114＝500.(10分) 23. 解：由二项式定理，得a i ＝Ci 2n ＋1(i ＝0，1，2，…，2n ＋1)．(1) T 2＝a 2＋3a 1＋5a 0＝C25＋3C15＋5C05＝30.(2分)(2) 因为(n ＋1＋k)C n ＋1＋k 2n ＋1＝(n ＋1＋k)·（2n ＋1）！（n ＋1＋k ）！（n －k ）！＝（2n ＋1）·（2n ）！（n ＋k ）！（n －k ）！＝(2n ＋1)Cn ＋k 2n ，(4分)（8分）T n ＝(2n ＋1)Cn 2n ＝(2n ＋1)(Cn －12n －1＋Cn 2n －1)＝2(2n ＋1)Cn 2n －1.因为Cn 2n －1∈N *，所以T n 能被4n ＋2整除．(10分)。
江苏苏北六市2018届高三第二次调研测试数学试题(文科)
江苏苏北六市2018届高三第二次调研测试数学试题(文科)江苏苏北六市2018届高三第二次调研测试数学（文科）2018.3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合U ＝{﹣1，0，1，2，3}，A ＝{﹣1，0，2}，则A Uð＝ ．2．已知复数1za i=+，234zi=-，其中i 为虚数单位，若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40，100]上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为 ．4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 ．5．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC 、BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32cm²的概率为 ．6．在△ABC 中，已知AB ＝1，AC 2，B ＝45°，则BC 的长为 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点P(﹣2，则双曲线C 的焦距为 ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α﹣β)的值为 ． 9．设等比数列{na }的前n 项和为nS ，若3S ，9S ，6S成等差数列，且8=3a ，则5a 的值为 ．10．已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b )，则a ＋b ＋c 的最小值为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组3330330x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为 ． 12．设函数310()2320x e x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--≤⎩，，(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ．13．在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝4，CD ＝2，DA ＝3，则AC BD ⋅的值为 ． 14．已知a 为常数，函数22()1f x a x x=---为23-，则a 的所有值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量(cos a α=，sin )α，(sin b β=-，cos )β，1(2c =-，32．（1）若a b c +=，求sin(α﹣β)的值；（2）设56πα=，0βπ<<，且a ∥()b c +，求β的值．16．（本题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上（均异于端点），且∠ABE ＝∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．（1）求证：平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）求证：BC ∥平面AEF ．17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为3y x=+时，线段PB1的长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．18．（本题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm²的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体，现有两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形（各边分别与l1或l2垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19．（本题满分16分）设等比数列1a ，2a ，3a ，4a 的公比为q ，等差数列1b ，2b ，3b ，4b 的公差为d ，且q ≠1，d ≠0．记i i i c a b =+(i =1，2，3，4)．（1）求证：数列1c ，2c ，3c 不是等差数列； （2）设11a=，q ＝2．若数列1c ，2c ，3c 是等比数列，求2b 关于d 的函数关系式及其定义域；（3）数列1c ，2c ，3c ，4c 能否为等比数列？并说明理由．20．（本题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围；（2）设a ＝12，()()ln 1g x f x b x =++(b R ∈，0b ≠)，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的x ＞0，()g x '＞0，求证：存在0x ，使0()g x ＜0；②若1212()()()g x g x xx =≠，求证：12x x ＜24b ．参考答案及评分建议一、填空题：1．{}13， 2．43 3．30 4．125 5．1367．8．979．6- 10．8 11．22(1)4x y -+= 12．()1+∞， 13．10 14．144， 二、解答题：15．（1）因为()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()312=-c ， 所以1===a b c ，且cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b ． …… 3分因为+=a b c，所以22+=a bc ，即a 22 a ⋅bb 2 1，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-． …… 6分 （2）因为5π6α=，所以()312=，a ．故()31sin cos 2ββ+=--，b c ． … 8分因为()//+a b c ，所以)()3311cos sin 022ββ---=．化简得，311sin 22ββ=，所以()π1s i n 32β-=． … 12分 因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=． …… 14分16．（1）在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BB 1 // CC 1． 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1．…2分又AE ⊥BB 1，AE AF A =，AE ，AF ⊂平面AEF ，所以BB 1⊥平面AEF ．…… 5分 又因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ． … 7分（2）因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE ∠ACF ，ABAC ， 所以Rt△AEB ≌Rt△AFC ．所以BECF ． … 9分又由（1）知，BE CF ． 所以四边形BEFC 是平行四边形．故BCEF ． (11)分又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BC // 平面AEF ． … 14分 17．设()0P x y ，，()11Q x y ，．（1）在3y x =+中，令x =，得3y =，从而b3． …… 2分 由222193y x ay x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 得()222319x x a ++=． 所以20269a x a =-+． …… 4分因为1PB x ==，所以2269a a=+，解得218a=．所以椭圆的标准方程为221189y x +=． …… 6分（2）方法一：直线PB 1的斜率为1003PB y kx -=，由11QB PB ⊥，所以直线QB 1的斜率为1003QB x ky =--． 于是直线QB 1的方程为：0033x y x y =-+-．同理，QB 2的方程为：033x y x y =--+． …… 8分联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=． … 10分因为()0P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而22092x y -=-．所以012x x =-． …… 12分 所以1212012PB B QB B S xS x ∆∆==．…… 14分 方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k '，则直线PB 1的方程为3y kx =+．由11QB PB ⊥，直线QB 1的方程为13y x k=-+． 将3y kx =+代入221189y x +=，得()2221120kx kx ++=，因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以0x≠，从而0x =21221k k -+．… 8分 因为()0P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而22092x y -=-． 所以2000200033912y y y k k x x x -+-'⋅=⋅==-，得12k k'=-． …… 10分由22QB PB ⊥，所以直线2QB 的方程为23y kx =-． 联立1323y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩， 则2621kx k =+，即12621k x k =+． …… 12分所以1212201212212621PB B QB B k S x k S x kk ∆∆-+===+．…… 14分18．（1）设所得圆柱的半径为r dm ， 则()2π24100r r r +⨯=，…… 4分解得r …… 6分 （2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则21004x a a a x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，，即220.x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，…… 9分方法一：所得正四棱柱的体积3202104400210.x x V a x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤≤，， ……11分记函数302104()400210.x x p x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤，，则()p x 在(0210，上单调递增，在)210⎡+∞⎣上单调递减， 所以当210x =时，m a x()2010px =所以当210x =，10a 时，max V =2010dm 3． … 14分方法二： 202a x a≤≤，从而10a (11)分所得正四棱柱的体积()2220202010V a x a a a ==≤≤． 所以当10a =，210x =时，max V =2010dm 3． … 14分答：（1()()52π1+dm ； （2）当x 为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大． …… 16分 【评分说明】①直接“由()21002x x x ⋅+=得，x =时正四棱柱的体积最大”给2分；②方法一中的求解过程要体现()p x V ≤≤，凡写成()210p x V =≤5分， 其它类似解答参照给分． 19．（1）假设数列123c c c ，，是等差数列，则2132cc c =+，即()()()2211332ab a b a b +=+++．因为12b b ，，3b 是等差数列，所以2132bb b =+．从而2132a a a =+． … 2分又因为12a a ，，3a 是等比数列，所以2213aa a =．所以123a aa ==，这与1q ≠矛盾，从而假设不成立．所以数列123c c c ，，不是等差数列． …… 4分 （2）因为11a =，2q =，所以12n na-=．因为2213cc c =，所以()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d=+，… 6分由2220c b =+≠，得2320dd ++≠，所以1d ≠-且2d ≠-． 又d ≠，所以223b d d=+，定义域为{}120d d d d ∈≠-≠-≠R，，．… 8分（3）方法一：设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1， 则1111111221111331111=2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=⎧⎪++⎪⎨++⎪⎪++⎩①②③④，，，…… 10分将①+③－2×②得，()()2211111a q c q -=-，⑤将②+④－2×③得，()()22111111a q q c q q -=-，⑥…… 12分因为10a ≠，1q ≠，由⑤得10c ≠，11q ≠． 由⑤⑥得1q q =，从而11a c =． (14)分代入①得10b =． 再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾．所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列． …… 16分 方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c c c c ==． …… 10分所以32432132ccc c c cc c --=--，即32432132a a d a a da a d a a d-+-+=-+-+． 两边同时减1得，321432213222a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+． …… 12分因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ()1q ≠，所以()321321213222q a a a a a aa ada a d-+-+=-+-+． 又()23211210a aa a q -+=-≠，所以()2132q aa d a a d-+=-+，即()10q d -=．…… 14分 这与1q ≠，且0d ≠矛盾，所以假设不成立． 所以数列1234c c c c ，，，不能为等比数列． …… 16分 20．（1）由题意，()1cos 0f x a x '=-≥对x ∈R 恒成立， 因为0a >，所以1cos x a≥对x ∈R 恒成立， 因为()max cos 1x =，所以11a≥，从而01a <≤． … 3分（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x '=-+． 若0b <，则存在02b->，使()()11cos 0222b b g '-=---<，不合题意， 所以b >．… 5分取3e bx -=，则001x <<．此时()3111sin ln 11ln 10222bg x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <． …… 8分②依题意，不妨设120x x <<，令21xtx=，则1t >．由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-．从而2121sin sin x x x x ->-．… 10分 因为()()12g x g x =，所以11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++，所以()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-．所以212120ln ln x x b x x -->>-． ……12分下面证明211221ln ln xxx x x x--即证明1ln t t t->只要证明()1ln 0t t t -<*．设()()1ln 1t h t t t t -=>，所以()(212t h t t t -'=<在()1+∞，恒成立．所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证．所以2b ->， 即2124x x b <． ……16分。
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江苏省南通、徐州、扬州、泰州、淮安、宿迁六市重点中学2018
届高三数学3月第二次调研（二模）试题
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
柱体的体积公式V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合U ＝{－1，0，1，2，3}，A ＝{－1，0，2}，则∁U A ＝________．
2. 已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝3－4i ，其中i 为虚数单位．若z 1
z 2
为纯虚数，则实数a 的值
为________．
3. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40，100]上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．
(第4题)
(第3题)
4. 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为________．
5. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面
积大于32 cm 2
的概率为________．
6. 在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，B ＝45°，则BC 的长为________．
7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线x 2
－y 23＝1有公共的渐近线，且经
过点P(－2，3)，则双曲线C 的焦距为________．
8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．
9. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 8＝3，则a 5的值为________．
10. 已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________．
11. 在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎨⎧
x≤3，
x －
3y ＋3≥0，x ＋
3y ＋3≥0
表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为______________．
12. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x ＞0，x 3－3mx －2，x ≤0
(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．
13. 在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝4，CD ＝2，DA ＝3，则AC →·BD →
的值为________．
14. 已知a 为常数，函数f(x)＝x a －x 2－1－x 2
的最小值为－2
3，则a 的所有值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝(－12，3
2
)．
(1) 若|a ＋b|＝|c|，求sin(α－β)的值；
(2) 设α＝5π
6
，0＜β＜π，且a∥(b ＋c )，求β的值．
16. (本小题满分14分)
如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上(均异于端点)，且∠ABE＝∠ACF，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1.求证：
(1) 平面AEF⊥平面BB 1C 1C ； (2) BC∥平面AEF.
17. (本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆x 2
a 2＋y
2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的短轴端点，P 是椭
圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y＝x＋3时，线段PB1的长为4 2.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2.求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．
将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；
方案②：以l2为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．
(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；
(2) 设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？
设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d ≠0.
记c i＝a i＋b i(i＝1，2，3，4)．
(1) 求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；
(2) 设a1＝1，q＝2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；
(3) 数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由．。