22统计练习题(文科)
统计练习题（文科用）
一、填空题
1. 常用的抽样方法有 和 .
2. 实施简单随机抽样的常用方法有 ⑴ ；⑵ .
3. 简单随机抽样适用于 的情况.
4. 分层抽样适 用于 的情况.
5. 在已分组的若干数据中，每组的频数是指 ；每组的频率是指 .
6. 田径队有运动员98人，其中女队员42人，用分层抽样的方法抽取一个容量为28人的样本，则应抽取男队员 人；女队员 人.
7. 某市三个区共有高中学生2万人，这三个区的高中学生人数的比为 2 ：3 ：5 ，要用分层抽样的方法抽取一个200人的样本，则这三个区应抽取的人数分别为 人、 人和 人.
8. 某工厂有若干个车间，今欲采用分层抽样的方法，从全厂某天生产的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查. 如果一车间这天的产量是256件，则从该车间抽取的产品件数应为 件.
9. 一个容量为20的样本数据，分组后的组距和频数如下：
则样本在区间 (],50-∞ 上的频率为
10. 在容量为10的样本中，若9s =，则*s = 二、 选择题
1. 为了解5000名学生的期末考试成绩，从中抽取了200名学生的个人总分进行分析. 在这个问题中，这5000名学生的个人总分的全体是（ ）
A. 总体
B. 个体
C. 从总体中抽取的一个样本
D. 样本的容量
2. 某单位共有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某一项指标，需要从他们中抽取一个容量为36个样本，适合抽取样本的方法是（ ）
A. 简单随机抽样
B. 分层抽样
C. 先从老年人中随机排除1人，然后分层抽样
D. 其它方法 三、解答题 1. . 抽查10个品种小麦的千粒重（单位：克），结果如下：187，195，204，230，232， 238，240，248，250，256. 试求：2
*2,,s s x .
2. 甲、乙两名射手各打了10发子弹，各人成绩（每发子弹击中的环数）如下：
甲：10， 6， 7， 10 ，8 ，9 ，9， 10 ，5， 10
乙：8， 7， 9 ，10， 9， 8 ，7， 9 ，8 ，9
试问：哪一名射手的射击技术较好？
3. 为了解一个小水库养殖鱼的情况，从这个小水库多个不同地点捕捞出100条鱼，称得它们的质量如下（单位：千克）：
1.15 1.04 1.11 1.07 1.10 1.32 1.25 1.19 1.15 1.21
1.18 1.14 1.19 1.09 1.25 1.21 1.29 1.16 1.24 1.12
1.16 1.17 1.14 1.06 1.12 1.08 1.17 1.06 1.13 1.10
1.13 1.35 1.28 1.21 1.18 1.24 1.21 1.17 1.22 1.12
1.26 1.24 1.32 1.19 1.27 1.16 1.05 1.12 1.08 1.11
1.33 1.26 1.20 1.16 1.22 1.19 1.15 1.20 1.19 1.15
1.26 1.22 1.23 1.17 1.25 1.13 1.17 1.24 1.21 1.17
1.22 1.12 1.12 1.26 1.24 1.12 1.16 1.17 1.14 1.06
1.12 1.08 1.24 1.12 1.16 1.16 1.22 1.19 1.15 1.20
1.12 1.16 1.17 1.14 1.20 1.18 1.24 1.21 1.17 1.26
⑴ 根据上述样本，估计这个小水库鱼的平均质量是大约多少千克？
⑵ 在上述100条鱼每条鱼的身上分别作一记号，然后放回水库。
几天后，又从这个小水库多个不同地点捕捞出120条鱼，其中带记号的鱼只有8条，试估计这个小水库养了多少条鱼？这个小水库鱼的总产量（即鱼的总质量）是多少千克？
4. 已知如下数据：
1.36 1.49 1.43 1.41 1.37 1.40 1.32 1.42 1.47 1.39
1.41 1.36 1.40 1.34 1.42 1.42 1.45 1.35 1.42 1.39
1.44 1.42 1.39 1.42 1.42 1.30 1.34 1.42 1.37 1.36
1.37 1.34 1.37 1.37 1.44 1.45 1.32 1.48 1.40 1.45
1.39 1.46 1.39 1.53 1.36 1.48 1.40 1.39 1.38 1.40
1.36 1.45 1.50 1.43 1.38 1.43 1.41 1.48 1.39 1.45
1.37 1.37 1.39 1.45 1.31 1.41 1.44 1.44 1.42 1.47
1.35 1.36 1.39 1.40 1.38 1.35 1.42 1.43 1.42 1.42
1.42 1.40 1.41 1.37 1.46 1.36 1.37 1.27 1.37 1.38
1.42 1.34 1.43 1.42 1.41 1.41 1.44 1.48 1.55 1.37
⑴ 列出频率分布表；
⑵ 画出频率分布直方图；
⑶ 估计小于1.40的数据的频率大约是多少？ ⑷试求：2
*2,,s s x （用计算器）
【统计练习题（文科用）答案】
一、填空题
1. 简单随机抽样 和 分层抽样
2. ⑴ 抽签法 ⑵ 随机数表法
3. 简单随机抽样适用于 总体中个体数目较少 的情况
4. 分层抽样适用于 总体由差异明显的几部分组成 的情况
5. 每组的频数是指 样本数据在该组区间内出现的个数 ；每组的频率是指 该组的频数与样本容量的比值
6. 应抽取男队员 16 人；女队员 12 人.
7. 这三个区应抽取的人数分别为 40 人、 60 人 和 100 人.
8. 从该车间抽取的产品件数应为 16 件. [256128162048⨯
=] 9. 样本在区间 (],50-∞ 上的频率为 0.7
10. [∵2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++- ，*2211[()1
s x x n =--
222()()]n x x x x +-++- ，∴
**s s s s ==] 二、选择题
1. A
2. C
三、解答题 1. 1(187+195+204+230+232+238+240+248+250+256)=22810
x =
222215278[(187228)(195228)(256228)]527.81010
s =-+-++-== *222215278[(187228)(195228)(256228)]586.4
99s =-+-++-== 2. 计算得： 1(10+6+7+10+8+9+9+10+5+10)=8.410
x =
甲 1(8+7+9+10+9+8+7+9+8+9)=8.410
x =乙 2222130.4[(108.4)(68.4)(108.4)] 3.0401010
s =-+-++-== 甲 222218.40[(88.4)(98.4)(98.4)]0.8401010s =-+-++-== 乙 由上述数据可看出，虽然两位射手的平均成绩相同，但甲的方差大于乙的方差，也就是说，甲的弹着点比较分散，不如乙的技术稳定。
因此，乙的技术较好。
3. ⑴ 用计算器可求得，捕捞出100条鱼的平均质量为x ≈1.18千克，从而可以估计，小水库中鱼的平均质量约为1.18千克；
.⑵ 81201500100
n =÷=（条），水库中鱼的总质量 1.1815001770≈⨯=（千克）
4. ⑴ 频率分布表：
.这100个数据的最大值为1.55，最小值为1.27，其差为0.28，可分成6组，确定组距为0.05，起点为1.265，列表如下：
. ⑶ 从图中可算出1.365～1.40的频率＝（1.40－1.365）×
0.380.05
＝0.035×7.6＝0.266 ∴ 小于1.40的数据的频率≈0.03+0.16+0.266＝0.456
. ⑷ 用计算器可求出：
x ≈1.392 2s ≈0.003906 *2s ≈0.003945454 【SHARP 计算器中“统计”程序的操作方法】
⑴ 按“2ndF ON/C ”键进入统计程序；
⑵ 逐次输入数据，每输一个数据，点按“M+”键存入，同时显示输入数据的个数；
⑶ 全部数据输入结束之后，按“x ～M ”键显示“x ”；按“2ndF RM ”键显示“σ”即“s ”，（σ2即是方差2s ）；按“RM ”键显示“s ”，就是“*s ”，（s 2即是“*2
s ”）. 分组 频数 频率
1.265～1.315
3 0.03 1.315～1.365
16 0.16 1.365～1.415
38 0.38 1.415～1.465
33 0.33 1.465～1.515
8 0.08 1.515～1.565
2 0.02 合计
100 1.00。
2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)
2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。
文科数学专题概率与统计(学案)高考二轮复习资料含答案
文科数学专题概率与统计(学案)高考二轮复习资料含答案1．以客观题形式考查抽样方法，样本的数字特征和回归分析，独立性检验的基本思路、方法及相关计算与推断．2．本部分较少命制大题，若在大题中考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．3．以客观题形式考查古典概型与几何概型、互斥事件与对立事件的概率计算．4．与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型．(1)在频率分布直方图中：频率①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝；②各小矩形面积之和等于1；③中位数组距左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值．(2)茎叶图当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，从总体中逐个抽取少在起始部分抽样时采按事先确定的规则在各用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样时采用简单总体由差异明显的随机抽样或系统抽样几部分组成即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)．3．样本的数字特征(1)众数在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)．(2)中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．(3)平均数与方差－1样本数据的平均数某＝(某1＋某2＋＋某n)．n1－2－2－22方差＝[(某1－某)＋(某2－某)＋＋(某n－某)]．n注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定．4．变量间的相关关系(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量某和y具有线性相关关系．(2)用最小二乘法求回归直线的方程^^^设线性回归方程为y＝b某＋a，则^b＝－某－某^－^－a＝y－b某ni＝1nii＝1－－某i－某yi－y＝－－某iyi－n某yi＝1nn22i－n某某2－i＝1.－－注意：回归直线一定经过样本的中心点(某，y)，据此性质可以解决有关的计算问题．5．回归分析n某i－某yi－yi＝1－－r＝n，叫做相关系数．某i－某2yi－y2i＝1i＝1－n－相关系数用来衡量变量某与y之间的线性相关程度；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越高，|r|越接近于0，相关程度越低．6．独立性检验假设有两个分类变量某和Y，它们的取值分别为{某1，某2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2某2列联表)为某1某2总计2y1aca＋c2y2bdb＋d总计a＋bc＋da＋b＋c＋da＋b＋c＋dad－bc则K＝，a＋bc＋da＋cb＋d若K>3.841，则有95%的把握说两个事件有关；若K>6.635，则有99%的把握说两个事件有关；若K<2.706，则没有充分理由认为两个事件有关.7.随机事件的概率随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.8．古典概型①计算一次试验中基本事件的总数n；②求事件A包含的基本事件的个数m；③利用公式P(A)＝计算．9．一般地，如果事件A、B互斥，那么事件A＋B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．－10．对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A和A不会同时发生，但一定有一个发生，因此有222mnP(A)＝1－P(A)．11．互斥事件与对立事件的关系－对立必互斥，互斥未必对立．12．几何概型一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝考点一几何概型例1．【2022课标1，】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是d的测度.D的测度141C．2A．【答案】Bπ8πD．4B．【变式探究】(2022·江苏卷)记函数f(某)＝6＋某－某的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数某，则某∈D的概率是________．5【答案】93－－252【解析】由6＋某－某≥0，解得－2≤某≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率为＝.5－－49【变式探究】从区间[0，1]随机抽取2n个数某1，某2，，某n，y1，y2，，yn，构成n个数对(某1，y1)，(某2，y2)，，(某n，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4n2m2nB.mC.4mn2mD.n【答案】Cmπ4m4m【解析】由题意知，＝，故π＝，即圆周率π的近似值为.n4nn考点二古典概型例2．(2022·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.B.C.D.【答案】D3102511015【2022山东】从分别标有1，2，，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A）5475（B）（C）（D）18999【答案】C【解析】标有1，2，，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡112C5C45,选C.片上的数奇偶性不同的概率是989【变式探究】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A.51011B.C.D．1212121【变式探究】(2022·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共424种，所以所求概率P＝＝.105故选C.考点三概率与其他知识的交汇例3、(2022·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数[10,15)2[15,20)16[20,25)36[25,30)25[30,35)7[35,40)44 5352515以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．【变式探究】某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：消费次数收费比例第1次1第2次0.95第3次0.90第4次0.85第5次及以上0.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：消费次数频数第1次60第2次20第3次10第4次5第5次及以上5假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．40【解析】(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为100＝0.4.(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为200－150＝50(元)．50＋40第2次消费时，公司获得的利润为200某0.95－150＝40(元)，所以，公司获得的平均利润为＝245(元)。
文科练习题
文科练习题一、选择题1. 下列关于历史事件的描述，哪一项是正确的？A. 秦始皇统一六国后，实行了郡县制B. 明朝时期，实行了科举制度C. 唐朝时期，开通了丝绸之路D. 清朝末年，开始实行闭关锁国政策2. 以下哪部作品不是鲁迅的？A. 《狂人日记》B. 《阿Q正传》C. 《骆驼祥子》D. 《呐喊》3. 以下哪个国家不是联合国安全理事会常任理事国？A. 中国B. 法国C. 德国D. 俄罗斯4. 以下哪个国家是南美洲最大的国家？A. 巴西B. 阿根廷C. 智利D. 秘鲁5. 下列关于地理知识的描述，哪一项是错误的？A. 亚洲是世界上面积最大的大洲B. 太平洋是世界上面积最大的海洋C. 珠穆朗玛峰是世界上海拔最高的山峰D. 亚马逊河是世界上流量最大的河流二、填空题6. 四大文明古国包括古埃及、古巴比伦、古印度和______。
7. “诗经”是中国最早的诗歌总集，其分为“风”、“雅”和______三部分。
8. 欧洲文艺复兴时期，被誉为“文艺复兴三杰”的是达芬奇、米开朗基罗和______。
9. 世界贸易组织（WTO）的总部设在______。
10. 根据《联合国宪章》，联合国的宗旨是维护国际和平与安全，促进国际间的______。
三、简答题11. 简述中国封建社会的基本特征。
12. 阐述法国大革命对欧洲历史的影响。
13. 描述地理信息系统（GIS）在现代城市规划中的应用。
四、论述题14. 论述孔子的“仁爱”思想及其对后世的影响。
15. 分析工业革命对世界经济和社会结构的深远影响。
五、材料分析题16. 阅读以下材料，分析中国古代科举制度的积极作用和局限性。
材料：中国古代科举制度始于隋唐，是选拔官员的一种方式。
科举制度的实行，使得社会各阶层的人都有机会通过考试成为官员，打破了世袭制度，促进了社会的流动性。
然而，科举制度也存在一些问题，如考试内容过于偏重文学，忽视了实际能力等。
六、案例分析题17. 阅读以下案例，分析全球化对发展中国家经济的机遇与挑战。
概率与统计(解答题)(文科专用)(原卷版)五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题16 概率与统计（解答题）（文科专用）1．【2022年全国甲卷】甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)， P (K 2⩾k )0.100 0.050 0.010 k 2.7063.8416.6352．【2022年全国乙卷】某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m 2）和材积量（单位：m 3），得到如下数据：并计算得∑x i 210i=1=0.038,∑y i 210i=1=1.6158,∑x i y i10i=1=0.2474． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数r =i n i=1i √∑(x i −x̅)2ni=1∑(y i−y ̅)2ni=1√1.896≈1.377．3．【2021年甲卷文科】甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++4．【2021年乙卷文科】某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为21s和22s．（1）求x，y，21s，22s；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x-≥认为有显著提高）．5．【2020年新课标1卷文科】某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务6．【2019年新课标1卷文科】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．7．【2019年新课标2卷文科】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）8.602.8．【2018年新课标1卷文科】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）。
数据的统计和分析练习题
数据的统计和分析练习题数据统计和分析是现代社会中非常重要的一项技能，它可以帮助我们更好地理解和解释各种现象和问题。
通过统计和分析数据，我们可以从中发现规律，做出准确的预测，以及支持科学研究和决策制定。
本文将为大家提供一些数据统计和分析的练习题，以帮助大家熟悉和掌握这一技能。
1. 题目：某餐厅的销售额统计某餐厅进行了一周的销售额统计，结果如下：周一：500元周二：800元周三：600元周四：700元周五：1000元周六：900元周日：1200元请回答以下问题：a) 这周餐厅的总销售额是多少？b) 这周餐厅的平均每天销售额是多少？c) 这周餐厅的销售额中位数是多少？d) 这周餐厅的销售额众数是多少？2. 题目：某公司员工的年龄统计某公司进行了员工年龄的统计调查，结果如下：25, 26, 28, 30, 32, 35, 36, 38, 40, 42请回答以下问题：a) 这些员工的平均年龄是多少？b) 这些员工的年龄中位数是多少？c) 这些员工的年龄众数是多少？3. 题目：某地区某年的降雨量统计某地区统计了某年的每个月的降雨量，结果如下：1月：30毫米2月：20毫米3月：40毫米4月：60毫米5月：80毫米6月：70毫米7月：90毫米8月：100毫米9月：80毫米10月：60毫米11月：40毫米12月：30毫米请回答以下问题：a) 这年的总降雨量是多少？b) 降雨量最大的月份是哪个月？c) 降雨量最小的月份是哪个月？4. 题目：某班级学生的考试成绩统计某班级进行了一次考试，并统计了学生的成绩，结果如下：95, 88, 92, 78, 85, 90, 68, 73, 80, 82请回答以下问题：a) 这次考试的平均成绩是多少？b) 这些学生的成绩中位数是多少？c) 这些学生中成绩最高的是多少？d) 这些学生中成绩最低的是多少？通过以上这些练习题，我们可以锻炼自己的数据统计和分析能力。
掌握这一技能将对我们在各个领域中的工作和研究都大有裨益。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期期中考试文科数学试题(解析版)
成都七中2022～2023学年度（上）高三年级半期考试数学试卷（文科）（试卷总分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，则()U A B = ð（ ）A. {}0,6 B. {}1,4 C. {}2,4 D. {}3,5【答案】C【解析】【分析】根据交集、补集的定义，即得解【详解】由题意，全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，故{0,2,4,6}U B =ð则(){2,4}U A B =∩ð故选：C2. 复数43i 2i z -=+（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数z ，然后由虚部的定义即可求解.【详解】解：因为复数()()()()2243i 2i 43i 510i 12i 2i 2i 2i 21z ----====-++-+，所以复数z 的虚部为2-，故选：A .3. 青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值()1,2,3,,12i a i =⋅⋅⋅（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3人数，结合茎叶图判断可得；【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3的人数，由茎叶图可知视力小于等于4.3的有5人，故选：B4. 抛物线()220y px p =≠上的一点()9,12P -到其焦点F 的距离PF 等于（ ）A. 17B. 15C. 13D. 11【答案】C【解析】【分析】由点的坐标求得参数p ，再由焦半径公式得结论．【详解】由题意2122(9)p =⨯-，解得8p =-，所以4(9)132P p PF x =--=--=，故选：C ．5. 奥运会跳水比赛中共有7名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，则与7个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（ ）A. 众数B. 方差C. 中位数D. 平均数【答案】B【解析】的【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．【详解】对于A：众数可能不变，如8,7,7,7,4,4,1，故A错误；对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确；对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；故选：B6. 已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同，根据题干三视图的数据，以及圆锥的侧面积和球的表面积公式，即得解【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同底面圆的半径1r =，圆锥的母线长2l ==记该几何体的表面积为S 故211(2)4422S r l r πππ=+⨯=故选：B7. 设平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a = ，2b = ，则()2a a b ⋅+= （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的运算律以及数量积的定义，计算即得解【详解】由题意，()22222112cos120211a ab a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯⨯=-= 则()21a a b ⋅+= 故选：A8. 设x ，y 满足240220330x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示, 转化2z x y =+为2y x z =-+,要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大，数形结合即得解【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示转化2z x y =+为2y x z=-+要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大由图像可知，当经过图中B 点时，直线的截距最大240220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(0,2)B 故2022z =⨯+=故2z x y =+的最大值是2故选：D9. “α为第二象限角”是“sin 1αα>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件sin 1αα->求出α的范围，从而可判断出选项.【详解】因为1sin 2sin 2sin 23πααααα⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由sin 1αα>，得2sin 13πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即1sin 32πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以522,636k k k Z ππππαπ+<-<+∈，即722,26k k k Z πππαπ+<<+∈，所以当α为第二象限角时，sin 1αα>；但当sin 1αα>时，α不一定为第二象限角，故“α为第二象限角”是“sin 1αα>”的充分不必要条件.故选：A .10. 已知直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，则22log log a b +的最大值为（ ）A. 3B. 2C. 2-D. 3-【答案】D【解析】【分析】由直线与圆相切可得2214a b +=，然后利用均值不等式可得18ab ≤，从而可求22log log a b +的最大值.【详解】解：因为直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，2=，即2214a b +=，因为222a b ab +≥，所以18ab ≤，所以22221log log log log 38a b ab +=≤=-，所以22log log a b +的最大值为3-，故选：D .11. 关于函数()sin cos 6x x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的叙述中，正确的有（ ）①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增；③3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数；④()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得()11sin(2)264f x x π=-+，再根据正弦型函数的性质，结合各项描述判断正误即可.【详解】()211sin cos sin sin )cos sin 622x f x x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+= ⎪⎝⎭11112cos 2sin(2)44264x x x π-+=-+，∴最小正周期22T ππ==，①错误；令222262k x k πππππ-≤-≤+，则()f x 在[,63k k ππππ-+上递增，显然当0k =时,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，②正确；1111sin(2)cos 2322424f x x x ππ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭，易知3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，③正确；令26x k ππ-=，则212k x ππ=+，Z k ∈，易知()f x 的图象关于1,124π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，④错误；故选：C12. 攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状．始建于1752年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观．其檐平面呈正八边形，上檐边长为a ，宝顶到上檐平面的距离为h ，则攒尖的体积为（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】攒尖是一个正八棱锥，由棱锥体积公式计算可得．【详解】如图底面正八边形ABCDEFGH 的外接圆圆心是O （正八边形对角线交点），设外接圆半径为R ，在OAB 中，4AOB π∠=，AB a =，由余弦定理得222222cos (24a R R R R π=+-=-，22R ==，正八边形的面积为218sin 24S R π=⨯22(1a =，所以攒尖体积13V Sh ==．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是_______________________．【答案】2,2x x N x ∀∈≥【解析】【分析】根据命题的否定的定义求解．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是：2,2x x N x ∀∈≥．故答案为：2,2x x N x ∀∈≥．14. 函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为_______________________．（要求写一般式方程）【答案】230x y +-=【解析】【分析】利用导函数求出斜率，即可写出切线方程.【详解】()ln f x x =-的导函数是()1f x x'=，所以()111122f '=-=-.又()11f =，所以函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=.故答案为：230x y +-=.15. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，且两条渐近线互相垂直，若C 上一点P 满足213PF PF =，则12F PF ∠的余弦值为_______________________．【答案】13【解析】【分析】由题意可得b a =，进而得到c =，再结合双曲线的定义可得123,PF a PF a ==，进而结合余弦定理即可求出结果.【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，所以渐近线方程为b y x a =±，又因为两条渐近线互相垂直，所以21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1b a =，即b a =，因此c =，因此213PF PF =，又由双曲线的定义可知122PF PF a -=，则123,PF a PF a ==，所以在12F PF △中由余弦定理可得222122112121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠===⋅，故答案为：13.16. 已知向量(),a x m = ，()32,2b x x =-+ ．（1）若当2x =时，a b ⊥ ，则实数m 的值为_______________________；（2）若存在正数x ，使得//a b r r，则实数m 取值范围是__________________．【答案】①. 2- ②. (),0[2,)-∞⋃+∞【解析】【分析】（1）由2x =时，得到()2,a m = ，()4,4b = ，然后根据a b ⊥ 求解；（2）根据存在正数x ，使得//a b r r，则()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，利用二次函数的根的分布求解.【详解】（1）当2x =时，()2,a m = ，()4,4b = ，因为a b ⊥ ，所以2440m ⨯+=，解得2m =-，所以实数m 的值为-2；（2）因为存在正数x ，使得//a b r r，所以()()232x x m x +=-，()0,x ∈+∞有解，即()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，所以()223022380m m m -⎧->⎪⎨⎪∆=--≥⎩或230220m m -⎧-≤⎪⎨⎪<⎩，解得2m ≥或0m <，所以实数m 的取值范围是(),0[2,)-∞⋃+∞.故答案为：-2，(),0[2,)-∞⋃+∞三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个题目考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4:1．现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记．的产品件数一等品二等品总计甲生产线2乙生产线7总计50（1）请将22⨯列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关？()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）从样本的所有二等品中随机抽取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率．【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为产品的等级差异与生产线有关； （2）710【解析】【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，再与观测值比较即可判断；（2）记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ，用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；小问1详解】解：依题意可得22⨯列联表如下：产品件数一等品二等品总计甲生产线38240乙生产线7310总计45550所以()225038327 5.5561040545K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为5.024 5.556 6.635<<，所以有97.5%的把握认为产品的等【级差异与生产线有关；【小问2详解】解：依题意，记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ；则从中随机抽取2件，所有可能结果有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc 共10个，至少有1件为甲生产线产品的有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc 共7个，所以至少有1件为甲生产线产品的概率710P =；18. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．（1）求证：平面1ADC ⊥平面11BCC B ；（2）已知1AA =，求异面直线1A B 与1DC 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析； （2）6π【解析】【分析】（1）证得AD ⊥平面11BCC B ，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【小问1详解】因为正三棱柱111ABC A B C -，所以AB AC =，又因为D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥，又因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，且平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以AD ⊥平面11BCC B ，又因为AD ⊂平面1ADC ，所以平面1ADC ⊥平面11BCC B ；【小问2详解】取11B C 的中点E ，连接DE ，由正三棱柱的几何特征可知,,DB DA DE 两两垂直，故以D 为坐标原点，分以,,DA DB DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2AB =，则1AA =，所以()()(11,0,1,0,0,0,0,0,1,A B D C -,则((11,0,1,A B DC =-=-u u u r u u u r，所以111111cos ,A B DC A B DC A B DC ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 由于异面直线成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以异面直线1A B 与1DC ，因此异面直线1A B 与1DC 所成角为6π.19. 已知n N *∈，数列{}n a 的首项11a =，且满足下列条件之一：①1122n n n a a +=+；②()121n n na n a +=+．（只能从①②中选择一个作为已知）（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 的前n 项和n S m <，求正整数m 的最小值．【答案】（1）22n nn a = （2）4【解析】【分析】（1）若选①，则可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，从而可得数列{}2nn a ⋅是以2为公差，2为首项的等差数列，则可求出2nn a ⋅，进而可求出n a ，若选②，则1112n n a a n n +=⋅+，从而可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1为首项的等比数列，则可求出na n，进而可求出n a ，（2）利用错位相减法求出n S ，从而可求出正整数m 的最小值【小问1详解】若选①，则由1122n n n a a +=+可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，所以数列{}2n n a ⋅是以2为公差，1122a ⋅=为首项的等差数列，所以222(1)2nn a n n ⋅=+-=，所以22n nn a =，若选②，则由()121n n na n a +=+，得1112n n a a n n +=⋅+，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1111a a ==为首项的等比数列，所以1112n n a n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以1222n n nnn a -==【小问2详解】因为12312462(1)222222n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++，所以234112462(1)2222222n n n n nS +-=+++⋅⋅⋅++，所以23112222122222n n n n S +=+++⋅⋅⋅+-2311112()2222n nn=+++⋅⋅⋅+-111[1]42121212n nn -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯--222n n +=-，所以2442n nn S +=-，所以4n S <，所以正整数m 的最小值为4，20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为，左顶点A 到右焦点F 的距离为3．（1）求椭圆C 的方程（2）设直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N （不同于A ），且直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l 经过定点．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得b =、3a c +=，再根据222c a b =-，即可求出a 、c ，从而求出椭圆方程、离心率；（2）设直线l 为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，依题意可得12AM AN k k ⋅=-，即可得到方程，整理得到225480m k km --=，即可得到m 、k 的关系，从而求出直线过定点；【小问1详解】解：依题意b =、3a c +=，又222c a b =-，解得2a =，1c =，所以椭圆方程为22143x y +=，离心率12c e a ==；【小问2详解】解：由（1）可知()2,0A -，当直线斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，联立方程得22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2223484120k xkmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+；因为直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以12AM AN k k ⋅=-；即()()22121212121212121212222242AM ANk x x km x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅==-+++++++所以2222222241281343441282243434m km k km m k k m km k k -⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭=--⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭，即22221231164162k m k m km -+=-+-，所以225480m k km --=，即()()2520m k m k -+=，所以2m k =或25m k =-，当2m k =时，直线l ：2y kx k =+，恒过定点()2,0-，因为直线不过A 点，所以舍去；当25m k =-时，直线l ：25y kx k =-，恒过定点2,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；当直线斜率不存在时，设直线0:l x x =，()00,M x y ，()00,N x y -，则00001222AM AN y y k k x x -⋅=⋅=-++，且2200143x y +=，解得025x =或02x =-（舍去）；综上可得直线l 恒过定点2,05⎛⎫⎪⎝⎭.21. 已知函数()sin xf x e k x =-，其中k 为常数．（1）当1k =时，判断()f x 在区间()0,∞+内的单调性；（2）若对任意()0,x π∈，都有()1f x >，求k 的取值范围．【答案】（1）判断见解析 （2）(,1]k ∈-∞【解析】【分析】小问1：当1k =时，求出导数，判断导数在()0,∞+上的正负，即可确定()f x 在()0,∞+上的单调性；小问2：由()1f x >得sin 10x e k x -->，令()sin 1x g x e k x =--，将参数k 区分为0k ≤，01k <≤，1k >三种情况，分别讨论()g x 的单调性，求出最值，即可得到k 的取值范围.【小问1详解】当1k =时，得()sin xf x e x =-，故()cos xf x e x '=-，当()0,∞+时，()0f x '>恒成立，故()f x 在区间()0,∞+为单调递增函数.【小问2详解】当()0,x π∈时，sin (0,1]x ∈，故()1f x >，即sin 1x e k x ->，即sin 10x e k x -->.令()sin 1x g x e k x =--①当0k ≤时，因为()0,x π∈，故sin (0,1]x ∈，即sin 0k x -≥，又10x e ->，故()0f x >在()0,x π∈上恒成立，故0k ≤；②当01k <≤时，()cos x g x e k x '=-，()sin x g x e k x ''=+，故()0g x ''>在()0,x π∈上恒成立，()g x '在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)0g x g e k ''>=->，即()g x 在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)10g x g e >=-=，故01k <≤；③当1k >时，由②可知()g x '在()0,x π∈上单调递增，设()0g x '=时的根为0x ，则()g x 在0(0,)x x ∈时为单调递减；在0(,)x x π∈时为单调递增又0(0)10g e =-=，故0()0g x <，舍去；综上：(,1]k ∈-∞【点睛】本题考查了利用导数判断函数单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22. 在平面直角坐标系xOy 中，伯努利双纽线1C （如图）的普通方程为()()222222x y x y +=-，曲线2C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（其中r ∈（，θ为参数）．的（1）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求1C 和2C 的极坐标方程；（2）设1C 与2C 的交于A ，B ，C ，D 四点，当r 变化时，求凸四边形ABCD 的最大面积．【答案】（1）1:C 2222cos 2sin ρθθ=-；2:C r ρ=（2）2【解析】【分析】（1）根据直角坐标方程，极坐标方程，参数方程之间的公式进行转化即可；（2）设点A 在第一象限，并且设点A 的极坐标，根据题意列出点A 的直角坐标，表示出四边形ABCD 的面积进行计算即可.小问1详解】1:C ()()222222x y x y +=-，由cos ,sin x y ρθρθ==，故222222()2(cos sin )ρρθρθ=-，即2222cos 2sin ρθθ=-2:C cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，即222x y r +=，即22r ρ=，rρ=【小问2详解】由1C 和2C 图象的对称性可知，四边形ABCD 为中心在原点处，且边与坐标轴平行的矩形，设点A 在第一象限，且坐标为(,)ρα(02πα<<，又r ρ=，则点A 的直角坐标为(cos ,sin )r r αα，又2222cos 2sin ραα=-，即2222cos 2sin 2cos 2r ααα=-=故S 四边形ABCD =22cos 2sin 2sin 2r r r ααα⋅==22cos 2sin 22sin 4ααα⋅⋅=又02πα<<，故042απ<<，因此当42πα=，即8πα=时，四边形ABCD 的面积最大为2.［选修4—5：不等式选讲]（10分）【23. 设M 为不等式1431x x ++≥-的解集．（1）求集合M 的最大元素m ；（2）若a ，b M ∈且a b m +=，求1123a b +++的最小值．【答案】（1）3m = （2）12【解析】【分析】（1）分类讨论13x ≥，1x ≤-，113x -<<，打开绝对值求解，即得解；（2）由题意1,3,3a b a b -≤≤+=，构造11(2)(3)132([11]2328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++，利用均值不等式即得解【小问1详解】由题意，1431x x ++≥-（1）当13x ≥时，1431x x ++≥-，解得3x ≤，即133x ≤≤；（2）当1x ≤-时，1413x x --+≥-，解得1x ≥-，即=1x -；（3）当113x -<<时，1413x x ++≥-，解得1x ≥-，即113x -<<综上：13x -≤≤故集合{|13}M x x =-££，3m =【小问2详解】由题意，1,3,3a b a b -≤≤+=，故(2)(3)8a b +++=故11(2)(3)132()[112328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++由于1,3a b -≤≤，故20,30a b +>+>由均值不等式，113211[11[1123823821b a a b a b +++=+++≥++=++++当且仅当3223b a a b ++=++，即2,1a b ==时等号成立故求1123a b +++的最小值为12。
高三数学《概率统计(文科)》练习
文科数学《统计与概率》核心知识点与参考练习题一、统计（核心思想：用样本估计总体）1.抽样（每个个体被抽到的概率相等）（1）简单随机抽样：抽签法与随机数表法（2）系统抽样（等距抽样）（3）分层抽样2.用样本估计总体：（1）样本数字特征估计总体：众数、中位数、平均数、方差与标准差（2）样本频率分布估计总体：频率分布直方图与茎叶图3.变量间的相关关系：散点图、正相关、负相关、回归直线方程（最小二乘法）4.独立性检验二、概率（随机事件发生的可能性大小）1.基本概念（1）随机事件A的概率()()1,0∈AP（2）用随机模拟法求概率（用频率来估计概率）（3）互斥事件（对立事件）2.概率模型（1）古典概型（有限等可能）（2）几何概型（无限等可能）三、参考练习题1.某校高一年级有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______ .2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则该从高二年级抽取_____名学生.3.某校老年、中年和青年教师的人数见右表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为_______ .4.已知一组数据5.5,4.5,1.5,8.4,7.4，则该组数据的方差是_____．5.若1,2,3,4，m这五个数的平均数为3，则这五个数的标准差为____.6.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如右图：则这组数据的中位数是________．7.某高校调查了200名学生每周的晚自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中晚自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A.56B.60C.120D.1408.（2016四川文）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查. 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 [0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5] 分成9组，制成了如图的频率分布直方图. （Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计43009.（2015全国Ⅱ文）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表. A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组[50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]频 数2814106（Ⅰ）作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：试估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.10.（2014安徽文）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）. （Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2,4]，（4,6]，（6,8]，（8,10]，（10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：()()()()()d b c a d c b a bc d a n K ++++-=22满意度评分 低于70分 70分到89分不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意()02k K P ≥ 0.10 0.05 0.01 0.005 0k 2.706 3.841 6.635 7.87911.（2014全国Ⅰ文）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85,95）[95,105）[105,115）[115,125] 频数 6 26 38 22 8（Ⅰ）在下表中作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？12.（2014广东文）某车间20名工人年龄数据如下表：（Ⅰ）求这20名工人年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（Ⅲ）求这20名工人年龄的方差.13.（2016江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_______ .14.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为_______ .15.（2016全国乙卷文）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是______ .16.（2016全国丙卷文）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M、I、N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________ .17.（2016天津文）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为_________ .18.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任选2件，恰有一件次品的概率为_________ .19.某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分区间 [25，30） [30，35） [35，40） [40,45） [45,50]人数 25 a b（Ⅰ）求正整数a ，b ，N 的值；（Ⅱ）现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？（Ⅲ）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率.20.（2016全国Ⅰ文）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A.31B.21C.32D.4321.（2016全国Ⅱ文）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A.107 B.85 C.83 D.103 22.在区间[-2,3]上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为_____ .23.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是_______ .24.如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_________ .25.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为（ ）A .1ˆ-=x yB .1ˆ+=x yC .x y 2188ˆ+= D .176ˆ=y26.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下：根据上表可得回归方程a x b yˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A .63.6万元 B .65.5万元 C .67.7万元 D .72.0万元27.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年 份 2011 2012 2013 2014 2015 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y （千亿元）567810（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程a t b yˆˆˆ+=； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2011年至2015年该地区城乡居民储蓄存款的变化情父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ）175175176177177广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954况，并预测该地区2016年（t =6）的人民币储蓄存款.附：回归方程a t b yˆˆˆ+=中，t b y atn tyt n y t b ni ini ii ˆˆ,ˆ1221-=--=∑∑==.28.甲、乙两所学校高三年级分别有1200人、1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样的方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：乙校：（1）计算y x ,的值；（2）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率； （3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异.参考数据与公式：由列联表中数据计算()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22；临界值表：29.一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；（2）根据上表数据作散点图，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）.附：回归直线的方程是：a x b y ˆˆˆ+=，其中()()()x b y ax x y y x x b ni ini iiˆˆ,ˆ121-=---=∑∑==； 90,93==y x ，()()()30,4051251=--=-∑∑==y y x x x x ii ii i .30.为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计得到下面的频率分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布表中a 、b 的值，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计有意购车的这500名市民的平均年龄；31.（2016新课标Ⅱ）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；32.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机分组（岁） 频数 频数[20,25) 5 0.050 [25,30) 200.200 [30,35) a0.350[35,40) 30 b[40,45] 10 0.100 合计1001.000摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为____________ .33.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，某同学从中任取2道题解答.试求：（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率.A,两地区分别随机调查了20个用户，得到用34.某公司为了解用户对其产品的满意度，从B户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；。
四川省仁寿县文宫中学2022-2023学年高二下学期5月月考(文科)数学试题
四川省仁寿县文宫中学2022-2023学年高二下学期5月月考（文科）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．32B ．89．已知函数()2sin f x x x =-，(1,1)x Î-，如的取值范围为（ ）．(0,1)B ．(2,1)-10．已知函数()24ln f x ax ax x =--，则(f x 是（ ）．1,6a æöÎ-¥ç÷èø．1,2a æöÎ+¥ç÷èø11．已知()22ln f x x x ax =+-在()0,¥+上单调A ．[]1010,1010-B ．[)1010,+¥C ．(],1010-¥-D ．(][),10101010,-¥-+¥U三、解答题17．函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，曲线y ＝f （x ）上点P （1，f （1））处的切线方程为y ＝3x +1（1）若y ＝f （x ）在x ＝﹣2时有极值，求函数y ＝f （x ）在[﹣3，1]上的最大值；（2）若函数y ＝f （x ）在区间[﹣2，1]上单调递增，求b 的取值范围．18．为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取100名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为2：3，抽取的学生中男生有20名对讲座活动满意，女生中有20名对讲座活动不满意．（1）完成22´列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120，130)内的概率. 21．已知函数()()2=+++，ln21f x x ax a x（1）当1x=处的切线方程；a=时，求()y f x=曲线在1（2）讨论()f x的单调性．22．某公司为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，.收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值新函数m（x），利用基本不等式求出m（x）的最大值，令b大于等于m（x）的最大值即可．【详解】解：（1）由f（x）＝x3+ax2+bx+c，求导数得f′（x）＝3x2+2ax+b，过y＝f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y﹣f（1）＝f′（1）（x﹣1）即y﹣（a+b+c+1）＝（3+2a+b）（x﹣1）故32321a ba b c++=ìí++-=î，即203a ba b c+=ìí++=î，∵有y＝f（x）在x＝﹣2时有极值，故f′（﹣2）＝0，∴﹣4a+b＝﹣12，则203412a ba b ca b+=ìï++=íï-+=-î，解得a＝2，b＝﹣4，c＝5，f（x）＝x3+2x2﹣4x+5．f′（x）＝3x2+2ax+b＝3x2+4x﹣4＝（3x﹣2）（x+2）男生2名，女生4名，列出所有的基本事件，再利用古典概型公式即可求出结果.【详解】（1）补全2×2列联表如表所示．。
河南省2022-2023学年高三下学期核心模拟卷(中)文科数学(一)试题(含答案解析)
河南省2022-2023学年高三下学期核心模拟卷（中）文科数学（一）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}3,2,1,0,1,2,3,4U =---，集合{}3,1,0,3,4A =--，{}0,1,2,3B =，则()UA B ⋂=ð（）A ．{}0,3B ．{}1,2C ．{}1,0,1,2,3-D ．{}3,1,0,1,2,3--2．已知复数z 满足i 2i z z +=-,则z =（）A ．13i22+B ．13i 22-+C ．13i 22-D ．13i22--3．已知平面向量,a b满足1a = ，a 与b 的夹角为120°，若a b -= ，则b = （）A ．1B ．2C ．3D ．44．2023年春节到来之前：某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场这种商品的售价x （单位；元）与销售量y （单位：件）之间的一组数据如下表所示：价格x 89.5m 10.512销售量y16n865经分析知，销售量y 件与价格x 元之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为ˆ 3.544yx =-+，且20m n +=，则m =（）A ．12B ．11C ．10D ．95．已知2:2p x x -≤，:12q x -<，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，新能源逐渐被人们所接受，进而青睐，新能源汽车作为新能源中的重要支柱产业之一取得了长足的发展．为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用阻滞型模型011e rtMy M y -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭进行估计．其中y 为第t 年底新能源汽车的保有量，r 为年增长率，M 为饱和量，0y 为初始值（单位：万辆）．若该省2021年底的新能源汽车拥有量为20万辆，以此作为初始值，若以后每年的增长率为0.12，饱和量为1300万辆，那么2031年底该省新能源汽车的保有量为（精确到1万辆）（参考数据：ln 0.8870.12≈-，ln 0.30 1.2≈-）（）A ．62万B ．63万C ．64万D ．65万7．已知函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在()0,π上有3个极值点，则ω的取值范围为（）A ．13,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1319,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．713,66⎛⎤ ⎝⎦8．在如图所示的程序框图中，若输入的a ，b ，c 分别为0.34，0.414-⎛⎫⎪⎝⎭，0.4log 0.5，执行该程序框图，输出的结果用原来数据表示为（）A ．b ，a ，cB ．a ，b ，cC ．c ，b ，aD ．c ，a ，b9．在ABC 和111A B C △中，若1cos sin A A =，1cos sin B B =，1cos sin C C =则（）A ．ABC 与111ABC △均是锐角三角形B ．ABC 与111A B C △均是钝角三角形C ．ABC 是钝角三角形，111A B C △是锐角三角形D ．ABC 是锐角三角形，111A B C △是钝角三角形10．已知抛物线2:8C y x =，P 为C 上一点，()2,0A -，()2,0B ，当PB PA最小时，点P到坐标原点的距离为（）A．B．C．D ．811．在如图所示的圆台中，四边形ABCD 为其轴截面，24AB CD ==，P 为底面圆周上一点，异面直线AD 与OP (O 为底面圆心）所成的角为π3，则2CP 的大小为（）A．7-B．7-7+C．19-D．19-19+12．已知ππ,,66x y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若327sin 320x x a +-=且34sin cos 0y y y a ++=，则()cos 32x y +=（）A ．12-B ．0C ．12D ．1二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件2221x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为________．14．已知函数()()2223e xf x ax x x =+-+，无论a 取何值，曲线()y f x =均存在一条固定的切线，则该切线方程为________．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴为12A A ，对12A A 上任意一点P ，在12A A 上都存在点Q，使得2PQ =，则C 的离心率的取值范围为________．16．如图,在三棱锥-P ABC 中,平面PAB ⊥平面ABC ,6AB =,4BC =,AB BC ⊥,PAB 为等边三角形,则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为________．三、解答题17．某市为了解新高三学生的数学学习情况，以便为即将展开的一轮复习提供准确的数据，在开学初该市教体局组织高三学生进行了一次摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取200名，根据统计结果，将他们的数学成绩（满分150分）分为[)70,80，[)80,90，[)90,100，[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[)140150,共8组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)若A 表示事件“从参加考试的学生中随机抽取一名学生，该学生的成绩不低于110分”，估计事件A 发生的概率；(2)利用所给数据估计本次数学考试的平均分及方差（各组数据以其中点数据代表）．参考数据：()21998.56x x -=，()22466.56x x -=，()23134.56x x -=，()24 2.56x x -=，()2570.56x x -=，()26338.56x x -=，()27806.56x x -=，()281474.56x x -=，其中()i i 1,2,,8x = 为第i 组的中点值．18．如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD CD ⊥，四边形CDEF 为平行四边形，平面CDEF ⊥平面ABCD ，2BC AD =．(1)证明：DF 平面ABE ；(2)若1AD =，2CD ED ==，π3FCD ∠=，求三棱锥B ADE -的体积．19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，tan tan 2tan tan tan B C BC A+=．(1)证明：22cos a bc A =；(2)求bc的取值范围．20．已知()()e ln R xf x a x a =-∈．(1)若()f x 在[)1,+∞上单调递增，求a 的取值范围，(2)证明：当21e a ≥时，()0f x >．21．已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x ya b a bΓ+=>>的左、右焦点，122F F =，1B ，2B 分别为Γ的上、下顶点，P 为Γ上在第一象限内的一点，直线1PB ，2PB 的斜率之积为89-．(1)求Γ的方程；(2)设Γ的右顶点为A ，过A 的直线1l 与Γ交于另外一点B ，与1l 垂直的直线2l 与1l 交于点M ，与y 轴交于点N ，若22BF NF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠（O 为坐标原点），求直线1l 的斜率的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)P 为l 上一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若3APB π∠≥，求点P横坐标的取值范围．23．已知()3f x x a x =-+-()R a ∈．(1)若1a =，解不等式()9f x ≥；(2)当()0a t t =>时，()f x 的最小值为3，若正数m ，n 满足m n t +=，6≤．参考答案：1．B【分析】先求出U A ð，再求()U A B ð即可.【详解】由已知{}2,1,2U A =-ð，又{}0,1,2,3B =，(){}1,2U A B ∴= ð.故选：B.2．A【分析】将z 当作未知数解出来,再化简即可.【详解】由i 2i z z +=-得()()()()()2i 1i 2i 13i1i 2i 1i 1i 1i 2z z ++++-=+⇒===--+故选:A.3．B【分析】按照平面向量的模的性质及数量积运算法则计算即可.【详解】因为a b -=所以217b b ++= ，即260b b +-=，解得2b = .故选：B.4．C【分析】由表中数据计算x 、y ，根据线性回归直线方程过点(x y 代入化简求解即可．【详解】由表中数据，计算1(89.510.512)855m x m =⨯++++=+，1(16864)755ny n =⨯++++=+，因为线性回归直线方程ˆ 3.544yx =-+过点()x y ，即7 3.584455n m ⎛⎫+=-⨯++ ⎪⎝⎭，即3.5955m n +=，所以3.545m n +=，又因为20m n +=，所以10,10m n ==．故选∶C ﹒5．D【分析】分别求出命题,p q ，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】2:2p x x -≤，即()()220,120x x x x --≤+-≤解得12x -≤≤，:1213q x x -<⇒-<<，所以p 推不出q ，q 推不出p ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件.故选：D.6．C【分析】把已知数据代入阻滞型模型011e rtMy M y -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，求出对应的值即可．【详解】根据题中所给阻滞型模型，代入有关数据，注意以2021年的为初始值，则2031年底该省新能源汽车的保有量为 1.20.1210130013001300164e 11e20y --⨯==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，因为ln 0.30 1.2≈-，所以 1.20e 0.3-≈，所以 1.21300130064164e 1640.30y -=≈≈++⨯故选：C 7．C【分析】由题意求出π3x ω+的范围，然后根据正弦函数的性质及题意建立不等关系，求得参数的取值范围即可.【详解】因为0ω>，()0,πx ∈，所以ππππ333x ωω<+<+，因为函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在()0,π上有3个极值点，所以5ππ7ππ232ω<+≤，解得131966ω<≤，所以ω的取值范围为1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选：C.8．A【分析】该程序的功能为从大到小输出原来输入的数据，通过比较输入数据的大小，即可求解．【详解】解︰由程序框图可知，该程序的功能为从大到小输出原来输入的数据，0.40.40.30144414-⎛⎫=>>= ⎪⎝⎭，0.40.40.4log 1log 0.5log 0.4<<，即0.40log 0.51<<，所以b a c >>，则输出的结果用原来数据表示为b ，a ，c .故选∶A ．9．D【分析】根据题意，由三角形的正弦值一定大于零，即可判断ABC 是锐角三角形，然后再由1sin 0A >，判断111A B C △的形状即可得到结果.【详解】在ABC 和111A B C △中，因为111sin cos 0,sin cos 0,sin cos 0A A B B C C >===>>，所以,,A B C 均为锐角，即ABC 为锐角三角形.另一方面1πsin cos sin 02A A A ⎛⎫= ⎝=->⎪⎭，可得1π2A A +=或1ππ2A A -+=即12πA A -=，所以1A 为锐角或者钝角，同理可得11,B C 为锐角或者钝角，但是111,,A B C 中必然有一个为钝角，否则不成立，所以111A B C △为钝角三角形.故选:D 10．A【分析】设()00,P x y ，由抛物线的定义可得0||||2PB PD x ==+，||PA =02,t x =+化简PBPA 可得当114t =时，||||PB PA 取得最小值，求出P 的坐标，即可求解【详解】因为抛物线2:8C y x =，则焦点为()2,0，准线为2x =-，又()2,0A -，()2,0B ，则点()2,0B 为抛物线的焦点，过P 作准线的垂线，垂足为D ，设()00,P x y ，则2008y x =，故00x ≥，由抛物线的定义可得0||||2PB PD x ==+，||PA =，又00x ≥，则设02,t x =+故02,2t x t ≥=-，则||||PB PA ==2)t =≥，当114t =时，||||PB PA2=，则4t =，02x =，将02x =代入抛物线可得2016y =，所以OP =故选：A 11．B【分析】建立如图所示坐标系,根据异面直线AD 与OP (O 为底面圆心）所成的角为π3,求得27CP =±【详解】以O 为原点，OB为y 轴，过点O 作x 轴OB ⊥，圆台的轴为z 轴，建立如图所示坐标系：作,DE AB DE ⊥交AB 于点E ,11122AE AB CD =-=,Rt ADE △中，DE =则(()((0,,0,2,0,,D A C AD --= ()2cos ,2sin ,0,02πP θθθ≤<,()2cos ,2sin ,0,OP θθ= 由于异面直线AD 与OP (O 为底面圆心）所成的角为π3,π1cos 32OP AD OP AD ⋅==⋅,sin 2θ∴=±(2cos ,2sin 1,,CP θθ=-2224cos 4sin 4sin 1274sin 72CP θθθθ=+-++=-=±故选:B.12．D【分析】设()3sin f x x x =+，,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是奇函数，且为增函数，再由条件得到32x y =-，最后求出()cos 32x y +即可.【详解】设()3sin f x x x =+，,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为()()3sin f x x x f x -=--=-，所以()f x 是奇函数.因为3y x =、sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上都为增函数，所以()3sin f x x x =+在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数.因为327sin 320x x a +-=，所以()32f x a =，因为34sin cos 0y y y a ++=，所以()22f y a =-.因为ππ,,66x y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ3,2,22x y ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以()()32f x f y =-，所以32x y =-，所以()cos 32cos01x y +==.故选：D.13．5【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合直线的截距，利用数形结合进行求解即可．【详解】由题意得：画出可行域（如图阴影部分），由21x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭．当直线3z x y =+过点31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 取得最大值，故max 335122z =⨯+=.故答案为：514．30x y -+=【分析】由题意得2()2(1)e x f x ax x '=++，()01f '=，()03f =，此时这两个值均与a 无关，可得切点为()0,3即可得出答案．【详解】()()2223e x f x ax x x =+-+，则2()2(1)e x f x ax x '=++，()01f '=，()03f =，此时这两个值均与a 无关，∴无论a 取何值，曲线()y f x =均存在一条固定的切线，此时切点为()0,3，切线斜率为1，故切线方程为3y x -=，即30x y -+=.故答案为∶30x y -+=15．1,5e ⎛∈ ⎝⎦【分析】根据题意得到,a b 的关系式，然后由双曲线离心率的公式以及范围即可得到结果.【详解】因为对12A A 上任意一点P ，在12A A 上都存在点Q ，使得PQ =，所以112AA ≥，所以a ≥，即b a ≤所以1c e a <==即e ⎛∈ ⎝⎦.故答案为:1,5e ⎛⎤∈ ⎝⎦16．64π【分析】先找到两个面的外心,通过外心作垂线交点即为球心.【详解】因为平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ⋂平面ABC AB =,,AB BC BC ⊥⊂平面ABC ,所以BC ⊥平面PAB ;如图,因为AB BC ⊥,所以三角形ABC 的外心即为AC 中点N ,过三角形PAB 的外心M 作平面PAB 的垂线,过三角形ABC 的外心N 作平面ABC 的垂线,则两垂线必相交于球心O ,连接OB ,则外接球半径R OB =.在Rt OMB 中,122OM BC ==,3BM AB ==,所以222241216R OB OM MB ==+=+=,所以表面积24π64πS R ==.故答案为:64π.17．(1)0.38；(2)106.6，205.44．【分析】（1）由频率和为1，计算出m ，进而根据频率分布直方图可得事件A 发生的概率；（2）分别根据平均数和方差的计算公式代入求解即可．【详解】（1）()0.0040.0080.0160.0340.0080.0040.002101m +++++++⨯= 0.024m ∴=从参加考试的学生中随机抽取一名学生，该学生的成绩不低于110分的概率为()()0.0240.0080.0040.002100.38P A =+++⨯=.（2）本次数学考试的平均分为()750.004850.008950.0161050.0341150.0241250.0081350.0041450.00210⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯()0.3000.680 1.520 3.570 2.760 1.0000.5400.29010106.6=+++++++⨯=本次数学考试的方差为(998.560.004466.560.008134.560.016 2.560.03470.560.024338.560.008806.560.0041474.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+()3.99424 3.73248 2.152960.08704 1.69344 2.70848 3.22624 2.9491210=+++++++⨯205.44=.18．(1)证明见解析【分析】（1）连接CE 交DF 于点H ，取BE 的中点G ，连接,AG GH ，根据条件证明四边形ADHG 为平行四边形，然后得到//DH AG 即可；（2）取CD 的中点为O ，连接OF ，依次证明OF ⊥平面ABCD 、//EF 平面ABCD ，然后可求出点E 到平面ABCD 的距离，然后根据B ADE E ABD V V --=算出答案即可.【详解】（1）证明：连接CE 交DF 于点H ，取BE 的中点G ，连接,AG GH ，因为四边形CDEF 为平行四边形，所以H 为CE 的中点，所以1//,=2GH BC GH BC ，因为AD BC ∥，2BC AD =，所以//,=GH AD GH AD ，所以四边形ADHG 为平行四边形，所以//DH AG ，即//DF AG ，因为AG ⊂平面ABE ，DF ⊄平面ABE ，所以DF 平面ABE ，（2）取CD 的中点为O ，连接OF ，因为2CD ED ==，π3FCD ∠=，所以CDF 为等边三角形，所以OF =OF CD ⊥，因为平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF 平面ABCD CD =，OF ⊂平面CDEF ，所以OF ⊥平面ABCD ，所以点F 到平面ABCD 的距离为OF =因为//EF CD ，EF ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ，所以点E 到平面ABCD 的距离为OF =因为ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AD CD ⊥，1AD =，2CD =，所以112ABD S AD CD =⋅⋅= ，所以1133B ADE E ABD V V --==⨯=.19．(1)证明见解析；(2)(22+【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换结合正弦定理的边角互化，代入计算，化简即可得到结果；（2）由题意可得4cos b c A c b +=，令,0b t t c =>换元，即可得到1t t+的范围，然后求解不等式即可得到t 的范围，从而得到结果.【详解】（1）因为tan tan 2tan tan tan B C B C A +=，即tan 2tan 1tan tan B B C A +=，所以sin 2sin cos cos 1sin sin cos cos BB B B CA C A+=，即sin cos cos sin 2sin cos sin cos sin cos B C B C B A C B A B +=，所以sin 2sin cos sin sin A B A C A=，即2sin 2sin sin cos A B C A =，再由正弦定理可得，22cos a bc A=（2）由（1）可知，22cos a bc A =，即2cos 02a A bc =>，且()0,πA ∈，故π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由22222cos 2cos a bc A a b c bc A ⎧=⎨=+-⎩可得224cos b c bc A +=，即4cos b c A c b +=.令,0b t t c =>，则14cos t A t +=，因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()4cos 0,4A ∈，则()10,4t t +∈，即104t t<+<，所以2014t t <+<，0t >，且210t +>恒成立，即2410t t -+<，解得22t <<所以(22b c ∈-+.20．(1)1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(2)证明见解析.【分析】（1）分离参数，转化为1e x a x ≥在[)1,+∞上恒成立，求出函数()()1,1e xg x x x =≥的最大值即可得到结果；（2）根据题意转化为()()221e ln e 1e 1e x x x f x a x x x -=->⋅--=-+，然后求得()()2e 1,0x h x x x -=-+>的最小值即可证明.【详解】（1）由()e ln x f x a x =-，可得()1e xf x a x'=-，因为()f x 在[)1,+∞上单调递增，则()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，即1e xa x ≥在[)1,+∞上恒成立，令()()1,1e x g x x x =≥，则()()()2211e e 0e e x x x x x g x x x x +'=-+=-<在[)1,+∞上恒成立，即()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()max 11eg x g ==，由1e x a x ≥在[)1,+∞上恒成立，可得()max 1ea g x ≥=，所以实数a 的取值范围为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.（2）因为函数()e 1x x x φ=--，()e 1x x φ'=-，令()0x φ'=，则0x =，即0x >时，()0x φ'>，则()x φ单调递增；即0x <时，()0x φ'<，则()x φ单调递减；所以()()0110x φφ≥=-=，即e 1x x ≥+（当且仅当0x =取等号），因为函数()ln 1x x x ϕ=-+，()0x >，则()11x xϕ'=-，令()0x ϕ'=，则1x =，当01x <<时，()0x ϕ'>，则函数()x ϕ单调递增；当1x >时，()0x ϕ'<，则函数()x ϕ单调递减；所以()()10110x ϕϕ≤=-+=，即ln 1≤-x x （当且仅当1x =取等号），因为21ea ≥，且e 1x x ≥+（当且仅当0x =取等号），ln 1≤-x x （当且仅当1x =取等号），所以()()221e ln e 1e 1e x x x f x a x x x -=->⋅--=-+（两个等号不同时成立这里反为大于号），令()()2e 1,0x h x x x -=-+>，即证()0h x ≥，因额为()2e 1x h x -'=-，令()0h x '=，可得20e e 1x -==，所以2x =，当02x <<时，()0h x '<，则函数()h x 单调递减；当2x >时，()0h x '>，则函数()h x 单调递增；所以()()22min 2e 210h x h -==-+=，所以()()20h x h ≥=，即当21ea ≥时，()0f x >．21．(1)22198x y +=(2),⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭【分析】（1）()()0000,0,0P x y x y >>，由直线1PB ，2PB 的斜率之积为89-可得2220089y x b =-+，再结合2200221x y a b+=，可得,a b 的关系，从而可求得,a b ，即可得解；（2）设直线1l 的方程为()()113,,y k x B x y =-，联立方程利用韦达定理可得1x ，正在根据22BF NF ⊥，可求得N y ，从而可求得M 的坐标，再在MAO △中，由MOA MAO ∠≤∠，得MA MO ≤，从而可得出答案.【详解】（1）因为122F F =，所以22c =，即1c =，又()()120,,0,B b B b -，P 为Γ上在第一象限内的一点，设()()0000,0,0P x y x y >>，则2200221x y a b+=，即22222200b x a y a b +=，1222000200089PB PB y b y b y b k k x x x -+-⋅===-，所以2220089y x b =-+，代入22222200b x a y a b +=，得22222220089b x a x b a b ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，化简得22220089b x a y =，所以2289=b a ，又22222819c a b a a =-=-=，所以229,8a b ==，所以Γ的方程为22198x y +=；（2）由（1）可得()()23,0,1,0A F ，设直线1l 的方程为()()113,,y k x B x y =-，联立()221983x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消y 得()2222985481720k x k x k +-+-=，()()()222254498817223040k k k ∆=--+-=>，则21254398k x k +=+，所以2212254272439898k k x k k -=-=++，由()21,0F ，设()0,N N y ，则()21,N F N y =- ，又()11248398k y k x k =-=+，则22222724481,9898k k BF k k ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭ ，因为22BF NF ⊥，所以22222272448109898N k k BF F N y k k -⋅=-+⋅=++ ，所以()()()2222183298916244898N k k k y kk k -+-+==-+，所以直线21916:24k MN y x k k-+=-+，联立()21916243k y x k k y k x ⎧-+=-+⎪⎨⎪=-⎩，得()226316241M k x k -=+，在MAO △中，因为MOA MAO ∠≤∠，所以MA MO ≤，所以()22223M M M M x y x y -+≤+，解得32M x ≥，即()22631632241k k -≥+，解得k ≤或k ≥，所以直线1l的斜率的取值范围为,99⎛⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法，（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．22．(1)222x y +=y --(2)⎣⎦【分析】（1）把曲线C 的方程两边平方相加可求曲线C 的普通方程,利用两角和的余弦公式可求直线l 的直角坐标方程;（2）设(P x -，由题意可得||2||OP OA ≤，计算可求点P 横坐标的取值范围.【详解】（1）由曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩（α为参数），可得222222cos 2sin cos sin cos 2sin cos sin 2x y αααααααα+=-++++=由πcos 6ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭得ππcos cos sin sin 66ρθρθ-=12x y -=0y --,∴曲线C 的普通方程为222x y +=,直线l 0y --（2）设(P x -,连接,OA OB ，易得,OA AP OB BP ⊥⊥，若π3APB ∠≥,则6πAPO ∠≥，1sin ,2APO ∴∠≥∴在Rt OAP △中，||1||2OA OP ≥，||2||OP OA ∴≤=,两边平方得241240x x -+≤,解得3322x -+≤≤,∴点P 横坐标的取值范围为3322⎡⎢⎣⎦23．(1)513(,[,)22-∞-+∞ (2)证明见解析答案第15页，共15页【分析】（1）对x 的取值进行分类，分段求解不等式，再求并集即可；（2）根据绝对值三角不等式求出t ，再利用柯西不等式证明即可求得结果.【详解】（1）当1a =时，不等式为139x x -+-≥，当1x ≤时，139x x -+-≥可以化为()139x x -+-≥，解得52x ≤-；当13x <<时，139x x -+-≥可以化为()139x x -+-≥，得29≥，不等式不成立；当3x ≥时，139x x -+-≥可以化为()139x x -+-≥，解得132x ≥；综上,可得不等式()9f x ≥的解集为513(,[,)22-∞-+∞ .（2）当()0a t t =>时，()()()333f x x t x x t x t =--≥---=-+，当()()30x t x --≤时等号成立，由33t -=可得0=t （舍）或6t =，故6m n +=,由柯西不等式可得()(222362m n ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭，即得6≤=4,2m n ==时取等号．。
2022-2023学年河南省高三下学期阶段性测试(四)文科数学试题 Word版含答案
2022—2023学年高中毕业班阶段性测试（四）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0A x x =≥，{}1B x x =≠，则A B ⋂=（ ） A ．{}0x x ≥B ．{}1x x >C ．{}011x x x ≤<>或D ．{}01x x ≤<2．若()12i 112i z +=+，则z =（ ） A ．34i +B ．34i -C ．43i +D ．43i -3．已知函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，则“()00f x '=”是“0x 是()f x 的极值点”的（ ） A ．充分必要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件4．已知向量a ，b 的夹角为56π，且3a =，1b =，则2a b +=（ ）A ．1B C ．2D5．已知函数()f x 是奇函数，且当0x ≥时，()f x x =，则()4f -=（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．46．若1cos 2cos sin sin 2cos θθθθθ--=，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．3B ．2C D ．17．已知A 为抛物线C ：24y x =上在第一象限内的一个动点，()1,0M -，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，若tan 3AMO ∠=，则直线AF 斜率的绝对值为（ ）A ．2B ．C ．13D ．438．若棱长均相等的正三棱柱的体积为O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．283π B ．1129π C ．6πD ．1123π 9．下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y （单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型()1aty ea +=∈R 对y 与t 的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第6个月该物种的繁殖数量为（ ）第t 个月 1 2 3繁殖数量y1.4e2.2e2.4eA ．3e 百只 B ． 3.5e百只 C ．4e 百只D ． 4.5e百只10．函数()31123f x x x=+-的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则3a cb-的取值范围为（ ） A ．(]3,4B ．712,35⎛⎤⎥⎝⎦ C ．133,4⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]2,512．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左顶点为A ，点0,2b B ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 与双曲线的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，若线段PQ 的垂直平分线经过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．52D ．233二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在区间[]2,3-上随机取一个数x ，则1x >的概率为______．14．已知实数x ，y 满足约束条件10,10,240,x y x x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩则3z x y =+的最大值为______．15．已知函数()()cos ,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移4T（T 为()f x 的最小正周期）个单位长度得到()g x 的图象，则()0g =______．16．已知圆锥内有一个内接圆柱，圆柱的底面在圆锥的底面内，当圆柱与圆锥体积之比最大时，圆柱与圆锥的底面半径之比为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和252n n nS -=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设10,10,2,10,n n n a n b b n -≤⎧=⎨>⎩求数列{}n b 的前30项和．18．（12分） 某超市为改善某产品的销售状况并制订销售策略，统计了过去100天该产品的日销售收入（单位：万元）并分成六组制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求a 的值并估计过去100天该产品的日销售收入的平均值x ；（同一区间数据以中点值作代表）（Ⅱ）该超市过去100天中有30天将该商品降价销售，在该商品降价的30天中有18天该产品的日销售收入不低于0.6万元，判断能否有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与该日是否降价有关．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.050 0.025 0.010 0k3.8415.0246.63519．（12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC BC ⊥，PA PB =，APC BPC ∠=∠． （Ⅰ）证明：PC AD ⊥；（Ⅱ）若AB CD ∥，PD AD ⊥，3PC =，且点C 到平面P AB 的距离为62，求AD 的长．20．（12分） 已知函数()32213f x x x ax =-+-，a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点()0,1-处的切线斜率为4-，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若存在唯一的()00,2x ∈，满足()()01f x f =-，求a 的取值范围． 21．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为23，且3⎫⎪⎪⎭为C 上一点． （Ⅰ）求C 的标准方程；（Ⅱ）点A ，B 分别为C 的左、右顶点，M ，N 为C 上异于A ，B 的两点，直线MN 不与坐标轴平行且不过坐标原点O ，点M 关于原点O 的对称点为M '，若直线AM '与直线BN 相交于点P ，直线OP 与直线MN 相交于点Q ，证明：点Q 位于定直线上．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2224,4824t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若P 为C 上一动点，求P 到l 的距离的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()112222f x x x =++-． （Ⅰ）求不等式()3f x <的解集；（Ⅱ）设()f x 的最小值为M ，若正实数a ，b 满足221a b M a b +=++，证明：32a b +≥．2022—2023学年高中毕业班阶段性测试（四）文科数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．答案 C命题意图 本题考查集合的交运算． 解析 {}011A B x x x ⋂=≤<>或． 2．答案 A命题意图 本题考查复数的四则运算． 解析 ()()()()112i 12i 112i 1520i34i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-，则34i z =+．3．答案 D命题意图 本题考查极值点的概念以及充分必要条件的判断．解析 由极值点的定义，若0x 为()f x 的极值点，则有()00f x '=，而由()00f x '=不一定推得0x 为()f x 的极值点，例如()3f x x =，故“()00f x '=”是“0x 是()f x 的极值点”的必要不充分条件． 4．答案 A命题意图 本题考查平面向量的运算． 解析 ()22222443431ab a ba ab b +=+=+⋅+=+⨯=． 5．答案 C命题意图 本题考查奇函数的概念．解析 因为()f x 是奇函数，所以()()44f f -=-，又()442f ==-，所以()42f -=． 6．答案 A命题意图 本题考查三角恒等变换．解析 由题意()2112sin 1tan 2sin cos θθθθ--=-，即1tan 2θ=，1tantan 142tan 3141tan tan 142πθπθπθ++⎛⎫+===⎪⎝⎭--． 7．答案B命题意图 本题考查抛物线的性质．解析设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1210tan 314AMy AMO k y -∠===+，解得1y 或1y =12A ⎛ ⎝或(2,A ，又()1,0F ，所以0112AF k ==--AF k ==AF k =． 8．答案 D命题意图 本题考查三棱柱的外接球．解析 设该正三棱柱棱长为x ，底面三角形的外接圆半径为r ，则21sin 602x x ︒⋅⋅=，∴4x =，则r =O 半径为R ，则22216284233x R r ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，228112=4=4=33S R πππ⨯表． 9．答案 C命题意图 本题考查回归分析． 解析 由题意，1aty e+=两边取自然对数得ln 1y at =+，令ln u y =，则1u at =+．()1231ln ln ln 23u y y y =++⨯=，()123123t t t t =++⨯=，∵回归直线必过样本点的中心，∴221a =+，得12a =，∴12tu =+，则12t y e +=．当6t =时，4y e =．10．答案 B命题意图 本题考查函数零点问题．解析 易知()f x 的定义域为{}0x x ≠，()422211x f x x x x -'=-=，令()0f x '<，解得10x -<<或01x <<，∴()f x 在()1,0-和()0,1上单调递减，令()0f x '>，解得1x <-或1x >，∴()f x 在(),1-∞-和()1,+∞上单调递增．当1x =-时，()f x 取得极大值()10103f -=-<，易知()f x 在(),0-∞上没有零点；当1x =时，()f x 取得极小值()2103f =-<，且1820381f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()7206f =>，可知()f x 在()0,+∞上有2个零点．综上所述，()f x 的零点个数为2． 11．答案 C命题意图 本题考查解三角形．解析 ∵2A B =，∴sin sin 22sin cos A B B B ==且0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3sin sin sin33sin 4sin C A B B B B =+==-，由正弦定理可得333sin sin 6sin cos 3sin 4sin sin sin a c A C B B B Bb B B---+==()226cos 41cos 34cos 6cos 1B B B B =+--=-++，令1cos ,12B t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则23461a c t t b -=-++，由二次函数性质知2134613,4t t ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦，∴3133,4a c b -⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 12．答案 B命题意图 本题考查双曲线的性质和离心率的求法． 解析 不妨设点P 在直线b y x a =上，由题可知(),0A a -，∴2AB b k a =，∴:22AB b bl y x a =+，由,22,b by x a b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得,,P P x a y b =⎧⎨=⎩∴(),P a b ，同理,33a b Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴PQ 的中点为2,33a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，PQ 的垂直平分线方程为2233b a a y x b ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，将0,y x a=⎧⎨=⎩代入整理得222b a =，则e ==二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案35命题意图 本题考查几何概型的计算．解析 在区间[]2,3-上随机取一个数x ，若1x >，则[)(]2,11,3x ∈--⋃，所以1x >的概率为()()12313325-++-=+．14．答案 9命题意图 本题考查线性规划．解析 根据不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，当目标函数表示的直线经过点()2,3时，3z x y =+取得最大值9．15．答案 3命题意图 本题考查三角函数的图象和性质． 解析 由图可知2A =，22362T πππ=-=，∴T π=，22πωπ==．由()226k K πϕπ⨯+=∈Z ，及2πϕ≤，得3πϕ=-，∴()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴()52cos 22cos 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴()502cos36g π==- 16．答案23命题意图 本题考查导数的应用．解析 设圆锥的底面半径为R ，圆锥的轴截面为等腰三角形，底边长为2R ，设其底角为α，则圆锥的高为tan R α，圆锥的体积为3tan 3R πα．设圆锥内接圆柱的底面半径为r ，高为h ，则tan tan r R hR R αα-=，即()tan h R r α=-，则圆柱的体积为()()2223tan tan r h r R r Rr r ππαπα=-=-，()0,r R ∈．圆柱与圆锥体积之比为23233r r R R ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()01r t t R =<<，()23f t t t =-，则()()22323f t t t t t '=-=-．由()0f t '=，得23t =，当203t <<时，()0f t '>，当213t <<时，()0f t '<，所以当23t =时，()f t 取得最大值，即圆柱与圆锥体积之比最大，此时23r R =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．命题意图 本题考查数列求通项和数列求和． 解析（Ⅰ）111522a S -===-， 当2n ≥时，有252n n n S -=，()()211512n n n S ----=，两式相减得()()()2215151322n a n n n n n n ⎡⎤=---+-=-≥⎣⎦，当1n =时，12a =-符合上式，故3n a n =-．（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则()()()301210111220212230T b b b b b b b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+． 由题意得1210121010b b b a a a S ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=，()11122012101022b b b b b b S ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=，()21223011122010102224b b b b b b S S ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⨯=，∴()230107710501752T S ==-=． 18．命题意图 本题考查频率分布直方图和独立性检验．解析 （Ⅰ）依题意有()1.5 2.5 2.00.80.20.11a +++++⨯=，得 3.0a =．0.350.150.450.250.550.300.650.200.750.080.850.020.537x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）依题意作2×2列联表：()221001858121218.36730707030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．因为18.367 5.024>，所以有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与该日是否降价有关． 19．命题意图 本题考查线线垂直的证明，以及点到面距离的求法． 解析（Ⅰ）如图，连接AC ，∵PA PB =，APC PBC ∠=∠，PC PC =，∴PAC PBC ≌△△， ∴90PCA PCB ∠=∠=︒，即PC AC ⊥．∵PC BC ⊥，AC BC C ⋂=，PC ⊥平面ABCD ， 又AD ⊂平面ABCD ，∴PC AD ⊥．（Ⅱ）取AB 的中点E ，连接PE ，CE ．∵PA PB =，∴PE AB ⊥，由（Ⅰ）知AC BC =，∴CE AB ⊥， ∵PE CE E ⋂=，∴AB ⊥平面PCE ，又AB ⊂平面P AB ，∴平面PAB ⊥平面PCE ．过C 作CH PE ⊥于H ，则CH ⊥平面P AB ，由条件知6CH =． 易知PC CE ⊥，设CE m =，则23PE m + 由1122PC CE PE CH ⋅=⋅2633m m =+，得3m =，∴3CE = ∵PD AD ⊥，AD PC ⊥，PC PD P ⋂=，∴AD ⊥平面PCD ，∴AD CD ⊥， 又∵AB CD ∥，∴AD AB ⊥，∴四边形AECD 为矩形，∴3AD CE ==20．命题意图 本题考查导数的几何意义，以及函数与方程的综合问题． 解析（Ⅰ）()222f x x x a '=-+，由题意知()04f a '==-．所以()()()2224212f x x x x x '=--=+-，则当1x <-或2x >时，()0f x '>，当12x -<<时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()2,+∞，单调递减区间为()1,2-． （Ⅱ）由()()01f x f =-，得()()010f x f --=， 即()()()323200021113x x a x ⎡⎤⎡⎤-----+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()20000002111113x x x x x a x =+-+--+++ ()()200011253503x x x a =+-++=． 根据已知，可得方程20025350x x a -++=在区间()0,2内仅有一个实根，设函数()22535g x x x a =-++，其图象的对称轴为()50,24x =∈，所以只需()()()258350,00,20,a g g ∆=-+>⎧⎪>⎨⎪<⎩或0∆=，解得513a -<<-或58a =-，即a 的取值范围是55,138⎛⎫⎧⎫--⋃-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭．21．命题意图 本题考查椭圆方程和定直线的证明． 解析 （Ⅰ）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题意得222222,371019,c a a ba b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得229,5,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴C 的标准方程为22195x y +=． （Ⅱ）由题可知()3,0A -，()3,0B ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,M x y '--，设:MN l x my n =+．联立22,1,95x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得()()2225910590m y mny n +++-=，∴1221059mn y y m -+=+，()21225959n y y m -=+，1122,3,3AM BN y k x y k x '⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩∴()11:33AM y l y x x '=+-，()22:33BN yl y x x =--， 又∵点P 为直线AM '和BN 的交点，∴112233,33,P P P P x y y y x y x y -⎧⋅=+⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪⎩故可得1212332P P x x x y y y ⎛⎫--=+⎪⎝⎭121233P my n my n y y y ⎛⎫+-+-=+ ⎪⎝⎭()121223P y y m n y y y ⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦()()2102359P mn m n y n ⎡⎤-⎢⎥=+-⋅-⎢⎥⎣⎦， ∴33P P m x y n =+，故3:3OP m l x y n =+． 联立3:,3:,OP MN m l x y n l x my n ⎧=⎪+⎨⎪=+⎩消去y 得3Q x =-，因此，点Q 位于定直线3x =-上．22．命题意图 本题考查极坐标与参数方程．解析 （Ⅰ）()2222164t x t =+，()()22222444t y t -=+， ∴()()()()2222222222216441444t t t y x t t +-++===++， 又22282162244t y t t -==-+>-++， ∴曲线C 的普通方程为()22124y x y +=≠-． （Ⅱ）设P 到l 的距离为d ．令cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得直线l 的直角坐标方程为40x y +-=，设()cos ,2sin P αα，[)0,2απ∈且32πα≠，则d ==1tan 2ϕ=， ∴d的取值范围是22⎡⎢⎣⎦． 23．命题意图 本题考查不等式的证明． 解析 （Ⅰ）由题意知()14,,4111,,4414,.4x x f x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩令()3f x =，得34x =-或34， 结合图象可知()3f x <的解集为3344x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． （Ⅱ）由题意可知2121a b a b +=++，∴4121121a b -+-=++， ∴41221a b +=++． 令2m a =+，1n b =+，则412m n +=，()()141141333535432222n m a b m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=+-=++-=++-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当23m n ==，即1a =，12b =时等号成立．。