第六章作业

3. 样本比例可表示为
n0 p n 或
N0 N
N1 或 1 N
n1 1 p n
样本比例的抽样分布
1. 样本比例的数学期望
E ( p)
2. 样本均值的方差
– 重复抽样

2 p
(1 )
n
• 假定某统计人员在其填写的报表中有2%至少 会有一处错误，如果检查了600分报表组成的 随机样本，其中至少有一处错误报表所占的比 例在0.025~0.07的概率有多大？
样本均值的抽样分布
(样本均值的分布与总体分布的关系)
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4 。总 体的均值、方差的分布如下 总体分布
.3
均值和方差

x
i 1
N
i.2 .1 01 源自 3 4NN i 1
2.5
常用统计量
• • • • • 样本均值 样本方差 样本变异系数 样本偏度 样本峰度
X1 X 2 X n X n
1 n 2 S (Xi X ) n 1 i 1
2
S V X
n i 1
a 3 n ( X i X ) /( ( X i X ) )
•16个样本的均值（x） •16个样本的均值 •第一 •第二个观察值 •第一 •第二个观察值 个观察 个观察 •1 •2 •3 •1 •2 •3 值 值 •1 •1.0 •1.5 •2.0 •1 •1.0 •1.5 •2.0 •2 •2 •3 •3 •1.5 •1.5 •2.0 •2.0
P(x) 0.3
3 i 1 i 1 4 n 2 2
n
n
2 3/ 2
a 4 n ( X i X ) /( ( X i X ) ) 3
i 1
次序统计量
第i个次序统计量X i） 当 （ 是样本函数，且满足， 样本得到一组观测值 1 ,, x n , 其由小到大的排序 x x(1) x( 2) x( n ) , 第i个值x (i ) 就作为次序统计量 X (i )的观测值。
96
67 74 85 56
EXCEL-数据分析
--抽样
刘河
19
69
样本的选取方式
• 概率（随机）抽样
简单随机抽样 分层抽样 系统抽样 整群抽样
• 样本是随机的 • 由样本计算的一切量是随机变量
统计量
设总体X服从某种分布，从总体 抽取容量为 n一个样本( X 1 , X 2 ,, X n ).
样本容量
（1）大样本（n≥30） （2）小样本（n≤30）
• 样本的选取方式 • 对样本的概括性数字度量
统计量
• 统计量的分布——抽样分布
样本均值的分布 样本比例的分布
样本方差的分布
姓名 李渠 张海
年龄 21 20
成绩 78 89
从8个个体中随机抽4个样本
梁湖
陈江 肖溪 汪洋 赵沟
22
24 23 20 21
总体比例的抽样分布
有些社会随机现象中只有两个结果：成功与失败
成功
失败
射击
考试
命中
及格
不中
不及格
产品
选举
合格
同意
不合格
不同意
(proportion)
1. 总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单 位总数之比
– – 不同性别的人与全部人数之比 合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比
比例
2. 总体比例可表示为
• 例 某汽车电瓶商声称其生产的电瓶具有均值 为60个月、标准差为6个月的寿命分布。现假 设质检部门决定检验该厂的说法是否准确，为 此抽取50个该厂生产的电瓶进行寿命试验。 • （1）假定厂商声称是正确的，试描述50个电 瓶的平均寿命的抽样分布。 • （2）假定厂商声称是正确的，则50个样品组 成的样本平均寿命不超过57月的概率为多少。
样本均值的抽样分布
1. 样本均值的数学期望
E (x )
2. 样本均值的方差
– 重复抽样
-
不重复抽样
n
2 x
2 2 x
2
N n ( ) n N 1
抽样分布与总体分布的关系
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本
样本均值 正态分布
样本均值 正态分布
样本均值 非正态分布
区域 求和 观测数 置信度(95.0%)
54.71091 7139.136 45 4.136838
一、用EXCEL简单抽样

2
分布
n
设随机变量X 1 , X 2 , , X n 相互独立，且X i . ~ N (0,1), 则其平方和 X i2 服从自由度为n的 2 分布。
i 1
其为偏态分布，自由度 越小，越向右偏， 随自由度的增大，逐渐 对称并接近正态分布。 数学期望为n，方差为2n
t 分布
2
设随机变量X . ~ N (0,1),Y ~ (n),且X和Y相互独立， X 则 t ~ t ( n) Y/n
样本均值的抽样分布
x
样本均值的分布与总体分布的比较
(例题分析)
总体分布
.3
P(x)
抽样分布
.3 .2 .1 0
.2 .1 0
1
2
3
4
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
= 2.5
σ2 =1.25
x 2.5
0.625
2 x
中心极限定理
中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总 体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽 样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布
•所有可能的n = 2 的样本（共16个） •第一个 •观察值 •第二个观察值 •1 •2 •3 •4
•1
•2 •3 •4
•1,1
•2,1 •3,1 •4,1
•1,2
•2,2 •3,2 •4,2
•1,3
•2,3 •3,3 •4,3
•1,4
•2,4 •3,4 •4,4
样本均值的抽样分布
(例题分析)
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
• 例 设从一个均值为10，标准差为0.6的总体随 机抽取容量为36的样本，要求 （1）计算样本均值小于9.9的概率 （2）计算样本均值超过9.9的概率 （3）计算样本均值在总体均值附近0.1范围内 的近似概率
1. 样本均值的标准差，也称为标准误差 2. 标准误差衡量的是样本均值的离散程度 3. 样本均值的标准差(标准误差)为
s x n
标准误差计算
用EXCEL的”数据分析”中”描述统计”计算 平均 标准误差 中位数 众数 标准差 方差 峰度 偏度 158.6475 2.052647 156 #N/A 13.76957 189.6012 -0.5373 0.296279
社会经济现象的调查 社会性的民意调查 市场调查
统计学的分类
统计学
描述统计
推断统计
搜集
整理
频数分析
抽样分布
参数估计
假设检验
推断统计学就是从总体中抽出一部分个体
组成样本，由样本的结果推出总体的结果。 抽样估计推断总体的什么呢？
1、总体的平均值Mean（期望）
估计某地区人均储蓄
2、总体的比例Proportion（成功率）P
由样本构造的一个函数 ( X 1 , X 2 ,, X n ),不依赖于 T
任何未知参数，则称 ( X 1 , X 2 ,, X n )是一统计量。 T
设X ~ N ( , ),从总体抽取容量为
2
5一个样本( X 1 , X 2 ,, X 5 ).
T1 X 1 X 2 X 3 T2 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X1 X 2 X 3 X 4 X 5 T3 X 5 1 5 T4 ( X i X ) 2 S 2 5 i 1 T5 X 1 X 2 E ( X )
t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比 正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之 为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐 趋于正态分布
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
t (df = 5)
z
x
t 分布与标准正态分布的比较
不同自由度的t分布
t
• 数学期望为0 • 方差n/(n-2)
2
( xi ) 2 N
1.25
样本均值的抽样分布
设总体为X，数学期望为 方差为

2
的分布与总体分布的关系。
X1 X 2 X ，用例子说明样本均值X n
样本均值的抽样分布
(例题分析)
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽 样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为
• 当总体服从正态分布，有
估计总体均值 x s/ n ~ t ( n 1)
t分布获得分位数方法
• • • • 查t分布表 利用excel的TINV统计函数 语法为TINV（a，df） 注意查表与函数输入的a不同(输入a，查 表a/2) • 写作x~t（df）
F分布
P(x)
x
标准误差 (standard error)
•4 •4
•2.5 •2.5
0.2 0.1 0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0