2019年中考数学复习题方法技巧专题训练(Word版,含答案)

方法技巧专题(一) 数形结合思想训练【方法解读】数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方案(以形助数)，或利用数量关系研究几何图形的性质解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。

1.我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数,回顾学习过程,都是按照列表、描点、连线得到函数的图象,然后根据函数的图象研究函数的性质,这种研究方法主要体现的数学思想是()A.演绎B.数形结合C.抽象D.公理化2.若实数a,b,c在数轴上对应的点如图F1-1,则下列式子正确的是()图F1-1A.ac>bcB.|a-b|=a-bC.-a<-b<-cD.-a-c>-b-c3.[2017·怀化] 一次函数y=-2x+m的图象经过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于点A,B,则△AOB的面积是()A.B.C.4D.84.[2018·仙桃] 甲、乙两车从A地出发,匀速驶向B地.甲车以80 km/h的速度行驶1 h后,乙车才沿相同路线行驶.乙车先到达B地并停留1 h后,再以原速按原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图F1-2所示.下列说法:①乙车的速度是120 km/h;②m=160;③点H的坐标是(7,80);④n=7.5.其中说法正确的有()图F1-2A.4个B.3个C.2个D.1个5.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为()A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或36.[2018·白银] 如图F1-3是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x 轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是直线x=1,对于下列说法:①ab<0,②2a+b=0,③3a+c>0,④a+b≥m(am+b)(m为常数),⑤当-1<x<3时,y>0,其中正确的是()图F1-3A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤7.如图F1-4是由四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a,b的恒等式:.图F1-48.[2018·白银] 如图F1-5,一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象交于点P(n,-4),则关于x的不等式组的解集为.图F1-59.《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思是:一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,如图F1-6.图F1-6由图易得:+++…+= .10.当x=m或x=n(m≠n)时,代数式x2-2x+3的值相等,则x=m+n时,代数式x2-2x+3的值为.11.已知实数a,b满足a2+1=,b2+1=,则2018|a-b|= .12.已知函数y=使y=k成立的x的值恰好只有3个时,k的值为.13.(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:图F1-7(2)观察图F1-8,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,并用含有n的代数式填空:图F1-81+3+5+…+(2n-1)+()+(2n-1)+…+5+3+1= .14.[2018·北京] 在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.参考答案1.B2.D3.B4.B[解析] 甲、乙两车最开始相距80 km,0到2 h是乙在追甲,并在2 h时追上,设乙的速度为x km/h,可得方程2x-2×80=80,解得x=120,故①正确;在2 h时甲、乙距离为0,在6 h时乙到达B地,此时甲、乙距离=(6-2)×(120-80)=160(km),故②正确;H点是乙在B地停留1 h后开始原路返回,6 h时甲、乙距离是160 km,1 h中只有甲在走,所以1 h后甲、乙距离80 km,所以点H的坐标是(7,80),故③正确;最后一段是乙原路返回,直到在n h时与甲相遇,初始距离80 km,所以相遇时间=80÷(120+80)=0.4,所以n=7.4,故④错误.综上所述,①②③正确,④错误,正确的有3个,故选B.5.B[解析] 由二次函数的顶点式y=(x-h)2+1,可知当x=h时,y取得最小值1.(1)如图①,当x=3,y取得最小值时,解得h=5(h=1舍去);(2)如图②,当x=1,y取得最小值时,解得h=-1(h=3舍去).故选B.6.A[解析] ∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴为直线x=1,即x=-=1,∴b=-2a>0,∴ab<0,2a+b=0,∴①②正确.∵当x=-1时,y=a-b+c=3a+c,由对称轴为直线x=1和抛物线过x轴上的A点,A点在点(2,0)和(3,0)之间,知抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)和(0,0)之间,所以当x=-1时,y=3a+c<0,∴③错误.当x=1时,y=a+b+c,此点为抛物线的顶点,即抛物线的最高点,也是二次函数的最大值.当x=m 时,y=am2+bm+c=m(am+b)+c,∴此时有a+b+c≥m(am+b)+c,即a+b≥m(am+b),∴④正确.∵抛物线过x轴上的A点,A点在点(2,0)和(3,0)之间,则抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)和(0,0)之间,由图知,当2<x<3时,有一部分图象位于x轴下方,说明此时y<0,根据抛物线的对称性可知,当-1<x<0时,也有一部分图象位于x轴下方,说明此时y<0,∴⑤错误.故选A.7.(a-b)2=(a+b)2-4ab8.-2<x<2[解析] ∵y=-x-2的图象过点P(n,-4),∴-n-2=-4,解得n=2.∴P点坐标是(2,-4).观察图象知:2x+m<-x-2的解集为x<2.解不等式-x-2<0可得x>-2.∴不等式组的解集是-2<x<2.9.1-10.311.112.1或2[解析] 画出函数解析式的图象,要使y=k成立的x的值恰好只有3个,即函数图象与y=k这条直线有3个交点.函数y=的图象如图.根据图象知道当y=1或2时,对应成立的x值恰好有3个,∴k=1或2.故答案为1或2. 13.解:(1)1+3+5+7=16=42.观察,发现规律,第一个图形:1+3=22,第二个图形:1+3+5=32,第三个图形:1+3+5+7=42,…,第(n-1)个图形:1+3+5+…+(2n-1)=n2.故答案为:42n2.(2)观察图形发现:图中黑球可分三部分,1到n行,第(n+1)行,(n+2)行到(2n+1)行,即1+3+5+…+(2n-1)+[2(n+1)-1]+(2n-1)+…+5+3+1=[1+3+5+…+(2n-1)]+(2n+1)+[(2n-1)+…+5+3+1]=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.故答案为:2n+12n2+2n+1.14.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,∴C(0+5,4),即C(5,4).(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线x=-=-=1,即对称轴为直线x=1.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).①若a>0,如图,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥.②若a<0,如图,易知抛物线与y轴交于点(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-.③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图:综上,a的取值范围是a≥或a<-或a=-1.方法技巧专题(二) 分类讨论思想训练【方法解读】当数学问题中的某一条件模糊而不确定时,需要对这一条件进行分类讨论,然后逐一解决.常见的分类讨论有概念的分类、解题方法的分类和图形位置关系的分类等.1.点A,B,C在☉O上,∠AOB=100°,点C不与A,B重合,则∠ACB的度数为 ()A.50°B.80°或50°C.130°D.50°或130°2.[2018·山西权威预测] 已知一等腰三角形的两边长x,y满足方程则此等腰三角形的周长为()A.5B.4C.3D.5或43.[2018·枣庄] 如图F2-1是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连结PA,PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P 有()图F2-1A.2个B.3个C.4个D.5个4.[2018·鄂州] 如图F2-2,已知矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,动点P在边BC上从点B向点C运动,速度为1 cm/s,同时动点Q从点C出发,沿折线C→D→A运动,速度为2 cm/s.当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.设点P运动时间为t(s),△BPQ的面积为S(cm2),则描述S(cm2)与时间t(s)的函数关系的图象大致是()图F2-2图F2-35.[2018·聊城] 如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是.6.[2018·安徽] 矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为.7.如图F2-4,已知点A(1,2)是反比例函数y=图象上的一点,连结AO并延长交双曲线的另一分支于点B,点P是x轴上一动点,若△PAB是等腰三角形,则点P的坐标是.图F2-48.[2017·齐齐哈尔] 如图F2-5,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是.图F2-59.[2017·义乌] 如图F2-6,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有3个,则x的值是.图F2-6参考答案1.D2.A[解析] 解方程组得当2作为腰长时,等腰三角形的周长为5;当1作为腰长时,因为1+1=2,不满足三角形的三边关系.故等腰三角形的周长为5.3.B[解析] 如下图,设每个小矩形的长与宽分别为x,y,则有2x=x+2y,从而x=2y.因为线段AB是长与宽为2∶1的矩形对角线,所以根据网格作垂线可知,过点B与AB垂直且相等的线段有BP1和BP2,过点A与AB垂直且相等的线段有AP3,且P1,P2,P3都在顶点上,因此满足题意的点P共有3个.故选B.4.A[解析] 由题意可知,0≤t≤4,当0≤t<2时,如下图,S=BP·CQ=t·2t=t2;当t=2时,如下图,点Q与点D重合,则BP=2,CQ=4,故S=BP·CQ=×2×4=4;当2<t≤6时,如下图,点Q在AD上运动,S=BP·CD=t·4=2t.故选A.5.180°或360°或540°[解析] 如图,一个正方形被截掉一个角后,可能得到如下的多边形:∴这个多边形的内角和是180°或360°或540°.6.3或[解析] 由题意知,点P在线段BD上.(1)如图,若PD=PA,则点P在AD的垂直平分线上,故点P为BD的中点,PE⊥BC,故PE∥CD,故PE=DC=3.(2)如图,若DA=DP,则DP=8,在Rt△BCD中,BD==10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE∽△DBC,∴==,∴PE=CD=.综上所述,PE的长为3或.7.(-5,0)或(-3,0)或(3,0)或(5,0)8.10或4或2[解析] 在△ABC中,∵AB=AC=10,BC=12,底边BC上的高是AD,∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD=BC=×12=6,∴AD==8.∴用这两个三角形拼成平行四边形,可以分三种情况:(1)按照如图的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是10.(2)按照如图的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是=4.(3)按照如图的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是=2.综上所述,这个平行四边形较长的对角线的长是10或4或2.9.x=0或x=4-4或4<x<4[解析] 根据OM=x,ON=x+4,可知MN=4.作MN的垂直平分线,该线与射线OB始终有一个公共点,分别以点M,N为圆心,4为半径画圆,观察两圆与射线OB 的交点情况:(1)当☉N与射线OB没有公共点,☉M与射线OB有两个公共点时,满足题意,如图①,此时4<x<4.(2)当☉N与射线OB相切,只有一个公共点时,☉M与射线OB也只有一个公共点时,也满足题意,如图②,此时x=4-4;(3)当☉N与射线OB有两个公共点时,此时☉M与射线OB只有一个公共点,因此当☉N与射线OB有两个公共点时,必须出现不能与点M,N构成三角形的一个点,也能满足题意,如图③,此时x=0.方法技巧专题(三) 整体思想训练【方法解读】整体思想是研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.1.[2018·乐山] 已知实数a,b满足a+b=2,ab=,则a-b=()A.1B.-C.±1D.±2.[2018·泸州] 如图F3-1,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,且AE+EO=4,则▱ABCD的周长为()图F3-1A.20B.16C.12D.83.[2018·济宁] 如图F3-2,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P的度数是()图F3-2A.50°B.55°C.60°D.65°4.[2018·襄阳] 如图F3-3,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若AE=3 cm,△ABD的周长为13 cm,则△ABC的周长为()图F3-3A.16 cmB.19 cmC.22 cmD.25 cm5.[2018·岳阳] 已知a2+2a=1,则3(a2+2a)+2的值为.6.[2018·扬州] 若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2015的值为.7.[2018·成都] x+y=0.2,x+3y=1,则代数式x2+4xy+4y2的值为.8.[2018·江西] 一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1,x2,则-4x1+2x1x2的值为.9.[2018·黄冈] 若a-=,则a2+的值为.10.计算(1----)(++++)-(1-----)(+++)的结果是.11.先化简,再求值:(2m+1)(2m-1)-(m-1)2+(2m)3÷(-8m),其中m是方程x2+x-2=0的根.12.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求下列各式的值:(1)a2+b2和ab;(2)a4+b4;(3)+.参考答案1.C[解析] ∵a+b=2,∴(a+b)2=4,即a2+2ab+b2=4,又∵ab=,∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4×=1,∴a-b=±1.故选C.注:此题把“a+b”,“ab”分别当作整体.2.B[解析] 因为▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,所以O为AC的中点.又因为E是AB的中点,所以AE=AB,EO是△ABC的中位线,所以EO=BC.因为AE+EO=4,所以AB+BC=2(AE+EO)=8.在▱ABCD中,AD=BC,AB=CD,所以周长为2(AB+BC)=2×8=16.故选B.注:此题把“AB+BC”当作整体.3.C[解析] 根据五边形的内角和等于540°,由∠A+∠B+∠E=300°,可求∠BCD+∠CDE的度数,再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和,进一步求得∠P的度数.∵五边形的内角和等于540°,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠BCD+∠CDE=540°-300°=240°.∵∠BCD,∠CDE的平分线在五边形内相交于点P,∴∠PDC+∠PCD=(∠BCD+∠CDE)=120°,∴∠P=180°-120°=60°.故选C.注:此题把“∠BCD+∠CDE”当作整体.4.B[解析] 由尺规作图可知,MN是线段AC的垂直平分线,∴AD=CD,AC=2AE=6(cm),∴AB+BC=AB+BD+DC=AB+BD+AD=C△ABD=13 cm,∴C△ABC=AB+BC+AC=13+6=19(cm).故选B.注:此题把“AB+BC”当作整体.5.5[解析] ∵a2+2a=1,∴3(a2+2a)+2=3+2=5.注:此题把“a2+2a”当作整体.6.2018[解析] 由题意可知:2m2-3m-1=0,∴2m2-3m=1,∴原式=3(2m2-3m)+2015=2018,故答案为2018.注:此题把“2m2-3m”当作整体.7.0.36[解析] ∵x+y=0.2①,x+3y=1②,①+②,得2x+4y=1.2,∴x+2y=0.6,∴x2+4xy+4y2=(x+2y)2=0.36.注:此题把“x+y”“x+3y”“x+2y”分别当作整体.8.2[解析] ∵x2-4x+2=0的两根为x1,x2,∴x1x2=2,-4x1+2=0,即-4x1=-2,∴-4x1+2x1x2=-2+2×2=2.9.8[解析] ∵a-=,∴原式=a2+-2·a·+2·a·=(a-)2+2=()2+2=8.注:此题把“a-”当作整体.10.[解析] 设+++=a,则原式=(1-a)·(a+)-(1-a-)=+a-a2-a+a2=.注:此题中的整体是“+++”.11.解:原式=4m2-1-(m2-2m+1)+8m3÷(-8m)=4m2-1-m2+2m-1-m2=2m2+2m-2=2(m2+m-1).∵m是方程x2+x-2=0的根,∴m2+m-2=0,∴m2+m=2,∴原式=2×(2-1)=2.注:此题把“m2+m”当作整体.12.解:(1)依题意得a2+2ab+b2=7①,a2-2ab+b2=3②.①+②,得2(a2+b2)=10,即a2+b2=5.①-②,得4ab=4,即ab=1.(2)a4+b4=(a2+b2)2-2(ab)2=52-2×12=25-2=23.(3)原式=+===.注:此题把“ab”“a2+b2”分别当作整体.方法技巧专题(四) 构造法训练【方法解读】构造法是一种技巧性很强的解题方法,它能训练思维的创造性和敏捷性.常见的构造形式有:(1)构造方程;(2)构造函数;(3)构造图形.1.[2018·自贡] 如图F4-1,若△ABC内接于半径为R的☉O,且∠A=60°,连结OB,OC,则边BC 的长为()图F4-1A.RB.RC.RD.R2.[2018·遵义] 如图F4-2,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,则经过点B的反比例函数的解析式为()图F4-2A.y=-B.y=-C.y=-D.y=3.设关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两根分别为α,β,且α<β,则α,β满足()A.1<α<β<2B.1<α<2<βC.α<1<β<2D.α<1且β>24.如图F4-3,六边形ABCDEF的六个内角都相等.若AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于.图F4-35.[2018·扬州] 如图F4-4,已知☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,则AB= .图F4-46.[2018·滨州] 若关于x,y的二元一次方程组的解是则关于a,b的二元一次方程组的解是.7.[2018·扬州] 问题呈现如图F4-5①,在边长为1的正方形网格中,连结格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tan ∠CPN的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连结格点M,N,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连结DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.问题解决(1)直接写出图①中tan∠CPN的值为;(2)如图②,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值.思维拓展(3)如图③,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到点N,使BN=2BC,连结AN交CM 的延长线于点P,用上述方法构造网格求∠CPN的度数.图F4-5参考答案1.D[解析] 如图,延长CO交☉O于点D,连结BD,∵∠A=60°,∴∠D=∠A=60°.∵CD是☉O的直径,∴∠CBD=90°.在Rt△BCD中,sin D===sin 60°=,∴BC=R.故选D.注:此题构造了直角三角形.2.C[解析] 如图,过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N.由三垂直模型,易得△BNO∽△OMA,相似比等于,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,所以=tan 30°=,所以=.因为点A在双曲线y=上,所以S△OMA=3,所以S△BNO=1,所以k=-2.即经过点B的反比例函数的解析式为y=-.故选C.注:此题构造了相似三角形.3.D[解析] 一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两根实质上是抛物线y=(x-1)(x-2)与直线y=m两个交点的横坐标.如图,显然α<1且β>2.故选D.注:此题构造了二次函数.4.15[解析] 分别将线段AB,CD,EF向两端延长,延长线构成一个等边三角形,边长为8,则EF=2,AF=4,故所求周长=1+3+3+2+2+4=15.注:此题构造了等边三角形.5.2[解析] 如图,在优弧AB上取一点D,连结AD,BD,OA,OB,∵☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°.∵OA=OB=2,∴AB=2.故答案为2.注:此题构造了直角三角形.6.[解析] 根据题意,对比两个方程组得出方程组所以注:此题构造了一个二元一次方程组.7.[解析] (1)根据方法归纳,运用勾股定理分别求出MN和DM的值,即可求出tan∠CPN的值;(2)仿(1)的思路作图,即可求解;(3)利用网格,构造等腰直角三角形解决问题即可.解:(1)由勾股定理得:DM=2,MN=,DN=.∵(2)2+()2=()2,∴DM2+MN2=DN2,∴△DMN是直角三角形.∵MN∥EC,∴∠CPN=∠DNM.∵tan∠DNM===2,∴tan∠CPN=2.(2)如图,取格点D,连结CD,DM.∵CD∥AN,∴∠CPN=∠DCM.易得△DCM是等腰直角三角形,∴∠DCM=45°,∴cos∠CPN=cos∠DCM=cos 45°=.(3)构造如图网格,取格点Q,连结AQ,QN.易得PC∥QN,∴∠CPN=∠ANQ.∵AQ=QN,∠AQN=90°,∴∠ANQ=∠QAN=45°,∴∠CPN=45°.方法技巧专题(五) 转化思想训练【方法解读】转化思想是解决数学问题的根本思想,解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程.常见的转化方法有:未知向已知转化,数与形的相互转化,多元向一元转化,高次向低次转化,分散向集中转化,不规则向规则转化,生活问题向数学问题转化等等.1.[2018·铜仁] 计算+++++…+的值为()A.B.C.D.2.[2018·嘉兴] 欧几里得的《原本》记载形如x2+ax=b2的方程的图解法:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=,则该方程的一个正根是()图F5-1A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长3.[2018·东营] 如图F5-2,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是()图F5-2A.3B.3C.D.34.[2018·白银] 如图F5-3是一个运算程序的示意图,若开始输入的x的值为625,则第2018次输出的结果为.图F5-35.[2018·广东] 如图F5-4,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连结BD,则阴影部分的面积为.(结果保留π)图F5-46.[2018·淄博] 如图F5-5,P为等边三角形ABC内的一点,且点P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为.图F5-57.如图F5-6①,点O是正方形ABCD两条对角线的交点.分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG,OE为邻边作正方形OEFG,连结AG,DE.(1)求证:DE⊥AG.(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE'F'G',如图②.①在旋转过程中,当∠OAG'是直角时,求α的度数;②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF'长的最大值和此时α的度数,直接写出结果,不必说明理由.图F5-6参考答案1.B[解析] ∵==1-,==-,==-,==-,==-,…,==-,∴+++++…+=1-+-+-+-+-+…+-=1-=.故选B.2.B[解析] 利用配方法解方程x2+ax=b2,得到x+2=b2+,解得x=-或x=--(舍去).根据勾股定理得AB=,由题意知BD=.根据图形知道AD=AB-BD,即AD的长是方程的一个正根.故选B.3.C[解析] 将圆柱沿AB侧面展开,得到矩形,如图,则有AB=3,BC=.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC===.故选C.4.1[解析] 当x=625时,代入x得x=×625=125,输出125;当x=125时,代入x得x=×125=25,输出25;当x=25时,代入x得x=×25=5,输出5;当x=5时,代入x得x=×5=1,输出1;当x=1时,代入x+4得x+4=5,输出5;当x=5时,代入x得x=×5=1,输出1;…观察发现从第4次以后奇数次就输出5,偶数次就输出1.因此,第2018次输出的应是1.5.π[解析] 连结OE,易证四边形ABEO为正方形,则扇形OED的圆心角为90°,半径为2,因此可求扇形OED的面积,阴影面积看成正方形ABEO的面积+扇形OED的面积-△ABD的面积,正方形ABEO、扇形OED和△ABD的面积均可求,即可求得阴影部分的面积.6.9+[解析] 如图,将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AHC,连结PH,作AI⊥CH交CH的延长线于点I,易知△APH为等边三角形,HA=HP=PA=3,HC=PB=4.PC=5,∴PC2=PH2+CH2,∴∠PHC=90°,∴∠AHI=30°,∴AI=,HI=,∴CI=+4,∴AC2=2++42=25+12,∴S△ABC=AC2=(25+12)=9+.7.解:(1)证明:如图,延长ED交AG于点H.∵点O为正方形ABCD对角线的交点,∴OA=OD,∠AOG=∠DOE=90°.∵四边形OEFG为正方形,∴OG=OE,∴△AOG≌△DOE,∴∠AGO=∠DEO.∵∠AGO+∠GAO=90°,∴∠DEO+∠GAO=90°.∴∠AHE=90°,即DE⊥AG.(2)①在旋转过程中,∠OAG'成为直角有以下两种情况:(i)α由0°增大到90°的过程中,当∠OAG'为直角时,∵OA=OD=OG=OG',∴在Rt△OAG'中,sin∠AG'O==,∴∠AG'O=30°.∵OA⊥OD,OA⊥AG',∴OD∥AG'.∴∠DOG'=∠AG'O=30°,即α=30°.(ii)α由90°增大到180°的过程中,当∠OAG'为直角时,同理可求得∠BOG'=30°,所以α=180°-30°=150°.综上,当∠OAG'为直角时,α=30°或150°.②AF'长的最大值是2+,此时α=315°.理由:当AF'的长最大时,点F'在直线AC上,如图所示.∵AB=BC=CD=AD=1,∴AC=BD=,AO=OD=.∴OE'=E'F'=2OD=.∴OF'==2.∴AF'=AO+OF'=+2.∵∠DOG'=45°,∴旋转角α=360°-45°=315°.方法技巧专题(六) 中点联想训练【方法解读】1.与中点有关的定理:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(2)等腰三角形“三线合一”的性质.(3)三角形的中位线定理.(4)垂径定理及其推论.2.与中点有关的辅助线:(1)构造三角形的中位线,如连结三角形两边的中点;取一边的中点,然后与另一边的中点相连结;过三角形一边的中点作另一边的平行线等等.(2)延长角平分线的垂线,构造等腰三角形,利用等腰三角形的“三线合一”.(3)把三角形的中线延长一倍,构造平行四边形.1.[2018·南充] 如图F6-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD 的中点,若BC=2,则EF的长度为()图F6-1A.B.1 C.D.2.[2017·株洲] 如图F6-2,点E,F,G,H分别为四边形ABCD四条边AB,BC,CD,DA的中点,则下列关于四边形EFGH的说法正确的是()图F6-2A.一定不是平行四边形B.一定不会是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC=BD时,它为矩形3.[2018·荆门] 如图F6-3,等腰直角三角形ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为()图F6-3A.πB.πC.1D.24.如图F6-4,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()图F6-4A.2.5B.C.D.25.[2018·眉山] 如图F6-5,在▱ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连结EF,BF,下列结论:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF.其中正确的结论有()图F6-5A.1个B.2个C.3个D.4个6.[2018·苏州] 如图F6-6,在△ABC中,延长BC至点D,使得CD=BC.过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧),且EF=2CD.连结DF,若AB=8,则DF的长为.图F6-67.[2018·天津] 如图F6-7,在边长为4的等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EF ⊥AC于点F,G为EF的中点,连结DG,则DG的长为.图F6-78.[2018·哈尔滨] 如图F6-8,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=OB,点E,F分别是OA,OD的中点,连结EF,∠CEF=45°,EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,FN=,则线段BC的长为.图F6-89.[2018·德阳] 如图F6-9,点D为△ABC的AB边上的中点,点E为AD的中点,△ADC为正三角形,给出下列结论,①CB=2CE,②tan B=,③∠ECD=∠DCB,④若AC=2,点P是AB上一动点,点P到AC,BC边的距离分别为d1,d2,则+的最小值是3.其中正确的结论是(填写正确结论的序号).图F6-910.[2017·徐州] 如图F6-10,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,连结DO并延长,交AB的延长线于点E.连结BD,EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°,则当∠BOD= °时,四边形BECD是矩形.图F6-1011.[2017·成都] 如图F6-11,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连结DE交线段OA于点F.(1)求证:DH是☉O的切线;(2)若A为EH的中点,求的值;(3)若EA=EF=1,求☉O的半径.图F6-1112.[2018·淄博] (1)操作发现:如图F6-12①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连结GM,GN,小明发现:线段GM与GN的数量关系是;位置关系是.(2)类比思考:如图②,小明在此基础上进行了深入思考,把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其他条件不变,小明发现上述的结论还成立吗?请说明理由.(3)深入探究:如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究,向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断△GMN的形状,并给予证明.图F6-12参考答案1.B[解析] 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,∴AB=4,CD=AB,∴CD=×4=2.∵E,F分别为AC,AD的中点,∴EF=CD=×2=1.故选B.2.C3.C[解析] 如图,连结OM,CM,OC.∵OQ⊥OP,且M是PQ的中点,∴OM=PQ.∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=90°,∴CM=PQ,∴OM=CM,∴△OCM是等腰三角形,∴M在OC的垂直平分线上.∵当点P在A点时,点M为AC的中点,当点P在C点时,点M为BC的中点,∴点M所经过的路线长为AB=1.故选C.4.B5.D[解析] 如图①,连结AF并延长与BC的延长线相交于点M,易证△ADF≌△MCF,∴AF=MF,AD=MC.又∵AD=BC,DC=AB=2AD,∴AB=BM,∴∠ABC=2∠ABF,故①正确.如图②,延长EF,BC相交于点G.易得△DEF≌△CGF,∴FE=FG.∵BE⊥AD,AD∥BC,∴∠EBG=90°.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得EF=BF,故②正确.如图②,由于BF是△BEG的中线,∴S△BEG=2S△BEF,而S△BEG=S四边形DEBC,∴S四边形DEBC=2S△EFB,故③正确.如图②,设∠DEF=x,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠G=x,又∵FG=FB,∴∠G=∠FBG=x,∴∠EFB=2x.∵CD=2AD,F为CD的中点,BC=AD,∴CF=CB,∴∠CFB=∠CBF=x,∴∠CFE=∠CFB+∠BFE=x+2x=3x=3∠DEF,故④正确.故选D.6.4[解析] 解此题时可取AB的中点,然后再利用三角形的中位线和平行四边形的判定和性质.取AB的中点M,连结ME,则ME∥BC,ME=BC.∵EF∥CD,∴M,E,F三点共线,∵EF=2CD,CD=BC,∴MF=BD,∴四边形MBDF是平行四边形,∴DF=BM=AB=×8=4.7.[解析] 如图,连结DE.∵D,E分别为AB,BC的中点,∴DE∥AC,DE=AC=2,EC=2.∵EF⊥AC,∴DE⊥EF,∴△DEG为直角三角形.在Rt△EFC中,EC=2,∠C=60°,∴EF=.∵G为EF的中点,∴EG=.在Rt△DEG中,DE=2,EG=,由勾股定理,得DG==.故答案为.8.4[解析] 如图,连结BE,由E,F分别为OA,OD的中点可知EF=AD,EF∥AD,易证△BEC 是等腰直角三角形,EM三线合一,可证得△EFN≌△MBN,可得到BN=FN=,tan∠NBM=,就能求出BM=2,所以BC=4.9.①③④[解析] 由题意得,AE=DE,AD=BD=CD.∵△ACD是正三角形,∴∠CDA=60°,CE⊥AD,∴∠B=∠DCB=30°.在Rt△BCE中,∠B=30°,∴CB=2CE,故①正确;∵∠B=30°,∴tan B=,故②错误;在正△ACD中,CE是△ACD的中线,∴∠ECD=∠ACD=30°,∴∠ECD=∠DCB,故③正确;如题图,PM=d1,PN=d2.在Rt△MPN中,+=MN2.∵∠ACB=∠CMP=∠CNP=90°,∴四边形MPNC为矩形,∴MN=CP.要使+最小,只需MN最小,即PC最小,当CP⊥AB时,即P与E重合时,+最小.在Rt△ACE中,∵AC=2,∠ACE=30°,∴CE=AC·cos30°=,则CE2=3,∴+的最小值为3,故④正确.故正确的有①③④.10.解:(1)证明:∵平行四边形ABCD,∴AE∥DC,∴∠EBO=∠DCO,∠BEO=∠CDO.∵点O是边BC的中点,∴BO=CO,∴△EBO≌△DCO(AAS),∴EO=DO,∴四边形BECD是平行四边形.(2)100°提示:若四边形BECD为矩形,则BC=DE,BD⊥AE,又AD=BC,∴AD=DE.∵∠A=50°,根据等腰三角形的性质,可知∠ADB=∠EDB=40°,∴∠BOD=180°-∠ADE=100°.11.解:(1)证明:连结OD,如图.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.又∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC.∵DH⊥AC,∴DH⊥OD,∴DH是☉O的切线.(2)∵∠E=∠B,∠B=∠C,∴∠E=∠C,∴△EDC是等腰三角形.又∵DH⊥AC,点A是EH中点,∴设AE=x,则EC=4x,AC=3x.连结AD,∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BD.又∵△ABC是等腰三角形,∴D是BC的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,OD=AC=x,∴∠E=∠ODF.在△AEF和△ODF中,∴△AEF∽△ODF,∴=,∵==,∴=.(3)设☉O的半径为r,即OD=OB=r.∵EF=EA,∴∠EFA=∠EAF.又∵OD∥EC,∴∠FOD=∠EAF,∴∠FOD=∠EFA=∠OFD,∴DF=OD=r,∴DE=DF+EF=r+1,∴BD=CD=DE=r+1.∵∠BDE=∠EAB,∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE,∴BF=BD=1+r,∴AF=AB-BF=2OB-BF=2r-(1+r)=r-1.在△BFD与△EFA中,∴△BFD∽△EFA,∴=,∴=,解得r1=,r2=(舍去).∴☉O的半径为.12.[解析] (1)通过观察可得两条线段的关系是垂直且相等;(2)连结BE,CD,可得△ACD≌△AEB,从而得DC⊥BE,DC=BE,利用中位线得GM∥CD且等于CD的一半,GN∥BE且等于BE的一半,从而得到MG和GN的关系;(3)连结BE,CD,仿照(2)依然可得相同的结论.解:(1)操作发现:线段GM与GN的数量关系为GM=GN;位置关系为GM⊥GN.(2)类比思考:上述结论仍然成立.理由如下:如图①,连结CD,BE相交于点O,BE交AC于点F.①∵点M,G分别是BD,BC的中点,∴MG∥CD,MG=CD.同理可得NG∥BE,NG=BE.∵∠DAB=∠EAC,∴∠DAC=∠BAE.又∵AD=AB,AC=AE,∴△ADC≌△ABE,∴∠AEB=∠ACD,DC=BE,∴GM=GN.∵∠AEB+∠AFE=90°,∴∠OFC+∠ACD=90°,∴∠FOC=90°,易得∠MGN=90°,∴GM⊥GN.(3)深入探究:△GMN是等腰直角三角形.证明如下:如图②,连结BE,CD,CE与GM相交于点H.②∵点M,G分别是BD,BC的中点,∴MG∥CD,MG=CD.同理NG∥BE,NG=BE.∵∠DAB=∠EAC,∴∠DAC=∠BAE.又∵AD=AB,AC=AE,∴△ADC≌△ABE,∴∠AEB=∠ACD,DC=BE,∴GM=GN.∵GM∥CD,∴∠MHC+∠HCD=180°,∴∠MHC+(45°+∠ACD)=180°,∴∠MHC+45°+∠AEB=180°,∴∠MHC+45°+(45°+∠CEB)=180°,∴∠MHC+∠CEB=90°,∴∠GNH+∠GHN=90°,∴∠NGM=90°,即GM⊥GN,∴△GNM是等腰直角三角形.方法技巧专题(七) 角平分线训练【方法解读】1.与角平分线有关的判定和性质:(1)角平分线的判定和性质.(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系.2.与角平分线有关的图形或辅助线:(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形.(3)过角平分线上的点作边的垂线.1.[2018·黑龙江] 如图F7-1,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB的度数是()。