高等数学(同济第六版)课件 第三章 1.中值定理

因为1<1+ξ<1+x,
x ln(1 x ) x . 1 x
x x 所以 x 1 x 1
1 1 练习 证明 ln( n 1) ln n . 1 n n
证: 设 f(x) = lnx 在[n,n+1]上, 由拉格朗日定理得:
ln( n 1) ln( n)
（ 1） 证明至少存在一点 0， 使 f ( ) f ( ) 0
证 设 F(x) = x f (x)
因为f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，
所以F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，
又F(0)=0， F(1)=1· f(1)＝0
（ 1） 由罗尔定理：至少存在一点 0， 使 F ( ) 0
第三章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理
一、费马引理 设函数 f (x)在点的某邻域U(x0)内有定义， 且在x0点可导，若对任意x∈U(x0)有ff (x)≤ f(x00)) ， (x)≥ f(x ， 则 f ( x0 ) 0. 证明： 对任意x∈U(x0) 由f (x)≤ f(x0) 得f (x)－ f(x0) ≤0
C
D
B
o a
1
2 b
x
f (b) f (a ) （x a） 证 设 F ( x) f ( x) ba
∵函数 f (x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导；
∴函数 F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导；
F (a ) f (a )
f (b) f (a ) F (b) f (b) (b a ) f (a ) ba 故至少存在一点ξ∈ (a,b) ，使得 F () 0.
f ( )
f (b) f (a ) 0 ba
注 1.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导
x0 , x0 x (a , b), 则有
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) x (0 1).
2. 若f(x)在[a,b]上可导， 则拉格朗日定理结论成立。
证 设F(x)=f(x)－tanx
F (0) f (0) 0, F ( ) f ( ) 1 0 4 4 ∴在 (0, ) 内至少有一个a, 使F(a)=0， 4 即 f(a)=tana
设在 (0, ) 内另有一个点b, 使f(b)=tanb 4 则F(b)= f(b)－tanb = 0 = F(a) ∵函数 f(x)在上 [0, ] 可导， 4 由罗尔定理：至少存在一点 (a , b ) 使 F ( ) 0
由f (x)在x0可导，知 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 0
注：若x0∈(a,b), ( x0 ) 0.
二、罗尔(Rolle)定理 罗尔定理 若函数 f(x)满足
不妨设M不在区间端点取得，
则存在 (a , b), f ( ) M 由费马引理： f ( ) 0
例1 证明方程 x5 －5x＋1=0有且仅有一个小于1 的正实根 证 设 f(x)= x5 －5x＋1, 则f(x)在[0,1]上连续 且f(0)=1 ，f(1)=－3
由零点定理：至少存在一点x0∈(0,1)使 f ( x0 ) 0
故方程x5 －5x＋1=0有小于1的正实根. 设方程x5 －5x＋1=0另有一个小于1的正实根x1 得 f(x1) = 0
因 f(x)= x5 －5x＋1在[x0, x1](或[x1, x0])上可导，
且 f(x0) = f(x1)
由罗尔定理知：在x0与x1之间至少存在一点ξ，
使 f () 0
1
( n n 1)
1 1 ln( n 1) ln n . 故: 1 n n
例5 若函数 f(x) 在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导,
f(b) =f(a), 且f(x)不恒为常数,
证明至少存在一点ξ∈ (a,b) ，使得
f ( ) 0
证 因为f(b) =f(a),且f(x)不恒为常数,
由于 F ( x )在[1,c]上连续、可导，
故在(1,2)内至少存在一点ξ，使 F ( ) 0
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
A
B
A
B
o y
a
y=f(x)
b
B
x
o
a
b
x
A
f (b) f (a ) KAB ba f (b) f (a ) f () ba
c (a , b ), f (c ) f (a )
(1)若f(c) > f(a)= f(b) ,在[a,c]上由拉格朗日定理知,
f (c ) f (a ) 至少存在一点ξ∈ (a,c), 使 f ( ) 0 ca
(2)若f(c) < f(a)= f(b) ,在[c, b]上由拉格朗日定理知, 至少存在一点ξ∈ (c,b), 使
而在(0,1)内 f ( x ) 5 x 4 5 0, 矛盾， 故方程 x5 －5x＋1=0有且仅有一个小于1 的正实根
练习 设函数 f(x)在上 [0, ] 可导，且 0<f(x)<1, 4 在 (0, ) 内 f ( x ) sec2 x 4 证明在 (0, ) 内有且仅有一个x,使f(x)=tanx 4
f (b) f (c ) f ( ) 0 bc
综上，至少存在一点ξ∈ (a,b) ，使得 f ( ) 0
X F ( x) L: Y f ( x)
Yy
CC
A A
y f ( x)
B B
端点：A( F (a ), f (a )), B( F (b ), f (b ))
四、柯西(Cauchy)中值定理
柯西定理 如果函数 f (x)、F(x)满足
（1）在闭区间[a, b]上连续, （2）在开区间(a, b)内可导,
且在(a, b)内每一点处 F ( x ) 均不为零，
Y
C
A
1
X F ( x) L: Y f ( x)
B
则在(a, b)内至少有一点ξ , o F (a ) F ( ) f ( b ) f ( a ) f ( ) 使等式 成立 F ( b ) F ( a ) F ( )
D
1
D
o (a ) o Fa ) F ( 1
K切 dY f ( ) dX F ( )
F ( 2 )F (b ) 2
b
x X
f (b) f (a ) KAB F (b) F (a )
f ( b ) f ( a ) f ( ) F ( b ) F ( a ) F ( )
证明至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2[ f (1) f (0)]. 证 设 F ( x) x2 , 函数 f(x)、F(x)在[0,1]上满足柯西定理条件, 则至少存在一点ξ∈ (0,1) ，使 f (1) f (0) f ( ) f (1) f (0) f () , F (1) F (0) F ( ) 1 0 2
f () 2[ f (1) f (0)].
y
C
y f ( x)
几何解释： 连续曲线AB, 若除端点外，
B
D
A
o a
y
C
1
2
b
处处有不垂直于x 轴切线， 则该曲线上至少有一点的 x 切线平行于端点连线AB。
y f ( x)
Y
B
C
X F ( x) Y f ( x)
B
A
D
f (b) f (a ) f ( ). ba
f ( ) 0
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
f (a ) f (b)
F ( x) x
Rolle 定理
Lagrange 中值定理
Cauchy 中值定理
例6
若函数 f(x) 在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导,
(1)在闭区间[a,b]上连续
(2)在开区间(a,b)内可导 (3) f(a)= f(b) 则在(a,b)内至少存在一点ξ, 使 f () 0
y
C
y f ( x)
A
D
B
o a

2
b
x
(几何解释）
证 因函数 f(x)闭区间[a,b]上连续, 故 f(x)在[a,b]上必有最大值M和最小值m. (1)若M = m，则 f(x)= m (常数)， 故 (a , b), f () 0 (2)若M≠m，因f(a)= f(b) 故M和m至少有一个不在区间端点取得，
f 当x< x0时， ( x ) f ( x0 ) 0 x x0 o f ( x ) f ( x0 ) ( x0 ) lim f 0 x x0 x x0
y
y=f(x)
x0
x
当x> x0时，f ( x ) f ( x0 ) 0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 x x0 x x0
F ( 2 )F (b )
X
当 F ( x ) x , F (b) F (a ) b a , F ( x ) 1,
f ( b ) f ( a ) f ( ) F ( b ) F ( a ) F ( )
当 f(b)＝f(a)时,
f (b) f (a ) f ( ) ba