高等代数第三章

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高等代数答案-第三章

第三章线性方程组1．用消元法解下列线性方程组：123412345123451234512345354132211)234321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=ìï++-+=-ïï-+--=íï-++-=ïï++-+=-î 124512345123451234523213322)23452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=ìï--+-=ïí-+-+=ïï-+-+=î 1234234124234234433)31733x x x x x x x x x x x x x -+-=ìï-+=-ïí+++=ïï-++=-î 123412341234123434570233204)411131607230x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=ìï-+-=ïí+-+=ïï-++=-î 123412341234123421322325)521234x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=ìï-+-=ïí+-+=-ïï-+-=î 12341234123412341232313216)23122215522x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=ìï++-=ïï+++=íï++-=ïï++=î解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有135401135401132211003212121113054312141113074512121111014812--éùéùêúêú----êúêúêúêú®------êúêú-----êúêúêúêú-----ëûëû102101100101003212000212002000002000000000000000011100010000--éùéùêúêú---êúêúêúêú®®--êúêúêúêúêúêú---ëûëû因为()()45rank A rank B ==<所以方程组有无穷多解，其同解方程组为1415324122200x x x x x x x -=ìï+=-ïí-=ïï-+=î 解得123451022x k x k x x k x k=+ìï=ïï=íï=ïï=--î 其中k 为任意常数.2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有120321120321113132033451234527074125996162250276111616--éùéùêúêú------êúêú®êúêú----êúêú---ëûëû 120321120321033451033451252982529800110011333333003325297000001--éùéùêúêú------êúêú®®êúêú--êúêúêúêú--êúêúëûëû因为()4()3rank A rank A =>=所以原方程无解.3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有1234412344011130111313011053530731307313----éùéùêúêú----êúêú®êúêú--êúêú----ëûëû1012210008011130100300201200201200482400080---éùéùêúêú--êúêú®®êúêúêúêú--ëûëû因为(()4rank A rank A ==所以方程组有惟一解，且其解为12348360x x x x =-ìï=ïí=ïï=î 4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有34571789233223324111316411131672137213--éùéùêúêú----êúêú®êúêú--êúêú--ëûëû 17891789017192001719200171920000003438400000--éùéùêúêú----êúêú®®êúêú-êúêú--ëûëû即原方程组德同解方程组为123423478901719200x x x x x x x +-+=ìí-+-=î由此可解得1122123142313171719201717x k k x k k x k x k ì=-ïïï=-íï=ïï=î 其中12,k k 是任意常数g5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有2111121111322327001451121300122113440025--éùéùêúêú---êúêú®êúêú---êúêú---ëûëû 21111211117001470014100002100002100300001--éùéùêúêú--êúêú®®êúêúêúêú---ëûëû 因为()4()3rank A rank A =¹=所以原方程组无解.6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有12311354023211125202231112311122211453025520255202éùéùêúêú-êúêúêúêú®êúêú-êúêúêúêúëûëû2020000000552020570211611010015555101001010000000-éùéùêúêúêúêúêúêú®®-----êúêúêúêú--êúêúêúêúëûëû即原方程组的同解方程组为23341357261550x x x x x x +=ìïï-+=-íï-+=ïî 解之得123427551655x k x k x k x k =ìïï=-ïí=ïï=-+ïî其中k 是任意常数.2.把向量b 表成1234,,,a a a a 的线性组合.12341)(1,2,1,1)(1,1,1,1),(1,1,1,1)(1,1,1,1),(1,1,1,1)b a a a a ===--=--=--12342)(0,0,0,1)(1,1,0,1),(2,1,3,1)(1,1,0,0),(0,1,1,1)b a a a a =====--解 1）设有线性关系11223344k k k k b a a a a =+++代入所给向量，可得线性方程组12341234123412341211k k k k k k k k k k k k k k k k +++=ìï+--=ïí-+-=ïï--+=î 解之，得15,4k = 21,4k = 31,4k =- 414k =-因此123451114444b a a a a =+--2）同理可得13b a a =-3.证明：如果向量组12,,,r a a a L 线性无关，而12,,,,r a a a b L 线性相关，则向量可由12,,,r a a a L 线性表出.证由题设，可以找到不全为零的数121,,,r k k k +L 使112210r r r k k k k a a a b +++++=L显然10r k +¹.事实上，若10r k +=，而12,,,r k k k L 不全为零，使11220r r k k k a a a +++=L成立，这与12,,,r a a a L 线性无关的假设矛盾，即证10r k +¹.故11rii i r k k b a =+=-å即向量b 可由12,,,r a a a L 线性表出.4.12(,,,)(1,2,,)i i i in i n a a a a ==L L ，证明：如果0ij a ¹，那么12,,,n a a a L 线性无关.证设有线性关系11220n n k k k a a a +++=L代入分量，可得方程组111212112122221122000n n n nn n nn n k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++=ìï+++=ïíïï+++=îL L L L L L L L L L L L L L 由于0ij a ¹，故齐次线性方程组只有零解，从而12,,,n a a a L 线性无关.5.设12,,,r t t t L 是互不相同的数，r n £.证明：1(1,,,)(1,2,,)n i i i t t i r a -==L L是线性无关的.证设有线性关系11220r r k k k a a a +++=L则1211221111122000r r rn n n r rk k k t k t k t k t k t k t k ---+++=ìï+++=ïíïï+++=îL L L L L L L L L L L L L 1）当r n =时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即122221211112111()0nn j i i jn n n nt t t t t t t t t t t <---=-¹ÕL LL M M O M L所以方程组有惟一的零解，这就是说12,,,r a a a L 线性无关.2）当r n <时，令21111121222221(1,,,,)(1,,,,)(1,,,,)r r r r r r rt t t t t t t t t b b b ---ì=ï=ïíïï=îL L L L L L L L L L L 则由上面1)的证明可知12,,,r b b b L 是线性无关的.而12,,,r a a a L 是12,,,r b b b L 延长的向量，所以12,,,r a a a L 也线性无关.6.设123,,a a a 线性无关，证明122331,,a a a a a a +++也线性无关. 证设由线性关系112223331()()()0k k k a a a a a a +++++=则131122233()()()0k k k k k k a a a +++++=再由题设知123,,a a a 线性无关，所以13122300k k k k k k +=ìï+=íï+=î 解得1230k k k ===所以122331,,a a a a a a +++线性无关.7.已知12,,,s a a a L 的秩为r ，证明：12,,,s a a a L 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证设12,,,i i ir a a a L 是12,,,s a a a L 中任意r 个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量(1,2,,)j j s a =L 都可由12,,,i i ir a a a L 线性表出就可以了.事实上，向量组12,,,,i i ir j a a a a L 是线性相关的，否则原向量组的秩大于r ，矛盾.这说明j a 可由12,,,i i ir a a a L 线性表出，再由j a 的任意性，即证.8.设12,,,s a a a L 的秩为r ，12,,,r i i i a a a L 是12,,,s a a a L 中的r 个向量，使得12,,,s a a a L 中每个向量都可被它们线性表出，证明：12,,,r i i i a a a L 是12,,,s a a a L 的一个极大线性无关组.证由题设知12,,,r i i i a a a L 与12,,,s a a a L 等价，所以12,,,r i i i a a a L 的秩与12,,,s a a a L 的秩相等，且等于r .又因为12,,,r i i i a a a L 线性无关，故而12,,,r i i i a a a L 是12,,,s a a a L 的一个极大线性无关组.9.证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组.证将所给向量组用（Ⅰ）表示，它的一个线性无关向量组用（Ⅱ）表示.若向量组（Ⅰ）中每一个向量都可由向量组（Ⅱ）线性表出，那么向量组（Ⅱ）就是向量组（Ⅰ）的极大线性无关组.否则，向量组（Ⅰ）至少有一个向量a 不能由向量组（Ⅱ）线性表出，此时将a 添加到向量组（Ⅱ）中去，得到向量组（Ⅲ），且向量组（Ⅲ）是线性无关的.进而，再检查向量组（Ⅰ）中向量是否皆可由向量组（Ⅲ）线性表出.若还不能，再把不能由向量组（Ⅲ）线性表出的向量添加到向量组（Ⅲ）中去，得到向量组（Ⅳ）.继续这样下去，因为向量组（Ⅰ）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（Ⅰ）的一个极大线性无关组.10.设向量组为1(1,1,2,4)a =-，2(0,3,1,2)a =，3(3,0,7,14)a =4(1,1,2,0)a =-，5(2,1,5,6)a =1）证明：12,a a 线性无关.2）把12,a a 扩充成一极大线性无关组.证 1）由于12,a a 的对应分量不成比例，因而12,a a 线性无关. 2）因为3123a a a =+，且由1122440k k k a a a ++=可解得1240k k k ===所以124,,a a a 线性无关.再令112244550k k k k a a a a +++=代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即1245,,,a a a a 线性相关，所以5a 可由124,,a a a 线性表出.这意味着124,,a a a 就是原向量组的一个极大线性无关组.注此题也可将1245,,,a a a a 排成54´的矩阵，再通过列初等变换化为行阶梯形或行最简形，然后得到相应结论.11.用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：12341)(6,4,1,2),(1,0,2,3,4)(1,4,9,16,22),(7,1,0,1,3)a a a a =-=-=--=-，123452)(1,1,2,4),(0,3,1,2)(3,0,7,14),(1,1,2,0)(2,1,5,6)a a a a a =-===-=解 1）设12346411210234149162271013A a a a a -éùéùêúêú-êúêú==êúêú--êúêú-êúëûëû 对矩阵A 作行初等变换，可得0411192600102341023404111926004569980114223101142231A --éùéùêúêú-êúêú®®êúêú---êúêú----ëûëû 所以1234,,,a a a a 的秩为3，且234,,a a a 即为所求极大线性无关组.3）同理可得124,,a a a 为所求极大线性无关组，且向量组的秩为3. 12.证明：如果向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出，那么（Ⅰ）的秩不超过（Ⅱ）的秩.证由题设，向量组（Ⅰ）的极大线性无关组也可由向量组（Ⅱ）的极大线性无关组线性表出，即证向量组（Ⅰ）的秩不超过向量组（Ⅱ）的秩.13.设12,,,n a a a L 是一组维向量，已知单位向量12,,,n e e e L 可被它们线性表出，证明：12,,,n a a a L 线性无关.证设12,,,n a a a L 的秩为r n £，而12,,,n e e e L 的秩为n . 由题设及上题结果知n r £从而r n =.故12,,,n a a a L 线性无关.14.设12,,,n a a a L 是一组n 维向量，证明：12,,,n a a a L 线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可被它们线性表出.证必要性.设12,,,n a a a L 线性无关，但是1n +个n 维向量12,,,,n a a a b L 必线性相关，于是对任意n 维向量b ，它必可由12,,,n a a a L 线性表出.充分性.任意n 维向量可由12,,,n a a a L 线性表出，特别单位向量12,,,n e e e L 可由12,,,n a a a L 线性表出，于是由上题结果，即证12,,,n a a a L 线性无关.15.证明：方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=ìï+++=ïíïï+++=îL L L L L L L L L L L L L 对任何12,,,n b b b L 都有解的充分必要条件是系数行列式0ij a ¹.证充分性.由克拉默来姆法则即证.下证必要性.记1212(,,,)(1,2,,)(,,,)i i i ni n i n b b b a a a a b ===L L L则原方程组可表示为1122n n x x x b a a a =+++L由题设知，任意向量b 都可由线性12,,,n a a a L 表出，因此由上题结果可知12,,,n a a a L 线性无关.进而，下述线性关系12220n n k k k a a a +++=L仅有惟一零解，故必须有0ij A a =¹，即证.16.已知12,,,r a a a L 与121,,,,,,r r s a a a a a +L L 有相同的秩，证明：与121,,,,,,r r s a a a a a +L L 等价.证由于12,,,r a a a L 与121,,,,,,r r s a a a a a +L L 有相同的秩，因此它们的极大线性无关组所含向量个数必定相等.这样12,,,r a a a L 的极大线性无关组也必为121,,,,,,r r s a a a a a +L L 的极大线性无关组，从而它们有相同的极大线性无关组.另一方面，因为它们分别与极大线性无关组等价，所以它们一定等价. 17.设123213,,,r r b a a a b a a a =+++=+++L L L 121r r b a a a -=+++L证明：12,,,r b b b L 与12,,,r a a a L 具有相同的秩.证只要证明两向量组等价即可.由题设，知12,,,r b b b L 可由12,,,r a a a L 线性表出.现在把这些等式统统加起来，可得12121()1r r r b b b a a a +++=+++-L L 于是121111(1)1111i i r r r r r a b b b b =+++-++----L L (1,2,,)i r =L即证12,,,r a a a L 也可由12,,,r b b b L 线性表出，从而向量组12,,,r b b b L 与12,,,r a a a L 等价.18.计算下列矩阵的秩：1）01112022200111111011-éùêú--êúêú--êú-ëû 2）11210224203061103001-éùêú--êúêú-êúëû3）141268261042191776341353015205éùêúêúêúêúëû 4）10014010250013612314324563277éùêúêúêúêúêúêúëû5）1010011000011000011001011éùêúêúêúêúêúêúëû解 1）秩为4.2）秩为3. 3）秩为2. 4）秩为3. 5）秩为5.19.讨论,,a b l 取什么值时，下列方程有解，并求解.1）12212321231x x x x x x x x x l l l l lì++=ï++=íï++=î 2）122123123(3)(1)23(1)(3)3x x x x x x x x x l l l l l l l l +++=ìï+-+=íï++++=î3）1221231234324ax x x x bx x x bx x ++=ìï++=íï++=î解 1）因为方程组的系数行列式21111(1)(2)11D l l l l l==-+所以当1l =时，原方程组与方程1221x x x ++=同解，故原方程组有无穷多解，且其解为11221321x k k x k x k=--ìï=íï=î 其中12,k k 为任意常数.当2l =-时，原方程组无解.当1l ¹且2l ¹-时，原方程组有惟一解.且12231212(1)2x x x l l l l l +ì=-ï+ïï=í+ïï+=ï=î2）因为方程组的系数行列式231211(1)333D l l l l l l l l +=-=-++所以当0l =时，原方程组的系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为2与3，所以无解.当1l =时，A 的秩为2，A 的秩为3，故原方程组也无解. 当0l ¹，且1l ¹时，方程组有唯一解321232232323159(1)129(1)43129(1)x x x l l l l l l l l l l l l l l ì+-+=ï-ïï-+ï=í-ïï--+=ï-ïî3) 因为方程组的系数行列式1111(1)121a Db b a b ==--所以当0D ¹时，即1a ¹且0b ¹时，方程组有惟一解，且为12321(1)1124(1)b x b a x b ab b x b a -ì=ï-ïï=íï+-ï=ï-î当0D =时1o若0b =，这时系数矩阵A 的秩为2，而它的增广矩阵A 的秩为3，故原方程组无解。

高等代数第三章思维导图

用一非零的数乘某一个方程把一个方程的倍数加到另一个方程互换两个方程的位置用初等变换将线性方程组化成阶梯形方程组把最后的一些恒等式如果剩下的是一些在齐次线性方程组中，如果s<n，那么必有非零解所谓数域P上一个n维向量就是由数域P个数组成的有序数组（），称为向量（对应分量相等，则向量相等向量可相加减加法交换律，结合律k(a+b)=ka+kb(k+l)a=ka+lak(la1a=a向量a称为向量组的一个线性组合，如果有数域（维向量都是向量组的一个线性组合，因为，向量称为自反性对称性传递性如果向量组（称为线性相关任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的三个向量线性相关的几何意义就是他们共面向量组（s³1）称为线性相关，如果有数域使部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关两个成比例的向量是线性相关向量组n维单位向量组成的向量组是线性无关的向量组线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解设与是两个向量组，推论：如果向量组可以经线可以经线性表出性表出，且向量组线性无关，那么必线性相关任意两个线性无关的等价的向量组，必含有相同的个数的向量A矩阵的初等列变换和初等行变换皆不改变该矩阵的秩，列秩和行秩矩阵设，则关的充分必要条件是|A|=0，线性无关的充分必要条件是线性方程组（件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩两个解的和还是方程组的解一个解的倍数还是方程组的解）奇次线性方程组的任一个解都能表成的线性组合）线性无关如果是线性方程组（以表成线解线解。

高等代数第三章1

第三章线性方程组的进一步理论§3.1 n 维向量空间Kn取定数域K ，令}{12(,,,)|,1,2,,n n i K a a a a K i =∈=""n )用α、β、γ、…表示中的元素，并且规定nK1212(,,,)(,,,n n a a a b b b =""当且仅当。

1122,,,n n a b a b a b ==="在中定义两种运算：加法与数量乘法n K加法对任意，规定1212(,,,),(,,,)n n n a a a b b b K ∈""12121122(,,,)(,,,)(,,,n n a a a b b b a b a b a b +=++""")n n +数量乘法对任意 12(,,,),nn a a a K k K ∈∈"，规定1212(,,,)(,,,n n k a a a ka ka ka )=""可证这两种运算满足以下性质：（1）α +β = β +α（2）（α + β）+ γ = α +（β + γ）（3）把元素 (0,0,…,0) 记为θ 或0 ，则 α + θ = α，称θ 为零元素（4）对 α = ()，令n a a a ,,,21"-α = (12,,,n a a a −−−")则 α +（-α）= θ ，称 -α 为α 的负元素（5）1α = α（6）（k l ）α = k （l α）（7）（k + l ）α = k α + l α（8）k （α + β）= k α + k β这里。

,,,,nK k l αβγ∈∈K定义由数域K 上的全部n 元有序数组构成的集合，连同其上定义的加法与数量乘法两种运算及8条运算性质称为数域K 上的n 维向量空间，称中的nK n K)元素 12(,,,n a a a α="为n 元（n 维）向量，其中i a 称为该向量的第i 个分量，称θ为零向量，称α−为α的负向量。

高等代数第3章线性方程组

第 3 章
3.1 消元法
线性方程组
3.1.1 高斯消元法及矩阵表示 3.1.2 矩阵表示 3.1.3 一般情形
3.1.1 高斯消元法
分析：用消元法解下列方程组的过程．分析：用消元法解下列方程组的过程．引例求解线性方程组
2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, x + x − 2 x + x = 4, 1 2 3 4 4 x1 − 6 x2 + 2 x3 − 2 x4 = 4, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9,
1 2
3
4 1 2
3
3
4
↔4 −23
4
用“回代”的方法求出解：回代”的方法求出解：
x1 = x3 + 4 x2 = x3 + 3 其中为任意取值 . 其中x3 于是解得 x = −3 4
或令x3 = c , 方程组的解可记作
x1 = c + 4 x = c + 3 2 x3 = c x 4 = −3
阶矩 : 行梯阵
（1）元素全为0的行全在下方；元素全为0的行全在下方；行的第一个非0元素的（2）对于非零行，第i+1行的第一个非元素的对于非零行，行的第一个非列标大于第i行的第一个非行的第一个非0元素的列标列标大于第行的第一个非元素的列标
1 0 0 0 1 −2 1 4 1 −1 1 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0
3.1.3 一般情形
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 LLLLLLLLLLLL a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm

高代第三章整理

第三章知识要点一．摘要：简要介绍了第三章重要的知识要点，以数域上的线性空间为基础，引申到线性相关、线性无关、秩、基、同构等知识点，最后应用到解多元一次方程组的通解。

二．关键词：（数域、线性空间、线性相关、线性无关、线性组合、秩、基、同构）三．正文：数域是一个有四则运算且其运算封闭的数集。

假设K是一个数域，V是一个集合，在集合V上定义一个加法与数乘，且上述加法与数乘满足下列八个运算法则：1）加法结合律：α+β=β+α2）加法分配律：(α+β)+γ=α+(β+γ) 3 ）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素α都有α+0=α4）（负元素）对于V中每一个元素α，都有V中的元素β，使得α+β=0 5）α*1=α6）k(α+β)=kα+kβ7）(k+l)α=kα+lα8）klα=lkα，则称集合V是数域K的线性空间。

以此为基础，可以寻找出集合中元素的线性关系，即线性相关性与线性无关性。

设V是数域K上的线性空间，α1α2…αn是V中n个元素，若存在k1,k2…kn是K中的n个数，且其不同时为零，则称V中的α1α2…αn线性相关；反之则V中的α1α2…αn线性无关或线性独立。

对于α1α2…αn β是V中元素，k1,k2…kn是K中的n个数，β=k1α1+k2α2+…knαn称β是α1α2…αn的线性表示。

而对于某线性空间V中有一族向量S，在S族存在一组向量{α1α2…αr}适合条件1) α1α2…αr线性无关2）这族向量中的任意一个向量都可以用α1α2…αr线性表示，则称{α1α2…αr}为极大线性无关组。

极大线性无关组所含的向量个数称为该向量族的秩,记作r(S)或rank(S)，矩阵的秩在进行初等变化时不变，故可利用把矩阵转化为标准型来求矩阵的秩。

对于n个未知数，m个方程式组成的线性方程组，可根据其系数组成的矩阵和其增广矩阵的秩来判断该方程组根的个数，并利用解其奇次方程组的基础解和其非奇次方程组的特解来获得该方程组的通解。

高等代数第三章线性方程组知识点复习与相关练习

第三章线性方程组3.1主要方法3.1.1线性相关性的判别线性关系：α1,α2,···,αs线性无关⇐⇒α1,α2,···,αs不线性相关⇐⇒不存在不全为零的数k1,k2,···,k s使成立k1α1+k2α2+···+k sαs=0⇐⇒若k1,k2,···,k s不全为零，则k1α1+k2α2+···+k sαs=0⇐⇒若k1α1+k2α2+···+k sαs=0,则k1=k2=···=k s=0.因此，判断向量组α1,α2,···,αs是否线性相关的方法：令k1α1+k2α2+···+k sαs=0,若k1,k2,···,k s有非零解，则α1,α2,···,αs线性相关；若k1,k2,···,k s只有零解，则α1,α2,···,αs无关。

3.1.2求矩阵与向量组的秩的方法求矩阵秩的方法：A初等行变换−−−−−−→B(阶梯形矩阵)则r(A)=r(B)=B的非零行的行数.求向量组的秩的方法：以α1,α2,···,αs为列做成矩阵A,A=(αT1,αT2,···,αTs)初等行变换−−−−−−→B(阶梯形矩阵)则•r(α1,α2,···,αs)=r(A)=r(B)=B的非零行的行数.•若B的非零行的第一个非零元分别位于i1,i2,···,i r,则αi1,αi2,···,αir就是α1,α2,···,αs的一个极大线性无关组。

高等代数第3章线性方程组 3.2 线性方程组解的结构

其中 k1 , k2 , k3 为任意常数. 1 1 3 1 另一种解法 B= 0 2 8 3
7 2 1 - 3 - 2 1 2 6 23 4 3 - 1 12 1 1 1
1 1 0 - 2 ~ 0 0 0 0 1 0 ~ 0 0
( 2) 设x = 是方程 Ax = b的解, x = 是方程 Ax = 0的解, 则x = + 仍是方程 Ax = b 的解.
证明 A( + ) = A + A = 0 + b = b,
所以x = + 是方程 Ax = b的解.
证毕．
２．非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组Ax=b的通解为
例5 求下述方程组的解 x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 , 3 x + x + 2 x + x - 3 x = -2, 1 2 3 4 5 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 23, 8 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 - x 5 = 12.
思考题解答
解
2 3 1 1 1 6 1 3 1 3 B= 3 - 1 - p 15 3 1 - 5 - 10 12 t
2 3 1 1 1 4 -2 2 0 2 ~ 0 -4 - p-6 6 0 0 - 6 12 9 t 1
x2 1 0 x1 1 1 = 及 , 则 = 及 , x4 0 1 x3 0 2

高等代数课件第三章-线性方程组

as1 x1 as2 x2 L asn xn bs
（1'）
设 (c1,c2 ,L ,cn )是方程组（1）的任一解，则
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
a11c1 a12c2 L a1ncn b1
aaL2s11ccL11 LaaL2s22ccL22
L a2ncn LLLLL L asncn
L
b2 bs
(1)
先检查(1)中 x1 的系数，若a11,a21,L ,as1 全为零，则 x1没有任何限制，即x1 可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 ,L , xn的方程组来解．
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加到第i个方程 (i 2,L , ．s)
L
b2 bs
(1)
简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个方程得到新方程组（1'）．
(a11 ka21 ) x1 (a12 ka22 ) x2 L (a1n ka2n )xn b1 kb2
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 LLLLLLLLLLL
2．方程组的解
设 k1, k2 ,L , kn 是 n 个数，如果x1, x2 ,L , xn 分别用 k1, k2 ,L , kn 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 (k1, k2 ,L , kn ) 是（1）的一个解.
(1)的解的全体所成集合称为它的解集合．解集合是空集时就称方程组（1）无解．
A
a21 L
a22 L
L L
as1 as2 L

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任意一个排列经过一个对换后的奇偶性改变
证明:（1）我们首先看一个特殊的情形，就是被对换的两个数码是相邻的。设给定的排列为其中A与B都代表若干个数码.施行对换 i, j , 得
A , i,
j,
B,
, j , i, ,
A
B
比较这两个排列的反序数.经过这个对换后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数码所构成的反序数没有改变. 同时i，j与A或B中的数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排列中 i j , 那么经过对换 i, j 后, i与j就构成一个反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数增多一个。若在给定的排列中 i j , 那么经过对换后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形，排列的奇偶性都有改变。
（2）现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码，我们用 k1 , k 2 , , k s 来代表。这时给定的排列为（1） , i, k1 , k 2 , , k s , j , . 先让i向右移动，依次与 k1 , k 2 , , k s 交换。这样，经过 s次相邻的两个数码的对换后（1）变为再让j向左移动，依次与 i, k s , , , k 2 , k1 交换。经过s+1次相邻的两个数码的对换后，排列变为
( 1) s t ( 1) (12n ) ( k1k 2 k n ) ( 1) ( k1k 2 k n )
引理被证明。
二、行列式的性质命题3.3.1 行列式与它的转置行列式相等，即 D D
命题3.3.2 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。证设给定行列式
, k1 , k 2 , , k s , i , j , .
Hale Waihona Puke （2） j , k1 , k 2 , , k s , i, .
但（2）正是对（1）施行 i, j 对换而得到的排列。因此，对（1）施行对换 i, j 相当于连续施行2s+1次相邻数码的对换。由（1），每经过一次相邻两数码的对换，排列都改变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇偶性相反。
称为二阶行列式, 即
a11 a12 a11 a 22 a12 a 21 a 21 a 22
a11 a31
a12 a32
a13 a33
我们用记号 a 21 a 22 a 23 表示代数和
a11 a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21 a 32 a11 a 23 a 32 a12 a 21 a 33 a13 a 22 a 31
3.1 线性方程组和行列式
一、内容分布
二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 行列式在线性方程组中的应用
二、教学目的：
1.了解二阶、三阶行列式的定义。 2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。
三、重点难点：
利用对角线法则计算二阶、三阶行列式
一、二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)
a11 a12 a11 a 22 a12 a 21 我们用记号表示代数和 a 21 a 22
二、行列式在线性方程组中的应用
(1) 如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1)
a11 它的系数作成的二阶行列式 D a21
a11 x1 a12 x2 b1 a 21 x1 a 22 x2 b2
a12 0 ,那么方程组(1)有解 a22
b1 x1
a12
a11
s t
( 1) s t
另一方面，由定理3.2.1，排列 i1i2 in 总可以经过若干次对换变为 12 n ，因此，经过若干次交换因子的次序，乘积（3）可以变为（4）
a1k1 a2 k 2 ank n
这里 k1 k 2 k n 是n个数码的一个排列。根据行列式的定义，乘积（4），因而乘积（3）的符号是 ( k1k 2 k n ) 。然而 (12 n) 0 。由上面的讨论 ( 1) 可知
作业：P107
1，2，3.
3.3
一、内容分布
n 阶行列式
n阶行列式的定义
行列式的性质二、教学目的： 1.掌握和理解n阶行列式的定义。 2.会利用定义计算一些特殊的行列式。 3.掌握和理解行列式的性质。 4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。三、重点难点：利用定义计算行列式利用性质熟练计算及证明行列式
a11 ai1 D a j1 a n1 a12 ai 2 a1n ain
a11 a j1 D1 ai1 an1 a12 a1n a j 2 a jn (i ) . ai 2 ain ( j )
a j 2 a jn a n 2 a nn
an 2 ann
m1 个，那么就有 m1 个数码与1构成反序；然后把1划去，再看有多少个数码排在2的前面，设为 m 2 个，那么就有 m 2 个数码与2构成反序；然后把2划去，计算有多少个数码在3前面，设为 m3 个，……，如此继续下去，最后设在 n前面有 mn 个数码（显然 mn 0 ），那么这个排列的反序数等于 m1 m2 mn 。

i, j
定理3.2.3 在n个数码(n>1)的所有n！个排列， n! 其中奇偶排列各占一半.即各为个。
2
证明：设n个数码的奇排列共有p个，而偶排列共有q个，对这p个奇排列施行同一个对换 i, j ,
那么由定理3.2.2,我们得到p 个偶排列.由于对这p 个偶排列各不相等.又可以得到原来的p个奇排列, 所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有q个偶排列,所以 p q. 同样可得 q p. 因此 p q.
二、对换及其性质
定义3 看n个数码的一个排列，如果把这个排列里的任意两个数码i与j交换一下，而其余数码保持不动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（i，j）来表示。
定理3.2.1 设i1i 2 in 和j1 j 2 j n 是n个数码的任意两个排列，那么总可以通过一系列对换由 i1i2 in 得出j1 j2 jn
例求排列451362的反序数
解 m1 2, m2 4, m3 2, m4 m5 m6 0.
所以这个排列有8个反序。
一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇排列。
例1 计算排列 32514的反序数.
例2 计算排列217986354的反序数,并讨论其奇偶性.
证明: 我们已经知道，通过一系列对换可以由 i1i2 in得出12 n. 我们只需证明，通过一系列对换可由
12 n得出j1 j2 jn , 而通过一系列对换可由 j1 j2 jn 得出12 n
按照相反的次序施行这些对换，就可由 12 n得出j1 j2 jn
定理3.2.2 .
a11 a31
a12 a32
a13 a33
它的系数作成的三阶行列式 D a21 a22 a23 0,那么方程组(2)有解
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
这里
b1 D1 b2 b3 a12 a 22 a32 a13 a11 b1 b2 b3 a13 a11 a12 a 22 a32 b1 b2 b3 a 23 , D2 a 21 a33 a31 a 23 , D3 a 21 a33 a31
D叫D的转置行列式。
引理3.3.1 从n阶行列式的第i1 , i 2 , , i n 行和第j1 , j 2 , , j n 列取出元素作乘积（3） ai1 j1 ai2 j2 ain jn , 这里 i1 , i2 , , in 和j1 , j2 , , jn 都是1, 2, …, n这n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是
我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到 n阶行列式,然后利用这一工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组.
3.2 排列
一、内容分布排列、反序与对换
奇、偶排列的定义及性质
二、教学目的
了解排列、反序、对换的定义
三、重点难点
求反序数
一、排列及其相关概念
定义1 n个数码 1,2, n 的一个排列指的是由这n个数码组成的一个有序组. n个数码的不同排列共有n！个例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有3！= 6个，它们是：123，132，231，213，312，321。定义2 在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。计算反序数的方法：看有多少个数码排在1的前面，设为
b1 a12 a b , D2 11 1 a22 a21 b2
b b2 a22 a b D D 1 , x2 21 2 2 , 其中D1 1 a11 a12 a11 a12 b2 D D a21 a22 a21 a22
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 (2) 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2) a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 33 3 3 31 1 32 2
D acfh adeh b deg bcfg .
转置
a11
a12
a1n
a21 一个n阶行列式 D an1
a22 a2 n an 2 ann
如果把D的行变为列, 就得到一个新的行列式 a11 a21 an1 a12 a22 an 2 D a1n a2 n ann
称为三阶行列式, 即主对角线法
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33