江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练(7)(导数2)

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2008届高三数学理专题强化训练

2008届高三数学（理）专题强化训练（1）一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共55分）． 1．复数21(1i)+等于（）A ．12B ．12-C ．1i 2D ．1i 2- 2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（）A ．1B ．56C ．16D ．1303．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()A B =R R U ð，则实数a 的取值范围是 A ．1a ≤ B ．1a < C ．2a ≥ D ．2a > 4．对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若g g a b =a c ，则b =c5．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（） A ．关于0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于x π=4对称 C ．关于0π⎛⎫⎪4⎝⎭，对称 D ．关于x π=3对称6．以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=7．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（） A ．(11)-，B ．(01)，C ．(10)(01)-U ，， D ．(1)(1)-∞-+∞U ，， 8．已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．m n m n ααββαβ⊂⊂⇒，，∥，∥∥ B ．m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥，，∥ C ．m m n n αα⇒⊥，⊥∥ D ．n m n m αα⇒∥，⊥⊥9．把21(1)(1)(1)nx x x +++++++L 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则21lim1n n na a ∞-+→等于（）A ．14B ．12C ．1D ．210．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，1AB AA '==，则A C ，两点间的球面距离为（） A ．π4B ．π2CπD11．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（） A ．37B ．47C ．114D ．1314二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．12．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．13．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______． 14．两封信随机投入A B C ，，三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E ξ= ．15．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a -；（2）对称性：对于a b A ∈，，若a b -，则有b a -；（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b -，b c -，则有a c -．则称“-”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．一、选择题(共55分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)。

2008年江苏省高考数学试卷及部分答案

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-13V Sh =其中x 为样本平均数其中S 为底面面积、h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω 2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率3.),(11R b a bi a ii∈+-+表示为，则b a += 4.{}73)1(2-<-=x x x A ，则A Z 的元素的个数 5.b a ,的夹角为120，,3,1==b a 则=-b a 56在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率7. 某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查。

下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。

序号（i ）分组（睡眠时间）组中值（i G ）频数（人数）频率（i F ）1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.203 [6,7) 6.5 20 0.404 [7,8) 7.5 10 0.20 5 [8,9) 8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S 的值是。

8.直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b= ▲ 9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： 10.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。

2008年高考试题分类(3)(数学-导数)(2)

03 导数的应用一、选择题 1．（福建11）如果函数y=f (x )的图象如右图，那么导函数/()y f x =的图象可能是（ A ）2．（辽宁6）设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ A ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3．（全国Ⅰ4）曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ B ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°4．（全国Ⅱ）设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ A ）A ．1B ．12C ．12-D ．1-二、填空题1．（北京13）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f =_________；2函数()f x 在1x =处的导数(1)f '=_________．2-2．（江苏14）13)(3+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立，则a = 42 BCAyx1 O 3 4 5 612 3 4三、解答题 1．（安徽20）（本小题满分12分）设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。

（Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）已知不等式'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。

解: (1) '2()3(1)f x ax x a =-++，由于函数()f x 在1x =时取得极值，所以 '(1)0f =即 310,1a a a -++==∴ (2) 方法一由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立设 22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥ 即 220x x --≥，20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤方法二由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22202x xx +≤+ 20x -≤≤∴于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤2．（北京17）（本小题共13分）已知函数32()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数．（Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．解：（Ⅰ）因为函数()()2g x f x =-为奇函数，所以，对任意的x ∈R ，()()g x g x -=-，即()2()2f x f x --=-+．又32()3f x x ax bx c =+++所以32323232x ax bx c x ax bx c -+-+-=----+．所以22a a c c =-⎧⎨-=-+⎩，．解得02a c ==，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得3()32f x x bx =++．所以2()33(0)f x x b b '=+≠．当0b <时，由()0f x '=得x b =±-．x 变化时，()f x '的变化情况如下表：x()b -∞--，b --()b b ---，b - b -+∞（，）()f x '+-+所以，当0b <时，函数()f x 在()b -∞--，上单调递增，在()b b ---，上单调递减，在()b -+∞，上单调递增．当0b >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增． 3．(福建21)（本小题满分12分）已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点（-1，-6），且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称. (Ⅰ)求m 、n 的值及函数y =f (x )的单调区间；(Ⅱ)若a ＞0，求函数y =f (x )在区间（a -1,a +1）内的极值. 解：（1）由函数f (x )图象过点（－1，－6），得m -n =-3, ……① 由f (x )=x 3+mx 2+nx -2，得f ′（x ）=3x 2+2mx +n , 则g (x )=f ′(x )+6x =3x 2+(2m +6)x +n ; 而g (x )图象关于y 轴对称，所以－3262⨯+m ＝0，所以m =-3, 代入①得n =0.于是f ′(x )＝3x 2-6x =3x (x -2). 由f ′(x )>得x>2或x <0,故f (x )的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；由f ′(x )<0得0<x <2,故f (x )的单调递减区间是（0，2）.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f ′(x )＝3x (x -2), 令f ′(x )＝0得x =0或x=2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表： X (-∞.0) 0 (0,2) 2 (2,+ ∞) f ′(x ) + 0 － 0 ＋ f (x )极大值极小值由此可得：当0<a <1时，f (x )在（a -1,a +1）内有极大值f (O )=-2,无极小值；当a =1时，f (x )在（a -1,a +1）内无极值；当1<a <3时，f (x )在（a -1,a +1）内有极小值f (2)＝－6，无极大值；当a ≥3时，f (x )在（a -1,a +1）内无极值.综上得：当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值，当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a=1或a ≥3时，f (x )无极值. 4．（宁夏）（本小题满分12分）设函数()bf x ax x=-， ()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．．解：（Ⅰ）方程74120x y --=可化为734y x =-．当2x =时，12y =． ················································································································· 2分又2()b f x a x '=+，于是1222744b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得13.a b =⎧⎨=⎩，故3()f x x x=-． ······················································································································· 6分（Ⅱ）设00()P x y ，为曲线上任一点，由231y x'=+知曲线在点00()P x y ，处的切线方程为002031()y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即00200331()y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令0x =得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．令y x =得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为00(22)x x ，． ················ 10分所以点00()P x y ，处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形面积为016262x x-=．故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为定值，此定值为6． ····················································································································································· 12分 5．（江西21）已知函数4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+> （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围．解：（1）因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a '=+-=+- 令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-== 由0a >时，()f x '在()0f x '=根的左右的符如下表所示x(,2)a -∞-2a -(2,0)a - 0(0,)a a (,)a +∞ ()f x ' -+-+()f x极小值极大值极小值所以()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，（2）由（1）得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47()()12f x f a a ==极小值 4()(0)f x f a ==极大值要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要44571312a a -<<或41a <，即4127a >或01a ≤<.6．（湖南21）已知函数43219()42f x x x x cx =+-+有三个极值点。

连云港淮安宿迁三市2007～2008学年度高三年级第二次考试

连云港淮安宿迁三市2007～2008学年度高三年级第二次考试物理第Ⅰ卷（选择题共31分）一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分．每小题只有一个选项符合题意，选对的得3分，错选或不答的得0分．1．以下说法符合物理史实的是A．法拉第发现了电流周围存在着磁场B．牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量C．亚里士多德发现了力是改变物体运动状态的原因D．开普勒关于行星运动的描述为万有引力定律的发现奠定了基础2．如图为一个应用简单逻辑电路控制的自动楼道灯原理电路，图中S为声控开关（有声音时开关闭合，无声音时开关断开），R t为光敏电阻，R1和R2都是定值电阻，A为某种门电路，L为灯泡。

当晚上有人发声时，能够自动打开楼道灯，白天即使有人发声楼道灯也不会亮。

则A．图中A是一个与门电路B．图中A是一个或门电路C．图中A是一个非门电路D．晚上无光照时L一定亮3．从空中某点以E1 = 1J的初动能水平抛出一小球，小球刚要落地时的动能E2 = 4J，不计空气阻力。

则小球刚要落地时的速度方向与水平方向的夹角为A．45°B．30°C．60°D．37°4．如图所示，有一带电小球，从两竖直的带电平行板上方某高度处自由落下，两板间匀强磁场方向垂直纸面向外，则小球通过电场、磁场空间时A．可能做匀加速直线运动B．一定做曲线运动C．只有重力做功D．电场力对小球一定做正功5．如图所示，三根通电长直导线P、Q、R互相平行，垂直纸面放置，其间距均为a，电流强度均为I，方向垂直纸面向里(已知电流为I的长直导线产生的磁场中，距导线r处的磁感应强度B=kI/r，其中k为常数) 。

某时刻有一电子(质量为m、电量为e)正好经过原点O，速度大小为v，方向沿y轴正方向，则电子此时所受磁场力为B．方向指向x轴正方向，大小为C．方向垂直纸面向里，大小为D．方向指向x轴正方向，大小为二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．6．矩形线框在匀强磁场内匀速转动过程中，线框输出的交流电压随时间变化的图像如图所示，下列说法中正确的是－A ．交流电压的有效值为36 2 VB ．交流电压的最大值为36 2 V ，频率为0.25HzC ．2s 末线框平面垂直于磁场，通过线框的磁通量最大D ．1s 末线框平面垂直于磁场，通过线框的磁通量变化最快7．北半球海洋某处，地磁场水平分量B 1=0.8×10－4T ，竖直分量B 2=0.5×10－4T ，海水向北流动。

江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练(5)(函数综合题)

江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练5．函数综合题新海高级中学王弟成顾淑建一、填空题1．若函数12)(22-=-+a ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是．2．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是． 3．设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121()log 2b b =，21()log 2c c =．则a ，b ，c 的大小关系是__________________．4．函数x y 2log =与函数2log (2)y x =-的图象及2y =-与3y =-所围成的图形面积是 __ __．5．若函数3()3f x x x a =-+有3个不同零点，则实数a 的取值范围是____________．6．已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，对任意x ∈R ，都有(4)()(4f x f x f +=+成立，则(2008)f =_______________．7．若f (x )=)42(log 2+-ax x a 在[,)a +∞上为增函数，则a 的取值范围是________________．8．f (x )=|log |3x 的定义域为[a,b ]，值域为[0,1]，若区间[a,b ]的长度为b-a ，则b - a 的最小值为_____________．9．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．方程()0f x = 在闭区间],T T ⎡-⎣上的根的个数至少有个．10．已知函数42)(2++=ax ax x f (03)a <<，若a x x x x -=+<1,2121，则1()f x 与2()f x 的大小关系是____________．11．已知函数x x x y ++=2331的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点M (x 1, y 1)，N (x 2, y 2)，就恒有21y y +的定值为y 0，则y 0的值为．12．已知a ∈R ，直线(1)(1)4(1)0a x a y a -++-+=过定点P ，点Q 在曲线210x xy -+=上，则PQ k 的范围是___________________________．13．设函数f (x)的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使|()|||f x M x ≤对一切实数x 均成立，则称f (x )为有界函数，下列函数：（1）f (x )=x 2；（2） f (x )=2x ；（3）f (x )= 2sin x ；（4）f (x )=sin x +cos x ．其中是有界函数的序号是．14．三位同学在研究函数()()1||x f x x x =∈+R 时，分别给出下面三个命题： ①函数)(x f 的值域为)1,1(-②若，21x x ≠则一定有)()(21x f x f ≠③若规定11()(),()[()]n n f x f x f x f f x +==，则()1|n x f x n x =+|对任意的*n ∈N 恒成立，所有正确命题的序号是．二、解答题15．设a ∈R ，函数)22lg(2a x ax y --=的定义为A ，不等式0342<+-x x 的解集为B ，若φ≠⋂B A ，求实数a 的取值范围．16．设二次函数a ax x x f ++=2)(，方程x x f =)(的两根x 1和x 2满足1201x x <<<．（1）求实数a 的取值范围；（2）试比较)0()1()0(f f f -与116的大小，并说明理由．17．函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意实数x ，都有)1()1(-=+x f x f 成立．已知当]2,1[∈x 时，x x f a log )(=．（1）求]1,1[-∈x 时，函数)(x f 的表达式；（2）求]12,12[+-∈k k x ()k ∈Z 时，函数)(x f 的表达式；（3）若函数()f x 的最大值为12，在区间[1,3]-上，解关于x 的不等式1()4f x >．18．对于函数)(x f y =，D x ∈，若同时满足以下条件：①)(x f 在D 上单调递增或单调递减；②存在区间D b a ⊆],[，使)(x f 在],[b a 上的值域也是],[b a ，则称函数)(x f 是闭函数．（1）求函数)(x f 3x -=，符合条件②的区间],[b a ；（2）当0,12a b ==时判断函数42y x x=+是不是闭函数，并说明理由；（3）若函数y k =是闭函数，求实数k 的取值范围．19．已知定义域为R 的函数)(x f 满足22(())()f f x x x f x x x -+=-+．（1）若(2)3f =，求)1(f ；又若(0)f a =，求()f a ；（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数)(x f 的解析表达式．20．已知集合D ={(,)|0,0,}m n m n m n k >>+=，其中k 为正常数．（1）设mn u =，求u 的取值范围；（2）求证：当1≥k 时不等式2112(1)(1)()2k m n k--≤-对任意(,)m n D ∈恒成立；（3）求使不等式2112(1)(1)()2k m n k --≥-对任意(,)m n D ∈恒成立的k 的范围．5．函数综合题新海高级中学王弟成顾淑建一、填空题：1．若函数12)(22-=-+a ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 01≤≤-a ．2．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是 3 ．3．设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121()log 2b b =，21()log 2c c =．则a ，b ，c 的大小关系是a b c <<．4．函数x y 2log =与函数2log (2)y x =-的图象及2y =-与3y =-所围成的图形面积是 __ 2 __．5．若函数3()3f x x x a =-+有3个不同零点，则实数a 的取值范围是__22a -<<__．6．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，对任意x ∈R ，都有(4)()(4)f x f x f +=+成立，则(2008)f =____0___．7．若f (x )=)42(log 2+-ax x a 在[,)a +∞上为增函数，则a 的取值范围是_12a <<_．8．f (x )=|log |3x 的定义域为[a,b ]，值域为[0,1]，若区间[a,b ]的长度为b-a ，则b - a 的最小值为23．9．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.方程()0f x = 在闭区间],T T ⎡-⎣上的根的个数至少有 5 个．10．已知函数2()24f x ax ax =++(03)a <<，若1212,1x x x x a <+=-，则1()f x 与2()f x 的大小关系是12()()f x f x >．11．已知函数x x x y ++=2331的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点M (x 1, y 1)，N (x 2, y 2)，就恒有21y y +的定值为y 0，则y 0的值为-23．12．已知a ∈R ，直线(1)(1)4(1)0a x a y a -++-+=过定点P ，点Q 在曲线210x xy -+=上，则PQk 的范围是______[3,)-+∞_______． 13．设函数f (x)的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使|()|||f x M x ≤对一切实数x 均成立，则称f (x )为有界函数，下列函数：（1）f (x )=x 2；（2） f (x )=2x ；（3）f (x )= 2sin x ；（4）f (x )=sin x +cos x ．其中是有界函数的序号是 ③，④ ．14．三位同学在研究函数()()1||R x f x x x =∈+时，分别给出下面三个命题： ①函数)(x f 的值域为)1,1(-②若，21x x ≠则一定有12()()f x f x ≠③若规定11()(),()[()]n n f x f x f x f f x +==，则()1||n x f x n x =+对任意的*n ∈N 恒成立，所有正确命题的序号是 ①，②，③ ．二、解答题：15．解：当0=a 时，()20f x x =->的解集为(,0)-∞，故A B φ⋂=；（1）当0>a 时，而(0)20f a =-<，此时抛物线开口向上，函数有两个零点且分别在y 轴的两侧，此时若要求A B φ⋂≠，故只需(3)0f <即可，解之得，67a >；（2）当0<a 时，而(0)20f a =->，此时抛物线开口向下，函数两个零点也分别在y 轴的两侧，若要求φ≠⋂B A ，故只需(1)0f >即可，解之得，2a <-．综上得a 的范围是6(,2)(,)7-∞-⋃+∞．反思此题解法较多，亦可以分别求出()0f x <的解集，然后讨论两根的范围，但要涉及无理不等式的求解，学生易错；也可以从221-=x x 这一特征，判断出函数)(x f 的两零点分别在y 轴的两侧．但上述解法抓住(0)f 的值，使讨论简洁明了，层次清楚，过程大简化，缩短解题过程．变式求解：（2007广东省高考第20题）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围．分析与简解由于二次项系数含参数不能确定正负，影响抛物线开口方向，影响对称轴，故对函数零点的情况有影响，因此需对a 的值分类讨论．（1）当0=a 时，()23f x x =-，此时)(x f 的零点是32x =，32∉[1,1]-；（2）当0>a 时，02>a ，故抛物线开口向上，而此时，03)0(<--=a f ，∴若要使()y f x =在区间]1,1[-上有零点，则只需(1)0f ≥或(1)0f -≥，即2230a a +--≥，1≥a ，或2230a a ---≥，5≥a ，∴1≥a ．（3）当0<a 时，02<a ，故抛物线开口向下，而此时(1)10(1)50,f a f a =-<⎧⎨-=-<⎩故若要()y f x =在区间[1,1]-上有零点，只需 02114a ∆≥⎧⎪⎨-≤-≤⎪⎩，即a ≤， ∴a的取值范围是([1,)-∞⋃+∞． 16．解（1）令a x a x x x f x g +-+=-=)1()()(2，则由1201x x <<<得，01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩∴03a <<-a的取值范围是(0,3-．（2）)0()1()0(f f f -22)1()0(a g g ==，设2)(a a h =，∵当0>a 时，)(a h 单调递增，∴210()(32(32(1716h a h <<-=-=-<．（1）由韦达定理得： 12121212000(1)(1)0(1)(1)0x x x x x x x x ∆>⎧⎪+>⎪⎪>⎨⎪-+->⎪⎪-+->⎩⇒03a <<- （2）(0)(1)(0)f f f -1212(0)(1))(1g g x x x x ==- (1-)2211221122111[)][(12216x x x x x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫=-<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1- )]，故(0)(1)(0)f f f -116<．反思解法1数形结合，将方程根范围转化为函数图象关系，解法2从韦达定理角度出发，转化不等关系，第二问从更一般的角度思考，用系数表示根，结合基本不等式证得。

江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练(17)(推理与证明)

江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练17.推理与证明东海高级中学：李其中李树森一填空题:1．观察下列各式：11=，1412-=-+（），149123-+=++（），149161234-+-=-+++（）， ……，推测第n 个式子为．2．已知()f x =(())f f x = ,((()))f f f x = , ((()))f f f = ．3已知22()1x f x x =+，则1111234234f f f f f f f ++++++=（）（）（）（）（）（）（）．4．给出下列命题：①01ba b a <<⇒<；②220a b a b --<<⇒<；③,,0a b c d abcd >>≠⇒ a bc d>；④0,0a b c d >>>>⇒>．其中真命题的序号是． 5．在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，AC b BC a ==，，则ABC ∆的外接圆的半径r =，运用类比方法，写出空间类似的命题：．6．把数列{}21n +依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环下去，如：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），……，则第104个括号内各数字之和为．7．在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式121219n n a a a a a a -++⋯=++⋯⋯+，+∈N n 成立，类比上述性质，相应地在等比数列中，若19=b ，则有等式成立．8．在用反正法证明命题时，“若0,0x y >>且2x y +>，则1y x +和1xy +中至少有一个小于2”时，假设．9．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则12f f ++（）（） 345f f f ++=（）（）（）．10．一元二次方程22100ax x a ++=≠（）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是．11．如图所示，面积为S 的平面凸四边行的第i 条边的边长记为1234i a i =（，，，），此四边形内任意一点P 到第i 条边的距离记为1234i h i =（，，，），若31241234a a a a k ====，则412i i s ih k ==∑（），，类比以上性质，体积为V 的三棱堆的第i 个面的面积记为），，，（4321=i s i ，此三棱堆内任意一点Q 到第i 个面的距离记为1234i H i =（，，，），若31241234s s s s K ====， 41i i iH ==∑（）．4h 3h2h1a P1h4a3a2an 个12．已知223sin 30sin 30sin30sin304︒+︒+︒⋅︒=， 223sin 40sin 20sin 40sin 204︒+︒+︒︒=知的等式，这个等式是． 13．如图：一个质点在第一象限运动，在第一秒钟它由原点运动到点（0，1），而后接着按图所示在与 x 轴y 轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么2000秒后，这个质点所处的位置的坐标是．14．设平面内有n 条直线3n ≥（），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)=f (n ) ；当n >4时，f (n )= （用含n 的数学表达式表示）．二．解答题15．若a,b,c 均为实数，且223a x y π=-+，223b y z π=-+，223c z x π=-+，证明：a,b,c 中至少有一个大于0．16．设0,0,1a b a b >>+=，求证：1118a b ab++≥．17．已知函数1()ln xf x x ax-=+． ①若1a ≥，证明函数()f x 在[1)+∞，上为增函数． ②当1a =时，求证：对大于1的正整数n ,1ln 1n n n>-．18．在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22cos cos 1A B +=，用类比的方法猜想三棱堆的类似性质，并证明你的猜想．BCPAMO CBA19．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 成等差数列，a,b,c 为三内角A ，B ，C 的对边．求证：113a b b c a b c+=++++．20．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它相邻前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．（1）若数列{}n a 即是等方差数列又是等差数列，证明该数列为常数列；（2）已知数列{}n a 是首项为1，公方差为2的等方差数列，令22223123fx a x a x a x =+++（） 2n n a x ⋅⋅⋅+，求2f （）的值；（3）设数列{}n a 是首项为2，公方差为2的正项等方差数列，试证明：当2n ≥时，112n n n a a a +-+<．17.推理与证明东海高级中学：李其中李树森一填空题:1．观察下列各式：11=，1412-=-+（），149123-+=++（），149161234-+-=-+++（）， ……，推测第n 个式子为1211491611123n n n n ++-+-+⋯+-=-+++⋯+（）（）（）．2．已知()f x =(())f f x=x ,((()))f f f x=x, ((()))f f f =． 3．已知22()1x f x x =+，则1111234234f f f f f f f ++++++=（）（）（）（）（）（）（）72．解:112f =（），11f x f x+=（）（）,1111234234f f f f f f f ++++++=（）（）（）（）（）（）（）17322+=.4．给出下列命题：①01ba b<<⇒<；②220a b a b --<<⇒<；③,,0a b c d abcd >>≠⇒ a bc d>；④0,0a b c d >>>>⇒>．其中真命题的序号是 ①②④ ．解： 0,1ba b a<<∴< ①正确222222110,a b ab a B a b--<<∴>∴<∴< ②正确取2,1,1,2a b c d ==-=-=-，可排除③0,0,a b a b c d ac bd dc >>>>∴>∴>> ④正确 5．在直角ABC ∆中，90C ∠=︒,AC b BC a ==，，则ABC ∆的外接圆的半径r =，运用类比方法，写出空间类似的命题：三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度分别为a,b,c ,则其外接球的半径为r =6．把数列{}21n +依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环下去，如：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），……，则第104个括号内各数字之和为 2072 ．解：前面103个括号中共用了256个数，第104个括号有4个数分别是515，517，519，521，其和为2072．7．在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式121219n n a a a a a a -++⋯=++⋯⋯+，N n +∈ 成立，类比上述性质，相应地在等比数列中，若19=b ，则有等式123n b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅=12317n b b b b -⋅⋅⋅⋅⋅成立．8．在用反正法证明命题时，“若0,0x y >>且2x y +>，则1y x+和1xy +中至少有一个小n 个于2”时，假设1y x+和1xy +都不小于2．9．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则12f f ++（）（） 345f f f ++=（）（）（） 0 ．解：()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称， f x f x ∴-=-（）（），11122f x f x f x f x +=-⇒=-（）（）（）（），1f x f x f x ∴-=+=-（）（）（） 21f x f x f x +=-+=（）（）（），01350f f f f ∴====（）（）（）（），0240f f f ===（）（）（），所以12345f f f f f ++++=（）（）（）（）（）０．10．一元二次方程22100ax x a ++=≠（）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a =-5 ．解：一元二次方程22100ax x a ++=≠（）有一个正根和一个负根的充要条件是Δ＝4-4a>0.且x 1x 2= 1a <0,可得a<0.所以填a<0中的任一个数或真子集均可．11．如图所示，面积为S 的平面凸四边行的第i 条边的边长记为1234i a i =（，，，），此四边形内任意一点P 到第i 条边的距离记为1234i h i =（，，，），若31241234a a a a k ====，则412i i s ih k ==∑（），，类比以上性质，体积为V 的三棱堆的第i 个面的面积记为），，，（4321=i s i ，此三棱堆内任意一点Q 到第i 个面的距离记为1234i H i =（，，，），若31241234s s s s K ====，则413ii V iH k ==∑（）．解：1122334413V S H S H S H S H =+++（）， 31241234S S S S K ====，123412343V KH KH KH KH =+++（），12343234VH H H H K +++=，413i i V iH k =∴=∑（）． 12．已知223sin 30sin 30sin30sin304︒+︒+︒⋅︒=，223sin 40sin 20sin 40sin 204︒+︒+︒︒=，请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知的等式，这个等式是223sin sin 60sin sin 604αααα+︒-+⋅︒-=（）（）． 13．如图：一个质点在第一象限运动，在第一秒钟它由原点运动到点（0，1），而后接着按图所示在与 x 轴y 轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么2000秒后，这个质点所处的位置的坐标是（24，44）．4 4h3h 2h1a P 1h 3a 2a14．设平面内有n 条直线3n ≥（），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)= 5 ；当n >4时，f (n )=122n n +-()()（用含n 的数学表达式表示）．解：求出345f f f （），（），（）再进行归纳推理20324559f f f f ====（），（），（），（）．每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数322433544,f f f f f f ∴-=-=-=⋯（）（）, （）（）, （）（）,11f n f n n --=-()(),累加，得2112223451222n n n f n f n n +-+--=++++⋅⋅⋅+-=⋅-=()()()（）（）()()．二．解答题15．若a,b,c 均为实数，且223a x y π=-+，223b y z π=-+，223c z x π=-+，证明：a,b,c 中至少有一个大于0．证明：假设a,b,c 中全不小于0，即0,0,0a b c ≤≤≤222222222(1)(1)(1)30333a b c x y y z z x x y z ππππ++=-++-++-+=-+-+-+-≤这于22211130x y z π-+-+-+->（）（）（）矛盾．所以假设不成立，原命题正确． 16．设0,0,1a b a b >>+=，求证：1118a b ab++≥．证明：,0,1a o b a b >>+=1a b ∴=+≥111,,424ab ab≤≤∴≥又1111()()24b a a b a b a b a b +=++=++≥ ∴1118a b ab++≥． 17．已知函数1()ln xf x x ax-=+．①若1a ≥，证明函数()f x 在[1)+∞，上为增函数。

江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练(11)(数列的综合应用)

江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练11.数列的综合应用海州高级中学乔健潘莉一、填空题：1．数列2{2293}n n-++中的最大项的值是__ __．2．已知一个数列的通项为*sin()()2Nnna nπα=+∈，再构造一个新数列123456,,,a a a a a a，则这个数列的前n项和．3．设等比数列{}na的公比为q，前n项和为nS，若12,,n n nS S S++成等差数列，则q的值为．4．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a b c++的值为．5．设数列{a n}的前n项和为nS，点(,)(*)NnSn nn∈均在函数y=3x-2的图象上．则数列{}n a的通项公式为．6．在圆225x y x+=内，过点53(,)22有*()Nn n∈条弦，它们的长构成等差数列，若1a为过该点最短弦的长,na为过该点最长弦的长,公差11(,53d∈，那么n的值是．7．2()2xf xx=+，11x=，1(1)n nx f x-=+*(2,)Nn n≥∈,则234x x x、、分别为__ ，猜想nx=__ _．8．在△ABC中，tan A是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差，tan B是以13为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则这个三角形是．9．设两个方程2210,10x ax x bx-+=-+=的四个根组成以2为公比的等比数列，则ab=．10．编辑一个运算程序：1&12,&,&(1)3,(*)Nm n k m n k m n k==+=+∈、、，1&2004的输出结果为．11．小正方形按照下图中的规律排列：每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{}na，有以下结论：①515a=；②数列{}na是一个等差数列；③数列{}na是一个等比数列；④数列的递推公式为:1n na a n-=+，(*)Nn∈其中正确的命题序号为．12．一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（其中包括起点站A 和终点站B ），车上有一节邮政车厢，每停靠一站，要卸下前面各站发往该站的邮件一袋，同时又要装上该站发往后面各站的邮件一袋，已知火车从第k 站出发时，邮政车厢内共有邮袋(1,2,k a k =…,n )个，则数列k a 与1(2)k a k n -≤≤的关系为．13．已知函数2()31f x x bx =++是偶函数，()5g x x c =+是奇函数，正数数列{}n a 满足11a =，211()()1n n n n n f a a g a a a +++-+=，求数列{}n a 的通项公式为．14．已知{}n a 是递增数列，且对任意*N n ∈都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是___ ．二、解答题: 15．已知,,αβγ成公比为2的等比数列,其中[]0,2απ∈，且s i n ,s i n ,s i n αβγ也成等比数列，求,,αβγ的值．16．设二次方程2110(N)n n a x a x n +-+=∈有两根α和β，且满足6263ααββ-⋅+=, (1)试用n a 表示1n a +；(2)求证:数列2{}3n a -是等比数列； (3)当176a =时，求数列{}n a 的通项公式．17．已知23123()3f x a x a x a x =+++…n n a x +，且123,,,a a a …,n a 组成等差数列(n 为偶数)，又2(1),(1)f n f n =-=，比较1()2f 与3的大小．18．已知数列{}n a 中的相邻两项212,k k a a -是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++⋅= 的两个根，且212k k a a -≤(1,2,3,k =…)．(1)求1357,,,a a a a 及2(4)n a n ≥(不必证明)； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S ．19．已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为()62f x x '=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()N n n S n *∈均在函数()y f x =的图象上． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有N n *∈都成立的最小正整数m ．20．已知数列{}n a 满足*111,21()N n n a a a n +==+∈, (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n a 满足12111*444(1)()N n n b b b b n a n ---=+∈ (n ∈N *),证明: {}n b 是等差数列．11.数列的综合应用海州高级中学乔健潘莉要求：在等差、等比数列的基本概念，通项公式和前n 项和公式及其应用的前提下，灵活运用数列知识，解决有关数列的综合问题，培养观察能力、化归能力和解决实际问题的能力. 1．数列2{2293}n n -++中的最大项的值是_108 __．2．已知一个数列的通项为*sin()()2N n n a n πα=+∈，再构造一个新数列123456,,,a a a a a a ，则这个数列的前n 项和sin 22n α-．3．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为-2 ．4．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a b c ++的值为 98．解:131,,,284a b c ===从而98a b c ++=. 5．设数列{a n }的前n 项和为n S ，点(,)(*)N n Sn n n∈均在函数y =3x -2的图象上．则数列{a n }的通项公式为65(*)N n a n n =-∈．解:(,)n S n n 在32y x =-的图象上,故32,(32)n n Sn S n n n=-=-,从而求出6 5.n a n =- 6．在圆225x y x +=内，过点53(,)22有*()N n n ∈条弦，它们的长构成等差数列，若1a 为过该点最短弦的长,n a 为过该点最长弦的长,公差11(,)53d ∈，那么n 的值是11,12,13,14,15．解:22225255()24x y x x y +=⇒-+=⇒ 圆心5(0)C ，,半径5,2R =故与PC 垂直的弦是最短弦，所以12a =，而过P 、C 的弦是最长弦，所以25,n a R ==由等差数列13(1)52(1)1n a a n d n d d n =+-⇒=+-⇒=-，11()1016,*,111213141553d n n N n ∈⇒<<∈=，因所以、、、、．变式:椭圆22143x y +=上有n 不同的点12,,,n P P P ，椭圆的右焦点为F ，数列{}n FP 是公差大于11000的等差数列，则n 的最大值为 2000 . 解：椭圆2212,1,43x y a b c +=⇒===因为n P 在椭圆上，13,n a c FP a c =-≤≤+=故由题意可得2131(1)200111000n d d d n n =+-⇒=><-，因，故，*2000.N n n ∈=因，所以 7．2()2xf x x =+，11x =，1(1)n n x f x -=+ *(2,)N n n ≥∈,则234x x x 、、分别为_1，1，1，猜想n x =__1 _．8．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差，tan B 是以13为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则这个三角形是锐角三角形．解：由题意得444tan tan 20A A =-+⇒=>，319tan tan 303B B =⇒=>tan tan tan tan()10,1tan tan A BC A B A B+=-+=-=>-故 ABC ∆是锐角三角形．9．设两个方程2210,10x ax x bx -+=-+=的四个根组成以2为公比的等比数列，则ab =274．解：设210x ax -+=方程的两根为12,x x ，210x bx -+=的两根为34,,x x 则12121x x a x x +=⎧⎨=⎩，3434,1x x b x x +=⎧⎨=⎩不妨设1342,,,x x x x 成等比数列，则3221112,8x x x =⋅⇒= 故21234127()()544ab x x x x x =++==．变式:若x 的方程20x x a -+=和20()x x b a b -+=≠的四个根可组成首项为14的等差数列，则b的值为35314416或.10．编辑一个运算程序：1&12,&,&(1)3,(*)N m n k m n k m n k ==+=+∈、、，1&2004的输出结果为 6011 ．11．小正方形按照下图中的规律排列：每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{}n a ，有以下结论： ①515a =；②数列{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列的递推公式为:1n n a a n -=+，(*)N n ∈其中正确的命题序号为 (1)(4) ．12．一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（其中包括起点站A 和终点站B ），车上有一节邮政车厢，每停靠一站，要卸下前面各站发往该站的邮件一袋，同时又要装上该站发往后面各站的邮件一袋，已知火车从第k 站出发时，邮政车厢内共有邮袋(1,2,k a k =…,n )个，则数列k a 与1(2)k a k n -≤≤的关系为112k k a a n k --=+-．解：1(1)k k a k n k a ---+-=13．已知函数2()31f x x bx =++是偶函数，()5g x x c =+是奇函数，正数数列{}n a 满足11a =，211()()1n n n n n f a a g a a a +++-+=，求数列{}n a 的通项公式为12()(*)3N n n a n -=∈．()f x 是偶函数，20()31;()b f x x g x ⇒=⇒=+是奇函数0()5c g x x ⇒=⇒=，2221111()()13()15()1n n n n n n n n n n f a a g a a a a a a a a +++++-+=⇒++-+=[]11112()3()503()53n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++⇒++-=⇒+=⇒=，{}n a ⇒是等比数列 12()(*)3N n n a n -⇒=∈．14．已知{}n a 是递增数列，且对任意*N n ∈都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是[3,)-+∞．解：数列{}n a 是递增数列，且2n a n n λ=+，则3, 3.22λλ-≤≥-故二、解答题15. 已知,,αβγ成公比为2的等比数列,其中[]0,2απ∈，且sin ,sin ,sin αβγ也成等比数列，求,,αβγ的值.解:由sin ,sin ,sin αβγ成等比数列2sin sin sin βαγ⇒=⋅,又,,αβγ成等比数列2sin 2sin sin 4cos cos2cos 1αααααα⇒=⋅⇒=⇒=或12-又[]24020233ππαπαπ∈⇒=，（舍）或或或（舍）2484816.333333ππππππαβγαβγ=⇒===⇒==，；，16. 设二次方程2110(N)n n a x a x n +-+=∈有两根α和β，且满足6263ααββ-⋅+=, (1)试用n a 表示1n a +；(2)求证:数列2{}3n a -是等比数列；(3)当176a =时，求数列{}n a 的通项公式. 解:(1)由题意得，11n n n a a a αβαβ+⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入条件得，11216323n n n n n a a a a a ++-=⇒=+；(2)由(1)可知，11221213()()232323n n n n a a a a ++--=-⇒=-，故数列23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(3)由(2)可得，1122112()()()33223n n n n a a a --=-⋅⇒=+.17.已知23123()3nn f x a x a x a x a x =++++，且123,,,,n a a a a 组成等差数列(n 为偶数)，又2(1),(1)f n f n =-=，比较1()2f 与3的大小.思路分析：先用题设条件求出{a n }的公差d 和首项a 1，获得{a n }的通项公式，再求出表达式，进而求出1()2f 的值即可作出比较．解：设{}n a 的首项为a 1,公差为d ，由2(1)f n =，2123,n a a a a n ++++=21(1),2n n na d n -+=即10,22nd da n +--=(1):f n -=由可得 1234n a a a a a n -+-+-+=，1,2 1.a a n ==-即故23()35(21)n f x x x x n x =++++-，由错位相减法得111123()122()(21)()332222n n n n f n -+=+---=-<． 18. 已知数列{}n a 中的相邻两项212,k k a a -是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++⋅= 的两个根，且212k k a a -≤(1,2,3,k =…)．(1)求1357,,,a a a a 及2(4)n a n ≥(不必证明)； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .解：（1）方程2(32)320k k x k x k -++⋅=的两根为123,2k x k x ==，当k =1时，123,2x x ==，所以12a =，当k =2时，126,4x x ==，所以34a =，当k =3时，129,8x x ==，所以58a =，当k =４时，1212,16x x ==，所以712a =，因为当n ≥4时， 23n n >,所以22(4)n n a n =≥(2) 212n S a a =++…+2(36n a =++…+3n)+ (24++…+21332)222nn n n++=+-.19. 已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()N n n S n *∈均在函数()y f x =的图象上． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有N n *∈都成立的最小正整数m .解:(1)设这二次函数f (x )＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x )=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得a=3 , b=－2, 所以 f (x )＝3x 2－2x.又因为点(,)()N n n S n *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－231)2(1)n n ⎡⎤---⎣⎦（＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5（N n *∈） (2)由(1)得知13n n n b a a +=＝[]3(65)6(1)5n n ---＝111()26561n n --+，故T n ＝∑=ni i b 1＝1211111(1)()...()77136561n n ⎡⎤-+-++-⎢⎥-+⎣⎦＝12（1－161n +）.因此，要使12(1－161n +)<20m （N n *∈）成立的m,必须且仅须满足12≤20m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.20. 已知数列{}n a 满足*111,21()N n n a a a n +==+∈, (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n a 满足12111*444(1)()N n n b b b b n a n ---=+∈ (n ∈N *),证明:{}n b 是等差数列.解：(1) *121(),N n n a a n +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．12.n n a ∴+= 即 21(*)N n n a n =-∈.(2)证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+ 12(...)42.n n k k k nnk +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++=③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+= *211(),N n n n n b b b b n +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列．证法二：同证法一，得1(1)20n n n b nb +--+=，令1,n =得1 2.b = 设22(),R b d d =+∈下面用数学归纳法证明 2(1).n b n d =+- （1）当1,2n =时，等式成立．（2）假设当(2)n k k =≥时，2(1),k b k d =+-那么122[2(1)]2[(1)1].1111k k k k b b k d k d k k k k +=-=+--=++----- 这就是说，当1n k =+时，等式也成立．根据（1）和（2），可知2(1)n b n d =+-对任何*N n ∈都成立．{}1,n n n b b d b +-=∴是等差数列.。

2008届高三第二次调研考试数学试题(理科)校对版

2008届高三调研考试数学试题(理科)本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：1．考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2．选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。

答在试题卷上不得分；3．考试结束，考生只需将答题案交回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =．第一部分选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数1z i =+，则2z= A ． i 2-B ．i 2C ． i -1D ． i +12. 设全集,U R =且{}|12A x x =->,{}2|680B x x x =-+<,则()U C A B =A.[1,4)-B.(2,3) C .(2,3] D.(1,4)-3. 椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（） A ．14B ．12C ． 2D ．4 4. ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，6AB =，则C ∠=A ．6π B ．4π C ．34π D ．4π或34π5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2510,55S S ，则过点(,)n P n a 和2(2,)n Q na(n N *)的直线的斜率是A ．4B ．3C ．2D ．16.已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ，且1)2()4(=-=f f ，)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如图所示. 则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(00b a f b a 所围成的面积是A ．2B ．4C ．5D ．8ODCBA7. 一台机床有13的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A 时,停机的概率是310, 加工B 时,停机的概率是25, 则这台机床停机的概率为( )A. 1130B. 307C. 107D. 1018. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过()n n N +∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数。

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江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练7．导数及应用 (二)新海高级中学宋瑞东付克娜一、填空题：1．曲线y = 13x 3-x 2+5在x =1处的切线的倾斜角是．2．函数y =2x 3-3x 2-12x +5在［0,3］上的最大值和最小值分别是． 3．点P 的曲线y =x 3-x +23上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围．4．已知函数f (x )=x 2(ax+b )(a,b ∈R )在x =2时有极值，其图象在点(1,f (1))处的切线与直线3x +y =0平行，则函数f (x )的单调减区间为．5．若函数y =f (x )=ax 3-bx 2＋cx 的图象过点A (1，4)，且当x =2时，y 有极值0，则f (-1)= ． 6．曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为．7．已知函数f (x )=(2x +a )2;若f (x )在x =a 处的导数值为20,则 a = ．8．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的条件．9．垂直于直线x -3y =0且与曲线y =233x x -相切的直线方程为． 10．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是． 11．已知函数y =x +xm在区间(2,)+∞递增,求实数m 范围． 12．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+ ＝．13．若函数f (x )=1323+-x a x 的图象与直线y =3只有一个公共点,则实数a 的取值范围是．14．已知函数f (x )=3231x ax ax -++在区间(,)-∞+∞内既有极大值,又有极小值,则实数a 的取值范围是．二、解答题：15．已知函数32(),f x x ax bx c =+++若23x =时，()y f x =有极值．()y f x =在点(1,(1))f处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l ．（1）求c b a ,,的值；（2）求]1,4[)(-=在x f y 上的最大值和最小值．16．已知函数321()2132a f x x x x =-++，且12,x x 是()f x 的两个极值点,12013x x <<<<．（1）求a 的取值范围；（2）若212||22x x m bm -≥--对[1,1]b ∈-恒成立,求实数m 的取值范围．17．已知函数32331y x px px =+++．（1）试问该函数能否在1-=x 处取到极值？若有可能，求实数p 的值；否则说明理由；（2）若该函数在区间),1(+∞-上为增函数，求实数p 的取值范围．18．已知函数)1,0(ln )(2在ax x x x f -+=上是增函数，（1）求a 的取值范围；（2）在（1）的结论下，设]3ln ,0[|,|)(2∈-+=x a e e x g x x ，求函数)(x g 的最小值．19．已知：函数()(, 2.71828x x f x xe e x e -=+∈=R 是自然对数的底数)（1）证明：2'(1)1()x xx e f x e +-=；（2）证明：()f x 在(,0]-∞上为减函数，在[)0,+∞上为增函数．20．已知R c b a ∈,,且三次方程0)(23=-+-=c bx ax x x f 有三个实根.,,321x x x （1）类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；（2）若c b a ,,均大于零，证明：321,,x x x 都大于零；（3）若,||2,(),Z Z a b b f x x x αβ∈∈<==且在处取得极值，且101,αβ-<<<< 试求此方程三个根两两不等时c 的取值范围．7.导数应用(二)新海高级中学宋瑞东付克娜一、填空题：1．曲线y = 13x 3-x 2+5在x =1处的切线的倾斜角是 135．解:y '=x 2-2x ；k =(1)1f '=-；∴135α=．2．函数y =2x 3-3x 2-12x +5在［0,3］上的最大值和最小值分别是 12和-4 ．解:令266120,y x x '=--= 可得2x =或1x =-，f (0)=5;f (2)= -15;f (3)=-4；函数最大值为12，最小值为-4．3. 点P 的曲线y =x 3-x +23上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是[0,)[,)24πππ⋃．解:231;1,[0,)[,)24y x y ππαπ''=-≥-∴∈⋃．4. 已知函数f (x )=x 2(ax+b )(a,b ∈R )在x =2时有极值，其图象在点(1,f (1))处的切线与直线3x +y =0平行，则函数f (x )的单调减区间为（0, 2）．解:232;(2)1240;(1)323;1,3,y ax bx f a b f a b a b '''=+=+==+=-∴==-2360y x x '=-<∴0<x <2．5. 若函数y =f (x )=ax 3-bx 2＋cx 的图象过点A (1，4)，且当x =2时，y 有极值0，则f (-1)= 36 .解:f (1)=4,f (2)=0, f '(2)=0a-b+c=4…(1) 8a -4b +2c =0…(2) 12a -4b +c =0…(3) 解得:a =4,b=c =16;f (-1)=36．6. 曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为．解:121e 2x y '=;切线y-221e e (4)2x =-;令x =0,y =2e ,-y =0,x =2得三角形面积=e 2．7. 已知函数f (x )=(2x +a )2，若f (x )在x =a 处的导数值为20，则 a = ．解：()f x '=2(2x +a )2⋅,∴ ()f a '=4(2a+a )=20,53a ∴=． 8．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的必要条件．9．垂直于直线x -3y =0且与曲线y =323x x -相切的直线方程为 3x +y -1=0 ．解:2363,1,223(1)y x x x y y x '=-=-∴==-∴+=--即3x +y -1=0.10．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是1(,)e -+∞．解：y '=ln x +1>0,1(,)ex ∈+∞． 11．已知函数y =x +xm在区间(2,)+∞递增,求实数m 范围(,4]-∞．解：210my x'=-≥对一切实数(2,)x ∈+∞都成立，得m 4≤． 12．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+ ＝ 3 ．解：(1,f(1))在y =122x +上,f(1)=15222+=，又f '(1)=12'(1)(1)3f f ∴+=．13．若函数f (x )=3231x a x -+的图象与直线y =3只有一个公共点,则实数a 的取值范围是（-1，1）．解：22()333()()f x x a x a x a '=-=-+．(1) 当a >0时，f (x )的极值点为1x a =-，2x a =且f (-a )为f (x )的极大值，f (a )为f (x )的极小值，欲使f (x )的图象与直线y =3只有一个交点，则有f (-a )<3;得0<a <1． (2) 当a <0时，仿上得-1<a <0； (3) 当a =0时，显然成立；综上得-1<a <1．14．已知函数f (x )=3231x ax ax -++在区间(,)-∞+∞内既有极大值,又有极小值,则实数a 的取值范围是(,0)(3,)-∞⋃+∞．解:y '=3x 2-2ax +3a =0有两个不同实根,∆∴>0得a <0或a >9．二、解答题：15．已知函数32()f x x ax bx c =+++，若23x =时，()y f x =有极值.()y f x =在(1,(1))f 处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l.（1）求c b a ,,的值；（2）求()[4,1]y f x =-在上的最大值和最小值解：（1）2()32.f x x ax b '=++由题意，得22222()3()20,2,3334.(1)3121 3.f a b a b f a b ⎧'=⨯+⨯+==⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪'=⨯+⨯+=⎩解得设切线l 的方程为3y x m =+，由原点到切线l，1.m ==±解得 ∵切线l 不过第四象限， 1.m ∴=∴切线l 的方程为31y x =+，由于切点的的横坐标为x =1，∴切点坐标为（1，4）， ∵(1) 4.14,f a b c =+++=∴5c =.（2）由（1）知32()245f x x x x =+-+，所以2()344(2)(32)f x x x x x '=+-=+-，令122()0,2,3f x x x '==-=得．列表如下：)(x f ∴在[-4，1]上的最大值为13，最小值为－11.16. 已知函数321()2132a f x x x x =-++,且12,()x x f x 是的两个极值点,12013x x <<<<. （1）求a 的取值范围；（2）若212||22x x m bm -≥--对[1,1]b ∈-恒成立,求实数m 的取值范围. 解：（1）2()2f x x ax '=-+，由题知：(1)120113(3)93203f a a f a '=-+<⎧⇒<<⎨'=-+>⎩（2）由（1）知：12||1x x - 2221m bm ∴--≤对[1,1]b ∈-恒成立，所以：2223011230m m m m m ⎧+-≤⎪⇒-≤≤⎨--≤⎪⎩.17. 已知函数32331y x px px =+++.（1）试问该函数能否在1x =-处取到极值？若有可能，求实数p 的值；否则说明理由；（2）若该函数在区间(1,)-+∞上为增函数，求实数p 的取值范围. 解：（1）32331y x px px =+++， 2363y x px p '=++，若该函数能在1x =-处取到极值，则1|3630x y p p =-'=-+=,即1=p ，此时，223633(1)0y x x x '=++=+≥，函数为单调函数，这与该函数能在1-=x 处取到极值矛盾，则该函数不能在1x =-处取到极值. （2）若该函数在区间(1,)-+∞上为增函数，则在区间(1,)-+∞上，23630y x px p '=++≥恒成立，① 11(1)3630p p f p p -≤-⎧⇒=⎨'-=-+≥⎩；② 2101()330p p f p p p ->-⎧⇒≤<⎨'-=-≥⎩，综上可知，01p ≤≤.18.已知函数2()ln (0,1)f x x x ax =+-在上是增函数，（1）求a 的取值范围；（2）在（1）的结论下，设]3ln ,0[|,|)(2∈-+=x a e e x g x x ，求函数)(x g 的最小值.解：（1）1()2f x x a x'=+- ,∵)1,0()(在x f 上是增函数， ∴12x a x +≥在（0，1）上恒成立，即 12a x x ≤+恒成立 .∵2212≥+xx （当且仅当x =，∴22≤a .（2）设||)(2a t t t h e t x -+==，则,当1≤a 时，a t t t h -+=2)(在区间[1，3]上是增函数，所以)(t h 的最小值为.2)1(a h -=当1a <≤, 22(1)()(3)t t a t a h t t t a a t ⎧-+≤<⎪=⎨+-<≤⎪⎩.因为函数()h t 在[,3]a 上是增函数，在区间[1，a]上也是增函数，又()[1,3]h t 在上为连续函数，所以()[1,3]h t 在上为增函数，所以)(t h 的最小值为a h =)1(.所以，当)(1x g a 时，≤的最小值为a -2,当1a <≤, ()g x 的最小值为a . 19. 已知：函数()(, 2.71828R x x f x xe e x e -=+∈=是自然对数的底数)（1）证明：2(1)1()x xx e f x e +-'=；（2）证明：()f x 在(,0]-∞上为减函数，在[0,)+∞上为增函数. 解：（1）由已知得2'(1)1()x xxxxx e f x e xe ee -+-=+-=（2）当1x ≤-时，'()0f x <当1x >-时，令2()(1)1x g x x e =+-，则()g x 在(1,)-+∞上为增函数，又(0)0g =，∴当10x -<<时，()0g x <，'()0f x <；当0x >时，()0g x <，()0f x '< ∴综上知：()f x 在(,0]-∞上为减函数，在[0,)+∞上为增函数（3）∵()()()h x f x f x '=-∴()()()2x x x x x x x h x e xe e xe e e e ---=+--+=-∴23123(1)(2)(3)()()2()n n h h h h n e e e e e e e e ----+++=++++-++++ 111111222111n n n e e e e e e e e e e+---+----+--=-=---1111221111n nn n e ee e e e e e +-+-+++<<<+--- 又115551313()12(1)232n n n n n e n n e n e e e e++++++<⋅+⇔<⋅⇔<-- ∵()133ne e<<，563122n e e e +>=>，∴5()32n e n e+< ∴5(1)(2)(3)()31()2(1)N nn h h h h n n e +++++<+∈-20.已知,,R a b c ∈且三次方程0)(23=-+-=c bx ax x x f 有三个实根.,,321x x x（1）类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；（2）若c b a ,,均大于零，证明：321,,x x x 都大于零；（3）若,||2,(),Z Z a b b f x x x αβ∈∈<==且在处取得极值，且101,αβ-<<<< 试求此方程三个根两两不等时c 的取值范围.解：（1）由已知得，),)()((32123x x x x x x c bx ax x ---=-+-比较两边系数，得321133221321,,x x x c x x x x x x b x x x a =++=++= （2）由c>0，得1x ，32,x x 三数中或全为正数或一正二负。