【全国名校高一数学优质教学资料】高一数学 4.8正弦函数余弦函数的图象和性质(第二课时) 大纲人教版必修
高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质
高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质一、正弦函数的图象与性质1、正弦函数图象的作法：（1）描点法：关键是选定一个周期，把这个周期分成四等份，根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点，确定函数图象的大致形状；（2）几何法：一般是用三角函数线来作出图象。
注意：①的图象叫正弦曲线；②作图象时自变量要用弧度制；③在对精确度要求不太高时，作的图象一般使用“五点法”。
2、正弦函数的性质（1）定义域为，值域为；（2）周期性：正弦函数具有周期性，这可由诱导公式来推导，其最小正周期是。
函数的最小正周期是；（3）奇偶性：奇函数；（4）单调性：在每一个闭区间，上为增函数，在每一个闭区间，上为减函数。
3、周期函数函数周期性的定义：对于函数y＝，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数y＝就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数y＝的最小正周期。
4、关于函数的图象和性质（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；（3）函数取最值的点与其相邻的与x轴的交点间的距离为函数的个周期。
5、正弦型图象的变换方法（1）先平移后伸缩的图象的图象的图象的图象的图象。
（2）先伸缩后平移的图象的图象的图象的图象的图象。
二、余弦函数、正切函数的图象与性质1、余弦函数的图象和性质（1）由函数可知，用平移变换法可以得到余弦函数的图象，也可以使用“五点法”得到，同时还要学会用这两种方法画出函数的图象。
（2）余弦函数的性质可类比正弦函数的性质得到。
2、正切函数与正、余弦函数的比较（1）正切函数的定义域不是全体实数，这与正、余弦函数的定义域为全体实数有着较大的差别；（2）正、余弦函数是有界函数，而正切函数是无界函数；（3）正、余弦函数是连续函数，反映在图象上是连续无间断的点；而正切函数在定义域上不连续，它有无数条渐近线（垂直于x轴的直线），其图象被这些渐近线分割开来；（4）正、余弦函数的图象既是中心对称图形（对称中心分别为），又是轴对称图形（对称轴分别为）；而正切函数的图象只是中心对称图形，其对称中心为；（5）正、余弦函数既有单调递增区间，又有单调递减区间；而正切函数只有单调递增区间，即正切函数，在每一个区间上都是单调递增函数。
【精品】高一数学 4.8正弦函数余弦函数的图象和性质(备课资料) 大纲人教版必修
●备课资料1.y ＝－sin x 与y ＝sin x 的图象有怎样的对称性? 解：y ＝－sin x 与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称.2.当x ∈R 时，余弦函数y ＝cos x 与正弦函数y ＝sin(x ＋2π)是否为同一个函数?为什么?y ＝sin x 与y ＝cos(x ＋2π)呢? 答：是，因为sin(2π＋x )＝cos x不是，因为cos(x ＋2π)＝－sin x ≠sin x3.求下列函数的定义域和值域： (1)y =lg(sin x －23);(2)y =213cos 2-x .分析：根据函数有意义列不等式，求x 的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.解：(1)要使lg(sin x －23)有意义，必须且只须sin x ＞23，解之得：2k π+3π＜x ＜2k π+32π，k ∈Z又∵0＜sin x －23≤1－23∴lg(sin x －23)≤lg(1－23)∴定义域为(2k π+3π，2k π+32π)，(k ∈Z )值域为(－∞，lg(1－23)］.(2)要使213cos 2-x 有意义，必须且只须2cos3x －1≥0，即cos3x ≥21，解之得2k π－3π≤3x ≤2k π+3π即932ππ-k ≤x ≤932ππ+k ，k ∈Z .又0≤2cos3x －1≤1 故0≤213cos 2-x ≤2∴定义域为［932,932ππππ+-k k ］，k ∈Z值域为［0，2］评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.4.比较下列各组数的大小： (1)sin195°与cos170°;(2)cos47cos,101sin,23-; (3)sin(sin83π)，sin(83π).分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小. 解：(1)sin195°=sin(180°+15°)=－sin15° cos170°=cos(180°－10°)=－cos10°=－sin80° ∵0°＜15°＜80°＜90°又∵y =sin x 在［0°，90°］上是递增函数， ∴sin15°＜sin80° ∴－sin15°＞－sin80° ∴sin195°＞cos170°.(2)∵sin 101=cos(2π－101)－cos 47=cos(π－47)又∵2π－101=1.47＜1.5=23 π－47=1.39＜1.4＜2π－101＜23而y =cos x 在［0，π］上是减函数， 由π－47＜2π－101＜23＜π 得cos 23＜cos(2π－101)＜cos(π－47)即cos23＜sin101＜－cos47.(3)∵cos 83π=sin 8π∴0＜cos83π＜sin 83π＜1而y =sin x 在［0，1］内递增 ∴sin(cos83π)＜sin(sin 83π).●备课资料 给出下列命题：①y ＝sin x 在第一象限是增函数；②α是锐角，则y ＝sin(α＋4π)的值域是［－1，1］；③y ＝sin ｜x ｜的周期是2π；④y ＝sin 2x －cos 2x 的最小值是－1； 其中正确的命题的序号是_____.分析:①y ＝sin x 是周期函数，自变量x 的取值可周期性出现，如反例： 令x 1＝3π，x 2＝6π＋2π，此时x 1＜x 2 而sin3π＞sin(6π＋2π)∴①错误； ②当α为锐角时，4π＜α＋4π＜2π＋4π由图象可知22＜sin(α＋4π)≤1∴②错误；③∵y ＝sin ｜x ｜(x ∈R )是偶函数.其图象是关于y 轴对称，可看出它不是周期函数. ∴③错误；④y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，最小值为－1 ∴④正确. 答案：④评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.附1：三角函数单调区间的求法单调性是函数的重要性质之一，求三角函数的单调区间是三角中常见的题型，现将常用的几种方法总结如下：一、代换法所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数符号后的整体当做一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间，这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间，即：y ＝sin x 在［2k π－2π,2k π＋2π］(k ∈Z )上单调递增,在［2k π＋2π，2k π＋23π］(k ∈Z )上单调递减.y ＝cos x 在［2k π－π，2k π］(k ∈Z )上单调递增，在［2k π，2k π＋π］(k ∈Z )上单调递减；y ＝tan x 在(k π－2π，k π＋2π)(k ∈Z )上单调递增.下面举例说明：［例］求下列函数的单调递增区间： ①y ＝cos(2x ＋6π)；②y ＝3sin(23x -π)解：①设u ＝2x ＋6π，则y ＝cos u当2k π－π≤u ≤2k π时y ＝cos u 随u 的增大而增大 又∵u ＝2x ＋6π随x ∈R 增大而增大∴y ＝cos(2x ＋6π)当2k π－π≤2x ＋6π≤2k π(k ∈Z )即k π－127π≤x ≤k π－12π时，y 随x 增大而增大∴y ＝cos(2x ＋6π)的单调递增区间为：［k π－127π，k π－12π］(k ∈Z )②设u ＝3π－2x ，则y ＝3sin u当2k π＋2π≤u ≤2k π＋23π时，y ＝3sin u 随x 增大在减小，又∵u ＝3π－2x 随x ∈R 增大在减小∴y ＝3sin(3π－2x )当2k π＋2π≤3π－2x ≤2k π＋23π即－4k π－37π≤x ≤－4k π－3π时，y 随x 增大而增大∴y ＝3sin(3π－2x )的单调递增区间为［4k π－37π，4k π－3π］(k ∈Z )二、图象法函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，如果能画出三角函数的图象，那它的单调区间就直观明了了.［例］求函数y ＝－｜sin(x ＋4π)｜的单调区间.解：利用“五点法”可得该函数的图象为：显然，该函数的周期为π在［k π－4π，k π＋4π］(k ∈Z )上为单调递减函数；在［k π＋4π，k π＋43π］(k ∈Z )上为单调递增函数.附2：正余弦函数图象的对称性现行新编高中数学试用教材，对正余弦函数y ＝sin x ，y ＝cos x 及y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，y ＝A cos(ωx ＋ϕ)的性质，只研究了定义域、值域、最值、奇偶性、单调性及周期性，而没有涉及它们的对称性，事实上这些函数具有下列对称性.性质1 函数y ＝sin x 的图象具有无数条对称轴，其方程为x k ＝k π＋2π(k ∈Z )性质1′ 函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象具有无数条对称轴，其方程为x k ＝ωϕωπωπ-+2k (k ∈Z )性质2 函数y ＝cos x 的图象具有无数条对称轴，其方程为x k ＝k π(k ∈Z ) 性质2′ 函数y ＝A cos(ωx ＋ϕ)的图象具有无数条对称轴，其方程为x k ＝ωϕωπ-k (k∈Z )掌握了它们的对称性之后，我们便可将其对称性与值域(含最值)、单调性、周期性融为一体，显然，它们的值域为f (x k )与f (x k ＋1)之间的一切实数组成的集合，最大、最小值由f (x k )与f (x k ＋1)相应确定，一个单调增或单调减区间为［x k ，x k ＋1］，半周期2T ＝x k ＋1－x k (k∈N *)，可见，若能直接运用对称轴方程解题，则显得十分简明而又准确可靠.［例1］函数y ＝sin(2x ＋25π)的图象的一条对称轴方程是( ) A.x ＝－2πB.x ＝－4πC.x ＝8πD.x ＝45π方法一：运用性质1′，y ＝sin(2x ＋25π)的所有对称轴方程为x k ＝2πk －π(k ∈Z )，令k ＝－1，得x －1＝－2π，对于B 、C 、D 都无整数k 对应.故选A.方法二：运用性质2′，y ＝sin(2x ＋25π)＝cos2x ，它的对称轴方程为x k ＝2πk (k ∈Z )，令k ＝－1，得x －1＝－2π，对于B 、C 、D 都无整数k 对应，故选A.［例2］在下列区间中函数y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间是( )A.［2π，π］B.［0，4π］C.［－π，0］D.［4π，2π］分析：函数y ＝sin(x ＋4π)是一个复合函数即y ＝sin ［ϕ(x )］，ϕ(x )＝x ＋4π，欲求y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间，因ϕ(x )＝x ＋4π在实数集上恒递增，故应求使y 随ϕ(x )递增而递增的区间.方法一：∵ϕ(x )＝x ＋4π在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上是递增的，故令2k π－2π≤x ＋4π≤2k π＋2π∴2k π－43π≤x ≤2k π＋4π∴y ＝sin(x ＋4π)的递增区间是［2k π－43π，2k π＋4π］ 取k ＝－1、0、1，分别得［－47,411ππ］、［－43π，4π］、［45π，49π］，对照选择肢，可知应选B.像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，如本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.方法二：函数y ＝sin(x ＋4π)的对称轴方程是：x k ＝k π＋2π－4π＝k π＋4π(k ∈Z )，对照选择肢，分别取k ＝－1、0、1，得一个递增或递减区间分别是［－43π，4π］或［4π，45π］，对照选择肢思考即知应选B.注：一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方程求其一个单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得.［例3］若函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－8π对称，试求a 的值.解：显然a ≠0，如若不然，x ＝－8π就是函数y ＝sin2x 的一条对称轴，这是不可能的.当a ≠0时，y ＝sin2x ＋a cos2x ＝21a +(21aa +cos2x ＋211a+·sin2x )＝21a+cos(2x －θ)其中cos θ＝21aa +，sin θ＝211a+即tan θ＝a1cos sin =θθ函数y ＝21a +cos(2x －θ)的图象的对称轴方程的通式为2x k ＝k π＋θ(k ∈Z ) ∴x k ＝22πθk +，令x k ＝－8π822ππθ-=+⇒k∴θ＝－k π－4π∴tan θ＝tan(－k π－4π)＝－1.即a1＝－1，∴a ＝－1为所求.附3：精析周期函数 中学课本中写着：“对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f (x ＋T )＝f (x )都成立，那么就把函数y ＝f (x )叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期.”书中又说，对于一个周期函数来说：“如果在所有的周期中，存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期.”这个定义是采用内涵定义法定义的，要正确理解周期函数的定义，应从定义的内涵(性质)和外延(对象)两个方面来分析，应注意以下几点：1.式子f (x ＋T )＝f (x )对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何x ，式子都成立.而不能是“一个x ”或“某些个x ”，另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行了.例如：由于sin(12π＋65π)＝sin12π，即sin(x ＋65π)＝sin x .该式中x 取12π时等式成立，能否断定65π是sin x 的周期呢?不能,因对于其他一些x 值该式不一定成立.如x ＝6π时,sin(x ＋65π)≠sin x .［例］函数y ＝cos x (x ≠0)是周期函数吗?解：不是，举反例，当T ＝2π时，令x ＝－2π，则有cos(x ＋2π)＝cos(－2π＋2π)＝cos0＝1，但x ＝0，不属于题设的定义域，则x 不能取－2π，故y ＝cos x (x ≠0)不是周期函数.2.式子f (x ＋T )＝f (T )是对“x ”而言.例如，由cos(3x ＋2k π)＝cos3x (k ∈Z )，是否可以说cos3x 的周期为2k π呢?不能!因为cos(3x ＋2k π)＝cos 36πk x +，即cos 36πk x +＝cos3x (k ∈Z )，所以cos 3x 的周期是6k π，而不是2k π(k ∈Z ).3.一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期.例如，f (x )＝a (常数)，显然任何一个正数T 都是f (x )的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数f (x )＝a 无最小正周期.4.设T 是f (x )(x ∈R )的周期，那么kT (k ∈Z ，且k ≠0)也一定是f (x )的周期，定义规定了T 为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T 的取值范围，只要求不为零，不要误认为T 一定是π的倍数.众所周知，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的周期即最小正周期是T ＝||2ωπ，函数y ＝A cos(ωx＋ϕ)的周期也是T ＝||2ωπ，函数y ＝A tan(ωx ＋ϕ)的周期是T ＝||ωπ，不难看到，上述各函数的周期中都含有“π”，而且，同学们所见到的课本例题及习题中的周期函数的周期中也都含有“π”，于是，有的同学认为：周期函数的周期一定含“π”.事实上，这种看法是错误的，实际上，有许多周期函数的周期中是不含“π”的，如下面几例：［例1］函数y ＝sin πx 的周期是T ＝ππ2＝2. ［例2］函数y ＝tan2πx 的周期是T ＝ππ2＝21.［例3］若对于函数y ＝f (x )定义域内的任何x 的值，都有f (x ＋1)＝f (x )成立，则由周期函数的定义可知，函数y ＝f (x )是周期函数，且T ＝1是其周期.［例4］设f (x )定义在R 上，并且对任意的x ，有f (x ＋2)＝f (x ＋3)－f (x ＋4). 求证：f (x )是周期函数，并找出它的一个周期.证明：∵f (x ＋2)＝f (x ＋3)－f (x ＋4) ① ∴f (x ＋3)＝f (x ＋4)－f (x ＋5) ② ①＋②得：f (x ＋2)＝－f (x ＋5) ③ 由③得：f (x ＋5)＝－f (x ＋8) ④ ∴f (x ＋2)＝f (x ＋8) 即f (x )＝f (x ＋6)∴f (x )为周期函数，一个周期为6.5.周期函数必须是函数，但一定要克服思维定势，认为周期性是三角函数所独有的，实质上我们学过的非周期函数f (x )(如y ＝log 2x ，y ＝｜x ｜，y ＝2x ，y ＝x 2等等)将其定义域内限制在一个半开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函数y ＝x 2(x ∈R )在其定义域R 内限制在(－1，1］，然后将y ＝x 2(－1＜x ≤1)的图象左、右平移，可以延拓为最小正周期为2的周期函数f (x )＝(x －2k )2(2k －1＜x ≤2k ＋1)，k ∈Z ，如图：［例］已知f (x )＝｜x ｜，x ∈(－1，1］，求定义在R 上的一个周期为2的函数g(x )，使x ∈(－1，1］时，g(x )＝f (x ).解：由g (x )的周期性可画出g(x )的图象.如图：对于任意的x ∈R ，x 一定在周期为2的区间(2n －1，2n ＋1］内，则x －2n ∈(－1，1］. ∴g (x )＝g (x －2n )＝f (x －2n )＝｜x －2n ｜， 即g (x )＝⎩⎨⎧≤<-+-+≤<-nx n n x n x n n x 212,2122,2评述：(1)要判定f (x )是周期函数，自变量x 必须取遍定义域内的每一个值.(2)周期函数是高考中的热点，只有深层次的理解周期函数的意义，才能臻化入境，运用自如.●备课资料1.求函数y ＝2cos 1cos 3++x x 的值域.解：由已知：cos x ＝yy --312⇒｜yy --312｜＝｜cos x ｜≤1⇒(yy --312)2≤1⇒3y 2＋2y －8≤0∴－2≤y ≤34∴y max ＝34，y min ＝－22.f (x )＝sin x 图象的对称轴是_____. 解：由图象可知： 对称轴方程是：x ＝k π＋2π(k ∈Z )3.(1)函数y ＝sin(x ＋4π)在什么区间上是增函数?(2)函数y ＝3sin(3π－2x )在什么区间是减函数?解：(1)函数y ＝sin x 在下列区间上是增函数： 2k π－2π＜x ＜2k π＋2π(k ∈Z )∴函数y ＝sin(x ＋4π)为增函数，当且仅当2k π－2π＜x ＋4π＜2k π＋2π即2k π－43π＜x ＜2k π＋4π(k ∈Z )为所求.(2)∵y ＝3sin(3π－2x )＝－3sin(2x －3π)由2k π－2π≤2x －3π≤2k π＋2π得k π－12π≤x ≤k π＋125π(k ∈Z )为所求.或：令u ＝3π－2x ，则u 是x 的减函数又∵y ＝sin u 在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上为增函数，∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在区间［2k π－2π，2k π＋2π］上递减.设2k π－2π≤3π－2x ≤2k π＋2π解得k π－12π≤x ≤k π＋125π(k ∈Z )∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在［k π－12π，k π＋125π］(k ∈Z )上单调递减.评述：在求三角函数的单调区间时，一定要注意复合函数的有关知识，忽略复合函数的条件，是同学们解题中常发生的错误.下面请看一错例剖析：［例］求函数y ＝sin 21x -π的单调增区间.误解：令u ＝21x -π∵y ＝sin u 在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上递增∴2k π－2π≤21x -π≤2k π＋2π解得－4k ≤x ≤－4k ＋2∴原函数的单调递增区间为［－4k ，－4k ＋2］(k ∈Z ) 分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令u ＝21x -π，忽视了u 是x的减函数，未考虑复合后单调性的变化.正解如下：解法一：令u ＝21x -π，则u 是x 的减函数又∵y ＝sin u 在［2k π＋2π，2k π＋23π］(k ∈Z )上为减函数，∴原函数在［2k π＋2π，2k π＋23π］(k ∈Z )上递增设2k π＋2π≤21x -π≤2k π＋23π解得－4k －2≤x ≤－4k (k ∈Z )∴原函数在［－4k －2，－4k ］(k ∈Z )上单调递增 解法二：将原函数变形为y ＝－sin 21-x π因此只需求sin 21-x π＝y 的减区间即可∵u ＝21-x π为增函数∴只需求sin u 的递减区间 ∴2k π＋2π≤21-x π≤2k π＋23π解之得：4k +2≤x ≤4k +4(k ∈Z )∴原函数的单调递增区间为［4k ＋2，4k ＋4］(k ∈Z ) 附：谈三角函数最值的求解三角函数最值是中学数学的一个重要内容，加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何之间的联系，培养学生的思维能力.本文介绍三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法.一、利用三角函数的有界性利用三角函数的有界性如｜sin x ｜≤1，｜cos x ｜≤1来求三角函数的最值. ［例1］a 、b 是不相等的正数. 求y ＝x b x a 22sincos+＋x b x a 22cossin+的最大值和最小值.解：y 是正值，故使y 2达到最大(或最小)的x 值也使y 达到最大(或最小).y 2＝a cos 2x ＋b sin 2x ＋2x b x a 22sincos +·x b x a 22cossin+＋a sin 2x ＋b cos 2x＝a ＋b ＋x b a ab 2sin)(422-+∵a ≠b ，(a －b )2＞0，0≤sin 22x ≤1 ∴当sin2x ＝±1时，即x ＝22ππ+k (k ∈Z )时，y 有最大值)(2b a +；当sin x ＝0时，即x ＝2πk (k ∈Z )时，y 有最小值b a +.二、利用三角函数的增减性如果f (x )在［α，β］上是增函数，则f (x )在［α，β］上有最大值f (β)，最小值f (α)；如果f (x )在［α，β］上是减函数，则f (x )在［α，β］上有最大值f (α)，最小值f (β).［例2］在0≤x ≤2π条件下，求y ＝cos 2x －sin x cos x －3sin 2x 的最大值和最小值.解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有y ＝22cos 1x+－2sin2x －3·22cos 1x-＝2(cos2x －sin2x )－1＝22(cos2x cos 4π－sin2x sin 4π)－1＝22cos(2x ＋4π)－1∵0≤x ≤2π，4π≤2x ＋4π≤45πcos(2x ＋4π)在［0，83π)上是减函数故当x ＝0时有最大值22当x ＝83π时有最小值－1cos(2x ＋4π)在［83π，2π］上是增函数故当x ＝83π时，有最小值－1当x ＝2π时，有最大值－22综上所述，当x ＝0时，y max ＝1 当x ＝83π时，y min ＝－22－1三、换元法利用变量代换，我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解.［例3］求f (x )＝sin 4x ＋2sin 3x cos x ＋sin 2x cos 2x ＋2sin x cos 3x ＋cos 4x 的最大值和最小值.解：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＋2sin x cos x (sin 2x ＋cos 2x )＋sin 2x cos 2x =1＋2sin x cos x －sin 2x cos 2x令t ＝21sin2x∴－21≤t ≤21 ①f (t )＝1＋2t －t 2＝－(t －1)2＋2②在①的范围内求②的最值 当t ＝21，即x ＝k π＋4π(k ∈Z )时，f (x )max ＝47当t ＝－21，即x ＝k π＋43π(k ∈Z )时，f (x )min ＝－41附：求三角函数最值时应注意的问题三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一，也是会考、高考必考内容，在求解中欲达到准确、迅速，除熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点：一、注意sin x 、cos x 自身的范围［例1］求函数y ＝cos 2x －3sin x 的最大值.解：y ＝cos 2x －3sin x ＝－sin 2x －3sin x ＋1＝－(sin x ＋23)2＋413∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1时，y max ＝3说明：解此题易忽视sin x ∈［－1，1］这一范围，认为sin x ＝－23时，y 有最大值413，造成误解.二、注意条件中角的范围［例2］已知｜x ｜≤4π，求函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值.解：y ＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(sin x －21)2＋45∵－4π≤x ≤4π∴－22≤sin x ≤22∴当sin x ＝－22时y min ＝－(－22－21)2＋45＝221-说明：解此题注意了条件｜x ｜≤4π，使本题正确求解，否则认为sin x ＝－1时y 有最小值，产生误解.三、注意题中字母(参数)的讨论［例3］求函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋85a －23(0≤x ≤2π)的最大值.解：∵y ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋85a －23＝－(cos x －2a)2＋42a＋85a －21∴当0≤a ≤2时，cos x ＝2a ，y max ＝42a＋85a －21当a ＞2时，cos x ＝1，y max ＝813a －23当a ＜0时，cos x ＝0，y max ＝85a －21说明：解此题注意到参数a 的变化情形，并就其变化讨论求解，否则认为cos x ＝2a 时，y 有最大值会产生误解.四、注意代换后参数的等价性［例4］已知y ＝2sin θcos θ＋sin θ－cos θ(0≤θ≤π)，求y 的最大值、最小值. 解：设t ＝sin θ－cos θ＝2sin(θ－4π)∴2sin θcos θ＝1－t 2∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －21)2＋45又∵t ＝2sin(θ－4π)，0≤θ≤π ∴－4π≤θ－4π≤43π∴－1≤t ≤2 当t ＝21时，y max ＝45当t ＝－1时，y min ＝－1说明：此题在代换中，据θ范围，确定了参数t ∈［－1，2］，从而正确求解，若忽视这一点，会发生t ＝21时有最大值而无最小值的结论.。
高中数学必修一高一数学第四章(第五课时)正弦函数余弦函数的图象和性质()公开课教案课件课时训练练习教
课 题：48正弦函数、余弦函数的图象和性质（4）教学目的：1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法 教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是 (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 3．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， 分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R 4．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－15．周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π6．奇偶性y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称 7．单调性正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1二、讲解范例：例1 求函数y ＝sin 21x-π的单调增区间 误解：令ｕ＝21x-π ∵y ＝sin ｕ在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上递增 ∴2k π－2π≤21x -π≤2k π＋2π解得－4k ≤x ≤－4k ＋2∴原函数的单调递增区间为［－4k ，－4k ＋2］(k ∈Z ) 分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令ｕ＝21x-π，忽视了ｕ是x 的减函数，未考虑复合后单调性的变化正解如下：解法一：令ｕ＝21x-π，则u 是x 的减函数 又∵y ＝sin ｕ在［2k π＋2π，2k π＋23π］(k ∈Z )上为减函数，∴原函数在［2k π＋2π，2k π＋23π］(k ∈Z )上递增设2k π＋2π≤21x-π≤2k π＋23π解得－4k －2≤x ≤－4k (k ∈Z )∴原函数在［－4k －2，－4k ］(k ∈Z )上单调递增 解法二：将原函数变形为y ＝－sin 21-x π 因此只需求sin 21-x π＝y 的减区间即可 ∵ｕ＝21-x π为增函数 ∴只需求sin ｕ的递减区间 ∴2k π＋2π≤21-x π≤2k π＋23π解之得：4k +2≤x ≤4k +4(k ∈Z )∴原函数的单调递增区间为［4k ＋2，4k ＋4］(k ∈Z ) 一、利用三角函数的有界性利用三角函数的有界性如｜sin x ｜≤1，｜cos x ｜≤1来求三角函数的最值例2 a 、b 是不相等的正数求y ＝x b x a x b x a 2222cos sin sin cos +++的最大值和最小值解：y 是正值，故使y 2达到最大(或最小)的x 值也使y 达到最大(或最小)y 2＝a cos 2x ＋b sin 2x ＋2x b x a 22sin cos +·x b x a 22cos sin +＋a sin 2x ＋b cos 2x＝a ＋b ＋x b a ab 2sin )(422-+ ∵a ≠b ，(a －b )2＞0，0≤sin 22x ≤1 ∴当sin2x ＝±1时，即x ＝22ππ+k (k ∈Z )时，y 有最大值)(2b a +； 当sin x ＝0时，即x ＝2πk (k ∈Z )时，y 有最小值a ＋b二、利用三角函数的增减性 如果f (x )在［α，β］上是增函数，则f (x )在［α，β］上有最大值f (β)，最小值f (α)；如果f (x )在［α，β］上是减函数，则f (x )在［α，β］上有最大值f (α)，最小值f (β)例3 在0≤x ≤2π条件下，求y ＝cos 2x －sin x cos x －3sin 2x 的最大值和最小值解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有y ＝22cos 1x +－2sin2x －3·22cos 1x-＝2(cos2x －sin2x )－1 ＝22 (cos2x cos 4π－sin2x sin 4π)－1＝22cos(2x ＋4π)－1∵0≤x ≤2π，4π≤2x ＋4π≤45πcos(2x ＋4π)在［0，83π）上是减函数 故当x ＝0时有最大值22当x ＝83π时有最小值－1cos(2x ＋4π)在［83π，2π］上是增函数 故当x ＝83π时，有最小值－1当x ＝2π时，有最大值－22综上所述，当x ＝0时，y max ＝1 当x ＝83π时，y min ＝－22－1三、换元法利用变量代换，我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解例4求f (x )＝sin 4x ＋2sin 3x cos x ＋sin 2x cos 2x ＋2sin x cos 3x ＋cos 4x 的最大值和最小值解：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＋2sin x cos x (sin 2x ＋cos 2x )＋sin 2x cos 2x =1＋2sin x cos x －sin 2x cos 2x令ｔ＝21sin2x ∴－21≤ｔ≤21①f (ｔ)＝1＋2ｔ－ｔ2＝－(ｔ－1)2＋2 ②在①的范围内求②的最值当ｔ＝21，即x ＝k π＋4π(k ∈Z )时，f (x )max ＝47 当ｔ＝－21，即x ＝k π＋43π(k ∈Z )时，f (x )min ＝－41四、求三角函数最值时应注意的问题三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一，也是会考、高考必考内容，在求解中欲达到准确、迅速，除熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点：1．注意sin x 、cos x 自身的范围例5求函数y ＝cos 2x －3sin x 的最大值解：y ＝cos 2x －3sin x ＝－sin 2x －3sin x ＋1＝－(sin x ＋23)2＋413 ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1时，y max ＝3说明：解此题易忽视sin x ∈［－1，1］这一范围，认为sin x ＝－23时，y 有最大值413，造成误解 2．注意条件中角的范围例6已知｜x ｜≤4π，求函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值解：y ＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(sin x －21)2＋45∵－4π≤x ≤4π∴－22≤sin x ≤22 ∴当sin x ＝－22时 y min ＝－(－22－21)2＋45＝221-说明：解此题注意了条件｜x ｜≤4π，使本题正确求解，否则认为sin x ＝－1时y 有最小值，产生误解3．注意题中字母(参数)的讨论例7求函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋85a －23(0≤x ≤2π)的最大值 解：∵y ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋85a －23＝－(cos x －2a )2＋42a ＋85a －21∴当0≤a ≤2时，cos x ＝2a ，y max ＝42a ＋85a －21当a ＞2时，cos x ＝1，y max ＝813a －23 当a ＜0时，cos x ＝0，y max ＝85a －21说明：解此题注意到参数a 的变化情形，并就其变化讨论求解，否则认为cos x ＝2a时，y 有最大值会产生误解 4．注意代换后参数的等价性例8已知y ＝2sin θcos θ＋sin θ－cos θ(0≤θ≤π)，求y 的最大值、最小值解：设t ＝sin θ－cos θ＝2sin(θ－4π) ∴2sin θcos θ＝1－ｔ2∴y ＝－ｔ2＋ｔ＋1＝－(ｔ－21)2＋45 又∵ｔ＝2sin(θ－4π)，0≤θ≤π∴－4π≤θ－4π≤43π∴－1≤ｔ≤2 当ｔ＝21时，y max ＝45当ｔ＝-1时，y min ＝－1说明：此题在代换中，据θ范围，确定了参数ｔ∈［－1，2］，从而正确求解，若忽视这一点，会发生ｔ＝21时有最大值而无最小值的结论 三、课堂练习：四、小结 三角函数最值的求解：三角函数最值是中学数学的一个重要内容，加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何之间的联系，培养学生的思维能力本课介绍了三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法 五、课后作业：六、板书设计（略） 七、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
2020-2021年高一数学 4.8正弦函数余弦函数的图象和性质(第二课时) 大纲人教版必修
2019-2020年高一数学 4.8正弦函数余弦函数的图象和性质（第二课时）大纲人教版必修●教学目标(一)知识目标1.正弦函数的性质；2.余弦函数的性质.(二)能力目标1.理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3.掌握正弦函数y＝A sin(ωx＋)的周期及求法.(三)德育目标1.渗透数形结合思想；2.培养辩证唯物主义观点.●教学重点正、余弦函数的性质●教学难点正、余弦函数性质的理解与应用●教学方法通过引导学生观察正、余弦函数的图象，从而发现正、余弦函数的性质，加深对性质的理解.(启发诱导式)●教具准备多媒体课件或幻灯片内容：1.正弦函数的图象，即正弦曲线2.余弦函数的图象，即余弦曲线●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.(打出幻灯片或多媒体课件)［师］我们一起来看正、余弦函数，它们具有如下性质：(1)定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：y＝sin x，x∈Ry＝cos x，x∈R(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin x｜≤1，｜cos x｜≤1，即－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y=sin x，x∈R①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.而余弦函数y＝cos x，x∈R①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.(3)周期性由 (k∈Z)知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.(4)奇偶性［师］再请同学们看……若从正弦曲线上任取一点P(x,y)，即P(x,sin x),其关于原点的对称点(－x,－y)即(－x, －sin x)，由诱导公式sin(－x)=－sin x知这个对称点P′(－x,sin(－x))也在正弦曲线上.这说明……［生甲］将正弦曲线绕原点旋转180°后所得曲线能够与原来的曲线重合.［生乙］正弦曲线关于原点对称.［生丙］原点是正弦曲线的对称中心.［师］一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数.据此定义，可知上述正弦函数是奇函数.［师］我们刚才讨论过正弦曲线关于原点对称，那么是否奇函数的图象就关于原点对称呢？［生甲］不是……［生乙］是……［师］请同学试证：设y=f(x)为奇函数［生］从y=f(x)的图象上任取一点P(x,y)即(x,f(x)),其关于原点的对称点P′ (－x,－y),即(－x,－f(x))，由y=f(x)为奇函数，得知f(－x)=－f(x)，所以P′的坐标为(－x,f(－x)),从而也可知点P′也在y=f(x)的图象上，由于点P是任取的，从而可判断y=f(x)的图象关于原点对称.［师］奇函数的图象关于原点对称.［师］余弦曲线是否有此对称性？［生］没有.［师］那么，余弦曲线又有何特征呢？［生丁］关于y轴对称.［师］请同学们讨论.［生］若设y=cos x(x∈R)从余弦曲线上任取一点P(x,y)即(x,cos x)，其关于y轴的对称点是(－x,y)即(－x,cos x)，由诱导公式cos(－x)=cos x，可知P′点也就是(－x,cos(－x))，它显然也在余弦曲线上.［师］这说明若将余弦曲线沿着y轴折叠，y轴两旁的部分能够互相重合.即余弦曲线关于y轴对称.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数.［师］据此定义可知，余弦函数是偶函数，偶函数的图象关于y轴对称.(此对称性可让学生推证).(5)单调性从y＝sin x，x∈［－，］的图象上可看出：当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sin x的值由－1增大到1.当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sin x的值由1减小到－1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.［师］下面看一些例子［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.(1)y＝cos x＋1，x∈R；(2)y＝sin2x，x∈R.解：(1)使函数y＝cos x＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cos x，x ∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝.函数y＝cos x＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2.(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝由2x＝Z＝＋2kπ，得x＝＋kπ即：使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝.函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.［例2］求下列函数的定义域：(1)y＝1+ (2)y＝解：(1)由1＋sin x≠0，得sin x≠－1即x≠＋2kπ(k∈Z)∴原函数的定义域为｛x｜x≠＋2kπ，k∈Z｝(2)由cos x≥0得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)∴原函数的定义域为［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)［例3］求函数y＝－cos x的单调区间解：由y＝－cos x的图象可知：单调增区间为［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)单调减区间为［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)Ⅲ.课堂练习［生］(口答)课本P56~P57练习2、6(书面练习)课本P56 1、4Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题.Ⅴ.课后作业(一)课本P57，习题4.8 1、4(二)1.预习内容课本P54～P56.2.预习提纲(1)如何灵活应用正、余弦函数的性质解决一些问题?(2)如何用数形结合思想理解有关性质.●板书设计§4.8.2 正弦函数、余弦函数的图象和性质(二)图象和性质例题。
高一数学正弦函数、余弦函数的图像和性质
2
-
-1 -
o
2
-
4
-
6
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同
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x
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2 正弦曲线
y
1-
6
-
4
-
2
-
o-1
2
-
4
-
6
-
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同 3余弦曲线（平移得到） 余弦曲线（几何作法）
y sin x, x 0,2
1 2
x
y
0
3
3 2
6
2
2 3
3 2
5 6
1 2
0
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
0
1
1 2
3 2
1 23
1 2
0
(2) 描点
y 10
2
-
-
-
-
3 2
2
x
(3) 连线
1 -
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
y sin( x
y sin( x
2
2
), x R
)
图象
余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 而得到．
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的函数，它们具有许多重要的性质。
单调性是其中之一。
本文将重点介绍正弦函数和余弦函数的单调性，希望能对读者加深对这两个函数的理解。
我们先来介绍一下正弦函数和余弦函数的定义。
正弦函数记作y=sin(x)，其中x表示自变量，y表示函数值。
余弦函数记作y=cos(x)，同样x表示自变量，y表示函数值。
这两个函数都是周期函数，其周期为2π。
下面我们分别来介绍它们的单调性。
正弦函数的单调性：正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。
具体来说，当自变量x增大时（在0到π/2之间），y=sin(x)也逐渐增大，当自变量x继续增大（在π/2到π之间），y=sin(x)逐渐减小，当自变量x继续增大（在π到3π/2之间），y=sin(x)又逐渐增大，以此类推。
从图上来看，正弦函数的图像会呈现出一种周期性的波动，这体现了正弦函数的周期性。
我们可以得出结论，正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。
正弦函数和余弦函数在各自的周期内的单调性是不同的。
正弦函数是先增后减或者先减后增的，而余弦函数是先减后增或者先增后减的。
这也是因为正弦函数和余弦函数的定义和性质不同所导致的。
通过对这两个函数的单调性进行分析，可以帮助我们更好地理解它们的规律和特点。
除了单调性以外，正弦函数和余弦函数还有许多其他重要的性质，比如周期性、奇偶性、图像特点等。
这些性质都是我们在学习和应用这两个函数时需要重点关注的内容。
希望通过本文的介绍，读者能够对正弦函数和余弦函数的单调性有更清晰的认识，并能够更好地应用这些知识解决实际问题。
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和物理中都有着广泛的应用。
在学习正弦函数和余弦函数时，了解它们的性质是非常重要的。
单调性是其中一条重要的性质。
在本文中，我们将重点介绍正弦函数和余弦函数的单调性，帮助读者更好地理解这两个函数。
让我们先来了解一下正弦函数和余弦函数的定义。
正弦函数和余弦函数都是周期函数，其定义域是实数集，值域是[-1,1]。
正弦函数的定义如下：\[ y = \sin(x) \]而余弦函数的定义如下：\[ y = \cos(x) \]接下来，让我们来探讨正弦函数和余弦函数的单调性。
我们来看正弦函数的单调性。
正弦函数的图像是一条波浪线，其周期为2π。
从图像上可以直观地看出，正弦函数在0到2π的区间上是单调递增的。
在0到π之间，正弦函数的值是逐渐增大的，而在π到2π之间，正弦函数的值是逐渐减小的。
我们正弦函数在0到2π的区间上是单调的。
根据正弦函数的奇函数的性质，我们可以推断出，正弦函数在整个定义域上都是奇函数，即在任何一个对称的区间上，正弦函数都是单调的。
除了图像直观地展示了正弦函数和余弦函数的单调性之外，我们还可以通过导数来证明它们的单调性。
我们知道，函数的导数可以表示函数的增减性。
通过计算正弦函数和余弦函数的导数，我们可以得出它们的单调性。
通过以上的探讨，我们可以得出结论：正弦函数和余弦函数在其定义域上都是单调的。
这是它们的一个重要性质，对于学习和应用这两个函数都有着重要的意义。
在物理学中，正弦函数和余弦函数经常用于描述周期性变化。
在机械振动学中，正弦函数和余弦函数分别可以描述弹簧振子和单摆的运动规律。
在电磁学中，正弦函数和余弦函数也可以用来描述电流和电压的变化规律。
在工程技术中，正弦函数和余弦函数也有着广泛的应用，比如在通信领域中的信号处理和调制解调领域。
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●课题§4.8.2 正弦函数、余弦函数的图象和性质(二)
●教学目标
(一)知识目标
1.正弦函数的性质；
2.余弦函数的性质.
(二)能力目标
1.理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；
2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；
3.掌握正弦函数y＝A sin(ωx＋ )的周期及求法.
(三)德育目标
1.渗透数形结合思想；
2.培养辩证唯物主义观点.
●教学重点
正、余弦函数的性质
●教学难点
正、余弦函数性质的理解与应用
●教学方法
通过引导学生观察正、余弦函数的图象，从而发现正、余弦函数的性质，加深对性质的理解.(启发诱导式)
●教具准备
多媒体课件或幻灯片
内容：1.正弦函数的图象，即正弦曲线
2.余弦函数的图象，即余弦曲线
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究
它们有哪些性质.
(打出幻灯片或多媒体课件)
［师］我们一起来看正、余弦函数，它们具有如下性质：
(1)定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：
y＝sin x，x∈R
y＝cos x，x∈R
(2)值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin x｜≤1，｜cos x｜≤1，即
－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.
其中正弦函数y=sin x，x∈R
π＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
①当且仅当x＝
2
π＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
②当且仅当x＝－
2
而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R
①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. ②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. (3)周期性
由⎩
⎨⎧=+=+x k x x k x cos )2cos(sin )2sin(ππ (k ∈Z )
知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的. 一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.
由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 根据上述定义，可知：
正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. (4)奇偶性
［师］再请同学们看……
若从正弦曲线上任取一点P (x ,y )，即P (x ,sin x ),其关于原点的对称点(－x ,－y )即(－x , －sin x )，由诱导公式sin(－x )=－sin x 知这个对称点P ′(－x ,sin(－x ))也在正弦曲线上.这说明…… ［生甲］将正弦曲线绕原点旋转180°后所得曲线能够与原来的
曲线重合.
［生乙］正弦曲线关于原点对称.
［生丙］原点是正弦曲线的对称中心.
［师］一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数.
据此定义，可知上述正弦函数是奇函数.
［师］我们刚才讨论过正弦曲线关于原点对称，那么是否奇函数的图象就关于原点对称呢？
［生甲］不是……
［生乙］是……
［师］请同学试证：设y=f(x)为奇函数
［生］从y=f(x)的图象上任取一点P(x,y)即(x,f(x)),其关于原点的对称点P′ (－x,－y),即(－x,－f(x))，由y=f(x)为奇函数，得知f(－x)=－f(x)，所以P′的坐标为(－x,f(－x)),从而也可知点P′也在y=f(x)的图象上，由于点P是任取的，从而可判断y=f(x)的图象关于原点对称.
［师］奇函数的图象关于原点对称.
［师］余弦曲线是否有此对称性？
［生］没有.
［师］那么，余弦曲线又有何特征呢？
［生丁］关于y轴对称.
［师］请同学们讨论.
［生］若设y =cos x (x ∈R )从余弦曲线上任取一点P (x ,y )即(x ,cos x )，其关于y 轴的对称点是(－x ,y )即(－x ,cos x )，由诱导公式cos(－x )=cos x ，可知P ′点也就是(－x ,cos(－x ))，它显然也在余弦曲线上.
［师］这说明若将余弦曲线沿着y 轴折叠，y 轴两旁的部分能够互相重合.即余弦曲线关于y 轴对称.
一般地，如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－
x )=f (x )，则称f (x )为这一定义域内的偶函数.
［师］据此定义可知，余弦函数是偶函数，偶函数的图象关于y 轴对称.(此对称性可让学生推证). (5)单调性
从y ＝sin x ，x ∈［－2
π，
2
3π
］的图象上可看出： 当x ∈［－2
π，2
π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1.
当x ∈［2
π，
2
3π
］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2
π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2
π＋2k π，2
3π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.
［师］下面看一些例子
［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么.
(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ； (2)y ＝sin2x ，x ∈R .
解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝. 函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2.
(2)令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且使函数y ＝sinZ ，Z ∈R 取得最大值的Z 的集合是｛Z ｜Z ＝2
π＋2k π，k ∈Z ｝ 由2x ＝Z ＝2π＋2k π，得x ＝4
π＋k π
即：使函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝4
π＋k π，k ∈Z ｝.
函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是1. ［例2］求下列函数的定义域： (1)y ＝1+
x
sin 1
(2)y ＝x cos 解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1 即x ≠
2
3π
＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠2
3π
＋2k π，k ∈Z ｝ (2)由cos x ≥0
得－2π＋2k π≤x ≤2
π＋2k π(k ∈Z )
∴原函数的定义域为［－2
π＋2k π，2
π＋2k π］(k ∈Z )。