2018-2019学年高中数学必修四(人教B版)课件：第二章 平面向量2.2.3
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-1-2
典例剖析
例1
(1)如图(1)，利用向量加法的三角形法则作出a＋b；
(2)如图(2)，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.
解析
→ (1)如图(a)所示，设 OA ＝a，∵a与b有公共点，故
→ → 过A点作AB＝b，连接OB即为a＋b. → → (2)如图(b)，设 OA ＝a，过O点作 OB ＝b，则以OA、OB为 → → → 邻边作▱OACB，连接OC，则OC＝OA＋OB＝a＋b.
→ → → 解析 a＋b＝AB＋AD＝AC＝c，∴A、D正确； → → → a＋d＝AB＋BD＝AD＝b，∴B正确； → → → b＋d＝AD＋BD≠AB＝a，∴C错误．
答案 C
4．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值是 ________，最小值是________．
解析
解析
→ → → → → (1)原式＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA
→ → → → → → → → → ＝AC＋CD＋DF＋FA＝AD＋DF＋FA＝AF＋FA＝0. → → → → → → → → → (2)原式＝ PM ＋ MN ＋ NS ＋ ST ＋ TQ ＝ PN ＋ NS ＋ ST ＋ TQ ＝ → → → → → → PS＋ST＋TQ＝PT＋TQ＝PQ.
解析
→ → → → (1)原式＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)
→ → → ＝AO＋OB＝AB. → → → → → → (2)原式＝(BO＋OA)＋(OC＋CO)＝BA＋0＝BA.
规律技巧 律．
向量的加法运算满足加法交换律和加法结合
变式训练2
计算下列各式的值
→ → → → → (1)AB＋DF＋CD＋BC＋FA； → → → → → (2)NS＋MN＋TQ＋ST＋PM.
2018学年高中数学必修4课件：第二章 平面向量 2.2.2 精品
[探究共研型]
|a－b|与 a，b 之间的关系 探究 1 若 a 与 b 共线，怎样作出 a－b? 【提示】 ①当 a 与 b 同向且|a|≥|b|时，在给定的直线 l 上作出差向量 a－b；
O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b；
②当 a 与 b 同向且|a|≤|b|时，在给定的直线 l 上作出差向量 a－b：
＝B→C＋C→B ＝0. 【答案】 0
用已知向量表示其它向量
如图 2-2-11 所示，已知O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
O→D＝d，O→E＝e，O→F＝f，试用 a，b，c，d，e，f 表示：
(1)A→D－A→B；(2)A→B＋C→F；
(3)B→F－B→D.
图 2-2-11
【精彩点拨】 寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向
图 2-2-14 (1)用 a，b 表示A→C，D→B； (2)当 a，b 满足什么条件时，a＋b 与 a－b 所在直线互相垂直？ (3)当 a，b 满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|? (4)a＋b 与 a－b 有可能为相等向量吗？为什么？
【解】 (1)A→C＝A→D＋A→B＝b＋a，D→B＝A→B－A→D＝a－b. (2)由(1)知，a＋b＝A→C，a－b＝D→B. 若 a＋b 与 a－b 所在直线垂直， 则 AC⊥BD.又∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴四边形 ABCD 为菱形，即应满足|a|＝|b|.
图 2-2-12
【解】 由题意知，A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，D→E＝d，E→A＝e，则 (1)D→B＝D→E＋E→A＋A→B＝d＋e＋a. (2)D→B＝C→B－C→D＝－B→C－C→D＝－b－c. (3)E→C＝E→A＋A→B＋B→C＝e＋a＋b. (4)E→C＝－C→E＝－(C→D＋D→E)＝－c－d.
2018-2019学年人教B版必修四2.2.1平面向量基本定理课件(26张)
平面向量基本定理
课 标 阐 释 思 1.掌握平面向量基本定理及其 意义. 2.掌握平面向量基本定理的应 用. 3.了解直线的向量参数方程.
维
脉
络
一
二
一、平面向量基本定理 【问题思考】 1.如图,设e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a-b可表示为(
)
A.e1-3e2 B.-2e1-4e2 C.3e2-e1 D.3e1-e2 答案:A 2.填空: 平面向量基本定理 如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任 一向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使a=a1e1+a2e2.我们把不共线向 量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为 {e1,e2}.a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1,e2}的分解式.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
例 2 中,用������������ , ������������ 表示������������.
解: ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ +(������������ − ������������ )=2������������ − ��
3.做一做:如图①,已知e1,e2,求作向量4e1-e2.
图①
解: 作法一:(1)如图②,任取一点 O,作������������=4e1,������������=-e2.
图② 图③ 图④ (2)作▱OACB,������������ 就是所求作的向量. 作法二:(1)如图③,任取一点 O,作������������=4e1,������������=-e2. (2)连接 OB,则������������就是所求作的向量. 作法三:(1)如图④,任取一点 O,作������������=-4e1,������������=e2. (2)连接 BA,则������������就是所求作的向量.
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.1 平面向量基本定理示范教案 新人教B版必修4
2.2.1 平面向量基本定理示范教案整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明．教学时要注意，形式化证明可以省略，特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解，但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题．建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式．特别强调直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆．三维目标1．通过探究活动，推导并理解平面向量基本定理．2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达，并通过例题的探究，掌握直线的向量表达式和中点公式．重点难点教学重点：平面向量基本定理和直线的向量表达式．教学难点：平面向量基本定理的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理．教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，用课件给出图象演示和讲解．通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题(1)给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？(2)如图1(1)，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，你能通过作图探究a与e1、e2之间的关系吗？(1) (2)图1活动：如图1(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC →＝a .过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM →＝λ1e 1，ON →＝λ2e 2.由于OC →＝OM →＋ON →，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2.也就是说，任一向量a 都可以表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式．或先让学生计算特例，从感性猜想入手．如图2，e 1，e 2是两个不平行的向量，容易看出AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2， EF →＝4e 1－4e 2，GH →＝－2e 1＋5e 2.图2由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来．由此可得：平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.教师强调：①我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}，a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式；②基底不唯一，关键是不共线；③由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解； ④基底给定时，分解形式唯一．接下来教师可引导学对该定理给出证明．证明：在平面内任取一点O(如图3)，作OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，OA →＝a .图3由于e 1与e 2不平行，可以进行如下作图：过点A 作OE 2的平行(或重合)直线，交直线OE 1于点M ，过点A 作OE 1的平行(或重合)直线，交直线OE 2于点N ，于是依据平面向量基本定理，存在两个唯一的实数a 1，a 2，分别有OM →＝a 1e 1，ON →＝a 2e 2，所以a ＝OA →＝OM →＋ON →＝a 1e 1＋a 2e 2.证明表示的唯一性：如果存在另一对实数x ，y 使OA →＝x e 1＋y e 2，则a 1e 1＋a 2e 2＝x e 1＋y e 2，即(x －a 1)e 1＋(y －a 2)e 2＝0.由于e 1与e 2不平行，如果x －a 1，y －a 2中有一个不等于0，不妨设y －a 2≠0，则e 2＝－x －a 1y －a 2e 1，由平面向量基本定理，得e 1与e 2平行．这与假设矛盾，因此x －a 1＝0，y －a 2＝0，即x ＝a 1，y ＝a 2.讨论结果：(1)(2)略． 应用示例思路1例 1如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 分别是AD 、DC 的中点，F 使BF ＝13BC ，以a ，b 为基底分解向量AM →与HF →.图4解：由H 、M 、F 所在位置，有AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a .HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13BC →－12AD →＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b .点评：以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →，实为用a 与b 表示向量AM →与HF →.变式训练已知ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b .试用基底{a ，b }表示MA →，MB →，MC →和MD →(图5)图5解：因为AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b ，MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ，MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－12DB →＝－12a ＋12b .例 2 如图6，质量为10 kg 的物体A 沿倾斜角为θ＝30°的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力．(g ＝10 m/s 2)图6解：物体受到三个力：重力AG →，斜面支持力AN →，滑动摩擦力AM →.把重力AG →分解为平行于斜面的分力AF →和垂直于斜面的分力AE →.因为物体做匀速运动，所以AN →＝－AE →，AM →＝－AF →.因为|AG →|＝10(kg)×10(m/s 2)＝100(N)， |AF →|＝|AG →|·sin30°＝100×12＝50(N)，|AE →|＝|AG →|·cos30°＝100×32＝503(N)，所以|AM →|＝|AF →|＝50(N)，|AN →|＝|AE →|＝503(N)．答：物体所受滑动摩擦力大小为50 N ，方向沿斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50 3 N ，方向与斜面垂直向上．例 3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是( )A ．①② B．②③ C ．①③ D．①②③ 活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵．让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．解析：平面内向量的基底是不唯一的．在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量．综上所述，②③正确．答案：B图7．a>0，b<0 ．a<0，b<0 思路2例 1如图8，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图8活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具．由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数λ1、λ2，使得λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.推论2：e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a 1，a 2，b 1，b 2，使得a＝a 1e 1＋a 2e 2＝b 1e 1＋b 2e 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1，a 2＝b 2.解：∵AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →，∴由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得(AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0.∴AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又∵A、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线， 设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →，∴λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0.∴(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.∴CM →＝－NM →＝MN →. ∴CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .点评：这里选取BN →，NM →作为基底，运用化归思想，把问题归结为λ1e 1＋λ2e 2＝0的形例 2如图9，△ABC 中，AD 为△ABC 边上的中线且AE ＝2EC ，求AG GD 及BGGE的值．图9活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化后，结合向量的相等进行求解．解：设AG GD ＝λ，BGGE ＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)， ∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ21＋λAB →＋λ21＋λAC →.①又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ31＋μAC →.②比较①②，∵AB →、AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ21＋λ＝11＋μ，λ21＋λ＝2μ31＋μ.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32. 点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果．3已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图10)，求证：对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP →关于基底{OA →，OB →}的分解式为OP →＝(1－t)OA →＋tOB →. ① 并且，满足①式的点P 一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平面向量基本定理知，存在实数t ，使AP →＝tAB →＝t(OB →－OA →)．图10所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →.所以点P 满足等式OP →＝(1－t)OA →＋tOB →，即有AP →＝tAB →，即P 在l 上．点评：由本例可知，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式①；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式①叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．在①中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，回忆我们是如何探究发现定理的？并通过思路2例3的证明又探究得到了线段AB 中点的向量表达式．教师点拨学生，在今后的学习中，要继续发扬这种勇于探索、勇于发现的科学精神．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图等，并把本节所学纳入知识体系中．作业课本本节练习B 组 2,3.设计感想1．本节课内容是在上节向量学习的基础上探究到的一个新定理——平面向量基本定理．教科书首先通过特例验证：对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1＋λ2e 2的向量表示．2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题目．3．应充分借助多媒体进行教学，整节课的教学主线应以学生探究为主，教师给予引导和点拨．充分让学生经历分析、探究问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决问题的方法就越恰当而简捷．备课资料 一、三角形中三条中线共点的证明如图11所示，已知在△ABC 中，D 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点，设中线AD 、BE 相交于点P.图11求证：AD 、BE 、CL 三线共点．分析：欲证三条中线共点，只需证明C 、P 、L 三点共线．证明：设AC →＝a ，AB →＝b ，则AL →＝12b ，CL →＝AL →－AC →＝－a ＋12b .设AP →＝mAD →，则AC →＋CP →＝m(AC →＋CD →)，CP →＝(－1＋m)AC →＋mCD →＝(－1＋m)a ＋m[12(b －a )]＝(－1＋12m)a ＋12m b .①又设EP →＝nEB →，则CP →－CE →＝n(EC →＋CB →)，∴CP →＝(1－n)CE →＋nCB →＝－12(1－n)a ＋n(b －a )＝(－12－12n)a ＋n b .②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋12m ＝－12－12n ，12m ＝n.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝13.∴CP →＝－23a ＋13b ＝23(－a ＋12b )＝23CL →.∴C、P 、L 三点共线．∴AD、BE 、CL 三线共点．二、备用习题1．如图12所示，已知AP →＝43AB →，AQ →＝13AB →，用OA →、OB →表示OP →，则OP →等于( )图12A.13OA →＋43OB → B ．－13OA →＋43OB →C ．－13OA →－43OB → D.13OA →－43OB →2．已知e 1，e 2是两非零向量，且|e 1|＝m ，|e 2|＝n ，若c ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则|c |的最大值为( )A ．λ1m ＋λ2nB ．λ1n ＋λ2mC ．|λ1|m ＋|λ2|nD ．|λ1|n ＋|λ2|m3．已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→等于( )A.12(e 1＋e 2＋e 3)B.13(e 1＋e 2＋e 3) C.23(e 1＋e 2＋e 3) D ．－13(e 1＋e 2＋e 3) 4．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心5．已知向量a 、b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．C 、B 、D D ．A 、C 、D6．如图13，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中与OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图13参考答案：1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.611。
高中数学必修四第2章《平面向量》ppt课件
[解析] 解法一：2a－3b＝2(5,4)－3(3,2)＝(1,2)． 设与 2a－3b 平行的单位向量为(x，y)， 则xy2－＋2yx2＝＝01 ，
解得 x1＝
5 5
，或 x2＝－
5 5
.
y1＝2 5 5
y2＝－2 5 5
∴所求的单位向量为 55，2 55或－ 55，－25 5.
解法二：与 2a－3b 平行的单位向量是
±|22aa－－33bb|＝±1，52＝±
55，2
5
5
∴所求的单位向量为 55，2 55或－ 55，－25 5.
▪ [例3] 设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a ＋b|的值．
▪ [分[解析析]] 解本法题一：考因查为|向3a－量2b的|＝模3，的求法及有关 数所量以积9a的2－运12a算·b＋．4b2＝9.
章末归纳总结
▪ 1．向量运算 ▪ (1)加法运算 ▪ 加法法则：
▪ 运算性质：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b ＋c)，a＋0＝0＋a＝a.
▪ 坐标运算：设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
▪ (2)减法运算： ▪ 减法法则：
▪ 坐标运算：
▪ 设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
▪ ▪
a设－Ab、A→＝B＝B(两x(x12－－点xx1的，2，y坐2－y标1y－1)分．y2别)．为(x1，y1)，(x2，y2)，
▪ (3)实数与向量的积
▪ 定义：λa，其中λ＞0时，λa与a同向，当λ ＜0时，λa与a反方向，当λ＝0时，0a＝0.
▪ 其中正确命题的序号为___a·b＝0，故①不正 确；
▪ ②由向量加减法的平行四边形法则知， a⊥b时，平行四边形为矩形，故对角线相 等，②正确．也可由a·b＝0证得|a＋b|＝ |a－b|；
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-2-2
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1
设向量 a，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求 a＋
b，a－b,3a,2a＋3b 的坐标． 剖析 考查平面向量坐标运算法则．
解析
a＋b＝(－1,2)＋(3， －5)＝(－1＋3,2－5)＝(2， －3)；
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)； 3a＝3(－1,2)＝(－3,6)； 2a＋3b＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．
规律技巧
要求对平面向量坐标运算法则能够熟练掌握．
变式训练 1
设向量 a，b，c 的坐标分别为(1，－3)，(－ )
2,4)，(0,5)，则向量 4a－2b＋c 的坐标为( A．(6，－12) C．(8，－15)
B．(6，－15) D．(0，－12)
解析
4a－2b＋c＝(4，－12)－(－4,8)＋(0,5)＝(8，－15)．
)
解析
→ → → AC＝AB＋BC＝(－1,4)＋(2，－7)＝(1，－3)．
答案
A
1 3 4．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量2a－2b＝ ( ) A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2)
解析
1 1 3 3 1 3 ， ，－ ＝(－1,2)． 2 2a－2b＝2 2－2
答案
C
例2
→ 已知 A(1,2)， B(3,2)， 向量 a＝(x＋3， x2－3x－4)与AB
相等，求 x. 剖析 本题考查相等的向量用坐标进行运算的方法，要能
→ 够求出AB的坐标．
解析
→ AB＝(3－1,2－2)＝(2,0)，
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-2-3
解析
∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，
若 a∥b，则 x· x－1×4＝0， 即 x2＝4，∴x＝± 2. 当 x＝－2 时，a 与 b 方向相反． ∴当且仅当 x＝2 时，a 与 b 共线且方向相同．
答案
2
名 师 点 拨 x1 y1 1.设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．若 ＝ ，则一定有 a∥b， x2 y2 但反过来则不一定． 2．利用向量平行的坐标表示可以解决的问题有： (1)三点共线的问题． (2)判断两条直线平行问题． 注意：0 与任何一个向量都平行．
5 5 3 1 M2，2，N2，2， 5 5 5 5 → ∴AM＝2，2－(0,0)＝2，2， 5 3 1 5 → CN＝2，2－(4,3)＝－2，－2.
5 5 5 5 又∵2×－2－2×－2＝0， → → ∴AM与CN共线．
例2
→ → → 已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10)，且
A、B、C 三点共线，则 k＝________. 剖析 → → → → 若 A、 B、 C 三点共线， 则AB∥BC； 反过来若AB∥BC，
则 A、B、C 三点共线．
解析
→ → → AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，
解析
∵a∥b，∴1×4－2x＝0，∴x＝2.
答案
D
2．已知平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且 a∥b，则 2a ＋3b＝( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8) C．(－3，－6) D．(－2，－4)
解析
∵a∥b，∴1×m－2×(－2)＝0，
∴m＝－4. ∴2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
2018-2019学年高中数学必修四(人教B版)课件：第二章 平面向量2.3.3
1 6． (2015· 山东潍坊四县联考)已知向量 a＝(1， cosx)， b＝(3， sinx)，x∈(0，π)． sinx＋cosx (1)若 a∥b，求 的值； sinx－cosx (2)若 a⊥b，求 sinx－cosx 的值．
1 [解析] (1)若 a∥b，则 sinx＝3cosx， ∴cosx＝3sinx. sinx＋cosx 4sinx ∴ ＝ ＝－2. sinx－cosx －2sinx
事实上这就是解析几何中两点间的距离公式． 已知 a＝(a1， a2)， b＝(b1， b2 ) ， 则两个向量的夹角为 cos<a， a1b1＋a2b2 2 2 2 2 a ＋ a · b ＋ b 1 2 1 2 b>＝____________________.
1．(2016· 全国卷Ⅱ理，3)已知向量 a＝(1，m)，b＝(3，－ 2)，且(a＋b)⊥b，则 m＝ 导学号 34340746 ( A．－8 C．6 B．－6 D．8 )
sinβ)，得a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)， a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．
又∵(a＋b)·(a－b)
＝ (cos α ＋cos β )(cos α － cos β ) ＋(sin α ＋ sin β )(sin α － sin β ) ＝ cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)． 解法二：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)， ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝1－1＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)．
a⊥b 则_________________ ．
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3．下列各组向量相互平行的是(
A．a＝(－1,2)、b＝(3,5) B．a＝(1,2)、b＝(2,1) C．a＝(2，－1)、b＝(3,4) D．a＝(－2,1)、b＝(4，－2) [答案] D
)
导学号34340656
[解析] ∵b＝(4，－2)＝－2(－2,1)＝－2a， ∴b∥a，所以D正确．
[解析] 由已知得：ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4)， ∵ka＋b 与 a－3b 平行， 1 ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－3. 1 2 1 此时 ka＋b＝(－3－3，－3＋2)＝－3(a－3b)， 1 ∴当 k＝－3时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向．
[解析] ∵a与b共线，∴2×6－4x＝0，解得x＝3，选B．
2．若向量 a＝( 3，1)，b＝(0，－2)，则与 a＋2b 共线的 向量可以是( ) D．(－1， 3)
导学号34340655
B．(－1，－ 3)
A．( 3，－1) C．(－ 3，－1)
[答案] D
[解析] ∵a＋2b＝( 3，1)＋2(0，－2)＝( 3，－3)， ∴ 3× 3－(－1)×(－3)＝0， ∴向量(－1， 3)与 a＋2b 是共线向量．
导学号34340658
课堂典例讲练
平面向量共线的坐标表示 已知a＝(1,2)、b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋ b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ [分析] 符号确定． 导学号34340659
由a、b可以用坐标表示 ka＋b，a－3b，然后由向
量共线的条件便可以求出k的值．而向量是否同向，可以由λ的
→ → 解法二：设 P(x，y)，OP＝(x，y)，OB＝(4,4)， 因为 O、P、B 三点共线，所以 4x－4y＝0① → → 又因为AP＝(x－4，y)，AC＝(－2,6)，且 A、P、C 三点共 线，所以 6×(x－4)－(－2)×y＝0，即 3x＋y＝12② 由①、②得：x＝3，y＝3，所以 P(3,3)．
[点评]
比较以上两种解法可见，解法一的设法比较好，
运算量较小；解法二运算量大些，但属常规方法．
已知点A(4,0)、B(4,4)、C(2,6)、O(0,0)，求AC与OB交点P
的坐标． 导学号34340662
→ → [解析] 设点 P(x，y)，则OP＝(x，y)，OB＝(4,4)，因为 P、 B、O 三点共线， → → 所以OP∥OB，所以 4x－4y＝0.
[分析] 解法一：要求点 P 的坐标，可利用 O、P、B 三点 → → → → 共线，OP＝λOB，用OB的坐标表示OP的坐标，然后利用 A、P、 C 共线求出 P 点坐标． 解法二：设出 P 点坐标，利用 O、P、B 三点共线，A、P、 C 三点共线列出方程组，通过解方程组求解．
→ → [解析] 解法一：设OP＝λOB＝(4λ，4λ)． → → AP＝(4λ－4,4λ)，AC＝(－2,6)． 因为 A、P、C 三点共线，所以 6×(4λ－4)－(－2)×4λ＝0， 3 解得 λ＝4. → 所以OP＝(3,3)，即 P 点坐标为(3,3)．
可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简化运算，
构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方 便． 想一想，我们能否类比向量的线性运算，在坐标平面内施 向量的坐标运算呢？
1．向量共线条件的坐标表示： 选择基底{e1，e2}，如果 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，a∥b， a1b2－a2b1＝0 ；反之，若 a1b2－a2b1＝0，则________ a∥b ． 则有______________ 当 b 不与坐标轴平行时，条件 a1b2 － a2b1 ＝ 0 可化为 a1 a2 ＝b b 1 2 ，即两个向量平行的条件是相应坐标成比例． ________
2．向量长度的坐标表示 → 设 a＝(a1，a2)的位置向量OA ，则由两点间距离公式有 |a|
2 a2 ＋ a → 1 2 ＝|OA|＝____________.
1．(2015·四川文，2)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线， 则实数x＝( A．2 C．4 [答案] B ) B．3 D．6 导学号34340654
已知 a ＝ (2 ，－ 1) 、 b ＝ ( － 1 ， m ) 、 c ＝ ( － 1,2) ，若 ( a ＋
b)∥c，则m＝________.
[答案] －1 [解析] a＋b＝(1，－1＋m)，
导学号34340660
若(a＋b)∥c，则1×2－(－1)×(－1＋m)＝0， ∴m＝－1.
向量共线的坐标表示的应用 如图，已知点A(4,0)、B(4,4)、C(2,6)，求AC、 OB交点P的坐标． 导学号34340661
4．若向量a＝(x,1)、b＝(4，x)，则当x＝________时，a、
b共线且方向相同． [答案] 2 [解析] ∵a＝(x,1)、b＝(4，x)，a∥b， ∴x·x－1×4＝0，即x2＝4，∴x＝±2. 当x＝－2时，a与b方向相反， 当x＝2时，a与b共线且方向相同． 导学号34340657
5．已知向量a＝(2,0)、b＝(1,4)．
(1)求|a＋b|的值；
(2)若向量ka＋b与a＋2b平行，求k的值.
[解析] (1)a＋b＝(3,4)， ∴|a＋b|＝ 32＋42＝5. (2)ka＋b＝(2k＋1,4)， a＋2b＝(4,8)， 由已知，得 8(2k＋1)－16＝0， 1 ∴k＝2.
成才之路 ·数学
人教B版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 平面向量
第二章
2.2 向量的分解与向量的坐标运算
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
1
课前自主预习ຫໍສະໝຸດ 2课堂典例讲练4
思想方法技巧
3
易错疑难辨析
5
课 时 作 业
课前自主预习
贝贝和晶晶同做一道数学题： “一 人从 A 地到 E 地，依次经过 B 地、C 地、 D 地， 且相邻两地之间的距离均为 502 km.问从 A 地到 E 地的行程有多 少？”其解答方法是： 贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1 506＋ 502＝2 008(km)． 晶晶：502×4＝2 008(km)．