§1-3在维势箱中运动的粒子-结构化学课件.
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contents
目录
• 结构化学简介 • 原子结构与性质 • 分子的电子结构与性质 • 晶体结构与性质 • 结构化学实验结构化学的定义
总结词
结构化学是一门研究物质结构与 性质之间关系的科学。
详细描述
结构化学主要研究原子的排列方 式、电子分布和分子间的相互作 用，以揭示物质的基本性质和行 为。
晶体的电导率、热导率等性质取决于其内 部结构，不同晶体在这些方面表现出不同 的特性。
晶体的力学性质
晶体材料的应用
晶体的硬度、韧性等力学性质与其内部原 子排列密切相关，这些性质决定了晶体在 不同工程领域的应用价值。
晶体材料广泛应用于电子、光学、激光、 半导体等领域，如单晶硅、宝石等。了解 晶体的性质是实现这些应用的关键。
分子的选择性
分子的选择性是指分子在化学反应中对反应物的选择性和对产物的选择性。选择性强的分 子可以在特定条件下优先与某些反应物发生反应，产生特定的产物。
04
晶体结构与性质
晶体结构的基础知识
晶体定义与分类
晶体是由原子、分子或离子在空 间按一定规律重复排列形成的固 体物质。根据晶体内部原子、分 子或离子的排列方式，晶体可分 为七大晶系和14种空间点阵。
电子显微镜技术
• 总结词：分辨率和应用 • 电子显微镜技术是一种利用电子显微镜来观察样品的技术。相比光学显微镜，
电子显微镜具有更高的分辨率和更大的放大倍数，因此可以观察更细微的结构 和组分。 • 电子显微镜技术的分辨率一般在0.1~0.2nm左右，远高于光学显微镜的分辨 率（约200nm）。因此，电子显微镜可以观察到更小的晶体结构、病毒、蛋 白质等细微结构。 • 电子显微镜技术的应用范围很广，例如在生物学领域中，可以用于观察细胞、 病毒、蛋白质等生物样品的结构和形态；在环境科学领域中，可以用于观察污 染物的分布和形态；在材料科学领域中，可以用于观察金属、陶瓷、高分子等 材料的表面和断口形貌等。
contents
目录
• 结构化学简介 • 原子结构与性质 • 分子的电子结构与性质 • 晶体结构与性质 • 结构化学实验结构化学的定义
总结词
结构化学是一门研究物质结构与 性质之间关系的科学。
详细描述
结构化学主要研究原子的排列方 式、电子分布和分子间的相互作 用，以揭示物质的基本性质和行 为。
晶体的电导率、热导率等性质取决于其内 部结构，不同晶体在这些方面表现出不同 的特性。
晶体的力学性质
晶体材料的应用
晶体的硬度、韧性等力学性质与其内部原 子排列密切相关，这些性质决定了晶体在 不同工程领域的应用价值。
晶体材料广泛应用于电子、光学、激光、 半导体等领域，如单晶硅、宝石等。了解 晶体的性质是实现这些应用的关键。
分子的选择性
分子的选择性是指分子在化学反应中对反应物的选择性和对产物的选择性。选择性强的分 子可以在特定条件下优先与某些反应物发生反应，产生特定的产物。
04
晶体结构与性质
晶体结构的基础知识
晶体定义与分类
晶体是由原子、分子或离子在空 间按一定规律重复排列形成的固 体物质。根据晶体内部原子、分 子或离子的排列方式，晶体可分 为七大晶系和14种空间点阵。
电子显微镜技术
• 总结词：分辨率和应用 • 电子显微镜技术是一种利用电子显微镜来观察样品的技术。相比光学显微镜，
电子显微镜具有更高的分辨率和更大的放大倍数，因此可以观察更细微的结构 和组分。 • 电子显微镜技术的分辨率一般在0.1~0.2nm左右，远高于光学显微镜的分辨 率（约200nm）。因此，电子显微镜可以观察到更小的晶体结构、病毒、蛋 白质等细微结构。 • 电子显微镜技术的应用范围很广，例如在生物学领域中，可以用于观察细胞、 病毒、蛋白质等生物样品的结构和形态；在环境科学领域中，可以用于观察污 染物的分布和形态；在材料科学领域中，可以用于观察金属、陶瓷、高分子等 材料的表面和断口形貌等。
结构化学1-3
x
★ 根据边界条件确定方程的特解
因为必须是连续的，即 (0)= (l)=0，故有
(0) c1 cos(0) c2 sin(0) 0
c1 0 c2 0
(l) c2 sin 2m El 0
2m E l n n 1, 2,3
n2π22 n2h2 E 2ml 2 8ml 2
2πx
)dx
a0
a
a0 a
a
a0
a
例：函数 ( x) 2
2 sin πx 3 aa
2 sin 2πx aa
是不是一维势箱中
粒子的一种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？
如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？
解：
a
*dx
8
asin2( πx )dx 24
解：
a
*
Hˆ dx
0
E *(Hˆ )d *d
0a 2
2 sin πx 3 aa
2 a
sin
2πx a
h2 8π2m
d2 dx 2
2
2 sin πx 3 aa
2 a
sin
2πx a
dx
h2
4ma2
0a 2
sin
2πx a
h2 8π2m
d2 dx 2
2
2 sin πx 3 aa
2 a
sin
2πx a
h2 8π2m
π2 a2
2
2 πx 4π2
sin a
《结构化学》PPT课件
(2)反键轨道具有和成键轨道相似的性质，每一轨道也可 按Pauli不相容原理、 能量最低原理和Hund规则安排电子， 只不过能级较相应的成键轨道高，轨道的分布形状不同。
(3)在形成化学键的过程中，反键轨道并不都是处于排斥 的状态，有时反键轨道和其他轨道相互重叠，也可以形成 化学键，降低体系的能量，促进分子稳定地形成。利用分 子轨道理论能成功地解释和预见许多化学键的问题，反键 轨道的参与作用常常是其中的关键所在，在后面讨论分子 的化学键性质时，将会经常遇到反键轨道的作用问题。
方程
i i
ii
分子体系总能量 E = ∑Ei
2．分子轨道是由分子中原子的原子轨道线性组合(li near combination of atomic orbitals， LCAO)而成。
由n个原子轨道组合可得到n个分子轨道，线性组合 系数可用变分法或其它方法确定。由原子轨道形成 的分子轨道，能级低于原子轨道的称为成键轨道， 能级高于原子轨道的称为反键轨道，能级等于或接 近原子轨道的一般为非键轨道。 3．两个原子轨道要有效地组合成分子轨道，必须满 足对称性匹配，能级相近和轨道最大重叠三个条件。 其中对称性匹配是先决条件，其它影响成键的效率。 4．分子中电子按 Pauli不相容原理、 能量最低原 理和Hund规则排布在MO上
三键 三键
CO、NO的电子组态分别如下： CO [( 1σ)2 ( 2σ)2 ( 3σ)2 (4σ)2 (1π)4 (5σ)2 ] NO [( 1σ)2 ( 2σ)2 ( 3σ)2 (4σ)2 (1π)4 (5σ)2 (2π)1 ]
CO :
CO与N2是等电子体，
一样也是三重键：一个σ键， 二个π键，但是与N2分子不 同的是有一个π键为配键， 这对电子来自氧原子。(如 右图所示）CO作为一种配 体，能与一些有空轨道的 金属原子或离子形成配合 物。例如同ⅥB，ⅦB和Ⅷ 族的过渡金属形成羰基配 合物：Fe（CO)5、Ni(CO)4 和Cr(CO)6等。
(3)在形成化学键的过程中，反键轨道并不都是处于排斥 的状态，有时反键轨道和其他轨道相互重叠，也可以形成 化学键，降低体系的能量，促进分子稳定地形成。利用分 子轨道理论能成功地解释和预见许多化学键的问题，反键 轨道的参与作用常常是其中的关键所在，在后面讨论分子 的化学键性质时，将会经常遇到反键轨道的作用问题。
方程
i i
ii
分子体系总能量 E = ∑Ei
2．分子轨道是由分子中原子的原子轨道线性组合(li near combination of atomic orbitals， LCAO)而成。
由n个原子轨道组合可得到n个分子轨道，线性组合 系数可用变分法或其它方法确定。由原子轨道形成 的分子轨道，能级低于原子轨道的称为成键轨道， 能级高于原子轨道的称为反键轨道，能级等于或接 近原子轨道的一般为非键轨道。 3．两个原子轨道要有效地组合成分子轨道，必须满 足对称性匹配，能级相近和轨道最大重叠三个条件。 其中对称性匹配是先决条件，其它影响成键的效率。 4．分子中电子按 Pauli不相容原理、 能量最低原 理和Hund规则排布在MO上
三键 三键
CO、NO的电子组态分别如下： CO [( 1σ)2 ( 2σ)2 ( 3σ)2 (4σ)2 (1π)4 (5σ)2 ] NO [( 1σ)2 ( 2σ)2 ( 3σ)2 (4σ)2 (1π)4 (5σ)2 (2π)1 ]
CO :
CO与N2是等电子体，
一样也是三重键：一个σ键， 二个π键，但是与N2分子不 同的是有一个π键为配键， 这对电子来自氧原子。(如 右图所示）CO作为一种配 体，能与一些有空轨道的 金属原子或离子形成配合 物。例如同ⅥB，ⅦB和Ⅷ 族的过渡金属形成羰基配 合物：Fe（CO)5、Ni(CO)4 和Cr(CO)6等。
第三章 箱中的粒子
利用恒等式去计算积分
1 1 sin ni t sin n j t cos[( ni n j )t ] cos[( ni n j )t ] 2 2
j dx 于是： i *
2
0
1 2 1 cos[(ni n j )t ]dt cos[(ni n j )t ]dt 2 0 2
1/ 2
c2e
i ( 2mE )1 / 2 x /
(2mE) x /
II c1e c2e
i
i
由于：
e cos i sin
(c1 c2 ) cos i(c1 c2 ) sin A cos B sin
i
则： II c1 cos ic1 sin c2 cos ic2 sin
2
上述方程为常系数二阶线齐次方程，其辅助方程为：
s 2 2m E 2 0
此，上式可写为：
s 2mE
1
1
此处能量E为势能（为零）加上动能，所以为正的，因
s i 2mE
代入常系数二阶线齐次方程的通解公式，得：
II c1e
暂令： 则：
i ( 2mE )1 / 2 x /
1 1/ 2 1 1/ 2 A cos[ ( 2 mE ) x ] B sin[ ( 2 mE ) x] 于是： II
下面利用边界条件求任意常数A与B。
由于波函数是连续的，其值不会发生突跃。
若ψ在x=0点连续，则ψI和ψII在x=0处必趋于同一值，即：
lim I lim II
一维势箱波函数的正交归一性
对于一维势箱中特定的波函数Ψi，其量子数为ni，则：
1 1 sin ni t sin n j t cos[( ni n j )t ] cos[( ni n j )t ] 2 2
j dx 于是： i *
2
0
1 2 1 cos[(ni n j )t ]dt cos[(ni n j )t ]dt 2 0 2
1/ 2
c2e
i ( 2mE )1 / 2 x /
(2mE) x /
II c1e c2e
i
i
由于：
e cos i sin
(c1 c2 ) cos i(c1 c2 ) sin A cos B sin
i
则： II c1 cos ic1 sin c2 cos ic2 sin
2
上述方程为常系数二阶线齐次方程，其辅助方程为：
s 2 2m E 2 0
此，上式可写为：
s 2mE
1
1
此处能量E为势能（为零）加上动能，所以为正的，因
s i 2mE
代入常系数二阶线齐次方程的通解公式，得：
II c1e
暂令： 则：
i ( 2mE )1 / 2 x /
1 1/ 2 1 1/ 2 A cos[ ( 2 mE ) x ] B sin[ ( 2 mE ) x] 于是： II
下面利用边界条件求任意常数A与B。
由于波函数是连续的，其值不会发生突跃。
若ψ在x=0点连续，则ψI和ψII在x=0处必趋于同一值，即：
lim I lim II
一维势箱波函数的正交归一性
对于一维势箱中特定的波函数Ψi，其量子数为ni，则：
箱中的粒子专业知识课件
3.2 一维自由粒子
一种自由粒子意味着不受任何旳力。对于一种自由粒子，
不论x旳值是什么，势能保持恒定。因为能级零点旳选 用是任意旳，我们可令V(X)=0，薛与 旳定一 方谔维 程方势一程箱样中（能粒除够子边记作：
界条件外）
d 2
dx2
2m 2
E
0所以，其通解为：c e c e i(2mE)1/ 2 x / 1
dx l
III
dx 1
B 2 l sin2 ( nx )dx 1 B 2 l
0
l
2
B
2
1/
2
（B为满足绝对值旳任何数）
l
II
( 2)1/2 sin( nx ),
l
l
n 1,2,3
波函数和概率密度旳图形表达
正弦函数
n=4
n=3 n=2 n=1
波函数
概率密度
n=4
n=3
n=2 n=1
0
x
0
x
经典力学：若粒子能量不小于势垒，则全部粒子飞越 势垒继续迈进；反之，则全部粒子被势垒档回来，没有 粒子能穿过势垒。 量子力学：若粒子能量不小于势垒，除了大部分经过 还有少部分为势垒所反射；虽然粒子能量不不小于势垒， 仍有一定数量旳粒子穿透势垒，这就是微观粒子特有旳 量子效应－－隧道效应。
将上述整个空间分为3个区域，相应旳波函数分别为 ψ1，ψ2，ψ3，满足Schrodinger方程：
i(2mE )1/ 2 x / 2
c e c e i(2mE)1/ 2 x / 1
i(2mE )1/ 2 x / 2
问题：边界条件？
假设当x趋于±∞时Ψ将保持有限是合理旳。若E不大于 零，那么边界条件将被破坏，因为E<0，有：
结构化学课件1-3
∂Ψ / ∂x =A exp[(i2π/h)(x p x－Et)]d/d x [(i2π/h)(x p x－Et)]
= (i2π/h)(p x Ψ) P x Ψ= －( i h/2π)(∂ Ψ / ∂ x)
∴
P x = －(i h/2π)(∂ / ∂ x)
1.2.3 本征态、本征值和 Schrö dinger方程
非本征态的力学量的平均值 若状态函数不是力学量A的算符Â的本征态,当体系 处于这个状态时,Âa,但这时可用积分计算力学量 的平均值： 〈a〉＝∫*Âd 例如，氢原子基态波函数为1s，其半径和势能等均 无确定值，但可由上式求平均半径和平均势能。
பைடு நூலகம்
力学量的平均值
a
ˆ d A
本征函数组的正交，归一的关系
对一个微观体系，自轭算符Â给出的本征函数组 Ψ1 ，Ψ2 ，Ψ3，…形成一个正交，归一的函数组。 (1).归一 ： ∫ψi﹡ψi dτ= 1 (2).正交 ： ∫ψi﹡ψj dτ= 0 (i≠j )
证明： Â ψi = a iψi ， Â ψj = a jψj
本征函数组的正交，归一的关系
i=j 0, i≠j
， ( a i≠a j )
1.2.4 态叠加原理
假设4：若1，2… n为某一微观体系的可能状态， 由它们线性组合所得的也是该体系可能的状态。
c1 1 c2 2 cn n ci i , c1, c2 , cn为任意常数。
i
组合系数ci的大小反映i贡献的多少。为适应原子 周围势场的变化，原子轨道通过线性组合，所得的 杂化轨道（sp，sp2，sp3等）也是该原子中电子可 能存在的状态。 可由c i值求出和力学量A 对应的平均值〈a〉
南开大学结构化学课件1.pdf
普朗克因提出量子化概念获得1918年Nobel物理奖。
Nankai University
黑体辐射研究中理论发展过程
实验数据
黑体模型 Kirchhoff 经典理论
经验关系式 Wien
数学模型
众多实验 证明
量子力学 诞生
量子假说 Planck
Planck 数学模型
Rayleigh-Jeans 数学模型 紫外灾难
“The more important fundamental laws and facts of physical science have all been discovered, and these are now so firmly established that the possibility of their ever being supplanted in consequence of new discoveries is exceedingly remote.... Our future discoveries must be looked for in the sixth place of decima”
麦克斯韦尔(J. C. Maxwell) 1856-1865年 电磁理论 光是一种电磁波。
赫兹(Gustav Hertz) 1887 年，实验验证电磁波
光的波动说似乎已确定无疑
Nankai University
1. 麦克斯韦尔电磁学说：光是一种电磁波，可以用电场
Nankai University
玻尔1913年基于卢瑟福(Ernest Rutherford)提出的原子模型，综合Planck和
Einstein的量子论，提出了关于原子结构的模型
①经典轨道加定态条件
1-3在维势箱中运动的粒子-结构化学课件
2．建立薛定谔方程 需要将薛定谔方程用变数分离法分解成三个一维的微分方程， 然后分别求解，最后由
x y z
x, y, z n x n y n z
E Ex E y Ez
分别求得体系的完全波函数和能级。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
（2）写出薛定谔方程 边界条件：
* a a i j i j d 0
因ai a j， 故 i* j d i dx ij
* i * j
0, 当i j 正交性 ij 1, 当i j 归一性
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
三个波函数对应三种不同的运动状态，但对应同一个能量
值，称三个状态为简并态，简并度为3。
定义：象这样一个能级有两个或两个以上的状态与之对应， 则称此能级为简并能级，相应的状态（波函数）为简并态，
简并态的数目为简并度。
2 n
x ~ x 作图，范围
0 xl
n=4
n=3
n=2 n=1
波函数
几率密度
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
波函数可以有正负变化，但几率密度总是非负的。 节点： 除边界条件 x 节点数：
0, x l 外其余各处 x 0 的点称为节点。
n 1
一般来说,节点越多的状态,波长越短,频率越高,能量越高。 当 n 很大时，将分辨不清箱中各处几率密度的变化，这就是 说，高量子态时趋于经典的均一的几率密度分布。
在一定条件下，如果粒子的活动范围扩大（即 l 增大）， 相应的能量降低，如有机共轭分子中的离域效应。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
(2) 零点能
h2 E1 零点能即基态能量，任何微观粒子的零点能不为零， 8ml 2 (3) 相邻能级间的能差
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在一定条件下，如果粒子的活动范围扩大（即 l 增大）， 相应的能量降低，如有机共轭分子中的离域效应。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
(2) 零点能
h2 E1 零点能即基态能量，任何微观粒子的零点能不为零， 8ml 2 (3) 相邻能级间的能差
h h 2 2 E En1 En n 1 n 2n 1 2 2 8ml 8ml
ˆ a , A j j j
ˆ 当取前式复共轭时，得 A i
a
i
aj
*
ai* i* ai i*
ˆ d a * d 由于 i* A j j i j
而
ˆ d a * d A i j i i j
*
按共轭算符的定义，上两式左边应相等，故
x Acos x B sin x
2mE
其中：
§1-3 在一维势箱中运动的粒子 3．根据边界条件讨论微分方程的特解
必须是连续的，作为该体系的边界条件，应有
0 0, l 0.
(1) 0 0 0 A cos 0 B sin 0 0 A 0 0 A 0
2 n
x ~ x 作图，范围
0 xl
n=4
n=3
n=2 n=1
波函数
几率密度
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
波函数可以有正负变化，但几率密度总是非负的。 节点： 除边界条件 x 节点数：
0, x l 外其余各处 x 0 的点称为节点。
n 1
一般来说,节点越多的状态,波长越短,频率越高,能量越高。 当 n 很大时，将分辨不清箱中各处几率密度的变化，这就是 说，高量子态时趋于经典的均一的几率密度分布。
于是得到量子化的本征值和本征函数。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
三、对本征值和本征函数的讨论
1．本征值E的讨论 (1) 能量量子化
n 1, 基态 n2 h2 En (n 1, 2,3) 2 n 2,3, 激发态 8 ml 注：
一维势箱中粒子的能量是量子化的，不连续的。
n 不能为零。 n 越大，对应的能级越高，m 越大，能量越低。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
4．用波函数的归一化条件,确定待定系数B 根据玻恩的统计解释—即在整个空间找到粒子的几率必须是 100%。要求波函数是归一化的，即：
2
d 1, 得到B l
2
2 n n ( x) sin x l l
●
研究体系
建立薛定谔方程 求出，E
●
●
●
解释、预言体系的性质
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
1．体系的薛定谔方程 箱外：由于粒子在势箱外不出现，(x)=0
ˆ x 0, 箱内：势能为零，V
哈密顿算符：
2 d ˆ T ˆ V ˆ H 2 2 8 m dx 2 2 d h ( ) 2 2m dx 2
h2
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
薛定谔方程：
ˆ E H
2 2
d E 2 2m dx 2 d x 2m 2 E x 0 2 dx '' 2 x 2mE x 0
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
2．解微分方程的通解 上述方程是二阶常系数线性齐次方程 方程的通解：
2
(1) n与En相对应
说明在一维箱中粒子存在多种可能的运动状态。
2 n x n x sin , n 1, 2,3…称为量子数， l l
箱中粒子的每一个 i x 与一个 Ei对应。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
(2) n x 的图像 以 n x ~ x,
0 V x
0 xl x 0和x l
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
③应用范围：
● ● ● ●
金属内自由电子
共轭分子的 电子
真空管中电子的运动 原子内部电子在两个能级之间的跃迁
§1-3
在一维势箱中运动的粒子
二、用薛定谔方程处理一维势箱模型 用量子力学处理一个体系的一般步骤：
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
(2)
l 0, B 0, 只有 sin l 0
n 因此， l n n 1, 2,3……， l 注: n 0
n 的特解： n ( x) B sin x l
n 即 , 两边平方: l n 2 2 2 n 2 h 2 En = (n 1, 2,3) 2 2 2ml 8ml 2mE
* a a i j i j d 0
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
一、一维势箱模型 二、薛定谔方程处理一维势箱模型 三、对本征值和本征函数的讨论 四、三维势箱
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
一、一维势箱模型——求解Schrodinger方程的实例 1．建立模型 ①物理模型：一个质量为m的粒子，不受外力，在一维 方向上被束缚在长度为 l ，势能为零的箱内运动，箱 外的势能无穷大。 ②势能函数：
m越大， l 越大,
E 越小,能量趋向于连续；
2
2
m越小， l 越小, E 越大，量子化越显著。
对于宏观质点，m, l 较大，能量变化非常小，E 0, 完全可以认 为能量的变化是连续的。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
2．一维箱中粒子的波函数 n x 和几率密度 n x
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
2 sin n x 是正交归一化的 (3) n l l
归一性：是指粒子在整个空间出现的几率为1
即： n dx 1
* n
正交性：是指
dx 0 n m
* n m
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
正交性证明如下：
ˆ a , 设有 A i i i
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
(2) 零点能
h2 E1 零点能即基态能量，任何微观粒子的零点能不为零， 8ml 2 (3) 相邻能级间的能差
h h 2 2 E En1 En n 1 n 2n 1 2 2 8ml 8ml
ˆ a , A j j j
ˆ 当取前式复共轭时，得 A i
a
i
aj
*
ai* i* ai i*
ˆ d a * d 由于 i* A j j i j
而
ˆ d a * d A i j i i j
*
按共轭算符的定义，上两式左边应相等，故
x Acos x B sin x
2mE
其中：
§1-3 在一维势箱中运动的粒子 3．根据边界条件讨论微分方程的特解
必须是连续的，作为该体系的边界条件，应有
0 0, l 0.
(1) 0 0 0 A cos 0 B sin 0 0 A 0 0 A 0
2 n
x ~ x 作图，范围
0 xl
n=4
n=3
n=2 n=1
波函数
几率密度
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
波函数可以有正负变化，但几率密度总是非负的。 节点： 除边界条件 x 节点数：
0, x l 外其余各处 x 0 的点称为节点。
n 1
一般来说,节点越多的状态,波长越短,频率越高,能量越高。 当 n 很大时，将分辨不清箱中各处几率密度的变化，这就是 说，高量子态时趋于经典的均一的几率密度分布。
于是得到量子化的本征值和本征函数。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
三、对本征值和本征函数的讨论
1．本征值E的讨论 (1) 能量量子化
n 1, 基态 n2 h2 En (n 1, 2,3) 2 n 2,3, 激发态 8 ml 注：
一维势箱中粒子的能量是量子化的，不连续的。
n 不能为零。 n 越大，对应的能级越高，m 越大，能量越低。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
4．用波函数的归一化条件,确定待定系数B 根据玻恩的统计解释—即在整个空间找到粒子的几率必须是 100%。要求波函数是归一化的，即：
2
d 1, 得到B l
2
2 n n ( x) sin x l l
●
研究体系
建立薛定谔方程 求出，E
●
●
●
解释、预言体系的性质
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
1．体系的薛定谔方程 箱外：由于粒子在势箱外不出现，(x)=0
ˆ x 0, 箱内：势能为零，V
哈密顿算符：
2 d ˆ T ˆ V ˆ H 2 2 8 m dx 2 2 d h ( ) 2 2m dx 2
h2
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
薛定谔方程：
ˆ E H
2 2
d E 2 2m dx 2 d x 2m 2 E x 0 2 dx '' 2 x 2mE x 0
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
2．解微分方程的通解 上述方程是二阶常系数线性齐次方程 方程的通解：
2
(1) n与En相对应
说明在一维箱中粒子存在多种可能的运动状态。
2 n x n x sin , n 1, 2,3…称为量子数， l l
箱中粒子的每一个 i x 与一个 Ei对应。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
(2) n x 的图像 以 n x ~ x,
0 V x
0 xl x 0和x l
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
③应用范围：
● ● ● ●
金属内自由电子
共轭分子的 电子
真空管中电子的运动 原子内部电子在两个能级之间的跃迁
§1-3
在一维势箱中运动的粒子
二、用薛定谔方程处理一维势箱模型 用量子力学处理一个体系的一般步骤：
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
(2)
l 0, B 0, 只有 sin l 0
n 因此， l n n 1, 2,3……， l 注: n 0
n 的特解： n ( x) B sin x l
n 即 , 两边平方: l n 2 2 2 n 2 h 2 En = (n 1, 2,3) 2 2 2ml 8ml 2mE
* a a i j i j d 0
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
一、一维势箱模型 二、薛定谔方程处理一维势箱模型 三、对本征值和本征函数的讨论 四、三维势箱
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
一、一维势箱模型——求解Schrodinger方程的实例 1．建立模型 ①物理模型：一个质量为m的粒子，不受外力，在一维 方向上被束缚在长度为 l ，势能为零的箱内运动，箱 外的势能无穷大。 ②势能函数：
m越大， l 越大,
E 越小,能量趋向于连续；
2
2
m越小， l 越小, E 越大，量子化越显著。
对于宏观质点，m, l 较大，能量变化非常小，E 0, 完全可以认 为能量的变化是连续的。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
2．一维箱中粒子的波函数 n x 和几率密度 n x
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
2 sin n x 是正交归一化的 (3) n l l
归一性：是指粒子在整个空间出现的几率为1
即： n dx 1
* n
正交性：是指
dx 0 n m
* n m
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
正交性证明如下：
ˆ a , 设有 A i i i