初、高数学知识衔接第4讲
初升高数学衔接完整版191页
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说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．
【公式 2】 (a + b)(a 2 − ab + b2 ) = a3 + b3 (立方和公式)
证明: (a + b)(a 2 − ab + b2 ) = a3 − a 2b + ab2 + a 2b − ab2 + b3 = a3 + b3
2(x + 3)(x − 3)
2(x + 3)(x − 3) 2(x + 3)
说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分 解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．
4、…、10 的立方数，是非常有好处的．
【例 4】已知 x 2 − 3x = 1 = 0 ，求 x3 + 1 的值． x3
解： x2 − 3x = 1 = 0 ∴ x ≠ 0 ∴ x + 1 = 3
x
原式= (x + 1 )(x2 −1 + 1 ) = (x + 1 )[(x + 1 )2 − 3] = 3(32 − 3) = 18
a3 + b3 = (a + b)[(a + b)2 − 3ab] = −c(c2 − 3ab) = −c3 + 3abc ∴ a3 + b3 + c3 = 3abc ②，把②代入①得原式= − 3abc = −3
abc
说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 引申：同学可以探求并证明：
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a 2 + b2 + c 2 − ab − bc − ca)
初高中衔接专题讲义一、数与式的运算(4课时)(可编辑修改word版)
专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1.实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。
2.乘法公式平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2二、目标要求1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。
2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。
三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式（1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab（2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd（3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3（4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3（5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3（6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3（7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac四、典型例题例1、计算：（1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值（1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy（2）x 2xy y 2( x y)2 3 xy（3）( x y)2( x y)2 4 xy（4）x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) ( x y)[( x y)2 3 xy] 例3：已知a +b +c = 4 ab +bc +ac = 4 求a 2+b 2+c 2的值分析： a2+b2+c2= (a +b +c)2- 2(ab +bc +ac) = 8变式：已知：x2- 3x +1= 0 ，求x3+1x3的值。
初升高数学课程内容(衔接班)
【知识要点】一、一元二次不等式：1、解法步骤：（1）分解成一次因式的积，并使每一个因式中一次项的系数为正；（2）根据不等号取解集：大于号取两边，小于号取中间。
一元高次不等式的解法：穿根法（穿针引线）：将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线（奇数个根穿过，偶数个根穿不过），再根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
2、一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔00a >⎧⎨∆<⎩．20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔0a <⎧⎨∆<⎩．二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后转化成整式不等式求解集。
1.()0()f x g x >⇔()()0f x g x ⋅>；()0()f xg x <⇔()()0f xg x ⋅<2.()0()f x g x ≥⇔()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩；()0()f x g x ≤⇔()()0()0f xg x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩三、含绝对值的不等式的解法（大于取两边，小于取中间）：|()|f x a <，（0a >）⇔()a f x a -<<|()|f x a >，（0a >）⇔()()f x a f x a<->或【知识讲练】1、解下列不等式：(1)27120x x -+>(2)2230x x --+≥（3）2(1)(3)(2)0x x x --+≥解不等式（4）307x x -≤+（5）2317x x -<+（6）25023xx x -<--（7）|2x －1|≤3（8）223->-x x （9）|1|12+>-x x 2、已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a ++>的解集．3、对于任意实数x ，不等式23208kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是【巩固练习】1、不等式02<+-b x ax 的解集为{}12x x <<，则a b +=2、不等式32-+x x x ）（＜0的解集为3、不等式221x x +>+的解集是（）A.{}101|><<-x x x 或 B.{}101-|<<<x x x 或C.{}1001|<<<<-x x x 或 D.{}11-|><x x x 或（－∞，－1）∪（1，+∞）4、已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（）A、11{|}32x x -<<B、11{|}32x x x <->或C、{|32}x x -<<D、{|32}x x x <->或5、（1）若函数34)(2++=kx kx x f 的定义域是R,则k 的取值范围是（2）已知函数1)(2--=mx mx x f ，对一切实数0)(,<x f x 恒成立，则m 的范围为【知识要点】1、集合定义：某些指定的对象集在一起成为集合。
初升高衔接课数学教案及答案(总共8讲)
初升高衔接课数学教案（总共8讲）初高一衔接课：基本运算问题初高一衔接课：基本运算问题（一）绝对值一、知识梳理：⑴ 数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值．⑵ 数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩．⑶ 个负数比较大小，绝对值大的反而小．⑷ 个绝对值不等式:||(0)x a a a x a <>⇔-<<； ||(0)x a a x a >>⇔<-或x a >． ⑸ 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．二、例题讲解：例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |PA |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4．三、强化练习1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：下列叙述正确的是 （ ） （A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±13A B x0 4C D xP |x －1||x －3| 图1．1－1x原式=(+说明：本题若先从方程7∴-x x=⨯364∴+x x13此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．∴+x x5-=15∴-x x2此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符答案：1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++ 22432(1)(4321)y x x x x x --+++ 3．(2)(1)x x --，(9)(3)x x -+， (5)()m n m n -+4．3(2)(8)ax x x -- ；(3)(2)na ab a b +- ；2(3)(1)(23)x x x x -+-+；(2)(415),x y x y -+(772)(1)a b a b +++-5．2()(3),(21)(21),(3)(52)x y a y x x x x y -++--+；(12)(12),x y x y -++-23333()(),(1)(1),()(1)ab a b a b x y x y x x y x y +----+-++．6．2837．5354(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n -+=--++8．322322()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++初高一衔接课：基本运算问题初高一衔接课：基本运算问题（四）根式一、知识梳理：二次根式的性质（1）一般地，形如(0)a a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 232a a b b +++，22a b +等是无理式，而22212x x ++，222x xy y ++，2a 等是有理式． （2）二次根式2a 的意义2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩（3）二次根式的化简与运算二次根式的乘法：ab b a =),(0≥0≥b a ；二次根式的除法：先把除法写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算； 二次根式的加减法：合并同类二次根式． （4）其性质如下：（五）分式一、知识梳理：当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．二、例题讲解：【例1】化简11xx x x x-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x++=====--⋅+-+-+++--+解法一：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+--+++--⋅ 说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A mB B m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法． 【例2】化简222396162279x x x x x x x x++-+-+--=61x -．【解法二】原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 【解】 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 例3 解不等式：13x x -+-＞4．【解法一】由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0； ②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又3x ≥，∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．【解法二】如图1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |PA |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．∴x ＜0，或x ＞4．例4 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．【解】（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．13A B x4C D xP |x －1||x －3|图1－1－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2－2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．例5 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-． 【解】（1）32933x x x +++＝32(3)(39)x x x +++＝2(3)3(3)x x x +++ ＝2(3)(3)x x ++．或 32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++提 示熟练进行分解因式运算是高中数学的基本要求．＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-＝22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-． 或 222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．例6 试比较下列各组数的大小：（1）1211-和1110-； （2）264+和226－. 【解】 （1）∵1211(1211)(1211)11211112111211--+-===++，1110(1110)(1110)11110111101110--+-===++， 又12111110+>+， ∴1211-＜1110-．－1 1x y图1．2－5910+⨯(1)n n ++1910+⨯(910-1(1)n n ++(4n n -是正整数，(1)n n ++513．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯．4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14 ．答案 A 组 1．（1）2x <-或4x > （2）－4＜x ＜3 （3）x ＜－3，或x ＞3 2．1 3．（1）23- （2）11a -≤≤ （3）61- B 组1．（1）37 （2）52，或－15 2．4．C 组1．（1）C （2）C 2．121,22x x == 3．36554．提示：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++．一次函数和反比例函数初高一衔接课：（一）一次函数和反比例函数一、基础知识梳理1、平面直角坐标系（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴叫做x 轴或横轴，铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，x 轴与y 轴统称坐标轴，他们的公共原点O 称为直角坐标系的原点． （2）点的坐标和象限．（3）平面直角坐标系内的对称点：设11(,)M x y ，22(,)M x y '是直角坐标系内的两点．① 若M 和'M 关于y 轴对称，则有1212x x y y =-⎧⎨=⎩．② 若M 和'M 关于x 轴对称，则有1212x x y y =⎧⎨=-⎩．③ 若M 和'M 关于原点对称，则有1212x x y y =-⎧⎨=-⎩．所以，22x =-，13y =-，则()2,3A -、()2,3B --． (3)因为A 、B 关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数， 所以22x =-，13y =，则()2,3A 、()2,3B --．例2已知一次函数y ＝kx ＋2的图象过第一、二、三象限且与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，O 为原点，若ΔAOB 的面积为2，求此一次函数的表达式．【解】∵B 是直线2+=kx y 与y 轴交点，∴B （0，2），∴OB ＝2， 1222AOB S AO BO AO ∆=⋅=∴=又， 2y kx =+又，过第二象限，(20)A ∴-，1120212x y y kx k y x =-==+=∴=+把，代入中得，例3反比例函数xk y 1-=与一次函数)1(+=x k y 只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【解】因直线)1(+=x k y 必过点()0,1-，所以选择（C ）、（D ）一定错误．又直线)1(+=x k y 与y 轴的交点为()k ,0，所以当1>k ，双曲线xk y 1-=必在第一、三象限． 故选（A ）例4 如图，反比例函数ky x=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于(13)A ，，(1)B n -，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【解】（1）(13)A ，在ky x=的图象上， 3k ∴=，3y x∴=又(1)B n -，在3y x =的图象上，3n ∴=-，即(31)B --，，313m bm b =+⎧⎨-=-+⎩，解得：1m =，2b =，反比例函数的解析式为3y x=，一次函数的解析式为2y x =+，（2）从图象上可知，当3x <-或01x <<时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值．例5 如图，正比例函数x y 3=的图象与反比例函数xky =)>,>(00x k 的图象交于点A ．过A 作AB ⊥x 轴于B 点．若k 取1，2，3，…，20时，对应的Rt △AOB 的面积分别 为1S ，2S ，3S ，…，20S ，则1S ＋2S ＋3S ＋…＋20S ＝_ ．【解】过正比例函数与反比例函数的交点作x 轴的垂线．x 轴、正比例函数图象及垂线所围成的三角形的面积是k 的 一半．于是 1S ＋2S ＋3S ＋…＋20S ＝22020121×)+(×＝105．例6 已知反比例函数xky 2=和一次函数12-=x y ,其中一次函数的图象经过()b a ,、()k b a ++,1两点. (1)求反比例函数的解析式;(2)若点A 坐标是()1,1,请问，在x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在,把符合条件的点P 的坐标都求出来，若不存在，请说明理由． 【解】 (1)根据题意,得()⎩⎨⎧-+=+-=.112,12a k b a by xA OB图（12）ABOxy两式相减,得2=k .所以所求的反比例函数的解析式是xy 1=． (2)由勾股定理,得21122=+=OA ，OA 与x 轴所夹的角为︒45．①当OA 为AOP ∆的腰时，由OP OA =，得()0,21P ,()0,22-P ；由AP OA =,得()0,23P ．②当OA 为AOP ∆的底时，得()0,14P ． 所以,这样的点有4个，分别是()0,2、()0,2-、()0,2、()0,1．例7已知一次函数y ax b =+的图象经过点()3,32A +，()1,3B -，()2,C c -.求222a b c ab bc ca++---的值.【解】 由点点()3,32A +，()1,3B -，()2,C c -在次函数y ax b =+的图象上，于是有233+=+b a ，3=+b a ，c b a =+2，解得31,231,1a b c =-=-=，3,232,23a b b c c a ∴-=--=--=-.222a b c ab bc ca ++---＝()()()2221136 3.2a b b c c a ⎡⎤-+-+-=-⎣⎦例8如图，点A 、C 在反比例函数()30y x x=<的图象上，B 、D 在x 轴上，△OAB ，△BCD 均为正三角形，则点C 的坐标是 ．【解】 作AE ⊥OB 于E ，CF ⊥BD 于F ，易求OE ＝EB ＝1， 设BF ＝m ，则(2,3)C m m ---，代入3y x= 得2222210,2m m m -±+-==．D CB AOyx又0,12m m >∴=-+，∴点C 的坐标为 ()12,36---．四、课后巩固练习 A 组1．函数y kx m =+与(0)my m x=≠在同一坐标系内的图象可以是（ ）2．如图，平行四边形ABCD 中，A 在坐标原点，D 在第一象限角平分线上，又知6AB =，22AD =，求,,B C D 点的坐标．3．如图，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；（2）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点P 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．B 组1．选择题如图是三个反比例函数y ＝1k x ，y ＝2kx ，y ＝3k x在x 轴上方的图象，由此观察得到k 1、k 2、k 3∴的大小关 系为（ ）A ．k 1＞k 2＞k 3B ．k 3＞k 2＞k 1C ．k 2＞k 3＞k 1D ．k 3＞k 1＞k 2 2．选择题xyO A ． xyO B ．xyO C ． xyO D ．OxAyByxO第2题 第3题yxCB AO yx图 1 OA B DC P4 9图 2如图，正比例函数kx y =和()0>=a ax y 的图象 与反比例函数()0>=k xky 的图象分别相交于A 点和 C 点.若AOB Rt ∆和COD Rt ∆的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是（ ）（A ）1S >2S （B ）1S =2S （C ）1S <2S （D ）不能确定3．如图，已知Rt △ABC 的锐角顶点A 在反比例函数y ＝m x的 图象上，且△AOB 的面积为3，OB ＝3． （1）求点A 的坐标； （2）求函数y ＝mx的解析式； （3）若直线AC 的函数关系式为y ＝27x ＋87， 求△ABC 的面积．4．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发， 沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动 的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的 函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是( )A ．10B ．16C ．18D ．20C 组1．如图，如果x x >，且0<kp ，那么，在自变量x 的取值范围内，正比例函数kx y =和反比例函数xpy =在同一直角坐标系中的图象示意图正确的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2．已知反比例函数xmy 21-=的图象上两点()()2211,,,y x B y x A ，当210x x <<时，有21y y <，则m 的取值范围是___ __．3．已知点()a P ,1在反比例函数()0≠=k xky 的图象上，其中322++=m m a (m 为实数)，则这个函数的图象在第_____象限．4．已知3=b ，且反比例函数x b y +=1的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大，如果点()3,a 在双曲线xby +=1上，则_____=a ．5．如果不等式0<+n mx 的解集是4>x ,点()n ,1在双曲线xy 2=上,那么一次函数 ()m x n y 21+-=的图象不经过第___象限.6．已知直线b kx y +=经过反比例函数xy 8-=的图象上两点()1,2y A 与()2,2x B ，则.______=kb五、参考答案与解析A 组 1． B2． D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．3．（1）8k =．（2）点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，．B 组 1．B2．B 解析：设()()2211,,,y x C y x A .则根据题意,k y x y x ==2211. 所以k y x AB OB S 212121111==×=， k y x CD OC S 212121222==×=．根据题意，把()4,2-A 、()2,4-B 两点的坐标代入直线b kx y +=中，得 ⎩⎨⎧=+--=+.24,42b k b k 解得⎩⎨⎧-=-=.2,1b k故()2121-=-=-k b ．二次函数初高一衔接课：（二）二次函数一、基础知识梳理1、二次函数的图像与性质（１）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋bx a＋224b a )＋c －24b a224()24b b aca x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的．其图像为①当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象是开口向上的抛物线，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2ba；②当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象是开口向下的抛物线，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2ba； （2）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质（1）； （2）．【解】 由于函数和的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． （1）因为二次函数中的二次项系数2＞0， 所以抛物线有最低点，即函数有最小值．因为=，所以当时，函数有最小值是． （2）因为二次函数中的二次项系数－1＜0， 所以抛物线有最高点，即函数有最大值． 因为=， 所以当时，函数有最大值．例3 （1）当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． （2）当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 【解】 （1）作出函数21y x x =--+的图像（如右图），当1x =时，=max y －1，当2x =时，=min y －5． （2）作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的 图像（如右图），可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．例4 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．5322--=x x y 432+--=x x y 5322--=x x y 432+--=x x y 5322--=x x y 5322--=x x y 5322--=x x y 849)43(22--x 43=x 5322--=x x y 849-432+--=x x y 432+--=x x y 432+--=x x y 425)23(2++-x 23-=x 432+--=x x y 425Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－＝－12，或a ＝12． 2．∴a所以，所求的函数为y ＝－12(x ＋二次2，或y ＝12(x ＋1)21)2＋－2．（3）设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得 228842a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩，解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．故所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．例6二次函数bx ax y +=2和反比例函数by x=在同一坐标系中的图象大致是（ ）。
初升高衔接教材数学
初高中数学衔接教材{新课标人教A版}100页超权威超容量完整版典型试题举一反三理解记忆成功衔接第一部分如何做好初高中衔接 1-3页第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节” 4页第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 5-9页第四部分分章节讲解 10-66页第五部分衔接知识点的专题强化训练 67-100页第一部分，如何做好高、初中数学的衔接● 第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。
但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。
在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。
相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。
渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。
造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。
下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。
希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。
一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。
不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。
确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。
初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。
高中数学思维方法与初中阶段大不相同。
初中阶段，很多老师为学生将各种题建立１了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。
即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。
因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。
高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。
初高中知识衔接教案数学
初高中知识衔接教案数学
教学目标：
1.了解初中数学和高中数学之间的知识差距和联系
2.掌握初中数学和高中数学知识的衔接技巧
3.培养学生良好的学习习惯和数学思维能力
教学内容：
1.初中数学与高中数学的知识差距分析
2.初中数学与高中数学知识的延伸和深化
3.初中数学知识在高中数学中的应用
教学步骤：
一、导入：
1.通过谈论学生对初中数学和高中数学的认识和感受，引出本次课的主题。
二、讲解：
1.介绍初中数学和高中数学知识的差距和联系，并列举具体例子进行讲解。
2.讲解初中数学知识在高中数学中的应用和延伸。
三、练习：
1.让学生通过习题练习，感受初高中数学知识的衔接。
2.分组讨论，帮助学生找到初高中数学知识的联系和延伸。
四、巩固：
1.布置作业，让学生通过作业巩固本节课的知识点。
2.鼓励学生主动学习，培养他们对数学知识的兴趣。
五、总结：
1.回顾本节课的内容，强调初高中数学知识的衔接和延伸的重要性。
2.激励学生努力学习，提高数学水平。
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够逐渐认识到初高中数学知识的联系和差距，同时也培养了学生对数学的兴趣和学习能力。
在未来的教学中，需要更加注重启发学生的思维能力和培养他们的解决问题的能力。
第四讲 高中数学新课程内容简介
个学生都得到发展，使数学教育面向全体学生，数学课程就应该实
现:“人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上 得到不同的发展。”
• 这个如何认识数学课程的基本理念反映了数学课程应体现义务教育的基
础性、普及性、发展性，这是一种新的数学课程理念和实践体系，它是 初中数学教材编写和课程资源开发与利用的基本准则。
础教育改革与发展的决定》指出： 要“加快构建符合素质教育要求 的新的基础教育课程体系”。
基础教育课程改革 实验工作的整体部署 2001－2004 实验阶段 2004－2005 推广阶段
义务教育课程改革实验
2001年38年30% 2004年65% 2005年100%
一、高中数学新课程改革的背景
——数学课程的国际比较
2.根据时代的发展，在高中课程中渗透了很多近代 数学的思想和内容，如微积分、统计概率、向量、 算法等，甚至它们都成为高中数学课程的核心内容. 3.发展学生的创新意识，增加数学和其他科学以 及日常生活的联系是一个总趋势.数学建模的教学日 显重要，培养学生的应用意识成为数学课程的基本 目标. 4.信息技术和数学课程内容的整合成为课程标准 制定的一个基本理念.
课程标准与教学大纲的区别（2）
教学大纲 课程标准
更多地关注教师的教学 既关注教师的教学、更关注 行为。 学生的学习过程。
内容的表述方式更多地 内容的表述方式更多地体现 体现了原则性、规定性、 了指导性、启发性、弹性。 刚性。
关注点：教学目标的行为化表达方式
课程标准与教学大纲的框架结构比较 课
前言
义务教育阶段 课程改革实验区分布
已确定的课程改革实验区涉及27个省
山东
高密 青岛
云南
石林县
初升高衔接数学讲义
第1章 代数式与恒等变形四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。
在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。
而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。
知识延展1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。
一 计算和化简例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+二 利用乘法公式求值；例2 已知0132=+-x x ，求331x x +的值。
变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。
三 利用乘法公式证明例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a习题精练1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；4 已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。
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初、高数学知识衔接第4讲
一元二次不等式的解法
一、主要知识：
1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2、一元二次不等式的解法步骤
一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：
设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：
有两相异实根
有两相等实根
例1 （1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0；
（3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2
－6x ＋9≤0； （5）－4＋x －x 2＜0．
例2 解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x
例3 已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．
说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题． 练 习
1．解下列不等式：
（1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2
－x －12≤0； （3）x 2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x 2≤0．
2.解关于x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2≤0（a 为常数）．
作业：
1.若0<a <1,则不等式(x －a )(x －
a
1)<0的解是 ( ) A.a <x <a
1 B.
a
1<x <a
C.x >
a 1或x <a
D.x <a
1或x >a
2.如果方程ax 2
＋bx ＋b ＝0中，a ＜0，它的两根x 1，x 2满足x 1＜x 2，那么不等式ax 2＋bx ＋b ＜0的解是______.
3．解下列不等式：
（1）3x 2－2x ＋1＜0； （2）3x 2－4＜0；
（3）2x －x 2≥－1； （4）4－x 2≤0．
(5)4+3x －2x 2≥0; (6)9x 2
－12x >－4;
4．解关于x 的不等式x 2－(1＋a )x ＋a ＜0（a 为常数）．
5．关于x 的不等式02
<++c bx ax 的解为122
x x <->-
或
求关于x 的不等式02
>+-c bx ax 的解．。