云南师范大学附属中学2016届高考适应性月考卷(三)(理)数学试题汇总

理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为R ，集合}0|{≥=x x A ，}086|{2≤+-=x x x B ，则=B C A R A ．}0|{≤x x B ．}42|{≤≤x x C ．20|{<≤x x 或}4>x D ．20|{<≤x x 或}4≥x 2．设复数z 满足i z i 5)21(=+，则复数z 为A ．i +2B ．i +-2C ．i -2D ．i --2 3．在等比数列}{n a 中，81=a ，534a a a =，则=7a A ．161 B ．81 C ．41 D ．214．若椭圆)0(12222>>=+b a b y ax 的离心率为21，则双曲线12222=-by ax 的渐近线方程为A ．x y 23±= B ．x y 3±= C ．x y 21±= D ．x y ±=5．下列有关命题的说法错误的是A ．若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题B ．“1=x ”是“1≥x ”的充分不必要条件C ．“21s i n =x ”的必要不充分条件是“6π=x ”D ．若命题0R 200≥∈∃x x p ，：，则命题0R 2<∈∀⌝x x p ，：6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的t x ,均为2，则输出的MA ．21 B ．23 C ．25 D ．27图17．如图2，网格纸的小正形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为 A ．25 B ．27C ．432+D ．333+8．已知ABC ∆和点M 满足0=++MC MB MA ，若存在实数m ，使得AM m AC AB =+成立，则m 等于A ．2B ．3C ．4D ．59．已知如图3所示的三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3=AB ，3=AC ，32===BD CD BC ，则球O 的表面积为A ．π4B ．π12C ．π16D ．π3610．设函数b bx x x f ()(3+-=为常数)，若方程0)(=x f 的根都在区间]2,2[-内，且函数)(x f 在区间)1,0(上单调递增，则b 的取值范围是A ．),3[+∞B ．]4,3(C ．]4,3[D ．]4,(-∞11．抛物线x y 82=的焦点为F ，点),(y x P 为该抛物线上的动点，又已知点)0,2(-A ，则||||PF PA 的取值范围是A ．),3[+∞B ．]2,1(C ．]4,1[D ．]2,1[ 12．若曲线21x y C =：与曲线xae y C =：2存在公切线，则a 的 A ．最大值为28e B ．最大值为24e C ．最小值为28eD ．最小值为24eBA CD图3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答．把答案填写在答题卡上相应的位置，在试题卷上作答无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．掷2个骰子，至少有一个1点的概率为 ．（用数字作答） 14．已知)2,0(πα∈，且3)4tan(=+πα，则=--+)cos sin 4lg()cos 6sin 8lg(αααα ．15．已知数列}{}{n n b a ，满足211=a ，1=+n n b a ，211nn n a b b -=+，*∈N n ，则=2015b ．16．已知函数)(x f 满足=-)(x f )(x f ，且=+)2(x f )(x f )2(f +，当]1,0[∈x 时，x x f =)(，那么在区间]3,1[-内，关于x 的方程R (1)(∈++=k k kx x f 且)1-≠k 恰有4个不同的根，则k 的取值范围是 ．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）18．（本小题12分）如图4，四边形ABCD 为菱形，60=∠ABC ，⊥PA 平面ABCD ，E 为PC 中点．（Ⅰ）求证：平面BED ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面PBA 与平面EBD 所成二面角（锐角）的余弦值．ABCDEP图42015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券．赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP(最有价值球员)，下表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据．注：（1）表中b a /表示出手b 次命中a 次； （2）00TS(真实得分率)是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：罚球出手次数）投篮出手次数全场得分⨯+⨯=44.0(2TS．（Ⅰ）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中00TS 超过0050的概率； （Ⅱ）从上述9场比赛中随机选择两场，求易建联 在这两场比赛中00TS 至少有一场超过0060的概率； （Ⅲ）用x 来表示易建联某场的得分，用y 来表示中国队该场的总分，画出散点图如图5所示，请根据 散点图判断y 与x 之间是否具有线性相关关系？结 合实际简单说明理由． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的焦点在x 轴上，离心率等于552，且过点)552,1(．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于B A ，两点，交y 轴于M 点，若BF MB AF MA 21λλ==，，求证：21λλ+为定值．．．． ．．．0 5101520 2530204060801001200 易建联得分中国队得分图5∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙∙已知函数xx x f ln )(=，mx ex g +=)(，其中 718.2=e（Ⅰ）求)(x f 在1=x 处的切线方程； （Ⅱ）当2-≥m 时，证明：)(x f )(x g <．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图6，P 为⊙O 外一点，PC 交⊙O 于F ，C ，PA 切⊙O 于B A ，为线段PA 的中点，BC 交⊙O 于D ，线段PD 的延长线与⊙O 交于E ，连接FE ．求证：（Ⅰ）PBD ∆∽CBP ∆； （Ⅱ）FE AP //． 23．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，已知圆C 的参数方程为ϕϕϕ(,sin ,cos 1⎩⎨⎧=+=y x 为参数)，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线33)cos 3(sin =+θθρ：l ，射线3πθ=：OM ．射线OM 与圆C 的交点为P O ,，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 24．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数||)(a x x f -=．（Ⅰ）当2=a 时，解不等式|1|4)(--≥x x f ； （Ⅱ）若1)(≤x f 的解集为]2,0[，)00(211>>=+n m a nm ，，求证：42≥+n m ．图6云南师大附中2016届高考适应性月考卷（三）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】 1．由已知得{|0}A x x =≥，{|24}Bx x =≤≤，{024}AB x x =<>R ∴≤或ð，故选C ．2．5i 5i(12i)2i12i(12i)(12i)z-===+++-，故选A ．3．{}n a ∵是等比数列，2143548a a a a a ===，，410a =∴或（舍），又2417718a a a a ==，∴，故选B ．4．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，可得2214c a=，可得22214ab a-=，解得2b a=，∴双曲线22221x y ab-=的渐近线方程为：2y=±，故选A ．程序结束．输出32M=，故选B ．7．所给几何体是一个长方体上面横放了一个三棱柱，其体积为1711211322V =⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选B ．8．M A M B M C ++=∵，∴M 是△A B C 的重心，33A B A C A M m +==∴，∴，故选B ．9．如图1所示，∵222A B A CB C+=，∴C A B ∠为直角，即过△A B C的小圆面的圆心为B C 的中点O '，A B C △和D B C △所在的平面互 相垂直，则圆心在过D B C △的圆面上，即D B C △的外接圆为球的 大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为2R =，球的表面积为24π16πS R==，故选C ．10．函数3()f x x b x=-+(b 为常数)，所以2()()0f x x b x =--=的根都在区间[2,2]-内，所以24b ⇒≤；又因为函数()f x 在区间(0，1)上单调递增，所以2()30f x x b '=-+>在区间(0，1)上恒成立，所以3b ≥，综上可得：34b ≤≤，故选C ． 11．由抛物线定义得||2P Fx =+，又||P A ==||||2P A P F x ==+∴0x=时，||1||P A P F =；当0x≠时，||||P A P F ==2x=时取等号．44x xx+=∵≥，||||P A P F =∴，综上所述，||||P A P F 的取值范围是[1，故选D ．12．设公共切线与曲线1C 切于点211()x x ，，与曲线2C 切于点22(e)x x a ，，则2221121e2ex x a x x ax x -==-，图1将212ex x a =代入221121e2x a x x x x -=-，可得1222x x =-，代入212ex x a =可得224(1)ex x a-=，设4(1)()exx f x -=，求导得4(2)()e xx f x -'=，可得()f x 在(12)，上单调递增，()f x 在(2)+∞，上单调递减，所以m ax 24()(2)ef x f ==，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 13．551116636P⨯=-=⨯．14．π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵，且πta n 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，tan 131tan αα+=-∴，1tan 2α=∴，lg (8sin 6co s )lg (4sin co s )αααα+--∴8sin 6co s 8tan 6lglg lg 1014sin co s 4tan 1αααααα++====--．15．1211n n n n nb a b b a ++==-∵且，112n nb b +=-∴，111111n n b b +=---∴，又112b =，1121b =--∴，11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭∴是首项为2-，公差为1-的等差数列，111n n b =---∴，1nn b n =+∴，201520152016b =∴．16．令1y kx k =++，则化为1(1)y k x -=+，即直线1y kx k =++恒过(11)M -，．根据题意，画出()[13]y f x x =∈-，，的图象与直线1y kx k =++，如图2所示，由图象可知当直线介于直线M A 与M B 之间时，关于x 的方程()1f x kx k =++(k ∈R 且1k ≠-)恰有4个不同的根，又因为M A k =，13M Bk =-，所以103k -<<．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得1co s 2a C c b+=，即1sinco s sin sin 2A C C B+=，又sin sin ()sin co s co s sin BA C A C A C=+=+，1sin co s sin 2C A C=∴．…………………………………………………………（4分）1sin 0co s 2C A ≠=∵，∴．又(0π)A ∈∵，，π3A =∴．………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由正弦定理得sinsin a B bB c CA===，，1sin )1sin ()]l a b c B C B A B =++=++=+++∴1π12in c o s 12s in 226B B B ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………（10分）π3A =∵，2πππ5π03666B B ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，，，，π1s in 162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦∴，．故△ABC 的周长l 的取值范围是(23]，． ……………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图3，连接AC 交BD 于O 点，连接EO ， ∵四边形ABCD 是菱形，A O C O=∴，∵E 为PC 中点，E O P A∴∥，P A ⊥∵平面ABCD ，E O ⊥∴平面ABCD ，E O ⊂∵平面BED ，∴平面BED ⊥平面ABCD ． ………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：方法一：∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面EBD ⊥平面ABCD ，∴平面P AB 和平面EBD 的交线与平面ABCD 垂直，A B O∠∴即为平面P AB 和平面EBD 所成角的平面角，∵BD 是菱形ABCD 的对角线，1302A B O A B C ∠=∠=︒∴，∴平面PBA 与平面EBD2． ……………（12分）方法二：∵四边形ABCD 是菱形，A CB D ⊥∴，E O ⊥∵平面ABCD ，E O A C⊥∴，E OB D⊥，如图4，建立空间直角坐标系O x y z-， …………………………………………（8分）∵y 轴⊥平面BED ， ∴平面BED 的法向量为(010)u=，，．设F 为AB 中点，连接CF ，菱形ABCD 的边长为2a ， 则C FA B⊥，C F⊥∴平面P AB ，∴平面P AB 的法向量为33022C F a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，c o s 2||||u C Fu C F θ==-∴∴平面PBA 与平面EBD 2． ……………（12分）图419．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设易建联在比赛中TS%超过50%为事件A ， 则8()9P A =． ………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）设易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60%为事件B ，2529C 13()1C 18P B =-=． …………………………………………………………（8分）（Ⅲ）不具有线性相关关系． ……………………………………………………（10分） 因为散点图并不是分布在某一条直线的周围． 篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛． ……………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，2225511,c a ab ⎧=⎪⎪⎪⎨⎛ ⎪ ⎝⎭⎪+=⎪⎩∴ 25a=∴，21b =，∴椭圆C 的标准方程为2215xy+=． ………………………………………………（4分）（Ⅱ）证明：设点A ，B ，M 的坐标分别为11220()()(0)A x yB x y M y ，，，，，，又易知F 点的坐标为(20)，．显然直线l 存在斜率，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程是(2)yk x =-，将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得2222(15)202050k x k x k+-+-=， ……………………………………………（8分） 2212122220205,1515kkx x x x kk-+==++∴，……………………………………………（9分）又12,M AA F MB B Fλλ==∵，将各点坐标代入得121212,22x x x x λλ==--，…………………………………（11分）121212121212122()22242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+=---++∴2222222220205215151020205421515k k k k kkkk⎛⎫-- ⎪++⎝⎭==---+++． ………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：ln 1(1)01f ==，即切点为(10)，．21ln ()x f x x-'=，21ln 1(1)11f -'==∴，即切线的斜率1k =，∴切线方程为1y x =-，即10x y --=． ………………………………………（4分）（Ⅱ）证明：方法一：()f x 的定义域为(0)+∞，，要证()()f x g x <只需证eln 0x mxx +->，∵当2m -≥时，2eex mx +-≥，故只需证明2eln 0x xx -->．设2()eln x h x x x-=-，221()eex x h x x x--'=+-，函数2221()2eex x h x x x--''=++>在(0)+∞，内单调递增，又121212(1)e1e101eh --'=+-=-<，662255665e e556h --⎛⎫'=+-=> ⎪⎝⎭，()0h x '=∴在(0)+∞，内有唯一的实根0x ，且0615x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，当0(0)x x ∈，时，()0h x '<； 当0()x x ∈+∞，时，()h x '>．从而当0x x =时，()h x 取得最小值．由0()h x '=得0022001e exx x x --=-，代入0200()eln x h x x x -=-得02001()eln x h x x x -=--，故0200016()eln 5x h x x h x -⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，设21()eln x x xx ϕ-=--，2211()ex x xxϕ-'=---，∵当(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ∴在(0,)+∞单调递减，1144114555553345656116(e )(2)elne lnln eln 1.72805652352e ϕ---⎛⎫=--=-+-=+-> ⎪⎝⎭，0605x <<∵，06()5x ϕϕ⎛⎫>> ⎪⎝⎭∴，即00()()0h x x ϕ=>．综上所述，当2m -≥时，()()f x g x <．……………………………………（12分）方法二： 设2()ln h x xx x=--，定义域为(0)+∞，，则1(21)(1)()21x x h x x xx+-'=--=．当(01)x ∈，时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当(1)x ∈+∞，时，()h x '>，()h x 单调递増．所以()(1)0h x h =≥，即2ln 0x x x --≥，则ln 1x x x-≤．设2e()1x x x ϕ-=-+，定义域为(0)+∞，，则2e()1x x ϕ-'=-．当(02)x ∈，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减； 当(2)x ∈+∞，时，()x ϕ'>，()x ϕ单调递増．所以()(2)0x ϕϕ=≥，即2e 10x x --+≥，则2e 1x x--≥．当2m -≥，(0)x ∈+∞，时，2e 1e x m x x+--≥≥．所以1e ln x m x x x+-≥≥，因为两个不等号分别当2x=，1x =时取得，所以n e l x mx x+>．综上所述，当2m -≥时，()()f xg x <． ………………………………………（12分）方法三： 设2()ex h x -=，则2()ex h x -'=，由()1h x '=可解得2x =，(2)1h =，即()h x 在点(21)，处的切线方程为12y x -=-，即为1y x =-，由（Ⅰ）可知()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-，()y f x =，()yh x =，1yx =-在同一坐标系内的图象如图5所示， 可得()1()f x x h x -≤≤，①因为2m -≥，所以2eex mx +-≥，即()()()f x h xg x ≤≤，又因为①式中取等号的条件不相同， 所以()()f xg x <．………………………………………（10分）（采用方法三证明第（Ⅱ）问时，过程不严密，第（Ⅱ）问给分不超过6分） 22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图6，∵P A 切⊙O 于A ，2B AB D B C=∴，∵B 为线段P A 的中点，PB BA =∴，2P BB D B C=∴，即P B B C B DP B=，P B D C B P∠=∠∵，图6图5P B D C B P∴△∽△． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）P B D C B P ∵△∽△，B P DC ∠=∠∴，C E∠=∠∵， BPD E ∠=∠∴，AP FE∴∥．……………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）圆的普通方程为：22(1)1xy-+=．co s sin x y ρθρθ==∵，，∴圆C 的极坐标方程为：2co s ρθ=． …………………………………………（5分）（Ⅱ）设11()ρθ，为点P 的极坐标，则1112c o s π3ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得111π3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，.设22()ρθ，为点Q 的极坐标，则2222(s in o s )π3ρθθθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得223π3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，，12θθ=∵，122P Q ρρ=-=∴，∴线段PQ 的长为2．…………………………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：当2a=时，不等式为|2||1|4x x -+-≥．∵方程|2||1|4xx -+-=的解为121722x x =-=，，∴不等式的解集为1722⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，．……………………………………（5分）（Ⅱ）证明：由()1f x ≤得||1x a -≤，解得11a x a -+≤≤， 而()1f x ≤的解集为[02]，，1012a a -=⎧⎨+=⎩，∴，1a =∴，111(00)2m n mn+=>>∴，，1122(2)2422n m m n m n mn m n ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭∴≥．………………………………（10分）。