计算方法考核知识点

计算方法考核知识点
第1章计算方法与误差
考核知识点：
误差的来源，绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限，有效数字，准确数位，误差传播。

考核要求：
1．知道误差的主要来源，误差传播。

2．了解绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限、掌握其判别方法。

3．掌握有效数字，准确数位的求法。

例题
1、近似数x*= 0.231关于真值x = 0.229有（）位有效数字。

（1）1；（2）2；（3）3；（4）4。

2、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（）。

（1）方法收敛性；（2）方法的稳定性；（3）方法的计算量；（4）方法的误差估计。

3、下列说法错误的是（）。

（1）如果一个近似数的每一位都是有效数字，则称该近似数为有效数；
（2）凡是经“四舍五入”得到的近似数都是有效数；
（3）数值方法的稳定性是指初始数据的扰动对计算结果的影响；
（4）病态问题是由数学问题本身的性质决定的，与数值方法有关。

参考答案：
1、（2）
2、（3）
3、（4）
第2章一元非线性方程数值解法
考核知识点：
区间二分法，一般迭代法，牛顿迭代法、弦截法，收敛性。

考核要求：
1．熟练掌握用区间二分法求方程近似根的方法。

2．掌握用一般迭代法求方程的方法近似根的方法。

了解其收敛性
3．熟练掌握用牛顿迭代法求方程近似根的方法。

了解其收敛性。

4．熟练掌握弦截法。

了解其收敛性。

例题
1、方程x3−2x −5 = 0在区间[1,3]有( )个正根
(1) 1； (2) 2； (3) 3； (4) 无正根
2、用牛顿迭代法求方程x 3 − 2x − 5 = 0的牛顿迭代公式为
3、已知求方程f (x ) = 0在区间[a ,b ]上的根的迭代公式为 2,1,0),(1==+k x x k k ϕ对 于其产生的数列{}k x ，下列说法正确的是（ ）
(1) 若数列{}k x 收敛，则迭代函数ϕ (x )唯一；
(2) 若对∀x ∈[a ,b ], 1≤'ϕ，则{}k x 收敛；
(3) 若∀x ∈[a ,b ], 1>'ϕ，则{}k x 收敛；
(4) 若∀x ∈[a ,b ], 1<≤'L ϕ，则{}k x 收敛
第3章 线性方程组直接解法
考核知识点：
简单消元法，元消元法，矩阵的三角分解。

考核要求：
1．了解简单消元法、元消元法的基本思想和使用条件
2．掌握矩阵的三角分解（Doolittle 分解,Crout 分解）
3．熟练掌握用列主元消元法求解线性方程组的方法。

例题
1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（ ）
（1）调换方程位置； （2）选主元； （3）直接求解； （4）化简方程组
2 、设矩阵A 的LU 分解如下：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6001032211012001542774322b a A
则该分解式中a ,b 的值分别为 （ ）
（1）a = 2,b = 6；（2）a = 6,b = 2；（3）a = 2,b = 3；（4）a = −1,b = 2。

第4章 线性方程组的迭代解法
考核知识点：
向量范数与矩阵范数及其性质，谱半径，严格对角占优矩阵，迭代法的收敛性，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法及其收敛性。

考核要求：
1．了解向量范数的定义、性质；了解矩阵范数的定义、性质，知道谱半径的定义。

2．了解严格对角占优矩阵；了解迭代法的收敛性。

3．熟练掌握雅可比迭代法，了解其收敛性。

4．熟练掌握高斯-塞德尔迭代法，了解其收敛性。

例题：
1、已知方程组Ax = b ，其中⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=14514,101332101103b A
（1）构造求解该方程组的一种收敛的迭代格式
（2）写出（1）中迭代方法的一种迭代格式。

解：交换方程组的前两行，则原方程组 Ax = b 等价于⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=14145,101311033210b A
（1） 此时系数矩阵为严格对角占优矩阵，故 Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法
均收敛。

（2）
2 、设矩阵
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=111,232221413x A ,则∞Ax 和∞A 的值分别为（ ）
(1) 8 , 8； (2) 8 , 7； (3) 8 , 6； (4) 7 , 7。

3、若线性代数方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，若用雅可比法和高斯-赛德尔法求解，则下列说法正确的是（ ）
（1）两者都收敛； （2）两者都发散；
（3）前者收敛，后者发散； （4）前者发散，后者收敛。

第5章 插值与曲线拟合
考核知识点：
拉格朗日插值法及其余项，差商，差商的性质，牛顿插值法及其余项，曲线拟合的最小二乘法。

考核要求：
1．熟练掌握拉格朗日插值法及其余项。

2．了解差商及性质，熟练掌握牛顿插值法及其余项。

3．掌握两点三次埃尔米特插值法和一般埃尔米特插值法极其余项。

4．了解曲线拟合的最小二乘法。

例题：
1、设1039)(48++=x x x f ，则]2,,2,2[810 f 和]3,,3,3[910 f 的值分别为（ ）
（1）1，1；（2）9×8!，0；（3）9，0；（4）9，1。

2、设L (x )和N (x )分别是f (x )满足同一插值条件的n 次拉格朗日和牛顿插值多项式，它们 的插值余项分别为r (x )和e (x )，则（ ）
（1）L (x ) ≠ N (x ), r (x ) = e (x )；（2）L (x ) = N (x ), r (x ) = e (x )；
（3）L (x ) = N (x ), r (x ) ≠ e (x )；（4）L (x ) ≠ N (x ), r (x ) ≠ e (x )。

（1）写出相应的三次Lagrange 插值多项式；
（2）计算f (1.5)的近似值
13
8234)(233++-=x x x x L f (1.5) ≈ N (1.5) = 5
第6章 数值积分与微分
考核知识点：
插值求积公式，代数精度，梯形公式及其余项，辛卜生公式及其余项，复化梯形公式及其余项，复化辛卜生公式及其余项。

考核要求：
1．插值求积公式及其性质。

2．了解代数精度概念，掌握插值求积公式代数精度的判别方法。

3．熟练掌握梯形、复化梯形公式及其余项；熟练掌握辛卜生、复化辛卜生
例题：
1、若使下列求积公式中的代数精度尽量高，
⎰++≈2
0210)2()1()0()(f A f A f A
dx x f
则求积公式中的待定系数应分别为( ) (1)
34,31,1210===A A A (2) 31,34,1210===A A A (3) 34,34,1210===A A A （4） 3
1,34,31210===A A A 2、求定积分的梯形公式的代数精度为 。

3、已知求积公式
[])2()1()0(3
1)(2
0f f f dx x f ++≈⎰ 则其代数精度为 。

第7章 常微分方程数值解法
考核知识点：
欧拉法，改进欧拉法，龙格-库塔法。

考核要求：
1．了解欧拉法，改进欧拉法的基本思想及其公式推导；熟练掌握用欧拉法，改进欧拉法、求微分方程近似解的方法。

2．了解龙格-库塔法的基本思想；掌握用龙格-库塔法求微分方程近似解的方法。

例题：
1、改进的Euler 法的整体截断误差是（ ）
(1) O (h )；(2) O (h 2 )；(3) O (h 3 )；(4) O (h 4
)。

2、求解常微分方程初值问题的梯形方法的的公式为
3、对于一阶微分方程初值问题 ⎩
⎨⎧=-='1)0(2y y x y ，取步长h = 0.2，分别用Euler 法和Euler 预报－校正法求y (0.2)的近似值。