重庆市2018-2019年高三上学期期末考试数学试题

- 1 - 第一学期高三年级教学质量检测 数学试题卷 选择题部分（共40分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由集合解得..................... 则 故， 故选 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由双曲线得，所以渐近线方程为， 故选 3. 设数列的通项公式为则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，则数列为单调递增数列 若数列为单调递增数列，则即可，所以“”是“数列为单调递增数列”的充分不必要条件 故选 4. 若函数的导函数的图像如图所示，则（ ） - 2 -

A. 函数有1个极大值，2个极小值 B. 函数有2个极大值，2个极小值 C. 函数有3个极大值，1个极小值 D. 函数有4个极大值，1个极小值 【答案】B 【解析】由导函数图像可知原函数的单调性为先增后减再增再减，最后增，所以原函数有2个极大值，2个极小值， 所以选 5. 若直线与曲线（，为自然对数的底数）相切，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】C 【解析】设切点坐标为，，，则切线方程为，又因为切线为过代入得，将代入中得

故选 6. 设不等式组，所表示的区域面积为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图： - 3 -

当与交点为时面积为，此时，若则 故选 7. 设函数（且）则函数的奇偶性（ ） A. 与无关，且与无关 B. 与有关，且与有关 C. 与有关，且与无关 D. 与无关，但与有关 【答案】D

【解析】由函数则 当时函数为奇函数，当时函数为非奇非偶函数 所以函数的奇偶性与无关，但与有关 故选 8. 在三棱锥中，平面，，分别是的中点，，且.设与所成角为，与平面所成角为，二面角为，则（ ）

A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图可知，，因为平面则， 又由，故，则，同理可证得 所以 故选 9. 设函数，记为函数在上的最大值，为的最大值.（ ） A. 若，则 B. 若，则 - 4 -

C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】由题意得， 则

若，则，此时任意有 则，，， 在时与题意相符，故选 点睛：本题是道函数综合题目，考查了含有绝对值的最值问题，借助条件计算得最值情况，这里需要注意取最值时的讨论以及在运算过程中对于绝对值不等式的放缩求结果，本题有一定难度 10. 在四边形中，点分别是边的中点，设，.若，，，则（ ）

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】

又点分别是边的中点，所以， 两式相加得，两边同时平方得，所以 则，代入得即， 故选 点睛：本题是道向量综合题目，难度较大，主要在向量之间的转化上较为复杂，从一个结果出发，不断进行向量间的转化得到结果，注意当遇到题目中“点分别是边的中点” - 5 -

需要计算出，这样方便继续计算 非选择题部分（共110分） 二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每题6分，15-17每小题4分，共36分） 11. 设复数（其中为虚数单位），则复数的实部为__________ ，虚部为__________． 【答案】 (1). 2 (2). 1 【解析】 所以复数的实部为，虚部为 12. 在一次随机试验中，事件发生的概率为，事件发生的次数为，则期望__________ ，方差的最大值为 __________． 【答案】 (1). (2). 【解析】记事件发生的次数为可能的值为

期望 方差 故期望，方差的最大值为 13. 在中，角所对的边分别为，，，，则__________ ；设为边上一点，且，则的面积为 __________． 【答案】 (1). (2). 2 【解析】由得，， 又因为，则点为边上靠近点的三等分点， 14. 如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为__________ ；表面积为 __________． - 6 -

【答案】 (1). (2). 【解析】还原几何体如图： 根据图中数据可得： 15. 在二项式的展开式中，若含的项的系数为-10，则__________． 【答案】-2 【解析】二项式通项，当的项的系数为时，即 解得，则 所以 16. 有红，黄，蓝三种颜色的小球（除颜色外均相同）各4只，都分别标有字母．任意取出4只，字母各不相同且三种颜色齐备的取法有__________ 种． 【答案】36

【解析】字母各不相同且三种颜色齐备则分别取出个小球，共有 点睛：本题考查了排列组合，要满足题目中“字母各不相同且三种颜色齐备”先理清可能性，然后运用组合法求出数量后除去重复的可能，再进行全排列，即可计算出结果 17. 已知单位向量的夹角为，设，则当时，的取值范围是__________． - 7 -

【答案】 【解析】，所以，不妨令，原式， 当时 当时 所以的取值范围是 点睛：本题借助向量考查了范围问题，先根据题目条件计算出的表达式，然后运用换元法令，转换为，计算其范围可以先判定其单调性，然后借助极限法求得结果 三、解答题 （本大题共5小题，共74分） 18. 设向量，，. （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）若方程无实数解，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）的最小正周期为.（Ⅱ）或. 【解析】试题分析：⑴利用两个向量的数量积公式，三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用周期公式即可得到函数的最小正周期； ⑵由题意得无解故时，即可解得答案 解析：（Ⅰ）因为 ， 故的最小正周期为. （Ⅱ）若方程无解，则， 所以或， 由解得或； 由，故不等式无解， 所以或. 19. 如图，在三棱锥中，，，. - 8 -

（Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【解析】试题分析：(1)由余弦定理易得，取的中点，连接，，由等腰三角形三线合一，与，垂直，再用线面垂直的判定和性质定理即可证得； ⑵以为轴，为轴，为轴，建立坐标系，计算出平面的法向量为，然后运用公式计算出与平面所成角的正弦值 解析：（Ⅰ）∵，，， ∴，. 取的中点，连接，则，， 又，∴平面， ∴. （Ⅱ）在中，根据余弦定理，得 ， 所以，又因为，所以，， 所以，即. 则以为轴，为轴，为轴，建立坐标系，则，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，取 ，

则 ， 即与平面所成的角正弦值为. - 9 -

20. 设函数. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）当时，函数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【解析】试题分析：(1)要证，转化为，求导利用单调性即可证明(2)要证明恒成立，分离参量得，计算出的范围即可 解析：（Ⅰ）原不等式等价于，设，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增.又因为，所以.所以. （Ⅱ）当时，恒成立，即恒成立. 当时，；

当时，而， 所以. 21. 已知椭圆，直线，设直线与椭圆交于两点. （Ⅰ）若，求实数的取值范围； （Ⅱ）若直线的斜率成正等比数列（其中为坐标原点），求的面积的取值范围. 【答案】（Ⅰ）或.（Ⅱ） 【解析】试题分析：(1)由直线与椭圆交于两点，联立直线与椭圆方程，解得，根据，求出实数的取值范围(2) 设，， - 10 -

由直线的斜率成正等比数列，得，计算得，再由点到直线的距离算出，算出面积表达式 ，计算出范围 解析：（Ⅰ）联立方程和，得 ， 所以，所以， 所以，即， 解得或.

（Ⅱ）设，，则，， 设直线的斜率，因为直线的斜率成等比数列， 所以，即， 化简，得，即. 因为，

原点到直线的距离， 所以 ， 当时，直线或的斜率不存在，等号取不到， 所以. 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，由题意中直线与椭圆有两个交点，联立直线与椭圆方程，根据判别式求出参数范围，在计算三角形面积时，先确定三角形的底与高，然后给出其表达式，根据范围求得结果 22. 设数列满足，. （Ⅰ）求证：； - 11 -

（Ⅱ）求证：； （Ⅲ）设数列的前项和为，求证：. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析 【解析】试题分析：(1)根据题目中的表达式化简为，利用基本不等式求得

(2)由题目化简得 ，判定出与同号，再由，证得 ， (3)化简得，由（2）得， 即三边同时求和，即可证明 解析：（Ⅰ）整理得， 因为，故.

（Ⅱ）又因为 ， 因为，所以与同号， 所以与同号， 因为，所以， 那么，则，所以.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，故， 因为，所以， 故， 所以， 不等式三边同时求和，得， 所以.