中考二轮复习第10讲图形折叠型题

中考数学专题复习翻转折叠问题

翻转折叠问题【专题点拨】图形折叠是中考中常考题型，这种题型主要考察学生对图形的认知，特别是考察轴对称的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识综合运用。

【解题策略】有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分并结合勾股定理或相似三角形的性质进行相关计算.【典例解析】类型一：三角形折叠问题例题1：（2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．4 B． C．3D．2【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ABC，∵∠C=∠C，∴△CAD∽△CBA，∴=，∴=，∴CD=，BD=BC﹣CD=，∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴=，即=，∴DM=，MB=BD﹣DM=，∵∠ABM=∠C=∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴=，∴BE===．故选B．变式训练1：（2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（用含a的式子表示）．类型二：平行四边形折叠问题例题2：（2016·湖北武汉·3分）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______．【考点】平行四边形的性质【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠EAD，＝∠DAE＝20°，∠AED，＝∠AED＝180°－∠DAE－∠D＝180°－20°－52°＝108°，∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∴∠FED′＝108°－72°＝36°．变式训练2：(2016河北3分）如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为（）第13题图A．66°B．104°C．114°D．124°类型三：矩形折叠问题例题3：（2016贵州毕节3分）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．根据折叠的性质可得DH=EH，在直角△CEH中，若设CH=x，则DH=EH=9﹣x，CE=3cm，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．【解答】解：由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm，∵BE：EC=2：1，∴CE=BC=3cm∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4cm．故选（B）变式训练3：（2016·四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°类型四：菱形折叠问题例题4：（2016·四川攀枝花）如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4，其中OGD正确的结论个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】四边形综合题．【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE；③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF时等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=45°，由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正确．∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，∴AE=EF＜BE，∴AE＜AB，∴＞2，故②错误．∵∠AOB=90°，∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，故③错误．∵∠EFD=∠AOF=90°，∴EF∥AC，∴∠FEG=∠AGE，∵∠AGE=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=GF，∵AE=EF，∴AE=GF，故④正确．∵AE=EF=GF，AG=GF，∴AE=EF=GF=AG，∴四边形AEFG是菱形，∴∠OGF=∠OAB=45°，∴EF=GF=OG，∴BE=EF=×OG=2OG．故⑤正确．∵四边形AEFG是菱形，∴AB∥GF，AB=GF．∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，∴△OGF时等腰直角三角形．∵S△OGF=1，∴OG2=1，解得OG=，∴BE=2OG=2，GF===2，∴AE=GF=2，∴AB=BE+AE=2+2，∴S正方形ABCD=AB2=（2+2）2=12+8，故⑥错误．∴其中正确结论的序号是：①④⑤．故选B．【点评】此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．变式训练4：（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为﹣1 ．类型五：圆的折叠问题例题5：（2015•聊城）如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积是⊙O面积的（）A. 12B.13C.23D.352. 解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，∵OD=AO，∴∠OAD=30°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，同理∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴阴影部分的面积=S扇形AOC=×⊙O面积．故选：B．变式训练5：（2016·山东省德州市·4分）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是．【能力检测】1.（2016·黑龙江龙东·3分）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为．2.（2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．3.（2016·浙江省绍兴市·5分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为．4.（2016·重庆市A卷·4分）正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是多少？5.（2015•咸宁）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D 的坐标；若不能，请说明理由．【参考答案】变式训练1：（2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为3a （用含a的式子表示）．【解析】翻折变换（折叠问题）．由折叠的性质得出BE=EF=a，DE=BE，则BF=2a，由含30°角的直角三角形的性质得出DF=BF=a，即可得出△DEF的周长．【解答】解：由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE=BE，则BE=EF=a，∴BF=2a，∵∠B=30°，∴DF=BF=a，∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a；故答案为：3a．变式训练2：(2016河北3分）如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为（）第13题图A．66°B．104°C．114°D．124°【解析】平行线的性质，折叠关系。

中考数学中的折叠问题精选全文

精选全中考数学中的折叠问题文完整版（可编辑修改）近年来，在各地中考数学命题时，十分重视对图形语言、文字语音、符号语言的理解运用及相互之间的关系，相互之间的转化能力以及动手操作能力的考查。

这样，图形的折叠问题就成为一个亮点，有关翻折的考题日趋增加。

翻折问题的解决方法，抓住翻折后与翻折的图形是以折痕为轴的轴对称图形这一关键，并运用代数方程，一般均可求得。

下面我们以中考题为例，谈谈翻折问题的几例类型及解法，供大家参考。

一、以矩形为母体的翻折这种类型最多，以折痕的不同位置又可分下面几种：1、沿对角线翻折例1、(2000年山西省)已知：如图1，将矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C 落在C’处，BC’交AD于E，AD=8，AB=4，求△BED的面积。

分析：因为BD是对称轴，∴∠CBD=∠C’BD，又AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB，得：∠C’BD=∠ADB，∴ED=EB设ED=x，∴AD=8-x在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即42+(8-x)2=x2，∴x=5，∴ED=EB=5又BD=∴S△BED==10方法2：过E作EF⊥BD，垂足F，在得到BE=5，BD=4后，在Rt△BEF中，EF=，得S△BED=BD×EF=×4×=10方法3：∵Rt△BEF∽Rt△BDC’，∴EF：DC’=BF：BC’，得EF==(以下略)2、沿一直线翻折，使一顶点落在对边上例2、(2000年山东省)已知矩形ABCD的两边AB与BC的比为4：5，E是AB 上一点，沿CE将△EBC向上翻折，若B点恰好落在边AD上的F点，如图2，则tg∠DCF=______。

A、B、C、D、分析：因为CF=CB，∴CF：CD=5：4，得CD：DF=4：3，∴tg∠DCF==，应选(A)。

例3、(1998年台州市)如图3，矩形ABCD的长、宽分别为5和3，将顶点C 折过来，使它落在AB上的C’点(DE为折痕)，那么阴影部分的面积是______。

中考数学二轮专题复习图形变换——折叠问题【含答案】

二轮复习：图形变换（一）—折叠图形变换历来是中考必考点之一。

考试大纲要求：会运用图形变换的相关知识进行简单的作图与计算，并能解决相关动态需求数学问题，并能进行图案设计。

图形变换一般包括，折叠、平移、旋转、对称、位似和图形的探究。

在图形变换的考题中，最多题型是折叠、旋转。

在解决折叠问题时，应注意折叠前后相对应的边相等、角相等。

下面着重从三个方面进行讲述：三角形折折叠、特殊平行四边形折叠和在平面直角坐标系内的图形折叠三大类进行。

（一）三角形的折叠：题型1、一般三角形的折叠：1、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β2、（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．3、如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为___．题型2、等腰或等边三角形的折叠：4、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为_____.5、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE=_______．（利用相似三角形周长的比等于相似比△AED 相似△DBF）题型3、直角三角形的折叠：6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边AB 上的中线，将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE ．若DE ∥AC ，计算AE 的长度等于．7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（二）特殊平行四边形的折叠：题型1、矩形折叠：1、（求角）.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为A. B. C. D.2、（求三角函数值）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．3、（求边长）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为4、（求折痕长）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为5、（求边的比）如下图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。

2020中考数学压轴专题：图形折叠(包含答案)

2020中考数学压轴专题：图形折叠（含答案）1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 沿AD 翻折，点B 恰好与点C 重合，点E 在AC 边上，连接BE .(1)如图①，若点F 是BE 的中点，连接DF ，且AF ＝5，AE ＝6，求DF 的长； (2)如图②，若AF ⊥BE 于点F ，并延长AF 交BC 于点G ，当点E 是AC 的中点时，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ； (3)在(2)的条件下，连接DF ，请直接．．写出∠DFG 的度数．第1题图解：(1)由折叠的性质得：AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，在Rt △ABE 中，∵点F 是BE 的中点， ∴AF 是Rt △ABE 斜边上的中线，∴AF ＝12BE ， ∵AF ＝5，∴BE ＝10，在Rt △ABE 中，AE ＝6，BE ＝10，∴AB ＝8，又∵AB ＝AC ，∴AC ＝8，∴CE ＝AC －AE ＝2，∴DF ＝12CE ＝1；(2)证明：如解图①，过点C 作CM ⊥AC ，交AG 的延长线于点M ，则∠ACM ＝90°，第1题解图①又∵∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACM ， ∵AF 是△ABE 的高，∴∠AFB ＝90°，∴∠1＋∠BAF ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，∴∠2＋∠BAF ＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABE 和△CAM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠ACM AB ＝CA∠1＝∠2， ∴△ABE ≌△CAM (ASA)， ∴AE ＝CM ，BE ＝AM ，又∵点E 是AC 边的中点， ∴CE ＝AE ＝CM ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，又∵∠ACM ＝90°， ∴∠MCG ＝∠ACB ＝45°，在△CEG 和△CMG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CM ∠ECG ＝∠MCG CG ＝CG， ∴△CEG ≌△CMG (SAS)，∴EG ＝GM ，又∵BE ＝AM ，∴AG ＋EG ＝AG ＋GM ＝AM ＝BE ； (3)∠DFG ＝45°.【解法提示】如解图②，过点D 作DN ⊥DF ，交AG 的延长线于点N ，则∠NDF ＝90°，第1题解图②∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°＝∠NDF ，∴∠ADB ＋∠ADF ＝∠NDF ＋∠ADF ，即∠BDF ＝∠ADN ，∵∠ADB ＝∠AFB ＝90°，∠5＝∠6， ∴∠3＝∠4，在Rt △ABC 中，BD ＝DC ， ∴AD ＝12BC ＝BD ，在△BDF 和△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDF ＝∠ADN BD ＝AD ∠3＝∠4，∴△BDF ≌△ADN (ASA)， ∴DF ＝DN ，又∵∠NDF ＝90°，∴∠DFN ＝∠DNF ＝45°，即∠DFG ＝45°.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝13，tan A ＝125，P 是射线AD 上一点，连接PB ，沿PB 将△APB 折叠，得到△A ′PB .第2题图(1)当∠DP A′＝10°时，∠APB＝________；(2)当P A′⊥BC时，求线段P A的长度；(3)当点A′落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段P A的长度．解：(1)85°或5°或95°；【解法提示】当点P在线段AD上，且∠APB<90°时，点A′在平行四边形ABCD 的内部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12∠AP A′＝85°；如解图①，当点P在线段AD上，且∠APB>90°时，点A′在平行四边形ABCD 的外部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12(360°－∠AP A′)＝95°；如解图②，当点P在AD的延长线上，则∠APB＝12∠DP A′＝5°；第2题解图(2)∵四边形ABCD是平形四边形，∴AD∥BC，若P A′⊥BC，则P A′⊥AD，∴∠APB＝∠A′PB＝45°，如解图③，作BH ⊥AD 于点H ，第2题解图③∵tan A ＝125，∴设AH ＝5x ，BH ＝12x ，在Rt △ABH 中，由勾股定理得AB ＝AH 2＋BH 2＝13x ＝ 9，解得x ＝913， ∴AH ＝4513，BH ＝10813，∵在Rt △BHP 中，∠BPH ＝45°， ∴BH ＝PH ＝10813， ∴AP ＝AH ＋PH ＝15313；(3)①如解图④，当点A ′在AD 上时，第2题解图④∵AB ＝A ′B ， ∴∠1＝∠2，∴BP ⊥AD ，且A ′P ＝AP ，∵tan A ＝125， ∴AP ＝513·AB ＝4513；②如解图⑤，当点A ′在BC 上时，第2题解图⑤由折叠可知，A ′B ＝AB ，AP ＝A ′P ，∠3＝∠4，又∵AD ∥BC ， ∴∠5＝∠4， ∴∠3＝∠5， ∴AB ＝P A ，∴四边形ABA ′P 为菱形， ∴AP ＝9；③如解图⑥，当点A ′在AB 的延长线上时，∠ABP ＝ 12∠ABA ′＝90°， ∴AP ＝135×AB ＝1175.第2题解图⑥综上，线段P A 的长度为4513或9或1175.3．如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E 、F 分别是AC 、AB 边上的点，连接EF .(1)如图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，求AE 的长；(2)如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使MF ∥CA .①试判断四边形AEMF 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AF BF 的值．第3题图解：(1)如解图①，第3题解图①∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF . ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF . ∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ， ∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF . ∴ACBAEFS S △△＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC . ∴ABC AEF S S △△＝(AE AB )2. ∴(AE AB )2＝14.在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2.即AB ＝42＋32＝5. ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52； (2)①四边形AEMF 是菱形．证明：∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ， ∴∠CEM ＝∠EMF . ∴∠CAB ＝∠CEM . ∴EM ∥AF .∴四边形AEMF 是平形四边形．又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②连接AM 、AM 与EF 交于点O ，如解图②，第3题解图②设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x . ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB . ∴EC AC ＝EM AB ， ∵AB ＝5，∴4－x 4＝x 5，解得x ＝209. ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169. 在Rt △ECM 中， ∵∠ECM ＝90°， ∴CM 2＝EM 2－EC 2. 即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43.∵四边形AEMF 是菱形， ∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF . ∴S 菱形AEMF ＝4S AOE ＝2OE ·AO . 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴OE AO ＝CM AC . ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ， ∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE ·CM ， ∴6OE 2＝209×43.∴OE ＝2109. ∴EF ＝4109.(3)如解图③，过点F 作FH ⊥CB 于点H ，第3题解图③在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH ， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47，设FH ＝x ，则NH ＝74x ， ∴CH ＝74x －1. ∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x . 在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan∠FBH＝tan∠ABC，∴HFBH＝ACBC，解得x＝85.∴HF＝85.∵∠B＝∠B，∠BHF＝∠BCA＝90°，∴△BHF∽△BCA.∴HFCA＝BFBA，即HF·BA＝CA·BF.∴85×5＝4BF.∴BF＝2.∵AF＝3.∴AFBF＝32.4．如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止．△ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D1的位置．设DP＝x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.(1)当x为何值时，直线AD1过点C?(2)当x为何值时，直线AD1过点BC的中点E?(3)求出y与x的函数表达式．第4题图解：(1)由题意得，△ADP≌△AD1P，∴AD1＝AD＝2，PD＝PD1＝x，∠PD1A＝∠PDA＝90°，∵直线AD1过点C，∴PD1⊥AC，在Rt △ABC 中，∵AB ＝3，BC ＝2， ∴AC ＝22＋32＝13， CD 1＝13－2，在Rt △PCD 1中，PC 2＝PD 21＋CD 21，即(3－x )2＝x 2＋(13－2)2，解得x ＝213－43， ∴当x ＝213－43时，直线AD 1过点C ； (2)如解图①，连接PE ，第4题解图①∵E 为BC 中点， ∴BE ＝CE ＝1，在Rt △ABE 中， AE ＝AB 2＋BE 2＝10，又∵AD 1＝AD ＝2，PD ＝PD 1＝x ， ∴D 1E ＝10－2，PC ＝3－x ，在Rt △PD 1E 和Rt △PCE 中，有x 2＋(10－2)2＝(3－x )2＋12，解得x ＝210－23， ∴当x ＝210－23时，直线AD 1过BC 的中点E ； (3)如解图②，当0＜x ≤2时，点D 1在矩形内部，y ＝x ；图② 图③ 第4题解图如解图③，当2＜x ≤3时，点D 1在矩形外部，PD 1与AB 交于点F ， ∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FP ＝F A ，作PG ⊥AB ，垂足为点G ，设FP ＝F A ＝a ，由题意得，AG ＝DP ＝x ，FG ＝x －a ，在Rt △PFG 中，由勾股定理，得 (x －a )2＋22＝a 2，解得a ＝4＋x 22x ，∴y ＝12×2×4＋x 22x ＝x 2＋42x ，综上所述，当0＜x ≤2时，y ＝x ；当2＜x ≤3时，y ＝x 2＋42x .5．阅读下列材料：如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AC 上一点，DA ＝DB ，E 为BD 延长线上一点，∠AEB ＝120°.(1)猜想AC 、BE 、AE 的数量关系，并证明．小明的思路是：根据等腰△ADB 的轴对称性，将整个图形沿着AB 边的垂直平分线翻折，得到点C 的对称点F ，如图②，过点A 作AF ⊥BE ，交BE 的延长线于F ，请补充完成此问题；(2)参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图③，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 、F 在直线BC 上，DE ＝BF ，连接AD ，过点E 作EG ∥AC 交FH 的延长线于点G ，∠DFG ＋∠D ＝∠BAC .①探究∠BAD 与∠CHG 的数量关系；②请在图中找出一条和线段AD 相等的线段，并证明．第5题图解：猜想：AC ＝BE ＋12AE . 理由如下：如题图②， ∵DA ＝DB ， ∴∠DAB ＝∠DBA ， ∵AF ⊥BF ， ∴∠F ＝∠C ＝90°，在△ABF 和△BAC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠C ＝90°∠ABF ＝∠BAC AB ＝BA， ∴△ABF ≌△BAC (AAS)， ∴AC ＝BF ，∵∠AEB ＝120°＝∠F ＋∠F AE ， ∴∠F AE ＝30°， ∴EF ＝12AE ，∴AC ＝BF ＝BE ＋EF ＝BE ＋12AE ，∴AC ＝BE＋12AE ；问题：(1)如题图③中，∵∠ACF ＝∠D ＋∠CAD ，∠D ＋∠DFG ＝∠BAC ，∴∠CHG ＝∠CFH ＋∠FCH ＝∠CFH ＋∠D ＋∠CAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CHG ＝∠BAD ； (2)结论：AD ＝FG . 理由如下：如解图③中，反向延长BD 到R ，使得BR ＝CD ，连接AR ，作AJ ∥CD 交EG 的延长线于点J ，连接FJ ，第5题解图③∵AJ ∥CE ，AC ∥JE ，∴四边形ACEJ 是平行四边形， ∴AJ ＝CE ，AC ＝JE ， ∵AB ＝AC ，∴JE ＝AB ，∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠ABR ＝∠ACD ，在△ABR 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABR ＝∠ACD BR ＝CD， ∴△ABR ≌△ACD (SAS)， ∴AR ＝AD ，∵BR ＝CD ，BF ＝DE ， ∴FR ＝CE ＝AJ ，EF ＝BD ，又∵AJ ∥RF ，∴四边形ARFJ 是平行四边形， ∴JF ＝AR ＝AD ，在△ABD 和△JEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝JE AD ＝JF BD ＝EF ，∴△ABD ≌△JEF (SSS)， ∴∠EJF ＝∠BAD ，又∵∠JGH ＝∠GHC ， ∵∠BAD ＝∠CHG ＝∠FGJ ， ∴∠EJF ＝∠FGJ ， ∴FG ＝FJ ， ∴AD ＝FG .6．如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的E 点处，折痕的一端G 点在边BC 上．(1)如图①，当折痕的另一端F 在AB 边上且AE ＝4时，求AF 的长； (2)如图②，当折痕的另一端F 在AD 边上且BG ＝10时， ①求证：EF ＝EG ； ②求AF 的长；(3)如图③，当折痕的另一端F 在AD 边上，B 点的对应点E 在长方形内部，E 到AD 的距离为2，且BG ＝10时，求AF 的长．第6题图(1)解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴BF ＝EF ，∵AB ＝8，∴EF ＝8－AF ，在Rt △AEF 中，AE 2＋AF 2＝EF 2，即42＋AF 2＝(8－AF )2，解得AF ＝3；(2)①证明：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，∴∠BGF ＝∠EGF ， ∵长方形纸片ABCD 的边AD ∥BC ，∴∠BGF ＝∠EFG ，∴∠EGF ＝∠EFG ，∴EF ＝EG ； ②解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴EG ＝BG ＝10，HE ＝AB ＝8，FH ＝AF ， ∴EF ＝EG ＝10，在Rt △EFH 中，由勾股定理得FH ＝EF 2－HE 2＝102－82＝6，∴AF ＝FH ＝6；(3)解：如解图，设EH 与AD 相交于点K ，过点E 作MN ∥CD 分别交AD 、BC 于点M 、N ，第6题解图∵E 到AD 的距离为2， ∴EM ＝2，EN ＝8－2＝6，在Rt △ENG 中，GN ＝EG 2－EN 2＝102－62＝8， ∵∠GEN ＋∠KEM ＝180°－∠GEH ＝180°－90°＝90°， ∠GEN ＋∠NGE ＝180°－90°＝90°， ∴∠KEM ＝∠NGE ，又∵∠ENG ＝∠KME ＝90°，∴△GEN ∽△EKM ， ∴EK GE ＝KM EN ＝EM GN ，即EK 10＝KM 6＝28，解得EK ＝52，KM ＝32， ∴KH ＝EH －EK ＝8－52＝112，∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，∴△FKH∽△EKM，∴FHEM＝KHKM，即FH2＝11232，解得FH＝223，∴AF＝FH＝223.7．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，连接AD.(1)如图①，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当AD＝2时，求AE′的值；(2)如图②，在AC上取一点E，使得CE＝13AC，连接DE，将△CDE沿CD 翻折到△CDE′，且AE′交BC于点F，求证：DF＝CF.第7题图(1)解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，在Rt△ADC中，AC＝ADsin 45°＝2，∵E是AC的中点，∴CE＝12AC＝1，∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′，∴CE ′＝CE ＝1，∠ACE ′＝90°，由勾股定理得：AE ′＝CE ′＋AC 2＝5；(2)证明：如解图，过B 作AE ′的垂线交AD 于点G ，交AC 于点H ，第7题解图∵∠ABH ＋∠BAF ＝90°，∠CAF ＋∠BAF ＝90°， ∴∠ABH ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，∠BAH ＝∠ACE ′＝90°， ∴△ABH ≌△CAE ′， ∴AH ＝CE ′＝CE ， ∵CE ＝13AC ， ∴AH ＝HE ＝CE ， ∵D 是BC 中点， ∴DE ∥BH ， ∴G 是AD 中点，在△ABG 和△CAF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠ACD ＝45°AB ＝AC∠ABH ＝∠CAF， ∴△ABG ≌△CAF (ASA)，∴AG ＝CF ， ∵AG ＝12AD ，∴CF ＝12AD ＝12CD ，∴DF ＝CF . 8．【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠为主题开展活动”，如图①，四边形ABCD是正方形，AB＝5，点E是CD边上的一动点，连接AE.【操作发现】(1)将△ADE沿AE折叠得△AD′E，如图②，当点D′到BC的距离等于1时，求点E到BC的距离．【继续探究】(2)在(1)的条件下，创新小组在图②中，连接BE，如图③，发现∠AEB＝2∠EBC，请你证明这个结论．【深入探究】(3)创新小组将图②沿MN向下折叠，使点A与点E，连接DD′并延长交BC 于点F，如图④，求四边形MNFD的面积．第8题图解：(1)如解图①，过点D′作XY∥BC，与AB、CD分别交于点X、Y，∵四边形ABCD是正方形，第8题解图①∴∠B＝∠C＝90°，AB∥CD，∴四边形BCYX 是矩形， ∵点D ′到BC 的距离为1， ∴BX ＝CY ＝1，∴AX ＝AB －BX ＝5－1＝4，由折叠知：AD ′＝AD ＝5，在Rt △AXD ′中，由勾股定理得XD ′＝52－42＝3， ∴D ′Y ＝XY －XD ′＝5－3＝2，由题易证△AXD ′∽△D ′YE ， ∴AXD ′Y＝XD ′YE ， ∴42＝3YE ， ∴YE ＝32，∴CE ＝YE ＋YC ＝32＋1＝52， ∴点E 到BC 的距离等于52； (2)证明：由(1)知，CE ＝52， ∴DE ＝DC －CE ＝5－52＝52， ∴DE ＝CE ，又∵AD ＝BC ，∠C ＝∠ADE ， ∴△ADE ≌△BCE ， ∴AE ＝BE ，如解图②，过点E 作EZ ⊥AB 于点Z ，第8题解图②∴EZ 平分∠AEB ， ∴∠AEB ＝2∠BEZ ， ∵EZ ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴EZ ∥BC . ∴∠BEZ ＝∠EBC ， ∴∠AEB ＝2∠EBC ；(3)∵点A 、点E 关于MN 对称， ∴MN 垂直平分AE ，同理：AE 垂直平分DD ′， ∴MN ∥DF ，又∵MD ∥NF ，∴四边形MNFD 是平行四边形，如解图③，设AE 与MN ，DD ′分别相交于点G 、H ，第8题解图③在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AE ＝AD 2＋DE 2 ＝52＋（52）2＝552，∴GE ＝12AE ＝12×552＝554. 在Rt △ADE 中，DH ·AE ＝AD ·DE ，∴DH ＝AD ·DEAE ＝5×52552＝5，在Rt △DEH 中，由勾股定理得 EH ＝DE 2－DH 2＝（52）2－（5）2＝52，∴GH ＝GE －EH ＝554－52＝354，∵△ADE ≌△DCF ，∴AE ＝DF ，∴DF ＝552， ∴S 四边形MNFD ＝DF ·GH ＝552×354＝758. 9．【问题情境】(1)数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ，求证：∠B ＝30°，请你完成证明过程；【继续探究】(2)如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处，折痕交AE 于点G ，请运用(1)中的结论求∠ADG 的度数和AG 的长；【拓展应用】(3)若矩形纸片ABCD 按如图③所示的方式折叠，B 、D 两点恰好重合于一点O (如图④)，当AB ＝6时，求EF 的长．第9题图(1)证明：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ， ∵sin B ＝AC AB ＝12， ∴∠B ＝30°；(2)解：∵正方形边长为2，E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴EA ＝FD ＝12×CD ＝1，∵沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处， ∴A ′D ＝AD ＝2， ∴FD A ′D ＝12， ∴∠F A ′D ＝30°，可得∠FDA ′＝90°－30°＝60°，由折叠性质可得∠ADG ＝∠A ′DG ，AG ＝A ′G ， ∴∠ADG ＝∠ADA ′2＝90°－60°2＝15°， ∵A ′D ＝2，FD ＝1，∴A′F＝A′D2－FD2＝3，∴EA′＝EF－A′F＝2－3，∵∠EA′G＋∠DA′F＝180°－∠GA′D＝90°，∴∠EA′G＝90°－∠DA′F＝90°－30°＝60°，∴∠EGA′＝90°－∠EA′G＝90°－60°＝30°，则AG＝AG′＝2EA′＝2(2－3)；(3)解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO＝AD＝CB＝CO，∴DA＝AC 2，∵∠D＝90°，∴∠DCA＝30°，∵AB＝CD＝6，在Rt△ACD中，ADDC＝tan30°，则AD＝DC·tan30°＝6×33＝23，∵∠DAF＝∠F AO＝12∠DAO＝90°－∠DCA2＝30°，∴DFAD＝tan30°＝33，∴DF＝33AD＝2，∴DF＝FO＝2，同理EO＝2，∴EF＝EO＋FO＝4.10．如图，在矩形ABCD纸片中，AB＝10 cm，BC＝12 cm.点P在BC边上，将△P AB沿AP折叠得△P AE，连接CE，DE.(1)当点E落在AD边上时，CE＝________；(2)当△CDE分别满足下列条件时，求PB的长．①DE＝CD；②DE＝CE.第10题图解：(1)226 cm ；【解法提示】如解图①，∵将△P AB 沿AP 折叠，得△P AE ，E 落在AD 边上， ∴四边形ABPE 是正方形， ∴PB ＝PE ＝AB ＝10 cm ， ∴PC ＝2 cm ，∴CE ＝PE 2＋PC 2＝226 cm.第10题解图①(2)①如解图②，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，则MN ⊥BC ，第10题解图②∵DE ＝CD ，AE ＝AB ＝CD ＝DE ， ∴AE ＝10 cm ，∴AM ＝12AD ＝BN ＝6 cm ，∴ME ＝AE 2－AM 2＝8 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝2 cm ，易知△AME ∽△ENP ， ∴AM AE ＝EN PE ， ∴610＝2PE ， ∴PE ＝103 cm ， ∴PB ＝PE ＝103 cm ；②如解图③，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，过E 作EQ ⊥CD 于Q ，第10题解图③∵DE ＝CE ，∴DQ ＝12CD ＝5 cm ，∴ME ＝5 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝5 cm ， ∴AM ＝AE 2－ME 2＝5 3 cm ， ∴BN ＝5 3 cm ，同理得AM AE ＝EN PE ， ∴5310＝5PE ， ∴PE ＝1033 cm ，103∴PB＝PE＝3cm.。

浙教版初中数学中考复习-折叠问题 (共46张PPT)

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解析：
• 【例】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点(点P与点B，C都不重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点 E.设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( C )
• 【点拨】利用折叠的性质，说明△BEP与△CPD相似，得出y与x的关系式．
（2）外角
（3）三角函数
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考向五：求面积
• 【例】如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连结DG，求△BEF的面积．
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解析：
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考向六：折叠综合问题
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解析：
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考向六：折叠综合问题
• 【例】如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于点F，
• 【分析】(2)由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相
•
等，再由AP＝EB，利用AAS即可得证；
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考向六：折叠综合问题
• 【例】如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于点F，
• (3)若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．
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浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))
解析：
浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))
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浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))

2020中考数学压轴专题：图形折叠(含答案)

2020中考数学压轴专题：图形折叠（含答案）1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 沿AD 翻折，点B 恰好与点C 重合，点E 在AC 边上，连接BE .(1)如图①，若点F 是BE 的中点，连接DF ，且AF ＝5，AE ＝6，求DF 的长； (2)如图②，若AF ⊥BE 于点F ，并延长AF 交BC 于点G ，当点E 是AC 的中点时，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ； (3)在(2)的条件下，连接DF ，请直接．．写出∠DFG 的度数．第1题图解：(1)由折叠的性质得：AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，在Rt △ABE 中，∵点F 是BE 的中点， ∴AF 是Rt △ABE 斜边上的中线，∴AF ＝12BE ， ∵AF ＝5，∴BE ＝10，在Rt △ABE 中，AE ＝6，BE ＝10，∴AB ＝8，又∵AB ＝AC ，∴AC ＝8，∴CE ＝AC －AE ＝2，∴DF ＝12CE ＝1；(2)证明：如解图①，过点C 作CM ⊥AC ，交AG 的延长线于点M ，则∠ACM ＝90°，第1题解图①又∵∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACM ， ∵AF 是△ABE 的高，∴∠AFB ＝90°，∴∠1＋∠BAF ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，∴∠2＋∠BAF ＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABE 和△CAM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠ACM AB ＝CA∠1＝∠2， ∴△ABE ≌△CAM (ASA)， ∴AE ＝CM ，BE ＝AM ，又∵点E 是AC 边的中点， ∴CE ＝AE ＝CM ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，又∵∠ACM ＝90°， ∴∠MCG ＝∠ACB ＝45°，在△CEG 和△CMG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CM ∠ECG ＝∠MCG CG ＝CG， ∴△CEG ≌△CMG (SAS)，∴EG ＝GM ，又∵BE ＝AM ，∴AG ＋EG ＝AG ＋GM ＝AM ＝BE ； (3)∠DFG ＝45°.【解法提示】如解图②，过点D 作DN ⊥DF ，交AG 的延长线于点N ，则∠NDF ＝90°，第1题解图②∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°＝∠NDF ，∴∠ADB ＋∠ADF ＝∠NDF ＋∠ADF ，即∠BDF ＝∠ADN ，∵∠ADB ＝∠AFB ＝90°，∠5＝∠6， ∴∠3＝∠4，在Rt △ABC 中，BD ＝DC ， ∴AD ＝12BC ＝BD ，在△BDF 和△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDF ＝∠ADN BD ＝AD ∠3＝∠4，∴△BDF ≌△ADN (ASA)， ∴DF ＝DN ，又∵∠NDF ＝90°，∴∠DFN ＝∠DNF ＝45°，即∠DFG ＝45°.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝13，tan A ＝125，P 是射线AD 上一点，连接PB ，沿PB 将△APB 折叠，得到△A ′PB .第2题图(1)当∠DP A′＝10°时，∠APB＝________；(2)当P A′⊥BC时，求线段P A的长度；(3)当点A′落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段P A的长度．解：(1)85°或5°或95°；【解法提示】当点P在线段AD上，且∠APB<90°时，点A′在平行四边形ABCD 的内部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12∠AP A′＝85°；如解图①，当点P在线段AD上，且∠APB>90°时，点A′在平行四边形ABCD 的外部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12(360°－∠AP A′)＝95°；如解图②，当点P在AD的延长线上，则∠APB＝12∠DP A′＝5°；第2题解图(2)∵四边形ABCD是平形四边形，∴AD∥BC，若P A′⊥BC，则P A′⊥AD，∴∠APB＝∠A′PB＝45°，如解图③，作BH ⊥AD 于点H ，第2题解图③∵tan A ＝125，∴设AH ＝5x ，BH ＝12x ，在Rt △ABH 中，由勾股定理得AB ＝AH 2＋BH 2＝13x ＝ 9，解得x ＝913， ∴AH ＝4513，BH ＝10813，∵在Rt △BHP 中，∠BPH ＝45°， ∴BH ＝PH ＝10813， ∴AP ＝AH ＋PH ＝15313；(3)①如解图④，当点A ′在AD 上时，第2题解图④∵AB ＝A ′B ， ∴∠1＝∠2，∴BP ⊥AD ，且A ′P ＝AP ，∵tan A ＝125， ∴AP ＝513·AB ＝4513；②如解图⑤，当点A ′在BC 上时，第2题解图⑤由折叠可知，A ′B ＝AB ，AP ＝A ′P ，∠3＝∠4，又∵AD ∥BC ， ∴∠5＝∠4， ∴∠3＝∠5， ∴AB ＝P A ，∴四边形ABA ′P 为菱形， ∴AP ＝9；③如解图⑥，当点A ′在AB 的延长线上时，∠ABP ＝ 12∠ABA ′＝90°， ∴AP ＝135×AB ＝1175.第2题解图⑥综上，线段P A 的长度为4513或9或1175.3．如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E 、F 分别是AC 、AB 边上的点，连接EF .(1)如图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，求AE 的长；(2)如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使MF ∥CA .①试判断四边形AEMF 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AF BF 的值．第3题图解：(1)如解图①，第3题解图①∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF . ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF . ∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ， ∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF . ∴ACBAEFS S △△＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC . ∴ABC AEF S S △△＝(AE AB )2. ∴(AE AB )2＝14.在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2.即AB ＝42＋32＝5. ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52； (2)①四边形AEMF 是菱形．证明：∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ， ∴∠CEM ＝∠EMF . ∴∠CAB ＝∠CEM . ∴EM ∥AF .∴四边形AEMF 是平形四边形．又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②连接AM 、AM 与EF 交于点O ，如解图②，第3题解图②设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x . ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB . ∴EC AC ＝EM AB ， ∵AB ＝5，∴4－x 4＝x 5，解得x ＝209. ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169. 在Rt △ECM 中， ∵∠ECM ＝90°， ∴CM 2＝EM 2－EC 2. 即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43.∵四边形AEMF 是菱形， ∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF . ∴S 菱形AEMF ＝4S AOE ＝2OE ·AO . 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴OE AO ＝CM AC . ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ， ∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE ·CM ， ∴6OE 2＝209×43.∴OE ＝2109. ∴EF ＝4109.(3)如解图③，过点F 作FH ⊥CB 于点H ，第3题解图③在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH ， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47，设FH ＝x ，则NH ＝74x ， ∴CH ＝74x －1. ∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x . 在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan∠FBH＝tan∠ABC，∴HFBH＝ACBC，解得x＝85.∴HF＝85.∵∠B＝∠B，∠BHF＝∠BCA＝90°，∴△BHF∽△BCA.∴HFCA＝BFBA，即HF·BA＝CA·BF.∴85×5＝4BF.∴BF＝2.∵AF＝3.∴AFBF＝32.4．如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止．△ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D1的位置．设DP＝x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.(1)当x为何值时，直线AD1过点C?(2)当x为何值时，直线AD1过点BC的中点E?(3)求出y与x的函数表达式．第4题图解：(1)由题意得，△ADP≌△AD1P，∴AD1＝AD＝2，PD＝PD1＝x，∠PD1A＝∠PDA＝90°，∵直线AD1过点C，∴PD1⊥AC，在Rt △ABC 中，∵AB ＝3，BC ＝2， ∴AC ＝22＋32＝13， CD 1＝13－2，在Rt △PCD 1中，PC 2＝PD 21＋CD 21，即(3－x )2＝x 2＋(13－2)2，解得x ＝213－43， ∴当x ＝213－43时，直线AD 1过点C ； (2)如解图①，连接PE ，第4题解图①∵E 为BC 中点， ∴BE ＝CE ＝1，在Rt △ABE 中， AE ＝AB 2＋BE 2＝10，又∵AD 1＝AD ＝2，PD ＝PD 1＝x ， ∴D 1E ＝10－2，PC ＝3－x ，在Rt △PD 1E 和Rt △PCE 中，有x 2＋(10－2)2＝(3－x )2＋12，解得x ＝210－23， ∴当x ＝210－23时，直线AD 1过BC 的中点E ； (3)如解图②，当0＜x ≤2时，点D 1在矩形内部，y ＝x ；图② 图③ 第4题解图如解图③，当2＜x ≤3时，点D 1在矩形外部，PD 1与AB 交于点F ， ∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FP ＝F A ，作PG ⊥AB ，垂足为点G ，设FP ＝F A ＝a ，由题意得，AG ＝DP ＝x ，FG ＝x －a ，在Rt △PFG 中，由勾股定理，得 (x －a )2＋22＝a 2，解得a ＝4＋x 22x ，∴y ＝12×2×4＋x 22x ＝x 2＋42x ，综上所述，当0＜x ≤2时，y ＝x ；当2＜x ≤3时，y ＝x 2＋42x .5．阅读下列材料：如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AC 上一点，DA ＝DB ，E 为BD 延长线上一点，∠AEB ＝120°.(1)猜想AC 、BE 、AE 的数量关系，并证明．小明的思路是：根据等腰△ADB 的轴对称性，将整个图形沿着AB 边的垂直平分线翻折，得到点C 的对称点F ，如图②，过点A 作AF ⊥BE ，交BE 的延长线于F ，请补充完成此问题；(2)参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图③，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 、F 在直线BC 上，DE ＝BF ，连接AD ，过点E 作EG ∥AC 交FH 的延长线于点G ，∠DFG ＋∠D ＝∠BAC .①探究∠BAD 与∠CHG 的数量关系；②请在图中找出一条和线段AD 相等的线段，并证明．第5题图解：猜想：AC ＝BE ＋12AE . 理由如下：如题图②， ∵DA ＝DB ， ∴∠DAB ＝∠DBA ， ∵AF ⊥BF ， ∴∠F ＝∠C ＝90°，在△ABF 和△BAC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠C ＝90°∠ABF ＝∠BAC AB ＝BA， ∴△ABF ≌△BAC (AAS)， ∴AC ＝BF ，∵∠AEB ＝120°＝∠F ＋∠F AE ， ∴∠F AE ＝30°， ∴EF ＝12AE ，∴AC ＝BF ＝BE ＋EF ＝BE ＋12AE ，∴AC ＝BE＋12AE ；问题：(1)如题图③中，∵∠ACF ＝∠D ＋∠CAD ，∠D ＋∠DFG ＝∠BAC ，∴∠CHG ＝∠CFH ＋∠FCH ＝∠CFH ＋∠D ＋∠CAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CHG ＝∠BAD ； (2)结论：AD ＝FG . 理由如下：如解图③中，反向延长BD 到R ，使得BR ＝CD ，连接AR ，作AJ ∥CD 交EG 的延长线于点J ，连接FJ ，第5题解图③∵AJ ∥CE ，AC ∥JE ，∴四边形ACEJ 是平行四边形， ∴AJ ＝CE ，AC ＝JE ， ∵AB ＝AC ，∴JE ＝AB ，∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠ABR ＝∠ACD ，在△ABR 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABR ＝∠ACD BR ＝CD， ∴△ABR ≌△ACD (SAS)， ∴AR ＝AD ，∵BR ＝CD ，BF ＝DE ， ∴FR ＝CE ＝AJ ，EF ＝BD ，又∵AJ ∥RF ，∴四边形ARFJ 是平行四边形， ∴JF ＝AR ＝AD ，在△ABD 和△JEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝JE AD ＝JF BD ＝EF ，∴△ABD ≌△JEF (SSS)， ∴∠EJF ＝∠BAD ，又∵∠JGH ＝∠GHC ， ∵∠BAD ＝∠CHG ＝∠FGJ ， ∴∠EJF ＝∠FGJ ， ∴FG ＝FJ ， ∴AD ＝FG .6．如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的E 点处，折痕的一端G 点在边BC 上．(1)如图①，当折痕的另一端F 在AB 边上且AE ＝4时，求AF 的长； (2)如图②，当折痕的另一端F 在AD 边上且BG ＝10时， ①求证：EF ＝EG ； ②求AF 的长；(3)如图③，当折痕的另一端F 在AD 边上，B 点的对应点E 在长方形内部，E 到AD 的距离为2，且BG ＝10时，求AF 的长．第6题图(1)解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴BF ＝EF ，∵AB ＝8，∴EF ＝8－AF ，在Rt △AEF 中，AE 2＋AF 2＝EF 2，即42＋AF 2＝(8－AF )2，解得AF ＝3；(2)①证明：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，∴∠BGF ＝∠EGF ， ∵长方形纸片ABCD 的边AD ∥BC ，∴∠BGF ＝∠EFG ，∴∠EGF ＝∠EFG ，∴EF ＝EG ； ②解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴EG ＝BG ＝10，HE ＝AB ＝8，FH ＝AF ， ∴EF ＝EG ＝10，在Rt △EFH 中，由勾股定理得FH ＝EF 2－HE 2＝102－82＝6，∴AF ＝FH ＝6；(3)解：如解图，设EH 与AD 相交于点K ，过点E 作MN ∥CD 分别交AD 、BC 于点M 、N ，第6题解图∵E 到AD 的距离为2， ∴EM ＝2，EN ＝8－2＝6，在Rt △ENG 中，GN ＝EG 2－EN 2＝102－62＝8， ∵∠GEN ＋∠KEM ＝180°－∠GEH ＝180°－90°＝90°， ∠GEN ＋∠NGE ＝180°－90°＝90°， ∴∠KEM ＝∠NGE ，又∵∠ENG ＝∠KME ＝90°，∴△GEN ∽△EKM ， ∴EK GE ＝KM EN ＝EM GN ，即EK 10＝KM 6＝28，解得EK ＝52，KM ＝32， ∴KH ＝EH －EK ＝8－52＝112，∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，∴△FKH∽△EKM，∴FHEM＝KHKM，即FH2＝11232，解得FH＝223，∴AF＝FH＝223.7．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，连接AD.(1)如图①，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当AD＝2时，求AE′的值；(2)如图②，在AC上取一点E，使得CE＝13AC，连接DE，将△CDE沿CD 翻折到△CDE′，且AE′交BC于点F，求证：DF＝CF.第7题图(1)解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，在Rt△ADC中，AC＝ADsin 45°＝2，∵E是AC的中点，∴CE＝12AC＝1，∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′，∴CE ′＝CE ＝1，∠ACE ′＝90°，由勾股定理得：AE ′＝CE ′＋AC 2＝5；(2)证明：如解图，过B 作AE ′的垂线交AD 于点G ，交AC 于点H ，第7题解图∵∠ABH ＋∠BAF ＝90°，∠CAF ＋∠BAF ＝90°， ∴∠ABH ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，∠BAH ＝∠ACE ′＝90°， ∴△ABH ≌△CAE ′， ∴AH ＝CE ′＝CE ， ∵CE ＝13AC ， ∴AH ＝HE ＝CE ， ∵D 是BC 中点， ∴DE ∥BH ， ∴G 是AD 中点，在△ABG 和△CAF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠ACD ＝45°AB ＝AC∠ABH ＝∠CAF， ∴△ABG ≌△CAF (ASA)，∴AG ＝CF ， ∵AG ＝12AD ，∴CF ＝12AD ＝12CD ，∴DF ＝CF . 8．【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠为主题开展活动”，如图①，四边形ABCD是正方形，AB＝5，点E是CD边上的一动点，连接AE.【操作发现】(1)将△ADE沿AE折叠得△AD′E，如图②，当点D′到BC的距离等于1时，求点E到BC的距离．【继续探究】(2)在(1)的条件下，创新小组在图②中，连接BE，如图③，发现∠AEB＝2∠EBC，请你证明这个结论．【深入探究】(3)创新小组将图②沿MN向下折叠，使点A与点E，连接DD′并延长交BC 于点F，如图④，求四边形MNFD的面积．第8题图解：(1)如解图①，过点D′作XY∥BC，与AB、CD分别交于点X、Y，∵四边形ABCD是正方形，第8题解图①∴∠B＝∠C＝90°，AB∥CD，∴四边形BCYX 是矩形， ∵点D ′到BC 的距离为1， ∴BX ＝CY ＝1，∴AX ＝AB －BX ＝5－1＝4，由折叠知：AD ′＝AD ＝5，在Rt △AXD ′中，由勾股定理得XD ′＝52－42＝3， ∴D ′Y ＝XY －XD ′＝5－3＝2，由题易证△AXD ′∽△D ′YE ， ∴AXD ′Y＝XD ′YE ， ∴42＝3YE ， ∴YE ＝32，∴CE ＝YE ＋YC ＝32＋1＝52， ∴点E 到BC 的距离等于52； (2)证明：由(1)知，CE ＝52， ∴DE ＝DC －CE ＝5－52＝52， ∴DE ＝CE ，又∵AD ＝BC ，∠C ＝∠ADE ， ∴△ADE ≌△BCE ， ∴AE ＝BE ，如解图②，过点E 作EZ ⊥AB 于点Z ，第8题解图②∴EZ 平分∠AEB ， ∴∠AEB ＝2∠BEZ ， ∵EZ ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴EZ ∥BC . ∴∠BEZ ＝∠EBC ， ∴∠AEB ＝2∠EBC ；(3)∵点A 、点E 关于MN 对称， ∴MN 垂直平分AE ，同理：AE 垂直平分DD ′， ∴MN ∥DF ，又∵MD ∥NF ，∴四边形MNFD 是平行四边形，如解图③，设AE 与MN ，DD ′分别相交于点G 、H ，第8题解图③在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AE ＝AD 2＋DE 2 ＝52＋（52）2＝552，∴GE ＝12AE ＝12×552＝554. 在Rt △ADE 中，DH ·AE ＝AD ·DE ，∴DH ＝AD ·DEAE ＝5×52552＝5，在Rt △DEH 中，由勾股定理得 EH ＝DE 2－DH 2＝（52）2－（5）2＝52，∴GH ＝GE －EH ＝554－52＝354，∵△ADE ≌△DCF ，∴AE ＝DF ，∴DF ＝552， ∴S 四边形MNFD ＝DF ·GH ＝552×354＝758. 9．【问题情境】(1)数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ，求证：∠B ＝30°，请你完成证明过程；【继续探究】(2)如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处，折痕交AE 于点G ，请运用(1)中的结论求∠ADG 的度数和AG 的长；【拓展应用】(3)若矩形纸片ABCD 按如图③所示的方式折叠，B 、D 两点恰好重合于一点O (如图④)，当AB ＝6时，求EF 的长．第9题图(1)证明：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ， ∵sin B ＝AC AB ＝12， ∴∠B ＝30°；(2)解：∵正方形边长为2，E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴EA ＝FD ＝12×CD ＝1，∵沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处， ∴A ′D ＝AD ＝2， ∴FD A ′D ＝12， ∴∠F A ′D ＝30°，可得∠FDA ′＝90°－30°＝60°，由折叠性质可得∠ADG ＝∠A ′DG ，AG ＝A ′G ， ∴∠ADG ＝∠ADA ′2＝90°－60°2＝15°， ∵A ′D ＝2，FD ＝1，∴A′F＝A′D2－FD2＝3，∴EA′＝EF－A′F＝2－3，∵∠EA′G＋∠DA′F＝180°－∠GA′D＝90°，∴∠EA′G＝90°－∠DA′F＝90°－30°＝60°，∴∠EGA′＝90°－∠EA′G＝90°－60°＝30°，则AG＝AG′＝2EA′＝2(2－3)；(3)解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO＝AD＝CB＝CO，∴DA＝AC 2，∵∠D＝90°，∴∠DCA＝30°，∵AB＝CD＝6，在Rt△ACD中，ADDC＝tan30°，则AD＝DC·tan30°＝6×33＝23，∵∠DAF＝∠F AO＝12∠DAO＝90°－∠DCA2＝30°，∴DFAD＝tan30°＝33，∴DF＝33AD＝2，∴DF＝FO＝2，同理EO＝2，∴EF＝EO＋FO＝4.10．如图，在矩形ABCD纸片中，AB＝10 cm，BC＝12 cm.点P在BC边上，将△P AB沿AP折叠得△P AE，连接CE，DE.(1)当点E落在AD边上时，CE＝________；(2)当△CDE分别满足下列条件时，求PB的长．①DE＝CD；②DE＝CE.第10题图解：(1)226 cm ；【解法提示】如解图①，∵将△P AB 沿AP 折叠，得△P AE ，E 落在AD 边上， ∴四边形ABPE 是正方形， ∴PB ＝PE ＝AB ＝10 cm ， ∴PC ＝2 cm ，∴CE ＝PE 2＋PC 2＝226 cm.第10题解图①(2)①如解图②，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，则MN ⊥BC ，第10题解图②∵DE ＝CD ，AE ＝AB ＝CD ＝DE ， ∴AE ＝10 cm ，∴AM ＝12AD ＝BN ＝6 cm ，∴ME ＝AE 2－AM 2＝8 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝2 cm ，易知△AME ∽△ENP ， ∴AM AE ＝EN PE ， ∴610＝2PE ， ∴PE ＝103 cm ， ∴PB ＝PE ＝103 cm ；②如解图③，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，过E 作EQ ⊥CD 于Q ，第10题解图③∵DE ＝CE ，∴DQ ＝12CD ＝5 cm ，∴ME ＝5 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝5 cm ， ∴AM ＝AE 2－ME 2＝5 3 cm ， ∴BN ＝5 3 cm ，同理得AM AE ＝EN PE ， ∴5310＝5PE ， ∴PE ＝1033 cm ，103∴PB＝PE＝3cm.。

中考数学二轮专题复习与图形折叠有关的探究专题课件

ME BH 2
第1题解图⑤
又∵∠A′EM＝∠CHB,
∴△A′ME∽△CBH, 设ME＝x,则A′E＝ x1,
2
∵A′B⊥CD,
∴A′B⊥AB,
∴∠ABA′＝90°,
由折叠可知,∠ABM＝∠MBE＝45°,
∴EB＝ME＝x,
第1题解图⑤
∵A′B＝5,∴ x1＋x＝5,解得x＝
10
.
2
3
∵∠A′＝∠C,∠A′HN＝∠CHB,∴△A′NH∽△CBH,
1
B2 M,
∴EF＝BF；
M
2 1
第1题图①
证法二：如解图②,过点F作FM⊥EB于点M,
则∠EMF＝90°. ∵BE⊥AD,∴∠AEB＝90°, ∴∠AEB＝∠EMF, ∴AD∥FM. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC. ∴AD∥FM∥BC. ∴ EM DF ,
MB FC
M
第1题图①
∵F为CD的中点, ∴DF＝FC. ∴EM＝MB. ∵FM⊥EB, ∴FM垂直平分EB.
M
第1题图①
实践探究：(2)希望小组受此问题的启发,将▱ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠,如图②点C的对应点为C′,连接DC′并延长交AB于点G, 请判断AG与BG的数量关系,并加以证明； (2)AG＝BG.
第1题图②
证法一：如解图③,由折叠可知：∠1＝∠2＝ 1∠CFC′,FC′＝FC.
2
∵F为CD的中点,∴FC＝FD＝ C1D,∴FC′＝ FD.
2
∴∠3＝∠4.∵∠CFC′＝∠3＋∠4,∴∠4＝
∠1 CFC′.
2
∴∠4＝∠1,∴DG∥FB.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴DC ∥ AB.

中考数学专项复习折叠类

对应角相等
矩形ABCD沿中心对称轴折叠，则∠A与∠C、∠B与∠D分别相等。
三角形折叠的性质
对应边相等
三角形ABC沿中心对称轴折叠，则AB与BC、AC与CA、AH与HC分别相等。
对应角相等
三角形ABC沿中心对称轴折叠，则∠A与∠B、∠B与∠C、∠A与∠C分别相等。
菱形折叠的性质
对应边相等
菱形ABCD沿中心对称轴折叠，则AB与BC、AD与CD、AC与 BD分别相等。
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折叠问题的基本类型
1 2
直线型折叠
将一个矩形或正方形沿一条直线折叠，求折痕的长度。
圆心型折叠
将一个圆沿着圆心对称的两个点折叠，求折痕的长度。
3
旋转式折叠
将一个矩形或正方形绕着一个顶点旋转一定角度后折叠，求折痕的长度。
折叠问题的基本解法
利用全等三角形
在折叠前后的两个图形中，通过全等三角形对应边相等的关系，求得折痕的长度。
在代数中的应用
因式分解
在代数中，折叠问题常常与因式分解有关，如利用平方差公式进行因式分解等。
方程
折叠问题在方程中也有应用，如利用换元法解方程等。
在三角函数中的应用
角度折叠
在三角函数中，折叠问题常常涉及到角度的倍数关系，如一个角折半后等于多少度等。
图形折叠
在三角函数中，折叠问题还涉及到图形的折叠，如一个直角三角形沿一条直角边折叠后得到一个正方形等。
对应角相等
菱形ABCD沿中心对称轴折叠Βιβλιοθήκη 则∠A与∠B、∠C与∠D分别相等。
03
折叠问题的应用
在几何中的应用
平面几何
折叠问题常常用于平面几何中，如三角形、四边形等图形的折叠，涉及角度、边长、面积等概念的考察。