解直角三角形 · 专项练习突破1.0
解直角三角形练习题
解直角三角形练习题一、选择题1. 在直角三角形中，若一个锐角的度数是45°，则另一个锐角的度数是（）A. 45°B. 135°C. 90°D. 45°或135°2. 若直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 83. 在直角三角形中，若斜边长为10，一直角边长为6，则另一直角边长为（）A. 8B. 9C. 10D. 124. 已知直角三角形的斜边长为10，一个锐角的度数为30°，则该三角形的面积是（）A. 25B. 30C. 50D. 100二、填空题1. 在直角三角形中，若一个锐角的度数是60°，则另一个锐角的度数是______。
2. 若直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边的长度是______。
3. 在直角三角形中，若斜边长为13，一直角边长为5，则另一直角边长为______。
4. 已知直角三角形的斜边长为10，一个锐角的度数为45°，则该三角形的面积是______。
三、解答题1. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6，求BC和AB的长度。
2. 在直角三角形DEF中，∠F=90°，DF=5，EF=12，求∠D和∠E 的度数。
3. 已知直角三角形的斜边长为15，一个锐角的度数为60°，求该三角形的面积。
4. 在直角三角形XYZ中，∠Y=90°，∠X=45°，ZY=8，求XY和XZ的长度。
5. 已知直角三角形的斜边长为10，一直角边长为6，求另一直角边长及两个锐角的度数。
6. 在直角三角形LMN中，∠N=90°，∠L=30°，LN=9，求LM和MN的长度。
7. 已知直角三角形的面积为24，斜边长为10，求两个直角边的长度。
8. 在直角三角形PQR中，∠Q=90°，∠P=60°，PQ=8，求PR和QR的长度。
九年级下第一章解直角三角形专项练习1
C第1章 解直角三角形 专项练习一、填空题：1. 〔广东03/6〕假设∠A 是锐角，cosA ＝23，那么∠A ＝ 。
2. 〔陕西03/12〕在△ABC 中，∠C ＝90°，假设tanA ＝21，那么sinA ＝ ；3. 求值：1sin 60cos 4522︒⨯︒+2sin30°－tan60°＋cot45=__________。
4. 〔宁夏03/19〕在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米，那么，相邻两棵树间的斜坡距离为 米。
5. 〔上海闵行区03/14〕等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为32，那么该等腰三角形的腰长等于 。
6. 〔黑龙江03/10〕如图：某同学用一个有60°角的直角三角板估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D 、B 的距离3取为5米，那么旗杆AB 的高度约为 米。
〔准确到1米，1.732〕7. 〔四川03/3〕如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE＝2AE ，AD ＝33，tan ∠BCE ＝33，那么CE ＝ 。
8. 〔上海03/13〕正方形ABCD 的边长为1。
如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 延长线上的点D '处，那么tan ∠BA D '＝ 。
二、选择题1. 〔四川03/8〕在△ABC 中，AC ＝3、BC ＝4、AB ＝5，那么以下结论成立的是〔 〕A 、SinA ＝45B 、cosA ＝53C 、tanA ＝43D 、cotA ＝54 2. 〔黄冈03/9〕在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，那么6cosB 等于 〔 〕〔A 〕3 〔B 〕2 〔C 〕33 〔D 〕 323. 〔扬州03/11〕为测楼房BC 的高，在距楼房30米的处，测得楼顶的仰角为,那么楼房BC 的高为〔 〕 A ．30tan α米 B ．30tan α米 C ．30sin α米 D ．30sin α米 4. 〔烟台03/10〕从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为〔 〕〔A 〕23 〔B 〕32 〔C 〕2 〔D 〕225．〔重庆03/11〕如图：在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC＝6，D 是AC上一点，假设tan ∠DBA ＝51，那么AD 的长为〔 〕 A 、2B 、2C 、1D 、226.〔重庆03/8〕：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝45°，∠C ＝120°，ED CBA四川03/3DA BCαCAB ＝8，那么CD 的长为〔 〕A 、638 B 、64 C 、238 D 、24 三、解答题 1. 〔青岛03/20〕〔6分〕人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O 点的正北方向10海里处的A 点有一涉嫌走私船只，正以24海里／小时的速度向正东方向航行．为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里／小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问⑴需要几小时才能追上？〔点B 为追上时的位置〕⑵确定巡逻艇的追赶方向〔准确到0．1°〕． 2. 参考数据：sin66．8°≈ 0．9191 cos 66．8°≈ 0．393 3. sin67．4°≈ 0．9231 cos 67．4°≈ 0．3846 4. sin68．4°≈ 0．9298 cos 68．4°≈ 0．368l 5. sin70．6°≈ 0．9432 cos70．6°≈ 0．33226. 如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶AD=4m ，坝高AE=6 m ，斜坡AB 的坡比2:1=i ，∠C=60°，求斜坡AB 、CD 的长。
2021年九年级数学中考一轮复习《解直角三角形》专题突破训练(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习《解直角三角形》专题突破训练（附答案）1．如图，已知AB 、CD 分别表示两幢相距30米的大楼，小明在大楼底部点B 处观察，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD 的玻璃幕墙看到大楼AB 的顶部点A 的像，那么大楼AB 的高度为（ ）A. 103米B. 203米C. 303米D. 60米2．小方发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得8CD =米， 16BC =米， CD 与地面成30︒角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆AB 的高度为（ ）．A. 9米B. ()83+米C. ()63+米D. ()1223+米3．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tan C 的值为（ ）A. 12B. 55C. 53D. 255 4．如图所示是某游乐场“激流勇进”项目的示意图，游船从D 点水平运动到A 处后，沿着坡度为3:1i =的斜坡AB 到达游乐场项目的最高点B ，然后沿着俯角为030，长度为42m 的斜坡BC 运动，最后沿斜坡CD 俯冲到达点D ，完成一次“激流勇进”．如果037CDA AD ∠=，的长为()52213m +，则斜坡CD 的长约为（ ）．（参考数据： 000sin370.6cos370.8tan370.75≈≈≈，，）A. 36mB. 45mC. 48mD. 55m5．如图，在坡角为30的山坡FB 上有一座信号塔AB ，其右侧有一堵防护墙CD ，测得BD 的长度是30米，当光线AC 与水平地面的夹角为53时，测得信号塔落在防护墙上的影子DE 的长为19米，则信号塔AB 的高度约为（ ）参考数据： sin370.60cos370.80tan370.753 1.73)≈≈≈≈，，，A. 35.5米B. 37.6米C. 38.6米D. 40.3米6．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，如果AB ＝5，BC ＝8，sin B ＝45，那么tan∠CDE 的值为（ ）A. 12B. 33C. 22D. 2－17．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点E ，点E 为BD 的中点， 11805tan 2BAC BDC AB CD ACB ∠+∠===∠=，，，则AD = ______ ．8．在△ABC 中，AB=AC=10，cosB=35，如果圆O 的半径为210，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于__．9．如图，已知在Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒，点D 在AB 上， 5CD =， 8AC =， 3sin 5ACD ∠=，则BC =__________．10．如图，在等腰△ABC中，AB = AC，∠B=30º．以点B为旋转中心，旋转30º，点A、C分别落在点A'、C'处，直线AC、A'C'交于点D，那么ADAC的值为．11．在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D为AC上一点，若1tan4DBC∠=，则AD＝______。
解直角三角形重点突破
解直角三角形重点突破
０ 江 苏 江 阴 云 亭 中学 周建 华
解直 角 三 角形是 历 年 各地 中考 的必 考 内 容 ， 题 以选择 题 、 空 题 、 试 填 解答
题 等 多种 形式 出现 中考 中分 值 约 占５ 在 ％～１％． ０
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中考数学总复习《解直角三角形及其应用》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《解直角三角形及其应用》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题1．已知△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13，现将每条边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定2．已知平面直角坐标系xOy中第一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，如果cosα＝，且OP＝5，那么点P的坐标是（）A．（3，4）B．（4，3）C．（3，5）D．（5，3）3．如图，△ABC在网格（小正方形的边长均为1）中则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．4．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD 的长度是（）A．B．C．D．5．如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为i＝1：3的斜坡向上移动了10米．此时滑块上升的高度是（）（单位：米）A．B．C．D．106．如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1800m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为（）A．900m B．900m C．900m D．1800m7．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得AB＝60cm，∠B＝50°，则点A到BC的距离为（）A．60sin50°cm B．60cos50°cmC．D．60tan50°cm8．如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B，C两点间的距离，在河的岸边与BC平行的直线EF上点A处测得∠EAB＝37°，∠F AC＝60°，已知河宽18米，则B，C两点间的距离为（）（参考数据：sin37°，cos37°≈，tan37°≈）A．（18+6）米B．（24+10）米C．（24+6）米D．（24+18）米二．填空题9．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点处，则∠ABC的正弦值为．10．某人在大厦一层乘坐观光电梯，看到大厦外一棵树上的鸟巢，仰角为30°，到达大厦的第五层后，再看这个鸟巢，俯角为60°，已知大厦的层高均为4m，则这棵树与大厦的距离为m．11．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是，坝高BC＝8m，则坡面AB的长度是m．12．一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．13．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为150米，则这栋楼的高度为米．14．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC 与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC ＝40cm，则支架BC的长为cm．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）三．解答题15．常州天宁寺始建于唐贞观年间，是佛教音乐梵呗的发源地之一，也是常州最大的寺庙．某校数学兴趣小组的同学利用卷尺和自制的测角仪尝试求解天宁寺宝塔的高度．如图所示，平地上一幢建筑物AB与宝塔CD相距56m，在建筑物的顶部分别观测宝塔底部的俯角为45°、宝塔顶部的仰角为60°．求天宁寺宝塔的高度（结果保留根号）．16．如图，某住宅小区南，北两栋楼房直立在地面上，且高度相等．为了测量两楼的高度AE、BD和两楼之间的距离AD，小莉在南楼楼底地面A处测得北楼顶部B的仰角为31°，然后她来到南楼离地面12m 高的C处，此时测得B的仰角为20°．求两楼的高度和两楼之间的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）17．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）（1）求此时小区楼房BC的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？18．如图所示，为了知道楼房CP外墙上一广告屏的高度GH是多少，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在A处测得∠GDF＝30°，在B处测得∠HEF＝50°，点A、B、C共线，AC⊥CP 于点C，DF⊥CP于点F，AB为20米，BC＝30米，测角仪的高度（AD、BE）为1.3米，根据测量数据，请求出GH的值．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）19．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题；（1）求AC的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．20．如图，海面上有A，B两个小岛，A在B的正东方向，有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向．从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为30海里．（1）求小岛A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船在P处发生故障、在原地等待救援，一艘救援船以每小时45海里的速度从A地出发先沿正西方向前往B点去取修理的材料（将材料装配上船的时间忽略不计），再沿射线BP方向以相同的速度前往P点进行救援．救援船从A点出发的同时，一艘补给船从C点出发，以每小时30海里的速度沿射线CP 方向前往P点，已知A、P，C三点在同一直线上，从B测得C在B的北偏西15°方向，请通过计算说明救援船能否在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．（参考数据： 1.41，≈1.731，≈2.45）参考答案一．选择题1．解：∵将△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13∴AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169∴AC2+BC2＝AB2∴△ABC为直角三角形，即∠C＝90°∴cos A＝＝现将每条边的长度都扩大为原来的5倍，则＝∴cos A的值不变．故选：A．2．解：过点P作PB⊥x轴于点B∵cosα＝＝∴可假设OB＝4，则OP＝5∴PB＝＝3∴点P的坐标可能是（4，3）故选：B．3．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．AB＝＝＝5，BC＝2，AC＝＝∵S△ABC＝BC•3＝3，S△ABC＝AB•CD＝CD∴CD＝．在Rt△ACD中AD＝＝＝＝．∴tan∠BAC＝＝＝．故选：B．4．解：过点A作AH⊥BC于H∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°∵AH⊥BC∴∠BAH＝∠BAC＝30°∴∠BAD+∠DAH＝30°∵∠DAE＝30°∴∠BAD+∠EAC＝30°∴∠DAH＝∠EAC∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝∵BH＝AB＝3∵AH＝AB sin60°＝6×＝3∴＝∴DH＝∴BD＝BH﹣DH＝3﹣故选：A．5．解：如图，设AB＝10m，过点B作BC⊥AC于点C由i＝1：3，得tanα＝＝∴AC＝3BC在Rt△ABC中∵AC2+BC2＝AB2∴（3BC）2+BC2＝102解得BC＝∴滑块上升的高度为：h＝．故选：A．6．解：如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E∵∠ABC＝150°∴∠CBE＝180°﹣150°＝30°，∠BCE＝150°﹣90°＝60°又∵∠BCD＝105°∴∠DCE＝105°﹣60°＝45°在R△BCE中∠CBE＝30°，BC＝1800m∴CE＝BC＝900（m）在Rt△CDE中∠DCE＝45°∴CD＝CE＝900（m）故选：B．7．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D在Rt△ABD中∵sin B＝∴AD＝sin B•AB＝60sin50°即点A到BC的距离为60sin50°cm故选：A．8．解：作AD⊥BC于点D，如图∵BC∥EF∴∠DBA＝∠EAB，∠DCA＝∠CAF∵∠EAB＝37°，∠CAF＝60°∴∠DBA＝37°，∠DCA＝60°∵AD＝18米，tan∠DBA＝，tan∠DCA＝∴＝，＝解得BD＝24米，CD＝6米∴BC＝BD+CD＝（24+6）米故选：C．二．填空题9．解：如图，取BC的中点D，连接AD由网格可得，AC＝，AB＝∴AB＝AC∴AD⊥BCRt△ABD中∵AD＝∴sin∠ABC＝．故答案为：．10．解：如图，根据题意可知：∠BAC＝30°，∠DCB＝30°，AB＝4×4＝16（m）∴∠ADC＝90°，设CD＝x m∴AD＝AD＝xm，BD＝CD＝xm∵AD+BD＝AB∴x+x＝16∴x＝4（m）．答：这棵树与大厦的距离为4m．故答案为：4．11．解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝8m∴＝＝解得AC＝8则AB＝＝16（m）．故答案为：16．12．解：过点C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH∴BH＝CH在Rt△ACH中∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝∴CH＝（12+CH）解得CH＝6（+1）．答：渔船与灯塔C的最短距离是6（+1）海里．故答案为：6+6．13．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D由题意得：AD＝150米在Rt△ADB中∠BAD＝30°∴BD＝AD•tan30°＝150×＝50（米）在Rt△ADC中∠DAC＝60°∴CD＝AD•tan60°＝150（米）∴BC＝BD+CD＝200（米）∴这栋楼的高度为200米故答案为：200．14．解：如图2，过C作CD⊥MN于D则∠CDB＝90°∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm）∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm）∵∠ACB＝15°∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝60°﹣15°＝45°∴BC＝CD＝×20＝20≈20×2.449≈49（cm）故答案为49．三．解答题15．解：如图所示，过点A作AE⊥CD于点E，则四边形AEDB是矩形依题意BD＝56，∠EAD＝45°，∠CAE＝60°∴△ADE是等腰直角三角形∴AE＝ED则四边形ABDE是正方形∴AE＝BD＝56在Rt△ACE中∴答：天宁寺宝塔的高度为（）米．16．解：过点C作CF⊥BD，垂足为F由题意得：AC＝DF＝12m，CF＝AD设AD＝CF＝xm在Rt△ABD中∠BAD＝31°∴BD＝AD•tan31°≈0.6x（m）在Rt△CFB中∠BCF＝20°∴BF＝CF•tan20°≈0.36x（m）∴BD＝BF+DF＝（0.36x+12）m∴0.6x＝0.36x+12解得：x＝50∴AD＝50m，BD＝30m∴两楼的高度约为30m，两楼之间的距离约为50m．17．解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：则四边形BCFE是矩形由题意得：AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝∠FDC＝45°∵∠DCF＝∠FDC＝45°∴CF＝DF∵四边形BCFE是矩形∴BE＝CF＝DF在Rt△ADE中∠AED＝90°∴tan∠DAE＝＝＝2+∴BE＝30经检验，BE＝30是原方程的解∴EF＝DH﹣DF＝30+15﹣30＝15（米）答：此时小区楼房BC的高度为15米．（2）∵DE＝15（2+）米∴AE＝＝＝15（米）过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，作GH⊥AB于H在Rt△ABC中∠ABC＝90°，AB＝45米，BC＝15米∴tan∠BAC＝＝＝在Rt△AGH中GH＝DE＝15（2+）米AH＝＝＝（30+45）米∴DG＝EH＝AH﹣AE＝（30+45）﹣15＝（30+30）米（30+30）÷5＝（6+6）（秒）答：经过（6+6）秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．18．解：由题意得：EF＝BC＝30米，DF＝AC＝AB+BC＝50（米）在Rt△EHF中∠HEF＝50°∴HF＝EF•tan50°≈30×1.19＝35.7（米）在Rt△DFG中∠GDF＝30°∴FG＝DF•tan30°＝50×＝（米）∴HG＝FH﹣FG＝35.7﹣≈6.9（米）∴GH的值约为6.9米．19．解：（1）过F作FH⊥DE于H．∴∠FHC＝∠FHD＝90°．∵∠FDC＝30°，DF＝30∴，∵∠FCH＝45°∴CH＝FH＝15∴∵CE：CD＝1：3∴∵AB＝BC＝DE∴；（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G∵∠ACG＝45°∴＝20×1.41+20×2.45＝77.2≈77（cm）答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为77cm．20．解：（1）过P作PH⊥AB于H，如图：根据已知得：∠PBH＝45°，∠P AH＝30°，BP＝30海里∴∠PBH＝∠BPH＝45°∴△BPH是等腰直角三角形∴BH＝PH＝＝＝15（海里）在Rt△APH中tan∠P AH＝，即tan30°＝∴AH＝15（海里）∴AB＝BH+AH＝15+15≈57.9（海里）∴小岛A，B之间的距离约是57.9海里；（2）过P作PG⊥BC于G，如图：由（1）知AB＝57.9海里，BP＝30海里∴救援船到达P所需时间为≈1.95（小时）由已知可得∠CBP＝60°，∠BPC＝∠PBA+∠P AB＝75°∴∠GPB＝90°﹣∠CBP＝30°，∠GPC＝∠BPC﹣∠GPB＝45°在Rt△BPG中cos∠BPG＝，即cos30°＝∴PG＝15∵∠GPC＝45°＝∠C∴△GPC是等腰直角三角形∴CP＝PG＝15≈36.75（海里）∴补给船到达P所需时间为36.75÷30＝1.23（小时）∵1.95﹣1.23＝0.72（小时），0.72×60＝43.2（分）∴救援船不能在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．。
解直角三角形习题训练
视线
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
知识要点
（2）坡度坡角
坡角 坡面与水平线的夹角叫坡角
坡度
坡面的铅直高度h和水平宽度
的比叫坡度（坡比），用字母 i表示，i h
l
坡角与坡 度的关系
i tan
知识要点
7.如图，在△ABC中，已知∠C=90°， sinA= 2 ，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，
5 求AB的长.
8.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向， 距离灯塔60n mile的A处，它沿正北方向航行一 段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上 的B处，这时，B处与灯塔P的距离为（ ）
(2)计算：﹣（﹣2）+ 8 ﹣2sin45°+ (1)3
巩固练习
6、（2017崇左）如图，一艘轮船在A处测得 灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方 向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于 其北偏东30°方向上，求灯塔P与轮船航线的距 离是（ ） A.15 3海里 B.30 海里
C.45 海里 D.30 3海里
60°
sin A
cos A
tan A
知识要点
☆ 知识点三 直角三角形的边角关系
（1）角的关系
∠A+∠B=
（2）三边关系
勾股定理：
（3）边角关系
a
b
a
sinA= c cosA = c tanA=
b
解直角三角形条件： （1）已知一边和一角（2）已知两边 【注意】 至少知道一边
知识要点
☆ 知识点四 解直角三角形的实际应用
2021年中考九年级数学复习《解直角三角形》专题突破训练(无答案)
2021年中考九年级数学复习《解直角三角形》专题突破训练1、如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为15°，且OA=OB=3m．（1）求此时另一端A离地面的距离（精确到0.1m）；（2）若跷动AB，使端点A碰到地面，请画出点A运动的路线（不写画法，保留画图痕迹），并求出点A运动路线的长．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）2、小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB 平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．3、小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD=10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．4、如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）5、周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）6、如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡长AB=10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字）7、如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）（参考数据：）8、某市规划局计划在一坡角为16°的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示．已知支架AC与斜坡AB的夹角为28°，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O的圆心，AB=12m，⊙O的半径为1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离（结果精确到0.01m，参考数据：cos28°≈0.9，sin62°≈0.9，sin44°≈0.7，cos46°≈0.7）．9、如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A．B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A．B的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）10、如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．(1)求教学楼AB的高度；(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin22º≈38，cos22º≈1516，tan22º≈25)11、小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．12、已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离B D的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，2≈1.41，5≈2.24)13、如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行。
历年初三数学中考解直角三角形练习题及答案
在Rt∆ADC中tanD=tan150=
评注： 利用含300角的直角三角形巧妙地构造出含150角的直角三角形，从而求出150角的三角函数值。利用此图还可以求出750的各三角函数值。
强化训练
一、填空题：
⒈ 在∆ABC中，若AC＝ 。BC＝ AB＝3，则cosA=____________.
∴AB＝4BD
在Rt∆ABD中，AD＝
∴ sinB=
cosB=
tanB=
cotB=
［例4］计算
分析：本题主要是考察特殊角的三角函数值和分母有理化知识
解：原式＝ .
= =
=
［例5］ 要求tan300的值.可构造如图19-5所示的直角三角形进行计算，作Rt∆ABC，使C=900，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝ ∠ABC＝300，所以 tan300=
在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan150的值。请你就此图添加辅助线，并求出tan150的值。
分析：只需找出一个150的角，并放入一个可求出各边长的直角三角形中。
解：延长CB至D，使BD＝AB。连结AD，如图19-6
A A
2 1
2 1
300
B C D B C
图19-5 图19-6
则BD＝2，D＝150
6、用计算器计算：sin56050/+cos39030/-tan46010/=_______
分析会用计算器求任意一个锐角的三角函数值，然后进行计算。原式＝0.5671.
7、已知方程4x2-2(m+1)x+m=0的两根恰为一个直角三角形两锐角的余弦，则m=______
分析设这个直角三角形的两个锐角分别为α、β，且α+β＝900。cosβ=sinα.由一元二次方程根与系数的关系得：cosα+cosβ= ，cosαcosβ=
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解直角三角形·中考类型突破
一、解答题
1．如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上。
2．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果保留根号）
3．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G
的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）计算古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高．（结果保留根号）
姓名：
4．如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果保留根号）．
5．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s．问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）
6．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：√6≈2.449，结果保留整数）
7．在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C′的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）
8．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一直线上.
（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；
（2）求斜坡CD的长度.
9．如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300，设PQ垂直于AB，且垂足为C.
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m，√3≈1.73）
解直角三角形·中考类型突破 参考答案 1、3260米； 2、424 米 3．（1）BH =8.5米；（2）CG= 18.0米．
（1）由题意：四边形ABED 是矩形，可得DE=AB=7米．
在Rt △DEH 中，∵∠EDH=45°，∴HE=DE=7米， ∴BH=EH+BE=8.5米.
（2）作HJ ⊥CG 于G ．则△HJG 是等腰三角形，四边形BCJH 是矩形，设HJ=GJ=BC=x ．
在Rt ΔEFG 中，tan60°=
GF EF ，∴ √3=7+x x ，∴x =72(√3+1)， 4．20√39.
【解析】解：由题意知：BC =6AD ，AE +BE =AB =90m
在Rt ΔADE 中，tan30°=
AD AE ，sin30°=AD DE ∴AE =AD
√3
3=√3AD ，DE =2AD ；
在Rt ΔBCE 中，tan60°=
BC BE ，sin60°=BC CE ， ∴BE =√3=2√3AD ，CE =2√3BC
3=4√3AD ；
∵AE +BE =AB =90m ；∴ √3AD +2√3AD =90；∴AD =10√3(m)；∴DE =20√3m ，CE =120m ∵∠DEA +∠DEC +∠CEB =180°，∠DEA =30°，∠CEB =60°；∴∠DEC =90°
∴CD =√DE 2+CE 2=√15600=20√39(m)
答：这两座建筑物顶端C 、D 间的距离为20√39m ．
5．此车没有超过了该路段16m/s 的限制速度．
【解析】由题意得：∠DCA=60°，∠DCB=45°，
在Rt △CDB 中，tan ∠DCB=DB
DC =DB
200
=1，解得：DB=200， 在Rt △CDA 中，tan ∠DCA=DA DC =DA 200=√3，解得：DA=200√3，
∴AB=DA ﹣DB=200√3﹣200≈146米，轿车速度v =
AB t =14610=14.6<16， 答：此车没有超过了该路段16m/s 的限制速度．
6．此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是98海里．
【解析】作PC ⊥AB 于C 点，∴∠APC=30°，∠BPC=45° ，AP=80（海里），
在Rt △APC 中，cos ∠APC=PC PA ，∴PC=PA •cos ∠APC=40√3（海里），
在Rt △PCB 中，cos ∠BPC=PC PB ，∴PB=
PC cos ∠BPC =40√3cos45°=40√6≈98（海里），
答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是98海里． 7．该雕塑的高度为（2+2√3）米． 详解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 延长线于点D ，
设CD=x 米，∵∠CBD=45°，∠BDC=90°，∴BD=CD=x 米，
∵∠A=30°，AD=AB+BD=4+x ，∴tanA=CD AD ，即√33=x 4+x ，
解得：x=2+2√3，答：该雕塑的高度为（2+2√3）米．
8．（1）坡底C 点到大楼距离AC 的值为20√3米；（2）斜坡CD 的长度为80√3-120米.
【解析】（1）在直角△ABC 中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，AB=60米，则AC=AB tan60°=60√3=20√3（米）
答：坡底C 点到大楼距离AC 的值是20√3米．
（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，则四边形AEDF 为矩形，∴AF=DE ，DF=AE. 设CD=x 米，在Rt △CDE 中，DE=12x 米，CE=√32x 米
在Rt △BDF 中，∠BDF=45°，∴BF=DF=AB-AF=60-12x （米）
∵DF=AE=AC+CE ，∴20√3+√32x=60-12x 解得：x=80√3-120（米） 故斜坡CD 的长度为（80√3-120）米.
9．（1）∠BPQ=30°；（2）树PQ 的高度约为15.8m.
【详解】（1）依题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=10m ， 在Rt △PBC 中，∵∠PBC=60°，∠PCB=90°，∴∠BPQ=30°；
（2）设CQ=x ，在Rt △QBC 中，
∵∠QBC=30°，∠QCB=90°，∴BQ=2x ，BC=√3x ，又∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，∴∠PBQ=30°， 由（1）知∠BPQ=30°，∴PQ=BQ=2x ，
∴PC=PQ+QC=3x ，AC=AB+BC=10+√3x ，
又∵∠A=45°，∴AC=PC ，
即3x=10+√3x ，解得：x=5×(3+√3)
3，∴PQ=2x=10×(3+√3)
3≈15.8（m ），
答：树PQ 的高度约为15.8m.。