高三数学暑期复习综合能力题第3讲指数函数与对数函数

合集下载

高考数学中的指数函数与对数函数题详解

高考数学中的指数函数与对数函数题详解指数函数和对数函数是高考数学中的重要内容，涉及到的题型和考点较多。

本文将对指数函数和对数函数的基本定义、性质以及解题方法进行详细解析。

一、指数函数指数函数是以指数为自变量的函数，其一般形式为y = a^x （其中a>0且a≠1）。

下面，我们来讨论指数函数的基本性质。

1. 指数函数的定义域和值域指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0, +∞)。

2. 指数函数的图像特点当指数a>1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐增大，形状呈现递增趋势；当0<a<1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐减小，形状呈现递减趋势。

3. 指数函数的性质(1) 指数函数在定义域内具有严格单调性，即当a>1时为严格递增函数，当0<a<1时为严格递减函数。

(2) 指数函数在定义域内具有连续性，无间断点。

(3) 指数函数在定义域内具有无界性，即当x趋向于正无穷时，函数值也趋向于正无穷。

(4) 指数函数具有经过点(0, 1)的特点。

接下来，我们通过解题的方式来进一步认识指数函数。

例题1：已知方程2^x = 4的解为x = 2，则方程e^(x-1) = 1的解为多少？解题思路：首先，根据指数函数的性质可知，2^x = 4 等价于 x = 2。

然后，代入方程e^(x-1) = 1，得到e^(2-1) = 1，即e^1 = 1，因此方程e^(x-1) = 1的解为x = 1。

二、对数函数对数函数是指以对数为自变量的函数，其一般形式为y = loga(x)（其中a>0且a≠1，x>0）。

下面，我们来探讨对数函数的基本性质。

1. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域为正实数集(0, +∞)，值域为实数集R。

2. 对数函数的图像特点当0<a<1时，对数函数的图像在x轴的右侧逐渐减小，形状呈现递减趋势；当a>1时，对数函数的图像在x轴的右侧逐渐增大，形状呈现递增趋势。

高考数学指数函数、对数函数讲解

logbN= loga N (a,b均大于0且不等于1,N>0)
logab
相关结论:logab= 1 ;logab·logbc·logcd=logad
logba
(a,b,c均大于0且不等于1,d>0)
条件
a>0且a≠1,M>0,N>0
结论
loga(MN)=logaM+logaN
M
loga N =logaM-logaN logaMn=nlogaM(n∈R)
1
1
+m=-
2
1 x
1
+m+1,因为函数y=2x+1为R上的
增函数,所以y=- 1 为R上的增函数,所以f(x)在R上单调递减是不正确
2x 1
的,所以C不正确;
对于D,当m=0时,f(x)= 2x =1- 1 ,
2x 1 2x 1
由2x+1>1,可得-1<- 1 <0,所以1- 1 ∈(0,1),即函数f(x)的值域为(0,1),
a>1 图象
0<a<1
定义域值域性质
过定点(1,0),即当x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 在(0,+∞)上是增函数
(0,+∞) R
当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是减函数
3.反函数一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线y=x对称.
故a的取值范围为[36,+∞).

北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲第03讲指数函数与对数函数(含详解)

指数函数与对数函数题型预测指数函数与对数函数都是非常重要的初等函数，也是我们在高中阶段研究函数问题时主要的载体．其它初等函数与之相复合，所得到的新函数的定义域、值域、单调性，以及它们与不等式的综合常常成为考查的核心．范例选讲例1．已知()()1log 2++=x x x f a ，其中1>a ．（1）试求()x f 的定义域和值域；求出()x f 的反函数()x f 1-；（2）求出()x f 的反函数()x f 1-；（3）判断函数()x f1-的奇偶性和单调性；（4）若实数m 满足()()011211<-+---m f m f ，求m 的取值范围讲解（1）由于x x >+12，所以，函数()x f 的定义域为R为求()x f 的值域，观察函数()=x u 12++x x 的解析式．注意到()x u 其实是一个单调函数（x y =）和一个非单调函数（12+=x y ）之和，因此，()x u 的单调性并不能通过简单判断很快得到．解决这个问题，我们可以有下面的两种选择：一、从单调性的定义出发．即任取∈21,x x R ，且21x x <，比较()()21x u x u 、的大小关系，这种方法留给同学自己完成．二、通过刚才的观察，很快可以看出：()x u 在()+∞,0上单调递增，此时，()x u 的取值范围为()+∞,1；当()0,∞-∈x 时，∈-x ()+∞,0，因此，若令x t -=，则()=x u 11122++=++-t t t t由∈t ()+∞,0，则∈++12t t ()+∞,1可知：此时()x u 的取值范围为()1,0．又0=x 时，1)(=x u ．所以，函数()=x u 12++x x 的值域为()+∞,0．所以，函数()x f 的值域为R ．（2）设()x f y =，则ya =12++x x ，利用12++x x 与x x -+12互为倒数，可得ya-=x x -+12，所以，()y ya a x --=21．所以，()x f 1-=()x x a a --21，∈x R ．（3）任取∈x R ，则()x f--1=()x x a a --21=()x f 1--，所以，函数()x f 1-为奇函数．任取∈21,x x R ，且21x x <，则由1>a 及指数函数的性质可知：21x x a a <，21x x a a -->，所以，2211x x x x a a a a ---<-，即()()21x f x f <．所以，()x f1-在定义域内单调递增．（4）由()()011211<-+---m f m f得：()()21111m f m f --<---，即：()()21111m f m f +-<---结合()x f1-的单调性可知：上式等价于：211m m +-<-，解之得：21-<>m m 或．点评 ①定义域是研究函数的基础．求值域、判断奇偶性、单调性、研究函数图象等都应先从定义域出发．②从定义域出发，利用函数的单调性，是求函数值域常用的方法．例2．已知函数()()()1,0321log ≠>---=a a x x m x f a，对定义域内的任意x 都有()()022=++-x f x f 成立．（1）求实数m 的值；（2）若当()a b x ,∈时，()x f 的取值范围恰为()+∞,1，求实数b a ,的值．讲解：（1）由()()321log ---=x x m x f a及()()022=++-x f x f 可得：()()()()()()032221log 32221log =-+-+-+-----x x m x x m a a解之得：1±=m ．当1=m 时，函数()x f 无意义，所以，只有1-=m ．（2）1-=m 时，()31log --=x x x f a，其定义域为()1,∞-⋃()+∞,3 所以，()⊂a b ,()1,∞-或()⊂a b ,()+∞,3． ①若()⊂a b ,()+∞,3，则a b <≤3．为研究()a b x ,∈时()x f 的值域，可考虑()31log --=x x x f a在()+∞,3上的单调性．下证()x f 在()+∞,3上单调递减．任取∈21,x x ()+∞,3，且21x x <，则()()()0333313121122211>---=-----x x x x x x x x 又1>a ，所以，31log 31log 2211-->--x x x x a a，即()()21x f x f >．所以，当()⊂a b ,()+∞,3，()x f 在()+∞,3上单调递减由题：()a b x ,∈时，()x f 的取值范围恰为()+∞,1，所以，必有()13==a f b 且，解之得：32+=a （因为3>a ，所以舍去32-=a ）②若()⊂a b ,()1,∞-，则1≤<a b ．又由于1,0≠>a a ，所以，10<<a ．此时，同上可证()x f 在()1,∞-上单调递增（证明过程略）．所以，()x f 在()a b ,上的取值范围应为()()()a f b f ,，而()a f 为常数，故()x f 的取值范围不可能恰为()+∞,1．所以，在这种情况下，b a ,无解．综上，符合题意的实数b a ,的值为32+=a ，3=b点评本题（2）中，充分的运用已知条件，可以减少分类讨论的次数．。

指数函数与对数函数例题和知识点总结

指数函数与对数函数例题和知识点总结一、指数函数的定义与性质指数函数的一般形式为$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。

其中，底数$a$决定了函数的性质。

当$a ＞ 1$时，函数单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数单调递减。

指数函数的定义域为$R$，值域为$（0, ＋＼infty)＄。

例如，函数$y ＝ 2^x$是一个底数为$2$（大于$1$）的指数函数，它在$R$上单调递增。

二、对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的反函数，一般形式为$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。

其中，对数的底数$a$同样决定了函数的性质。

当$a ＞ 1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当$0 ＜ a ＜1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。

对数函数的定义域为$（0, ＋＼infty)＄，值域为$R$。

例如，函数$y ＝＼log_2 x$是一个底数为$2$（大于$1$）的对数函数，它在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增。

三、指数函数与对数函数的图象指数函数$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐下降。

对数函数$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐下降。

四、指数运算与对数运算的性质指数运算性质：1、＄a^m ＼times a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$（＄a ≠ 0$）对数运算性质：1、＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$2、＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$3、＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$4、＄＼log_a a ＝ 1$5、＄＼log_a 1 ＝ 0$五、例题分析例 1：比较大小比较$2^｛03}＄和$03^2$的大小。

2024年新高考版数学专题1_3.3 指数函数、对数函数(分层集训)

A.a<cc>a B.b>a>c
C.a>c>b D.a>b>c
答案 B
8.(多选)(2022山东日照校际联考,9)若0<a<b<c,则下列结论正确的是
mn
A.2 B. 8 C.8 D. 5
3
3
答案 B
6.(2022T8联考,4)已知函数y=f(x)的图象与函数y=2x的图象关于直线y=x对称,g(x)为奇函数,且当x>0时,g(x)=f(x)-x,则g(-8)= ( ) A.-5 B.-6 C.5 D.6 答案 C
7.(2022广东南山蛇口育才中学月考,7) 如图,直线x=m(m>1)依次与曲线y=logax、y=logbx及x轴相交于点A、点B及点C,若B是线段AC的中点,则 ( ) A.1<b≤2a-1 B.b>2a-1 C.1<b≤2a D.b>2a 答案 B
2.(2022广东深圳六校联考二,7)已知函数f(x)=log0.5(x+ x2 1),若a=0.6-0.5,b =log0.50.6,c=log0.65,则 ( ) A. f(a)<f(b)<f(c) B. f(c)<f(b)<f(a) C. f(c)<f(a)<f(b) D. f(b)<f(a)<f(c) 答案 A
ab
A.3 B.1 C.-1 D.-3 答案 B

高考数学试题汇编第三节幂函数、指数函数与对数函

第三节幂函数、指数函数与对数函数指数函数考向聚焦指数函数是高考的重点内容,考查内容涉及以下几个方面:一是指数幂的运算以及幂值的大小比较;二是指数函数以及与指数函数有关的函数图象的应用;三是指数函数的性质及其应用.指数函数在高考中主要以选择题的形式出现,为基础题目,所占分值为5分左右,在高考试卷中常有考查.1.(2010年安徽卷,文7)设a=(,b=(,c=(,则a,b,c的大小关系是( )(A)a>c>b (B)a>b>c (C)c>a>b (D)b>c>a解析:观察a、c可比较幂函数y=在(0,+∞)为增函数,∵>,∴a>c,再比较b、c.利用指数函数y=()x在R上为减函数.而>,∴c>b,∴a>c>b.选A.答案:A.对数函数考向聚焦对数函数是高考的热点内容,考查内容涉及以下几个方面:一是对数运算以及对数值的大小比较;二是对数函数以及与对数函数有关的函数图象的应用;三是对数函数的性质及其应用.对数函数在高考中主要以选择题的形式出现,为基础题目和中档题,所占分值为5分左右,在高考试卷中常有考查.备考指津对数运算是一个难点和易错点,应强化训练,要重视对数函数图象和性质的练习,熟练掌握借助函数图象解决问题的方法.2.(2012年安徽卷,文3,5分)(log29)·(log34)=( )(A)(B)(C)2 (D)4解析:根据对数的换底公式(log29)·(log34)=·=·=4. 答案:D.3.(2012年全国大纲卷,文11,5分)已知x=ln π,y=log52,z=,则( )(A)x<y<z (B)z<x<y(C)z<y<x (D)y<z<x解析:由题意可得x>1,y<1,z<1,又因为y=log5 2<log5=,z==>,∴x>z>y,故选D.答案:D.4.(2012年重庆卷,文7,5分)已知a=log23+log2,b=log29-log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是( )(A)a=b<c (B)a=b>c(C)a<b<c (D)a>b>c解析:a=log23+log2=log23=log2>log22=1.b=log29-log2=log2=log2>log22=1,c=log32<log33=1.故选B.答案:B.5.(2011年安徽卷,文5)若点(a,b)在y=lg x图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是( )(A)(,b) (B)(10a,1-b)(C)(,b+1) (D)(a2,2b)解析:由点(a,b)在y=lg x图象上知b=lg a,由于lg=-lg a=-b;lg(10a)=lg 10+lg a=1+lg a=1+b;lg=1-lg a=1-b;lg(a2)=2lg a=2b,因此点(,b),(10a,1-b),(,b+1)不在函数图象上,点(a2,2b)在函数图象上.故选D.答案:D.6.(2011年天津卷,文5)已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( )(A)a>b>c (B)a>c>b (C)b>a>c (D)c>a>b解析:∵a=log23.6=log43.62,b=log43.2,c=log43.6,又∵f(x)=log4x为增函数,且3.62>3.6>3.2,∴log43.62>log43.6>log43.2,即a>c>b,故选B.答案:B.7.(2011年重庆卷,文6)设a=lo,b=lo,c=log3,则a,b,c的大小关系是( )(A)a<b<c (B)c<b<a(C)b<a<c (D)b<c<a解析:c=log 3=lo.又<<且函数f(x)=lo x在其定义域上为减函数,所以lo>lo>lo,即a>b>c.故选B.答案:B.本题主要考查了对数的换底公式以及对数函数单调性的应用等知识,同时对等价转化的数学思想方法也进行了考查.8.(2010年浙江卷,文2)已知函数f(x)=log2(x+1),若f(α)=1,则α=( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:∵log2(α+1)=1,∴α+1=2,∴α=1.故选B.答案:B.9.(2010年辽宁卷,文10)设2a=5b=m,且+=2,则m=( )(A)(B)10 (C)20 (D)100解析:由2a=m,得a=log2m;同理b=log5m,又+=2,∴+===2.故m=,故选A.答案:A.10.(2012年北京卷,文12,5分)已知函数f(x)=lg x,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)= . 解析:∵f(x)=lg x,f(ab)=1,∴lg(ab)=1,∴f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=2(lg a+lg b)=2lg(ab)=2.答案:2幂函数考向聚焦幂函数在高考中考查要求相对较低,主要考查幂函数的定义、常见的简单幂函数的图象与单调性,在高考试卷中幂函数偶有考查.一般以选择题和填空题的形式出现,难度较小,为基础题目,所占分值为4分左右.11.(2012年天津卷,文4,5分)已知a=212,b=()-0.8,c=2log52,则a,b,c的大小关系为( )(A)c<b<a (B)c<a<b(C)b<a<c (D)b<c<a解析:∵b=()-0.8=20.8=<21.2=a,即1<b<a,又∵c=2log52=log54<1,∴c<b<a.故选A.答案:A.。

高中数学专题03 指数函数与对数函数

高中数学专题03 指数函数与对数函数【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则A ．a b c <=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<．故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．【答案】7- 【解析】根据题意有()()23log 91f a =+=，可得92a +=，所以7a =-. 故答案是7-.【名师点睛】该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.【命题意图】高考对本部分内容的考查主要是指数式、对数式的大小比较，以能力为主，重点考查函数的单调性及其函数图象．主要体现在以下几个方面：（1）掌握幂的运算.（2）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（3）理解指数、对数函数的概念，理解指数、对数函数的单调性. 【命题规律】高考通常以考查指数、对数的运算以及指数、对数函数的图象与性质的应用为主，多以指数、对数函数为载体，查函数值的大小比较及单调性．此外，指数、对数函数的图象及应用也常有出现，一般以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，解题时熟练掌握指数、对数的运算性质与运算法则及其图象与性质，注意分类讨论、数形结合及转化与化归思想的运用. 【思路点拨】解答指数式、对数式比较大小，一般有两种思路：思路一：利用函数单调性同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小，可以利用函数的单调性来比较，即（1）比较形如m a 与n a 的大小，利用指数函数xy a =的单调性；（2）比较形如log a m 与log a n 的大小，利用对数函数log a y x =的单调性；（3）比较形如m a 与m b 的大小，利用幂函数my x =的单调性. 思路二：中间桥梁法既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小，不能直接利用函数的单调性来比较，可利用特殊数值作为中间桥梁，进而可比较大小.（1）比较形如m a 与n b 的大小，一般找一个“中间值c ”，若m a c <且n c b <，则m n a b <；若m a c >且nc b >，则mna b >.常用到的特殊值有0和1.(00log 1,1log ,1a a a a ===)（2）比较形如ma 与nb 的大小，一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值，即na 或者mb ，进而利用中间值解決问题. 【方法总结】（一）常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）log log log a a a M N MN +=，log log log a a a M M N N-=；（3）()log log 0,1,0n aa N n N a a N =>≠>；（4）换底公式：log log log c a c bb a=，进而有两个推论：1log log a b b a =（令c b =），log log m na a n N N m=．（二）比较幂的大小的常用方法：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．（三）比较对数式的大小：（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论，即a ＞1时xa y log =是增函数，0＜a ＜1时xa y log =是减函数，当对数底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小；（2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；（3）若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较，另外若题中既有对数式又有指数式，也常用中间量比较大小．（四）解指数、对数方程或不等式：（1）简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．（2）①形如log log a a x b >的不等式，借助log a y x =的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分1a >与01a <<两种情况讨论；②形如log a x b >的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助=log a y x 的单调性求解．（五）快速判断对数的符号：八字真言“同区间正，异区间负”. 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞.（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数；（2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数. 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等（六）比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可.（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较.总之，比较数式的大小，若同底，考虑指数函数（或对数函数）；若同指，则考虑幂函数，再利用函数的单调性比较大小；若不同底，也不同指，则其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决，或者利用中间量法．1．【北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学试题】若集合{|2x x =＞()12{|log 0}x x a -＜，则实数a 的值为A ．12 B ．2C ．32D ．1【答案】A【解析】由3222x>=，解得32x >；由()1122log 0log 1x a -<=解得1x a >+，因为()12{|2{|log 0}xx x x a =-＞＜，所以312a +=，解得12a =．故选A ．【名师点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用以及集合相等的性质，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，是基础题．求解时，根据指数函数与对数函数的性质，利用集合相等的性质列方程求解即可．2．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】设a ，b 都是不等于1的正数，则“log 2log 2a b ＜”是“222a b ＞＞”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由“l 22og log a b <”，得2211log log a b<，所以22log 0log 0a b <⎧⎨>⎩或22log log 0a b ＞＞或220log log a b ＞＞，即011a b <<⎧⎨>⎩或1a b ＞＞或01b a ＜＜＜，由222a b ＞＞，得1a b ＞＞，故“l 22og log a b <”是“222a b ＞＞”的必要不充分条件，故选C ．【名师点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题．求解时，根据对数函数以及指数函数的性质求解a ,b 的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可．3．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学试题】已知0.22x =，2lg 5y =，7525z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是 A ．x y z <=；2lg lg105y =<=；7522155z ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且z >0，所以y z x <<. 本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，关键是能够通过临界值来进行区分.求解本题时，根据指数函数、对数函数的单调性分别求得,,x y z 的范围，利用临界值可比较出大小关系.4．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】已知正实数a ，b ，c 满足23log log a b ==6log c ，则A ．a bc =B ．2b ac =C ．c ab =D ．2c ab =【答案】C【解析】∵正实数a ，b ，c 满足236log log log a b c ==， ∴设236log log log a b c k ===，则2k a =，3k b =，6k c =， ∴c ab =．故选C ．【名师点睛】本题考查命题真假的判断，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．求解时，设236log log log a b c k ===是求解的关键.5．【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试数学】设奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <>>，可得()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，故c b a <<，故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的性质与概念，对数的运算与对数函数的性质及其应用，注意知识的灵活运用.求解时，先化简a ()2log 5f =，结合2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =及()f x 在R 上是增函数可得答案.6．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学试题】设23451111log πlog πlog πlog πa =+++，y x a =-，x ∈N ，当y 取最小值时的x 的值为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】23451111log πlog πlog πlog πa =+++πππππlog 2log 3log 4log 5log 120=+++=，∵4π97.41≈，5π306.02≈，∴5454120log 120log log log log 120log 120πππππππ-π=<π-=π，45a a ∴-<-，∴y x a =-，x ∈N ，当y 取最小值时的x 的值为4．故选C ．【名师点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力.求解时，利用对数运算性质可得πlog 120a =，根据4π97.41≈，5π306.02≈即可得出结论．7．【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】令()()()()3x y s x y t x y s t x s t y -=++-=++-，则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩，∴12s t =⎧⎨=⎩，由题知11x y -≤+≤，①∵13x y ≤-≤，∴()226x y ≤-≤，② ∴①+②得137x y ≤-≤．则371822,22yx x y -⎛⎫⎡⎤⋅=∈ ⎪⎣⎦⎝⎭．故选C ．【名师点睛】本题主要考查不等式的性质以及指数函数的性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.求解时，利用待定系数法求得()()32x y x y x y -=++-，由11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，结合38212yx yx -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=，从而可得结果.8．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三）数学试题】设0.321log 0.6,log 0.62m n ==，则 A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>-> D ．mn m n m n >->+【答案】A【解析】由0.30.3log 0.6log 10,m =>=2211log 0.6log 10,22n =<=得0mn <； 0.60.611log 0.3log 4m n +=+0.60.6log 1.2log 0.61=<=，即1m nmn+<，故m n mn +>. 又()()20m n m n n --+=->，所以m n m n ->+. 故m n m n mn ->+>，所以选A.【名师点睛】本题考查利用作差法、作商法比较大小，考查对数的化简与计算，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.求解本题时，先判断m ，n 的正负，即可得0mn <；计算11m n+0.6log 1.21=<，化简可得m n mn +>，再通过作差法比较m n -，m n +的大小，即可得结果.9．【安徽省芜湖市2019届高三5月模拟考试数学试题】已知0a b >>，且1a b +=，1bx a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11log ab y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1log b z a =，则x ，y ，z 的大小关系是A ．z x y >>B ．x y z >>C ．z y x >>D ．x z y >>【答案】D【解析】∵a ＞b ＞0，a +b ＝1，∴1＞a 12＞＞b ＞0，∴111a b＜＜，∴x ＝（1a ）b ＞（1a）0 =1， 11log ab y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＝ 1log abab =﹣1， 1log bz a=log log b b a b =--=-＞1． ∴x ＞z ＞y ．故选D ．【名师点睛】本题考查了对数函数的单调性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求解本题时，先由题意a ＞b ＞0，a +b ＝1，可得1＞a 12＞＞b ＞0，再利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．10．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三下学期三模考试数学试题】已知点()2,8在幂函数()n f x x =的图象上，设(),ln π,a f b f c f ===⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为A ．b a c <.又0-==<，ln π<<，由()3f x x=在R 上递增，可得：()ln π2f f f ⎛<< ⎝⎭⎝⎭. 所以a c b <<. 故选D.【名师点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，还考查了方程思想及计算能力，属于中档题.求解本题时，依据题意可得3n =，可判断ln π32<<，由()3f x x =在R 上递增即可判断,,a b c 的大小，问题得解.11．【广东省揭阳市2019年高考数学二模试题】以下四个数中，最大的是A ．B ．1e C ．ln ππD ．ln1530【答案】B【解析】由题意，令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，所以e x >时，()0f x '<，∴()f x 在(e,)+∞上单调递减，又由e 3π15<<<，∴()()()e 3π(15)f f f f >>>，则111111e 33π1530ln e ln 3ln πln πln15ln15>>>>>，即1ln πln15ln e π30>>>，故选：B ．【名师点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及对数的运算性质的应用，其中解答中利用导数得到函数()ln x f x x=的单调性，再利用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴数学试题】已知函数()()lg 1f x x a x =+-，若111010f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则实数a =______. 【答案】1【解析】由题意，函数()()lg 1f x x a x =+-，得111lg 1101010f a ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即9111010a -+=-，解得1a =. 【名师点睛】本题主要考查了函数解析式的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13．【山东省济宁市2019届高三二模数学试题】已知4log 9a =，2log 5b =，则22a b +=_________．【答案】45【解析】由题意可得：42log 9log 3a ==，由对数恒等式可知：22log 3log 5223,225a b ====，则()2222223545a b a b +=⋅=⨯=.【名师点睛】本题主要考查对数的运算法则及其应用，属于基础题.由题意利用对数的运算法则和指数的运算法则计算可得22a b +的值.14．【北京市东城区2019届高三下学期综合练习（二模)数学试题】已知2log 9a =，3log b m =，5log 15c =，则满足a b c >>的一个正整数m 为_____________.【答案】27【解析】因为a ＝log 29＞log 28＝3，c ＝log 515＜log 525＝2，即当m ＝27时，b ＝log 3m ＝log 327＝3满足a ＞b ＞c ，故满足a ＞b ＞c 的一个正整数m 为27．故答案为27．【名师点睛】本题考查了对数值的运算，以及对数间比较大小的应用，属于简单题．15．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）考试数学试题】若函数()()()221f x x a x x =--+∈R 为偶函数，则128log log 77aa +=__________．【答案】−2【解析】函数()()()221f x x a x x =--+∈R 为偶函数，则()()f x f x =-，即：22(2)1(2)1x a x x a x --+=+-+恒成立，20,2a a ∴-==. 则128log log 77a a+=222227271log log log log 278784⎛⎫+=⨯==- ⎪⎝⎭. 【名师点睛】本题主要考查偶函数的性质与应用，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.求解时，首先由偶函数的性质求得a 的值，然后结合对数的运算法则可得所给算式的值.。

高考数学复习知识点归类与解题方法讲解3---指数函数与对数函数

C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由“
log a
2
<
logb
2
”，得
1 log2
a
<
1 log 2
b
，
所以
log2 log2
a b
< >
0 0
或
log
2
a＞log
2
b＞0
或
0＞log
2
a＞log
2
b
，
0 < a < 1
即
b
>
1
或 a＞b＞1或 0＜b＜a＜1 ，
由 2a＞2b＞2 ，得 a＞b＞1，故“ loga 2 < logb 2 ”是“ 2a＞2b＞2 ”的必要不充分条件，故选 C．
本题正确选项为 B.
【名师点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，关键是
能够通过临界值来进行区分.求解本题时，根据指数函数、对数函数的单调性分别求得 x, y, z 的范围，利用临界值可比较出大小关系.
4．【山东省实验中学等四校 2019 届高三联合考试数学试题】已知正实数 a ， b ， c 满
2 / 12
先将它们与零比较，分出正负；正数通常再与 1 比较分出大于 1 还是小于 1，然后在
各类中间两两相比较，另外若题中既有对数式又有指数式，也常用中间量比较大小．
（三）解指数、对数方程或不等式：（1）简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．（2）①形如 loga x > logab 的不等式，借助 y = loga x 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a > 1与 0 < a < 1两种情况讨论； ②形如 loga x > b 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式，再借助 y=loga x

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高三数学暑期复习综合能力题第3讲指数函数与对数函数
题型预测
指数函数与对数函数都是非常重要的初等函数，也是我们在高中阶段研究函数问题时主要的载体．其它初等函数与之相复合，所得到的新函数的定义域、值域、单调性，以及它们与不等式的综合常常成为考
为()+∞,1；
当()0,∞-∈x 时，∈-x ()+∞,0，因此，若令x t -=，则
()=x u 1
112
2++=
++-t t t t
由∈t ()+∞,0，则∈++12t t ()+∞,1可知：此时()x u 的取值范围为()1,0．又0=x 时，1)(=x u ．所以，函数()=x u 12++x x 的值域为()+∞,0．所以，函数()x f 的值域为R ．
（2）设()x f y =，则y a =12++x x ，利用12++x x 与x x -+12互为倒数，可得
（1）求实数m 的值；
（2）若当()a b x ,∈时，()x f 的取值范围恰为()+∞,1，求实数b a ,的值．讲解：（1）由()()3
21log ---=x x m x f a
及()()022=++-x f x f 可得：
()()()()()()03
2221log 32221log =-+-+-+-----x x m x x m a a
解之得：1±=m ．
当1=m 时，函数()x f 无意义，所以，只有1-=m ．（2）1-=m 时，()1
log -=x x f a
，其定义域为()1,∞-⋃()+∞,3.
(可能恰为()+∞,1．
所以，在这种情况下，b a ,无解．
综上，符合题意的实数b a ,的值为32+=a ，3=b
点评本题（2）中，充分的运用已知条件，可以减少分类讨论的次数．
高考真题
1. （1989年全国高考）已知a ＞0且a ≠1，试求使方程
log a (x －ak)＝log a 2(x 2－a 2)有解的k 的取值范围.
x x x [。