绝对值不等式的解法
绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)
提出问题:
你能看出下面两个不等式的解集吗?
⑴ x 1
⑵ x 1
主要方法有:
法一:利用绝对值的几何意义观察； 法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论; 法三:两边同时平方去掉绝对值符号; 法四:利用函数图象观察.
这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.
探索：不等式|x|<1的解集.
方法一：利用绝对值的几何意义观察
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集 为 ，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像， 并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
ab a b
当向量 a, 共b 线时，
同向： a b a b 反向： a b a b
y
ab b
a
O
x
ab a b
定理1 如果a,b是实数，则 a b a b
定理1的完善
绝对值三角不等式
a b ab a b
a b ab a b
定理1的推广 如果a,b，c是实数，则
绝对值不等式及其解法
3．含绝对值不等式的证明，要善于转化，可考虑用分析 转化法寻找思路．
4 ． 灵 活 运 用 绝 对 值 不 等 式 两 个 重 要 性 质 定 理 ||a| － |b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，特别关设 a∈R，则|a|＝a－aa≥a0＜0 (2)|a|≥±a (3)－|a|≤a≤|a| (4)|a|2＝a2
2．一个绝对值不等式
若a，b为实数，则 |a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| .
3．绝对值不等式的解法
(1)若a>0时，且|x|>a，则 {x|x>a或x<－a} a>0，且|x|<a，则 {x|－a<x<a} ．
A．{x|x≥53}
B．{x|x≤1}
C．{x|x≤1 或 x≥53}
D．{x|1≤x≤53}
[解析] |3x－4|≥1⇔3x－4≤－1 或 3x－4≥1⇔x≤1 或 x≥53
[答案] C
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；若
(2)|ax＋b|>c(c>0)型不等式的解法：
①换元法：令t＝ax＋b，则|t|>c，故 t>c或t<－c ， ax＋b>c或ax＋b<－c ，然后再求x，得原不等式解集．
②
分
段
讨
论
法
：
如
|ax
＋
b|≤c(c>0)
⇔
ax＋b≥0 ax＋b≤c
或
ax＋b<0 －ax＋b≤c
(2008·广东卷)已知 a∈R，若关于 x 的方程 x2＋x＋|a －14|＋|a|＝0 有实根，则 a 的取值范围是________．
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式在数学中有着广泛的应用，它们涉及到了绝对值的概念和不等式的解法。
本文将介绍几种常见的绝对值不等式的解法，并给出相应的例子进行说明。
一、绝对值不等式的基本性质在解绝对值不等式之前，我们先来了解一些绝对值的基本性质。
对于任意实数a，有以下三个性质：1. 非负性质：|a| ≥ 0绝对值表示的是一个数距离原点的距离，因此它始终是非负的。
2. 正负性质：如果a > 0，则 |a| = a；如果a < 0，则 |a| = -a这是绝对值的定义，即当a为正时，取a的值；当a为负时，取-a 的值。
3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|这是绝对值的三角不等式，它表明两个数的绝对值之和不超过它们的绝对值的和。
有了以上基本性质的了解，我们可以利用它们来解决绝对值不等式。
二、1. 绝对值的定义法义来解决不等式。
例如，对于不等式 |2x - 3| ≤ 5，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当2x - 3 ≥ 0时，|2x - 3| = 2x - 3，此时原不等式可以转化为2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4。
（2）当2x - 3 < 0时，|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3，此时原不等式可以转化为 -2x + 3 ≤ 5，解得x ≥ -1。
综合以上两种情况的解集，最终得到该不等式的解集为 -1 ≤ x ≤ 4。
2. 绝对值的范围法当绝对值中的表达式的取值范围已知时，我们可以利用绝对值的非负性质来解决不等式。
例如，对于不等式 |x - 3| > 2，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当 x - 3 > 0 时，|x - 3| = x - 3，此时原不等式可以转化为 x -3 > 2，解得 x > 5。
（2）当 x - 3 < 0 时，|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3，此时原不等式可以转化为 -x + 3 > 2，解得 x < 1。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。
在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。
一、图像法图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。
例1：解不等式 |x - 2| > 3。
首先，我们可以将其转化为两个方程：x - 2 > 3 或 x - 2 < -3解得：x > 5 或 x < -1将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。
通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。
二、符号法符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。
例2：解不等式 |2x - 3| ≤ 4。
根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4解得：x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。
三、分情况讨论法分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。
例3：解不等式 |3x + 2| > 5。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5解得：x > 1 且 x < -7/3因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。
四、代数法代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。
例4：解不等式 |x - 4| ≥ 2。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2解得：x ≥ 6 或x ≤ 2因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。
综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。
绝对值不等式解法
典例讲解
例1解下列不等式
| 2 x 1 || x 1 | （3） | x 1 | | x 3 | 5 （2） （1） | 2 x 1 | 1
解:（2）原不等式两边平方得： (2x 1) ( x 1)
2
2
平 方 法
整理得： x 2 x 0
2
x 0或x 2
10 5 2 答案：（1） [ 3 , 3 ) (1, 3 ] 1 （2） ( , ) 2
（3） (,7] (2,)
不等式的解集为： (,0) (2,)
分段解不等式问题要点： 段内求交，段与段求并
典例讲解
| x 1 | | x 3 | 5 | 2 x 1 || x 1 | （3） （2） | 2 x 1 | 1 （1）
( x 1) ( x 3) 5 解:（3）当 x 1 ，原不等式可化为： 3 3 x x ，此时解为： 2 2 分 当 1 x 3 ，原不等式可化为： ( x 1) ( x 3) 5 段 4 5 ，此时解为：x无解 法 当 x 3 ，原不等式可化为： ( x 1) ( x 3) 5
典例讲解பைடு நூலகம்
例1解下列不等式
| 2 x 1 || x 1 | （3） | x 1 | | x 3 | 5 （2） （1） | 2 x 1 | 1
解:（1）原不等式可化为： 公 式 法
2 x 1 1或2 x 1 1
x 0或x 1
不等式的解集为： (,0) (1,)
7 7 x ，此时解为：x 2 2
例1解下列不等式
综上所述，不等式的解集为
3 7 ( , ) ( , ) 2 2
绝对值不等式的解法
不等式的解集易得. 注：如果 a ≤ 0 ，不等式的解集易得.
利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式
基础练习
解下列不等式： 解下列不等式： （1）2|x|<5 ） （2）|2x|>5 ） （3）|x-1|<5 ） （4）|2x-1|<5 ）
5 5 {x | − < x < } 2 2 5 5 {x | x > 或x < − } 2 2
|ax+b|<c
-c<ax+b<c
并
探索2.不等式| -1|+|x+2|≥5 +2|≥5的解法 探索2.不等式|x-1|+| +2|≥5的解法 2.不等式
方法1：利用绝对值的几何意义， 方法 ：利用绝对值的几何意义，体现了数形结 合的思想． 合的思想．
+2|=5的解为 解:|x-1|+| +2|=5的解为 =-3或x=2 :| -1|+|x+2|=5的解为x= =2
{x | −4 < x < 6} {x | −2 < x < 3}
方法小结
|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较： 和 型不等式比较： 型不等式比较
类型 化去绝对值后 集合上解的意义区别 {x|ax+b>-c} ∩ {x|ax+b<c}, 交 {x|ax+b<-c}∪ |ax+b|>c ax+b<-c或ax+b>c {x|ax+b>c},
对原不等式两边平方得x2<1 即 x2－1<0 对原不等式两边平方得 即 (x+1)(x－1)<0 即－1<x<1 － 所以，不等式|x|<1的解集为 -1<x<1} 的解集为{x|所以，不等式 的解集为
绝对值不等式的解法
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析：对6-x 符号讨论， 当6-x≦0时,显然无解； 当6-x>0时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x)
解： 由绝对值的意义，原不等式转化为：
6-x>0
(Ⅰ)或 6-x≤0 (Ⅱ)
-(6-x)<5x-6<(6-x)
无解
解(Ⅰ)得：0<x<2; (Ⅱ) 无解
--a2 0 a2 不等式│x│> 2解集? 为{x│x > 2或x<-2 }
--a2 0 a2
类归比纳：：|x||<x|3<的a（解 a>0)|x|>3
的解 -a<x<a
|x||<x-|2>的a解(a>0) |x|>-2的解 X>a 或 x<-a
如果 a ＞0，则
x a a x a
x a x a或x a
f (x) a f (x) a或f(x) a
例 1 解不等式
2x 3 5
解： 这个不等式等价于
5 2x 3 5
5 3 2x 3 3 5 3 2 2x 8 1 x 4
因此，不等式的解集是（–1，4）
例 2 解不等式 2x 3 ＞5 解：这个不等式等价于
2x 3 5
绝对值不等式的解法
复习：
x X>0
1.绝对值的定义: |x|= 0 X=0
- x X<0
2.几何意义:
一个数的绝对值表示这个数对应的点到 原点的距离.
x2
B
O
|x1| =|OA|
x1
A
X
|x2| =|OB|
方程│x│＝2的解集？ 为{x│x=2或x=-2}
含绝对值的不等式及其解法
含绝对值的不等式及其解法绝对值不等式及其解法。
绝对值不等式是指不等式中含有绝对值的表达式，常见形式为|ax + b| < c 或 |ax + b| > c。
解决这类不等式需要一些特殊的技巧和方法。
首先，我们来看 |ax + b| < c 的不等式。
要解决这个不等式，我们可以将其分解为两个不等式，即 ax + b < c 和 ax + b > -c。
然后分别解这两个不等式，得到的解集合的交集就是原不等式的解集合。
举个例子，假设我们要解决 |3x 2| < 7 的不等式。
首先将其分解为两个不等式，3x 2 < 7 和 3x 2 > -7。
然后分别解这两个不等式，得到 x < 3 和 x > -1。
因此原不等式的解集合为 -1 < x < 3。
接下来，我们来看 |ax + b| > c 的不等式。
对于这种不等式，我们同样可以将其分解为两个不等式，即 ax + b > c 或 ax + b < -c。
然后分别解这两个不等式，得到的解集合的并集就是原不等式的解集合。
举个例子，假设我们要解决 |2x 5| > 3 的不等式。
同样将其分解为两个不等式，2x 5 > 3 和 2x 5 < -3。
然后分别解这两个不等式，得到 x > 4 和 x < 1。
因此原不等式的解集合为 x < 1 或x > 4。
在解决绝对值不等式时，我们需要注意一些特殊情况，比如当c 为负数时，解集为空集；当 a 为零时，不等式简化为一个普通的线性不等式等等。
总的来说，解决绝对值不等式需要将其分解为多个简单的不等式，然后分别解决这些简单的不等式，并将它们的解集合合并或交集，得到原不等式的解集合。
希望这篇文章能够帮助你更好地理解和解决含绝对值的不等式。
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方法三：根据不等式的性质可化为 或
或 2x+1<-
例 解不等式： (1) 3 x 1 x 3
(2)(1 x)(1 x ) 0 (3) 2 x 1 2 3x
类型三： x a x b c和 x a x b c 型 例 解不等式： x 1 x 2 5
练习：解不等式：
(2) x 3 2x 1 x 1 2
(3) x 3 2x 1 x 1 2
(4)
x 1 1 x
7 1
3
小结
• 解题步骤： 转化去掉绝对值符号
分别解各个不等式（组）
求解集
解不等式
1、 |x²-5x+5| >1
(2) x 1 4 2
类型二:|f(x)|＞g(x)或｜f(x)｜﹤g(x )型
解不等式 |2x+1|>3x-2
方法一：根据绝对值的定义分段讨论 可化为
•
或
方法二：根据公式|x|>a可化为 3x+2
绝对值不等式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 课堂练习：
解不等式 |3x-4| ≤ 19
类型一：
a>0 x a 或 x a 型
延伸: ax b c和 ax b c
例1 解不等式 |x²-5x+5|<1
• 解：原不等式可转化为
-1<x²-5x+5<1
x²-5x+5<1 ①
即
x²-5x+5>-1 ②
解不等式①得解集为 {x|1<x<4｝
蚤般的嘴唇，怪叫时露出水蓝；/ 趣丸师测评；色火舌般的牙齿，变态的深红色竹竿样的舌头很是恐怖，亮橙色灵芝形态的下巴非常离奇。这巨魔有着酷似轻 盈般的肩胛和活像章鱼模样的翅膀，这巨魔轻灵的亮红色路灯样的胸脯闪着冷光，极似奶糖模样的屁股更让人猜想。这巨魔有着活似猩猩般的腿和浓绿色板斧般的爪子……瘦
解不等式②得解集为 {x|x<2，或x>3｝
12
3
4
原不等式的解集是不等式①②的交集
{x|1<x<2，或3<x<4｝
竹节样的皮毛，头上是银橙色烟囱模样的鬃毛，长着天蓝色彩蛋般的霉菌兽皮额头，前半身是深红色龙虾般的怪鳞，后半身是漂亮的羽毛。这巨魔长着嫩黄色彩蛋般的脑袋和 浅绿色炸鸡般的脖子，有着米黄色驴肾造型的脸和水绿色棕绳般的眉毛，配着绿宝石色鹅掌模样的鼻子。有着土黄色砂锅造型的眼睛，和灰蓝色肉串般的耳朵，一张土黄色跳
（1） x 2 x 4 （2） x 3 x 2 7
延伸:
含参问题：
例
1.对于任意x不等式 x 1 x 2 a 恒成立，
则实数a的取值范围_______.
2.不等式 x 4 x 3 a 的解集非空，则 实数a的取值范围是______
例6 解不等式： (1) x 3 x 3 3