第三章高数课件何满喜第五节

f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极大值(或极小值).
函数的极大值与极小值就统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点． 定理1（极值的必要条件）设函数 f ( x) 在点 x0 处可导，且在点 x0 处取得极值，则 f ( x0 ) 0.
定理2 设函数 f ( x) 在点 x0 处连续，且在点
2 2
2
s( x) 在 x1 1 处取得极小值 2.
例4 用铁皮加工容积为 V 的圆柱形有盖容器, 当圆柱的高与底面半径为何值时，所用的材料
最省？
解 设圆柱形的底半径为 r ，高为 h ，则有 V 2 V r h , h 2 r 圆柱形有盖容器的表面积为 V 2V 2 2 s(r ) 2 r 2 r 2 2 r r r 2V 得 s(r ) 4 r 2 ，所以当 r = 3 V , h 2 r r 2
第三章 微分中值定理 与导数的应用由何满喜制作3.5 函 Nhomakorabea的极值与应用
3.5.1 函数的极值 3.5.2 最大值最小值的应用 3.5.3 小结
3.5.1 函数的极值
定义1 设函数 f ( x) 在点 x0 的某个邻域 内有定义，如果对于去心邻域

U ( x0 )
U ( x0 ) 内的任一
x ,有 f ( x) f ( x0 )（或 f ( x0 ) f ( x) )，那么就称
且
f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0 ，那么
⑴ 如果 f ( x0 ) 0，则 f ( x) 在点 x0 处取得极大值； ⑵ 如果 f ( x0 ) 0 ，则 f ( x) 在点 x0 处取得极小值；
3 2 f ( x ) x 6 x 9x 的极值． 例1 求函数
x0 的去心邻域 U ( x0 , ) 内可导，若

⑴ 若 x ( x0 , x0 ) 时，f ( x) 0 ，而 x ( x0 , x0 )
f ( x) 0，则 f ( x) 在点 x0 处取得极大值； 时， f ( x) 0 ，而 x ( x0 , x0 ) ⑵ 若 x ( x0 , x0 ) 时，
便是函数的最小值. 1 例3 在曲线 y ( x 0) 上取一点使之到原点 x 的距离最近．
1 解 曲线 y 上任取一点 ( x, y ) ，则距离为 x
1 s x y x 2 x 1 2 2 即 s ( x) x 2 x 2 经计算, s ( x ) 在 x1 1 处取得极小值2，即
在 (,1) 内有 f ( x) 0 ，在 (1,) 内有 f ( x) 0 故函数在 x 1 处取得极大值 f (1) 2.
3.5.2 最大值最小值的应用
在闭区间 [a, b] 上连续，开区间 (a, b) 内除有限 个点外处处可导的函数 f ( x) 的最大值和最小值
f ( x) 的驻点）；
f ( x ) 的零点（即
⑵ 考察 f ( x) 在每个驻点或不可导点的左、 右邻近的符号情况，以此确定驻点或不可导 点是否为极值点．如果是，进一步判别极值点 是极大值点还是极小值点； ⑶ 计算所有极值点上的函数值，得到 f ( x) 的全部极值．
定理3 设函数 f ( x) 在点 x0 处具有二阶导数，
时圆柱体的体积为定值 V ，且用料最省．
3.5.3 小结
极值的必要条件(定理1) 判别函数极值的定理2,定理3 最大值最小值的应用 作业 习题3-5:1(1),(3),2(1),(3), 3(1),(2),4,5,7
时， f ( x) 0 ，则 f ( x) 在点 x0 处取得极小值;
⑶ 若在点 x0 的去心邻域
U ( x0 , )

内 f ( x )
不变号，那么 x0 不是极值点．
f ( x)
除个别点外处处可导的连续函数的极值，在 函数定义域内可以按以下方法来得到： ⑴ 求出 f ( x) 的不可导的点和
解 函数的驻点为 x1 1, x2 3, f (1) 4 是极大值, f (3) 0 是极小值．
例2 求函数 f ( x) 2 ( x 1) 的极值．
解 函数的定义域为 (,) 且
1 2 f ( x ) ( x 1) 3 ( x 1) 3
2 3
可用以下方法来得到：
⑴ 求出 f ( x) 的不可导的点 x, x ,, x 及 1 2 k
f ( x) 的驻点
x1 , x2 ,, xm
⑵ 计算 f ( xi ) (i 1,2,, m), f ( xi) (i 1, 2,, k ) 及 f (a ), f (b), 并比较诸值的大小，其中 最大的便是函数 f ( x) 的最大值，最小值