6——matlab——利用秩1拟牛顿法求解非线性方程组
非线性方程组求解方法的比较研究
非线性方程组求解方法的比较研究在数学中，非线性方程组是指其中一个或多个方程不满足线性关系的方程组。
尽管有解析解的一些特殊情况，但大多数非线性方程组需要使用数值方法来计算近似解。
本文将比较介绍几种非线性方程组求解方法，包括牛顿法，拟牛顿法，全局优化方法和粒子群算法。
1. 牛顿法牛顿法是求解非线性方程组最常用的迭代方法之一。
它基于局部线性逼近，每次迭代使用当前解的一阶导数信息来计算下一次迭代的更新方向。
令F(x)表示非线性方程组，J(x)=∇F(x)表示F(x)的雅可比矩阵。
给定一个当前近似解x_k，牛顿法的更新方程可以表示为：x_(k+1) = x_k - J(x_k)^(-1)F(x_k)其中，J(x_k)^(-1)是J(x_k)的逆矩阵。
如果J(x_k)是奇异的，则牛顿法不适用。
与其他迭代方法相比，牛顿法通常收敛更快，因为它基于二次局部逼近，而其他方法通常只适用于一次局部逼近。
但是，牛顿法要求计算和存储雅可比矩阵的逆，这可能是一个瓶颈。
2. 拟牛顿法拟牛顿法是一类不需要精确计算和存储雅可比矩阵逆的牛顿法。
它使用最小化当前近似解和实际解之间差异的信息来逼近Hessian矩阵的逆。
拟牛顿法的基本思想是建立一个称为拟Hessian矩阵的对称正定矩阵B_k，B_k的逆用于计算更新方向。
拟Hessian矩阵通过对不同x_k和x_(k+1)的F(x_k)和F(x_(k+1))差的比较来构建。
在每个迭代步骤k，拟牛顿法将F(x_k)和F(x_(k+1))的差异的值的与相对应的x_k和x_(k+1) 的差异相关联的拟Hessian方程式称为：B_k(x_(k+1) - x_k) = ∇F(x_(k+1))- ∇F(x_k)其中∇F(x) 是F(x)的梯度。
这个拟Hessian方程的解，将给出优化的下降方向。
拟牛顿法不需要计算和存储雅可比矩阵的逆，但它需要存储一个两倍于原始变量数的矩阵B_k。
3. 全局优化方法全局优化方法是一类寻找非线性方程组所有可能解的算法。
matlab牛顿拉夫逊法与快速分解法的实现
一、概述MATLAB是一种强大的数学软件工具，它提供了许多优秀的数值计算和数据分析功能。
其中，牛顿拉夫逊法和快速分解法是两种常用的数值计算方法，它们在解决非线性方程组和矩阵分解等问题中具有重要的应用价值。
本文将介绍如何在MATLAB中实现这两种方法，并对它们的优缺点进行详细分析。
二、牛顿拉夫逊法的实现1. 算法原理牛顿拉夫逊法是一种用于求解非线性方程组的迭代算法。
它利用函数的一阶和二阶导数信息来不断逼近方程组的解，直到满足精度要求为止。
算法原理可以用以下公式表示:公式1其中，x表示解向量，F(x)表示方程组的函数向量，J(x)表示方程组的雅可比矩阵，δx表示解的更新量。
通过不断迭代更新x，最终得到方程组的解。
2. MATLAB代码实现在MATLAB中，可以通过编写函数来实现牛顿拉夫逊法。
以下是一个简单的示例代码：在这段代码中，首先定义了方程组的函数向量和雅可比矩阵，然后利用牛顿拉夫逊法进行迭代更新，直到满足精度要求为止。
通过这种方式，就可以在MATLAB中实现牛顿拉夫逊法，并应用于各种实际问题。
三、快速分解法的实现1. 算法原理快速分解法是一种用于矩阵分解的高效算法。
它利用矩阵的特定性质，通过分解为更小的子问题来加速计算过程。
算法原理可以用以下公式表示:公式2其中，A表示要分解的矩阵，L和U分别表示矩阵的下三角和上三角分解。
通过这种分解方式，可以将原始矩阵的计算量大大减小，提高求解效率。
2. MATLAB代码实现在MATLAB中，可以利用内置函数来实现快速分解法。
以下是一个简单的示例代码：在这段代码中，利用MATLAB内置的lu函数进行LU分解，得到矩阵的下三角和上三角分解。
通过这种方式，就可以在MATLAB中实现快速分解法，并应用于各种矩阵计算问题。
四、方法比较与分析1. 算法复杂度牛顿拉夫逊法和快速分解法在计算复杂度上有所不同。
牛顿拉夫逊法的迭代次数取决于所求解问题的非线性程度，通常需要较多的迭代次数。
数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序
数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序1. fzero函数：fzero函数是MATLAB中最常用的求解非线性方程的函数之一、它使用了割线法、二分法和反复均值法等多种迭代算法来求解方程。
使用fzero函数可以很方便地求解单变量非线性方程和非线性方程组。
例如，要求解方程f(x) = 0，可以使用以下语法：``````2. fsolve函数：fsolve函数是MATLAB中求解多维非线性方程组的函数。
它是基于牛顿法的迭代算法来求解方程组。
使用fsolve函数可以非常方便地求解非线性方程组。
例如，要求解方程组F(x) = 0，可以使用以下语法：``````3. root函数：root函数是MATLAB中求解非线性方程组的函数之一、它采用牛顿法或拟牛顿法来求解方程组。
使用root函数可以非常方便地求解非线性方程组。
例如，要求解方程组F(x) = 0，可以使用以下语法：``````4. vpasolve函数：vpasolve函数是MATLAB中求解符号方程的函数。
它使用符号计算的方法来求解方程，可以得到精确的解。
vpasolve函数可以求解多变量非线性方程组和含有符号参数的非线性方程。
例如，要求解方程组F(x) = 0，可以使用以下语法：```x = vpasolve(F(x) == 0, x)```vpasolve函数会返回方程组的一个精确解x。
5. fsolve和lsqnonlin结合：在MATLAB中，可以将求解非线性方程转化为求解最小二乘问题的形式。
可以使用fsolve函数或lsqnonlin函数来求解最小二乘问题。
例如，要求解方程f(x) = 0，可以将其转化为最小二乘问题g(x) = min，然后使用fsolve或lsqnonlin函数来求解。
具体使用方法可以参考MATLAB官方文档。
6. Newton-Raphson法手动实现：除了使用MATLAB中的函数来求解非线性方程，还可以手动实现Newton-Raphson法来求解。
牛顿迭代法解非线性方程（组）
⽜顿迭代法解⾮线性⽅程（组）在辨识⼯作中，常常需要对辨识准则或者判据进⾏求极值，这往往涉及到求⾮线性⽅程（组）的解问题。
⽜顿迭代法是⼀种常⽤⽅法。
下⾯把⾃⼰对⽜顿迭代法的学习和理解做个总结。
1.⼀元⾮线性⽅程的⽜顿迭代公式和原理以⼀元⾮线性⽅程 f(x)=0 为例，对函数 f(x)进⾏Taylor级数展开（只展开⾄线性项）得f(x) = f(x0)+f'(x0)(x-x0)所以⽅程可写成f(x0)+f'(x0)(x-x0) = 0其中x0是给定的已知值，则不难推导出⽅程的解（当然，只是近似解，毕竟Taylor展开过程中只取了线性项）x = x0 - f(x0) / f'(x0)其中x不是真实解，但是相⽐之前的x0更靠近真实解了，因此可以多重复⼏次上述过程，从⽽使得到的解⾮常接近准确值。
所以，对于⼀元⾮线性⽅程，⽜顿拉夫逊迭代公式为：x(k+1) = x(k) - f(x(k)) / f'(x(k))根据Taylor级数的⼏何意义我们可以从⼏何上形象的看⽜顿迭代法的求解f(x)=0的过程。
第⼀次迭代x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)，其中f(x0) / f'(x0)的⼏何意义很明显，就是x0到x1的线段长度（这可以从直⾓三⾓形的知识得到）。
第⼆次迭代x2 = x1 - f(x1) / f'(x1)，其中f(x1) / f'(x1)的⼏何意义很明显，就是x1到x2的线段长度。
同理可以进⾏第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x的取值在不断逼近真实解x*。
可能有⼈问，迭代求得的结果会不会不收敛，也就是x会不会偏离x*。
由于x0是在x*附近区域取值的，因此x0到x1这段曲线应该认为是平滑的没有转折的，因此切线与x轴的交点只会越来越接近真实解x*。
但是如果x0的取值离x*⽐较远的话，那么x0到x1这段曲线上可能有“转折”，这样就可能引起迭代的不收敛。
用matlab求解非线性方程组的几种方法之程序
高等教育出版社
教育电子音像出版社 作者：任玉杰 第二章 非线性方程（组）的数值解法的 MATLAB 程序
2.3.2 二分法的 MATLAB 程序
二分法需自行编制程序， 现提供用二分法求方程 f(x)=0 的根 x 的近似值 xk 的步骤和式 （2.3a）编写一个名为 erfen.m 的二分法的 MATLAB 主程序如下. 二分法的 MATLAB 主程序 求解方程 f ( x ) = 0 在开区间（a,b）内的一个根的前提条件是 f ( x ) 在闭区间[a,b]上 连续，且 f ( a ) ⋅ f (b ) < 0 . 输入的量：a和b是闭区间[a,b]的左、右端点，abtol是预先给定的精度. 运行后输出的量：k 是使用二分法的次数.x 是方程 在（a,b）内的实根 x*的近似值，
2.2.2 逐步搜索法及其 逐步搜索法及其 MATLAB 程序
逐步搜索法也称试算法.它是求方程 f ( x ) = 0 根的近似值位置的一种常用的方法. 逐 步搜索法依赖于寻找连续函数 f ( x ) 满足 f ( a ) 与 f (b ) 异号的区间 [ a, b ] .一旦找到区间，无 论区间多大，通过某种方法总会找到一个根. MATLAB 的库函数中没有逐步搜索法的程序，现提供根据逐步搜索法的计算步骤和它的 收敛判定准则编写其主程序，命名为 zhubuss.m. 逐步搜索法的 MATLAB 主程序 输入区间端点 a 和 b 的值，步长 h 和精度 tol，运行后输出迭代次数 k=(b-a)/h+1, 方程 f ( x ) = 0 根的近似值 r. function [k,r]=zhubuss(a,b,h,tol) % 输入的量--- a和b是闭区间[a,b]的左、右端点； %---h是步长； %---tol是预先给定的精度. % 运行后输出的量---k是搜索点的个数； % --- r是方程 在[a,b]上的实根的近似值，其精度是tol； X=a:h:b;Y=funs(X);n=(b-a)/h+1;m=0; X(n+1)=X(n);Y(n+1)=Y(n);
第4章 MATLAB 非线性方程(组)的求解
x*k
=
g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。
fixpt.m
逐次逼近： 将隐式方程归结为显式计 算
y
y=x
p1 p0
y=g(x)
✓
x
x0
x1 x*
y
y=x
y=g(x)
p0
p1
x x1 x0 x*
y p0
y=x
✓
y=g(x) p1
x0
x*
y
y=g(x) p0
x x1
y=x
是函数表达式中附加的参数x是返回的根fval是根x处的目标函数的值exitflag表明解存在的情况正数表明解存在负数表示解不存在遇到复数nan或者无穷大等
第4章 非线性方程(组)的求解
本章目标：求 f (x) = 0 的根
4.1 二分法 4.2 简单迭代法 4.3 Newton法 4.4 抛物线法 4.5 非线性方程组的求解 4.6 实例解析
p1
x x0 x* x1
4.3 Newton法
原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开
取 x0 x*，将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
f
(
2!
)
(
x
x0
)2，
在
x0
和
x
之间.
将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：
x = g (x)
f (x) 的根
g (x) 的不动点
从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), …,
基于MATLAB的非线性方程组的求解方法
D01：10.19392/j.c n k i.1671-7341.201714226基于MATLAB的非线性方程组的求解方法刘满义1董云洲1丁浩东1马俊2赵鑫3理论研究________________________________________________________________________________科技风2〇17年7月下1.中国民航大学航空工程学院天津300300;2.中国民航大学电子信息与自动化学院天津300300;3.中国民航大学空中交通管理学院天津300300摘要：对于大量的工程实际问题、经济学问题、动力学问题、数学建模问题等等，面临的困难之一就是非线性方程组的求解。
经典的非线性方程组的求解方法有牛顿法、梯度法等等，但这些经典求法在实际应用计算时仍存在许多困难。
本文将介绍基于M A T L A B的编程计算方法，以此来提高求解非线性方程的效率。
关键词！非线性方程组&M A T L A B―、调用函数(一）不含超越方程的非线性方程（组）在M A T L A B中的计算方法利用r o o ts函数、s o lv e函数：命令功能roots函数求解多项式的根solve函数求解(非）线性方程（组）例1.1求解非线性方程-6x3+x4=72x。
解:利用r o o t函数。
先按降幂排列，把方程化为=0的形式，即x4 -6x3 -72x=0M A T L A B程序如下：p= [1，-6,0, -72,0]；roots(p)输人后结果如下：ans=0.0000 + 0.0000/7.3374 + 0.0000/2.6687+3.0603/2.6687 -3.0603/即\x) =0没有实数根，在复数范围内有以上4个根。
例1.2求解非线性方程x518x3 +6x2 -81 =0解:利用s o lv e函数。
M A T L A B程序如下：[x] = s l v e(’x V-18 " x V + 6 " x V-81 ’，’x’）输人后结果如下：x =4.2027958463336272415627594412216-1.6190827288554153010622924477073■4.28616095987916349326681856999570.85122392120047577638317578824069+ 1.4327005812236533223554776312835 " /0.85122392120047577638317578824069-1.4327005812236533223554776312835 " /即此方程有三个实数根，其余两根为一对共轭复数。
matlab解非线性方程
matlab解非线性方程MATLAB求解非线性方程一、Matlab求解非线性方程的原理1. 非线性方程是指当函数中的变量出现不同的次方数时，得出的方程就是非线性的。
求解非线性方程的准确性决定于得出的解集是否丰富，以及解的精度是否符合要求。
2. Matlab是一款多功能的软件，可以快速求解工程中的数学方程和模型，包括一元非线性方程。
Matlab 具有非线性解析计算能力，可以极大地提高求解效率。
二、Matlab求解非线性方程的方法1. 使用数值解法求解：包括牛顿法、割线法、共轭梯度法、梯度下降法等，可以采用Matlab编写程序，来计算满足一元非线性方程的解。
2. 使用符号解法求解：在Matlab中，可以直接使用solve函数来解决一元非线性方程。
3. Matlab求解非线性方程的技巧：1）定义区间：对非线性方程给出一个精确定义的区间，matlab会将该区间分成若干区间，在这些区间内搜索解；2）多给出初始值：可以给出若干个初始值，令matlab均匀搜索多个解；3）改变算法：可以更改matlab中不同的求解算法；4）换元法：可以通过改变不同的元变量，将非线性方程变成多个简单的线性方程，然后利用matlab求解。
三、Matlab求解非线性方程的特点1. 高效：Matlab求解的方式高效有效，性能优异，可以节省大量的求解时间。
2. 准确：Matlab采用符号解法时，解的准确度精度更高，可以满足大部分要求。
3. 节省资源：Matlab求解非线性方程节省计算机资源，可以很好地利用资源，提高工作效率。
四、 Matlab求解非线性方程的步骤1. 对结构表达式编写程序；2. 设定相应的条件；3. 优化程序；4. 运行程序；5. 分析结果；6. 测试代码；7. 验证学习结果。
五、Matlab求解非线性方程的事例例1：已知一元非线性方程f ( x ) = x^3 - 4x - 9 = 0，求精度范围在[-5，5]之间的实根解法：使用Matlab符号解法求解solX = solve('x^3-4*x-9 = 0','x');输出结果为：solX =3-31运行程序，即可得到由-5到5的实根。
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利用秩1拟牛顿法求解非线性方程组：
M文件：
function s=Broyden1(x,eps)
format long
if nargin==1
eps=1e-6;
else if nargin<1
error(' ');
return;
end
end
[ff dff]=NewtonSfun(x);
x1=ff; b1=inv(dff);
p=-b1*x1';
x3=x'+p; n=1;
[ff dff]=NewtonSfun(x3');
d=ff;
q=(d-x1)';
b1=b1+(q-b1*p)*p'/(norm(p)*norm(p));
while (norm(p)>eps)
[ff dff]=Broyden1fun(x3');
x1=ff;
p=-inv(b1)*(x1)';
x3=x3+p; n=n+1;
[ff dff]=Broyden1fun(x3');
q=(ff-x1)';
b1=b1+(q-b1*p)*p'/(norm(p)*norm(p));
end
s=x3;
n
return;
求方程组的函数值和导数值函数：M-文件
function [ff dff]=NewtonSfun(x)
syms x1 x2
syms y1 y2
syms y
syms y11 y12
syms y21 y22 dy
y1=x1*x1-10*x1+x2*x2+8;
y2=x1*x2*x2+x1-10*x2+8;
y=[y1 y2];
ff=subs(y,[x1,x2],x);
y11=diff(y1,x1); y12=diff(y1,x2);
y21=diff(y2,x1); y22=diff(y2,x2);
dy=[y11,y12;y21,y22];
dff=subs(dy,[x1,x2],x);
调用语句：
Broyden1([0 0])
结果：
n =
20
ans =
1.067346085798006
0.139227666849304