临沂市中考试题分类汇编(几何)
2024年临沂市中考数学真题试题及答案
2024年山东省临沂市中考数学真题试卷(枣庄、聊城、临沂、菏泽)一、选择题：本题共10小题,每小题3分,共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．1. 下列实数中,平方最大的数是（ ） A. 3B.12C.1- D. 2-2. 用一个平面截正方体,可以得到以下截面图形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3. 2023年山东省扎实落实民生实事,全年新增城乡公益性岗位61.9万个,将61.9万用科学记数法表示应为（ ） A. 30.61910⨯B. 461.910⨯C. 56.1910⨯D. 66.1910⨯4. 下列几何体中,主视图是如图的是（ ）A. B. C. D.5. 下列运算正确的是（ ）A. 437a a a +=B. ()2211a a -=- C. ()2332a ba b =D. ()2212a a a a +=+6. 为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造,改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为（ ） A. 200B. 300C. 400D. 5007. 如图,已知AB ,BC ,CD 是正n 边形的三条边,在同一平面内,以BC 为边在该正n 边形的外部作正方形BCMN ．若120ABN ∠=︒,则n 的值为（ ）A. 12B. 10C. 8D. 68. 某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动,甲、乙两位同学各自任选其中一项参加,则他们选择同一项活动的概率是（ ） A.19B.29C.13D.239. 如图,点E 为ABCD 的对角线AC 上一点,5AC =,1CE =,连接DE 并延长至点F ,使得EF DE =,连接BF ,则BF 为（ ）A.52B. 3C.72D. 410. 根据以下对话给出下列三个结论①1班学生的最高身高为180cm ①1班学生的最低身高小于150cm ①2班学生的最高身高大于或等于170cm ． 上述结论中,所有正确结论的序号是（ ） A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①①二、填空题：本题共6小题,每小题3分,共18分．11. 因式分解：22x y xy +=________．12. 写出满足不等式组21215x x +≥⎧⎨-<⎩的一个整数解________．13. 若关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根,则m 的值为________． 14. 如图,ABC ∆是O 的内接三角形,若OA CB ∥,25ACB ∠=︒,则CAB ∠=________．15. 如图,已知MAN ∠,以点A 为圆心,以适当长为半径作弧,分别与AM ,AN 相交于点B ,C ;分别以B ,C 为圆心,以大于12BC 的长为半径作弧,两弧在MAN ∠内部相交于点P ,作射线AP ．分别以A ,B 为圆心,以大于12AB 的长为半径作弧,两弧相交于点D ,E ,作直线DE 分别与AB ,AP 相交于点F ,Q ．若4AB =,67.5PQE ∠=︒,则F 到AN 的距离为________．16. 任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2．反复进行上述两种运算,经过有限次运算后,必进入循环圈1→4→2→1,这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy 中,将点(),x y 中的x ,y 分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标,其中x ,y 均为正整数．例如,点()6,3经过第1次运算得到点()3,10,经过第2次运算得到点()10,5,以此类推．则点()1,4经过2024次运算后得到点________．三、解答题：本题共7小题,共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （11122-⎛⎫--⎪⎝⎭（2）先化简,再求值：212139a a a +⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭,其中1a =．18. 【实践课题】测量湖边观测点A 和湖心岛上鸟类栖息点P 之间的距离【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况,在岸边选取合适的点B ．测量A ,B 两点间的距离以及∠PAB 和PBA ∠,测量三次取平均值,得到数据：60AB =米,79PAB ∠=︒,64PBA ∠=︒．画出示意图,如图【问题解决】（1）计算A ,P 两点间的距离．（参考数据：sin640.90︒≈,sin790.98︒≈,cos790.19︒≈,sin370.60︒≈,tan370.75︒≈） 【交流研讨】甲小组回班汇报后,乙小组提出了另一种方案如图2,选择合适的点D ,E ,F ,使得A ,D ,E 在同一条直线上,且AD DE =,DEF DAP ∠=∠,当F ,D ,P 在同一条直线上时,只需测量EF 即可．（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形 ①三角形全等【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好,对于实际测量,要根据现场地形状况选择可实施的方案．19. 某学校开展了“校园科技节”活动,活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平,从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制,用x 表示）,并将其分成如下四组：6070x ≤<,7080x ≤<,8090x ≤<,90100x ≤≤． 下面给出了部分信息8090x ≤<的成绩为：81,81,82,82,83,83,84,84,84,85,86,86,86,87,88,88,88,89,89,89．根据以上信息解决下列问题 （1）请补全频数分布直方图（2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是________分（3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数（4）根据活动要求,学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按3:2的比例确定这次活动各人的综合成绩． 某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下通过计算,甲、乙哪位学生的综合成绩更高？20. 列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法,它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数2y x b =+与ky x=部分自变量与函数值的对应关系（1）求a ,b 的值,并补全表格（2）结合表格,当2y x b =+的图像在ky x=的图像上方时,直接写出x 的取值范围． 21. 如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,60DAB ∠=︒,22AB BC AD ===．以点A 为圆心,以AD 为半径作DE 交AB 于点E ,以点B 为圆心,以BE 为半径作EF 所交BC 于点F ,连接FD 交EF 于另一点G ,连接CG ．（1）求证：CG 为EF 所在圆的切线 （2）求图中阴影部分面积．（结果保留π）22. 一副三角板分别记作ABC 和DEF ,其中90ABC DEF ∠=∠=︒,45BAC ∠=︒,30EDF ∠=︒,AC DE =．作BM AC ⊥于点M ,EN DF ⊥于点N ,如图1．（1）求证：BM EN =（2）在同一平面内,将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置,点C 与点E 重合记为C ,点A 与点D 重合,将图2中的DCF 绕C 按顺时针方向旋转α后,延长BM 交直线DF 于点P ． ①当30α=︒时,如图3,求证：四边形CNPM 为正方形①当3060α︒<<︒时,写出线段MP ,DP ,CD 的数量关系,并证明;当60120α︒<<︒时,直接写出线段MP ,DP ,CD 的数量关系．23. 在平面直角坐标系xOy 中,点()2,3P -在二次函数()230y ax bx a =+->的图像上,记该二次函数图像的对称轴为直线x m =． （1）求m 的值（2）若点(),4Q m -在23y ax bx =+-的图像上,将该二次函数的图像向上平移5个单位长度,得到新的二次函数的图像．当04x ≤≤时,求新的二次函数的最大值与最小值的和（3）设23y ax bx =+-的图像与x 轴交点为()1,0x ,()()212,0x x x <．若2146x x <-<,求a 的取值范围．2024年山东省临沂市中考数学真题试卷答案(枣庄、聊城、临沂、菏泽)一、选择题．9. 解：延长DF 和AB ,交于G 点①四边形ABCD 是平行四边形 ①DC AB ∥,DC AB =即DC AG ∥ ①DEC GAE ∽ ①CE DE DCAE GE AG== ①5AC =,1CE =①514AE AC CE =-=-= ①14CE DE DC AE GE AG === 又①EF DE =,14DE DE GE EF FG ==+ ①13EF FG = ①14DC DC AG AB BG ==+,DC AB = ①13DC BG =①13EF DC FG BG == ①34BG FG AG EG == ①AE BF ∥①BGF AGE ∽ ①34BF FG AE EG == ①4AE =①3BF =．故选：B ．10. 解：设1班同学的最高身高为cm x ,最低身高为cm y ,2班同学的最高身高为cm a ,最低身高为cm b 根据1班班长的对话,得180x ≤,350x a +=①350x a =-①350180a -≤解得170a ≥故①,①正确根据2班班长的对话,得140b >,290y b +=①290b y =-①290140y ->①150y <故①正确故选：D ．二、填空题．11. 【答案】()2xy x +12. 【答案】1-（答案不唯一）【解析】解：21215x x +≥⎧⎨-<⎩①② 由①得：1x ≥-由①得：3x <①不等式组的解集为：13x -≤<①不等式组的一个整数解为：1-故答案为：1-（答案不唯一）.13. 【答案】14【解析】解：①关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根①2242444160b ac m m ∆=-=-⨯⨯=-= 解得：14m =． 故答案为：14． 14. 【答案】40︒【解析】解①连接OB①25ACB ∠=︒①250AOB ACB ∠=∠=︒①OA OB = ①()1180652OAB OBA AOB ∠=∠=︒-∠=︒ ①OA CB ∥①25A OAC CB ∠=︒∠=①40CAB OAB OAC ∠=∠-∠=︒故答案为：40︒．15.【解析】解：如图,过F 作FH AC ⊥于H由作图可得：BAP CAP ∠=∠,DE AB ⊥,122AF BF AB === ①67.5PQE ∠=︒①67.5AQF ∠=︒①9067.522.5BAP CAP ∠=∠=︒-︒=︒①45FAH ∠=︒①2AH FH AF ===①F 到AN16. 【答案】()2,1【解析】解：点()1,4经过1次运算后得到点为()131,42⨯+÷,即为()4,2 经过2次运算后得到点为()42,21÷÷,即为()2,1经过3次运算后得到点为()22,131÷⨯+,即为()1,4……发现规律：点()1,4经过3次运算后还是()1,4①202436742÷=①点()1,4经过2024次运算后得到点()2,1故答案为：()2,1．三、解答题．17. 【答案】（1）3 （2）3a - 2-18. 【答案】（1）A ,P 两点间的距离为89.8米;（2）①19. 【答案】（1）画图见解析（2）83（3）600人（4）甲的综合成绩比乙高.【小问1详解】解：①510%50÷=,而8090x ≤<有20人①7080x ≤<有502051015---=补全图形如下。
2022年中考数学真题分类汇编：圆类几何证明题(含答案)
2022年中考数学真题汇编圆类几何证明题1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．2.(1)求证：直线PE是⊙O的切线；3.(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．4.(2022·广西壮族自治区贵港市)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中∠BDC．点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC=125.(1)求证：AF是⊙O的切线；6.(2)若BC=6，sinB=4，求⊙O的半径及OD的长．57.(2022·山东省烟台市)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°．8.(1)请用尺规作出⊙O的切线AD(保留作图痕迹，不写作法)；9.(2)在(1)的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．10.(2022·山东省聊城市)如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD=∠EOD．11.(1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线；12.(2)若FC=10，AC=6，求FD的长．13.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．14.(1)求证：∠D=∠EBC；15.(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．16.(2022·湖南省张家界市)如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是BD⏜的中点，延长AD交BC的延长线于点E．17.(1)求证：CE=CD；18.(2)若AB=3，BC=√3，求AD的长．19.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．20.(1)求证：CE与⊙O相切；21.(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．22.(2022·贵州省铜仁市)如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．23.(1)求证：AB=CB；24.(2)若AB=18，sinA=1，求EF的长．325.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．26.(1)求证：BF与⊙O相切；27.(2)若AP=OP，cosA=4，AP=4，求BF的长．528.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．29.(1)求证：CD是⊙O的切线．30.(2)若tan∠BED=2，AC=9，求⊙O的半径．331.32.(2022·内蒙古自治区呼和浩特市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE．33.(1)求证：BD=CD；34.(2)若tanC=1，BD=4，求AE．235.(2022·北京市)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．36.(1)求证：∠BOD=2∠A；37.(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F.若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．38.(2022·广西壮族自治区百色市)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD．39.(1)求证：MC是⊙O的切线；40.(2)若AB=BM=4，求tan∠MAC的值．41.(2022·山东省临沂市)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD.过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．42.(1)求证：∠D=∠E；43.(2)若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．44.(2022·辽宁省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D和点E．45.(1)求证：BC与⊙O相切；46.(2)若sin∠BAC=3，CE=6，求OF的长．547.(2022·湖北省恩施土家族苗族自治州)如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．48.(1)求证：∠ADE=∠PAE．49.(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．50.(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．51.(2022·内蒙古自治区赤峰市)如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC=BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．52.(1)求证：AD是⊙O的切线；53.(2)若CD=6，OF=4，求cos∠DAC的值．54.(2022·湖北省潜江市)如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．55.(1)求证：FB2=FE⋅FG；56.(2)若AB=6，求FB和EG的长．57.(2022·贵州省毕节市)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．58.(1)求证：BF=BD；59.(2)若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O的直径．60.(2022·贵州省黔东南苗族侗族自治州)(1)请在图1中作出△ABC的外接圆⊙O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；61.(2)如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE⏜的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．62.①求证：BD⊥AD；63.②若AC=6，tan∠ABC=3，求⊙O的半径．464.65.(2022·山东省威海市)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．66.(1)若AB=AC，求证：∠ADB=∠ADE；67.(2)若BC=3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．68.(2022·江苏省无锡市)如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点(点A、C除外)，BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．69.(1)求证：△CED∽△BAD；70.(2)当DC=2AD时，求CE的长．71.(2022·陕西省)如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．72.(1)求证：∠CAB=∠APB；73.(2)若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段PD的长．74.(2022·新建生产建设兵团)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．75.(1)求证：∠ABC=∠CAD；76.(2)求证：BE⊥CE；77.(3)若AC=4，BC=3，求DB的长．78.(2022·江苏省扬州市)如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB=CP．79.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；80.(2)若sinA=√5，OA=8，求CB的长．5参考答案1.(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．可得BD=CD=12本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(1)作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，利用直角三角形斜边上中线的性质得AD=CD，再通过导角得出AC是∠FAB的平分线，再利用角平分线的性质可得OH=OE，从而证明结论；(2)根据BC=6，sinB=4，可得AC=8，AB=10，设⊙O的半径为r，则OC=OE=r，5利用Rt△AOE∽Rt△ABC，可得r的值，再利用勾股定理求出OD的长．本题主要考查了圆的切线的性质和判定，直角三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．3.(1)过点A作AD⊥AO即可；(2)连接OB，OC.证明∠ACB=75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC=120°，求出CH可得结论．本题考查作图−复杂作图，三角形的外接圆，切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4.(1)根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF=∠OEF=90°，即可得出结论；(2)根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD=OF−OD求出即可．本题主要考查切线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．5.(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．6.(1)连接AC，通过证明△ACE≌△ACB，利用全等三角形的性质分析推理；(2)通过证明△EDC∽△EBA，利用相似三角形的性质分析计算．本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．7.(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，∠D=60°，即得AB=√3BD=2√3，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=√2AB=√6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=2√2，故CF=2√AC2−AF2=√2，从而BC=BF+CF=√6+√2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．8.(1)连接OD，则OD⊥DE，利用BC⊥DE，可得OD//BC，通过证明得出∠A=∠C，结论得证；(2)连接BD，在Rt△ABD中，利用sinA=1求得线段BD的长；在Rt△BDF中，利用3sin∠A=sin∠FDB，解直角三角形可得结论．本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质．连接过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．9.(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，AD，然后利用等腰三角形的进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE=90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．10.(1)连接OD，由圆周角定理得出∠ADB=90°，证出OD⊥CD，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC，由相似三角形的性质得出CDAC =BCCD=BDDA=23，由比例线段求出CD和BC的长，可求出AB的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．11.(1)连接AD，利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；(2)利用(1)的结论可得BD=DC=4，BC=8，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用勾股定理求出AC的长，最后证明△CDA∽△CEB，利用相似三角形的性质求出CE的长，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，以及解直角三角形是解题的关键．12.(1)连接AD，首先利用垂径定理得BC⏜=BD⏜，知∠CAB=∠BAD，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；(2)连接OC，首先由点F为AC的中点，可得AD=CD，则∠ADF=∠CDF，再利用圆的性质，可说明∠CDF=∠OCF，∠CAB=∠CDE，从而得出∠OCD+∠DCE=90°，从而证明结论．本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13.(1)根据垂直定义可得∠D=90°，然后利用等腰三角形和角平分线的性质可证OC//DA，从而利用平行线的性质可得∠OCM=90°，即可解答；(2)先在Rt△OCM中，利用勾股定理求出MC的长，然后证明A字模型相似三角形△MCO ∽△MDA，从而利用相似三角形的性质可求出AD，CD的长，进而在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠DAC的值，即可解答．本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．14.(1)连接OB，由切线的性质得出∠E+∠BOE=90°，由圆周角定理得出∠D+∠DCB= 90°，证出∠BOE=∠OCB，则可得出结论；(2)求出∠BOG=60°，由三角形面积公式及扇形的面积公式可得出答案．本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．15.(1)连接OE，利用平行四边形的性质和圆的性质可得四边形AOEF是平行四边形，则OE//AC，从而得出∠OEB=90°，从而证明结论；(2)过点F作FH⊥OA于点H，根据sin∠CFE=sin∠CAB=35，可得EF的长，由OA=OE，得▱AOEF是菱形，则AF=AO=EF=10，从而得出FH和AH的长，进而求出OF的长．本题主要考查了圆的切线的判定，平行四边形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，熟练运用相等角的三角函数值相等是解题的关键．16.(1)连接OA，利用切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和等角的余角相等解答即可；(2)利用(1)的结论，直径所对的圆周角为直角，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；(3)CE=x，则DE=CD+CE=6+x，OA=OE=6+x2，OC=OE−CE=6−x2，OP=OE+PE=14+x2，利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论．本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，连接OA是解决此类问题常添加的辅助线．17.(1)利用等腰三角形的三线合一，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；(2)利用全等三角形的判定与性质得到CF=CD=6，利用相似三角形的判定与性质求得线段AC，再利用直角三角形的边角关系定理在Rt△AOC中，求得cos∠OCA，则结论可得．本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，灵活应用等量代换是解题的关键．18.(1)利用相似三角形的判定与性质解答即可；(2)连接OE，利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可．本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，相交弦定理，灵活运用上述定理及性质是解题的关键．19.(1)连接OE，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；(2)连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可．本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．20.(1)利用尺规作图分别作出AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆即可；(2)①连接OB，根据切线的性质得到OB⊥CD，证明OB//AD，根据平行线的性质证明结论；②连接EC，根据圆周角定理得到∠AEC=∠ABC，根据正切的定义求出EC，根据勾股定理求出AE，得到答案．本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．21.(1)根据圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可求证；(2)连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，根据圆周角定理得出∠FBC=90°，∠F=∠BAC，解直角三角形即可得解．此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．22.(1)由对顶角的性质，圆周角定理得出∠CDE=∠BDA，∠A=∠E，即可证明△CED∽△BAD；(2)过点D作DF⊥EC于点F，由等边三角形的性质得出∠A=60°，AC=AB=6，由DC=2AD，得出AD=2，DC=4，由相似三角形的性质得ECDE =ABAD=62=3，得出EC=3DE，由含30°角的直角三角形的性质得出DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，DF=√3x，EC=6x，进而得出FC=5x，利用勾股定理得出一元二次方程(√3x)2+ (5x)2=42，解方程求出x的值，即可求出EC的长度．本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识是解决问题的关键．23.(1)根据平行线的判定和切线的性质解答即可；(2)通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可．本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．24.(1)利用等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ADC，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABC=∠ADC，即可解答；(2)利用切线的性质可得∠OCE=90°，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠CAD=∠CBE，再利用(1)的结论可得∠OCB=∠CBE，然后可证OC//BE，最后利用平行线的性质可得∠E=90°，即可解答；(3)根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BA的长，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CDB，进而可证△ACB∽△DEC，然后利用相似三角形的性质可求出DE的长，最后再利用(2)的结论可证△ACB∽△CEB，利用相似三角形的性质可求出BE的长，进行计算即可解答．本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．25.(1)连接OB，由等腰三角形的性质得出∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，结合对顶角的性质得出∠APO=∠CBP，由垂直的性质得出∠A+∠APO=90°，进而得出∠OBA+∠CBP=90°，即可得出直线BC与⊙O相切；(2)由sinA=√5，设OP=√5x，则AP=5x，由勾股定理得出方程(√5x)2+82=(5x)2，5=4，再利用勾股定理得出BC2+82=解方程求出x的值，进而得出OP=√5×4√55(BC+4)2，即可求出CB的长．本题考查了切线的判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质，切线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，一元二次方程的解法是解决问题的关键．。
中考数学专题11 平行线与三角形-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编
专题11.平行线与三角形一、单选题1．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，在//AB CD 中，40AEC ∠=︒，CB 平分DCE ∠，则ABC ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒2．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若148∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．60°3．（2021·四川乐山市·中考真题）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图．则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（ ）A ．3B ．72C ．2D ．524．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）A ．五边形的内角和是720︒B ．三角形的任意两边之和大于第三边C ．内错角相等D ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点5．（2021·安徽中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒6．（2021·浙江金华市·中考真题）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）A ．两直线平行，内错角相等B ．内错角相等，两直线平行C ．两直线平行，同位角相等D ．两直线平行，同旁内角互补 7．（2021·云南中考真题）如图，直线c 与直线a 、b 都相交．若//a b ，155∠=︒，则2∠=（ ） A ．60︒ B ．55︒ C ．50︒ D ．45︒8．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，AB ∥CD ∥EF ，若∠ABC ＝130°，∠BCE ＝55°，则∠CEF 的度数为（ ）A ．95°B ．105°C ．110°D ．115°9．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，直线//m n ，三角尺的直角顶点在直线m 上，且三角尺的直角被直线m 平分，若160∠=︒，则下列结论错误的是（ ）A ．275∠=︒B ．345∠=︒C ．4105∠=︒D ．5130∠=︒10．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，已知直线//,140,230m n ∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（ ） A ．80︒ B ．70︒ C ．60︒ D ．50︒11．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 是BC 边的中点，点P 是AC 边上一个动点，连接PD ，以PD 为边在PD 的下方作等边三角形PDQ ，连接CQ ．则CQ 的最小值是（ ）A B ．1 C D ．3212．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，ACD ∠是ABC 的外角．求证：ACD A B ∠=∠+∠．下列说法正确的是（ ）A ．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B ．证法1用严谨的推理证明了该定理C ．证法2用特殊到一般法证明了该定理D ．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 13．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（ ）A ．198B ．2C ．254D ．7414．（2021·陕西中考真题）如图，点D 、E 分别在线段BC 、AC 上，连接AD 、BE ．若35A ∠=︒，25B ∠=︒，50C ∠=︒，则1∠的大小为（ ）A ．60°B ．70°C ．75°D ．85°15．（2021·安徽中考真题）在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是（ ）A ．2CD ME =B ．//ME ABC ．BD CD = D ．ME MD =16．（2021·重庆中考真题）如图，在ABC 和DCB 中，ACB DBC ∠=∠ ，添加一个条件，不能．．证明ABC 和DCB 全等的是（ ）A ．ABC DCB ∠=∠ B ．AB DC = C ．AC DB =D ．A D ∠=∠17．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在Rt ABC △纸片中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，点,D E 分别在,AB AC 上，连结DE ，将ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分EFB ∠，则AD 的长为（ ）A ．259B ．258C ．157D ．20718．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，()8,0A，()2,0C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．()0,5B ．()5,0C ．()6,0D ．()0,619．（2021·重庆中考真题）如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B =∠E ，BF =EC ，添加一个条件，不等判断△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．AB =DE B ．∠A =∠DC ．AC =DFD ．AC ∥FD20．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在44⨯的正方形网格中有两个格点A 、B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得ABC 是等腰直角．．．．三角形，满足条件的格点C 的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．521．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在ABC 中，45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ，BD =E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A B C ．1 D22．（2021·青海中考真题）如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD 平分∠ABC ，则△BCD 的面积为（ ）A ．7.5B ．8C ．15D ．无法确定23．（2020·四川中考真题）如图所示，直线EF //GH ，射线AC 分别交直线EF 、GH 于点B 和点C ，AD ⊥EF 于点D ，如果∠A ＝20°，则∠ACG ＝（ ）A ．160°B ．110°C ．100°D ．70°24．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，DF ∥BC ，∠ABC 的平分线BE 交DF 于点G ，GH ⊥DF ，点E 恰好为DH 的中点，若AE ＝3，CD ＝2，则GH ＝（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．425．（2020·四川绵阳市·中考真题）在螳螂的示意图中，AB ∥DE ，△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝124°，∠CDE ＝72°，则∠ACD ＝（ ）A ．16°B ．28°C ．44°D ．45°26．（2020·广西河池市·中考真题）如图，直线a ，b 被直线c 所截，则∠1与∠2的位置关系是（ ） A ．同位角 B ．内错角 C ．同旁内角 D ．邻补角27．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）将一副三角尺如图摆放，点E 在AC 上，点D 在BC 的延长线上，//,90,45,60EF BC B EDF A F ∠=∠=︒∠=︒∠=︒，则CED ∠的度数是（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°28．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A 顺时针旋转，使BC ∥DE ，如图②所示，则旋转角∠BAD 的度数为（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°29．（2020·山东济南市·中考真题）如图，在ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若BC ＝4，ABC面积为10，则BM +MD 长度的最小值为（ ）A ．52B ．3C ．4D ．530．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，ABC 中，90,40ACB ABC ︒︒∠=∠=．将ABC 绕点B 逆时针旋转得到A BC ''△，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，则CAA '∠的度数是（ ）A ．50︒B ．70︒C ．110︒D ．120︒31．（2020·江苏南通市·中考真题）如图，在△ABC 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ⊥l ，BF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，则AE +BF 的最大值为（ ）A B ．C ．D ．32．（2020·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=，8AD =，6BC =，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）A ．B ．6C ．D ．833．（2020·贵州毕节市·中考真题）如图，在一个宽度为AB 长的小巷内，一个梯子的长为a ，梯子的底端位于AB 上的点P ，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C 处，点C 到AB 的距离BC 为b ，梯子的倾斜角BPC ∠为45︒；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D 处，点D 到AB 的距离AD 为c ，且此时梯子的倾斜角APD ∠为75︒，则AB 的长等于（ ）A ．aB ．bC ．2b c +D ．c34．（2020·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ） A ．55°，55° B ．70°，40°或70°，55° C ．70°，40° D ．55°，55°或70°，40° 35．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，,BD CE 交于点F ，连接AF ，下列结论：①BD CE =；②BF CF ⊥；③AF 平分CAD ∠；④45AFE ∠=︒．其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个36．（2020·四川宜宾市·中考真题）如图，,ABC ECD ∆∆都是等边三角形，且B ，C ，D 在一条直线上，连结,BE AD ，点M ，N 分别是线段BE ，AD 上的两点，且11,33BM BE AN AD ==，则CMN ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形37．（2019·江苏泰州市·中考真题）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上，则ABC ∆的重心是（ ）A ．点DB ．点EC ．点FD ．点G38．（2019·辽宁铁岭市·中考真题）如图，在CEF △中，80E ∠=︒，50F ∠=︒，AB CF ，AD CE ，连接BC ，CD ，则A ∠的度数是（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．80°二、填空题目 39．（2021·浙江中考真题）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB 的长应是______．40．（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．41．（2021·青海中考真题）如图，AB ∥CD ，FE ⊥DB ，垂足为E ，∠1＝50°，则∠2的度数是_____．42．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D 和点E ，AD 与CE 交于点O ，连接BO 并延长交AC 于点F ，若AB ＝5，BC ＝4，AC ＝6，则CE ：AD ：BF 值为____________．43．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AB BC BD ==．设ABC α∠=，则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．44．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，BE 是ABC 的中线，点F 在BE 上，延长AF 交BC 于点D ．若3BF FE =，则BD DC=______．45．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，70B ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径作弧，交直线BC 于点P ，连结AP ，则BAP ∠的度数是_______．46．（2021·四川广安市·中考真题）如图，将三角形纸片ABC 折叠，使点B 、C 都与点A 重合，折痕分别为DE 、FG .已知15ACB ∠=︒，AE EF =，DE =BC 的长为_______．47．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，直线DE 垂直平分BC ，垂足为E ，交AC 于点D ，则△ABD 的周长是 _____ ．48．（2021·江苏宿迁市·中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B '（示意图如图，则水深为__尺．49．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AD ＝BC ＝CD ＝4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为_____． 50．（2020·辽宁铁岭市·中考真题）如图，在ABC 中，5,8,9===AB AC BC ，以A 为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB 于点M ，交AC 于点N ，分别以,M N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，点F 在AC 边上，AF AB =，连接DF ，则CDF 的周长为___________．51．（2020·海南中考真题）如图，在ABC 中，9,4BC AC ==，分别以点A B 、为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N 、作直线MN ，交BC 边于点D ，连接AD ，则ACD △的周长为________．52．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC 为等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF ，则CE +EF 的最小值为_____． 53．（2020·宁夏中考真题）如图，在ABC 中，84C ∠=︒，分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 、N ，作直线MN 交AC 点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP ，此时射线BP 恰好经过点D ，则A ∠=_____度．54．（2020·湖南娄底市·中考真题）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积2c 等于小正方形的面积2()a b -与4个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理222+=a b c ，还可以用来证明结论：若0a >、0b >且22a b +为定值，则当a _______b 时，ab 取得最大值．55．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则222,,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____．56．（2020·湖北中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为_____．57．（2019·河北中考真题）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A ，B ，C 三地的坐标，数据如图（单位：km ）．笔直铁路经过A ，B 两地．（1）A ，B 间的距离为______km ；（2）计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A ，C 的距离相等，则C ，D 间的距离为______km ． 三、解答题58．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，//AB CD ，B D ∠=∠，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F ．求证：DEF F ∠=∠．59．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =． （1）求证：//DE BC ．（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．60．（2021·四川南充市·中考真题）如图，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠内部一条射线，若AB AC =，BE AD ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ．求证：AF BE =．61．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在ABC 中，40A ∠=︒，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，BD BC CE ==，连结CD ，BE ．（1）若80ABC ∠=︒，求BDC ∠，ABE ∠的度数．（2）写出BEC ∠与BDC ∠之间的关系，并说明理由．62．（2021·陕西中考真题）如图，//BD AC ，BD BC =，点E 在BC 上，且BE AC =．求证：D ABC ∠=∠．63．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DF BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．64．（2021·浙江中考真题）已知在ACD △中，Р是CD 的中点，B 是AD 延长线上的一点，连结,BC AP ．（1）如图1，若90,60,,ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===BC 的长．（2）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，如图2所示．若60,CAD BD AC ∠︒==，求证：2BC AP =． （3）如图3，若45CAD ∠=︒，是否存在实数m ，当BD mAC =时，2BC AP =？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．65．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，∠1＝∠B ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE ＝CD ，BF ＝CA ，连接EF ．（1）求证：∠D ＝∠2；（2）若EF ∥AC ，∠D ＝78°，求∠BAC 的度数．66．（2020·山西中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB ，现根据木板的情况，要过AB 上的一点C ，作出AB 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB 上量出30CD cm =，然后分别以D ，C 为圆心，以50cm 与40cm 为半径画圆弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，则DCE ∠必为90︒．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M ，N 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M 与点C 重合，用铅笔在木板上将点N 对应的位置标记为点Q ，保持点N 不动，将木棒绕点N 旋转，使点M 落在AB 上，在木板上将点M 对应的位置标记为点R ．然后将RQ 延长，在延长线上截取线段QS MN =，得到点S ，作直线SC ，则90RCS ∠=︒．任务：（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________； （2）根据“办法二”的操作过程，证明90RCS ∠=︒；（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C 作出AB 的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）； ②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）67．（2020·湖北宜昌市·中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面AB 与水杯下沿CD 平行，光线EF 从水中射向空气时发生折射，光线变成FH ，点G 在射线EF 上，已知20,45HFB FED ∠=︒∠=︒，求GFH ∠的度数．68．（2020·湖南中考真题）已知D 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，过点D 作Rt △DEF 使∠DEF ＝90°，∠DFE ＝30°，连接CE 并延长CE 到P ，使EP ＝CE ，连接BE ，FP ，BP ，设BC 与DE 交于M ，PB 与EF 交于N ．（1）如图1，当D ，B ，F 共线时，求证：①EB ＝EP ；②∠EFP ＝30°； （2）如图2，当D ，B ，F 不共线时，连接BF ，求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．69．（2020·辽宁锦州市·中考真题）已知AOB 和MON △都是等腰直角三角形OM ON ⎫<<⎪⎝⎭，90AOB MON ︒∠=∠=．（1）如图1：连,AM BN ，求证：AOM BON ≌；（2）若将MON △绕点O 顺时针旋转， ①如图2，当点N 恰好在AB 边上时，求证：2222BN AN ON =+；②当点,,A M N 在同一条直线上时，若4,3OB ON ==，请直接写出线段BN 的长．70．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF ，连接CF ．（问题解决）（1）如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE+CF ＝CD ；（类比探究）（2）如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．71．（2019·贵州安顺市·中考真题）（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证AEB FEC ∆∆≌得到AB FC =，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系________； （2）问题探究：如图②，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AF 与DC 的延长线交于点F ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．72．（2019·山东济南市·中考真题）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（一）猜测探究:在ABC ∆中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是 ，NB 与MC 的数量关系是 ；（2）如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用:如图3，在111A B C ∆中，118A B =，11160A B C ∠=，11175B A C ∠=，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 按顺时针方向旋转75，得到线段1A Q ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值．祝福语祝你考试成功!祝福语祝你考试成功!。
山东省临沂市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(基础题)知识点分类
山东省临沂市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．分式的加减法（共1小题）1．（2022•临沂）计算：（1）﹣23÷×（﹣）；（2）﹣．二．一元一次方程的应用（共1小题）2．（2023•临沂）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M 型平板电脑一台和1500元现金．当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．（1）这台M型平板电脑价值多少元？（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m 的代数式表示）？三．解一元一次不等式（共1小题）3．（2023•临沂）（1）解不等式5﹣2x＜，并在数轴上表示解集；（2）下面是某同学计算﹣a﹣1的解题过程：解：﹣a﹣1＝﹣…①＝…②＝…③＝＝1…④上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．四．反比例函数的性质（共1小题）4．（2021•临沂）已知函数y＝（1）画出函数图象；列表：x… …y… .…描点，连线得到函数图象：（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；（3）设（x1，y1），（x2，y2）是函数图象上的点，若x1+x2＝0，证明：y1+y2＝0．五．反比例函数的应用（共1小题）5．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．x/kg……0.250.5124……y/cm…… ……六．二次函数的应用（共1小题）6．（2023•临沂）综合与实践：问题情境小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：数据整理：（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．拓广应用（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，①要想每天获得400元的利润，应如何定价？②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？七．圆周角定理（共1小题）7．（2021•临沂）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．求证：（1）AD∥BC；（2）四边形BCDE为菱形．八．切线的性质（共1小题）8．（2022•临沂）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．九．解直角三角形的应用（共1小题）9．（2021•临沂）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）10．（2023•临沂）如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.6）一十一．众数（共1小题）11．（2021•临沂）实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭村今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.690.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表：分组频数0.65≤x＜0.7020.70≤x＜0.7530.75≤x＜0.8010.80≤x＜0.85a0.85≤x＜0.9040.90≤x＜0.9520.95≤x＜1.00b统计量平均数中位数众数数值0.84c d（1）表格中：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；（2）试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．山东省临沂市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．分式的加减法（共1小题）1．（2022•临沂）计算：（1）﹣23÷×（﹣）；（2）﹣．【答案】（1）3；（2）．【解答】解：（1）原式＝﹣8××（）＝8××＝3；（2）原式＝＝＝．二．一元一次方程的应用（共1小题）2．（2023•临沂）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M 型平板电脑一台和1500元现金．当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．（1）这台M型平板电脑价值多少元？（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m 的代数式表示）？【答案】（1）这台M型平板电脑价值2100元；（2）若工作m天，她应获得的报酬为120m元．【解答】解：（1）设这台M型平板电脑价值x元，根据题意得：（x+1500）＝x+300，解得：x＝2100，∴这台M型平板电脑价值2100元；（2）由（1）知，一台M型平板电脑价值2100元，∴工作一个月，她应获得的报酬为2100+1500＝3600（元），∴若工作m天，她应获得的报酬为＝120m（元）．三．解一元一次不等式（共1小题）3．（2023•临沂）（1）解不等式5﹣2x＜，并在数轴上表示解集；（2）下面是某同学计算﹣a﹣1的解题过程：解：﹣a﹣1＝﹣…①＝…②＝…③＝＝1…④上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．【答案】（1）x＞3，解集在数轴上表示见解答；（2）上述解题过程从第①步开始出现错误，正确的解题过程见解答．【解答】解：（1）5﹣2x＜，2（5﹣2x）＜1﹣x，10﹣4x＜1﹣x，﹣4x+x＜1﹣10，﹣3x＜﹣9，x＞3，该不等式的解集在数轴上表示如图所示：（2）上述解题过程从第①步开始出现错误，正确的解题过程如下：﹣a﹣1＝﹣（a+1）＝＝＝．四．反比例函数的性质（共1小题）4．（2021•临沂）已知函数y＝（1）画出函数图象；列表：x… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …y… ﹣1 ﹣3 0 3 1 .…描点，连线得到函数图象：（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；（3）设（x1，y1），（x2，y2）是函数图象上的点，若x1+x2＝0，证明：y1+y2＝0．【答案】（1）见解析；（2）有，最大值为3；（3）见解析【解答】解：（1）列表如下：x……﹣3﹣2﹣101234……y……﹣1﹣3031……函数图象如图所示：（2）根据图象可知：当x＝1时，函数有最大值3；当x＝﹣1时，函数有最小值﹣3．（3）∵（x1，y1），（x2，y2）是函数图象上的点，x1+x2＝0，∴x1和x2互为相反数，当﹣1＜x1＜1时，﹣1＜x2＜1，∴y1＝3x1，y2＝3x2，∴y1+y2＝3x1+3x2＝3（x1+x2）＝0；当x1≤﹣1时，x2≥1，则y1+y2＝＝0；同理：当x1≥1时，x2≤﹣1，y1+y2＝0，综上：y1+y2＝0．五．反比例函数的应用（共1小题）5．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．x/kg……0.250.5124……y/cm…… 4 2 1 ……【答案】（1）0＜x＜12；（2）4；2；1；；；【解答】解：（1）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，∴重物重力×OA＝秤砣重力×OB，∵OA＝2cm，重物的质量为xkg，OB的长为ycm，秤砣为0.5kg，∴2x＝0.5y，∴y＝4x，∵4＞0，∴y随x的增大而增大，∵当y＝0时，x＝0；当y＝48时，x＝12，∴0＜x＜12；（2）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，∴秤砣×OA＝重物×OB，∵OA＝2cm，重物的质量为xkg，OB的长为ycm，秤砣为0.5kg，∴2×0.5＝xy，∴y＝，当x＝0.25时，y＝＝4；当x＝0.5时，y＝＝2；当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝；当x＝4时，y＝；故答案为：4；2；1；；；作函数图象如图：六．二次函数的应用（共1小题）6．（2023•临沂）综合与实践：问题情境小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：数据整理：（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 模型建立（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．拓广应用（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，①要想每天获得400元的利润，应如何定价？②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？【答案】（1）18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；（2）y＝﹣2x+90；（3）①要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；②售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．【解答】解：（1）根据销售单价从小到大排列得下表：售价（元/盆）1820222630日销售量（盆）5450463830故答案为：18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；（2）观察表格可知销售量是售价的一次函数；设销售量为y盆，售价为x元，y＝kx+b，把（18，54），（20，50）代入得：，解得，∴y＝﹣2x+90；（3）①∵每天获得400元的利润，∴（x﹣15）（﹣2x+90）＝400，解得x＝25或x＝35，∴要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；②设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣15）（﹣2x+90）＝﹣2x2+120x﹣1350＝﹣2（x﹣30）2+450，∵﹣2＜0，∴当x＝30时，w取最大值450，∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．七．圆周角定理（共1小题）7．（2021•临沂）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．求证：（1）AD∥BC；（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解答；（2）见解答【解答】证明：（1）连接BD，∵，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC；（2）连接CD，BD，设OC与BD相交于点F，∵AD∥BC，∴∠EDF＝∠CBF，∵，∴BC＝CD，BF＝DF，又∠DFE＝∠BFC，∴△DEF≌△BCF（ASA），∴DE＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形，又BC＝CD，∴四边形BCDE是菱形．八．切线的性质（共1小题）8．（2022•临沂）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明过程见解析；（2）S＝．【解答】（1）证明：连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴∠OBE＝90°，∴∠E+∠BOE＝90°，∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∴∠D+∠DCB＝90°，∵OE∥BC，∴∠BOE＝∠OBC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BOE＝∠OCB，∴∠D＝∠E；（2）解：∵F为OE的中点，OB＝OF，∴OF＝EF＝3，∴OE＝6，∴BO＝OE，∵∠OBE＝90°，∴∠E＝30°，∴∠BOG＝60°，∵OE∥BC，∠DBC＝90°，∴∠OGB＝90°，∴OG＝，BG＝，∴S△BOG＝OG•BG＝＝，S扇形BOF＝＝π，∴S阴影部分＝S扇形BOF﹣S△BOG＝．九．解直角三角形的应用（共1小题）9．（2021•临沂）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【答案】约6米．【解答】解：∵CM＝3m，OC＝5m，∴OM＝＝4（m），∵∠CMO＝∠BDO＝90°，∠COM＝∠BOD，∴△COM∽△BOD，∴，即，∴BD＝＝2.25（m），∴tan∠AOD＝tan70°＝，即≈2.75，解得：AB＝6m，∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）10．（2023•临沂）如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.6）【答案】如果船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，设AD＝x海里，由题意得，∠ABD＝32°，∠ACD＝45°，BC＝6海里，在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，∴AD＝CD＝x海里，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴BD＝≈＝6+x，解得，x＝10，∵10＞9，∴如果船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险．一十一．众数（共1小题）11．（2021•临沂）实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭村今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.690.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表：分组频数0.65≤x＜0.7020.70≤x＜0.7530.75≤x＜0.8010.80≤x＜0.85a0.85≤x＜0.9040.90≤x＜0.9520.95≤x＜1.00b统计量平均数中位数众数数值0.84c d（1）表格中：a＝ 5 ，b＝ 3 ，c＝ 0.82 ，d＝ 0.89 ；（2）试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．【答案】（1）5，3，0.82，0.89；（2）估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数有210户；（3）村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能超过村里一半以上的家庭，理由见解析．【解答】解：（1）由统计频数的方法可得，a＝5，b＝3，将该村家庭收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（0.81+0.83）÷2＝0.82，因此中位数是0.82，即c＝0.82，他们一季度家庭人均收入的数据出现最多的是0.89，因此众数是0.89，即d＝0.89，故答案为：5，3，0.82，0.89；（2）300×＝210（户），答：估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数有210户；（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能超过村里一半以上的家庭，理由：该村300户家庭一季度家庭人均收入的中位数是0.82，0.83＞0.82，所以该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能超过村里一半以上的家庭．。
中考数学真题试卷03
2020年山东省临沂市中考数学试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下列温度比2C ︒-低的是( ) A ．3C ︒-B ．1C ︒-C ．1C ︒D ．3C ︒2．（3分）下列交通标志中，是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）如图，数轴上点A 对应的数是32，将点A 沿数轴向左移动2个单位至点B ，则点B 对应的数是( )A ．12-B ．2-C ．72D ．124．（3分）根据图中三视图可知该几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱5．（3分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，//CD AB ，则(BCD ∠= )A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒6．（3分）计算322(2)a a -÷的结果是( ) A ．32a -B ．42a -C ．34aD ．44a7．（3分）设72a ．则( ) A ．23a <<B ．34a <<C ．45a <<D ．56a <<8．（3分）一元二次方程2480x x --=的解是( ) A ．1223x =-+，2223x =--B ．1223x =+2223x =-C ．1222x =+2222x =-D ．123x =，223x =-9．（3分）从马鸣、杨豪、陆畅、江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是( ) A ．112 B ．18C ．16D ．1210．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x 人，y 辆车，可列方程组为( ) A ．2392xy x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B ．2392xy x y ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩C ．2392xy x y ⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩D ．2392xy x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩11．（3分）如图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图．比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是( )A ．甲平均分高，成绩稳定B ．甲平均分高，成绩不稳定C ．乙平均分高，成绩稳定D ．乙平均分高，成绩不稳定12．（3分）如图，P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S ，PBC ∆的面积为2S ，则( )A ．122SS S +> B ．122S S S +<C ．122SS S +=D ．12S S +的大小与P 点位置有关13．（3分）计算11x yx y ---的结果为( ) A ．(1)(1)x yx y -+--B ．(1)(1)x yx y ---C ．(1)(1)x yx y ----D ．(1)(1)x yx y +--14．（3分）如图，在O 中，AB 为直径，80AOC ∠=︒．点D 为弦AC 的中点，点E 为BC 上任意一点．则CED ∠的大小可能是( )A ．10︒B ．20︒C ．30︒D ．40︒二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 15．（3分）不等式210x +<的解集是 ．16．（3分）若1a b +=，则2222a b b -+-= ．17．（3分）点1(2-，)m 和点(2,)n 在直线2y x b =+上，则m 与n 的大小关系是 ．18．（3分）如图，在ABC ∆中，D 、E 为边AB 的三等分点，////EF DG AC ，H 为AF 与DG 的交点．若6AC =，则DH = ．19．（3分）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点(2,1)A 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为 ．三、解答题（本大题共7小题，共63分）20．（72112()sin 603226--︒． 21．（7分）2020年是脱贫攻坚年．为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场．经过一段时间精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售．现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数据如下：质量/kg组中值 频数（只)0.9 1.1x < 1.0 6 1.1 1.3x < 1.2 91.3 1.5x <1.4a1.5 1.7x < 1.6 15 1.7 1.9x <1.88根据以上信息，解答下列问题：（1）表中a = ，补全频数分布直方图； （2）这批鸡中质量不小于1.7kg 的大约有多少只？（3）这些贫困户的总收入达到54000元，就能实现全员脱贫目标．按15元/kg 的价格售出这批鸡后，该村贫困户能否脱贫？22．（7分）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α般要满足6075α︒︒，现有一架长5.5m 的梯子．（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？（2）当梯子底端距离墙面2.2m 时，α等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据：sin750.97︒≈，cos750.26︒≈，tan75 3.73︒≈，sin23.60.40︒≈，cos66.40.40︒≈，tan21.80.40︒≈．)23．（9分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：)A 与电阻R （单位：)Ω是反比例函数关系．当4R =Ω时，9I A =．（1）写出I 关于R 的函数解析式；（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；/R Ω ⋯ ⋯ /I A ⋯⋯（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A ，那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？24．（9分）已知1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ．以1O 为圆心，以12r r +的长为半径画弧，再以线段12O O 的中点P 为圆心，以1212O O 的长为半径画弧，两弧交于点A ，连接1O A ，2O A ，1O A 交1O 于点B ，过点B 作2O A 的平行线BC 交12O O 于点C ．（1）求证：BC 是2O 的切线；（2）若12r =，21r =，126O O =，求阴影部分的面积．25．（11分）已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠． （1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；（3）设点1(,)P m y ，2(3,)Q y 在抛物线上，若12y y <，求m 的取值范围．26．（13分）如图，菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是边AB 上任意一点（端点除外），线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，G ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．（1）求证：AF EF =； （2）求MN NG +的最小值；（3）当点E 在AB 上运动时，CEF ∠的大小是否变化？为什么？2020年山东省临沂市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下列温度比2C ︒-低的是( ) A ．3C ︒-B ．1C ︒-C ．1C ︒D ．3C ︒【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知32-<-， 所以比2C ︒-低的温度是3C ︒-． 故选：A ．2．（3分）下列交通标志中，是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不是中心对称图形，不符合题意；B 、是中心对称图形，符合题意；C 、不是中心对称图形，不符合题意；D 、不是中心对称图形，不符合题意．故选：B ．3．（3分）如图，数轴上点A 对应的数是32，将点A 沿数轴向左移动2个单位至点B ，则点B 对应的数是( )A ．12-B ．2-C ．72D ．12【解答】解：点A 向左移动2个单位， 点B 对应的数为：31222-=-． 故选：A ．4．（3分）根据图中三视图可知该几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【解答】解：根据图中三视图可知该几何体是三棱柱． 故选：B ．5．（3分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，//CD AB ，则(BCD ∠= )A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【解答】解：在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，70ACB ∴∠=︒， //CD AB ，180140ACD A ∴∠=︒-∠=︒， 70BCD ACD ACB ∴∠=∠-∠=︒．故选：D ．6．（3分）计算322(2)a a -÷的结果是( )A ．32a -B ．42a -C ．34aD ．44a【解答】解：原式624a a =÷ 44a =．故选：D ．7．（3分）设72a ．则( )A ．23a <<B ．34a <<C ．45a <<D ．56a <<【解答】解：273<<，4725∴<+<，45a ∴<<．故选：C ．8．（3分）一元二次方程2480x x --=的解是( ) A ．1223x =-+，2223x =-- B ．1223x =+，2223x =-C ．1222x =+，2222x =-D ．123x =，223x =-【解答】解：一元二次方程2480x x --=， 移项得：248x x -=，配方得：24412x x -+=，即2(2)12x -=，开方得：223x -=±，解得：1223x =+，2223x =-． 故选：B ．9．（3分）从马鸣、杨豪、陆畅、江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是( ) A ．112 B ．18C ．16D ．12【解答】解：根据题意画图如下：共有12种等可能情况数，其中恰好抽到马鸣和杨豪的有2种， 则恰好抽到马鸣和杨豪的概率是21126=； 故选：C ．10．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为()A．2 392xyxy ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．2392xyxy⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩C．2392xyxy⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩D．2392xyxy⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩【解答】解：依题意，得：2392xyxy⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩．故选：B．11．（3分）如图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图．比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是()A．甲平均分高，成绩稳定B．甲平均分高，成绩不稳定C．乙平均分高，成绩稳定D．乙平均分高，成绩不稳定【解答】解：10085908095905x++++==乙，8590808580845x++++==甲，因此乙的平均数较高；2_S乙，2_S甲，5014>，∴乙的离散程度较高，不稳定，甲的离散程度较低，比较稳定；故选：D．12．（3分）如图，P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S ，PBC ∆的面积为2S ，则( )A ．122SS S +>B ．122S S S +<C ．122SS S +=D ．12S S +的大小与P 点位置有关【解答】解：过点P 作EF AD ⊥交AD 于点E ，交BC 于点F ， 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=， S BC EF ∴=，12AD PE S =，22BC PFS =， EF PE PF =+，AD BC =， 122SS S ∴+=， 故选：C ．13．（3分）计算11x yx y ---的结果为( ) A ．(1)(1)x yx y -+--B ．(1)(1)x yx y ---C ．(1)(1)x yx y ----D ．(1)(1)x yx y +--【解答】解：原式(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y y x x y x y --=----- (1)(1)xy x xy yx y --+=--(1)(1)x yx y -+=--．故选：A ．14．（3分）如图，在O 中，AB 为直径，80AOC ∠=︒．点D 为弦AC 的中点，点E 为BC 上任意一点．则CED ∠的大小可能是( )A ．10︒B ．20︒C ．30︒D ．40︒【解答】解：连接OD 、OE ，OC OA =，OAC ∴∆是等腰三角形，点D 为弦的中点，40DOC ∴∠=︒，100BOC ∠=︒，设BOE x ∠=，则100COE x ∠=︒-，10040DOE x ∠=︒-+︒，OC OE =，100COE x ∠=︒-， 1402OEC OCE x ∴∠=∠=︒+，OD OE <，10040140DOE x x ∠=︒-+︒=︒-， 1202OED x ∴∠<︒+，11(40)(20)2022CED OEC OED x x ∴∠=∠-∠>︒+-︒+=︒，40CED ABC ∠<∠=︒， 2040CED ∴︒<∠<︒故选：C ．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 15．（3分）不等式210x +<的解集是 12x <- ． 【解答】解：移项，得：21x <-， 系数化为1，得：12x <-， 故答案为12x <-． 16．（3分）若1a b +=，则2222a b b -+-= 1- ．【解答】解：1a b +=， 2222a b b ∴-+- ()()22a b a b b =+-+-22a b b =-+- 2a b =+- 12=- 1=-．故答案为：1-．17．（3分）点1(2-，)m 和点(2,)n 在直线2y x b =+上，则m 与n 的大小关系是 m n < ．【解答】解：直线2y x b =+中，20k =>，∴此函数y 随着x 的增大而增大，122-<， m n ∴<．故答案为m n <．18．（3分）如图，在ABC ∆中，D 、E 为边AB 的三等分点，////EF DG AC ，H 为AF 与DG 的交点．若6AC =，则DH = 1 ．【解答】解：D 、E 为边AB 的三等分点，////EF DG AC ，BE DE AD ∴==，BF GF CG ==，AH HF =，3AB BE ∴=，DH 是AEF ∆的中位线， 12DH EF ∴=，//EF AC ， BEF BAC ∴∆∆∽， ∴EF BE AC AB =，即63EF BEBE=， 解得：2EF =，112122DH EF ∴==⨯=，故答案为：1．19．（3分）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点(2,1)A 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为51- ．【解答】解：连接AO 交O 于B ，则线段AB 的长度即为点(2,1)A 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离， 点(2,1)A ，22215OA ∴=+=，1OB =， 51AB ∴=-，即点(2,1)A 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为51-， 故答案为：51-．三、解答题（本大题共7小题，共63分）20．（7sin 60-︒．【解答】解：原式1123=-+16=+=． 21．（7分）2020年是脱贫攻坚年．为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场．经过一段时间精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售．现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数据如下：1.1 1.3x < 1.3 1.5x < 1.5 1.7x < 1.7 1.9x <根据以上信息，解答下列问题：（1）表中a = 12 ，补全频数分布直方图； （2）这批鸡中质量不小于1.7kg 的大约有多少只？（3）这些贫困户的总收入达到54000元，就能实现全员脱贫目标．按15元/kg 的价格售出这批鸡后，该村贫困户能否脱贫？【解答】解：（1）508159612a =----=（只)，补全频数分布直方图； 故答案为：12； （2）8300048050⨯=（只) 答：这批鸡中质量不小于1.7kg 的大约有480只； （3）16 1.29 1.412 1.615 1.881.4450x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（千克）， 1.443000156480054000⨯⨯=>， ∴能脱贫，答：该村贫困户能脱贫．22．（7分）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α般要满足6075α︒︒，现有一架长5.5m 的梯子．（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？（2）当梯子底端距离墙面2.2m 时，α等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据：sin750.97︒≈，cos750.26︒≈，tan75 3.73︒≈，sin23.60.40︒≈，cos66.40.40︒≈，tan21.80.40︒≈．)【解答】解：（1）由题意得，当75α=︒时，这架梯子可以安全攀上最高的墙， 在Rt ABC ∆中，sin ACABα=， sin 5.50.97 5.3AC AB α∴=≈⨯≈，答：使用这架梯子最高可以安全攀上5.3m 的墙； （2）在Rt ABC ∆中，cos 0.4BCABα==， 则66.4α≈︒，6066.475︒︒︒，∴此时人能够安全使用这架梯子．23．（9分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：)A 与电阻R （单位：)Ω是反比例函数关系．当4R =Ω时，9I A =．（1）写出I 关于R 的函数解析式；（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；/R Ω ⋯ 3 ⋯ /I A ⋯⋯（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A ，那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？【解答】解：（1）电流I 是电阻R 的反比例函数，设kI R=， 4R =Ω时，9I A = 94k ∴=， 解得4936k =⨯=，36I R∴=；（2）列表如下： /R Ω 3 4 5 6 8 9 10 12 /I A1297.264.543.63（3）10I ，36I R=， ∴3610R， 3.6R ∴，即用电器可变电阻应控制在不低于3.6欧的范围内．24．（9分）已知1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ．以1O 为圆心，以12r r +的长为半径画弧，再以线段12O O 的中点P 为圆心，以1212O O 的长为半径画弧，两弧交于点A ，连接1O A ，2O A ，1O A 交1O 于点B ，过点B 作2O A 的平行线BC 交12O O 于点C ．（1）求证：BC 是2O 的切线；（2）若12r =，21r =，126O O =，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接AP ，以线段12O O 的中点P 为圆心，以1212O O 的长为半径画弧， 121212O P AP O P O O ∴===， 1290O AO ∴∠=︒，2//BC O A ，11290O BC O AO ∴∠=∠=︒，过点2O 作2O D BC ⊥交BC 的延长线于点D ，∴四边形2ABDO 是矩形，2AB O D ∴=，112O A r r =+，22O D r ∴=，BC ∴是2O 的切线；（2）解：12r =，21r =，126O O =，11212O A O O ∴=， 160BO C ∴∠=︒，1124O C O B ∴==，2222114223BC OC O B ∴=-=-=， 1122216011602222323236023603O BC BO E r S S S O B BC πππ⨯⨯⨯∴=-=⋅-=⨯⨯=阴影扇形． 25．（11分）已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；（3）设点1(,)P m y ，2(3,)Q y 在抛物线上，若12y y <，求m 的取值范围．【解答】解：（1）抛物线2222232(1)23y ax ax a a x a a =--+=-+--． ∴抛物线的对称轴为直线1x =；（2）抛物线的顶点在x 轴上，2230a a ∴--=， 解得32a =或1a =-， ∴抛物线为233322y x x =-+或221y x x =-+-； （3）抛物线的对称轴为1x =，则2(3,)Q y 关于1x =对称点的坐标为2(1,)y -，∴当0a >，13m -<<时，12y y <；当0a <，1m <-或3m >时，12y y <．26．（13分）如图，菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是边AB 上任意一点（端点除外），线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，G ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．（1）求证：AF EF =；（2）求MN NG +的最小值；（3）当点E 在AB 上运动时，CEF ∠的大小是否变化？为什么？【解答】解：（1）连接CF ，FG 垂直平分CE ，CF EF ∴=，四边形ABCD 为菱形，A ∴和C 关于对角线BD 对称，CF AF ∴=，AF EF ∴=；（2）连接AC ， M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 中点， 12MN AF ∴=，12NG CF =，即1()2MN NG AF CF +=+， 当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时， AF CF +最小，即此时MN NG +最小， 菱形ABCD 边长为1，60ABC ∠=︒， ABC ∴∆为等边三角形，1AC AB ==， 即MN NG +的最小值为12；（3）不变，理由是：延长EF ，交DC 于H ，CFH FCE FEC ∠=∠+∠，AFH FAE FEA ∠=∠+∠， AFC FCE FEC FAE FEA ∴∠=∠+∠+∠+∠， 点F 在菱形ABCD 对角线BD 上，根据菱形的对称性可得：12AFD CFD AFC ∠=∠=∠， AF CF EF ==，AEF EAF ∴∠=∠，FEC FCE ∠=∠，AFD FAE ABF FAE CEF ∴∠=∠+∠=∠+∠， ABF CEF ∴∠=∠，60ABC ∠=︒，30ABF CEF ∴∠=∠=︒，为定值．。
临沂中考试题汇编及答案
临沂中考试题汇编及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列词语中，加点字的读音全部正确的一项是（）A. 迸发（bèng）瞠目结舌（chēng）应接不暇（yìng）恣意妄为（zì）B. 箴言（zhēn）拮据（jū）缄默（jiān）叱咤风云（zhà）C. 恣睢（zì）瞠目结舌（chēng）应接不暇（yìng）恣意妄为（zì）D. 箴言（zhēn）拮据（jū）缄默（jiān）叱咤风云（chì）答案：C2. 下列词语中，没有错别字的一项是（）A. 涣散狼籍恣意妄为不假思索B. 箴言拮据缄默不语叱咤风云C. 恣睢狼藉恣意妄为不假思索D. 箴言拮据缄默不语叱咤风云答案：B3. 下列句子中，加点成语使用正确的一项是（）A. 他总是恣意妄为，不顾他人感受，真是让人无法忍受。
B. 他虽然成绩优异，但总是瞠目结舌，不敢在人前发言。
C. 他总是狼藉满地，不修边幅，让人难以接近。
D. 他总是缄默不语，不愿与人交流，让人难以捉摸。
答案：A4. 下列句子中，没有语病的一项是（）A. 通过这次活动，使我们认识到保护环境的重要性。
B. 他不仅学习成绩优异，而且乐于助人，深受老师和同学的喜爱。
C. 为了防止不再发生类似事件，学校加强了安全管理。
D. 他虽然年轻，但是经验丰富，工作能力强。
答案：B5. 下列句子中，标点符号使用正确的一项是（）A. “你来不来？”他问道，“我等你很久了。
”B. “你来不来？”他问道，我等你很久了。
C. “你来不来？”他问道：“我等你很久了。
”D. “你来不来？”他问道，我等你很久了。
答案：A6. 下列句子中，修辞手法使用正确的一项是（）A. 他的声音如同雷鸣，震耳欲聋。
B. 他的笑容如同阳光，温暖人心。
C. 他的步伐如同流水，轻盈而迅速。
D. 他的眼神如同火焰，炽热而明亮。
答案：B7. 下列句子中，表达最恰当的一项是（）A. 他虽然年轻，但是经验丰富，工作能力强。
2023年山东省临沂市中考数学真题(答案解析)
2023年临沂市初中学业水平考试试题数学一、选择题1.【答案】C【解析】解：2(7)(5)()57=----+=-；故选C ．2.【答案】C【解析】解：由题意，可得130ABC ∠=︒，故选：C ．3.【答案】B【解析】解：最符合视图特点的建筑物的图片是选项B 所示图片．故选：B ．4.【答案】A【解析】解：由题意，得：点B 的坐标为(6,2)；故选A ．5.【答案】C【解析】解：∵在同一平面内，过直线l 外一点P 作l 的垂线m ，即l m ⊥，又∵过P 作m 的垂线n ，即n m ⊥，∴l n ∥，∴直线l 与n 的位置关系是平行，故选：C ．6.【答案】D【解析】解：A 选项，32a a a -=，故选项错误，不符合题意；B 选项，222()2a b a ab b -=-+，故选项错误，不符合题意；C 选项，()2510a a =，故选项错误，不符合题意；D 选项，325326a a a ⋅=，故选项正确，符合题意；故选D ．7.【答案】B【解析】解：正六边形的中心角的度数为：360606︒=︒，∴正六边形绕其中心旋转60︒或60︒的整数倍时，仍与原图形重合，∴旋转角的大小不可能是90︒；故选B ．8.【答案】B【解析】解：m ====-∵=<<∴54-<-<-，即54m -<<-，故选：B ．9.【答案】D【解析】解：设两名男生分别记为A ，B ，两名女生分别记为C ，D ，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为82123=，故选：D ．10.【答案】A【解析】解：由题意，得：105V t=，∴V 与t 满足反比例函数关系．故选A ．11.【答案】C【解析】解：∵一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，∴00k b ><，，故选项A 正确，不符合题意；∴0kb <，故选项B 正确，不符合题意；∵一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，∴20k b +=，则2b k =-，∴20k b k k k +=-=-<，故选项C 错误，符合题意；∵2b k =-，∴12k b =-，故选项D 正确，不符合题意；故选：C ．12.【答案】A【解析】解：∵0a b +=∴a b =，故①错误，∵0,0a b b c c a +=->->∴b c a >>，又0a b +=∴0,0a b <>，故②③错误，∵0a b +=∴=-b a∵0b c c a ->->∴a c c a -->-∴c c->∴0c <，故④正确或借助数轴，如图所示，故选：A ．二、填空题13.【答案】24【解析】解：根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半可得：面积168242=⨯⨯=，故答案为：24．14.【答案】()()111n n -++【解析】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++15.【答案】14【解析】解：如图，由题意得13AD AB =，四边形DECF 是平行四边形，∴DF BC ∥，DE AC ∥，∴ ∽ADF ABC ，BDE BAC ∽△△，∴13DF AD BC AB ==，23DE BD AC AB ==，∵69AC BC ==，，∴3DF =，4DE =，∵四边形DECF 平行四边形，∴平行四边形DECF 纸片的周长是()23414+=，故答案为：14．16.【答案】②③④【解析】解：列表，x L 2.5-2-1-0.5-0.512L yL5.4531- 3.75- 4.2535L描点、连线，图象如下，根据图象知：①当1x <-时，x 越小，函数值越大，错误；②当10x -<<时，x 越大，函数值越小，正确；③当01x <<时，x 越小，函数值越大，正确；④当1x >时，x 越大，函数值越大，正确．故答案为：②③④．三、解答题17.【答案】（1）3x >（2）从第①步开始出错，过程见解析【解析】解：（1）1522xx --<，去分母，得：1041x x -<-，移项，合并，得：39x -<-，系数化1，得：3x >；（2）从第①步开始出错，正确的解题过程如下：()()22111111a a a a a a a a +---=----22111a a a a -=---11a =-．18.【答案】（1）见解析（2）①90.5；②测试成绩分布在9195 的较多（不唯一）；（3）估计该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数约为480人．【解析】（1）解：数据从小到大排列：81、82、83、85、86、87、87、88、89、90、91、92、92、92、93、94、95、96、99、100最大值是100，最小值为81，极差为1008119-=，若组距为5，则分为4组，频数分布表成绩分组8185 8690 9195 96100划记正一频数4673频数分布直方图，如图；；（2）解：①中位数是909190.52+=；故答案为90.5；②测试成绩分布在9195 的较多（不唯一）；（3）解：67360048020++⨯=（人），答：估计该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数约为480人．19.【答案】渔船没有触礁的危险【解析】解：过点A 作AD BC ⊥，由题意，得：905832ABC ∠=︒-︒=︒，45ACD ∠=︒，6BC =，设AD x =，在Rt ADC 中，45ACD ∠=︒，∴AD CD x ==，∴6BD x =+，在Rt ADB 中，tan 0.6256AD xABD BD x ∠==≈+，∴10x =，∴10AD =，∵109>，∴渔船没有触礁的危险．20.【答案】（1）这台M 型平板电脑的价值为2100元（2）她应获得120m 元的报酬【解析】（1）解：设这台M 型平板电脑的价值为x 元，由题意，得：15003003020x x ++=，解得：2100x =；∴这台M 型平板电脑的价值为2100元；（2）解：由题意，得：2100150012030m m +⋅=；答：她应获得120m 元的报酬．21.【答案】（1）见解析（2）43π【解析】（1）证明：连接AO 并延长交BC 于点F ，∵O 是ABC 的外接圆，∴点O 是ABC 三边中垂线的交点，∵AB AC =，∴AO BC ⊥，∵AE BC ∥，∴AO AE ⊥，∵AO 是O 的半径，∴AE 是O 的切线；（2）解：连接OC ，∵AB AC =，∴75ABC ACB ∠=∠=︒，∴18027530BAC ∠=︒-⨯︒=︒，∴260BOC BAC ∠=∠=︒，∵OB OC =，∴BOC 为等边三角形，∴2===OC OB BC ，∴180120COD BOC ∠=︒-∠=︒，∴ CD的长为120241803ππ⨯=．22.【答案】（1）)21AB BD =，（2）见解析（3）见解析【解析】（1）解：∵90,A AB AC ∠=︒=∴2BC =，∵BC AB BD =+2AB BD =+即)21AB BD =；（2）证明：如图所示，∴90,A AB AC ∠=︒=∴=45ABC ∠︒，∵BD AB ⊥，∴45DBC ∠=︒∵CE BC =，12∠=∠,CF DC =∴CBD CEF ≌∴=45E DBC ∠=∠︒∴EF BD ∥∴AB EF⊥（3）证明：如图所示，延长,BA EF 交于点M ，延长CH 交ME 于点G ，∵EF AB ⊥，AC AB ⊥，∴ME AC ∥，∴CGE ACG∠=∠∵CH 是ACE ∠的角平分线，∴ACG ECG ∠=∠，∴CGE ECG ∠=∠∴EG EC =∵CBD CEF ≌，∴EF BD =，CE CB =，∴EG CB =，又∵BC AB BD =+，∴EG AB BD AC EF =+=+，即FG EF AC EF +=+，∴AC EG =，又AC FG ∥，则HAG HFG ∠=∠，在,AHC FHG 中，HAG HFG AHG FHG AC FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS AHC FHG ≌，∴AHHF=23.【答案】（1）见解析（2）售价每涨价2元，日销售量少卖4盆（3）①定价为每盆25元或每盆35元时，每天获得400元的利润；②售价定为30元时，每天能够获得最大利润【解析】（1）解：按照售价从低到高排列列出表格如下：售价（元/盆）1820222630日销售量（盆）5450463830【小问2详解】由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆；（3）①设：定价应为x 元，由题意，得：()()181********x x -⎡⎤--⨯=⎢⎥⎣⎦，整理得：2212017500x x -+-=，解得：1225,35x x ==，∴定价为每盆25元或每盆35元时，每天获得400元的利润；②设每天的利润为w ，由题意，得：()()22120135018155442x w x x x -⎡⎤=--⨯+⎣--=⎢⎥⎦，∴()2221201350230450w x x x -+---+==，∵20-<，∴当30x =时，w 有最大值为450元．答：售价定为30元时，每天能够获得最大利润．。
2021年中考数学真题分类汇编：专题15几何图形初步与视图(解析版)
2021年中考数学真题分类汇编：专题15几何图形初步与视图一、单选题1．（2021·北京中考真题）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A ．长方体B ．圆柱C ．圆锥D ．三棱柱【答案】B【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；故选B ．【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．2．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若148∠=︒，则2∠的度数为（）A ．42°B ．48°C ．52°D ．60°【答案】A【分析】先通过作辅助线，将∠1转化到∠BAC ，再利用直角三角形两锐角互余即可求出∠2．【详解】解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点A ，由矩形对边平行，可得∠1=∠BAC ，∠∠BAC +∠2=90°，∠∠1+∠2=90°，因为∠1=48°，∠∠2=42°；故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等内容，要求学生能根据题意理解其中的隐含关系，解决本题的关键是对角进行的转化，因此需要牢记并能灵活应用相关性质等．3．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，在//AB CD 中，40AEC ∠=︒，CB 平分DCE ∠，则ABC ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】B【分析】 根据平行线的性质得到∠ABC =∠BCD ，再根据角平分线的定义得到∠ABC =∠BCD ，再利用三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∠AB ∠CD ，∠CB平分∠DCE，∠∠BCE=∠BCD，∠∠BCE=∠ABC，∠∠AEC=∠BCE+∠ABC=40°，∠∠ABC=20°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和外角的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．4．（2021·浙江台州市·中考真题）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线【答案】A【分析】根据线段的性质即可求解．【详解】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长，故选：A．【点睛】本题考查线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键．5．（2021·江苏南京市·中考真题）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，2【答案】D【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．【详解】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可．6．（2021·浙江中考真题）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可．【详解】解：A、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；B、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；C、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键．7．（2021·四川自贡市·中考真题）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是（）A．百B．党C．年D．喜【答案】B【分析】正方体的表面展开图“一四一”型，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点解答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方体，“迎”与“党”是相对面，“建”与“百”是相对面，“喜”与“年”是相对面．故答案为：B．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．8．（2021·江苏扬州市·中考真题）把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（）A．五棱锥B．五棱柱C．六棱锥D．六棱柱【答案】A【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，则该几何体为五棱锥，故选A．【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键．9．（2021·浙江金华市·中考真题）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能．．．是它的表面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由直棱柱展开图的特征判断即可．【详解】解：图中棱柱展开后，两个三角形的面不可能位于同一侧，因此D选项中的图不是它的表面展开图；故选D．【点睛】本题考查了常见几何体的展开图，解决本题的关键是牢记三棱柱展开图的特点，即其两个三角形的面不可能位于展开图中侧面长方形的同一侧即可．10．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图所示的圆锥的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：主视图是从正面看所得到的图形,圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：,故选A.考点：三视图.11．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，直线//m n ，三角尺的直角顶点在直线m 上，且三角尺的直角被直线m 平分，若160∠=︒，则下列结论错误的是（ ）A ．275∠=︒B ．345∠=︒C ．4105∠=︒D ．5130∠=︒【答案】D【分析】 根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．【详解】首先根据三角尺的直角被直线m 平分，∠∠6=∠7=45°；A 、∠∠1=60°，∠6=45°，∠∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n ，∠∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；B 、∠∠7=45°，m ∠n ，∠∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；C 、∠∠8=75°，∠∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；D 、∠∠7=45°，∠∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．12．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，已知直线//,140,230m n ∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（ ）A．80︒B．70︒C．60︒D．50︒【答案】B【分析】如图，由题意易得∠4=∠1=40°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：如图，m n∠=︒，∠//,140∠∠4=∠1=40°，∠=︒，∠230∠=∠+∠=︒；∠34270故选B．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．13．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（）A．五边形的内角和是720︒B．三角形的任意两边之和大于第三边C．内错角相等D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可．【详解】A 、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B 、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C 、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．14．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，AB ∥CD ∥EF ，若∥ABC ＝130°，∥BCE ＝55°，则∥CEF 的度数为（ ）A ．95°B ．105°C ．110°D ．115°【答案】B【分析】 由//AB CD 平行的性质可知ABC DCB ∠=∠，再结合//EF CD 即可求解．【详解】解：//AB CD130ABC DCB ∴∠=∠=︒1305575ECD DCB BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒//EF CD180ECD CEF ∴∠+∠=︒18075105CEF ∴∠=︒-︒=︒故答案是：B ．【点睛】本题考查平行线的性质和角度求解，难度不大，属于基础题．解题的关键是掌握平行线的性质．15．（2021·安徽中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒【答案】C【分析】根据//BC EF ，可得45FDB F ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F ∠=︒∠=︒，，∠//BC EF ，∠45FDB F ∠=∠=︒，∠180180456075BMD FDB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 16．（2021·浙江金华市·中考真题）某同学的作业如下框，其中∥处填的依据是（ ） 如图，已知直线1234,,,l l l l ．若12∠=∠，则34∠=∠．请完成下面的说理过程．解：已知12∠=∠，根据（内错角相等，两直线平行），得12//l l ．再根据（ ∥ ），得34∠=∠．A ．两直线平行，内错角相等B ．内错角相等，两直线平行C ．两直线平行，同位角相等D ．两直线平行，同旁内角互补【答案】C【分析】首先准确分析题目，已知12//l l ，结论是34∠=∠，所以应用的是平行线的性质定理，从图中得知∠3和∠4是同位角关系，即可选出答案．【详解】解：∠12//l l ，∠34∠=∠（两直线平行，同位角相等）．故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，解题的关键是理解平行线之间内错角的位置，从而准确地选择出平行线的性质定理．17．（2021·湖北随州市·中考真题）如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（ ）A ．主视图和左视图B ．主视图和俯视图C ．左视图和俯视图D ．三个视图均相同【答案】A【分析】画出组合体的三视图，即可得到结论．【详解】解：所给几何体的三视图如下，所以，主视图和左视图完全相同，故选：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．18．（2021·四川资阳市·中考真题）如图是由6个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据俯视图可确定主视图的列数和小正方形的个数，即可解答．【详解】解：由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由3个小正方形组成，右边一列由1个小正方形组成．故选：C．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，由几何体的俯视图可确定该几何体的主视图和左视图，要熟练掌握．19．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据俯视图的定义即可得．【详解】解：俯视图是指从上往下看几何体得到的视图．这个几何体的俯视图是由排在一行的三个小正方形组成，观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C．【点睛】本题考查了俯视图，熟记定义是解题关键．20．（2021·四川广安市·中考真题）下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；B、主视图是是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；D、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；故选B．【点睛】本题考查了几何体的三视图，中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．21．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（）．A．B．C．D．【答案】A【分析】结合题意，根据视图的性质分析，即可得到答案．【详解】由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图如下：故选：A【点睛】本题考查了视图的知识；解题的关键是熟练掌握左视图的性质，从而完成求解．22．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．【详解】解：从上边看第一行是两个小正方形，第二行是一个小正方形并且在第二列，【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形．23．（2021·安徽中考真题）几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据三视图，该几何体的主视图可确定该几何体的形状，据此求解即可．【详解】解：根据A，B，C，D三个选项的物体的主视图可知，与题图有吻合的只有C选项，故选：C．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图并能灵活运用，是解题的关键．24．（2021·四川乐山市·中考真题）如图是由4个相同的小正方体成的物体，将它在水平面内顺时针旋转90 后，其主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据该几何体它在水平面内顺时针旋转90︒后，旋转后几何体的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图形一样，由此即可解答．【详解】把该几何体它在水平面内顺时针旋转90︒后，旋转后的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图形一样，∠该几何体的从右面看到的图形为，∠该几何体它在水平面内顺时针旋转90︒后，旋转后几何体的主视图为．故选C．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知把该几何体它在水平面内顺时针旋转90︒后，旋转后几何体的主视图与该几何体旋转前从右面看到的图形一样是解决问题的关键．25．（2021·四川成都市·中考真题）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据简单几何体的三视图中俯视图从上面看得到的图形即可求解．【详解】解：从上面看简单组合体可得两行小正方形，第二行四个小正方形，第一行一个小正方形右侧对齐．故选C．【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知三视图的定义．26．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其主视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】从正面看：共有2列，从左往右分别有2，1个小正方形；据此可画出图形．【详解】解：如图所示的几何体的主视图是．故选：D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．27．（2021·四川泸州市·中考真题）下列立体图形中，主视图是圆的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论．【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；圆柱的主视图是矩形，不符合题意；圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；球体的主视图是圆，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．28．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形解答即可．【详解】解：由于圆柱的主视图是长方形，长方体的主视图是长方形，所以该物体的主视图是：．故选：C．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于常考题型，熟知主视图是从物体的正面看到的图形是解题关键．29．（2021·山东泰安市·中考真题）如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接从左边观察几何体，确定每列最高的小正方体个数，即对应左视图的每列小正方形的个数，即可确定左视图．【详解】解：如图所示：从左边看几何体，第一列是2个正方体，第二列是4个正方体，第三列是3个正方体；因此得到的左视图的小正方形个数依次应为2,4,3；故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图，要求学生理解几何体的三种视图并能明白左视图的含义，能确定几何体左视图的形状等，解决本题的关键是牢记三视图定义及其特点，能读懂题意和从题干图形中获取必要信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法，对学生的空间想象能力有一定的要求．30．（2021·浙江温州市·中考真题）直六棱柱如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】直接从上往下看，得到的是一个六边形，即可选出正确选项．【详解】解:从上往下看直六棱柱，看到的是个六边形；故选：C．【点睛】本题考查了三视图的相关内容，要求学生明白俯视图是对几何体进行从上往下看得到的视图，实际上也是从上往下得到的正投影，本题较为基础，考查了学生对三视图概念的理解与应用等．31．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D．【点睛】本题考查了简答组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．32．（2021·浙江衢州市·中考真题）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据主视图是从几何体正面看得到的图形即可得到答案.【详解】从正面看可以看到有3列小正方形，从左至右小正方体的数目分别为1、2、1，所以主视图为：，故选B．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．33．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从正面看下面一层是三个正方形，上面一层中间是一个正方形．即：故选：B．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．34．（2021·四川乐山市·中考真题）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图．则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（）A．3B．72C．2D．52【答案】A【分析】根据由边长为4的正方形分割制作的七巧板，可得共5种图形，然后根据阴影部分的构成图形，计算阴影部分面积即可．【详解】解：如下图所示，由边长为4的正方形分割制作的七巧板，共有以下几种图形：∠腰长是22的等腰直角三角形，∠腰长是2的等腰直角三角形，∠腰长是2的等腰直角三角形，∠边长是2的正方形，∠边长分别是2245和135的平行四边形，根据图2可知，图中抬起的“腿”（即阴影部分）是由一个腰长是2的等腰直角三角形，和一个边长分别是2和2，顶角分别是45和135的平行四边形组成，如下图示，根据平行四边形的性质可知，顶角分别是45和135的平行四边形的高是DB，且2DB=，∠21221 2=，顶角分别是45和135222=，∠阴影部分的面积为：123+=，故选：A．【点睛】本题考查了七巧板中的图形的构成和面积计算，熟悉七巧板中图形的分类是解题的关键．二、填空题35．（2021·上海中考真题）70︒的余角是__________．【答案】20︒【分析】根据余角的定义即可求解．【详解】70︒的余角是90°-70︒=20︒故答案为：20︒．此题主要考查余角的求解，解题的关键是熟知余角的定义与性质．36．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30方向上．小岛A到航线BC的距离是__________n mile（3 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．【答案】10.4【分析】过点A作AD∠BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，从而得到AC=BC=12,利用sin60°=AD AC计算AD即可【详解】过点A作AD∠BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，∠∠ABC=∠CAB=30°，∠AC=BC=12,∠sin60°=AD AC，∠AD=AC sin60°=1232⨯3 1.73610.38≈⨯=≈10.4故答案为：10.4.本题考查了方位角，解直角三角形，准确理解方位角的意义，构造高线解直角三角形是解题的关键．37．（2021·山东临沂市·中考真题）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是___（只填写序号）．∥射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；∥车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；∥学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；∥地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．【答案】∠【分析】根据直线的性质，圆的性质，特殊四边形的性质分别判断即可．【详解】解：∠射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”，故正确；∠车轮做成圆形，应用了“同圆的半径相等”，故错误；∠学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的四边相等”，故错误；∠地板砖可以做成矩形，应用了“矩形的四个角是直角，可以密铺”，故错误；故答案为：∠．【点睛】本题考查了直线的性质，圆的性质，特殊四边形的性质，都属于基本知识，解题的关键是联系实际，掌握相应性质定理．38．（2021·浙江中考真题）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB 的长应是______．【答案】21- 【分析】 根据裁剪和拼接的线段关系可知3CD =，1BD CE ==，在Rt ACD △中应用勾股定理即可求解．【详解】解：∠地毯平均分成了3份，∠每一份的边长为1333=，∠3CD =，在Rt ACD △中，根据勾股定理可得222AD CD AC =-，根据裁剪可知1BD CE ==，∠21AB AD BD =-=，故答案为：21-．【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键．39．（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【答案】减少 10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF 与∠D 、∠E 、∠DCE 之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∠∠A +∠B =50°+60°=110°，∠∠ACB =180°-110°=70°，∠∠DCE =70°，如图，连接CF 并延长，∠∠DFM =∠D +∠DCF =20°+∠DCF ，∠EFM =∠E +∠ECF =30°+∠ECF ，∠∠EFD =∠DFM +∠EFM =20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD =110°，则∠EFD 减少了10°，若只调整∠D 的大小，由∠EFD =∠DFM +∠EFM =∠D +∠DCF +∠E +∠ECF =∠D +∠E +∠ECD =∠D +30°+70°=∠ D +100°，因此应将∠D 减少10度；故答案为：∠减少；∠10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．40．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为10cm的正方形，该果罐侧面积为_____2cm．【答案】100π【分析】根据圆柱体的主视图为边长为10cm的正方形，得到圆柱的底面直径和高，从而计算侧面积．【详解】解：∠果罐的主视图是边长为10cm的正方形，为圆柱体，∠圆柱体的底面直径和高为10cm，π⨯=100π，∠侧面积为1010故答案为：100π．【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是根据三视图得到几何体的相关数据．。
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临沂市中考试题分类汇编（2007年—2009年）
（几何部分） 一、投影与视图
（07年）
06．如图表示一个用于防震的L 形的包装用泡沫塑料，当俯视这一物体时看到的图形形状是（ ）。
（08年） 9．如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是（ ）
A ． 1000π㎝3
B ． 1500π㎝3
C ． 2000π㎝3
D ． 4000π㎝3
（09年）
12．如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是（ ）
A ．3
192πcm
B ．31152πcm C
．3 D
．3
二、三角形
（07年） 04．如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点D 、E 分别在AB 、AC 上，则∠1＋∠2的大小为（ ）。
A 、130°
B 、230°
C 、180°
D 、310°
13．如图，客轮在海上以30km /h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得灯塔A 的方位角为北偏东80°，测得C 处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北偏东20°，则C 到A 的距离是（ ）。
A 、615km
B 、215km
C 、)26(15+km
D 、)236(5+km
1
C E
A B C D (第06题图)
第9题图
主视图
左视图
俯视图
（第12题图）
18．有如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，
从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母a 、b 的不等式表示为 。
（08年）
4．下列各图中，∠1大于∠2的结果是（ ）
14.如图已知正三角形ABC 的边长为1，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数的图象大致是（ ）
19．如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n 个等腰直角三角形的面积S
n ＝________。
（09年）
8．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥， 垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠ C ．OA OB = D ．AB 垂直平分OP 22．（本小题满分7分）
如图，A ，B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离AC =1km ，B 村到公路l 的距离BD =2km ，B 村在A 村的南偏东45
方向上．
（1）求出A ，B 两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，
12A 1
2B 12D 12C B 1B 2A 1A
O B 第19题图
O
（第8题图） B A
P
第14题图
F A
G E B C
请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
三、四边形
（07年）
14．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法
从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应分别为（ ）。
A 、x ＝10，y ＝14
B 、x ＝14，y ＝10
C 、x ＝12，y ＝15
D 、x ＝15，y ＝12
17．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是 。
22．(本小题满分8分)如图，已知矩形ABCD 。
(1)在图中作出△CDB 沿对角线BD 所在的直线对折后的△C ’DB ，C 点的对应点为C ’(用尺规作图，保留清晰的作图痕迹，简要写明作法)；
(2)设C ’B 与AD 的交点为E ，若△EBD 的面积是整个矩形面积的31
，求∠DBC 的度数。
（08年） 8．“赵爽弦图”是由于四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。
小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是（ ）
(第14题图) C
D
G H F (第17题图) A B
C
D (第22题图)
北 东 A C D （第22题图）
l
A ．
31 B ． 41 C ． 5
1
D ． 55
11．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、
EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ） A ． 32 B ． 33 C ． 34 D ． 3
13．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，以A 为圆心，AD 为半径的圆与BC 切于点M ，与AB 交于点E ，若AD ＝2，BC ＝6，则⌒DE 的长为（ ） A ．
23π B ． 43π C ． 8
3π
D ． π3
18．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ，则CE 的长________. 21．（本小题满分7分）
如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交
于点F ，CD DE 2
1
=。
⑴求证：△ABF ∽△CEB;
⑵若△DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积。
（09年）
4．下列图形中，由AB CD ∥，能得到12∠=∠的是（ ）
11．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC BD ⊥于点O ，AE BC DF BC ⊥⊥，，垂足分别为E 、F ，设AD =a ，BC =b ，则四边形AEFD 的周长是（ ） A ．3a b +
B ．2()a b +
C ．2b a +
D ．4a b +
14．矩形ABCD 中，8cm 6cm AD AB ==，．动点E 从点C 开始沿边CB 向点B 以2cm/s 的速度运动，动点F 从点C 同时出发
第8题图
D
第11题图
F
A
D
E
B
C
第13题图
A M
D
E B
C
第18题图
F A
D
O
E B
C A
C B
D 1 2 A C B D
1 2
A ．
B ． 1 2 A
C
D C ． B D C A D ． 1 2 D
C A
B
E F
O
（第11题图）
A D
F
H
第21题图 F
A
D
E B C
沿边CD 向点D 以1cm/s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ，设运动时间为x （单位：s ），此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：2
cm )，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
18．如图，在菱形ABCD 中，72ADC ∠=
，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则CPB ∠=________度．
四、圆
（07年）
10．如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，以AB 为直径的圆与AC 相切，与边BC 交于点D ，
则AD 的长为（ ）。
A 、
552 B 、554 C 、35
2
D 、354 12．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的
概率为（ ）。
A 、21
B 、π63
C 、π9
3 D 、π33
（08年） 23．（本小题满分9分）
如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，以AB 上的一点O 为圆心分别与均AC 、BC 相切于点D 、E 。
⑴求⊙O 的半径； ⑵求sin ∠BOC 的值 （09年）
7．已知1O ⊙和2O ⊙相切，1O ⊙的直径为9C m ，2O ⊙的直径为4cm ．则12O O 的长是（ ） A ．5cm 或13cm B ．2.5cm C ．6.5cm D ．2.5cm 或6.5cm
(第12题图)
A ．
B ．
C ．
D ．
A B C D (第10题图) D
C B A E P
（第18题图）
第23题图
A
D
O
E B C
17．若一个圆锥的底面积是侧面积的
1
3
，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是____ _度． 23．（本小题满分9分）
如图，AC 是O ⊙的直径，P A ，PB 是O ⊙的切线，A ，B 为切点，AB =6，P A =5． 求（1）O ⊙的半径； （2）sin BAC 的值．
C （第23题图）。