势阱中的粒子

由此解得最大值得位置为 例如
n = 1, N = 0 n = 2 , N = 0 , 1,
最大值位置 最大值位置
x= Hale Waihona Puke a 23 x= 1a,4a 4
n = 3 , N = 0 ,1, 2 , 最大值位置
3 x = 1 a , 6 a, 5 a, 6 6
可见，概率密度最大值的数目和量子数 相等 相等。 可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
T=
ψ3 (a)
A
2
2
≈e
−2 a 2m(U0 −E) h
贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。 贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。
三、谐振子
谐振子的势能为
薛定谔方程为
1 2 1 2 2 U = kx = mω x 2 2 2 d ψ 2m 1 2 2 + 2 (E − mω x )ψ = 0 2 dx h 2
例题2试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 例题 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大 值的 位置。 位置。 解： 一维无限深势阱中粒子的概率密度为
2 φn (n) = a sin2 nπ x a 2
n = 1,2,3,L
将上式对x求导一次， 将上式对 求导一次，并令它等于零 求导一次
d φn ( x ) dx
0 U(x) = ∞
0< x <a
x ≤ 0, x ≥ a
∞
∞
o
a
x
dU(x) 保守力与势能之间的关系： 保守力与势能之间的关系： F = − dx 在势阱边界处，粒子要受到无限大、 在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的 表明粒子不能越出势阱, 力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概 率为0 率为0。 势阱内的一维定态薛定谔方程为 薛定谔方程为： 势阱内的一维定态薛定谔方程为：
nπ K= a
得
π 2h2 n2, n =1,2,3⋅⋅⋅ En = 2
2ma
能量取分立值（能级），能量量子化 能量取分立值（能级），能量量子化 ）， 是粒子处于束缚态的所具有的性质。 是粒子处于束缚态的所具有的性质。
（2）粒子的最小能量不等于零
最小能量
nh E1 = 2 2ma
2 2
也称为基态能或零点能。 也称为基态能或零点能。
a 2
C sin nπx d x =1 ∫0 Ψ(x, t) d x = ∫0 a
2 a
2 nπ 得波函数表达式： i 得波函数表达式： Ψ (x, t) = sin xe a a
2 C= a
i − Et h
讨
论：
(1)粒子能量不能取连续值 (1)粒子能量不能取连续值 由
2mEn 2 K＝ 2 , h
2 1
E < U0 ,
k2 为实数
d2ψ1 2 + k1 ψ1 = 0 2 dx d2ψ2 2 − k2 ψ2 = 0 2 dx d2ψ3 2 + k1 ψ3 = 0 2 dx

−ik1x
ψ1(x) = Ae
解为： 解为：
ik1x k2 x
+ A′e + C′e
ψ2 (x) = Be ψ3 (x) = Ce
n =
2
h2 a 8m 2
n
2
2
得到两相邻能级的能量差 ∆E = En+1 − En = (2n + 1) h 2 8m a 可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而 可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加， 且与粒子的质量m和势阱的宽度 有关。 和势阱的宽度a有关 且与粒子的质量 和势阱的宽度 有关。 当a=1cm时 时
Ψ ( x)
2
经典理论无 法解释， 法解释，实验得 到证实。 到证实。
0
a
设想一电子在无限深势阱， 例题 1 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别为 1.0×10-2m和10-10m 。试讨论这两中情况下 相邻能级的能量差。 相邻能级的能量差。 × 和
解： 根据势阱中的能量公式
E=
π2h2 a 2m 2
E = 8×9.11×10−31kg×(10−2 m)2 n = 6.04 ×10−34 × n2J = 3.37 ×10
−15
( 6.63×−34 J ⋅ s )2
2
× n eV
2
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的， 在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我 们可以把电子的能级看作是连续的。 们可以把电子的能级看作是连续的。 当a=10-10m时 时
E = 37.7 × n eV
2
∆E = (2n + 1) × 37.7eV
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的， 在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的， 这时电子能量的量子化就明显的表现出来。 这时电子能量的量子化就明显的表现出来。
当n>>1 时 ,能级的相对间隔近似为 能级的相对间隔近似为
其能量本征值为
1 En = (n + )hω, n = 0,1,2,3L 2 1 E0 = hω 能级间隔 hω 基态能(零点能) 基态能(零点能) 2
U
n=3 n=2 n =1 n=0 o
7 hω 2 5 hω 2 3 hω 1 2 hω 2
x
一维谐振子的能级
相邻两个最大值之间的距离
∆x =
如果阱宽a不变， 如果阱宽 不变，当 不变
a n
n →∞
x →0
时
这时最大值连成一片，峰状结构消失， 这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布 成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。 成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。
二、一维势垒
隧道效应
一维方势阱如图
U
U0 E
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
U0 U(x) = 0
0< x<a x < 0, x > a
方向运动,当 粒子沿 x 方向运动 当 E > 0 粒子可以通过势垒。 粒子可以通过势垒。
o
a
x
实验证明粒子也能通过势垒,这只有 当 E < 0 ，实验证明粒子也能通过势垒 这只有 由量子力学的到解释。 由量子力学的到解释。
设三个区域的波函数分别为 在各区域薛定谔方程分别为
2 2
ψ1,ψ2 ,ψ3
h d ψ1 − = Eψ1 2 2m d x 2 2 h d ψ2 − +U0ψ2 = Eψ2 2 2m d x 2 2 h d ψ3 − = Eψ3 2 2m d x
令
2mE 2m(U0 − E) k = 2 , k2 = 2 h h
∆En En
≈
h2 2n 2 8ma 2 h2 n 8ma2
=
2 n
随着n的增加成反比地 可见能级的相对间隔 ∆En随着 的增加成反比地 减小。 减小。当
n →∞
∆E 时 ， n 较之 En
En要小的多。这时， 要小的多。这时，
能量的量子化效应就不显著了， 能量的量子化效应就不显著了，可认为能量是连续的 ，经典图样和量子图样趋与一致。所以，经典物理可 经典图样和量子图样趋与一致。所以， 时的极限情况。 以看作是量子物理中量子数 n → ∞时的极限情况。
Ψ ( x )
2 2 nπ = sin ( x) a a
Ψ (x)
2
当 n 很大 时， 量子 概率分布 就接近经 典分布
n =4 n =3 n =2 a n =1
0
0
a
有限深势阱， （4）有限深势阱，粒子出现的概率分布 如果势阱不是 无限深， 无限深，粒子的能 量又低于势璧， 量又低于势璧，粒 子在阱外不远处出 现的概率不为零。 现的概率不为零。
′e−k2x +B
−ik1x
ik1x

三个区域中波函数的 情况如图所示： 情况如图所示： 在粒子总能量低于势 垒壁高的情况下, 垒壁高的情况下,粒子有 一定的概率穿透势垒. 一定的概率穿透势垒. 此 现象称为隧道效应 隧道效应。 现象称为隧道效应。
隧道效应
贯穿势垒的概率定义为在x = a 处透射波的强度与 入射波的强度之比： 入射波的强度之比：
h d ψi − = Eψi 2 2m d x
2 2
解为： 解为：
ψi (x) = Csin(kx + δ )
2mE k = 2 h
2
由边界条件得： 由边界条件得：ψi (0) = C sin δ
=0
ψi (a) = C sin ka = 0 δ =0 ka = nπ , n =1,2,3L
据归一化条件，得 据归一化条件，
2
x=0
m π π = 4a2π sin na x cos na x = 0
π 0 < x < a , sin na x ≠ 0
因为在阱内， 因为在阱内，即 只有
π cos na x = 0
于是
nπ a
x = (2N + 1) π 2
N = 0,1,2,L, n − 1 x = (2N + 1) 2an
§12-5 势阱中的粒子 势垒 谐振子
一、一维无限深势阱
的粒子，在保守力场的作用下， 若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被限 制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。 制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。 为了简化计算，提出理想模型 无限深势阱。 为了简化计算，提出理想模型——无限深势阱。 无限深势阱 一维无限深势阱： 一维无限深势阱：
零点能的存在与不确定度关系协调一致。 零点能的存在与不确定度关系协调一致。
(3)粒子在势阱内出现概率密度分布 (3)粒子在势阱内出现概率密度分布 经典观点： 不受外力的粒子在0 经典观点： 不受外力的粒子在0到 a 范围内 出现概率处处相等。 出现概率处处相等。 量子论观点： 量子论观点