上海交通大学附属中学2015届高三上学期摸底考试数学试题 Word版含答案
上海市杨浦区2015届高三一模数学文含答案
上海市杨浦区2015届高三一模数学文含答案XXX年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（文科）考生注意：1.答卷前，务必在答题纸上写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上。
2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟。
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知sinα=1/2，α∈(0,π)，则α=π/6.2.设A={x|1≤x≤3}，B={xm+1≤x≤2m+4,m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是[-1,3)。
3.已知等差数列{an}中，a3=7，a7=3，则通项公式为an=-2n+11.4.已知直线l经过点A(1,-2)、B(-3,2)，则直线l的方程是y=-x-1.5.函数f(x)=x^2-1(x<0)的反函数f^-1(x)=√(x+1)(x≥1)。
6.二项式(x-1/2)^4的展开式中的第4项是6x^2-12x+5/16.7.不等式log2(x-3)+x>2的解是(3,∞)。
8.已知条件p:x+1≤2；条件q:x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是(-∞,1]。
9.向量a=(2,3)，b=(-1,2)，若ma+b与a-2b平行，则实数m=1/2.10.一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：6排A座 | 6排B座 | 6排C座 | 走廊 | 6排D座 | 6排E座| 窗口 | 窗口 |其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的座位，小孙女喜欢看风景要坐靠窗的座位，则座位的安排方式一共有60种。
11.已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为54π。
12.已知集合A={z|z=1+i+i^2+。
+in,n∈N*}，则集合A的子集个数为2^n-1.13.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。
若(a+b-c)(a+b+c)=ab，则角C=π/3.14.如图所示，已知函数y=log2(4x)图像上的两点A，B和函数y=log2(x)上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC 为正三角形时，点B的坐标为(-1,2)，则实数p=-1/4.值为_______________。
上海市2015届高考高三数学每周一测试卷(14)(word版,含答案)
高三每周一测数学试卷（14）一、填空题1、函数{}22,0,1,2y x x x =-∈，则该函数的值域为___{0，1}_________2、11a>-是1a <-成立的_____ 必要非充分____________条件。
3、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体对角线的长为4、函数f (x)=1x +的最大值为 ____0.5________ 5、已知复数2,z i =+则_____z =5-2i6、已知全集为R ，集合{{}|,|2,0x M x y N y y x ===>，则集合()__________R MC N =【0，1】7、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是8、若)(x f 是偶函数，且当0)1(,1)(,),0[<--=+∞∈x f x x f x 则时的解集是______（0，2）_________9、若不等式x 2＋ax ＋10对于一切x（0，12）成立，则a 的取值范围是________52a ≥-____________二、选择题15、设x 是实数，则“x ＞0”是“|x |＞0”的 （ A ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16、设偶函数f (x )=log a |x －b |在(－∞，0)上递增，则f (a +1)与f (b +2)的大小关系是（ B ） A ．f (a +1)=f (b +2) B ．f (a +1)>f (b +2)C ．f (a +1)<f (b +2)D ．不确定17、若011<<b a ，则下列不等式 ①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式有 （ C ）A ．０个B ．１个C ．2个D ．３个18、已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ D ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 三、解答题19、关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--05)52(20222k x k x x x 的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围 解：[)3,2-20、已知sin αα和cos 是方程250x x m -+=的两实根，求：（1）m 的值；（2）当()0,απ∈时，求()cot 3πα-的值；（3）33sin cos αα+的值。
2015年上海市浦东新区高考数学一模试卷及参考答案
上是减函数，那么称函数 y＝f（x）是区间 I 上“缓增函数”，区间 I 叫做“缓
增区间”，若函数 f（x）＝
是区间 I 上“缓增函数”，则“缓增区间”
I 为（ ）
A．[1，+∞） B．
C．[0，1]
D．
23．（3 分）设 θ 为两个非零向量 的夹角，已知对任意实数 t，
的最
小值是 2，则（ ）
A．若 θ 确定，则 唯一确定
，且 a＝2b，则椭圆的标准方程为（ ）
A．
＝1 B．
＝1 C．
＝1 D．
＝1
【解答】解：∵a＝2b，椭圆的一个焦点为
，
∴设椭圆的标准方程为
．
3．（3 分）若关于 x，y 的方程 x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0 表示圆，则实数 m 的取值范
围是
．
4．（3 分）函数 y＝sinx﹣ cosx 的最大值为
．
5．（3 分）若
＝0，则正实数 x 的取值范围是
．
6．（3 分）已知一个关于 x，y 的二元线性方程组的增广矩阵是
，则 x+y
＝
．
7．（3 分）双曲线
B．若 θ 确定，则 唯一确定
C．若 确定，则 θ 唯一确定
D．若 确定，则 θ 唯一确定
24．（3 分）已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2+mx﹣（2m+1）＝0 的两个实数根，则
经过两点 A（x1，x12），B（x2，x22）的直线与椭圆 + ＝1 公共点的个数
是（ ）
A．2
B．1
C．0
．
11．（3 分）如图，已知 PA⊥平面 ABC，AC⊥AB，AP＝BC＝2，∠CBA＝30°，
上海市交通大学附属中学2018届高三上学期开学摸底考试数学试题+Word版含解析
上海市交通大学附属中学2018届高三上学期开学摸底考试数学试题一、填空题1. 若集合，集合，则 __________．【答案】【解析】由题意得，或，所以.2. —个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以为半径的圆，则该几何体的体积是__________．【答案】【解析】根据几何体的三视图的规则可知，该几何体表示半径为的球，所以该几何体的体积为.3. 已知是虚数单位，则的平方根是__________．【答案】【解析】设复数，则，即，解得，所以.4. 函数的反函数是__________．【答案】【解析】由，则，因为，则，所以函数的反函数.5. 设满足约束条件，则的最小值是__________．【答案】【解析】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，当经过可行域的点时，目标函数取得最小值，由，解得，则的最小值是.6. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上、下底面上其余十六个点，则的不同值的个数为__________．【答案】2【解析】由题意得，,则,因为，所以，所以的不同的值的个数为.7. 数列满足，其前项和记为，若，那么__________．【答案】3【解析】因为，所以，即，所以，即，即数列是周期为6的周期数列，因为，所以，所以，所以，又因为，解得，，且所以8. 若是展开式中项的系数，则__________．【答案】8【解析】试题分析：由题意，，∴.....................考点：二项展开式的通项与裂项相消法求和，极限．9. 设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则__________．【答案】【解析】由的最小正周期大于，得，又，得，所以，则，所以，由，所以，取，得，所以.10. 已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】根据题意，函数的图象如图，令，其图象与x轴相交于点，在区间上我减函数，在上为增函数，若不等式在上恒成立，则函数的图象在上的上方或相交，则必有，即，可得.。
上海市上海交通大学附属中学2022届高三上学期开学考试数学试题 Word版含答案
交大附中高三开学考 2021.9 一. 填空题1. 若集合{||2|3}A x x =-<，集合3{|0}x B x x -=>，则A B =2. 一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a 为半径的圆，则该几何体的体积是3. 已知i 是虚数单位，则2-的平方根是4. 函数2()1f x x =+(0)x <的反函数是 5. 设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是6. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，i P (1,2,,16)i =是上、下底面上其余十六个点，则i AB AP ⋅(1,2,,16)i =的不同值的个数为7. 数列{}n a 满足12n n n a a a --=-(3)n ≥，15a =，其前n 项和记为nS ，若89S =，那么100S =8. 若na 是(2)nx +*(,2,)n n x ∈≥∈N R 开放式中2x项的系数，则2323222lim()nn n a a a →∞++⋅⋅⋅+= 9. 设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕπ<，若5()28f π=， ()08f π11=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=10. 已知函数||2,1()2,1x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是11. 函数1()f x x =(0)x >绕原点逆时针旋转，每旋转15°得到一个新的曲线，旋转一周共 得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是12. 已知两正实数a 、b ，满足4a b +=，则2211a ba b +++的最大值为二. 选择题13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D 为（ ） A.0543- B. 1024 C. 0543 D. 0543- 14. “要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[,]a b 内就可以了”等价于（ ） A. 假如()0f x ≥，则[,]x a b ∉ B. 假如[,]x a b ∈，则()0f x < C. 假如()0f x <，则[,]x a b ∈ D. 假如[,]x a b ∉，则()0f x ≥15. 参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >，t 为参数）所表示的函数()y f x =是（ ）A. 图像关于原点对称B. 图像关于直线x π=对称C. 周期为2a π的周期函数D. 周期为2a π的周期函数16. 已知椭圆22:143x y C +=，直线:1l y x =-，点(1, 0)P ，直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则22||+||PA PB 的值为（ ）A. 32149B. 32449C. 32749D. 33049三. 解答题 17. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =.（1）证明直线1BC 平行于平面1D AC；（2）求直线1BC 到平面1D AC的距离.18. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C ⋅；（2）若6cos cos 1B C ⋅=，3a =，求ABC ∆的周长.19. （1）请依据对数函数()log a f x x =(1)a >来指出函数()log x g x a =(1)a >的基本性质（结论不要求证明），并画出图像；（2）拉普拉斯赞扬对数是一项“使天文学家寿命倍增”的创造. 对数可以将大数之间的乘 除运算简化为加减运算， 请证明：log ()log log a a a x y x y ⋅=+(0,1,,0)a a x y >≠>；（3） 2021年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ” 进行三局人机对弈，以简单的围棋来测试人工智能. 围棋简单度的上限约为3613M =，而依据有关资料，可观测宇宙中一般物质的原子总数约为8010N =. 甲、乙两个同学都估算了MN 的近似值，甲认为是7310，乙认为是9310. 现有两种定义：① 若实数x 、y 满足||||x m y m ->-，则称y 比x 接近m ；② 若实数x 、y 、m ，且10sx =，10ty =，10um =，满足||||s u t u ->-，则称y 比x 接近m ；请你任．选取其中一种．．．．．．定义来推断哪个同学的近似值更接近M N ，并说明理由20. 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（n ∈*N ），将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n =∈=∈N N 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c ；将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n =∈=∈N N 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n d d d d .（1）求数列{}n d 的通项公式()h n ；（2）求数列{}n c 的通项公式()f n ； （3）设数列{}n c 的前n 项和为nS ，求数列{}n S 的通项公式()g n .21. 如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“12C C -型点”.（1）证明：1C 的左焦点是“12C C -型点”；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证：||1k >，进而证明原点不是“12C C -型点”；（3）求证：{(,)|||||1}x y x y +<内的点都不是“12C C -型点”.2022届交大附中高三第一学期数学摸底测试时间：120分钟满分：150分姓名：__________命题：季风、陈云鹤审题：王敏杰一、填空题（前6题，每题4分；后6题，每题5分，共54分）1、若集合{}23A x x=-<，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=03xxxB，则A B⋃=____R_______.2、一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a为半径的圆，则该几何体的体积是_____343aπ_____.3、已知i是虚数单位，则-2的平方根是__________.4、函数2()1(0)f x x x=+<的反函数是__1)y x=>____________.5、设x、y满足约束条件2+330233030x yx yy-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y=+的最小值是_____-15__________.6、如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，(1,2,,16)iP i =是上、下底面上其余十六个点，则(1,2,,16)iAB AP i⋅=的不同值的个数为______2______ .7、数列{}na满足12=(3)n n na a a n---≥，15a=，其前n项和记为nS，若89S=，那么100S=__3____.8、若na是()()*2,2,nx n N n x R+∈≥∈开放式中2x项的系数，则2323222lim()nnna a a→∞++⋅⋅⋅+=____8_____.9、设函数()2sin()f x xωϕ=+，x∈R，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28fπ=，()08f11π=，且()f x的最小正周期大于2π，则ϕ=___12π____.10、已知函数||2,1,()2, 1.x xf xx xx+<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a∈R，若关于x的不等式()||2xf x a≥+在R上恒成立，则a的取值范围是_____[2,2]-_______.11、函数1()(0)f x xx=>绕原点逆时针旋转，每旋转15度得到一个新的曲线，旋转一周共得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是____1592______.12、已知两正实数a、b，满足4a b+=，则2211a ba b+++的最大值为_____4__________.二、选择题（每题5分，共20分）13、关于x、y的二元一次方程组50234x yx y+=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D为（ C ）8B111614（A ）0543- （B ）1024（C ）0543（D ）0543-14、“要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[,]a b 内就可以了”等价于（ D ） （A ）假如()0f x ≥，则[,]x a b ∉ （B ）假如[,]x a b ∈，则()0f x < （C ）假如()0f x <，则[,]x a b ∈ （D ）假如[,]x a b ∉，则()0f x ≥15、参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >，t 为参数）所表示的函数()y f x =是（ C ）（A ）图像关于原点对称（B ）图像关于直线x π=对称（C ）周期为2a π的周期函数（D ）周期为2a π的周期函数16、已知椭圆22:143x y C +=，直线:1l y x =-，点(1, 0)P ，直线l 交椭圆C 于A B 、两点，则22||+||PA PB 的值为（ B ）（A ）32149 （B ）32449（C ）32749（D ）33049三、解答题（14+14+14+16+18，共76分） 17（6+8）、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1211AB AD A A ===，，，（1）证明直线1BC 平行于平面1D AC；（2）求直线1BC 到平面1D AC的距离. 解：由于1111ABCD A B C D -为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故11ABC D 为平行四边形，故11//BC AD ，----------4分明显B 不在平面1D AC上，于是直线1BC 平行于平面1D AC， --------2分（2）直线1BC 到平面1D AC的距离即为点B 到平面1D AC的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以面ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=---------3分而1AD C∆中，11AC DC AD ===，故132AD C S ∆=-----------------2分所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线1BC 到平面1D AC 的距离为23．---------3分18（6+8）、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ⋅；（2）若6cos cos 1,3B C a ⋅==，求ABC ∆的周长. 解：（1）由题意可得21sin 23sin ABCa S bc A A∆==，化简可得2223sin a bc A =，---3分 依据正弦定理化简可得：2222sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B =⇒=.--------3分 （2）由2sin sin 13cos cos()sin sin cos cos 123cos cos 6B C A B C B C B C A B C π⎧=⎪⎪⇒=-+=-=⇒=⎨⎪=⎪⎩--3分由余弦定理22221cos ()9322b c a A b c bcbc +-==⇒+-=------------------2分 又22=4R sin sin ()sin sin 8sin a bc B c B c A ==所以b c +=--------------------------------------2分故而三角形的周长为分 19（4+4+6）、（1）请依据对数函数()log (1)a f x x a =>来指出函数()log (1)x g x a a =>的基本性质（结论不要求证明），并画出图像.（2）拉普拉斯赞扬对数是一项“使天文学家寿命倍增”的创造．对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减C 11运算， 请证明：log ()log log (0,1,,0)a a a x y x y a a x y ⋅=+>≠>（3） 2021年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ”进行三局人机对弈，以简单的围棋来测试人工智能.围棋简单度的上限约为M=3361，而依据有关资料，可观测宇宙中一般物质的原子总数约为N=1080. 甲、乙两个同学都估算了M N的近似值，甲认为是1073，乙认为是1093.现有两种定义： (I): 若实数,x y 满足my m x ->-，则称y 比x 接近m .(II): 若实数,,x y m 且10,10,10s t ux y m ===，满足s u t u ->-，则称y 比x 接近m .请你任选取其中一种．．．．．．．定义来推断哪个同学的近似值更接近MN，并说明理由. （1） 解：1()log log x a g x a x ==，基本性质为： 定义域：(0,1)(1,)+∞；值域：(-,0)(0,)∞+∞；单调减区间(0,1)(1,)+∞和（推断奇偶性、周期性不予给分）-------------2分（ 渐近线画出和原点挖去，需要都画好才能给满分）-------------------2分（2）证明： 设log ,log ,log ()N M N M N M a a a N x M y x a y a x y a a a N M x y +==⇒==⇒⋅==⇒+=⋅即log ()log log a a a x y x y⋅=+----------------------------------------------4分证明完毕 （3）接受定义（I ）：3617393803=lg 361lg38092.24101010M M M NN N⇒=⋅-≈⇒<<-----------------------2分而361173361173361173153lg(23)lg 2361lg3172.54173lg1023102310+10⋅=+⋅≈<=⇒⋅<⇒⋅<-------2分36136136193737393808080333210+101010101010⇒⋅<⇒-<- --------------------------1分所以甲同学的近似值更接近MN----------------------------1分接受定义（II ）：361803=lg 361lg 38092.2410MMN N⇒=⋅-≈-------------------------------------2分甲的估值107373lg1073⇒=，乙的估值109393lg1093⇒=----------------------------2分由于7393lg10-lglg10-lgM MNN >，------------------------------------------1分所以乙同学的近似值更接近MN -------------------------------------------------1分20（4+6+6）、已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c ．将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n d d d d ．（1）求数列{}n d 的通项公式()h n ； （2）求数列{c }n 的通项公式()f n ； （3）设数列{c }n 的前n 项和为nS ，求数列{}n S 的通项公式()g n .解：（1）设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即2132n n a b --=-------------------2分假设26627n k a n b k =+==+，等式左侧为偶数，右侧为奇数，冲突，2{}n n a b ∉1分所以，21()=63n h n a n -=+ -----------------------------------------------1分（2）21323123n n n n na b b a b ---=<<<∴4321423141243,,,n n n n n n n nc a c b c a c b -----====--------------------------------2分∴ 数列{}n c 的通项公式*63(43)65(42)(),66(41)67(4)k n k k n k f n k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩.-------------------4分等价形式：*36(21)()65(42),67(4)k n k f n k n k k N k n k +=-⎧⎪=+=-∈⎨⎪+=⎩，*315(21)2316()(42),2314(4)2n n k n f n n k k N n n k +⎧=-⎪⎪+⎪==-∈⎨⎪+⎪=⎪⎩（3）令4-34-24-14+++n n n n ne c c c c =，由（2）得知：{}n e 是等差数列---------------1分∴①当*4()n k k N =∈时，22412333=12334n kk n nS S e e e k k +=++⋅⋅⋅+=+=②当*4-1()n k k N =∈时，2113332=4n n n n n S S c ++++-= ③当*4-2()n k k N =∈时，22213332=4n n n n n n S S c c +++++--= ④当*4-3()n k k N =∈时，23321333=4n n n n n n nS S c c c +++++---=----------4分∴2*2*33344-3()4()=33324-14-2()4n nn k k k N g n n n n k k k N ⎧+=∈⎪⎪⎨++⎪=∈⎪⎩，，，，--------------------1分等价形式：22*2212334122774-1()=,1221134-21215184-3k k n kk k n k g n k N k k n k k k n k ⎧+=⎪+-=⎪∈⎨+-=⎪⎪+-=⎩，，，，21（4+6+8）、如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1) 证明：1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证：||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：(){},1x y x y +<内的点都不是“C 1—C 2型点”．解：（1）C 1的左焦点为(3,0)F -，-----------------1分过F 的直线3x =-与C 1交于2(3,)2-±，与C 2交于(3,(31))-±+，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为3x =-；-------------------------3分（2） 直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必需||1k >；-------------------------3分直线y kx =与C 1有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必需212k <------------------------3分故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”． （3）以1x y +=为边界的正方形区域记为Ω．1）若点P 在Ω的边界上，则该边所在直线与1C 相切，与2C 有公共部分，即Ω边界上的点都是“12C C -型点”；-------------------------1分2）设()00,P x y 是区域Ω内的点，即001x y +<，假设()00,P x y 是()00y y k x x -=-“12C C -型点”，则存在过点P 的直线l ：与1C 、2C 都有公共点．i ）若直线l 与2C 有公共点，直线l 的方程化为00y kx y kx =+-，假设1k ≤，则0000001kx y kx kx y kx x y x x +-≤++≤++<+，可知直线l 在2:1C y x =+之间，与2C 无公共点，这与“直线l 与2C 有公共点”冲突，所以得到：与2C 有公共点的直线l 的斜率k 满足1k >．-------------------------2分ii ）假设l 与1C 也有公共点，则方程组002212y kx y kx xy =+-⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解．从方程组得()()()2220000124210k x k y kx x y kx ⎡⎤-----+=⎣⎦，()222222200000082128()1y kx y k x k y kx k k ⎡⎤∆=-++-=-+--⎣⎦．由1k >，001x y +<由于()22000000000(1)(1)y kx y k x y k y k y k k y kx k -≤+⋅<+⋅-=+-<⇒-<所以，222008()+10y kx k k ⎡⎤∆=---<⎣⎦，即直线l 与1C 没有公共点，与“直线l 与1C 有公共点”冲突，于是可知P 不是“12C C -型点”．------------------------5分证明完毕 另解：()222200008212y kx y k x k ∆=-++-令()()222000012f k x k kx y y =--+，由于001x y +<，所以01x <，即2010x -<．于是可知()f k 的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为00201x y k x =-，由于()()()0000200011111x x x y x x x ⋅-<<--⋅+，所以()f k 在区间(),1-∞-上为增函数，在()1,+∞上为减函数．由于()()2200001110f x y x y =--≤+-<，()()2200001110f x y x y -=+-≤+-<，所以对任意1k >，都有()0f k <，()2810f k k ⎡⎤∆=+-<⎣⎦，即直线l 与1C 没有公共点，与“直线l 与1C 有公共点”冲突，于是可知P 不是“12C C -型点”．---------------------5分证明完毕。
上海市交通大学附属中学2017届高三上学期摸底考试数学试题 Word版含解析
上海交通大学附属中学2016-2017学年度高三第一学期数学摸底试卷本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、设全集U={1, 3, 5, 7}，集合M={1,| a-5 |} ，，{5, 7} ，则实数a的值是____________.2或8；2、若复数z满足其中i为虚数单位，则z=__________.12i3、若双曲线中心在坐标原点，一个焦点为F（10,0），两条渐近线的方程为，则该双曲线的标准方程为____________.4、行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为.45、若变量满足约束条件，则的最小值为_________.-76、五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有_______种.24a}为等差数列，为其前项和.若，则.64 7、已知{n8、设（x2+1）(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+ a11(x+2)11，则a0+a1+a2+…+ a11=_________.-29、一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为________.10、函数为奇函数，则实数a的值为__________.1或-111、关于x的方程|x|=ax+1有且仅有一个负根，则实数a的取值范围是_________.=sgnxB、sgn=-sgnxC、sgn=sgnD、sgn=-sgn三、解答题（本大题满分74分）19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（I）求C；（II）若的面积为，求△ABC的周长．20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．如图，在四棱锥P–ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；（II ）若二面角P –CD –A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 已知，函数F （x ）=min{2|x −1|，x 2−2ax +4a −2}，其中min{p ，q }=（I ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围； （II ）求F （x ）在区间上的最大值M （a ）. 【答案】（I ）；（II ）．22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有2(1)n n n S b b =+． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2016项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个*(1)()i i b i -∈N 后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和；（3）是否存在实数，使得存在，使不等式成立，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题3分，第2小题6分，第3小题9分．如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．2016-2017学年上海交大附中高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a ﹣5|}，C U M={5，7}，则a 的值为 2或8 ． 【考点】补集及其运算． 【专题】计算题．【分析】题目给出了全集U={1，3，5，7}，给出了全集的子集M 及M 的补集，由M∪（C U M ）=U 可求a 的值．【解答】解：由U={1，3，5，7}，且C U M={5，7}，所以，M={1，3}， 又集合M={1，|a ﹣5|}，所以|a ﹣5|=3． 所以，实数a 的值为2或8． 故答案为：2或8【点评】本题考查了补集及其运算，解答此题的关键是一个集合与其补集的并集等于全集，此题是基础题．2．（4分）（2016秋•杨浦区校级月考）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z= 1﹣2i ．【考点】复数代数形式的加减运算．【专题】计算题；整体思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】设复数z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值．【解答】解：设z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，∵2z+=3﹣2i，∴2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i，∴3a=3，b=﹣2，解得a=1，b=﹣2，则z=1﹣2i故答案为：1﹣2i．【点评】本题给出一个复数乘以虚数单位后得到的复数，求这个复数的值，着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．3．（4分）（2011•福建模拟）已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为F（10，0），两条渐近线的方程为y=±，则该双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由题意得，c=10，=，100=a2+b2，解出a和b的值，即得所求的双曲线的标准方程．【解答】解：由题意得，c=10，=，100=a2+b2，∴a=6，b=8，故该双曲线的标准方程为，故答案为．【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．4．（4分）（2016秋•杨浦区校级月考）行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为 4 ．【考点】三阶矩阵．【专题】选作题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第3列后所余下的2阶行列式为第3行第3列元素的代数余子式，求出值即可．【解答】解：由题意得第2行第3列元素的代数余子式M23=﹣=8﹣4=4故答案为：4．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．5．（4分）（2016春•黔西南州校级期末）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为﹣7 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：x，y满足约束条件对应的平面区域如图：当直线y=3x﹣z经过C时使得z最小，解得，所以C （﹣2，1），所以z=3x﹣y的最小值为﹣2×3﹣1=﹣7；故答案为：﹣7．【点评】本题考查了简单的线性规划，关键是正确画出平面区域，利用z的几何意义求最值；考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（4分）（2016秋•杨浦区校级月考）五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有24 种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；方程思想；综合法；排列组合．【分析】根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有2×C21=4种情况，若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有2×2×（2+4）=24种情况；故答案为：24．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法．7．（4分已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S8= 64 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可得：a1+a9=18=2a5，解得a5．可得S8==4（a4+a5）．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a9=18=2a5，解得a5=9．又a4=7，则S8==4（a4+a5）=4×（9+7）=64．故答案为：7=64．【点评】本题考查了等差数列的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（4分）（2014•余杭区校级模拟）若（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，则a0+a1+…+a11的值为﹣2 ．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】本题通过赋值法进行求解，在题干所给的式子中令x=﹣1，即可得到所求的结果．【解答】解：∵（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11∴在上式中，令x=﹣1：（（﹣1）2+1）（2（﹣1）+1）2=a0+a1+…+a11即a0+a1+…+a11=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题通过赋值法进行求解，另外此种方法在函数的求值问题也常用到，属于基础题．9．（4分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由三视图可知，上面是半径为的半球，体积为V==，下面是底面积为1，高为1的四棱锥，体积，所以该几何体的体积为．故答案为．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（4分）函数f（x）=为奇函数，则实数a的值为1或﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=为奇函数，可得=﹣，化简即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=为奇函数，∴=﹣，∴=﹣，∴a=1或﹣1．故答案为1或﹣1．【点评】本题考查了奇函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（4分）（已知关于x的方程|x|=ax+1有一个负根，但没有正根，则实数a的取值范围是a≥1 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合．【分析】构造函数y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象，通过数形结合求出a的范围．【解答】解：令y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象，方程|x|=ax+1有一个负根，但没有正根，由图象可知a≥1故答案为：a≥1【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合思想，计算能力，是基础题．12．（4分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据体积，建立方程组，求出M的坐标，可得直线OM的斜率，利用基本不等式可得结论．【解答】解：设P（2pt，2pt），M（x，y），则，∴x=，y=，∴k OM==≤=，当且仅当t=时取等号，∴直线OM的斜率的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，考查基本不等式，考查运算能力，属于中档题．13．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为9 ．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断ω为奇数，由f（x）在（，）单调，可得ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，由此求得ω的范围，检验可得它的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，且ω•+φ=n′π+，n′∈Z，∴相减可得ω•=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数．∵f（x）在（，）单调，∴ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ+①，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z ②，把①②可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣．此时f（x）=sin（11x﹣）在（，）上不单调，不满足题意．当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）=sin（9x+）在（，）上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9，故答案为：9．【点评】本题主要考查正弦函数的零点以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．14．（4分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是②③（写出所有真命题的序列）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．故答案为：②③．【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义是解题的关键．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】压轴题；规律型．【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选A【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．16．（5分）若D′是平面α外一点，则下列命题正确的是（）A．过D′只能作一条直线与平面α相交B．过D′可作无数条直线与平面α垂直C．过D′只能作一条直线与平面α平行D．过D′可作无数条直线与平面α平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】存在型．【分析】将点和线放置在正方体中，视平面α为正方体中的平面ABCD，结合正方体中的线面关系对选支进行判定，取出反例说明不正确的，正确的证明一下即可．【解答】解：观察正方体，A、过D′可以能作不止一条直线与平面α相交，故A错；B、过D′只可作一数条直线与平面α垂直，故B错；C、过D′能作不止一条直线与平面α平行，故C错；D、过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行，故D对．故选D．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．17．（5分）（2016秋•杨浦区校级月考）已知函数f（x）=sinϖx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）A．g（x）是奇函数B．g（x）关于直线x=﹣对称C．g（x）在[，]上是增函数D．当x∈[，]时，g（x）的值域是【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；综合法．【分析】将函数化简，图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，可知周期为π，由周期求出ω，向左平移个单位可得g（x）的解析式，再利用三角函数图象及性质，可得结论．【解答】解：f（x）=sinϖx+cosωx（ω＞0），化简得：f（x）=2sin（ϖx+），∵图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，可知周期为π∴T=π=，解得ω=2．那么：f（x）=2sin（2x+），图象沿x轴向左平移个单位，得：2sin=2cos2x．∴g（x）=2cos2x，故g（x）是偶函数，在区间单调减函数．所以A，C不对．对称轴方程为x=（k=Z），检验B不对．当x∈[，]时，那么2x∈[，]，g（x）的最大值为1，最小值为﹣2，故值域为．D正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式的化简和图象的平移，三角函数的性质的运用能力．属于中档题．18．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn=sgnx B．sgn=﹣sgnx C．sgn=sgn D．sgn=﹣sgn【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn=sgn（x+1）=；sgn=sgn（﹣x）=，﹣sgn=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（本大题满分74分）19．（12分）（2016春•寿县校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC （acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】解三角形．【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．（2016秋•杨浦区校级月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，（14分）BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，【分析】可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．21．（14分）（2016•浙江）已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min （p，q）=（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）（ii）求F（x）在上的最大值M（a）【考点】函数最值的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】新定义；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由a≥3，讨论x≤1时，x＞1，去掉绝对值，化简x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|，判断符号，即可得到F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定义，可得F（x）的最小值；（ii）分别对当0≤x≤2时，当2＜x≤6时，讨论F（x）的最大值，即可得到F（x）在上的最大值M（a）．【解答】解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0；当x＞1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2﹣（2+2a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），则等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围是；（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a2+4a﹣2．由﹣a2+4a﹣2=0，解得a=2+（负的舍去），由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，即m（a）=；（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；当2＜x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}=max{2，34﹣8a}=max{F（2），F（6）}．则M（a）=．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．（16分）（2015•闵行区二模）各项均为正数的数列{b n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有2S n=b n（b n+1）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）如果等比数列{a n}共有2015项，其首项与公比均为2，在数列{a n}的每相邻两项a k与a k+1之间插入k个（﹣1）k b k（k∈N*）后，得到一个新的数列{c n}．求数列{c n}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，求实数λ的范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）运用数列的通项和前n项和的关系，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到；（2）运用等比数列的求和公式和数列求和方法：分组求和，即可得到所求；（3）运用参数分离可得，运用基本不等式和单调性，分别求出不等式左右两边的最值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）当n=1时，由2S1=b1（b1+1）得b1=1，当n≥2时，由2S n=b n（b n+1），2S n﹣1=b n﹣1（b n﹣1+1）得（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1）=b n+b n﹣1因数列{b n}的各项均为正数，所以b n﹣b n﹣1=1，所以数列{b n}是首项与公差均为1的等差数列，所以数列{b n}的通项公式为b n=n．（2）数列{a n}的通项公式为，数列{c n}共有2015+1+2+…+2014=1008×2015项，其所有项的和为S1008×2015=（2+22+…+22015）+（﹣1+22﹣32+42﹣…20132+20142）=2（22015﹣1）+=22016﹣2+×1007=22016+2015×1007﹣2=22016+2029103；（3）由，得，记因为，当取等号，所以取不到，当n=3时，的最小值为（n ∈N*）递减，的最大值为B1=6，所以如果存在n∈N*，使不等式成立实数λ应满足A3≤λ≤B1，即实数λ的范围应为．【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系，主要考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查不等式存在性问题转化为求最值问题，具有一定的难度和综合性．23．（18分）（2013•上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”【考点】直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．【专题】压轴题；新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．。
2015年上海高考数学理科含答案word版
2015年上海高考数学理科含答案word版2015年上海高等学校招生数学试卷（理工农医类）一. 填空题（本大题共有14题，每题4分，满 分56分）1 •设全集U=R ，若集合A= 1,2,3,4 , BAIC UB _________________________ ； 2 •若复数z 满足3z z 1 i ，其中XJ ，则 q C2y 54.若正三棱柱的所有棱长均为1673，则 a 5 •抛物线 最小值为1,贝y p ____________________ ；6.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2 , 则其母线与轴的夹角大小为 ________ 7 .方程 log 29x15 log 2 3x 1 2 2的解为 _______________ ,8•在报名的3名男教师和6名女教师中，选取 5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不 同的选取方式的种数为；（结果用数x 3，则i为虚数单位，则------------ ?3 •若线性方程组的增广矩阵为 0 3：，解为，且其体积为---------- ?y 22px （p 0）上的动点Q 到焦点的距离的值表示）9.已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为C i和C 2，若C i的 渐近线方程为y 、3x ，则C 2的渐近线方程 为—10・设f 1x为 __________ ;（结果用数值表示）12•赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客 先在标记有1、2、3、4、5的卡片中随机摸取一 张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）； 随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡 片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单 位：元）；若随机变量1和2分别表示赌客在一局 赌博中的赌金和奖金，则E !E2 __________________________________________________________________________元；13 •已知函数f x sinx ，若存在x“X 2,L X m满足0 x 1 X 2 L x m 6—?为f X 2xy f x f11・在f x1 f x2 f X2f x3 +L + f x m的最小值为___14•在锐角三角形ABC中, f x m =12 m 2,m N ,贝卩mtanA 1, D为边BC上的点，VABD与VACD的面积分别为2和4,过D作DE ABuuur uuir于 E , DF AC 于F，贝J DEgDF __________________ ；二.选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）15•设N、Z2 C,则“ N、Z2中至少有一个数是虚数” 是“ N Z2是虚数”的（）A.充分非必要条件B. 必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.已知点A的坐标为4 3,1，将OA绕坐标原点O逆时针旋转-至OB，则点B的纵坐标为（)A.辽B. 5忑C. uD.22213217.记方程①：x2a-|X 10 ；方程②：x2护 1 0；③：x2 a3X 1 0 ; 其中玄伫?、、a3是正实数，当4、a“ a3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是（）A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根i8・设P nX n，y n是直线2x y nN *与圆x 2y 22在第三. 解答题（本大题共有5题，满分74分）解 答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤。
届高三数学试题(参考答案).doc
6分3 2 12 2当2*+彳=¥，即*=彳时，/'（X ）取得最小值- ................... 13分 16 （本小题满分13分）解：1）因为t?5是①，©的等比中项，所以a 5 = a 4a S - 2分北方交大附中2015届高三摸底数学试题（理科）（答案）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二•填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9、--10、4^2 11、—4 1212、—13、V214, 6;卩'C_°7112/z - 3, c 0注：14第一空3分；第二空，全对给2分，否则0分.三•解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 （本小题满分13分） 解：(I ) •/ /(x)= sin x cos x - ^3 sin 2 x=ism2.r-乜上竺空2 2函数/（X ）的最小正周期为71...... 7分（II ）由（I ）知：f （x ）= sin （2x+ 兰）.—•因为 0 W X W 三，所以兰？ 2x — —TT - ----------- 8 分八丿J 3丿2 2 3 3 3所以，当2x+-=~,即*=兰时，/'（X ）取得最大值1-—……10分设等差数列妆”｝的公差为d,贝ij （a 2+ 3（/）2= （a 2+ 2d\a 2+ 6d ）.……4分 因为a 2 = 3,所以d 2+2d= 0.因为d l0，所以d= - 2. ........... 6分所以 a” = - 2n + 7.2)由 a” = - 2" + 7 可知：Gj = 5 .所以呆y•…9分••••••打分由a” = S” 可得：-2/1 + 7= 6n-沪所以"=1 或"=7 . ...........13 分17、（本小题满分14分）40 + 32 + 8 41）解：元件A为正品的概率约为- =-■............1分100 5元件B为正品的概率约为40 + 29 + 3 4 5 6 =-. ............ 2分100 42）解：i ）随机变量X的所有取值为90,45,30,-15. ........................3分4 3 3 1 3 3P（X =90） = —x》仝p（x =45） = -x- = —；5 4 5 5 4 20P（X -30）--x丄=丄；p（x =-15）=-x- = ^-........................ 7 分5 4 5 5 4 203 3] iEX =90x —+ 45x —— + 30x —+ (—15)x —— = 66・ 10 分5 20 5 20ii)设生产的5件元件B中正品有〃件，则次品有5-n件.19依题意，得50H-10(5-H)>140,解得让一・所以〃=4,或比=5・ ............................................. 12分6设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件4 ,则P(A) = C：(|rx| + (|)5=^. ........................ 14 分18(本小题满分13分)解：1)函数/'(X)的定义域为(0,+ ). .........................................................1分厂⑴=丄+_2几•……3分=-2flV+flX+1.X X因为1是函数/(x)的极值点，所以f V)= 1+ 2/= 0. ...................... 5分所以或(2=1. 经检验，■+或a=l时，兀=1是函数/(%)的极值点.所以a的值是-丄或1. ........................................................ 6分2所S HAOB=|5，APOfi _5，APO A | = 2X2X |X 1 ~X2\ =\X l~X 2\'10分 36 _ 36伙2-1), 设 k 2-l = t(t>0) > 则 2"ng 一4+2厂2厶芒 + 24 43636 < 363-…13分14分2)由 1)知：/'(x )= 1+ a- la 2x = -2a 'r + ax+ 1XX若a= 0, f\x ）= -> 0.所以函数/'（x ）的单调递增区间为（0,+ ）； •••8分X若 a 1 0 , 令 f '（%） =1）（ "x+l ）= ° , 解得 X] = _ 丄,尢2 = —. .................. 9 分x 2a a 当a>0时，的变化情况如下表.•.函数丁 = /Xx ）的单调递增区间是（0,丄），a单调递减区间是（丄,+8）; .............. 11分a 当a < 0时，（x ）的变化情况如下表.•.函数丁 = y （x ）的单调递增区间是（0,-—）,2a单调递减区间是（ --- ,+co ）. ................ 13分2a19 （本小题共14分）1）解：由,=亡兰=1_兰=2， 得_ / _ 厂 3由椭圆C 经过点芒丄），得2+丄_i ・② 4/4Z?2联立①②，解得b = 1, a = V3 . ............... 4分 2所以椭圆C 的方程是乞+y2=l.............. 5分32）解：易知直线的斜率存在，设其方程为y = kx + 2.将直线4B 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得（l + 3k 2）x 2+12^ + 9 = 0. 令/ = 144/一36(1+ 3/) >0,得疋 >1.设AG 」）’ B （x 2,y 2）,贝映+/-总，牡=超因为 3_寸=*+1-4牡=(-心)2-1 + 3厂(1 + 3疋)2当且仅当9「兰，即『=纟时等号成立，此时△AOB 面积取得最大值更._t 3 220 （本小题共13分）(0,-) a 1a(丄,+°°) a广⑴ +-f(x)极大值X(0,-£)2a12a（士+S ）/W + 0-/W/极大值2mm解：(I )依据题意，当S = (-1,3)时，C(A,S)取得最大值为2.——3分(II)①当0是S 中的“元”时，由于4的三个“元”都相等及B 中a,b,c 三个“元”的对称性，可以只计算C(A,S) = 〒(a + b)的最大值，其中a'+b'+c- =1.由(a + b)2=cr +b- +2ab<2(a- +b-)<2(a 1+b- +c-} = 2 , 得-^2<a+b<42 . 当且仅当c = 0,且a=b =』2时，a + b 达到最大值血，于是C(A,S) = —(« + &) = —-----5分 2 33V3②当0不是S 中的“元”时，计算C(A ，S) = 〒(a + b + c)的最大值，由于a? +沪 +疋=1所以(a + b + c)2= a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2ac + 2Z?c <3(«2+Z?2+c 2) = 3 , 当且仅当a = b =c 时，等号成立.即当 a = b = c =, a + b + c 取得最大值馆，此时 C(A, S) =-^-(a+ b + c) = 1.综上所述，C(A,S)的最大值为1. ------- 8分(III)因为 B m =b m2,b m3,b 曲)满足臨2 + bj + b”J + bj = m .山勺”1上,”2上,”3,勺”4关系的对称性,只需考虑@,”2上,”3,勺”4)与(％,。
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上海交通大学附属中学2014-2015学年度一学期
高三数学摸底考试卷
（满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上）
一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）
1．函数的反函数________________．
答案：
解：∵，∴，由得，故
2. 函数的最小值_________
答案：
3. 若，则的取值范围是___________
答案：
4．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为．答案：-1
解：因为对任意正实数，不等式恒成立，所以，因此
5．同时满足（1）
答案：15
6．集合，．若“a＝1”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是．
答案：
解：“a＝1”是“”的充分条件的意思是说当时，，现在，
，由得或，即或
，所以的范围是.
7．已知，则．
答案：
解：由可得，所以
8．方程有解，则________
答案：
9. 如果
答案：
10．函数图像的对称中心是．
答案：
解：因为函数为奇函数，对称中心是，因此函数
图像的对称中心是.
11.
答案：
12.
答案：
13. 关于函数
必定是
的整数倍；（2）的表达式可改写为；
（4）
____________
答案：（2），（3）
14.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设
，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为．
答案:45
解：由题意有，对于和，我们首先把中的元素按从小到大顺序排列，当时，，对于中的任一元素
，比它大的有个，这个元素组成的集合的所有子集有个，把加进这些子集形成新的集合，每个都是以为最小元素的的子集，而最小元素为的的子集也只有这些，故在中出现次，所以
，时，适合上式，时，．当，
不成立，当时，，，由于，
，，所以，最小的为．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
15．下列说法正确的是（）
A．命题“若，则”的否命题是“若，则”
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题“若，则”的逆否命题是真命题
D．“”是“”的充分不必要条件
答案：C
解：中，否命题应该是“若，则”，错；中时，有，故至少是充分的，错；中“若，则”是真命题，因此其逆否命题也是真命题，选，而应该是必要不充分条件．
16. 若是的最小值，则的取值范围为（）.
(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)
答案：D
解：由于当时，在时取得最小值，由题意当时，
应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．
17.如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（
）
A ．和都是锐角三角形
B ．和都是钝角三角形
C ．是钝角三角形，是锐角三角形
D ．是锐角三角形，是钝角三角形
答案：D
解： 是锐角三角形
如果是锐角三角形，则，，，不可能成立；
如果是直角三角形，不妨设，则，A 1=0不合题意；
所以是钝角三角形。
（可求出钝角的大小为135°）
18. 定义一种新运算：，已知函数，若函数
恰有两个零点，则的取值范围为（）.
A.(1,2]
B.．
C.
D.
答案：B
解：这类问题，首先要正确理解新运算，能通过新运算的定义把新运算转化为我们已经学过的知识，然后解决问题.本题中实质上就是取中的最小值，因此就是与
中的最小值，函数在上是减函数，函数在上是增函数，且，因此当时，，时，
，因此，由函数的单调性知时取得最大值，又时，是增函数，且，，又
时，是减函数，且.函数恰有两个零点，说明函数的图象与直线有两个交点，从函数的性质知
.选B.
三、解答题(本大题共5题，满分74分12’+14’+14’+16’+18’=74’)
19. 解关于x的不等式：
解：
20．在中，角所对的边分别为，已知，
（1）求的大小；
（2）若，求的取值范围.
答案：（1）；（2）.
解：（1）由已知条件结合正弦定理有：，从而有：
，.
（2）由正弦定理得：，，
，即：.
21．数列的首项,
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设的前项和为,若的最小值为，求的取值范围？
答案：(1) ；（2）.
解：（1）
又，
则即奇数项成等差，偶数项成等差
（或: ）（2）当为偶数，即时：
当为奇数，即时：
22．阅读：
已知、，，求的最小值.
解法如下：，
当且仅当，即时取到等号，
则的最小值为.
应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知，，求的最小值；
（2）已知，求函数的最小值；
（3）已知正数、、，，
求证：.
答案：（1）9；（2）18；（3）证明见解析.
解：（1）， 2分
而，
当且仅当时取到等号，则，即的最小值为.
（2），
而，，
当且仅当，即时取到等号，则，
所以函数的最小值为.
（3）
当且仅当时取到等号，则.
23．已知函数满足2+，对x≠0恒成立，在数列{a n}、{b n}中，a1=1，b1=1，对任意x∈N+，，。
（1）求函数解析式；
（2）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（3）若对任意实数,总存在自然数k,当n≥k时,恒成立，求k 的最小值。
答案:（1）（2）（3）3
解：（1），∴，联立解得
（2）∵，∴，
∴是以1为首项、2为公差的等差数列，，∴
又，相加有，∴
（3）对任意实数λ∈[0，1]时，恒成立，
则恒成立，变形为，恒成立。
设，
∴，
∴∴或，n∈N+
故k min=3。