2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件：7.2两直线的位置关系(第1课时)
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2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件9.2空间直线(第1课时)
2. 在空间中，如果两直线a、b都平行于同 一条直线，则直线a、b的位置关系是平__行__.
3. 在空间中，如果一个角的两边和 另一个角的两边_分__别__平__行___，并且这两 个角的__方__向__相__同__，那么这两个角相等.
4. 既不平行又不相交的两直线是 _一 的异_直_点面_线_的直_是_直线_异_线_面；，直连和线结这.平个面平内面不一__经点__过与__此平__点面__外__
所以EF是AB和CD的公垂线.
(2)△ECD中，
EC
所以
EF a2 b2 2
a2 b2 ED 4
参考题
斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为a，
∠B1BA=∠B1BC=∠ABC，
求异面直线A1B1和BC1的距离.
解：因为△ABC为正三角形， 所以∠ABC=60°， 从而∠B1BA=∠B1BC=60°. 连结AB1、CB1.因为BA=BB1=a，
故异面直线A1B1和BC1的距离为
a 2
.
a 2
.
1. 利用三线平行公理判断或证明两 直线平行，关键是找到第三条直线，使 得这两条直线都与第三条直线平行.
2. 判定两直线是否为异面直线，一 般根据图形的直观性，结合异面直线的 定义及异面直线的判定定理就能确定.证 明两直线为异面直线，通常用反证法.
5. 过空间任意一点分别作两异面直线a、b
的平行线，则这两条相交直线所成_锐_角__或__直__角__ 叫做异面直线a和b所成的角；两条异面直线所
成的角的取值范围 是(0__, ___]; 如果两条异面直线 所 成 的 角 为 9 0 ° ， 则2称 这 两 条 异 面 直 线
_互__相__垂__直____.
因为 AM =2，AN=2， 所以MMNE∥EF. NF 故MN∥BD. 点评：证明空间两直线平行，可转化
3. 在空间中，如果一个角的两边和 另一个角的两边_分__别__平__行___，并且这两 个角的__方__向__相__同__，那么这两个角相等.
4. 既不平行又不相交的两直线是 _一 的异_直_点面_线_的直_是_直线_异_线_面；，直连和线结这.平个面平内面不一__经点__过与__此平__点面__外__
所以EF是AB和CD的公垂线.
(2)△ECD中，
EC
所以
EF a2 b2 2
a2 b2 ED 4
参考题
斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为a，
∠B1BA=∠B1BC=∠ABC，
求异面直线A1B1和BC1的距离.
解：因为△ABC为正三角形， 所以∠ABC=60°， 从而∠B1BA=∠B1BC=60°. 连结AB1、CB1.因为BA=BB1=a，
故异面直线A1B1和BC1的距离为
a 2
.
a 2
.
1. 利用三线平行公理判断或证明两 直线平行，关键是找到第三条直线，使 得这两条直线都与第三条直线平行.
2. 判定两直线是否为异面直线，一 般根据图形的直观性，结合异面直线的 定义及异面直线的判定定理就能确定.证 明两直线为异面直线，通常用反证法.
5. 过空间任意一点分别作两异面直线a、b
的平行线，则这两条相交直线所成_锐_角__或__直__角__ 叫做异面直线a和b所成的角；两条异面直线所
成的角的取值范围 是(0__, ___]; 如果两条异面直线 所 成 的 角 为 9 0 ° ， 则2称 这 两 条 异 面 直 线
_互__相__垂__直____.
因为 AM =2，AN=2， 所以MMNE∥EF. NF 故MN∥BD. 点评：证明空间两直线平行，可转化
高考数学一轮复习第七章第二讲两直线的位置关系课件
③应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数 分别化为相等.
【变式训练】 1.已知点 P(1，2)，则当点 P 到直线 2ax＋y－4＝0 的距离最大 时，a＝( )
A.1B.－41Biblioteka 1 C.4D. 5
解析：因为直线恒过定点 A(0，4)，则当 PA 与直线垂直时， 点 P 到直线的距离达到最大值，此时过点 P，A 的直线的斜率为
将点A(－1，2)的坐标代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－ m2)y＋3m2＋1＝0中，
(m2＋2m＋3)·(－1)＋(1＋m－m2)·2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2 ＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，
2.三个距离公式 (1)两点间的距离公式 两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离： |P1P2|＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2. (2)点到直线的距离公式 点 A(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离： d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
(3)两条平行直线间的距离公式 l1：Ax＋By＋C＝0，l2：Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)，l1 与 l2 间的 距离：
|2k－k32＋＋k1＋2|＝|－4k－k25＋＋1k＋2|，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得
k＝－13.所以直线 l 的方程为 y－2＝－13(x＋1)，即 x＋3y－5＝0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l的方程x＝－1，也符合题意.
答案：x＋3y－5＝0 或 x＝－1
考点三 对称问题
－2＝0互相垂直，∴(m－4)m＋m(m＋2)＝0，∴2m2－2m＝0，∴m
＝0 或 m＝1，∴“m＝1”是“直线 l1：(m－4)x＋my＋1＝0 与直 线 l2：mx＋(m＋2)y－2＝0 互相垂直”的充分不必要条件.故选 A.
【变式训练】 1.已知点 P(1，2)，则当点 P 到直线 2ax＋y－4＝0 的距离最大 时，a＝( )
A.1B.－41Biblioteka 1 C.4D. 5
解析：因为直线恒过定点 A(0，4)，则当 PA 与直线垂直时， 点 P 到直线的距离达到最大值，此时过点 P，A 的直线的斜率为
将点A(－1，2)的坐标代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－ m2)y＋3m2＋1＝0中，
(m2＋2m＋3)·(－1)＋(1＋m－m2)·2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2 ＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，
2.三个距离公式 (1)两点间的距离公式 两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离： |P1P2|＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2. (2)点到直线的距离公式 点 A(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离： d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
(3)两条平行直线间的距离公式 l1：Ax＋By＋C＝0，l2：Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)，l1 与 l2 间的 距离：
|2k－k32＋＋k1＋2|＝|－4k－k25＋＋1k＋2|，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得
k＝－13.所以直线 l 的方程为 y－2＝－13(x＋1)，即 x＋3y－5＝0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l的方程x＝－1，也符合题意.
答案：x＋3y－5＝0 或 x＝－1
考点三 对称问题
－2＝0互相垂直，∴(m－4)m＋m(m＋2)＝0，∴2m2－2m＝0，∴m
＝0 或 m＝1，∴“m＝1”是“直线 l1：(m－4)x＋my＋1＝0 与直 线 l2：mx＋(m＋2)y－2＝0 互相垂直”的充分不必要条件.故选 A.
2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：7.2两直线的位置关系(第1课时)
3. 设两相交直线l1,l2的交点为P,把直线l1绕 点P按_______方向旋转到与l2重合时所转过的 逆时针 l1到l2 最小的角,叫做_______的角;直线l1与l2所夹的 锐角或直角 ___________叫做l1与l2的夹角;规定:两条平行 直线的夹角为 ____. 0° 4. 设两直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,l1到l2的 角为θ,l1与l2的夹角为α,则l2到l1的角为
x - 200 k PC 2 x - 300 x - 200 x - 800 2x , k PB 0 2 x - 22 x - 640 2x .
23
·高中总复习（第一轮）·理科数学 ·全国版
立足教育 开创未来
由直线PC到直线PB的到角公式得
160 ta n B P C k PB - k PC 1 k PB k PC 2x x - 800 x - 640 1 2x 2x 64 x 160 640 x - 288
13
·高中总复习（第一轮）·理科数学 ·全国版
立足教育 开创未来
已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my －1＝0，试确定m、n的值，使： (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.
14
·高中总复习（第一轮）·理科数学 ·全国版
立足教育 开创未来
解：(1)由 m· m－8×2＝0，得 m＝± 4. 由 8×( － 1) － n· m≠0 ， 得
C. x+2y-5=0 D. x-2y-3=0 解：因为直线l经过直线x-y-2=0和2x+y-1=0的 交点(1，-1)，且又与直线2x+y-1=0垂直， 所以直线l的方程为y+1=
1 2
2013届高三数学(理)一轮复习方案课件第44讲两条直线的位置关系
或
而两条直线垂直的充要条件为：A1A2＋B1B2＝0.
第44讲 │ 要点探究
[2009· 上海卷] 已知直线 l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0 与 l2：2(k－3)x－2y＋3＝0 平行，则 k 的值是( A．1 或 3 C．3 或 5 B． 1 或 5 D． 1 或 2 )
变式题
C
[解析] k＝3 时，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0，显然平
变式题
①⑤
[解析] 求得两平行线间的距离为 2，则 m 与两平
行线的夹角都是 30° ，而两平行线的倾斜角为 45° ，则 m 的倾斜角为 75° 或 15° .
第44讲 │ 名师纠错
名师纠错
已知两条直线 l1：(m＋3)x＋(m－1)y－5＝0 与 l2：(m－1)x＋(3m ＋9)y－1＝0 互相垂直，试求 m 的值．
∴m＝1，n＝7. (2)由 m· m－8×2＝0，得 m＝± 4. 由 8×(－1)－n· m≠0，
m＝4， 得 n≠－2 m＝－4， 或 n≠2.
即 m＝4，n≠－2 或 m＝－4，n≠2 时，l1∥l2. (3)当且仅当 m· 2＋8· m＝0，即 m＝0 时，l1⊥l2， n 又－ ＝－1，∴n＝8， 8
π π θ∈ 0， 2 ∪ 2，π.
第44讲 │ 知识梳理
(2)两条直线的夹角：两条直线相交所成的锐角或直角，叫做两条直
k2－k1 k k ≠－1， 线所成的角，简称夹角．这时的计算公式为：tanθ＝ 1 2 1＋k k 1 2
第44讲 │ 要点探究
若直线 l 的斜率存在，设直线方程为：y－3＝k(x－2)，即 kx－y＋3 －2k＝0.∵两条平行直线 l1，l2 间的距离 d＝ |8－－7| 2 2 ＝3，直线 l 被 l1，l2 3 ＋4
高考一轮数学复习理科课件(人教版)第2课时 两直线的位置关系
高考调研
高三数学（新课标版·理）
3．已知两点 A(3,2)和 B(－1,4)到直线 mx＋y＋3＝0
距离相等，则 m 的值为( )
A．－6 或12
B．－12或 1
C．－12或12
D．0 或12
答案 A
第九章 平面解析几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
解析 直线 mx＋y＋3＝0 与直线 AB 平行或直线 mx ＋y＋3＝0 过 AB 中点，∴－m＝－4－ 1－23＝－12，即 m＝12； AB 中点(1,3)，
高考调研
高三数学（新课标版·理）
1．若直线 l1：2x＋my＋1＝0 与直线 l2：y＝3x－1 平 行，则 m＝________.
答案 m＝－23 解析 由条件知 l2 斜率应为 3， ∴－m2 ＝3，m＝－23.
第九章 平面解析几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
2．已知两条直线 y＝ax－2 和 y＝(a＋2)x＋1 互相垂
第九章 平面解析几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
【答案】 a 的值为 2，垂足坐标为(12，－23)或 a 的 值为－3，垂足坐标为(－197，127)
第九章 平面解析几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型二 利用位置关系求直线方程
例 2 求经过两条直线 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 的交 点，并且垂直于直线 3x＋4y－7＝0 的直线的方程．
第九章 平面解析几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第九章 平面解析几何
高考调研
高三数学（新课标版·理）
1．判定两条直线的位置关系 (1)两条直线的平行 ①若 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1∥l2⇔k1＝ k2 且b1≠b2 ，l1 与 l2 重合⇔ k1＝k2 且 b1＝b2 . ②当 l1，l2 都垂直于 x 轴且不重合时，则有 l1∥l2 .
2013届高考数学第1轮总复习7.1直线的方程课件文(广西专版)
62
解法2:如图所示,直线 2x+3y-6=0过点A(3,0),B(0,2). 又直线l必过点C(0，- 3 )，
故当直线l过A点时，两直 线的交点在x轴上，当直线l绕C点逆时针旋转 时，交点进入第一象限，
所以直线l介于直线AC、BC之间. 因为kAC= 3 ，所以k＞ 3 . 故直线l的倾3 斜角的取值3范围是( , ).
解：(1)设直线l的斜率为k，则
k 3m2 12m 13 - 2 1- 3(m 2)2 .
- 3-0
3
因为m∈R，所以(m+2)2≥0，则1-3(m+2)2≤1，
所以k≤ 3，即tanα≤ . 3
3
3
所以α∈ [0, ] ( , ).
62
(2)解法1：由 y kx - 3
②经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线 都可以用方程(x2-x1)(x-x1)=(y2-y1)(y-y1)表示; ③不经过原点的直线都可以用方程 x y 1表示;
ab
④经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表
示.
其中真命题的个数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
解：对命题①④，方程不能表示倾斜角 是90°的直线；对命题③，当直线平行于一条 坐标轴时，则直线在该坐标轴上的截距不存在， 故不能用截距式表示直线.只有②正确.
题型1 有关直线倾斜角或斜率的求值问题
1. 已知过点A(-2,m),B(m,4)的直线l,若直线l 的倾斜角是45°,则m的值是______;若直线l的倾 斜角是非锐角,则m的取值范围是______.
解:由倾斜角是45°,则斜率k=tan45°=1.
2013届高考数学考点回归总复习《第三十八讲 两直线的位置关系》课件
2.三种距离 (1)两点间的距离 平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式
| PP2 | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 ) 2 . 1
特别地,原点(0,0)不任一点P(x,y)的距离
| OP | x 2 y 2 .
(2)点到直线的距离 点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 (3)两条平行线的距离
【典例3】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点, 且垂直亍直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程. [分析]本题可先求出交点坐标,然后由直线间的位置关系求 得;也可由直线系方程,根据直线间位置关系求得.
3 x 2 y 1 0 [解]解法一 : 先解方程组 ,得 5 x 2 y 1 0 l1、l2的交点 1, 2 , 3 5 再由l3的斜率 求出l的斜率为 , 5 3 于是由直线的点斜式方程求出l : 5 y 2 ( x 1), 即5 x 3 y 1 0. 3
解法二:∵l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条,而l过l1、 l2的交点(-1,2), 故5×(-1)+3×2+C=0.由此求出C=-1, 故l的方程为5x+3y-1=0.
解法三:∵l过l1、l2的交点,故l是 直线系3x+2y-1+λ (5x+2y+1)=0中的一条, 将其整理,得 (3+5λ )x+(2+2λ )y+(-1+λ )=0. 3 5 5 1 其斜率 代入直线系方程即得l的 ,解得λ = , 2 2 3 5 方程为5x+3y-1=0.
2013届高考数学第1轮总复习7.2两直线的位置关系(第1课时)课件理(广西专版)
• 解：(1)l2即 2x - y - 1 0. • 所以l1与l2间的距离 2 d
a - (- 1) 2
7 5,
• 所以 a 1 所以
2 7 5,
• 因为a＞0，5 所以10a=3.
22 (-1)2 10
a 1 7. 22
• (2)由(1)知，l1即2x-y+3=0，所以k1=2.
为直线l且点P在直线l上,l与水平地面的夹角为
α,tanα= .试1问此人距水平地面多高时,观看
塔的视角∠BP2C最大(不计此人的身高).
• 解：如图所示,建立平
• 面直角坐标系,则A(200,0),
• B(0,220),C(0,300).
• 直线l的方程为y=(x-200)·tanα,
• •
则设点P的y 坐x标-22为00P(.x,y)(x＞200).
• 点评：点到直线的距离及两平行直线 间的距离公式是求距离中最常用的公 式，而夹角公式和到角公式是求有关 角常用的公式.四个公式的综合运用 体现了数形结合思想.求解时，常借 助于简单的草图进行直观理解.
•
某人在一山坡P处观看对面山项上的
一座铁塔,如图所示,塔高BC=80 m,塔所在的山
高OB=220 m,OA=200 m,图中所示的山坡可视
• 由经过两点的直线的斜率公式得
kPC
x - 200 -300 2 x
x -800 2x , kPB
0
x - 200 - 22 2 x
x - 640 . 2x
由直线PC到直线PB的到角公式得
160
tan BPC kPB - kPC
2x
1 kPB kPC 1 x - 800 x - 640
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|C -3| 5 1 2 |C 5 1 | 2 ,
即C 或
13 2
或
1 16
C
1 16
.
所以 2 x 0 - y 0
13 2
0
2 x0 - y0
0.
若P点满足条件③,由点到直线的距离公式, 有 | 2 x - y 3 | 2 | x y -1 | ,
解：如图所示,建立平 面直角坐标系,则A(200,0), B(0,220),C(0,300). 直线l的方程为y=(x-200)· tanα, 则
y x - 200 2 .
设点P的坐标为P(x,y)(x＞200). 由经过两点的直线的斜率公式得
x - 200 k PC 2 x - 300 x - 200 x - 800 2x , k PB 0 2 x - 22 x - 640 2x .
C. x+2y-5=0 D. x-2y-3=0 解：因为直线l经过直线x-y-2=0和2x+y-1=0的 交点(1，-1)，且又与直线2x+y-1=0垂直， 所以直线l的方程为y+1=
1 2
(x-1),即x-2y-3=0.
3.△ABC中，a、b、c是内角A、B、C 的对边，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数 列 ， 则 下 列 两 条 直 线 l1 ： (sin2A)x+(sinA)ya=0 ， l2 ： (sin2B)x+(sinC)y-c=0 的 位 置 关 系 是 l1与l2重合 . 解：由已知2lgsinB=lgsinA+lgsinC，
由直线PC到直线PB的到角公式得
160 tan B P C k PB - k PC 1 k PB k PC x 2x x - 800 x - 640 1 2x 2x 64 160 640 x - 288
160 640 x - 288 达到最小.
64 x x - 288 x 160 640
0 0 0 0
5
5
2
即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|， 所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0. 由P在第一象限，所以3x0+2=0不可能，
13 0 x 0 -3 2 x0 - y0 , 2 联立方程 解得 1 x -2y 4 0 y0 0 0 2 1 11 x 0 2 x0 - y0 0 由 9 ,解得 6 . x -2y 4 0 y 37 0 0 0
题型2 角和距离的分析与计算 2. 已知三条直线l1:2x-y+a=0 (a＞0)，直 线l2:-4x+2y+1=0和直线l3:x+y-1=0，且l1与l2 7 间的距离是 5 .
10
(1)求a的值; (2)求l3到l1的角θ;
(3)能否找到一点P，使得P点同时满足 下列三个条件： ①P是第一象限的点；
18
(舍去).
件的点.
1 37 所以 P ( , ) 9 18
即为同时满足三个条
点评：点到直线的距离及两平行 直线间的距离公式是求距离中最常用 的公式，而夹角公式和到角公式是求 有关角常用的公式.四个公式的综合运 用体现了数形结合思想.求解时，常借 助于简单的草图进行直观理解.
某人在一山坡P处观看对面山项 上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80 m,塔所在 的山高OB=220 m,OA=200 m,图中所示的山坡 可视为直线l且点P在直线l上,l与水平地面的夹 1 角为α,tanα= .试问此人距水平地面多高时,观 2 看塔的视角∠BPC最大(不计此人的身高).
l2:Ax+By+C2=0 (C1≠C2)之间的距离d= _________.
6. 经过两条相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和 A B l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为 _________________________________________.
| C1 - C2 |
y 320 - 200 2 60.
由此实际问题知0＜∠BPC＜ ,
2
所以tan∠BPC最大时，∠BPC最大.
故当此人距水平地面60 m高时，
观看塔的视角∠BPC最大.
题型3
求点的坐标
3. 过点A(1，1)作两直 线l1,l2,使l1⊥l2,且l1交x轴 于点M,l2交y轴于点N,P为 线段MN的中点.已知直线 PA的斜率为-2，求点P的坐标. 解法1：设点P(x0，y0)，连结PO. 因为△MAN和△MON都是直角三角形， P为MN的中点， 1 1 所以| P A | | M N |, | P O | | M N |, 故|PA|=|PO|.
因为
1 - tan 1 tan
4
2
1 (- tan )(-1)
- ) tan (
5 4
- ),
所以
4 3
所以
,
-
4
- 0,
5 4
- ,所以
4
5 4
- .
4
2.已知点P是直线l上的一点，将直线l绕点P逆 时针方向旋转α(0°<α<90°)角，所得直线方程是 x-y-2=0，若将它继续旋转90°-α角，所得直线方 程是2x+y-1=0，则直线l的方程是( )D A. 2x+y-1=0 B. 2x+y-5=0
解：(1)因为m2-8+n=0且2m-m-1=0， 所以m=1，n=7. (2)由A1B2-A2B1=0,得m· m-8×2=0,故m=±4. 由8×(-1)-n· m≠0，得n≠±2. 即当m=4，n≠-2或m=-4，n≠2时，l1∥l2. (3)当且仅当m· m=0，即m=0时，l1⊥l2. 2+8· n 又 - =-1，所以n=8. 8 即当m=0,n=8时,l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的 2 ;
1
③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 解：(1)l2即 2 x - y 所以
a 5 1 2 7 5 10
2: 5.
若能，求出P点的坐标；若不能，说明理由.
1 2 0.
d a - (2
1 2
)
2
所以l1与l2间的距离
7
5
2 (-1)
,
10
所以 ,
a
1 2
7 2
.
因为a＞0，所以a=3.
(2)由(1)知，l1即2x-y+3=0，所以k1=2.
而l3的斜率k3=-1，
所以 tan
k1 - k 3 1 k1 k 3 2 - (-1) 1 2 (-1) -3.
因为0≤θ＜π，所以θ=π-arctan3. (3)设点P(x0，y0).若P点满足条件②，则P 点在与l1，l2平行的直线l′：2x-y+C=0上. 且
第七章
第
直线与圆的方程
讲
（第一课时）
●两条直线重合、平行、垂直的 考 条件 点 ●两条直线所成的角的有关概念 搜 和计算公式 索 ●点到直线的距离公式，两条平 行直线间的距离公式
1. 根据两直线的位置关系，求相关 高 参数的值. 考 2. 通过直线的斜率研究两直线所成 的角. 猜
3. 直线的方程与点到直线的距离的 想 综合应用.
2 2
所以(x0-1)2+(y0-1)2=x02+y02，即x0+y0=1.① 又kPA=-2，即
y0 -1 x0 - 1 -2 , 所以2x0+y0=3.②
联立①②，解得x0=2，y0=-1. 所以点P的坐标为(2，-1). 解法2：设直线l1的方程为y-1=k(x-1). 因为l1⊥l2，所以l2的方程为y-1=- (x-1). 从而M(1- ，0)，N(0，1+
得lg(sinB)2=lg(sinAsinC)，
所以sin2B=sinAsinC.
设l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0. 因为
sin A b1 sin A , , 2 a 2 sin B sin A sin C sin C b 2 sin C sin A sin A a1
解：(1)由 m· m－8×2＝0，得 m＝± 4. 由 8×( － 1) － n· m≠0 ， 得
m＝－4 n≠2 m＝4 n≠－2
或
，
即 m＝4，n≠－2 时，或 m＝－4，n≠2 时， l1∥l2.
(2)当且仅当 m· 2＋8· m＝0， 即 m＝0 时，l1⊥l2. n 又－8＝－1，所以 n＝8， 即 m＝0， n＝8 时， 1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截 l 距为－1.
k 2 - k1 1 k1k 2 k 2 - k1
______;tanθ= π-θ
;tanα= _________.
1 k1k 2
5. 点P(x0，y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=
______________;两条平行直线l1:Ax+By+C1=0和
A2 B2 | Ax0 By0 C |
1. 设直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，则l1∥l2 b1≠b2 的充要条件是______且_______;l1⊥l2的充要条件 k1=k2 k1·2=-1 k 是_________. 2. 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 则当 A
即C 或
13 2
或
1 16
C
1 16
.
所以 2 x 0 - y 0
13 2
0
2 x0 - y0
0.
若P点满足条件③,由点到直线的距离公式, 有 | 2 x - y 3 | 2 | x y -1 | ,
解：如图所示,建立平 面直角坐标系,则A(200,0), B(0,220),C(0,300). 直线l的方程为y=(x-200)· tanα, 则
y x - 200 2 .
设点P的坐标为P(x,y)(x＞200). 由经过两点的直线的斜率公式得
x - 200 k PC 2 x - 300 x - 200 x - 800 2x , k PB 0 2 x - 22 x - 640 2x .
C. x+2y-5=0 D. x-2y-3=0 解：因为直线l经过直线x-y-2=0和2x+y-1=0的 交点(1，-1)，且又与直线2x+y-1=0垂直， 所以直线l的方程为y+1=
1 2
(x-1),即x-2y-3=0.
3.△ABC中，a、b、c是内角A、B、C 的对边，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数 列 ， 则 下 列 两 条 直 线 l1 ： (sin2A)x+(sinA)ya=0 ， l2 ： (sin2B)x+(sinC)y-c=0 的 位 置 关 系 是 l1与l2重合 . 解：由已知2lgsinB=lgsinA+lgsinC，
由直线PC到直线PB的到角公式得
160 tan B P C k PB - k PC 1 k PB k PC x 2x x - 800 x - 640 1 2x 2x 64 160 640 x - 288
160 640 x - 288 达到最小.
64 x x - 288 x 160 640
0 0 0 0
5
5
2
即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|， 所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0. 由P在第一象限，所以3x0+2=0不可能，
13 0 x 0 -3 2 x0 - y0 , 2 联立方程 解得 1 x -2y 4 0 y0 0 0 2 1 11 x 0 2 x0 - y0 0 由 9 ,解得 6 . x -2y 4 0 y 37 0 0 0
题型2 角和距离的分析与计算 2. 已知三条直线l1:2x-y+a=0 (a＞0)，直 线l2:-4x+2y+1=0和直线l3:x+y-1=0，且l1与l2 7 间的距离是 5 .
10
(1)求a的值; (2)求l3到l1的角θ;
(3)能否找到一点P，使得P点同时满足 下列三个条件： ①P是第一象限的点；
18
(舍去).
件的点.
1 37 所以 P ( , ) 9 18
即为同时满足三个条
点评：点到直线的距离及两平行 直线间的距离公式是求距离中最常用 的公式，而夹角公式和到角公式是求 有关角常用的公式.四个公式的综合运 用体现了数形结合思想.求解时，常借 助于简单的草图进行直观理解.
某人在一山坡P处观看对面山项 上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80 m,塔所在 的山高OB=220 m,OA=200 m,图中所示的山坡 可视为直线l且点P在直线l上,l与水平地面的夹 1 角为α,tanα= .试问此人距水平地面多高时,观 2 看塔的视角∠BPC最大(不计此人的身高).
l2:Ax+By+C2=0 (C1≠C2)之间的距离d= _________.
6. 经过两条相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和 A B l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为 _________________________________________.
| C1 - C2 |
y 320 - 200 2 60.
由此实际问题知0＜∠BPC＜ ,
2
所以tan∠BPC最大时，∠BPC最大.
故当此人距水平地面60 m高时，
观看塔的视角∠BPC最大.
题型3
求点的坐标
3. 过点A(1，1)作两直 线l1,l2,使l1⊥l2,且l1交x轴 于点M,l2交y轴于点N,P为 线段MN的中点.已知直线 PA的斜率为-2，求点P的坐标. 解法1：设点P(x0，y0)，连结PO. 因为△MAN和△MON都是直角三角形， P为MN的中点， 1 1 所以| P A | | M N |, | P O | | M N |, 故|PA|=|PO|.
因为
1 - tan 1 tan
4
2
1 (- tan )(-1)
- ) tan (
5 4
- ),
所以
4 3
所以
,
-
4
- 0,
5 4
- ,所以
4
5 4
- .
4
2.已知点P是直线l上的一点，将直线l绕点P逆 时针方向旋转α(0°<α<90°)角，所得直线方程是 x-y-2=0，若将它继续旋转90°-α角，所得直线方 程是2x+y-1=0，则直线l的方程是( )D A. 2x+y-1=0 B. 2x+y-5=0
解：(1)因为m2-8+n=0且2m-m-1=0， 所以m=1，n=7. (2)由A1B2-A2B1=0,得m· m-8×2=0,故m=±4. 由8×(-1)-n· m≠0，得n≠±2. 即当m=4，n≠-2或m=-4，n≠2时，l1∥l2. (3)当且仅当m· m=0，即m=0时，l1⊥l2. 2+8· n 又 - =-1，所以n=8. 8 即当m=0,n=8时,l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的 2 ;
1
③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 解：(1)l2即 2 x - y 所以
a 5 1 2 7 5 10
2: 5.
若能，求出P点的坐标；若不能，说明理由.
1 2 0.
d a - (2
1 2
)
2
所以l1与l2间的距离
7
5
2 (-1)
,
10
所以 ,
a
1 2
7 2
.
因为a＞0，所以a=3.
(2)由(1)知，l1即2x-y+3=0，所以k1=2.
而l3的斜率k3=-1，
所以 tan
k1 - k 3 1 k1 k 3 2 - (-1) 1 2 (-1) -3.
因为0≤θ＜π，所以θ=π-arctan3. (3)设点P(x0，y0).若P点满足条件②，则P 点在与l1，l2平行的直线l′：2x-y+C=0上. 且
第七章
第
直线与圆的方程
讲
（第一课时）
●两条直线重合、平行、垂直的 考 条件 点 ●两条直线所成的角的有关概念 搜 和计算公式 索 ●点到直线的距离公式，两条平 行直线间的距离公式
1. 根据两直线的位置关系，求相关 高 参数的值. 考 2. 通过直线的斜率研究两直线所成 的角. 猜
3. 直线的方程与点到直线的距离的 想 综合应用.
2 2
所以(x0-1)2+(y0-1)2=x02+y02，即x0+y0=1.① 又kPA=-2，即
y0 -1 x0 - 1 -2 , 所以2x0+y0=3.②
联立①②，解得x0=2，y0=-1. 所以点P的坐标为(2，-1). 解法2：设直线l1的方程为y-1=k(x-1). 因为l1⊥l2，所以l2的方程为y-1=- (x-1). 从而M(1- ，0)，N(0，1+
得lg(sinB)2=lg(sinAsinC)，
所以sin2B=sinAsinC.
设l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0. 因为
sin A b1 sin A , , 2 a 2 sin B sin A sin C sin C b 2 sin C sin A sin A a1
解：(1)由 m· m－8×2＝0，得 m＝± 4. 由 8×( － 1) － n· m≠0 ， 得
m＝－4 n≠2 m＝4 n≠－2
或
，
即 m＝4，n≠－2 时，或 m＝－4，n≠2 时， l1∥l2.
(2)当且仅当 m· 2＋8· m＝0， 即 m＝0 时，l1⊥l2. n 又－8＝－1，所以 n＝8， 即 m＝0， n＝8 时， 1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截 l 距为－1.
k 2 - k1 1 k1k 2 k 2 - k1
______;tanθ= π-θ
;tanα= _________.
1 k1k 2
5. 点P(x0，y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=
______________;两条平行直线l1:Ax+By+C1=0和
A2 B2 | Ax0 By0 C |
1. 设直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，则l1∥l2 b1≠b2 的充要条件是______且_______;l1⊥l2的充要条件 k1=k2 k1·2=-1 k 是_________. 2. 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 则当 A