非稳态导热问题有限体积法
三维非稳态导热问题的高效稳定数值解法
三维非稳态导热问题的高效稳定数值解法三维非稳态导热问题是工程领域中常见的问题之一，其数值解法的高效稳定性对于工程设计和优化至关重要。
本文将介绍一种基于有限元方法的高效稳定数值解法。
有限元方法是一种常用的数值解法，其基本思想是将连续的物理问题离散化为有限个小区域，然后在每个小区域内建立一个数学模型，通过求解这些小区域内的数学模型来得到整个物理问题的解。
在三维非稳态导热问题中，有限元方法可以将物体分割为许多小的体元，然后在每个体元内建立一个数学模型，通过求解这些数学模型来得到整个物体的温度分布。
在有限元方法中，最重要的是建立数学模型。
对于三维非稳态导热问题，数学模型可以表示为：$$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} - \nabla \cdot (k \nabla T)= Q$$其中，$\rho$是物体的密度，$c_p$是物体的比热容，$k$是物体的导热系数，$T$是物体的温度分布，$t$是时间，$Q$是物体内部的热源。
这个方程可以通过有限元方法离散化为一个线性方程组，然后通过求解这个线性方程组来得到物体的温度分布。
然而，在实际应用中，有限元方法存在一些问题。
例如，当网格过于粗糙时，数值解的精度会降低；当时间步长过大时，数值解的稳定性会降低。
为了解决这些问题，研究人员提出了许多改进的有限元方法。
其中，一种比较成功的方法是基于时间分数阶导数的有限元方法。
这种方法可以通过引入时间分数阶导数来改进传统的有限元方法，从而提高数值解的精度和稳定性。
具体来说，这种方法可以将时间分数阶导数表示为：$$\frac{\partial^\alpha T}{\partial t^\alpha}$$其中，$\alpha$是时间分数阶，通常取值为0.5或1。
这个方程可以通过有限元方法离散化为一个非线性方程组，然后通过求解这个非线性方程组来得到物体的温度分布。
总之，基于有限元方法的高效稳定数值解法可以有效地解决三维非稳态导热问题。
一维圆柱非稳态导热方程求解
一维圆柱非稳态导热方程是一个经典的物理问题，通常用于描述一个圆柱体在非均匀温度场中的热量传递过程。
为了求解这个问题，我们可以使用数值方法，如有限差分法、有限元法等。
有限差分法是一种常用的数值计算方法，其基本思想是将连续的时间和空间域离散化为一系列离散的网格点，并将偏微分方程转化为差分方程，从而可以通过计算差分方程来求解偏微分方程。
在一维圆柱非稳态导热方程中，我们可以将圆柱体离散化为一系列环形的网格，并使用有限差分法来求解方程。
具体而言，我们可以将时间域离散化为$N$ 个时刻$t_n$，将空间域离散化为 $M$ 个环形网格，每个网格的宽度为 $\Delta r$，中心为 $r_0$，边界为 $r_M$。
在每个时刻$t_n$，我们可以将非稳态导热方程转化为差分方程，并使用计算机编程语言（如Python、Matlab等）来计算差分方程，从而得到每个时刻每个网格的温度分布。
在计算过程中，我们需要设置初始条件和边界条件。
初始条件通常是指初始时刻每个网格的温度分布，边界条件通常是指圆柱体的表面温度和环境温度。
此外，我们还需要设置时间步长和空间步长，以控制计算的精度和稳定性。
通过使用有限差分法等数值方法，我们可以方便地求解一维圆柱非稳态导热方程，从而得到每个时刻每个网格的温度分布。
这种方法可以用于工程实际中的许多问题，如加热、冷却、热传导等。
93非稳态导热收集资料
三、一维非稳态导热的分析解
1.大平板问题的分析解
如果Bi>0.1，则物体内的温度分布不总是均匀的， 不能采用集总参数法进行分析。对于非稳态、一 维、常物性、无内热源的问题，可以采用分析法 进行研究。
问题：无限大平板，厚度2δ ，两侧换热，对
流换热系数为h，0时刻，置于t=tf的流体中， t0=f(0)。 常物性、一维、非稳态、无内热源的导热问题。
2 tf
1 0 t0
Bi 0.1
2
tf
1 0 t0
Bi 0.1
1.若物体内的导热热阻远大于边界上的对流换热热阻，相当于第一 类边界条件；
2.若物体内的导热热阻远小于边界上的对流换热热阻，任一时刻， 物体内的温度接近均匀；
3.若物体内的导热热阻与边界上的对流换热热阻比较接近，界于上 述两种情况之间。
(3) 线算图只适用于Fo 0.2的情况;
(4) 对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非稳态导热问题，分 别在柱坐标系和球坐标系下进行分析，也可以求得温度分布的分析解，
解的形式也是快速收敛的无穷级数，并且是Bi、Fo和r/R的函数,
0
f
Bi
,
Fo ,
r R
Bi
hR
n sin(n )cos(n )
f
Bi, Fo
8/21/2019
华北电力大学(北京)动力系热工教研室
3. 诺模图
按分析解第一项绘制的线图
中心过余温度
e m
n
2
a 2
2sin(n )
f Bi, Fo
0
n sin(n ) cos(n )
传热学 第3章-非稳态导热分析解法
第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。
2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。
如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。
§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
传热学第3章非稳态导热PPT课件
x x h Bi
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
O( / Bi, 0)
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
§3.2 集中参数法分析导热问题
当物体内部导热热阻远小于其表面的换热热阻， 也就是物体内部温度分布几乎趋于一致，可以近似 认为物体内部在同一瞬间均处于同一温度下。 此时 Bi h 0
对于任意形状的物体当Bi<0.1， 0.95 物体内部的过余温度与其表面的过m 余温度之比为 0.95。其内部热阻就可忽略，从而采用集中参数 法。
物体的温度随时间的变化关系是一条负 自然指数曲线，或者无因次温度的对数
0
与时间的关系是一条负斜率直线。
e
A cV
e
(V
A
)•(VaA
)2
e Bi •Fo
0
其中V/A具有长度的量纲，称为特征长度。
（2）导热量的计算
cV hA 称为系统的时间常数，记为s。
时间常数是反应物体对流体温度变动响应快慢的指标。它 取决于自身的热容量ρcv及表面换热条件hA。热容量越大， 温度变化得越慢；表面换热条件越好单位时间内传递的热 量越多，则越能使物体自身温度迅速接近流体温度。
突然把两侧介质温度降低 为 t并保持不变；壁表 面与介质之间的表面传热 系数为h。
两侧冷却情况相同、温度 分布对称。中心为原点。
3.3 无限大平壁非稳态导热
导热微分方程：
t 2t
a x2
初始条件： 0, t t 0
边界条件： (第三类)
x 0, t x 0
x
,
- t
x
h(t
t )
对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非
稳态导热问题，也可以求得温度分布的分析解。
传热学第3章-非稳态导热分析解法
传热学第3章-⾮稳态导热分析解法第三章⾮稳态导热分析解法1、重点内容：①⾮稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应⽤；③⼀维及⼆维⾮稳态导热问题。
2、掌握内容：①确定瞬时温度场的⽅法；②确定在⼀时间间隔内物体所传导热量的计算⽅法。
3、了解内容：⽆限⼤物体⾮稳态导热的基本特点。
许多⼯程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某⼀极限值所需的时间。
如：机器启动、变动⼯况时，急剧的温度变化会使部件因热应⼒⽽破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制⼯件的热处理是⼀个典型的⾮稳态导热过程，掌握⼯件中温度变化的速率是控制⼯件热处理质量的重要因素；⾦属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中⼼温度。
§3—1 ⾮稳态导热的基本概念⼀、⾮稳态导热1、定义：物体的温度随时间⽽变化的导热过程称⾮稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间⽽变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间⽽作周期性变化1）物体的温度随时间⽽趋于恒定值如图3-1所⽰，设⼀平壁，初值温度t 0，令其左侧的表⾯温度突然升⾼到1t 并保持不变，⽽右侧仍与温度为0t 的空⽓接触，试分析物体的温度场的变化过程。
⾸先，物体与⾼温表⾯靠近部分的温度很快上升，⽽其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩⼤，到某⼀时间后，右侧表⾯温度也逐渐升⾼，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到⼀定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述⾮稳态导热过程中，存在着右侧⾯参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第⼀阶段（右侧⾯不参与换热）温度分布显现出部分为⾮稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较⼤，此阶段称⾮正规状况阶段。
第3章 非稳态导热
2011-3-29
4
华中科技大学热科学与工程实验室
HUST Lab of Thermal Science & Engineering
(a) τ = τ0，HAD (b) τ = τ1，HBD (c) τ = τ2，HCD (d) τ = τ3，HD (e) τ = τ4，HE (f) τ = τ5，HG
2011-3-29
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华中科技大学热科学与工程实验室
HUST Lab of Thermal Science & Engineering
§3-1 非稳态导热过程
1 温度分布 一平壁初始温度为t 一平壁初始温度为 0，令其左侧表面的温度突 然升高到t 右侧与温度为t 的空气接触。 然升高到 1，右侧与温度为 0的空气接触。 首先， 首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升很 经过一定时间后内部区域温度依次变化， 快，经过一定时间后内部区域温度依次变化， 最终整体温度分布保持恒定， 为常数时， 最终整体温度分布保持恒定，当λ为常数时， 最终温度分布为直线。 最终温度分布为直线。
δh Bi = = 1/ h λ δ /λ
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华中科技大学热科学与工程实验室
HUST Lab of Thermal Science & Engineering
δh Bi = = 1/ h λ
δ /λ
很小，可用集总参数法： 以下几种情况 Bi 很小，可用集总参数法： A （1）导热系数相当大； ）导热系数相当大； （2）几何尺寸很小； ）几何尺寸很小； Qc ΔΕ （3）表面换热系数很小。 ）表面换热系数很小。 2 温度分布
非稳态导热的不同时刻 物体的温度分布
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传热学 第三章 非稳态导热
解：首先需要求出平壁 的热扩散率
a
0.185
0.65 106 m 2 / s
c 1500 0.839 1000
Fo
a 2
0.65 106 6 3600 0.25 2
0.22
非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
非稳态导热正规状况阶段
x,
0
1
2 sin 1 sin 1 cos 1
cos
1
x
e 12 Fo
Bi h
平壁中心x=0时
m
2 sin 1
a Fo 2
e 12Fo f Bi, Fo
0 1 sin 1 cos 1
m
0 m 0
cos
1
x
f
Bi, x
只取决于毕渥数与几何位置，与时间无关----特点3
传热学
第3章 非稳态导热 Transient/Unsteady Conduction
概述
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却
锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）
假设：厚度为2，导热系数、热扩散率为常数，无
内热源，初始温度与两侧流体相同，为t0。两侧流体温 度突然降低为tf，并保持不变，平壁表面与流体间对流 换热表面传热系数h为常数。
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（ １ ． Ｆ ａ ｃ ｕ ｌ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｒｅ ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ｓ ＆Ｓ ａ ｆ ｅ ｙ ｔ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ， Ｃｈ ｉ ｎ ａ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｙ ｔ ｏ ｆ Ｍｉ ｎ ｉ ｎ ｇ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ（ Ｂ ｅ ｉ ｊ ｉ ｎ ｇ ） ， Ｂ ｅ ｉ ｊ ｉ ｎ ｇ １ ０ ０ ０ ８ ３ ， Ｃｈ ｉ ｎ ａ ； ２ ． Ｘｉ ｓ ｈ ａ ｎ Ｃｏ ａ ｌ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ ｉ ｙ ｔ Ｇｒ ｏ ｕ ｐ Ｃ ｏ ． ， Ｌ ｔ ｄ ． Ｔ ａ ｉ ｙ ｕ ａ ｎ ０ ３ ０ ０ ５ ３ ， Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
第３ ２卷第 ５期
、 ， ０ １ ． ３ ２ Ｎｏ ． ５
文 章编 号 ： １ ０ ０ ８ ． ０ ５ ６ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ ． ０ ５ ７ ７ — ０ ５
辽 宁工程技术大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
差异 问题 ，采用理论推导和实例验证 的方法 ， 建 立基 于有限体积法 原理的热平衡积 分方程 ，利用矩形网格进行离
散化 ，建立 了平面非稳态热传 导问题有 限体积法数 学模型 ，推导 出与有 限单 元法 （ Ｆ Ｅ Ｍ）方案 相类 似的线性方 程组 ，对 比分析所 建立 的各个方程组 中参 数的差异． 研究结果表 明：方案 Ｆ Ｖ Ｍ２与 Ｆ Ｅ Ｍ 精度相同，为较优 方案． 最后结合一个 典型实例 ，用 Ｖ Ｂ 编制了数值计算软件 ，对 比分析这两种方案 ，验证 了上述结果． 该结果对工程计 算数 值模 拟有 一定的参考价值． 关键 词：有限体积法；有限单元法；控制体积 ；圈划方法 ；非稳态导热 ；矩形 网格 ；精度差异；数值计算
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｉ ｎ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｔ ｏ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｒ ｅ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｎ ｅ ｗ ｆ ｎｉ ｉ ｔ ｅ ｖ ｏ ｌ ｕ ｍｅ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ｗｉ ｔ ｈ ｈｅ ｔ ｃ ｏ ｍｍ ｏ ｎ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ， ｔ ｈ ｉ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｄ ｅ ｉ ｒ ｖ ｅ ｄ ｈ ｅ ａ ｔ ｅ ｑ ｕ ｉ ｌ ｉ ｂ ｉ ｒ ｕ ｍ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｈｅ ｔ ｐ ｒ ｉ ｎ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ ｏ ｆ Ｆ ＶＭ ， ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ａ ｍａ ｈｅ ｔ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｏ ｆ ｈｅ ｔ Ｆ ＶＭ ｏ ｎ ｐ ｌ ａ ｎ ａ ｒ
ｕ ｎ ｓ ｔ ｅ ａ ｄ ｙｈ ｅ ａ ｔ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｅ ｒ ｂ ｙｕ ｔ ｉ ｌ ｉ ｚ ｉ ｎ ｇ ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｍｅ ｓ ｈｄ ｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ． ａ ｎ ｄｐ ｕ ｔ ｆ ｏ ｒ ｗａ ｒ ｄｌ ｎｅ ｉ ａ ｒ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｗｈ ｉ ｃ ｈａ ｒ ｅ ｓ ｉ ｍｉ ｌ ｒｔ ａ ｏ ｈ ｅｅ ｔ ｑ ａｔ ｕ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ Ｆ Ｅ Ｍ ｂ ｔ ｗｉ ｕ ｈｄ ｔ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ． Ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｒ ｉ ｎ ｇａ ｎ ｄａ ｎａ ｌ ｙ ｚ ｎｇｏ ｉ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｔ ｗｏ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗｓ ｈａ ｔ ｔ Ｆ ＶＭ２ ｉ ｓ ａ ｂ ｅ ￣ ｅ ｒ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ｗｈ ｉｃ ｈ ｈ ａ ｓ ｔ ｈ ｅ ｓ ａ ｍｅ ｐ ｒ ｅ ｃ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｓ ｏ ｆ Ｆ Ｅ Ｍ． Ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｃ ｌ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｖ ｅ ｌ ｉ ｌ ｆ ｅ ｄ ｂ ｙ ａ ｔ ｙ ｐ ｉ ｃ ａ ｌ ｃ ａ ｓ ｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｕ ｓ ｎｇ ｉ ａ ＶＢ ｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍ， ｎｄ ａ ｂ ｉ ｒ ｎ ｇ ｓ ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｔ ｏ ｅ ｎ ｇ ｎｅ ｉ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｎｄ ａ ｎ ｕ ｍｅ ｉ ｒ ｃ ａ ｌ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ ｖ ｏ ｌ ｕ ｍｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ；ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ；ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｖ ｏ ｌ ｕ ｍｅ ；ｓ ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ；ｕ ｎ ｓ ｔ ｅ ａ ｄ ｙ ｈ ｅ ａ ｔ
中图分类号：Ｔ Ｋ １ ２ ３ 文 献 标 志 码 ：Ａ
Ｕｎ ｓ ｔ ｅ ａ ｄ ｙ ｈ ｅ ａ ｔ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｅ ． ｒ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ｗｉ ｔ ｈ ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ ｖ ｏ ｌ ｕ ｍｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ
ＱＩ Ｎ Ｙ ｕ ｅ ｐ ｉ ｎ ｇ ， ＭＥ ＮＧ Ｊ ｕ ｎ ， Ｊ Ｉ Ａ Ｊ ｉ ｎ ｇ ｙ ａ ｎ ， Ｙ Ａ ＮＧ Ｘｉ ａ ｏ ｂ ｉ ｎ ， Ｌ Ｉ Ｕ Ｗｅ ｉ
２ ０ １ ３年 ５月
Ｍａ ｙ ２ ０ １ ３
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ０ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ８ － ０ ５ ６ ２ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ５ ． ０ ０ １
非 稳 态 导热 问题 有 限体 积 法
秦跃平 ，孟
摘
君 ， 一 ，贾敬艳 ，杨小彬 ，刘
伟
（ １ ． 中国矿 业大学 （ 北京 ） 资源与 安全 工程 学院，北京 １ ０ ０ ０ ８ ３ ：２ ． 西 山煤 电 （ 集团 ）有限责任公司，山西 太原 ０ ３ ０ ０ ５ ３ ） 要 ：为了研究非稳态导热 问题 中的常用有 限体积方案 （ Ｆ ＶＭ１ ）和新提出的有限体积方案 （ Ｆ Ｖ Ｍ２ ）的精度