03-106指考数学甲试卷定稿

─ ─ ─ ─ ─ 以下第貳部分的非選擇題，必須作答於答案卷 ─ ─ ─ ─ ─
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106 年指考 數 學 甲
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第 貳 部 分 ： 非 選 擇 題 （ 占 24 分 ）
說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號（一、二） 與子題號（(1)、(2)、……） ，同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零 分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。每一子題配分 標於題末。
一. 在坐標平面上，考慮二階方陣 A 5 3
1 4 3 所定義的線性變換。對於平面上異 4
於原點 O的點 P 1 ，設 P 1 經 A 變 換 成 P2 ， P2 經 A 變 換 成 P 3 。 令 a OP 1。 (1) (2) (3) 試 求 sin( POP （4 分） 1 3) 。 試 以 a 表 示 P （4 分） 1P 2P 3的面積 。 假設 P 1 是圖形 y
4 . 已 知 一 實 係 數 三 次 多 項 式 f (x ) 在 x 1 有 極 大 值 3 ， 且 圖 形 y f (x) 在 (4, f (4)) 之 切 線 方 程 式 為 y f (4) 5(x 4) 0 ， 試 問 (1) 5 (2) 3 (3) (4)
(1) (2) (3)
f (1) = g (1)
f (1) = g (1)
f (1) = 0
( 4 ) 存 在 實 數 a 1 使 得 f (a ) = g (a) ( 5 ) 存 在 實 數 a 1 使 得 f (a ) = g (a )
三 、 選 填 題 （ 占 28 分 ） 說明：1.第 A 至 D 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列 號 (8–18)。 2.每題完全答對給 7 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
6 . 已 知 複 數 z 滿 足 z n z n 2 0 ， 其 中 n 為 正 整 數 。 將 z 用 極 式 表 示 為 r (cos θ i sin θ) ， 且 r ＞0 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) r 1 (2) n 不 能 是 偶 數 (3) 對 給 定 的 n， 恰 有 2n 個 不 同 的 複 數 z 滿 足 題 設 (4) θ 可 能 是 (5)
3 4 、 。 已 知 L 被 L1 、 L2 所 截 出 的 線 段 長 為 3 0 ， 則 L 、 L1 、 L2 所 決 定 的 三 角 形 4 3
的面積為 ○ 11 ○ 12 ○ 13 。
C . 坐 標 平 面 上 ， x 坐 標 與 y 坐 標 均 為 整 數 的 點 稱 為 格 子 點 。 令 n 為 正 整 數 ， Tn 為 平面上以直線 y
大學入學考試中心 106 學年度指定科目考試試題
數學甲
作答注意事項
考試時間：80 分鐘 作答方式：˙選擇（填）題用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭， 切勿使用修正液（帶） 。 ˙非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在「答案卷」上作答；更正時，可以 使用修正液（帶） 。 ˙未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案；或未使用黑色墨水的筆 書寫答案卷，致評閱人員無法辨認機器掃描後之答案者，其後果由考生自 行承擔。 ˙答案卷每人一張，不得要求增補。 選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生 必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細 閱讀下面的例子。 例：若第 B 題的答案格式是
5 . 設 u 與 v 為 兩 非 零 向 量 ， 夾 角 為 120。 若 u 與 u + v 垂 直 ， 試 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) (2) u 的長度是 v 的長度的 2 倍
v 與 u + v 的 夾 角 為 30 (3) u 與 u v 的 夾 角 為 銳 角 (4) (5) v 與 u v 的夾角為銳角 u + v 的長度大於 u v 的長度
18 19
3
3 ，而依題意計算出來的答案是 ，則考生 8
必須分別在答案卡上的第 18 列的 18 19
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
與第 19 列的
7 7 8 8 9 9 0 0
8
畫記，如：

例：若第 C 題的答案格式是 案卡的第 20 列的 20 21
1 1 2 2

V (h) 表 為 h 的 函 數 （ 註 : 角 錐 體 積 =
1 底面積 3
。 （2 分） 高 ）
(3)
在 O P 0 和 O P 4 夾 角 不 超 過 90 的 條 件 下 ， 試 問 正 八 角 錐 體 積 V (h ) 的 最 大 值 為何？（6 分）


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z P6 P1 1 O x y P5 P2 P4 P3
P7 P0 z=h
(1) (2)
試 以 h 表 示 向 量 內 積 OP0 OP4。 （4 分） 若 V (h ) 為 以 O 為 頂 點 、 正 八 邊 形 P0 P 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7 為 底 的 正 八 角 錐 體 積，試 將
0 3

4
1
f (x)dx 之 值 為 下 列 哪 一 選 項 ？
(5) 5
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二 、 多 選 題 （ 占 24 分 ）
說明：第 5 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項 畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對 者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
1 x 3 ， 以 及 x 軸 、 y 軸 所 圍 成 的 三 角 形 區 域（ 包 含 邊 界 ）， 2n
n
而 an 為 Tn 上 的 格 子 點 數 目 ， 則 lim
an n
14 ○ 15 ○
。
D.
坐 標 空 間 中 ， 平 面 ax by cz 0 與 平 面 x 0 、 x 3 y 0 的 夾 角 （ 介 於 0 到 90 之 間 ） 都 是 60 ， 且 a 2 b2 c 2 12 ， 則 (a2 , b2 , c2 ) ( ○ 16 , ○ 17 , ○ 18 )。
3π 7 4π θ可 能 是 7
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7 . 設 實 係 數 三 次 多 項 式 f (x ) 的 首 項 係 數 為 正。已 知 y f (x) 的 圖 形 和 直 線 y g (x) 在
x 1相 切 ， 且 兩 圖 形 只 有 一 個 交 點 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
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3 . 試 問 在 0 x 2 的 範 圍 中， y 3 sin x 的 函 數 圖 形 與 y 2 sin 2 x 的 函 數 圖 形 有 幾 個 交點？ (1) 2 個 交 點 (2) 3 個 交 點 (3) 4 個 交 點 (4) 5 個 交 點 (5) 6 個 交 點
1 2 x 10 上 的 動 點，試 求 P （4 分） 1P 2P 3 面 積 的 最 小 可 能 值。 10
背面尚有試題
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二 、 坐 標 空 間 中 ， O(0,0,0) 為 原 點 。 平 面 z h （ 其 中 0 h 1）上 有 一 以 (0,0,h) 為 圓 心 的 圓 ， 在 此 圓 上 依 逆 時 鐘 順 序 取 8 點 構 成 正 八 邊 形 P0 P 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7 ，使得各線 段 OPj (0 j 7) 的 長 度 都 是 1 。 請 參 見 示 意 圖 。
說明：第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記 在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記 多於一個選項者，該題以零分計算。
1. 從 所 有 二 位 正 整 數 中 隨 機 選 取 一 個 數 ， 設 p 是 其 十 位 數 字 小 於 個 位 數 字 的 機 率。關於 p 值的範圍，試選出正確的選項。 ( 1 ) 0.22 p 0.33 ( 2 ) 0.33 p 0.44 ( 3 ) 0.44 p 0.55 ( 4 ) 0.55 p 0.66 ( 5 ) 0.66 p 0.77
和 局。如 果 冠 軍 隊 可 獲 得 6000 元 獎 學 金，亞 軍 隊 可 獲 得 4000 元 獎 學 金，則 孝 班可獲得獎學金的期望值為
8 ○ 9 ○ 10 元 。 ○
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B . 坐 標 平 面 上 有 三 條 直 線 L 、 L1 、 L2 ， 其 中 L 為 水 平 線 ， L1 、 L2 的 斜 率 分 別 為
A. 某 高 中 一 年 級 有 忠 、 孝 、 仁 、 愛 四 班 的 籃 球 隊 ， 擬 由 經 抽 籤 決 定 的 下 列 賽 程 進 行單淘汰賽（輸一場即被淘汰） ：
忠
孝 仁
愛
假設忠班勝過其他任何一班的機率為
4 1 ，孝班勝過其他任何一班的機率為 ， 5 5 1 仁、愛兩班的實力相當，勝負機率各為 。若任一場比賽皆須分出勝負，沒 有 2
20 21 50
7
，而答案是 畫記，如：
8 8 9 9 0 0
7 50
時，則考生必須分別在答
與第 21 列的